RATKAISUT

Physica 9
RATKAISUT
2. painos
1(8)
3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
3.1 a) Newtonin I laki on nimeltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään
suoraviivaisesti muuttumattomalla nopeudella tai pysyy levossa, jos se ei ole
vuorovaikutuksessa muiden kappaleiden kanssa.
b) Newtonin II lakia kutsutaan dynamiikan peruslaiksi. Kappaleeseen vaikuttava
kokonaisvoima Σ F antaa kappaleelle kiihtyvyyden a siten, että a =
ΣF
, jossa m on
m
kappaleen massa.
c) Newtonin III laki on nimeltään voiman ja vastavoiman laki. Kahden kappaleen välinen
vuorovaikutus aiheuttaa yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset kappaleisiin kohdistuvat
voimat, joita kutsutaan toistensa vastavoimiksi.
d) Kun dynamiikan peruslakia (Newtonin II laki) sovelletaan tiettyyn tilanteeseen, saadaan
tarkasteltavan kappaleen liikeyhtälö.
e) Voimavektori voidaan jakaa tiettyjen suuntien suuntaisiin komponentteihin. Yleensä
komponentit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Komponenttivektoreiden summa on
alkuperäinen vektori.
3.2 a) Leikkiauton massa on 0,15 kg, ja siihen kohdistuu 1,7 N:n
suuruinen vaakasuora voima ja 1,5 N:n kitkavoima.
Leikkiautoon vaikuttavat paino G, tukivoina N , vetävävoima F
ja kitkavoima Fμ .
b) Dynamiikanperuslain ΣF = ma mukaan
F + Fμ + G + N = ma .
Koska tukivoima ja paino ovat yhtä suuria mutta vastakkaissuuntaisia, saadaan
skalaarimuodossa
F − Fμ = ma, josta ratkaistaa kiihtyvyys
a=
F − Fμ
m
.
Sijoitetaan tunnetut arvot
a=
1,7 N − 1,5 N
m
m
= 1,3333 2 ≈ 1,3 2 .
0,15 kg
s
s
Vastaus: b) Leikkiauton kiihtyvyys on 1,3
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
m
.
s2
Physica 9
RATKAISUT
3.3
a) G on paino
N on tukivoima
b) Fi on ilmanvastus
G on paino
c) Fμ on kitkavoima
G on paino
N1 ja N 2 ovat tukivoimia
d) T on langan tukivoima
G on paino
Fi on ilmanvastus
e) G1 on paino
G2 on painon vastavoima
N1 on tukivoima
N 2 on tukivoiman vastavoima
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
2. painos
2(8)
3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
3(8)
3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
3.4 Laatikon massa on m = 55 kg ja lavan kaltevuuskulma 15°.
Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat paino G, pinnan tukivoima N ja
vetävä voima F .
Koska taso on liukas on Fμ = 0 N .
Koska laatikon on oltava levossa, dynamiikan peruslain mukaan on
∑F =G+ N +F = 0.
Piirretään voimakolmio.
Voimakolmiosta voidaan laskea trigonometrian avulla kysytty voima
sinα =
F
G
F = Gsinα
= mgsinα
m
⋅ sin15D
s2
= 139, 646 N ≈ 140 N.
= 55 kg ⋅ 9,81
Vastaus: Laatikkoa on vedettävä 140 N:n voimalla.
3.5 a)
Kuvassa on esitetty kappaleisiin vaikuttavat voimat, painot GB , GC , narujen
jännitysvoimat TB ja TC , sekä tukivoima FA . Lisäksi on valittu positiivinen suunta.
Newtonin II liikelain ja pyörimisen peruslain mukaan saadaan yhtälöt
kappale C: GC − TC = mC a
kappale B: TB − GB = mB a
Kappaleilla on saman suuruinen kiihtyvyys a, sillä lanka on venymätön. Myös
jännitysvoimat ovat yhtä suuret TB = TC = T, sillä lanka on kevyt . Näin saadaan
mC g − T = mC a
T − mB g = mB a.
Ratkaistaan yllä olevista yhtälöistä kiihtyvyys a. Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen,
jolloin saadaan
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
mC g − mB g = mC a + mB a
a=
( mC − mB )
g.
( mC + mB )
Sijoitetaan tunnetut arvot yhtälöön.
a=
( 0,30 kg − 0,10 kg )
m
m
⋅ 9,81 2 = 4,905 2
s
s
( 0,30 kg + 0,10 kg )
a ≈ 4,9
m
.
s2
b) Voimat ovat
TC = mC g − mC a = 0,30 kg ⋅ (9,81
m
m
− 4,905 2 ) = 1,4715 N ≈ 1,5 N.
2
s
s
TB = mB g + mB a = 0,10 kg ⋅ (9,81
m
m
+ 4,905 2 ) = 1,4715 N ≈ 1,5 N.
s2
s
Vastaus:
a) Kiihtyvyys on 4,9
m
.
s2
b) Voimat ovat 1,5 N ja 1,5 N.
3.6 Lampun massa on m = 3,7 kg.
Kuviosta saadaan kulmien suuruudeksi
β = 90D − 63D = 27D
γ = 90D − 25D = 65D.
Lamppuun vaikuttavat voimat ovat paino G, ketjujen
tukivoimat T1 ja T2 .
Koska lamppu on levossa, dynamiikan peruslain mukaan on
∑ F = G + T1 + T2 = 0 .
Piirretään voimakolmio
α = 180D − 65D − 27D = 88D.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
4(8)
3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
5(8)
3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
Sinilauseella saadaan
T
G
= 1
sin α sin β
T1 =
G sin β
sin α
m
⋅ sin 27D
2
s
=
sin 88D
= 16, 4885 N ≈ 16 N.
3, 7 kg ⋅ 9,81
Vastaavasti saadaan
T
G
= 2
sin α sin γ
T2 =
G sin γ
sin α
m
⋅ sin 65D
2
s
=
sin 88D
= 32,9163 N ≈ 33 N.
3, 7 kg ⋅ 9,81
Vastaus: Voimien suuruudet ovat 16 N ja 33 N.
3.7 Auton massa on m1 = 1030 kg, vaunun massa m2 = 550 kg ja yhdistelmän kiihtyvyys
a = 0,98
m
.
s2
Kiihdyttävän kitkavoiman suuruus on Fk = 3, 6 kN ja liikevastusvoiman suuruus on
Fv1 = 0, 25 kN.
Tarkastellaan sekä autoon että vaunuun kohdistuvia voimia. Dynamiikan peruslain
mukaan
Auto
∑ F = Fk + Fv1 + N1 + G1 + T1 = m1 a
Vaunu
∑ F = T2 + Fv 2 + G2 + N 2 = m2 a
Koska tie on vaakasuora, N1 + G1 = 0 ja N 2 + G2 = 0
Newtonin III seuraa T1 = −T2 ja T1 = T2 = T .
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
Positiivinen suunta liikkeen suuntaan huomioiden
⎧ Fk − Fv1 − T = m1a
⎨
⎩T − Fv 2 = m2 a
Fv 2 = T − m2 a
Fv 2 = Fk − Fv1 − (m1 + m2 )a
= 3, 6 ⋅103 N − 0, 25 ⋅103 N − (1030 + 550)kg ⋅ 0,98
m
s2
= 1801, 6 N ≈ 1,8 kN.
Vetokoukkuun kohdistuva voima
T = m2 a + Fv 2
= 550 kg ⋅ 0,98
m
+ 1801, 6 N = 2340, 6 N ≈ 2,3 kN.
s2
Vastaus: Voimien suuruudet ovat 18 kN ja 2,3 kN.
3.8
Voimien F1 ja F2 suuruus on sama.
Piirretään vektorikolmio köyteen vaikuttavista voimista.
Kuviosta saadaan
F
sin α = 2
F1
F = 2 F1 sin α ,
missä F1 on köyden jännitysvoiman vastavoima.
Dynamiikan peruslain mukaan ΣF = ma .
F1 − Gx − Fμ = 0
F1 = Gx + Fμ .
Sijoitetaan F1, jolloin saadaan
F = 2(mg sin α + Fμ ) sin α .
m
⎛
⎞
= 2 ⋅ ⎜ 430kg ⋅ 9,81 2 ⋅ sin10D + 310 N ⎟ sin10D
s
⎝
⎠
= 362,0565 N ≈ 360 N.
Vastaus: Voiman on oltava suurempi kuin 360 N.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
6(8)
3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
7(8)
3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
3.9 a) Sohvaan vaikuttaa kitkavoima Fμ , paino G ,
tukivoima N ja vetävä voima F .
b) Dynamiikan peruslain mukaan ΣF = ma . Koska
tukivoima N ja paino G ovat yhtä suuria mutta
vastakkaissuuntaisia, saadaan skalaarimuodossa
F − Fμ = ma
a=
F − Fμ
m
.
Vetävän voiman F suuruus on 150 N. Kuviosta saadaan
välillä 0 – 4 s
F − Fμ = 150 N − 75 N = 75 N, joten
a=
75 N
m
= 0,50 2 .
150 kg
s
välillä 4 – 6 s
Vetävä voima pienenee nollaan, joten summavoima
muuttuu arvosta 150 N
arvoon –75 N.
Kiihtyvyys pienenee siis samalla arvosta 0,50
−0,50
m
arvoon
s2
m
.
s2
Kiihtyvyydelle saadaan seuraava kuvaaja.
c) Nopeus saadaan ta-kuviosta pinta-alan avulla. Koska alkunopeus oli v0 = 0 m/s, pintaalan avulla saadaan suoraan loppunopeus v.
v = 4 s ⋅ 0,5
= 2,5
m
m
+ 1 s ⋅ 0,5 2
s2
s
m
.
s
Vastaus: c) Sohvan nopeus on 2,5
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
m
.
s
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
8(8)
3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
3.10 Kappaleen massa on 1,4 kg ja laatikon ja pinnan välinen lepokitkakerroin on 0,39.
Tason kaltevuuskulma on 33°.
Kappale ei saa lähteä liikkumaan alaspäin eikä ylöspäin, joten tilanteet on tutkittava
erikseen.
Kappale pyrkii liikkumaan alas (kuva 1):
Kappale pyrkii liikkumaan ylös (kuva 2):
Kuva 1
Kuva 2
ALAS:
Koska kappale on paikallaan, on dynamiikan peruslain mukaan
x: F j + F μ + G x = 0 ja
y : N + Gy = 0
Jälkimmäisestä saadaan skalaariyhtälö
N = mg cos α , joten kitkavoima on
Fμ = μ N = μ mg cos α
= 0,39 ⋅ 1,4 kg ⋅ 9,81
m
⋅ cos 33D = 4, 4921 N ≈ 4,5 N.
2
s
x-suuntaisesta yhtälöstä saadaan skalaariyhtälö
Fj + Fμ − mg sin α = 0
Fj = mg sin α − Fμ
m
⋅ sin 33D − 4, 4921 N
s2
= 2,9880 N ≈ 3,0 N.
= 1, 4 kg ⋅ 9,81
YLÖS:
Fj − Fμ − mg sin α = 0
Fj = mg sin α + Fμ
m
⋅ sin 33D + 4, 4921 N
s2
= 11,9722 N ≈ 12 N.
= 1, 4 kg ⋅ 9,81
Vastaus: Jousivaa’an lukema vaihtelee välillä 3,0 N … 12 N.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät