Matematiikan koe ja ratkaisut 2015 - Diplomi-insinööri

Transcription

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2015
Insinöörivalinnan matematiikan koe, 26.5.2015 klo 14-17
Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen
puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se,
sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä
ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut.
Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja A-FI
A3 Ratkaise yhtälöt:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 3) − 1 = 2 ln x.
Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = loge x on luonnollinen
logaritmi.
A4 Joen kalakannasta 69 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee
7100 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi.
A1 (a) Derivoi
f (x) =
Z
√
x2 + 3.
(b) Laske
(x + 5)(x2 + 7) dx.
(c) Ratkaise
|15 − 7x| ≤ 3.
A2 Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista
riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 68 %.
(a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä?
(a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 2100 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on
kesällä vuosina 1, 2 ja 3?
(b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota
kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n → ∞?
A5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella
eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden
suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut.
A6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on
suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos
pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, −6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde.
(a) Määritä tikun yläpään koordinaatit.
(b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä
peräkkäin?
(b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus?
c 2015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2015
Ingenjörantagningens prov i matematik, 26.5.2015 kl 14-17
Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera
koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid
behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om
icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje
fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i
bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna
svaret.
Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling.
Serie A-SV
A3 Lös ekvationerna:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 3) − 1 = 2 ln x.
Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och
närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = loge x den naturliga logaritmen.
A4 I en å dör 69 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 7100 nya
fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern.
A1 (a) Derivera
f (x) =
Z
(b) Beräkna
(c) Lös
√
x2 + 3.
(x + 5)(x2 + 7) dx.
|15 − 7x| ≤ 3.
A2 Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor
och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett
tecken är en etta med sannolikhet p = 68 %.
(a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor?
(a) På sommaren år 0 fanns det 2100 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns
det i ån på sommaren åren 1, 2 ja 3?
(b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren
år n. Vad närmar den, då n → ∞?
A5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika
sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de
tresiffriga talen.
A6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4),
finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar
ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, −6, 17)
finns en punktformad ljuskälla.
(a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan.
(b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva
ettor?
(b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta.
c 2015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice
Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus
Tehtävä 1
A
(a) f (x) =
√
x2 + a = (x2 + a)1/2 .
2x
x
f 0 (x) = √
=√
.
2
2
2 x +a
x +a
R
B
√
a)(x2
C
D
√
f (x) = x2 + 6
x
f 0 (x) = f (x)
Z
f (x) = x2 + 3
x
f 0 (x) = f (x)
f (x) = x2 + 4
x
f 0 (x) = f (x)
√
f (x) = x2 + 5
x
f 0 (x) = f (x)
Z
Z
Z
2
√
2
2
(x + 7)(x2 + 3) dx =
(b) (x +
+ b)dx
Z
a
b
1
=
x3 + ax2 + bx + ab dx = x4 + x3 + x + abx + C
4
3
2
x4
4
(c)
|15 − 7x| ≤ 3
|16 − 5x| ≤ 3
|17 − 9x| ≤ 3
|13 − 7x| ≤ 3
12
7
13
5
14
9
10
7
|a − bx| ≤ c
(1)
⇔
−c ≤ a − bx ≤ c
(2)
⇔
−c − a ≤ −bx ≤ c − a
a+c
a−c
≤x≤
b
b
(3)
⇔
b>0
(4)
Tässä (2) ⇔ −c ≤ a − bx ∧ a − bx ≤ c ⇔ bx − a ≤ c ∧ a − bx ≤ c.
(c)
|a − bx| ≤ c
⇔
2
(5)
2
(a − bx) ≤ c
(6)
b2 x2 − 2abx + a2 − c2 ≤ 0
√
√
2ab − 4b2 c2
2ab + 4b2 c2
≤x≤
2b2
2b2
a+c
a−c
≤x≤
b
b
(7)
(c>0)
⇔
⇔
(∗)
⇔
* b > 0, joten merkkikaavio +| − |+.
(8)
(9)
(x + 5)(x + 7) dx =
+
5x3
3
+
≤x≤
7x4
2
18
7
+ 35x
(x + 4)(x + 7) dx =
x4
4
+
4x3
3
+
≤x≤
7x4
2
19
5
+ 28x
(x + 2)(x + 9) dx =
x4
4
+
2x3
3
+
≤x≤
9x4
2
20
9
+ 18x
x4
4
+
7x3
3
+
≤x≤
3x4
2
16
7
+ 21x
Tehtävä 2
(a) Jonossa on kaksi nollaa ja neljä ykköstä, eli
6 4
P =
p (1 − p)2
4
A
B
C
D
p = 68
P = 0, 3284 · · · ≈
33%
p = 76
P = 0, 2882 · · · ≈
29%
p = 79
P = 0, 2576 · · · ≈
26%
p = 82
P = 0, 2197 · · · ≈
22%
P = 0, 3506 · · · ≈
35%
P = 0, 4937 · · · ≈
49%
P = 0, 5530 · · · ≈
55%
P = 0, 6148 · · · ≈
61%
(b) Suotuisat, keskenään poissulkevat tapaukset ovat muotoa
1111xx,
01111x,
x01111,
jossa x on mielivaltainen merkki. Eli
4
4
P = p + 2p (1 − p) = (3 − 2p)p
4
Perustapaukset:
1111xx
111100
111101, 111110
111111
x01111
001111
101111
01111x
011110
011111
P
3 p4 (1 − p)2
4 p5 (1 − p)
p6
3
Tehtävä 3
A
(a)
sin y =
−1
√
,
2
y∈R
(10)
B
C
D
x = { 74 π−1, 54 π−1}
x = { 74 π−1, 54 π−1}
x = { 74 π−1, 45 π−1}
x = { 74 π−1, 54 π−1}
=
=
=
=
{4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . }
y = − 14 π + 2n1 π ∨ y = π − (− 41 π) + 2n2 π, ∀ni ∈ Z (11)
x = y − 1 ∈ [0, 2π]
x=
7
4π
−1
(n1 = 1)
∨
x=
5
4π
(12)
−1
(n2 = 0)
(13)
(b)
ln(x + a) − 1 = 2 ln x
⇒
ln(x + a) = ln(e) + ln x
⇔
ln(x + a) = ln ex2
∗
2
⇒
x + a = ex
⇔
ex2 − x − a = 0
√
1 ± 1 + 4ae
x=
2e
∗
⇔
(14)
2
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
Kun x, x + a > 0 ⇔ x > 0, myös *-kohdissa on ekvivalenssi.
Ratkaisu on siis
√
1 + 1 + 4ea
x=
(20)
2e
x= √
1 + 1 + 4 · 3e
=
2e
√
1 + 1 + 12 e
=
2e
= 1, 25046
4
x= √
1 + 1 + 4 · 5e
=
2e
√
1 + 1 + 20 e
=
2e
= 1, 41087
x= √
1 + 1 + 4 · 4e
=
2e
√
1 + 1 + 16 e
=
2e
= 1, 55260
x= √
1 + 1 + 4 · 6e
=
2e
√
1 + 1 + 24 e
=
2e
= 1, 68097
Tehtävä 4
(a) Ongelmaa voidaan mallintaa 1. kertaluvun lineaarisella differenssiyhtälöllä
xn+1 = d + r xn ,
A
B
C
D
69
r = 1 − 100
d = 7100
71
r = 1 − 100
d = 6100
73
r = 1 − 100
d = 5200
76
r = 1 − 100
d = 4300
x0
x1
x2
x3
x0
x1
x2
x3
x0
x1
x2
x3
x0
x1
x2
x3
jossa r on talvehtivien kalojen osuus. Merkitään aloitusvuoden 0
kalojen määrää x0 . Saadaan
x1 = d + rx0
x2 = d + rx1 = d + dr + r2 x0
x3 = d + rx2 = d + dr + dr2 + r3 x0
(b) Selvästi limn→∞ rn = 0, koska |r| < 1, joten tarkastelemalla xn
lauseketta:
xn
x∞
d + dr + dr2 + · · · + drn−1 + x0 rn
1 − rn
= d
+ r n x0
1−r
:= lim xn
n→∞
1 − rn
+ r n x0
= lim d
n→∞
1−r
d
=
1−r
=
⇒
x∞ = d + r x∞
⇔
x∞ =
= 2200, 0
= 6738, 0
= 8054, 0
= 8435, 7
= 2300, 0
= 5821, 0
= 6771, 7
= 7028, 4
= 2400, 0
= 4876, 0
= 5470, 2
= 5612, 9
x∞ ≈ 10289, 8
x∞ ≈ 8591, 5
x∞ ≈ 7123, 3
x∞ ≈ 5657, 9
x∞ ≈ 10289, 8
x∞ ≈ 8591, 5
x∞ ≈ 7123, 3
x∞ ≈ 5657, 9
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(b) Oletetaan, että on olemassa tasapainotila x∞ = limx→∞ xn .
Tällöin
xn = d + r xn−1
= 2100, 0
= 7751, 0
= 9502, 8
= 10045, 9
d
.
1−r
5
Tehtävä 5
Merkitään lukuja a ja b, jossa oletetaan a ≥ b. Tällöin
(
(1000 a + b) = 6 (1000 b + a)
a + b = 999
(26)
josta b = 999 − a,
1000a + (999 − a) = 6(1000(999 − a) + a)
999a + 999 = 6(1000 · 999 − 999a)
a + 1 = 6(1000 − a)
7a = 5999
a = 857
(27)
(28)
(29)
(30)
⇒ b = 142.
(31)
6
Tehtävä 6
Viitaten oheisiin kuviin, merkitään a = |OA|, b = |OB| = |OP |, c = |OC|,
u = CQ/|CQ|, v = OC/|OC| = OP /|OP |. Edelleen olkoon α = ∠BOC ja
β = ∠AOB. Kummassakin tapauksessa varjon pituus on kaaren P B pituus α b
ja saamme kulmille γ = ∠AOC ja komplementille γ 0 = π2 − γ
u · v = 1 · cos(γ 0 ) = sin(γ).
cos β =
c
cos γ,
b
α = γ − β.
(32)
Jos
a<b
⇔
cos β < 1.
(33)
tilanne on (i) ja a = c cos γ = b cos β. Jos a ≥ b, olemme tilanteessa (ii), α saaVaihtoehto Käyttäen aikaisempia merkintöjä ja laskuja: Piste B sijaitsee paldaan lausekeesta cos α = b/c.
lon pinnalla, joten OB = OC − k CQ jollekin k.
|OP |2 = |OB|2 = |OC − k CQ|2
Konkreettisesti: OP = (3; 0; 4), OQ = (18; −6; 17), b = r = 5, c = 5 + r =
10, OC = cb OP = 2OP = (6; 0; 8), CQ = OQ − OC = (12; −6; 9), |CQ|2 =
261, |CQ| ≈ 16, 155, CQ · OC = 288,
sin γ = u · v =
CQ · OC
≈ 0, 89134,
|CQ| |OC|
2
2
b = |OC| − 2k OC · CQ + k |CQ|
2
75 − 288k + 261k = 0
k = 0, 42117
γ ≈ 1, 100.
∨ k = 0, 68227.
(34)
2
(35)
(36)
(37)
Lähempi piste, pienempi k, on varjon pää.
Nyt (33) antaa
cos β = (c/b) cos γ ≈ 0, 90668 < 1
cos α =
eli tapaus (i); β ≈ 0, 43545, α = γ − β ≈ 0, 66485 ja varjon pituus αb ≈ 3, 3243.
=
Vastaus
2
a) P = (6; 0; 8), b) varjon pituus 3, 3243.
=
eli α = 0.66484 josta kuten yllä.
7
OB · OP
|OB| |OP |
OC · OP − k CQ · OP
b2
144 − 72k
= 0, 787017
25
(38)
(39)
(40)
Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- arvosteluperusteet
Arvostelu
(b) Kaksi logartimilauseketta yhtäsuuria muotoa (16) 1p, ratkaisuyrite
(19) sieventämättäkin 2p. Oikea ratkaisu (20), jossa toinen juuri perustellusti hylätty, 3p.
Ohessa julkaistavat arvosteluperiaatteet viittaavat malliratkaisuun ja kattavat
tyypillisimmät tapaukset.
4) 2p+4p.
1) 2p+2p+2p.
(a) Mikäli tulosten x1 , x2 , x3 joukossa on yksi pieni virhe: 1p. Laskunaikainen tai lopputuloksen pyöristys kokonaisluvuksi hyväksytään.
Kussakin kohdassa yksinkertainen laskuvirhe kohdasta max 1p, periaatevirhe kohdasta max 0p.
(b) Vastauksessa keskeistä on perustelut: relaatio kasvumalliin ja tuloksen
riippumattomuus alkuarvosta x0 . Pelkkä vastaus on arvoton.
(a) Sisäfunktion derivaatan puuttuminen tai väärä eksponentti on periaatevirhe, vakiokertoimen ( 12 ) puuttuminen ei ole periaatevirhe.
Ensimmäisessä vaihtoehdossa yleisen xn lauseketta vastaavan geometrisen
sarjan (21) ja summan (22) muodostamisesta hyvitetään kummastakin 1p.
Huomiosta rn → 0 1p.
(b) Polynomin kahden tai usemman termin väärä integrointi on periaatevirhe. Integrointivakiota C ei vaadita.
Raja-arvon etsiminen iteroimalla kalakantaa tietyllä kiinnitetyllä x0 ja toteamalla sen näyttävän konvergoivan ei anna pisteitä.
(c) Loogisten konjuktioiden (tai/ja/∧/∨) epäjohdonmukainen käyttö antaa osiosta korkeintaan 1p jos vastauksessa on annettu vastaus oikein (huomaa x ≤ 1∨x ≥ −1 ⇔ x ∈ R). Pelkkä vastaus ilman perusteluja tai laskuja
on 0p.
5) Kahden muuttujan yhtälön (26) muodostaminen 3p: ylempi yksin 2p,
alempi yksin 0p. Mikäli muuttujana käytetään yksittästä merkkiä ai ∈
{0, 1, . . . , 9}, a = 100a1 + 10a2 + a3 , vastaava yhtälöryhmä antaa 2p.
Jos tehtävä jaetaan tapauksiin itseisarvon argumentin merkin mukaan, tulee nämä alueet olla eksplisiittisesti kytketty epäyhtälön ratkaisuun, muutoin 0p. Sieventämätön muoto a ≤ x ≤ b ∧ b < x ≤ c on hyväksyttävä.
Pelkkä vastaus 0p, jos explisiittisesti tarkastettu 1p.
Ratkaisun haarukointi tai numerinen kokeilu 3p. Likiarvoyhtälöön a ≈ 6b∧
a+b = 999 perustuvat ratkaisut korkeintaan 3p. Yleisesti ratkaisussa, jossa
ratkaisun yksikäsitteisyyttä (funktio a 7→ b on monotoninen) ei perusteella,
annetaan korkeintaan 3p.
Ratkaistaessa tehtävää neliöönkorottamalla, muodosta (9) ilman perustelua kuten merkkikaavio 1p. Muodosta (7) ei hyvitystä.
2) 2p+4p.
Yhtälöpari x + y = 999 ∧ x = 6y on väärä ja mikäli esiintyy voidaan
numerisesta ratkaisun löytämisestä antaa korkeintaan 2p.
(a) Periaatevirhe – kuten binomikertoimen puuttuminen (tai muuten oleellisesti väärä kerroin), perustapauksen todennäköisyys väärä, lueteltuja
riipputtomia perustapauksia puuttuu enemmän kuin yksi – osiosta 0p.
Symbolisessa notaatio (a1 a2 a3 b1 b2 b3 ) = 6(b1 b2 b3 a1 a2 a3 ) ei sellaisenaan anna pisteitä.
Pieni laskuvirhe osiosta 1.
6) 2p+4p
(b) Kaikkien riippumattomien tapausten identifointi 1p, vertaa vastauksen
taulukko. Jos riipputtomia perustapauksia puuttuu yksi osiosta max 3p,
jos kaksi osiosta max 2p, enemmän 0p.
a) Osakohdassa edellytetään välivaiheiden tai perustelujen olemassaoloa.
b) QP suuntaisen suoran lausekkeen muodostaminen +1p. Pallon ja suoran
leikkauspiste B +1p tai vaihtoehtotavassa yhtälöstä (34). Kolmion OCB
identifoiminen ja ehdon määräminen α:lle (32) tai (38) +1p. Kaarenpituus
perusteluineen +1p.
3) 3p+3p.
(a) Muoto (11) on 2p, vain toinen haara tai ilman monikertoja 1p.
8

Matematiikan koe ja ratkaisut 2015 - Diplomi-insinööri

Transcription

Similar documents

Seuraavia tehtäviä nro 1 - MyCourses - Aalto

Valintakoekysymykset ja mallivastaukset, pdf

MS-C1420 Fourier-analyysi (Aalto-yliopisto) Turunen / Mustonen

1 Taidot 2 Liike 3 S ¨ailymislait

Kolmivaihejärjestelmä

Harjoitus2 - Noppa - Lappeenrannan teknillinen yliopisto

MAA9.1 Koe ja vastaukset välivaiheineen (PDF

maa 9 - WordPress.com

MAA9.2 koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF)

F - Koppa

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

Ehdotus vuonna 2016 voimaan astuvaksi pitkän matematiikan

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta - MyCourses - Aalto

4. Ominaisarvot ja -vektorit - MyCourses - Aalto