FUNKTIO JA SEN KUVAAJA Funktio

Transcription

FUNKTIO JA SEN KUVAAJA Funktio
FUNKTIO JA SEN KUVAAJA
Funktio
Funktio eli kuvaus on matematiikan ja sen sovellusten keskeisimpiä käsitteitä. Funktio liittyy tilanteisiin, joissa käsitellään suureiden välisiä riippuvuuksia.
Esimerkki 1.
Kaava T = 2π
funktiona
l
esittää heilurin heilahdusaikaa T heilurin pituuden l
g
( g = 9,81 ) . Tässä tapauksessa heilurin pituus on muuttuja ja heim
s2
lahdusaika on funktion arvo. Kun muuttujan l arvo on annettu, funktion T arvo
on täysin määrätty.
Esimerkki 2.
l (m)
T (s)
0
0,5
1,0
1,5
2,0
0
1,4
2,0
2,5
2,8
Yhtälössä y = x 2 − 2 on y esitetty muuttujan x funktiona. Tässä x on muuttuja ja
y on funktion arvo kohdassa x.
x
0
0,5
1,0
1,5
2,0
y
0
-1,75
-1,0
0,25
2
Funktio eli kuvaus f joukolta X joukolle Y on sääntö, joka liittää joukon X jokaiseen
alkioon x joukon Y yksikäsitteisen alkion y = f (x).
X
Y
Joukkoa X nimitetään funktion f määrittelyjoukoksi ( M f ) ,
joukkoa Y funktion f maalijoukoksi ja joukkoa
f
f (X ) = { f (x) | x ∈ X }
funktion f arvojoukoksi ( Af ) . Alkiota y = f ( x) kutsutaan
x
y = f(x)
funktion f arvoksi pisteessä x tai alkion x kuvaksi kuvauksessa f.
Funktio f : X → Y
Funktion f nollakohdalla tarkoitetaan sellaista muuttujan x arvoa, joka toteuttaa ehdon f ( x ) = 0 .
Esimerkki 3.
2x
. Määritä funktion arvot
x +1
pisteissä −1, 0, 2, t ja ( x + 1) .
Olkoon funktio h( x) =
h(−1) =
h(0) =
h(2) =
2 ⋅ ( −1)
( −1)
2
+1
2 ⋅ ( 0)
( 0)
2
+1
2 ⋅ ( 2)
2
= −1
=0
=
4
5
( 2) + 1
2 ⋅ (t )
2t
h(t ) = 2
= 2
(t ) + 1 t + 1
2 ⋅ ( x + 1)
2x + 2
2x + 2
h( x + 1) =
= 2
= 2
2
( x + 1) + 1 x + 2 x + 1 + 1 x + 2 x + 2
Esimerkki 4.
2
Määritä funktion g ( t ) = 2t 2 − 3t + 1 nollakohdat.
Funktion g nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö 2t 2 − 3t + 1 = 0 .
x=
3 ± 32 − 4 ⋅ 2 ⋅1
2⋅2
x = 1 tai x =
Funktion g nollakohdat ovat 1 ja
1
2
1
.
2
Esimerkki 5.
Määritä funktioiden f ( x ) = ( x − 1) ja g ( t ) = 9 − t 2 määrittely- ja
2
arvojoukot.
Funktion f muuttuja x voi saada mitä tahansa reaalilukuarvoja, joten määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko ( \ ) . Näillä muuttujan x arvoilla funktio f saa
arvoja nollasta ylöspäin, sillä neliö ( x − 1) ei voi saada negatiivisiä arvoja. Ar2
vojoukko on tällöin positiivisten reaalilukujenjoukko ([ 0, ∞[ ) . Nyt funktio f voidaan ilmaista kuvauksena määrittelyjoukolta arvojoukolle.
f : \ → \+ .
Funktion g muuttuja t voi saada arvoja −3 ≤ t ≤ 3 , sillä juurrettava ei voi tulla
negatiiviseksi. Määrittelyjoukko on tällöin [ −3,3] . Näillä muuttujan t arvoilla
funktio g saa arvoja [ 0,3] , suurimman arvonsa muuttujan t arvolla 0 ja pienimmän muuttujan t arvolla −3 tai 3 . Arvojoukko on [ 0,3] . Funktio g kuvauksena
g : [ −3,3] → [ 0,3] .
Esimerkki 6.
Olkoon X = {1,2,3,4} ja Y = {a, b, c}.
a) Ehdot f(1) = a, f(2) = b, f(3) = b ja f(4) = c määrittelevät kuvauksen
f : X → Y, sillä joukon X jokaisella alkiolla x on yksikäsitteinen kuva f(x)
joukossa Y. Edelleen
f(X) = { f(1), f(2), f(3), f(4)} = {a, b, b, c} = {a, b, c} = Y.
X
Y
f
1
a
2
3
4
b
c
b) Ehdot g(1) = a, g(2) = b ja g(3) = b eivät määrittele funktiota g : X → Y, sillä arvoa g(4) ei ole määritelty.
c) Ehdot g(1) = a, g(2) = b, g(3) = b ja g(4) = d eivät määrittele funktiota
g : X → Y, sillä arvo g(4) ei kuulu joukkoon Y.
d) Ehdot g(1) = a, g(1) = b, g(2) = b, g(3) = b ja g(4) = c eivät määrittele
funktiota g : X → Y, sillä g(1) ei ole yksikäsitteinen.
Funktioiden f : X → Y ja g: Y → Z yhdistetty funktio g o f : X → Z määritellään ehdosta
(g o f )(x) = g( f (x)) (x ∈ X ).
Funktiota f nimitetään yhdistetyn funktion g D f sisäfunktioksi ja funktiota g sen ulkofunktioksi.
X
Y
Z
f
g
x•
• g(f(x))
•
f(x)
gof
Esimerkki 7.
Olkoon X = {1,2,3,4}, Y = {5,6,7} ja Z = {8,9} ja olkoot f : X → Y ja
g : Y → Z ehtojen f(1) = 5, f(2) = 6, f(3) = 7, f(4) = 7 ja g(5) = 8, g(6) = 9,
g(7) = 9 määräämät funktiot:
X
Y
f
1
2
3
4
Z
g
5
6
7
8
9
Tällöin on voimassa:
(g o f)(1) = g(f(1)) = g(5) = 8,
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(6) = 9,
(g o f)(3) = g(f(3)) = g(7) = 9,
(g o f)(4) = g(f(4)) = g(7) = 9,
(g o f)(X) = { (g o f)(x) | x ∈ X } = {8,9,9,9} = {8,9} = Z.
Esimerkki 8.
Funktioille f : R → R, f (x) = x2 + x ja g : R → R, g(x) = 2x + 1 on voimassa:
( g o f )(0) = g( f (0)) = g(02+0) = g(0) = 2⋅0+1 = 1,
( f o g )(0) = f (g(0)) = f (2⋅0+1) = f (1) = 12+1 = 2 ja
( g o f )(x) = g( f (x)) = g(x2+x) = 2(x2+x) + 1 = 2x2+2x+1.
Koska siis ( g o f )(0) ≠ ( f o g )(0), niin g o f ≠ f o g ja vaihdantalaki g o f = f o g ei ole yleisesti
voimassa. Funktioiden yhdistäminen on kuitenkin liitännäistä eli h o (g o f ) = (h o g) o f aina, kun
kyseiset yhdistetyt funktiot on määritelty.

Similar documents