LUKU 4: Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely

Värähtelymekaniikka
4.1
4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄRÄHTELY
4.1 Johdanto
Mekaanisen systeemin ulkoisista kuormituksista aiheutuvaa värähtelyä sanotaan
pakkovärähtelyksi. Jos systeemissä on vaimennusta, on kyseessä vaimeneva pakkovärähtely, mutta muuten vaimenematon pakkovärähtely. Sitä osaa pakkovärähtelystä, joka häviää systeemistä lyhyen ajan kuluessa, sanotaan transientiksi. Transientin värähtelyn hävittyä jää jäljelle pysyvä värähtely.
Transienttia värähtelyä esiintyy iskukuormitusten, kappaleiden törmäysten ja liikkuvien kuormitusten yhteydessä. Syntyvä liike ei ole välttämättä jaksollista ja mahdolliset
rakennevauriot johtuvat yleensä jonkin rakenneosan staattisen lujuuden ylityksestä.
Pysyvä värähtely liittyy koneiden
jatkuvaan käyttöön ja säilyy huomattavasti transienttia värähtelyä
pitempiä aikoja. Syntyvät vauriot
ovat väsymis- ja kulumisvaurioita.
Värähtelyanalyysissa
sanotaan
värähtelyn aiheuttajaa herätteeksi
ja seurauksena olevaa systeemin
liiketilaa (asema, nopeus, kiihtyvyys) vasteeksi. Tarkastelut voidaan jakaa osiin herätteen tyypin
perusteella. Jos heräte on vailla
mitään säännöllisyyttä, on kyseessä satunnaisheräte ja syntyvää liikettä sanotaan satunnaisvärähtelyksi eli stokastiseksi värähtelyksi. Jos heräte tunnetaan
esimerkiksi ajan funktiona, se on
deterministinen. Deterministinen
heräte on jaksollinen, jos heräte
toistuu säännöllisin välein samanKuva 4.1 Herätefunktioita.
laisena. Erityisen tärkeä jaksollinen heräte on harmoninen heräte, jolloin kyseessä on sini- tai kosinimuotoinen herätevoiman vaihtelu. Kuvassa 4.1 on muutamia herätefunktioita, (a) on harmoninen heräte, kuvassa (b) on muita jaksollisia herätteitä ja kuvassa (c) jaksottomia herätteitä.
Tässä luvussa tarkastellaan yhden vapausasteen systeemin vastetta harmoniseen
herätteeseen. Harmoniselle herätteelle on tyypillistä, että syntyvä pakkovärähtely
tapahtuu samalla taajuudella kuin herätevoima vaihtelee. Tavallisia harmonisen heYhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.2
rätteen lähteitä ovat pyörivät ja edestakaisin liikkuvat koneenosat sekä itse koneen
tai sen alustan liike. Syntyvät värähtelyt ovat yleensä koneen toiminnan kannalta haitallisia ja ainakin resonanssitilanne tulee useimmissa tapauksissa välttää. Tähän
päästään värähtelyt huomioon ottavalla suunnittelulla sekä käyttämällä värähtelyn
vaimennusta ja absorbointia.
Tarkkaan ottaen vaimenematonta pakkovärähtelyä ei käytännössä esiinny, mutta jos
vaimennusvoimat ovat vähäisiä, kannattaa ne analyysin yksinkertaistamiseksi olettaa
nolliksi. Seuraavassa tarkastellaan aluksi vaimenematonta harmonista pakkovärähtelyä, jolloin perusominaisuudet tulevat esille mahdollisimman yksinkertaisissa puitteissa ja tarkastelut voidaan sitten yleistää vaimenevaan värähtelyyn.
4.2 Vaimenematon harmoninen pakkovärähtely
4.2.1 Värähtelevä massa
Kuvassa 4.2 on lineaarisen yhden vapausasteen harmonisen pakkovärähtelijän perusmalli, jonka muodostavat
jousi k , massa m ja siihen vai(a)
(b)
(c)
g
kuttava harmoninen pakkovoik
kΔ
k( x + Δ )
ma F( t ) = F0 sin Ω t . Pakkovoijousen lepopituus
man lausekkeessa F0 on sen
staattinen tasapaino
Δ
m
m
x
&x& x&
m
F(t)
mg
mg
Kuva 4.2 Pakkovärähtelyn perusmalli.
↑
F(t)
amplitudi ja Ω kulmataajuus.
Systeemin
liikettä
tutkitaan
staattisesta tasapainoasemasta
mitatun koordinaatin x avulla.
Kuvan 4.2 (c) perusteella saadaan liikeyhtälö
k ( x + Δ ) − mg − F( t ) = − m &x&
(4.1)
josta seuraa yhteyden k Δ = mg perusteella systeemin liikeyhtälöksi
m &x& + k x = F( t ) = F0 sin Ω t
(4.2)
Ottamalla huomioon systeemin ominaiskulmataajuuden määritelmä ω 2 = k / m menee liikeyhtälö (4.2) muotoon
&x& + ω 2 x =
F0
sin Ω t
m
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
(4.3)
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.3
Liikeyhtälön (4.3) yleinen ratkaisu on muotoa x = x h + x p , jossa xh on homogeenisen yhtälön &x& + ω 2 x = 0 yleinen ratkaisu ja x p täydellisen yhtälön (4.3) yksityisratkaisu. Kaavan (3.8) mukaan x h on
x h = A 1 sin ω t + A 2 cos ω t
(4.4)
jossa vakiot A 1 ja A 2 saadaan alkuehdoista. Yksityisratkaisu x p on x p = X sin Ω t ,
jossa X on vakio. Sijoittamalla yksityisratkaisu liikeyhtälöön (4.3) saadaan
− X Ω 2 sin Ω t + X ω 2 sin Ω t =
F0
sin Ω t
m
⇒
X=
F0 / m
ω2 − Ω 2
(4.5)
josta seuraa yksityisratkaisulle kaava
xp =
F0 / m
ω2 − Ω 2
sin Ω t
(Ω ≠ ω)
(4.6)
Liikeyhtälön (4.3) ratkaisu on siis
x( t ) = A 1 sin ω t + A 2 cos ω t +
F0 / m
ω2 − Ω 2
sin Ω t
(Ω ≠ ω)
(4.7)
Kaava (4.6) ei ole voimassa, jos Ω = ω , jolloin toisaalta yksityisratkaisuyrite
x p = X sin Ω t sisältyy jo homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun (4.3). Oikea yksityisratkaisu tapauksessa Ω = ω on
xp =
F0 ω
t sin ω t
2k
(Ω = ω)
(4.8)
kuten helposti voidaan todeta sijoittamalla ratkaisu (4.8) liikeyhtälöön (4.3). Ratkaisussa (4.7) osa x h = A 1 sin ω t + A 2 cos ω t edustaa ominaisvärähtelyä, joka käytännössä vaimennuksen takia häviää systeemistä lyhyen ajan kuluessa. Pysyvää pakkovärähtelyä edustaa osa x p , joka ei riipu systeemin alkuehdoista ja säilyy niin kauan, kun pakkovoima vaikuttaa. Kaavasta (4.6) näkyy, että pakkovärähtely tapahtuu
samalla taajuudella kuin pakkovoima vaihtelee. Pakkovärähtelyn amplitudi X on
X=
F0 / m
ω2 − Ω 2
(4.9)
Kun otetaan huomioon yhteys m = k / ω 2 ja merkitään d = F0 / k ja r = Ω / ω , saa kaava (4.9) muodon
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
M=
X
1
=
d 1− r 2
4.4
(4.10)
Suure d on pakkovoiman amplitudin aiheuttama jousen staattinen pituudenmuutos.
Suuretta r sanotaan taajuussuhteeksi ja suuretta M vahvistuskertoimeksi. M kertoo
kuinka suuri värähtelyn amplitudi X on verrattuna pakkovoiman amplitudin F0 aiheut5
c
5
tamaan staattiseen pituudenmuutokseen
4
d . Kuvassa 4.3 vahvistuskerroin M on esitetty
taajuussuhteen r funktiona. Kaavan
M 3
(4.9) mukaan amplitudi X > 0 , kun Ω < ω ,
2
jolloin pakkovoima ja värähtely ovat saa
massa vaiheessa. Vastaavasti amplitudi
1
X < 0 , kun Ω > ω . Koska on voimassa
M ( x)
b
X sin Ω t = − X sin(Ω t + π) , voidaan päätellä,
0
m( y )
että pakkovoima ja värähtely ovat tällöin
1
vastakkaisissa vaiheissa. Kuvan 4.3 käyrässä on kolme erityisen kiinnostavaa koh2
taa, joita on merkitty a, b ja c. Kohdassa a
on Ω hyvin pieni, ts. pakkovoima vaihtelee
3
hyvin hitaasti ja massan m amplitudi X on
4
lähellä staattista siirtymää d ( M ≈ 1). Kohc
dassa b on voimassa Ω >> ω , jolloin pak−5 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
kovoima vaihtelee niin nopeasti, että mas0
x, y r
3
salla m ei ole aikaa seurata sen vaihtelua
ja amplitudi X jää hyvin pieneksi ( M ≈ 0 ).
Kuva 4.3 Vahvistuskerroin.
Kiinnostavin ilmiö on kohdassa c, missä
amplitudi X lähestyy ääretöntä, kun
Ω → ω . Tätä tilannetta sanotaan resonanssiksi. Jos pakkovoiman taajuus on yhtä
suuri kuin ominaiskulmataajuus eli Ω = ω , on voimassa yksityisratkaisu (4.8), josta
nähdään, että x p → ∞ , kun t → ∞ .
Edellä esitetyn perusteella on selvää, että harmoninen pakkovoima aiheuttaa värähtelyongelmia, jos sen kulmataajuus on sama kuin systeemin ominaiskulmataajuus tai
lähellä sitä. Käytännössä värähtelyn amplitudi ei voi tulla äärettömäksi, vaan systeemi vaurioituu aikaisemmin liiallisen värähtelyn seurauksena. Suunnittelijan tehtävänä
on valita systeemin parametrit k ja m niin, että se toimii riittävällä etäisyydellä resonanssikohdastaan. Tätä kutsutaan systeemin virittämiseksi.
Pakkovärähtelyssä olevan massan kiinnitysalustaansa aiheuttamia voimavaikutuksia
ei yleensä pystytä kokonaan välttämään, mutta niitä voidaan huomattavasti pienentää oikealla joustavien kiinnityselementtien valinnalla. Jos alustaan siirtyvän voiman
maksimiarvo on pienempi kuin värähtelyn aiheuttaneen pakkovoiman amplitudi, sanotaan kiinnityselementtejä värähtelyn eristimiksi. Värähtelyn eristyksen tehtävänä
on estää värähtelevän kappaleen aiheuttamien voimien siirtymistä ympäristöön tai
estää värähtelevän ympäristön aiheuttamien voimien siirtymistä herkkiin laitteisiin.
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.5
Ongelma on siis molemmissa tapauksissa sama, siirtyvä voima on saatava mahdollisimman pieneksi. Konetekniikassa värähtelyn eristin on tavallisesti toteutettu teräksen ja kumin yhdistelmänä, jolloin jousto tapahtuu kumiosassa ja teräsosa mahdollistaa kiinnityksen koneeseen ja alustaan.
Kuvan 4.2 mallissa alustaan siirtyvän voiman maksimiarvo on FA = k X , jolle voidaan
kaavan (4.9) avulla kirjoittaa
5
5
FA = k
Kuva 4.4
4.5
4
3
T=
M ( x)
m( y )
ω −Ω
2
2
=
F0
1− r 2
(4.11)
Värähtelyn siirtyvyys T määritellään seuraavasti
3.5
T
F0 / m
2.5
FA
1
=
F0
1− r 2
(4.12)
2
1.5
1
0.5
0
0
0
0.5
1
0
1.5
r x, y
2
2.5
3
3
Kuva 4.4 Siirtyvyys.
Siirtyvyys kertoo, kuinka suuri osa pakkovoimasta siirtyy jousen kautta alustaan. Kuvassa 4.4 on siirtyvyys T esitetty taajuussuhteen funktiona. Kuvaajasta nähdään, että
T < 1 vain, kun r > 2 . Tällöin jousesta on
hyötyä, koska se pienentää alustaan siirtyvän voiman maksimiarvoa, joka ilman jousta
olisi F0 . Alueessa r < 2 on T > 1 ja alustaan siirtyvän voiman maksimiarvo on suurempi kuin F0 ja jousen käytöstä on vain hait-
taa. Edulliseen siirtyvyyteen päästään siis virittämällä systeemi niin, että se toimii kuvan 4.4 käyrällä ominaistaajuuttaan vastaavan kohdan oikealla puolella riittävän kaukana. Näin viritettyä systeemiä kutsutaan yliviritetyksi.
4.2.2 Tasapainottamaton roottori
Harmonisesti vaihteleva pakkovoima voi esiintyä pyörivien koneenosien yhteydessä.
Tarkastellaan kuvan 4.5 tapausta, jossa sähkömoottori on sijoitettu kaksitukiselle
palkille. Jos moottorin roottoria ei ole täydellisesti tasapainotettu, on sen massakeskiöllä G epäkeskeisyys e akselin keskipisteeseen O nähden. Tästä aiheutuu moottorin käydessä säteen suuntainen pyörivä hitausvoima m 0 e Ω 2 , missä Ω on akselin
kulmanopeus ja m0 roottorin massa. Tämä voima välittyy laakereiden kautta moottorin runkoon ja siitä kiinnitysten kautta palkkiin. Hitausvoima m 0 e Ω 2 voidaan jakaa
vaaka- ja pystykomponentteihinsa. Jos palkin vaakaliike on estetty, on kyseessä yh-
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
Ω
4.6
G
O
den vapausasteen värähtely pystysuunnassa. Tilannetta voidaan tarkastella kuvan 4.6 laskentamallin avulla, jossa m on värähtelevän massan suuruus ja k = 48 E I / L on palkin jousivakio keskellä sitä
vaikuttavan
pistevoiman
suhteen.
e
roottori
moottori
Kuvasta 4.6 saadaan systeemin liikeyhtälöksi pystysuunnassa
Kuva 4.5 Tasapainottamaton roottori.
↑
m &x& + k x = m 0 e Ω 2 sin Ω t
(4.13)
joka on samaa muotoa kuin yhtälö (4.2). On kuitenkin huomattava, että yhtälön (4.13)
oikealla puolella oleva pakkovoiman amplitudi riippuu kulmataajuudesta, mikä ilmeisesti vaikuttaa saatavan ratkaisun luonteeseen. Liikeyhtälön (4.11) yksityisratkaisu
m
m 0 eΩ 2 sin Ω t
Ω
G e
m0
m
Ω
Ωt
O
Δ
m0 e Ω 2
m0
mg
T
staattinen
tasapaino
x
k
m 0 eΩ 2 cos Ω t
k( x + Δ )
&x& x&
Kuva 4.6 Tasapainottamattoman roottorin laskentamalli.
saadaan ilmeisesti kaavasta (4.6) sijoittamalla amplitudin F0 paikalle lauseke
m 0 e Ω 2 , jolloin saadaan ratkaisu
xp =
m0 e Ω 2
m( ω2 − Ω 2 )
sin Ω t
(Ω ≠ ω)
(4.14)
Pakkovärähtelyn amplitudi on siis tässä tapauksessa
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
X=
4.7
m0 e Ω 2
(4.15)
m ( ω2 − Ω 2 )
Dimensiotonta suuretta M = m X /(m 0 e) sanotaan systeemin vahvistuskertoimeksi.
Sen lauseke on selvästi
M=
mX
r2
=
m0 e 1 − r 2
(4.16)
Kuvassa 4.7 on vahvistuskerroin M esitetty taajuussuhteen r funktiona. Pienillä pyörimisnopeuden Ω arvoilla M ≈ 0 eli roottorin epätasapainon vaikutus on merkityksetön. Kun pyörimisen kulmataajuus Ω → ω , amplitudi X → ∞ , mikä edustaa resonanssitilannetta. Suurilla kulmataajuuksilla Ω >> ω on M ≈ −1 ja amplitudi
X → − (m 0 / m) e . Tällä alueella on värähtelyn amplitudia siis mahdollista pienentää
tekemällä koneen rungosta raskas esimerkiksi betonista tehtyjä painoja lisäämällä.
5
5
4
4.5
3
4
2
3.5
Tn
1
M
−5
3
M ( x)
M ( x)
m( y )
5
5
0
m( y )
2.5
1
2
2
1.5
3
1
4
0.5
5
0
0
0.5
1
1.5
x, y
0
r
2
2.5
3
3
0
0
0
0.5
1
1.5
2
xr, y
2.5
3
3
Kuva 4.8 Siirtyvyys.
Kuva 4.7 Vahvistuskerroin.
Tarkastellaan sitten pakkovoiman siirtyvyyttä alustaan kuvan 4.6 mallissa. Alustaan
siirtyvän voiman maksimiarvoksi saadaan kaavan (4.15) perusteella
FA = k X = ω 2
m0 e Ω 2
(ω 2 − Ω 2 )
= Fn
r2
1− r 2
(4.17)
jossa Fn = m 0 e ω 2 on ominaiskulmataajuutta ω vastaava pakkovoiman amplitudi.
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.8
Siirtyvyys Tn = FA / Fn on siis tässä tapauksessa
FA
r2
Tn =
=
Fn
1− r 2
(4.18)
Kuvassa 4.8 on siirtyvyys Tn esitetty taajuussuhteen funktiona. Resonanssialueella
alustaan siirtyvä voima on hyvin suuri. Suurilla pyörimisnopeuden arvoilla Tn → 1 eli
alustaan siirtyvän voiman arvo lähestyy arvoa Fn , joka on ominaiskulmataajuutta ω
vastaava pakkovoiman amplitudi.
Alustaan siirtyvän maksimivoiman FA lauseke voidaan kirjoittaa myös muotoon
FA = k
m0 e Ω 2
m( ω − Ω )
2
2
m0 e Ω 2
=
1 − ( Ω / ω)
2
=
Fmax
1− r 2
(4.19)
jossa Fmax = m 0 e Ω 2 on kulmanopeutta Ω vastaavan pakkovoiman amplitudi. On
selvää, että FA / Fmax = T , jossa T on kuvassa 4.4 esitetty siirtyvyys. Kuva 4.4 ei
anna oikeaa yleiskuvaa siirtyvän voiman suuruudesta, koska Fmax kasvaa kulmanopeuden kasvaessa, eli suure, johon alustaan siirtyvää voimaa verrataan, ei ole vakio.
Kuvasta 4.4 syntyy helposti se väärä käsitys, että siirtyvä voima lähestyy nollaa kulmanopeuden Ω kasvaessa, mikä ei tietenkään pidä paikkaansa.
4.2.3 Värähtelevä alusta
(a)
u = b sin Ω t
B
(b)
g
k
jousen lepopituus
staattinen tasapaino
m
Δ
x
&&
u& u
k ( x + Δ − u)
m
x& &x&
mg
Kuva 4.9 Värähtelevän alustan laskentamalli.
m &x& + k x = k b sin Ω t
Tarkastellaan pakkovärähtelyä, joka aiheutuu kappaleen alustan liikkeestä. Tällaisen värähtelijän perusmalli on esitetty
kuvassa 4.9. Malli sisältää jousen, massan ja liikkuvan alustan B. Jousi on kiinnitetty alustaan B, joka värähtelee harmonisesti funktion u( t ) = b sin Ω t mukaisesti.
Liikettä kuvaa staattisesta tasapainoasemasta ( Δ , u = 0 ) mitattu koordinaatti x , joka ilmaisee massan absoluuttisen aseman. Systeemin liikeyhtälöksi
saadaan kuvasta 4.9 (b)
(4.20)
Yhtälö (4.20) on samaa muotoa kuin yhtälö (4.2), mutta amplitudin F0 paikalla on
termi k b . Pakkovärähtelyn lauseke on kaavan (4.6) perusteella
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
xp =
kb/m
ω −Ω
2
2
sin Ω t =
b
1 − ( Ω / ω) 2
sin Ω t
(Ω ≠ ω)
4.9
(4.21)
josta nähdään, että amplitudin X ja vahvistuskertoimen M = X / b lausekkeet ovat
X=
b
1− r
2
M=
1
(4.22)
1− r 2
Vahvistuskerroin on tässä tapauksessa sama kuin kaavan (4.10) vahvistuskerroin ja
on siis esitetty kuvassa 4.3.
