RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine
Transcription
RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine
Physica 9 RATKAISUT 1. painos 1(6) 10. Lämpötila ja paine RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine 10.1 a) Suure, jolla kuvataan aineen termodynaamista tilaa. b) Termodynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteikon yksikkö. c) Alin mahdollinen lämpötila. d) Suure, joka ilmaisee pituuden muutoksen pituusyksikköä ja lämpötilayksikköä kohti. e) Suure, joka kuvaa voiman jakautumista pinnalle. f) Veden (tai muun nesteen) omasta painosta johtuva paine. 10.2 Silmän halkaisija on d = 8,5 mm , syvyys h = 14 m , veden tiheys ρ = 1000 kg ja m3 normaali-ilmanpaine p0 = 101300 Pa . Paineen määritelmän p = F perusteella voima on, F = pA , jossa paine on A ilmanpaineen ja hydrostaattisen paineen summa p = p0 + ρ gh ja silmän pinta-ala on A = π r2 . Silmään kohdistuva voima on siten F = ( p0 + ρ gh ) π r 2 kg m ⎛ ⎞ ⎛ 0, 0085 m ⎞ = ⎜101300 Pa + 1000 3 ⋅ 9,81 2 ⋅14 m ⎟ ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ 2 m s ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 13,5417 N ≈ 14 N. 2 Vastaus: Silmään kohdistuu 14 N:n voima.. 10.3 Elementin pituus on l0 = 5, 2 m , lämpötila talvella T1 = −35 °C , lämpötila kesällä T2 = 25 °C ja betonin pituuden lämpötilakerroin α = 12 ⋅10−6 1 . °C Lämpötilan muuttumisesta johtuva pituuden muutos on Δl = l0αΔT = 5, 2 m ⋅12 ⋅10−6 1 ⋅ ( 25 − ( −35 ) ) °C = 0, 003744 m ≈ 3, 7 mm . °C Vastaus: Elementti on kesällä 3,7 mm pidempi kuin talvella. 10.4 Veden paine maalämpöpumpun liittymän tasolla on p1 = 2,8 bar , tarkastelutason korkeus Δh = 3, 2 m ja venttiilin halkaisija d = 7, 0 ⋅10−3 m . Paineen määritelmän p = F perusteella voima on, F = pA . A Yläkerrassa veden paine p2 on hydrostaattisten paineiden eron Δph = ρ g Δh verran © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 2(6) 10. Lämpötila ja paine pienempi, joten paine yläkerrassa on p2 = p1 − Δph = p1 − ρ g Δh = 2,8 ⋅ 105 Pa − 1000 kg m ⋅ 9,81 2 ⋅ 3, 2 m = 248608 Pa m3 s Siten venttiiliin kohdistuu voima 2 2 ⎛ 7, 0 ⋅10−3 m ⎞ ⎛d ⎞ F = p2 A = p2π r = p2π ⎜ ⎟ = 248608 Pa ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ = 9,5676 N ≈ 9, 6 N . 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠ 2 Vastaus: Säätöventtiiliin kohdistuu 9,6 N:n voima. 10.5 Rautasylinterin sisähalkaisija on d Fe,0 = 80, 00 mm, α Fe = 11, 7 ⋅10−6 lämpötilakerroin raudalle α Fe = 11, 7 ⋅10−6 1 , pituuden °C 1 , alumiinisylinterin °C halkaisija d Al,0 = 79,80 mm , pituuden lämpötilakerroin alumiinille α Al = 23, 2 ⋅10−6 1 °C ja alkulämpötila t0 = 20 °C . Koska alumiini laajenee lämmetessään enemmän kuin rauta, alumiinisylinteri juuttuu kiinni rautasylinteriin siinä lämpötilassa, jossa mainitut halkaisijat ovat yhtä suuret. Rautasylinterin halkaisija on silloin d Fe = d Fe,0 + Δd Fe = d Fe,0 + d Fe,0α Fe Δt ja alumiinisylinterin halkaisija d Al = d Al,0 + Δd Al = d Al,0 + d Al,0α Al Δt Yhtäsuuruudesta seuraa yhtälö d Al,0 + d Al,0α Al Δt = d Fe,0 + d Fe,0α Fe Δt , josta ratkaistaan lämpötilan muutos d Al,0α Al Δt − d Fe,0α Fe Δt = d Fe,0 − d Al,0 (d α Al − d Fe,0α Fe ) Δt = d Fe,0 − d Al,0 Al,0 Δt = d Fe,0 − d Al,0 d Al,0α Al − d Fe,0α Fe Sijoittamalla tähän tunnetut arvot saadaan lämpötilan muutokseksi Δt = d Fe,0 − d Al,0 d Al,0α Al − d Fe,0α Fe 80, 00 mm − 79,80 mm , −6 1 −6 1 79,80 mm ⋅ 23, 2 ⋅10 − 80, 00 mm ⋅11, 7 ⋅10 °C °C = 218, 49 °C. = Joten sylinterit juuttuvat kiinni lämpötilassa t = t0 + Δt = 20 °C + 218,49 °C = 238, 49 °C ≈ 240 °C . Vastaus: Alumiinisylinteri juuttuu kiinni rautasylinteriin 240 ºC:een lämpötilassa. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 3(6) 10. Lämpötila ja paine 10.6 Metalliputken pituus alussa on l0 = 982 mm ja alkulämpötila t0 = 8, 2 °C . Pituuden muutos lämpötilan muuttuessa on Δl = α l0 Δt . Lämpölaajenemisen yhtälöstä nähdään, että yhtälöä vastaavan suoran fysikaalinen kulmakerroin k ilmaisee tulon α l0 arvon. Lasketaan mitatuista lämpötiloista lämpötilan muutokset ja esitetään graafisesti pituuden muutoksen riippuvuus lämpötilan muutoksesta: lämpötilan muutos Δt (°C) 10,0 19,8 30,8 42,3 49,1 pituuden muutos Δl (mm) 0,11 0,23 0,36 0,47 0,57 Kun kulmakertoimen määrittämiseen tarvittaviksi pisteiksi valitaan origo (0 ºC, 0 mm)ja suoralta piste (52ºC, 0,6 mm), kulmakertoimen arvoksi tulee k= Δ ( Δl ) Δ ( Δt ) = 0, 6 mm − 0 mm mm , = 0, 01154 52 °C − 0 °C °C joten pituuden lämpötilakerroin on k α= = l0 mm °C = 1,1750 ⋅10−5 1 ≈ 1, 2 ⋅10−5 1 . 982 mm °C °C 0, 01154 Vastaus: Tutkittavan aineen pituuden lämpötilakerroin on 1, 2 ⋅10−5 1 . °C 10.7 Ilmanpaine oli p0 = 980 hPa ja sukellussyvyys h = 32, 0 m . a) Kokonaispaine vedessä on p = p0 + ph = p0 + ρ gh . Siten alkuperäisellä syvyydellä paine on p1 = p0 + ρ gh1 . Paine sukeltajan elimistössä on p1 = 980 ⋅102 Pa + 1000 kg m ⋅ 9,81 2 ⋅ 32 m = 411920 Pa ≈ 0, 41 MPa . m3 s b) Sukeltaja nousee syvyyteen h2, jossa paine on p2 = p1 p0 + ρ gh1 = = p0 + ρ gh2 , 2 2 josta voidaan ratkaista kysytty syvyys h2. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 4(6) 10. Lämpötila ja paine p0 ρ gh1 + 2 2 p ρ gh1 ρ gh2 = 0 − p0 + 2 2 p0 h1 h2 = − + 2ρ g 2 98 000 Pa 32 m =− + kg m 2 2 ⋅1000 3 ⋅ 9,81 2 m s = 11, 0051 m ≈ 11 m. p0 + ρ gh2 = Vastaus: a) Paine sukeltajan elimistössä on 32 m:n syvyydessä 0,41 Mpa. b) Sukeltaja nousi odottamaan typen poistumista 11 m:n syvyyteen. 10.8 Ilmanpaine on p0 = 1013 hPa , ylipaine hydrauliikkanesteessä on pyli = 3, 25 MPa , nostimen sisähalkaisija on d = 15,5 cm ja akselin etäisyys nostimesta on a = 4, 20 m . Nostimella saadaan aikaan momentti M = Fa , jossa a on nostimen etäisyys lavan akselista. Nostimen lavaan kohdistama voima on F = pA , jossa paine p on hydrauliikkanesteessä vallitseva kokonaispaine p = p0 + p yli . Momentti on siten M = Fa = pAa = pπ r 2 a = ( p0 + pyli ) π r 2 a 2 ⎛ 0,155 m ⎞ = ( 0,1013 + 3, 25 ) ⋅106 Pa ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 4, 20 m 2 ⎝ ⎠ 5 = 265 593 Nm ≈ 2, 66 ⋅10 Nm. Vastaus: Nostimella aikaan saatava momentti on 2, 66 ⋅105 Nm 10.9 a) Tilavuuden lämpölaajenemisen yhtälö on V = V0 + γ V0 Δt , joten nesteen alkutilavuus V0 , on määritettävä aluksi. Tilavuus voidaan määrittää käyttämällä mittalasia, mutta sillä ei saada tilavuudelle kovin tarkkaa arvoa. Jos mittauksessa käytettävä pullo on mittapullo, voidaan tarkasti merkkiviivaan asti täytetyssä