4. Johda suhteellisen liikkeen nopeuden v ja

4.
Johda suhteellisen liikkeen nopeuden v ja kiihtyvyyden a esitykset
v = vO + vr + ! ⇥ ⇢
a = aO + ar + ↵ ⇥ ⇢ + ! ⇥ (! ⇥ ⇢) + 2! ⇥ vr
derivoimalla paikkavektorin esitystä r = rO + ⇢ ajan suhteen puolittain ja käyttämällä kanta˙
vektorin muutosnopeuden lauseketta ė = ⌦ ⇥ e ja merkintää ↵ = !.
Ratkaisu
5.
Johda inertiaalikoordinaatistossa (kantavektorit {I, J, K})
lauseke jäykän kappaleen partikkelin P nopeudelle ṙ kuvan
mukaisessa tilanteessa, jossa kappale pyörii vakiokulmanopeudella ˙ x-akselin ympäri. Kappalekoordinaatiston (xyz)
akselit ovat yhdensuuntaisia inertiaalikoordinaatiston (XY Z)
akseleiden kanssa, kun kulma = 0. Lisäksi r0 on vakio ja
⇢ = ⇢x i + ⇢y j + ⇢z k. Laske partikkelin P nopeus myös käyttäen suhteellisen liikkeen kaavoja ja vertaa saamiasi tuloksia.
Vastaus:
ṙ =
˙ (⇢y sin + ⇢z cos )J + ˙ (⇢y cos
⇢z sin )K
Ratkaisu
Tehtävässä piti johtaa inertiaalikoordinaatistossa jäykän kappaleen partikkelin nopeus
ṙ. Kirjoitetaan tätä varten parikkelin paikkavektori r kyseisessä koordinaatistossa ja
derivoidaan saatua lauseketta ajan suhteen. Käyttäen kuvassa esitettyjen kappale- ja
inertiaalikoordinaatistojen yhteyttä (perusrotaatio)
8 9
8
9 2
9
38
1
0
0
< i =
< I =
< I =
j
J
sin 5
J
= [L( )]x
= 4 0 cos
: ;
:
;
:
;
k
K
0
sin
cos
K
saadaan
r = r0 + ⇢ = r0 +
= r0 +
⇢x ⇢y ⇢z
⇢x ⇢y cos
⇢z sin
8
9
< I =
J
[L( )]x
:
;
K
⇢y sin + ⇢z cos
8
9
< I =
J
:
;
K
Derivoidaan yllä olevaa ajan suhteen. Huomioidaan derivoitaessa, että (1) r0 on vakio tehtävänannon mukaan ja että (2) jäykän kappaleen partikkelille ⇢ on myös vakio
kappalekoordinaatistossa mutta ei inertiaalikoordinaatistossa.
8
9
< I =
⇢y sin
⇢z cos
⇢y cos
⇢z sin
J
ṙ = ṙ0 + ⇢˙ = 0 + ˙ 0
:
;
K
eli
ṙ =
˙ (⇢y sin + ⇢z cos )J + ˙ (⇢y cos
⇢z sin )K
Tehdään nyt sama käyttäen jäykän kappaleen partikkelin suhteellisen liikkeen kaavaa
ṙ = ṙ0 + ! ⇥ ⇢
Nyt ! = ˙ i ja nopeudeksi saadaan
ṙ = ṙ0 + ˙ i ⇥ (⇢x i + ⇢y j + ⇢z k) = 0 + ˙
Muunnetaan vielä tulos inertiaalikantaan
8 9
< i =
0
⇢
⇢
j
ṙ = ˙
= ˙ 0
z
y
: ;
k
=
˙ (⇢y sin + ⇢z cos )J + ˙ (⇢y cos
0
⇢z ⇢y
⇢z ⇢y
8 9
< i =
j
: ;
k
8
9
< I =
J
[L( )]x
:
;
K
⇢z sin )K
jolloin havaitaan että nopeudet ovat tietenkin samat kummallakin tavalla laskettuna.
6.
Oheisen kuvan mukaisessa tilanteessa lautasantenni pyörii
jalustansa ympäri kulmanopeudella ⌦ (vakio) samaan aikaan
kun antennin kulma vaakatasoon muuttuu nopeudella ˙
(vakio). Käytä Eulerin kulmia, kulmanopeuden esitystä välikoordinaatistossa ja jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen
kaavoja ja määritä antennin kulmanopeus ! ja kulmakiihtyvyys ↵. Esitä tuloksesi sekä välikoordinaatiston kannassa että
antenniin sidottun kappalekoordinaatiston (xyz) kannassa.
Kappalekoordinaatiston z-akseli pysyy koko ajan inertiaalikoordinaatiston XY -tasossa.
Vastaus: Välikoordinaatiston kannassa ! = ⌦e⌘ + ˙ e⇣
ja ↵ = ⌦ ˙ e⇠ .
Ratkaisu
Käytetään Eulerin kulmia luentokalvoissa esitetyllä tavalla. Tehtävässä sanotaan, että
kappalekoordinaatiston z-akseli pysyy koko ajan inertialikoordinaatiston XY -tasossa,
jonka perusteella nutaatiokulma ✓ = ⇡/2 ja vakio.
^
✓ = ⇡/2
✓˙ = 0
^
˙ = ⌦ (presessionop.)
^
˙ = ˙ (spinninop.)
Tarkastellaan tilannetta välikoordinaatistossa, joka on siis presessioliikkeessä ja jonka suhteen antenni muuttaa lisäksi kallistuskulmaansa. Jäykän kappaleen suhteellisen
liikkeen yhtälöihin saadaan siis
ja
⌦ = ⌦K
! r = ˙ e⇣
)
! = ⌦ + ! r = ⌦K + ˙ e⇣ .
Muunnetaan esitys kokonaan välikoordinaatiston kantaan. Tähän tarvitaan yhteyttä (voi
myös toki päätellä kuvasta etetnkin näin yksinkertaisessa tapauksessa, mutta katsotaan
tuo muunnos)
8 9
8 9
8 9
8 9
< e⇠ =
<I=
<I=
< e⇠ =
T
T
e⌘ = L(✓)x L( )Z J
J = L( )Z L(✓)x e⌘ ,
)
: ;
: ;
: ;
: ;
e⇣
K
K
e⇣
jossa
2
c
4
s
L( )Z =
0
s
c
0
3
0
05
1
ja
2
1
4
L(✓)x = 0
0
3
0
0
c✓ s✓ 5 ,
s✓ c✓
jotka siis transponoimalla, sijoittamalla ja huomioimalla ✓ = ⇡/2 saadaan
8 9 2
32
38 9
c
s 0
1 0 0 < e⇠ =
<I=
J = 4s
c
05 40 0
1 5 e⌘
) K = e⌘ .
: ;
: ;
K
0
0 1
0 1 0
e⇣
Sjoitetaan vastauksen saamiseksi jo saatuun kulmanopeuden lausekkeeseen
! = ⌦e⌘ + ˙ e⇣ .
Kiihtyvyyden lausekkeessa huomioidaan, että ⌦ ja ˙ ovat vakioita (toisin sanoen koordinaatiston kulmanopeus on vakio ja suhteellinen kulmanopeus on vakio). Sijoittamalla
tämä tieto ja edellä ratkaistut tiedot jäykän kappaleen suhteellisen kiihtyvyyden lausekkeeseen saadaan
↵ = ⇤ + ↵r + ⌦ ⇥ ! r = 0 + 0 + ⌦ ⇥ ! r = ⌦e⌘ ⇥ ˙ e⇣ = ⌦ ˙ e⇠
Muunnetaan vielä lausekkeet kappalekoordinaatistoon käyttämällä kantavektorien välistä yhteyttä (perusrotaatio välikoordinaatiston ⇣-akselin ympäri)
8 9
8 9 2
38 9
c
s 0 < e⇠ =
<i=
< e⇠ =
j = L( )z e⌘ = 4 s c 05 e⌘
)
: ;
: ;
: ;
k
e⇣
0
0 1
e⇣
8 9
8 9 2
38 9
c
s 0 <i=
< e⇠ =
<i=
e⌘ = L( )Tz j = 4s
c
05 j
: ;
: ;
: ;
e⇣
k
0
0 1
k
ja edelleen sijoittamalla yllä esitettyihin lausekkeisiin
! = ⌦(sin i + cos j) + ˙ k
↵ = ⌦ ˙ (cos i sin j).
7.
Kuvan xyz-koordinaatisto pyörii Z-akselin ympäri vakiokulmanopeudella !p . Hyrrä pyörii samanaikaisesti x-akselin
ympäri kulmanopeudella !s = !0 sin !0 t (mitattuna xyzkoordinaatistossa), jossa !0 on vakio. Lisäksi hyrrän kallistuskulma ↵ vakio. Määritä hyrrän kulmanopeus sekä
kulmakiihtyvyys lausuttuina xyz-koordinaatiston kannassa
ijk. Määritä kulmakiihtyvyys derivoimalla saamaasi kulmanopeuden esitystä ja hyödyntäen yhteyttä ė = ! ⇥ e
kantavektoreiden muutosnopeuksille.
Vastaus:
! = !p (cos ↵i + sin ↵k) + !0 sin(!0 t)i
↵ = !02 cos(!0 t)i + !p !0 sin ↵ sin(!0 t)j
Ratkaisu
Tässä xyz vaikuttaisi hyvinkin samalla tavalla muodostetulta, kuin Eulerin kulmien
välikoordinaatisto. Tilannekuvasta (tai luentomonisteiden Eulerin kulmien välikoordinaatiston kulmanopeuden perusteella huomoiden, että nutaatiokulma on tässä ↵) xyzkoordinaatiston kulmanopeudeksi saadaan
⌦ = !p K = !p (cos ↵i + sin ↵k)
ja kun huomioidaan myös kappaleen "spinni"saadaan
! = !p K + !s i = (!p cos ↵ + !0 sin !0 t)i + !p sin ↵k.
Tästä edetään kulmakiihtyvyyteen derivoimalla ja muistamalla edellä esitetty koordinaatiston kulmanopeus yhtälössä ė = ⌦ ⇥ e
↵ = !˙ = !02 cos !0 ti + (!p cos ↵ + !0 sin !0 t)i̇ + !p sin ↵k̇
= !02 cos !0 ti + (!p cos ↵ + !0 sin !0 t)(⌦ ⇥ i) + !p sin ↵(⌦ ⇥ k)
= !02 cos !0 ti + (!p cos ↵ + !0 sin !0 t)(!p sin ↵j) !p sin ↵(!p cos ↵j)
= !02 cos !0 ti + !0 !p sin !0 t sin ↵j
8.
Ohuesta homogeenisesta ympyrälevystä (säde r) ja akselista
koostuva kappale on nivelöity Z-akselin pisteeseen O kuvan
mukaisesti. Kiekko vierii pitkin XY -tasoa liukumatta ja
kiertää täyden kirroksen Z-akselin ympäri ajassa T . Määritä kiekon kulmanopeuden lauseke välikoordinaatistossa.
!
2⇡
R
R
Vastaus: ! = ± p
e⌘
e⇣
T R2 + r 2
r
Ratkaisu