Massan m liikettä voidaan tutkia myös alustan suhteen käyttämällä suhteellista
&& ja x = z + u saakoordinaattia z = x − u . Sijoittamalla liikeyhtälöön (4.20) &x& = &z& + u
daan suhteellisen koordinaatin z avulla lausuttu liikeyhtälö
m &z& + k z = m b Ω 2 sin Ω t
(4.23)
Yhtälö (4.23) on samaa muotoa kuin roottorin liikeyhtälö (4.13), termin m 0 e Ω 2 paikalla on termi m b Ω 2 . Pakkovärähtelyn suhteellinen amplitudi Z ja vahvistuskerroin
M = Z / b ovat siis
Z=
bΩ2
ω2 − Ω 2
M=
r2
(4.24)
1− r 2
Edellä oleva suhteellinen vahvistuskerroin on sama kuin roottoritapauksen kaavassa
(4.16) ja on siis esitetty kuvassa 4.7.
Värähtelevän alustan tapauksessa ollaan kiinnostuneita alustasta massaan m siirtyvän voiman maksimiarvosta FM , mikä on vapaakappalekuvan 4.9 (b) perusteella
FM = k ( X − b ) = k Z = k
b Ω2
ω2 − Ω 2
= kb
r2
1− r 2
(4.25)
jossa FK = k b on alustan maksimi siirtymää vastaava jousivoima. Nähdään, että siirtyvyys Tn = FM / FK on
Tn =
FM
r2
=
FK
1− r 2
(4.26)
joka on sama lauseke kuin kaavassa (4.16) ja kuvassa 4.8 esitetty siirtyvyys. Koska
ω 2 = k / m , nähdään kaavasta (4.25), että jousivakion k pienentäminen pienentää
yliviritetyn systeemin siirtyvyyttä.
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.10
4.3 Viskoosisti vaimeneva harmoninen pakkovärähtely
4.3.1 Värähtelevä massa
Kuvassa 4.10 on viskoosisti vaimennetun yhden vapausasteen harmonisen pakkovärähtelijän perusmalli. Siihen kuuluu jousi k , massa m , vaimennin c ja massaan vaikuttava pakkovoima F( t ) = F0 sin Ω t . Kuvasta 4.10 (c) saadaan liikeyhtälö
(a)
(b)
g
k
(c)
kΔ
c
k( x + Δ )
jousen lepopituus
staattinen tasapaino
m
Δ
m
cx&
x
m
F(t)
mg
&x& x&
mg
F(t)
Kuva 4.10 Viskoosisti vaimennettu värähtelijä.
↑
k ( x + Δ ) − mg + c x& − F( t ) = − m &x&
(4.27)
Tästä seuraa edelleen
m &x& + c x& + k x = F(t ) = F0 sinΩ t
(4.28)
Ottamalla huomioon ominaiskulmataajuuden ω ja vaimennussuhteen ζ määritelmät
saadaan yhtälö (4.28) kirjoitettua standardimuotoon
&x& + 2 ζ ω x& + ω 2 x =
F0
sin Ω t
m
(4.29)
Yhtälön (4.29) yleinen ratkaisu on muotoa x = x h + x p , jossa x h on homogeenisen
yhtälön &x& + 2 ζ ω x& + ω 2 x = 0 yleinen ratkaisu ja x p täydellisen yhtälön (4.29) yksityisratkaisu. Ratkaisun osa x h on kaavan (3.43) mukaan alikriittiselle vaimennukselle
x h = C e − ζ ω t sin ( ω d t + ψ )
(4.30)
x h edustaa ominaisvärähtelyä, joka häviää vaimennuksen ansiosta nopeasti. Pakkovärähtelyä edustaa yksityisratkaisu x p , joten vain sen tarkastelu on tässä aiheellista.
Yksityisratkaisu voidaan tässä tapauksessa löytää yritefunktioilla
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
x p = A 1 sin Ω t + A 2 cos Ω t
tai
4.11
x p = X sin( Ω t − φ )
(4.31)
jossa A1 ja A 2 sekä X ja φ ovat vakioita. Yritteistä jälkimmäinen on hieman kätevämpi, joten käytetään sitä. Vakiot X ja φ voidaan määrittää sijoittamalla yrite x p
liikeyhtälöön (4.29). Nopeudelle ja kiihtyvyydelle tulee derivoimalla lausekkeet
x& p = Ω X cos( Ω t − φ )
&x&p = − Ω 2 X sin( Ω t − φ )
(4.32)
joten sijoitus liikeyhtälöön (4.29) antaa aluksi
− ( Ω 2 − ω 2 ) X sin( Ω t − φ ) + 2 ζ ω Ω X cos( Ω t − φ ) =
F0
sin Ω t
m
(4.33)
Käyttämällä kaavassa (4.33) sinin ja kosinin vähennyslaskukaavoja saadaan
− ( Ω 2 − ω 2 ) X ( sin Ω t cos φ − cos Ω t sin φ ) +
+ 2 ζ ω Ω X ( cos Ω t cos φ + sin Ω t sin φ ) =
F0
sin Ω t
m
(4.34)
Merkitsemällä yhtälön (4.34) eri puolilla esiintyvien termien sin Ω t ja cos Ω t kertoimet puolittain samoiksi saadaan yhtälöpari
( ω 2 − Ω 2 ) X cos φ + 2 ζ ω Ω X sin φ =
F0
m
( ω 2 − Ω 2 ) X sin φ − 2 ζ ω Ω X cos φ = 0 (4.35)
josta saadaan ratkaistua yksityisratkaisussa x p olevat vakiot X ja φ . Tulos on (todistus sivuutetaan)
⎛
⎜ 2ζ Ω
ω
φ = arctan ⎜
⎜
Ω2
⎜ 1− 2
ω
⎝
F0 / k
X=
2
⎛
Ω ⎞
Ω
⎜ 1−
⎟ + ⎛⎜ 2 ζ ⎞⎟
2
⎜
ω⎠
ω ⎟⎠
⎝
⎝
2
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(4.36)
Vakiot X ja φ ovat pakkovärähtelyn x p = X sin ( Ω t − φ ) amplitudi ja vaihekulma. Kun
merkitään jälleen d = F0 / k ja r = Ω / ω , saadaan vahvistuskertoimelle M ja vaihekulmalle φ kaavat
M=
X
=
d
(1 − r )
1
2 2
+ ( 2ζ r)
2
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
⎛ 2ζr ⎞
φ = arctan ⎜
⎟
⎝ 1− r 2 ⎠
(4.37)
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.12
Liikeyhtälön (4.29) ratkaisu on edellä olevan perusteella alikriittiselle vaimennukselle
x ( t ) = C e − ζ ω t sin ( ω d t + ψ ) + X sin( Ω t − φ )
(4.38)
jossa vakiot X ja φ saadaan kaavasta (4.36). Vakiot C ja ψ määräytyvät pakkovärähtelijän alkuehdoista (alkuasema ja -nopeus), mutta eivät ole kaavan (3.44) mukaiset, sillä yksityisratkaisu x p vaikuttaa myös niiden arvoihin.
Kuvassa 4.11 on kaavan (4.37) vahvistuskertoimen M ja vaihekulman φ kuvaajia
taajuussuhteen r funktiona muutamilla vaimennussuhteen ζ arvoilla. Vahvistuskertoimen M käyrästöstä nähdään, että kaikki käyrät ovat nollavaimennusta vastaavan
käyrän alapuolella. Vaimennus pienentää pakkovärähtelyn amplitudia ja erityisesti
resonanssin läheisyydessä pieneneminen on voimakasta. Nähdään, että käyrien
maksimit eivät ole kohdassa Ω = ω , eivätkä kohdassa Ω = ω d = ω 1 − ζ 2 , vaan
hieman tämän vasemmalla puolella kohdassa Ω = ωr = ω 1 − 2ζ 2 , kuten kaavasta
(4.37) voidaan todeta etsimällä vahvistuskertoimen M derivaatan nollakohta. Arvoa
ωr sanotaan resonanssikulmataajuudeksi. Vaimenevalla värähtelyllä ovat ominaiskulmataajuus ω , vaimennettu ominaiskulmataajuus ωd ja resonanssikulmataajuus
ωr erisuuria. Jos vaimennussuhde ζ on pieni, ovat ne kuitenkin hyvin lähellä toisiaan
ja rajatapauksessa ζ = 0 ne ovat samat. Maksimiamplitudiksi kohdassa Ω = ωr tulee
X max =
F0 / k
(4.39)
2 ζ 1− ζ 2
joka on lähes sama kuin ominaiskulmataajuutta ω vastaava amplitudi, joka on
Xω =
F0 / k
2ζ
(4.40)
Usein ominaiskulmataajuutta ω sanotaan resonanssikulmataajuudeksi, koska ero on
käytännössä pieni. Vaihekulman φ käyrästöstä nähdään, että vaimenemattomassa
tapauksessa ζ = 0 vaihekulma φ = 0 o resonanssin alapuolella ja φ = 180o resonanssin yläpuolella, jolloin voima ja siirtymä ovat vastaavasti samassa tai vastakkaisessa
vaiheessa. Kun Ω = ω , on φ = 90o riippumatta vaimennussuhteen ζ arvosta.
Tarkastellaan voimaa, joka kuvan 4.10 laskentamallissa siirtyy värähtelyn aikana
alustaan pakkovoiman vaikutuksesta. Tämän voiman lauseke on kuvan 4.10 (c) ja
kaavojen (4.31) ja (4.32) perusteella
Fa ( t ) = k x p + c x& p = k X sin ( Ω t − φ ) + c Ω X cos ( Ω t − φ )
(4.41)
Voidaan helposti osoittaa, että voiman Fa ( t ) suurin arvo on
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
FA =
( k X) 2 + ( c Ω X) 2
= k X 1 + ( 2 ζ Ω / ω) 2
4.13
(4.42)
jossa amplitudi X saadaan kaavasta (4.36). Nähdään, että pakkovärähtelyn siirtyvyy-
Kuva 4.11 Vahvistuskerroin ja vaihekulma.
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.14
deksi T = FA / F0 tulee lauseke
T =
FA
=
F0
1+ ( 2 ζ r)
(1 − r )
2
2
2
+ ( 2 ζ r)
2
(4.43)
Siirtyvyys T on esitetty kuvassa 4.12 taajuussuhteen r funktiona muutamalla vaimennussuhteen ζ arvoilla. Kuvasta 4.12 nähdään, että T > 1 alueella r < 2 kaikilla
vaimennussuhteen ζ arvoilla, jolloin jousen käyttö suurentaa alustaan siirtyvää voimaa. Alueessa r > 2 on T < 1 , ja jousen käyttö pienentää alustaan siirtyvää voimaa.
Huomataan myös, että alueessa r > 2 vaimennuksen lisääminen suurentaa alustaan siirtyvää voimaa, sillä käyrät menevät kohdassa r = 2 ristiin.
Kuva 4.12 Vaimenevan pakkovärähtelyn siirtyvyys.
m
M
K
Kuva 4.13 Järjestely.
Kuvan 4.10 värähtelijän amplitudia X voidaan pienentää muuttamatta värähtelyn siirtyvyyttä T käyttämällä kuvan 4.13 mukaista järjestelyä. Siinä massa
m on kiinnitetty suureen lisämassaan M ja jousivakio
K valitaan siten, että k / m = K /( m + M ) . Tällöin ω
säilyy muuttumattomana ja myös T pysyy samana,
kun vaimennusta ζ ei muuteta. Amplitudi X sen sijaan pienenee, koska jousivakio on sen lausekkeessa
(4.36) nimittäjässä.
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.15
4.3.2 Tasapainottamaton roottori
Kuten kohdassa 4.2.2 tuli esille, aiheuttaa pyörivien koneenosien epätasapaino pakkovoimia. Tarkastellaan kuvassa 4.14 esitettyä laskentamallia, joka on muuten samanlainen kuin kuvan 4.6 malli, mutta sisältää lisäksi viskoosin vaimentimen. Massan
vaakasuuntainen liike on estetty, jolloin se voi värähdellä vain pystysuunnassa. Roottorin epätasapainosta aiheutuu säteittäinen pyörivä hitausvoima m 0 e Ω 2 , jonka pystykomponentti m 0 e Ω 2 sin Ω t aiheuttaa pystysuuntaisen pakkovärähtelyn. On selvää,
että liikeyhtälöksi tulee pystysuunnassa
m &x& + c x& + k x = m 0 e Ω 2 sin Ω t
(4.44)
m
G e
m0eΩ 2
m0 eΩ 2 sin Ω t
Ω
m0
m
Ω
Ω t m0
O
Δ
m0eΩ 2 cos Ω t
T
mg
staattinen
tasapaino
x
c
k
&x& x&
k( x + Δ )
cx&
Kuva 4.14 Vaimennettu roottorivärähtely.
Yhtälö (4.44) on samaa muotoa kuin yhtälö (4.26), mutta amplitudin F0 paikalla on
pakkovoiman taajuudesta riippuva termi m 0 e Ω 2 . Tästä seuraa kaavojen (4.36) mukaan pakkovärähtelyn x p = X sin( Ω t − φ ) amplitudille X ja vaihekulmalle φ kaavat
X=
m0e Ω / k
2
2
⎛
Ω ⎞
Ω
⎟ + ⎛⎜ 2 ζ ⎞⎟
⎜ 1−
2 ⎟
⎜
ω⎠
ω ⎠
⎝
⎝
2
2
⎛
⎜ 2ζ Ω
ω
φ = arctan ⎜⎜
Ω2
⎜ 1− 2
ω
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(4.45)
Kun merkitään jälleen r = Ω / ω , saadaan vahvistuskertoimelle M ja vaihekulmalle φ
seuraavat kaavat
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
M=
mX
=
m0e
r2
(1 − r )
2 2
+ ( 2ζ r)
2
4.16
⎛ 2ζr ⎞
φ = arctan ⎜
⎟
⎝ 1− r 2 ⎠
(4.46)
Kaavan (4.46) vahvistuskerroin M on esitetty kuvassa 4.15 taajuussuhteen r funktiona eri vaimennussuhteen ζ arvoilla. Vaihekulman φ lauseke on sama kuin kaavassa (4.37), joten se on esitetty kuvassa 4.11. Vahvistuskertoimen M käyrästöstä
nähdään, että käyrien maksimit eivät ole kohdassa Ω = ω , vaan hieman sen oikealla
puolella. Voidaan osoittaa, että resonanssikulmataajuus on ω r = ω / ⎛⎜ 1 − 2ζ 2 ⎞⎟ ja
⎝
⎠
maksimiamplitudille X max pätee kaava
X max =
m0 e
1
m 2ζ 1 − ζ 2
(4.47)
Ominaiskulmataajuutta ω vastaava amplitudi on
Xω =
m0 e 1
m 2ζ
(4.48)
joka eroaa pienellä vaimennuksella vähän arvosta X max . Samoin resonanssitaajuus
ωr eroaa pienellä vaimennuksella vähän ominaiskulmataajuudesta ω , jota siksi sanotaan myös resonanssitaajuudeksi. Amplitudi X on pienillä pyörimisnopeuksilla lä-
Kuva 4.15 Vahvistuskerroin.
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.17
hellä nollaa ja suurilla pyörimisnopeuksilla X → ( m 0 / m ) e vaimennussuhteesta riippumatta. Resonanssin läheisyydessä vaimennus pienentää tehokkaasti amplitudia.
Tutkitaan siirtyvyyttä kuvan (4.14) laskentamallin tapauksessa. Alustaan siirtyvän
voiman maksimiarvo FA on kaavan (4.42) mukainen ja siinä oleva amplitudi X saadaan kaavasta (4.45). Näistä seuraa
FA = k X 1 + (2 ζ Ω / ω ) = k
2
FA = m 0 e ω 2 (
Ω 2
)
ω
(Ω / ω) 2
m0 e
m
[1− (Ω / ω) ]
2 2
1 + ( 2 ζ Ω / ω)
[1− (Ω / ω) ]
2 2
+ (2 ζ Ω / ω)
2
+ ( 2 ζ Ω / ω)
2
= Fn r 2
1 + (2 ζ Ω / ω )
2
⇒
2
1+ ( 2 ζ r )
(1 − r )
2 2
2
+ ( 2ζ r)
2
(4.49)
jossa on merkitty Fn = m 0 e ω 2 , joka on ominaiskulmataajuutta ω vastaavan pakkovoiman amplitudi. Pakkovärähtelyn siirtyvyydeksi Tn = FA / Fn tulee
F
Tn = A = r 2
Fn
1+ ( 2 ζ r )
(1 − r )
2 2
2
+ ( 2ζ r)
2
(4.50)
Kaavan (4.50) siirtyvyys Tn on esitetty kuvassa 4.16 taajuussuhteen r funktiona
Kuva 4.16 Siirtyvyys.
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
muutamilla vaimennussuhteen ζ arvoilla. Kun ζ >
1
4
4.18
2 ≈ 0,3535 käyrillä ei ole ää-
riarvoja eli Tn kasvaa koko ajan, kun r → ∞ . Arvoilla 0 < ζ < 0,3535 käyrillä on sekä
minimi että maksimi ja kaikki minimit ovat pienempiä kuin 2 mutta suurempia kuin 1.
Rajatapauksessa ζ = 0 Tn → 1, kun r → ∞ . Käyristä nähdään myös, että suurilla
pyörimisnopeuksilla pienikin vaimennus on haitallista. Esimerkiksi arvolla ζ = 0,25
siirtyvä voima on kohdalla r = 4,5 suurempi kuin resonanssikohdassa siirtyvä voima.
Kuvasta 4.15 nähdään, että amplitudi X on suurilla pyörimisnopeuksilla pieni, jolloin
myös jousen kautta siirtyvä voima on pieni. Voima siirtyy suurilla pyörimisnopeuksilla
lähinnä vaimentimen kautta, koska nopeus on suuri, jolloin vaimennusvoima on suuri.
Alustaan siirtyvän maksimivoiman FA lauseke (4.49) voidaan kirjoittaa myös vaihtoehtoiseen muotoon
FA = m 0 e Ω
2
1 + ( 2 ζ Ω / ω)
[1 − (Ω / ω) ]
2 2
2
+ (2 ζ Ω / ω )
2
= Fmax
1+ ( 2ζ r)
(1 − r )
2 2
2
+ ( 2ζ r)
2
(4.51)
jossa Fmax = m 0 e Ω 2 on kulmanopeutta Ω vastaavan pakkovoiman amplitudi. On
selvää, että FA / Fmax = T , jossa T on kuvan 4.12 siirtyvyys. Kuva 4.12 ei anna oikeaa yleiskuvaa siirtyvän voiman suuruudesta, koska myös Fmax kasvaa kulmanopeuden Ω kasvaessa. Kuvasta 4.12 syntyy helposti väärä käsitys, että siirtyvä voima
lähestyy nollaa kulmanopeuden Ω kasvaessa, mikä ei tietenkään pidä paikkaansa.
4.3.3 Värähtelevä alusta
Tarkastellaan pakkovärähtelyä, joka aiheutuu alustan
u
=
b
sin
Ω
t
harmonisesta liikkeestä, kun
B
(b)
(a)
vaimennus on viskoosi.
g
Laskentamalli on esitetty
k
c
k ( x + Δ − u)
&u u
&&
kuvassa 4.17. Siinä on jousi
jousen lepopituus
c( x& − u& )
k , vaimennin c , massa m
Δ
sekä funktion u( t ) = b sin Ω t
staattinen tasapaino
x
m
mukaisesti liikkuva alusta.
m
Koordinaatti
u
ilmaisee
x& &x&
alustan absoluuttisen asemg
Kuva 4.17 Vaimennettu alustan värähtely.
man ja koordinaatti x massan absoluuttisen aseman.
Systeemin liikeyhtälöksi saadaan vapaakappalekuvan 4.17 (b) avulla
↑
k ( x + Δ − u ) − mg + c ( x& − u& ) = − m &x&
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
(4.52)
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.19
Ottamalla huomioon, että k Δ = mg ja u& = b Ω cos Ω t , saadaan liikeyhtälö muotoon
m &x& + c x& + k x = b ( k sin Ω t + c Ω cos Ω t )
(4.53)
Yhtälö (4.53) voidaan kirjoittaa trigonometrian kaavojen avulla muotoon
m &x& + c x& + k x = A sin( Ω t + α )
(4.54)
jolloin vakioiden A ja α lausekkeet ovat (todistus sivuutetaan)
A = b k 2 + ( c Ω )2
α = arctan(c Ω / k )
ja
(4.55)
Yhtälön (4.54) pakkovärähtelyä vastaava yksityisratkaisu on muotoa
x p = X sin( Ω t − β )
(4.56)
Vakiot X ja β voidaan laskea yhtälöparista, joka saadaan sijoittamalla yrite (4.56)
liikeyhtälöön (4.54). Tulos on (todistus sivuutetaan)
Ω⎞
⎛
b 1+ ⎜ 2 ζ ⎟
ω⎠
⎝
X=
⎛
Ω
⎜ 1−
⎜
ω2
⎝
2
2
2
⎞ ⎛
Ω
⎟ + ⎜ 2 ζ ⎞⎟
⎟ ⎝
ω⎠
⎠
2
⎡
⎤
Ω3
⎢
⎥
2ζ 3
ω
⎢
⎥
β = arctan
2⎥
⎢ Ω2
Ω⎞
⎛
⎢1 −
+ ⎜2ζ ⎟ ⎥
2
ω ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
ω
⎝
(4.57)
Kun merkitään jälleen r = Ω / ω , saadaan vahvistuskertoimelle M ja vaihekulmalle β
seuraavat kaavat
X
M= =
b
1+ ( 2 ζ r )
(1 − r )
2 2
2
+ ( 2ζ r)
2
⎡
⎤
2ζ r3
β = arctan⎢
2⎥
2
⎣⎢1 − r + ( 2 ζ r ) ⎦⎥
(4.58)
Kaavan (4.58) vahvistuskerroin M on sama lauseke kuin kaavassa (4.43) oleva siirtyvyys T , joten vahvistuskertoimen M arvot nähdään kuvasta 4.12. Vahvistuskerroin
M ilmaisee, kuinka moninkertainen amplitudi X on alustan amplitudiin b verrattuna.
Arvolla r = 2 on M = 1 vaimennussuhteen ζ arvosta riippumatta. Amplitudi X tulee
pieneksi, kun r on suuri eli jousivakio k on pieni. Kuvassa 4.18 on esitetty vaihekulman β arvoja taajuussuhteen r funktiona muutamilla vaimennussuhteen ζ arvolla.
Kuvan 4.17 systeemin käyttäytymistä voidaan tutkia myös suhteellisen koordinaatin
z = x − u avulla. z ilmaisee massan m aseman alustaan B nähden. Sijoittamalla liikeyhtälöön (4.53) x = z + b sin Ω t , x& = z& + b Ω cos Ω t ja &x& = &z& − b Ω 2 sin Ω t saadaan
m &z& + c z& + k z = m b Ω 2 sin Ω t
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
(4.59)
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.20
Kuva 4.18 Vaihekulma.
Yhtälö (4.59) on samaa muotoa kuin roottoriliikeyhtälö (4.44), kertoimen m0 e paikalla on tässä m b . Vahvistuskertoimelle M = Z / b pätee näin ollen
M=
Z
=
b
(1 − r )
r2
2 2
+ ( 2ζr )
(4.60)
2
ja sille voidaan käyttää kuvan 4.15 käyrästöä.
Tarkastellaan siirtyvyyttä kuvan 4.17 värähtelevän alustan tapauksessa. Nyt ollaan
kiinnostuneita alustasta B massaan m siirtyvän voiman Fm ( t) maksimiarvosta FA .
Vapaakappalekuvan 4.17 (b) sekä kaavojen (4.31), (4.32) ja (4.59) perusteella
Fm ( t ) = k ( x p − u ) + c ( x& p − u& ) = k z p + c z& p = k Z sin( Ω t − φ ) − c Ω Z cos( Ω t − φ ) (4.61)
Voidaan helposti todistaa, että voiman Fm (t) maksimiarvo on
FM =
( k Z ) 2 + (c Ω Z ) 2
= k Z 1 + ( 2 ζ Ω / ω)
2
(4.62)
jossa amplitudi Z saadaan kaavasta (4.60). Alustan maksimi siirtymää vastaava jousivoima on FK = k b . Siirtyvyydeksi TK = FM / FK saadaan näin ollen kaava
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
1+ ( 2 ζ r )
F
TK = M = r 2
FK
(1 − r )
2 2
4.21
2
+ ( 2ζ r)
(4.63)
2
joka on samaa muotoa kuin kaavan (4.50) siirtyvyys Tn , joten siirtyvyydelle TK voidaan käyttää kuvan (4.16) käyrästöä. Massaan kohdistuva voima saadaan pieneksi
käyttämällä löysää jousta ja mahdollisimman pientä vaimennusta.
4.4 Vaimennukseen kuluva energia
Mekaanisissa systeemeissä esiintyy aina vaimennusta, jonka johdosta systeemin
mekaanista energiaa muuttuu esimerkiksi lämpöenergiaksi tai ääniaaltojen energiaksi. Vapaassa värähtelyssä vaimennus ilmenee amplitudin
pienenemisenä. Pysyvässä pakkovärähtelyssä herätevoixp
man tekemä työ korvaa vaimennukseen kuluvan energian.
m
dx p
Tutkitaan aluksi kuvan 4.19 mukaista tilannetta, jossa harmoninen pakkovoima F( t ) = F0 sin Ω t vaikuttaa harmonista
värähtelyä x p = X sin( Ω t − φ ) suorittavaan massaan m .
F
Kuva 4.19 Pakkovoima.
Kulma φ on herätevoiman ja siirtymävasteen välinen vaiheero. Siirtymälisäyksen dx p aikana voima tekee työn
dW = F dx p = F0 sin Ω t ⋅ Ω X cos( Ω t − φ ) ⋅ dt
(4.64)
Yhden värähdysjakson aikana voima tekee työn
2π
W=
∫ F0 X sin Ω t cos( Ω t − φ ) d(Ω t )
(4.65)
0
Soveltamalla kosinin lausekkeessa (4.65) vähennyslaskukaavaa saadaan
2π
2π
W = F0 X cos φ ∫ sin Ω t cos Ω t d(Ω t ) + F0 X sin φ ∫ sin 2 Ω t d(Ω t )
0
(4.66)
0
Edellä ensimmäisen termin integraali on nolla ja toisen termin integraalin arvo on π ,
joten jakson aikana tehty työ on
W = π F0 X sin φ
(4.67)
Kaavasta (4.67) nähdään, että siirtymän kanssa samassa (φ = 0 o ) tai vastakkaisessa
vaiheessa (φ = 180 o ) olevan pakkovoiman jakson aikana tekemä työ on nolla. Voima
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.22
tekee maksimityön, kun vaihekulma φ = 90 o eli voima on samassa vaiheessa nopeuden kanssa.
Määritetään sitten viskoosin vaimennusvoiman Fd = c x& p = c Ω X cos( Ω t − φ ) yhden
jakson aikana tekemä työ. Siirtymälisäyksen dx p aikana voima tekee työn
dWd = Fd dx p = c Ω X cos( Ω t − φ ) ⋅ Ω X cos( Ω t − φ ) ⋅ dt
(4.68)
joten jakson aikana tehdyksi työksi tulee
2π
Wd = c Ω X
2
∫ cos
2
( Ω t − φ ) d( Ω t ) = π c Ω X 2
(4.69)
0
Kaavasta (4.35) nähdään, että F0 sin φ = c Ω X . Sijoittamalla tämä kaavaan (4.67)
saadaan tulos W = Wd eli pakkovoiman tekemä työ korvaa vaimennukseen kuluvan
energian. Resonanssissa vaihekulma φ = 90 o ja pakkovoiman tekemä työ on maksimissaan, jolloin myös vaimennuksessa kuluva energia on maksimissaan. Resonanssissa Ω ≈ ω = k / m ja lisäksi c = 2 ζ k m , joten kaavasta (4.69) tulee
Wd = 2 ζ π k X 2
(Ω = ω)
(4.70)
Vaimennukseen jakson aikana kuluvan energian lauseketta voidaan tarkastella graafisesti. Vapaakappalekuvan 4.10 (c) perusteella massaan m vaikuttaa voima
f = k x p + c x& p = k x p + c Ω X cos( Ω t − φ )
⇒
( f − k x p ) 2 = ( c Ω X) 2 [ 1 − sin 2 ( Ω t − φ )]
joka voidaan kirjoittaa muotoon
f
2
2
⎛ xp ⎞
⎛ f − k xp ⎞
⎜ ⎟ +⎜
⎟
⎜ X⎟
⎜ cΩX ⎟ =1
⎝ ⎠
⎝
⎠
(4.71)
cωX
xp
-X
X
− cωX
Kuva 4.20 Hystereesisilmukka.
Yhtälö (4.71) esittää x p f -koordinaatistossa
kuvan 4.20 mukaista ellipsiä, jota sanotaan
hystereesisilmukaksi. Silmukan sisäpuolelle
jäävä pinta-ala on yhtä suuri kuin jakson
aikana vaimennukseen kulunut energia. Viskoosin vaimennuksen hystereesisilmukka on
ellipsi. Jokaiseen vaimennusmalliin liittyy
tietty hystereesisilmukan muoto, joka voi
vaihdella suurestikin mallista riippuen. Kaikki
hystereesisilmukat ovat kuitenkin suljettuja
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.23
ja niiden rajoittama pinta-ala kuvaa vaimennuksessa tapahtuvaa energiahäviötä.
Materiaalien ominaisuuksia tutkittaessa käytetään usein vaimennuksen mittana ominaisvaimennuskykyä β tai häviökerrointa η, jotka määritellään seuraavassa. β on
energiahäviön Wd suhde kimmoenergian maksimiarvoon Vmax , josta seuraa resonanssitapaukselle
β=
Wd
π c ω X2 2 π c
=
=
= 4 πζ ≈ 2δ
1 k X2
Vmax
mω
2
(4.72)
jossa δ on logaritminen dekrementti. Häviökerroin on η = β / 2π .
4.5 Ekvivalentti viskoosi vaimennus
Kuten kuvasta 4.11 nähdään, vaimennus vaikuttaa värähtelevään systeemiin pääasiassa pienentämällä amplitudia resonanssin läheisyydessä. Viskoosin vaimennuksen
tapauksessa todettiin kohdassa 4.3.1, että resonanssiamplitudille pätee likikaava
X max ≈ X ω =
F0 / k F0
=
2ζ
cω
(4.73)
Muille vaimennusmalleille ei ole löydettävissä yhtä yksinkertaista kaavaa. Resonanssiamplitudia on kuitenkin mahdollista arvioida muillekin vaimennusmalleille ekvivalentin viskoosin vaimennusvakion c ekv avulla. Vakio c ekv löydetään merkitsemällä tarkasteltavaan vaimennusmalliin liittyvä energiahäviö Wd yhtä suureksi kuin vaimennusvakion c ekv omaavan viskoosin vaimennuksen energiahäviö, joka on
Wd = π c ekv Ω X 2
(4.74)
jolloin värähtelyliike on oletettu harmoniseksi. Oletus on usein voimassa vain likimääräisesti.
Tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa vaimennusvoima on verrannollinen nopeuden
neliöön. Tällöin vaimennusvoima on muotoa
Fd = ± a x& 2
x
x&
Kuva 4.21 Vaimennusmalli.
(4.75)
jossa a on vakio sekä plusmerkki vastaa tapausta x& > 0
ja miinusmerkki tapausta x& ≤ 0 . Tällaista vaimennusmallia voidaan käyttää nesteessä tai kaasussa värähtelevälle kappaleelle. Laskentamalleissa nopeuden neliöön verrannollinen vaimennus esitetään tavallisesti kuvan 4.21
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
4.24
mukaisella
vaimennuselementillä.
Oletetaan
värähtelyliike
harmoniseksi
x p = X sin( Ω t − φ ) , jolloin dx p = Ω X cos( Ω t − φ ) dt ja x& p = Ω X cos( Ω t − φ ) . Lisäksi
resonanssissa on likimain Ω = ω , φ = π / 2 ja X = X ω . Energiahäviö jakson aikana on
π
Wd = 2 ⋅ ∫ a [ ω X n cos( ωt − π / 2 ) ] ω X n cos( ωt − π / 2 ) dt
2
⇒
0
π
Wd = 2 a ω 2 X n3 ∫ cos 3 ( ω t − π / 2 ) d(ω t ) =
0
8
a ω 2 X 3ω
3
Kaavan (4.74) perusteella voidaan kirjoittaa
8
2
a ω 2 X 3ω = π c ekv ω X ω
3
⇒
c ekv =
8
a ω Xω
3π
3 π F0
⇒ X max ≈ X ω =
(4.76)
8 a ω2
Ekvivalenttia viskoosia vaimennusta voidaan käyttää myös amplitudin X ja vaihekulman φ approksimoimiseen koko taajuusalueella. Tarkastellaan esimerkkinä kitkavaimennusta. Oletetaan, että harmonista pakkovoimaherätettä vastaa harmoninen
siirtymävaste myös kitkavaimennuksella. Vaimennusvoima Fd = μ N tekee jakson
neljänneksen aikana työn μ N X , jossa X on amplitudi. Kaavan (4.59) perusteella
saadaan tulos
Wd = 4 μ N X = π c ekv Ω X 2
⇒
ζ ekv =
⇒
c ekv
4μN 1
=
ck
π Ω X 2m ω
c ekv =
⇒
4μN
πΩ X
2 ζ ekv
(4.77)
Ω 4μN
=
ω π kX
Kun edellä kirjoitettu tulos sijoitetaan kaavoihin (4.36), seuraa
X
=
F0 / k
1
(1 − r )
2 2
⎛ 4μN ⎞
⎟⎟
+ ⎜⎜
⎝π kX⎠
2
⎛ 4μN ⎞
⎜
⎟
π kX⎟
⎜
φ = arctan
⎜ 1− r 2 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Ratkaisemalla näistä X ja φ saadaan kaavat
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
M=
X
=
F0 / k
⎛ 4μN ⎞
⎟⎟
1 − ⎜⎜
⎝ π F0 ⎠
1− r 2
2
⎡
4μN
⎢
±
⎢
π F0
φ = arctan ⎢
2
⎢
⎛ 4μN ⎞
⎢ 1 − ⎜⎜
⎟⎟
⎝ π F0 ⎠
⎣⎢
4.25
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
(4.78)
Kaavat (4.78) ovat voimassa vain, jos neliöjuuren alla oleva termi on positiivinen eli
4 μ N /( π F0 ) < 1 . Nähdään myös, että M → ∞ , kun Ω → ω . Vaihekulman φ kaavassa
pätee plusmerkki, kun r < 1 , mutta miinusmerkki, kun r > 1 . φ on epäjatkuva resonanssikohdassa.
Yhden vapausasteen harmoninen pakkovärähtely
© Matti Lähteenmäki