pullossa olevan nesteen määrä lukea pullosta. Mikäli nesteen tiheys ρ tunnetaan, tilavuus voidaan määrittää mittaamalla pullon massa tyhjänä ja täytettynä, jolloin pullossa olevan nesteen tilavuus on V = mtäysi − mtyhjä ρ . Pulloa lämmitetään hitaasti vesihauteessa, ja lämpötila mitataan vesihauteen vedestä. Tilavuuden muutos voidaan laskea pullon kaulassa nousevan nestepinnan korkeuden muutoksen avulla: © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät Physica 9 RATKAISUT 1. painos 2 5(6) 10. Lämpötila ja paine πd ⎛d ⎞ ΔV = AΔh = π r 2 Δh = π ⎜ ⎟ Δh = Δh . Pullon kaulan sisähalkaisija d voidaan mitata 4 ⎝2⎠ 2 työntömitalla. Myös nestepinnan korkeus eri lämpötiloissa voidaan mitata työntömitan avulla. b) Pullon tilavuus on V = 250, 6 ml ja pullon kaulan sisähalkaisija on d = 5,15 mm . Tilavuuden muutos lämpölaajenemisessa on ΔV = γ V0 Δt . Kun tähän sijoitetaan a)kohdassa mainittu tilavuuden muutoksen lauseke, saadaan yhtälö πd2 4 Δh = γ V0 Δt . Ratkaistaan yhtälö nestepatsaan korkeuden muutoksen suhteen, jolloin se tulee muotoon Δh = 4γ V0 4γ V0 Δt . Tämä on suoran yhtälö muotoa y = kx, jossa kulmakerroin on k = . 2 πd2 πd Lasketaan lämpötilan muutokset mittaustuloksista ja esitetään korkeuden muutos graafisesti lämpötilan muutoksen funktiona: Δt (ºC) 0 2,9 5,9 9,2 11,9 15,3 Δh (mm) 0 28,3 58,5 83,8 114,8 149,1 Kuvaajan fysikaalinen kulmakerroin on k = 4γ V0 . Sen arvo πd2 voidaan määrittää suoralla olevista pisteistä (0 ºC, 0 mm) ja (15 ºC, 145 mm): k= Δ ( Δh ) Δ ( Δt ) = 145 mm − 0 mm mm m = 9, 6667 = 9, 6667 ⋅10−3 . °C °C 15 °C − 0 °C Tilavuuden lämpötilakerroin on siten kπ d 2 = γ= 4V0 2 m ⋅ π ⋅ ( 5,15 m ⋅10-3 ) 1 1 °C . = 8, 0353 ⋅10−4 ≈ 8, 0 ⋅10−4 4 ⋅ 250, 6 ⋅10−6 m3 °C °C 9, 6667 ⋅10−3 Vastaus: Pakkasnesteen tilavuuden lämpötilakerroin on 8, 0 ⋅10−4 1 . °C 10.10 Tunnetussa ilmanpaineessa p1 = 987 mbar elohopeapatsaan korkeus on h1 = 728 mm ja ilmatilan korkeus on k1 = 46 mm . Kysytään ilmanpainetta p2, kun elohopeapatsaan korkeus on h2 = 750 mm ja ilmatilan korkeus on k2 = 35 mm . Elohopean tiheys on ρ = 13,54 ⋅103 © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät kg . m3 Physica 9 RATKAISUT 1. painos 6(6) 10. Lämpötila ja paine Koska putken yläpäässä on ilmaa, paine on putken suljetussa haarassa vapaan pinnan tasalla elohopeapatsaan hydrostaattisen paineen ja putkeen jääneen ilman paineen summa. Ensimmäisessä tilanteessa on p1 = pi1 + ρ gh1 ja jälkimmäisessä p2 = pi 2 + ρ gh2 . Lämpötila on vakio ja putken päässä olevan ilman määrä ei muutu, joten sen paine noudattaa Boylen lakia pi1V1 = pi 2V2 ⇒ pi1 Ak1 = pi 2 Ak2 . Jälkimmäisessä tilanteessa putkeen jääneen ilman paine on pi 2 = k1 pi1 . k2 Koska ensimmäisessä tilanteessa pi1 = p1 − ρ gh1 , vallitseva ilmanpaine jälkimmäisessä tapauksessa on siten p2 = pi 2 + ρ gh2 = = k1 pi1 + ρ gh2 k2 k1 ( p1 − ρ gh1 ) + ρ gh2 k2 46 mm ⎛ kg m kg m ⎞ ⋅ ⎜ 98 700 Pa − 13540 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ 0, 728 m ⎟ + 13540 3 ⋅ 9,81 2 ⋅ 0, 750 m 35 mm ⎝ m s m s ⎠ = 102 251 Pa ≈ 1020 hPa. = Vastaus: Vallitseva ilmanpaine on 1020 hPa. © Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007 © Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät