RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

Physica 9
RATKAISUT
1. painos
1(7)
8. Momentti ja tasapaino
RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino
8.1 Voiman varsi r on voiman vaikutussuoran etäisyys pyörimisakselista.
Pyörimisakseli on todellinen tai kuviteltu akseli, jonka ympäri kappale pyörii.
Voiman momentti M kuvaa voiman vääntövaikutusta tietyn akselin suhteen.
M A = Fr , jossa F on vääntävän voiman suuruus ja r voiman varsi eli
vaikutussuoran etäisyys akselista A.
Kappale on tasapainossa etenemisen suhteen, kun kappaleeseen vaikuttavien
voimien summa on nolla Σ F = 0 .
Kappale on tasapainossa pyörimisen suhteen, kun kappaleeseen vaikuttavien
momenttien summa on nolla, ΣM = 0.
Kappaleen painopiste on painon ajateltu vaikutuspiste.
Yksinkertainen kone on laite, jolla kappaleeseen vaikuttavan voiman suuruutta ja
suuntaa voidaan muuttaa.
8.2 a) Kiekkoon vaikuttaa voimien F1 ja F2 lisäksi paino G ja
akselin tukivoima N .
Tasapainoehto etenemisen suhteen on dynamiikan peruslain
ΣF = ma mukaan ΣF = F1 + F2 + N + G = 0.
b) Kiekkoon vaikuttavien voimien suuruudet ovat F1 = 4,3 N ja F2 =
5,7 N.
Voiman F1 voimanvarsi on r1 = 22 cm.
Valitaan positiiviseksi pyörimissuunnaksi suunta vastapäivään.
Tukivoima N ja paino G eivät väännä, sillä ne vaikuttavat pyörimisakseliin.
Momenttiehdoksi saadaan
ΣM = 0
F1r1 − F2 r2 = 0, josta ratkaistaan
r2 =
F1r1
.
F2
Sijoitetaan tunnetut arvot.
r2 =
4,3 N ⋅ 22 cm
= 16,5965 cm ≈ 17 cm.
5, 7 N
Vastaus: b) Vaikutussuoran etäisyys akselista on 17 cm.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
2(7)
8. Momentti ja tasapaino
8.3 Keinulaudan pituus on L = 3,9 m ja lapsien massat m1 = 28 kg
ja m2 = 35 kg.
Piirretään tilannetta kuvaava voimakuvio.
Lautaan vaikuttavat paino G, tukivoima N ja lasten painot G1
ja G 2 .
Koska keinulauta on tasapainossa ilman istujia, laudan painon
G vaikutussuora kulkee tukipisteen (pyörimisakselin) kautta, eikä aiheuta
momenttia. Samoin on laita tukivoiman N kanssa.
Valitaan positiivinen pyörimissuunta vastapäivään akselin ympäri. Voiman G1
momentti on siten positiivinen ja voiman G 2 momentti negatiivinen. Kun lauta on
tasapainossa, momenttien summa on nolla.
ΣM = 0
G1a − G2 b = 0
m1 ga = m2 gb.
Ratkaistaan varsi b
b=
m1a
m2
28 kg ⋅ 1,95 m
35 kg
= 1,56 m ≈ 1,6 m.
=
Vastaus: Toinen lapsi istuu 1,6 metrin etäisyydellä tukipisteestä.
8.4 Tuetaan tankoa jousivaa’alla eri pisteistä (1, 2, 3, 4, 5). Mitataan
pisteiden etäisyys akselista ja tätä etäisyyttä vastaava jousivaa’an
lukema.
Kun tanko on tasapainossa, pätee momenttiehto pisteen A suhteen
ΣM A = 0
Fr − Gb = 0.
Tukivoima N ei väännä, sillä sen vaikutuspiste on akselilla.
Esitetään tasapainottava voima F graafisesti voiman varren käänteisarvon
funktiona.
1
r
Kuvaaja on origon kautta kulkeva suora ( F = Gb ⋅ ). Suoran kulmakerroin on
painon momentti M = Gb. Useamman mittauksen avulla saadaan pienennettyä
mittausvirhettä.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
3(7)
8. Momentti ja tasapaino
8.5 a) Eteenpäin kumartuneen ihmisen painopiste siirtyy tuolin tukipinnan
ulkopuolelle ja ihminen voi käyttää painon momenttia apuna nousemisessa.
b) Voiman momentti riippuu paitsi voiman suuruudesta myös voiman varresta.
Voima on siten pyrittävä pitämään kohtisuorassa akseliin nähden. Tällöin
momentti on suurin mahdollinen.
c) Kun tuki asetetaan alas, saadaan
vääntävälle voimalle pidempi varsi ja
voiman momentti suureksi.
8.6 a) Lankun massa on m1 = 35 kg ja pituus L = 4,8 m.
Henkilön massa on m2 = 45 kg.
Tukien etäisyydet lankun päistä ovat a = 0,95 m ja b = 0,55 m.
Dynamiikan peruslain mukaan tasapainotilanteessa
∑F = 0
N1 + N 2 − G1 − G2 = 0
N 2 = − N1 + G1 + G2
= −620 N + 45 kg ⋅ 9,81
m
m
+ 35 kg ⋅ 9,81 2 = 164,8 N ≈ 160 N.
2
s
s
b) Kun lankku on keikahtamaisillaan tukivoima N1 = 0 .
Kirjoitetaan momenttiehto pisteen B suhteen
∑ M = 0 , joten
L
( − a )G1 − xG2 = 0
2
L
L
( − a )G1 ( − a )m1 g
= 2
x= 2
G2
m2 g
4,8
m − 0,95 m) ⋅ 35 kg
= 2
= 1,1278 m ≈ 1,1 m.
45 kg
(
Vastaus tarkoittaa sitä, että henkilö voi kävellä lankun päähän ilman, että lankku
keikahtaa.
Vastaus:
a) Tukivoima on 140 N.
b) Henkilö voi seistä lankun päässä.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
4(7)
8. Momentti ja tasapaino
8.7 a) Piirretään trukin voimakuvio. Trukkiin vaikuttavat paino G1 ,
taakan paino G2 sekä pinnan tukivoimat renkaisiin N1 ja N 2 .
a) Kun trukki kannattelee raskainta mahdollista taakkaa, on
takapyöriin vaikuttava tukivoima N 2 = 0. Takapyörät eivät
paina tällöin tukipintaa.
Valitaan momenttiakseliksi etupyörien ja lattian
kosketuskohtien kautta kulkeva akseli. Tällöin etupyöriin
kohdistuvalla tukivoimalla ei ole vääntövaikutusta. Valitaan
positiivinen kiertosuunta ja kirjoitetaan momenttiyhtälö. Koska
trukki on tasapainossa, ΣM = 0.
G1a − G2 b = 0
G2 =
G1a
.
b
m1 ga
b
m1a
.
m2 =
b
m2 g =
Sijoitetaan tunnetut arvot
m2 =
1500 kg ⋅ 1,8 m
= 2 250 kg.
1,2 m
b) Kun trukki nostaa kuormaa niin, että kuorma on kiihtyvässä liikkeessä ylöspäin,
kuorman liikeyhtälö dynamiikan peruslain mukaan on
G2 + N 2 = m2 a
N 2 = G2 + m2 a.
Trukin kuormaan kohdistama tukivoima on suurempi kuin paino, ja Newtonin III lain
mukaan myös taakka kohdistaa trukkiin samansuuruisen mutta vastakkaissuuntaisen
voiman. Näin ollen trukki kaatuu eteenpäin.
Vastaus: Suurin kuorma on 2 250 kg.
8.8 Lankun massa on m = 25 kg. Lankkuun vaikuttavat paino G ja
köysien jännitysvoimat T1 ja T2 .
Valitaan positiiviset suunnat. Dynamiikan peruslain mukaan
tasapainotilanteessa saadaan
x : T1 − T2 x = 0
y : T2 y − G = 0.
Ratkaistaan näistä
T1 = T2 x , ja T2 y = G.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
5(7)
8. Momentti ja tasapaino
Valitaan positiivinen kiertosuunta ja kirjoitetaan momenttiyhtälö akselin A suhteen
aG − 2aT2 y + bT2 x = 0, jossa
a=
L
cos α ja b = L sin α .
2
L
G cos α − LT2 y cos α + LT2 x sin α = 0.
2
Supistetaan L ja sijoitetaan T2y = G, jolloin
G
cos α − G cos α + T2 x sin α = 0
2
G cos α
G
=
.
T2 x =
2sin α
2 tan α
Tästä saadaan köyden jännitysvoimalle
T1 = T2 x =
G
mg
=
.
2 tan α 2 tan α
Sijoitetaan tunnetut arvot
T1 =
25 kg ⋅ 9,81
2 ⋅ tan25D
m
s 2 = 262,9702 N ≈ 260 N.
Toisen jännitysvoiman suuruus
T2 = T22x + T22y
2
⎛ G ⎞
2
= ⎜
⎟ +G
⋅
2
tan
α
⎝
⎠
m⎞
⎛
+ ⎜ 25 kg ⋅ 9,81 2 ⎟
s ⎠
⎝
= 359,5843 N ≈ 360 N.
=
( 262,970 N )
2
2
Voiman suunta saadaan
tan β =
T2 y
=
T2 x
25 kg ⋅ 9,81
m
s2
262,970 N
β = 43, 003 ≈ 43D.
D
Vastaus: Voimien suuruudet ovat 260 N ja 360 N. Toisen suunta on vaakatasossa ja
toisen 43° vaakatasosta ylöspäin.
8.9 Tehtävän alkuarvot näkyvät kuvasta.
T = 48 kN; L = 7,5 m; a = 3, 2 m; b = 1, 2 m; m1 = 750 kg
α = 40D ; β = 70D ; G2 = ?
a) Puomiin vaikuttavat tasapainotilanteessa kuvion mukaiset voimat:
puomin paino G1 , taakan paino G2 ; vaijerin jännitysvoima ja
niveleen vaikuttavat tukivoimat N x ja N y .
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
Valitaan momenttiakseliksi nivel A.
Momenttiehdon ΣM = 0 mukaan
Tr3 − G1r1 − G2 r3 = 0,
jossa
r1 = a cos α
r2 = L cos α
r3 = ( L − b) sin β
T ( L − b) sin β − G1a cos α − G2 L cos α = 0
G2 =
=
T ( L − b) sin β − m1 ga cos α
L cos α
48 ⋅103 N ⋅ 6,3 m ⋅ sin70D − 750 kg ⋅ 9,81
7,5 m ⋅ cos40D
m
⋅ 3, 2 m ⋅ cos40D
s2
= 46,3206 ⋅103 N ≈ 46 kN.
b) Tasapainotilanteessa dynamiikan peruslain mukaan
⎧⎪∑ Fx = N x − Tx = 0
⎨
⎪⎩∑ Fy = N y + Ty − G1 − G2 = 0
⎧⎪∑ Fx = N x − T cos( β − α ) = 0
⎨
⎪⎩∑ Fy = N y + T sin( β − α ) − G2 − G1 = 0
N x = T cos( β − α ) = 48 ⋅103 N ⋅ cos30D
= 41,569 kN ≈ 42 kN
N y = G2 + G1 − T sin( β − α )
= 46,3206 ⋅103 N + 750 kg ⋅ 9,81
m
− 48 ⋅103 N ⋅ sin30D
s2
= 29, 6781 kN ≈ 30 kN.
Nivelen tukivoiman suuruus on
N = N x2 + N y2
=
( 41,569 ⋅10 N ) + ( 29, 679 ⋅10 N )
3
2
3
2
= 51, 0763 kN ≈ 51 kN.
Suunta vaakatasosta ylös
tan δ =
Ny
Nx
=
29,6781 ⋅103 N
41,5692 ⋅103 N
δ = 35,5247D ≈ 36D.
Huom. Tukivoiman suunta ei ole sama kuin puomin suunta.
Vastaus:
a) Suurin kuorma 46 kN.
b) Tukivoiman suuruus 51 kN ja suunta 36D vaakasuorasta ylöspäin.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
6(7)
8. Momentti ja tasapaino
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
8.10 Puntarin 1 kg:n lukemamerkin etäisyys kalan ripustuskohdasta on
a = 32,0 cm ja 2 kg:n merkin etäisyys kalan ripustuskohdasta on
b = 32 cm − 9,0 cm = 23 cm.
Tarkastellaan ensin 1 kg:n kuorma.
Valitaan positiivinen suunta ja positiivinen kiertosuunta.
Puntarin tasapainoehdot ovat
ΣF = 0
ΣM = 0.
Voimaehdosta saadaan
F − G − G1 = 0
F = G + G1 .
Momenttiehdosta akselin A suhteen saadaan
− Fa + Gx = 0.
Yhdistetään edelliset
−(G1 + G )a + Gx = 0
(G1 + G )a = Gx.
Tarkastellaan seuraavaksi 2 kg:n kuorma.
Kirjoitetaan momenttiehto.
− ( G2 + G ) b + Gx = 0
( G2 + G ) b = Gx.
Yhdistetään lausekkeet
( G2 + G ) b = (G1 + G )a
G2 b + Gb = G1a + Ga
G=
G2 b − G1a
.
a−b
Sijoitetaan tunnetut arvot
G=
2,0 kg ⋅ 9,81
m
m
⋅ 0, 23 m − 1,0 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 0,32 m
s2
s
0,32 m − 0,23 m
= 15, 26 N.
Ratkaistaan painopisteen etäisyys
x=
( G1 + G ) a
G
(9,81 N + 15,26 N) ⋅ 0,32 m
=
15,26 N
= 0,5257 m ≈ 0,53 m.
Vastaus: Painopisteen etäisyys on 0,53 m.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
7(7)
8. Momentti ja tasapaino