Analyysi 2

Analyysi 2
Harjoituksia lukuihin 1–3 / Kevät 2015
1. Anna sellainen välillä ]−2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f , että
(a) sup A 6= max A ja inf A 6= min A, (b) sup A 6= max A ja inf A = min A,
(c) sup A = max A ja inf A 6= min A, (d) sup A = max A ja inf A = min A,
kun A = {f (x) | x ∈ ]−2, 2[ }. Yllä inf A 6= min A ja sup A 6= max A tarkoittavat,
että min A ja max A eivät ole olemassa. Tässä tehtävässä ei tarvitse antaa täsmällistä perustelua, että infimum ja supremum toteuttavat vaaditut ehdot. Esimerkiksi
funktion kuvaajaan tukeutuva perustelu on riittävä.
2. Todista monisteen lause 1.6.
3. Todista monisteen lause 1.7.
4. Arvioi ylä- ja alasummia käyttämällä funktion
(
x2 + 3, kun |x| < 1,
f (x) =
4 − 2x, kun |x| ≥ 1,
kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa välillä [−2, 2], kun jako on
tasavälinen ja osavälien lukumäärä n = 4.
5. Anna jokin välin [−1, 2] jako, joka sisältää porrasfunktion
f (x) = bxc + x + 21
porraspisteet välillä [−1, 2].
6. Olkoot f ja g välin [a, b] porrasfunktioita. Osoita, että myös f g on välin [a, b] porrasfunktio.
7. Määritä porrasfunktion
f (x) = bxc + x + 21
integraali yli välin [−1, 3].
8. Anna esimerkki sellaisesta välillä [0, 4] määritellystä porrasfunktiosta f , että
Z2
Z3
f = 4,
0
Z4
f = 5 ja
0
f = 2.
0
9. Tarkastellaan funktiota f (x) = x2 − 2x + 1. Anna esimerkki sellaisesta välillä [0, 3]
määritellystä porrasfunktiosta g, että g ≤ f ja
Z3
3
.
2
g =
0
10. Olkoot f : [a, b] → R ja g : [a, b] → R sellaisia porrasfunktioita, että f ≥ 0 ja
g ≤ M (M ∈ R). Osoita, että
Zb
Zb
fg ≤ M
a
f.
a
11. Anna esimerkki sellaisista välin [2, 4] porrasfunktioista f ja g, että g ≤ 3 ja
Z4
Z4
fg > 3
2
f.
2
12. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos g ja h ovat välin [a, b] porrasfunktioita ja
Zb
Zb
g ≤
h,
a
a
niin g ≤ h välillä [a, b].
13. Anna esimerkki sellaisesta funktiosta f , että
IL (f, [0, 2]) = 1
ja
IU (f, [0, 2]) = 3.
14. Anna esimerkki sellaisista funktioista f ja g, että
IL (f, [2, 5]) + IL (g, [2, 5]) < IL (f + g, [2, 5]).
Tässä tehtävässä alaintegraalien arvoja ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi funktioiden kuvaajiin tai monisteen esimerkkeihin tukeutuva perustelu on riittävä.
15. Osoita Riemannin ehtoa käyttäen,1 että funktio f (x) = 1 − x on Riemann-integroituva välillä [0, 2] ja
Z2
f (x) dx = 0.
0
1
Lausetta 2.13 voi käyttää.
16. Olkoon f (x) = x2x . Anna esimerkki sellaisista välillä [0, 4] määritellyistä porrasfunktioista g ja h, että g ≤ f ≤ h ja
Z4
Z4
h−
0
g ≤ 1.
0
17. Todista, että jos funktio f : [a, b] → R on vähenevä, niin f on Riemann-integroituva välillä [a, b].
18. Olkoon f : [a, b] → R sellainen funktio, että f saavuttaa jokaisella välin [a, b] suljetulla osavälillä suurimman ja pienimmän arvonsa ja että
|f (x) − f (y)| ≤ 5 |x − y|
aina, kun x, y ∈ [a, b]. Todista Riemannin ehtoa käyttäen, että f on Riemann-integroituva välillä [a, b].
19. Olkoon f : [−1, 5] → R,
f (x) = 1 + x2
ja P = {−1, 2, 4, 5}. Laske Riemannin summa SP (f, ξ), kun (a) ξ1 = 1, ξ2 = 3 ja
ξ3 = 5, (b) ξ1 = 2, ξ2 = 2 ja ξ3 = 4.
20. Olkoon
f (x) = |x − 1| − 1
ja SP (f, ξ) jokin välin [0, 6] jakoa P = {0, 1, 3, 6} vastaava Riemannin summa.
Onko mahdollista, että SP (f, ξ) = 0 ?
21. Osoita, että jos funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin vastaavasti
funktio g(x) = f (x − c) on Riemann-integroituva välillä [a + c, b + c] ja
Zb
Zb+c
f (x) dx =
g(x) dx.
a
a+c
Vihje: Jokaista välin [a, b] jakoa {x0 , x1 , . . . , xn } vastaa välin [a + c, b + c] jako
{x0 + c, x1 + c, . . . , xn + c}.
22. Olkoon f : [0, 2] → R,
(
3, kun x ∈ Q,
f (x) =
1, kun x ∈ R \ Q,
ja SP (f, ξ) funktion f välin [0, 2] jakoon P liittyvä Riemannin summa. Osoita rajaarvon määritelmään perustuen, että raja-arvo
lim SP (f, ξ)
|P |→0
ei ole olemassa.
23. Olkoon f välillä [a, b] rajoitettu funktio ja SP (f, ξ) funktion f välin [a, b] jakoon P
liittyvä Riemannin summa. Onko mahdollista, että
lim SP (f, ξ) = ∞ ?
|P |→0
24. Olkoon SP (f, ξ) funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa1 ja f
sellainen funktio, että f ei ole ylhäältä rajoitettu välillä [a, b]. Osoita, että raja-arvo
lim SP (f, ξ)
|P |→0
ei ole olemassa.
25. Tiedetään, että
Z2
Z4
f = 5,
0
Z5
f = 2 ja
0
Määritä
2
Z5
Z4
f,
(a)
f = 1.
Z4
f,
(b)
0
f.
(c)
2
5
26. Osoita, että
Z2
e−1 ≤
ex
2 −x
dx ≤ e2 − 1.
0
Vihje: Viikkoharjoitusten 3 tehtävä 1.
27. Osoita, että
2e
≤
e+1
eZ2 −1
log (x + 1)
dx ≤ e.
x
e−1
28. Olkoon f : [2, 4] → R sellainen jatkuva funktio, että
Z4
f (x)g(x) dx = 0
2
kaikille välin [2, 4] porrasfunktioille g. Todista, että f (x) = 0 kaikilla x ∈ [2, 4].
29. Määritä integraalilaskennan väliarvolauseen avulla
1
lim
a→0+ a
Z3a
sin(2x)
dx.
x
a
1
Riemannin summan määritelmä on tässä tehtävässä laajennettu koskemaan myös rajoittamattomia
funktioita.
30. Osoita integraalilaskennan väliarvolausetta käyttäen, että
Z1 √
√
3 <
9 + x2 dx < 10.
0
31. Osoita yleistettyä integraalilaskennan väliarvolausetta käyttäen, että
1
11
≤
24
Z2 √
1−
x2
11
dx ≤
24
r
4
.
3
0
Vihje:
√
√
1 − x2 = (1 − x2 )/ 1 − x2 . Voit olettaa tunnetuksi, että
1
Z2
(1 − x2 ) dx =
11
.
24
0
32. Olkoon
(
0, kun −1 ≤ x < 0,
f (x) =
1, kun 0 ≤ x ≤ 1,
ja c ∈ [0, 1]. Määritä
Zx
G(x) =
f (t) dt,
x ∈ [−1, 1] .
c
33. Osoita, että jos funktio f : [a, b] → R on Riemann-integroituva ja f (x) ≥ 0 kaikilla
x ∈ [a, b], niin funktio
Zx
G(x) =
f (t) dt
(c ∈ [a, b])
c
on kasvava välillä [a, b].
34. Derivoi funktio F : R → R, kun
Zx
(a) F (x) =
2 sin t2 dt,
Zx
(b) F (x) =
0
2 sin x2 dt,
0
35. Määritä raja-arvo
1
lim 2
x→0 x
Z2x
x
arc tan t2
dt.
t
Z1
(c) F (x) =
0
2 sin x2 dt.
36. Osoita, että funktio
2
Zx
F (x) =
1
dt
log t
1
x
on aidosti kasvava, kun x > 2.
37. Määritä funktion
Z3x2
2
F (x) = (t − 1)e−t dt
0
paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu.
38. Olkoon f : [a, b] → R sellainen funktio, että f (a) = 0 ja f 0 on jatkuva välillä [a, b].
Osoita, että
Zb
(b − a) (f 0 (x))2 dx ≥ M 2 ,
a
missä M = sup{f (x) | a ≤ x ≤ b}. Vihje: Cauchy-Schwarzin epäyhtälö.
39. Määritä
n
(k − 1)π
1 X
.
sin
lim
n→∞ n
2n
k=1
Vihje: Monisteen esimerkki 3.10 (s. 52).
40. Määritä
n
lim
n→∞
1 X
k 5
1+
.
n k=1
n