Luentomoniste

Matematiikan johdantokurssi
Martti Pesonen, Pekka Smolander, . . .
7. joulukuuta 2015
1
Mitä matematiikka on?
Matematiikan määritteleminen lienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Matemaatikot sanovatkin usein leikillisesti, että matematiikka on sitä mitä matemaatikot tekevät! Matemaatikkojen työ taas sisältää arvailua ja asioiden yhdistelyä,
laskemista ja kokeilua, pähkäilyä ja eksaktia päättelyä, sekä runsaasti uuden opiskelua.
Opintojen myötä tuon hämärän kuvan pitäisi tarkentua, kun eri kursseilla harjoitellaan matemaattisten käsitteiden ja prosessien verkoston rakentamista.
Millaista matematiikka on?
eksaktia: tarkkaa ja täsmällistä, väitteet perustuvat loogiseen päättelyyn, ei uskotteluun tai arvailuun. ’Eksakti’ ei kuitenkaan tarkoita mitään absoluuttista totuutta,
vain sitä, että johdetut tulokset ovat totta lähtien joistain sovituista totuuksista,
aksioomista.
abstraktia: matematiikka sisältää paljon käsitteitä, joille ei ole ’todellisuuspohjaa’, siis vastinetta elämässä tai luonnossa. Matematiikkaa ei siis aina käytetä jonkin havaintotodellisuuteen kuuluvan ilmiön kuvaamiseen tai selittämiseen.
formaalia: käsitellään merkkejä, symboleja, joilla pitää olla sovittu merkitys.
Matematiikka on muodollista kieltä, jossa on tarkat säännöt, esimerkkinä vaikkapa laskusääntö (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , joka sekin pitää paikkansa vain
tietyillä sovituilla olettamuksilla. Seuraava sääntö on totta väljemmillä ehdoilla:
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 . Edellisessä tarvitaan oletuksena vaihdannaisuus ja
osittelulaki, jälkimmäisessä vain osittelulaki.
ikinuorta: matemaattinen tietous ei vanhene: esimerkkinä Pythagoraan lause, vrt.
50-luvun elektroniikka.
Matematiikka on edelleen intensiivisen tutkimuksen kohde, se on vahvasti haarautunut ja erikoistunut. Esimerkiksi jo viime vuosikymmenellä julkaistiin vuosittain
yli 80 000 matemaattista artikkelia tai kirjaa (”that can generally be classified as
research in the mathematical sciences”).
Onko matematiikka tieteiden kuningatar vai tieteiden palvelijatar? (saksaksi die
Mathematik)
3
Matematiikan osa-alueita
Muinoin pythagoralaiset jakoivat matematiikan Kuvion 1 mukaisesti.
matematiikka
diskreetti
jatkuva
absoluuttinen
suhteellinen
staattinen
dynaaminen
aritmetiikka
musiikki
geometria
t htitiede
Kuva 1: Pythagoralainen matematiikan jaotus
Perinteisesti ymmärretään, että matematiikka on oppi luvusta (aritmetiikka ja algebra) ja tilasta (geometria). Nykyisin matematiikka jaetaan yli 60 eri haaraan,
hienommassa jaottelussa noin 5000 osa-alueeseen.
Algebralle ominaista ovat laskutoimitukset ja niitä koskevat säännöt, samoin lineaarialgebralle.
Analyysi on yleisnimitys matematiikalle, joka pohjautuu raja-arvon käsitteeseen,
se sisältää mm. differentiaali- ja integraalilaskennan. ’Calculus’ on analyysin alkeismuoto, jossa todistaminen ja perusteleminen on esillä vaatimattomammin; lukiomatematiikka on luonteeltaan lähellä calculusta.
Geometria on enemmän tai vähemmän abstraktien olioiden ’piste’ ja ’suora’ tarkastelua. Nykyään tunnetaan monia erilaisia sovelluskelpoisiakin geometrioita.
Logiikka yksinkertaisimmillaan on keino mekanisoida totuuksien käsittelyä ja
perustelemista. Tutkimusalana logiikka on pedanttista ja vaativaa.
Joukko-oppi pohjautuu matemaattiseen logiikkaan ja yleensä jo ns. naiivi joukkooppi riittää mm. analyysin tarpeisiin. Tutkimusalana joukko-oppi on kaikkea
muuta kuin yksinkertaista, se on lähellä filosofiaa.
Topologia on joukon lokaalin rakenteen ja jatkuvan tutkimista; keskeisiä ovat
ominaisuudet, jotka eivät muutu jatkuvissa muunnoksissa.
Sovelletun matematiikan osa-alueet pohjautuvat pitkälti perinteisen matematiikan haaroihin, mutta painottuvat enemmän matematiikan soveltamiseen ja algoritmien kehittämiseen. Vaikka menetelmät ovat usein approksimatiivisia, niiden on
oltava perusteltavissa eksaktein menetelmin, joista käyvät selville mm. virhearviot
ja pätevyysehdot.
Matematiikan osa-alueiden rajat eivät suinkaan aina ole tarkkoja, on mm. sen kaltaisia tutkimusaloja kuin algebrallinen topologia ja analyyttinen geometria.
4
Matematiikan johdantokurssista
Sana ”kurssi” voi tarkoittaa opintojaksoa, josta saadaan suoritus opintopisteinä,
tai siihen liittyvää opetustapahtumaa, joka on fyysinen toimenpide opintojakson
suorittamista varten. Tämä jaotus tulee Oodi-järjestelmästä. Opintojakson voi suorittaa osallistumalla opetustapahtumaan (arkikielessä siis tämä ”kurssi”) kertauskuulusteluineen tai suorittaa erikseen järjestettävällä loppukuulustelulla, joita on
nk. yleisinä ainekohtaisina tenttipäivinä.
Matematiikan johdantokurssin merkityksestä
Opintojakson nimi Matematiikan johdantokurssi viittaa siihen, että siinä käsitellään matematiikan perusasioita, joita tarvitaan pääasiassa muiden matematiikan
kurssien pohjatietoina. Se antaa melko kattavan valikoiman käsitteistöä ja perustyökaluja, joita käytetään hyvin monilla matematiikan osa-alueilla. Johdantokurssissa lähtökohtana ovat logiikka ja joukko-oppi, joista lähtien lisätään rakennetta
kohti systeemiä, josta muilla kursseilla voidaan alkaa käsitellä mm. algebrallisia
rakenteita ja differentiaalilaskentaa.
Matematiikan johdantokurssi ei siis ole lukion peruskurssien jatkoa, vaan siinä
pyritään luomaan perustaa, jonka pohjalta mm. lukiossa varsin pinnallisesti ja yksipuolisesti – yleensä myös perustelematta – opetetut asiat voidaan perustella, todistaa.
Matematiikan johdantokurssin sisällöstä
Logiikkaa käytämme perustellessamme väitteitä, usein jopa tätä tiedostamatta.
Arkielämässä perusteluksi käy monesti päättely, jonka osaset, premissit, ovat totta
riittävällä todennäköisyydellä tai sovitaan tosiksi.
Kun lapsi sanoo:
”Mutta kaikilla muilla jo on!”
olisi vanhemman yleensä helppo napauttaa:
”Selvitetäänpä onko asia ihan niin.”
Eri asia tietysti on, unohtuuko vaatimus yhden tai edes useamman vastaesimerkin
avulla, eli löytämällä kaveripiiristä henkilö(i)tä, joilla sitä turhaketta ei ole (eikä
ehkä tulekaan olemaan).
Erityisesti matematiikassa on tarve todistaa lauseiden muotoon puettuja väitteitä,
jotta voidaan rakentaa yhä rikkaampia teorioita. Silloin on lähdettävä koko popu-
5
laation yhteisesti sopimista perusolettamuksista, joista kuka tahansa voi – ainakin periaatteessa – johtaa samat totuudet. Logiikka ja joukko-oppi tarjoavat hyvin
moneen tilanteeseen sopivan kielen.
Miten suhtautua henkilöön, joka sanoo hänellä olevan kolme miljoonaa postimerkkiä? Määrä on suuri, ja voi hyvinkin olla, että hänellä on esimerkiksi täydellinen kokoelma suomalaisia merkkejä. Toisaalta hänellä voisi olla vaikkapa vain
kahdenlaisia merkkejä, eikä tämä enää tee vastaavaa vaikutusta. Kun puhutaan kokoelmasta, tarkoitetaan yleensä erilaisten merkkien määrää. Matematiikassa puhutaan silloin joukosta ja sen alkiomäärästä. Jos yhdistetään kaksi postimerkkikokoelmaa, ei kokoelman laajuus tavallisesti ole kokoelmien laajuuksien summa,
vaan merkkijoukkojen yhdisteen alkiomäärä.
Kun henkilö maksaa laskun pankkitililtään, hän varmasti uskoo systeemien toimivan niin, että maksu menee juuri oikeaan osoitteeseen, eikä esimerkiksi moninkertaisesti useille eri tileille. Sähköpostilista mahdollistaa viestin lähettämisen
usealle vastaanottajalle ja samaa listaa voi käyttää hyvinkin moni lähettäjä. Nämä
ovat esimerkkejä relaatioista .
Tässä kurssimateriaalissa tutustutaan logiikan ja joukko-opin tarjoaman matemaattisen kielen avulla erilaisiin relaatioihin kuten ekvivalenssi, järjestys ja funktio, sekä lukujoukkoihin ja niihin liittyviin funktioihin.
Vaikka monet käsiteltävistä asioista ovat tuttuja jo ”koulumatematiikasta”, voi
opiskelu- ja tarkastelunäkökulman abstraktius ja formaalisuus aluksi hämmentää. Toisaalta aiheiden käsittelyn perusteellisuuden vuoksi itse käsitteellinen sisältö voi tuntua varsin suppealta. Tätä on kuitenkin vaikea välttää, koska kurssin
päätarkoitus on orientoida ”korkeampaan matematiikkaan”, siis antaa vankka teoreettinen ja käytännöllinen pohja mm. aksiomatiikkalähtöisiä matematiikan haaroja käsitteleviä kursseja varten (algebra, lineaarialgebra, todennäköisyyslaskenta,
topologia).
Luentomoniste on koottu pääasiassa laitoksella vuosien mittaan pidettyjen peruskurssien luento- ja harjoitusmateriaaleista. Kokoomatyössä oli keskeisenä apuna
Isa Pakarinen, ja työtämme tuki rahallisesti Joensuun yliopiston Opetusteknologiakeskus syksyllä 2005. Tämä esitys on siitä hieman parannettu, laajennettu ja v.
2007 uudelleen järjestetty versio, jota on senkin jälkeen vielä vähän korjailtu vv.
2008-2015.
Muu oppiaines julkaistaan pääasiassa sähköisessä muodossa ja se sisältää harjoituksia ja visualisointeja sekä vuorovaikutteisia opiskelumoduleja.
Matematiikan muilla peruskursseilla ja analyysin kursseilla perehdytään tarkemmin mm. yhden ja useamman muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaan.
Joensuussa 7. joulukuuta 2015
SISÄLTÖ
6
Sisältö
1
2
3
4
Lauselogiikkaa
10
1.1
Logiikan lauseet ja totuusarvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2
Tautologia ja looginen ekvivalenssi . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3
Looginen päättely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4
∗Sumeasta logiikasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Joukko-oppia
20
2.1
Joukko ja alkio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2
Joukkojen merkitseminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
Joukko-opin käsitteitä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4
Joukko-opin kaavoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.5
Joukko-opin väitteiden todistaminen . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.6
Yleisempää joukko-oppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.7
Joukkojen alkiomääristä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.8
Joukko-opin ongelmista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.9
∗Sumeasta joukko-opista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Lausefunktiot
38
3.1
Avoin lause ja kvanttorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2
Lausefunktion negaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Relaatiot
42
4.1
Tulojoukko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.2
Relaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3
Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat . . . . . . . . . . . . . .
45
4.4
Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen . . . . . . . . . . .
47
4.5
Funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.6
Joukon sisäisiä relaatiotyyppejä . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.7
Ekvivalenssirelaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.8
Järjestysrelaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
SISÄLTÖ
5
6
7
8
9
7
Funktiot
64
5.1
Injektio ja surjektio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.2
Yhdistetty funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.3
Käänteisfunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.4
Osajoukkojen kuvautuminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Reaalifunktiot
76
6.1
Reaalifunktio ja sen esittämistapoja . . . . . . . . . . . . . . . .
76
6.2
Reaalifunktiotyyppejä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
6.3
Käänteiskuvaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.4
Funktioiden yhdistäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.5
Reaalifunktioiden luokittelusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Algebralliset alkeisfunktiot
90
7.1
Polynomit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
7.2
Algebrallisista yhtälöistä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
7.3
Rationaalifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
7.4
Potenssi- ja juurifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Transkendenttiset alkeisfunktiot
102
8.1
Yleiset potenssi- ja juurifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.2
Eksponentti- ja logaritmifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3
Trigonometriset ja arkusfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.4
Hyperboliset ja areafunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Kahden muuttujan funktio ja laskutoimitus
128
9.1
Kahden muuttujan funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.2
Laskutoimitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10 Matemaattisesta teoriasta ja todistamisesta
138
10.1 Matemaattisen teorian käsitteitä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.2 Induktioperiaate ja induktiotodistus . . . . . . . . . . . . . . . . 141
SISÄLTÖ
8
10.3 Suora ja epäsuora todistus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.4 Ekvivalenssin osoittaminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.5 Todistuksen esitysjärjestys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.6 Väitteen osoittaminen vääräksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.7 Arviointitekniikka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.8 Tietokone todistuksen apuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11 Joukkojen mahtavuuksista
158
11.1 Mahtavuusvertailujen määrittely . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.2 Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.3 Joukon kardinaliteetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12 Lukualueet
166
12.1 Luonnolliset luvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.2 Kokonaisluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.3 Rationaaliluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.4 Reaaliluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.5 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.6 Binomikertoimet ja binomikaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.7 Numeroituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.8 Kompleksiluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.9 Kompleksinen 2. ja 3. asteen polynomiyhtälö . . . . . . . . . . . 195
13 Parametrikäyrät ja vektorifunktiot
197
13.1 Parametrikäyrät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.2 Vektorifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
SISÄLTÖ
9
1
Lauselogiikkaa
Logiikka on teoria oikeasta päättelystä.
Logiikka jaetaan usein – etenkin teknillisillä ja tietoteknisillä aloilla – kahteen
osaan: propositiologiikka eli lauselogiikka ja sen laajennus predikaattilogiikka,
jossa tarkastellaan nk. avoimia lauseita (predikaatteja, lausefunktioita), joista saadaan joukko-opin ja kvanttorien ∀ ja ∃ avulla logiikan (suljettuja) lauseita.
Luvuissa 1-3 tarkastelemme lauseita ja niiden yhdistämistä konnektiiveilla sekä
joukko-opin alkeita ja lausefunktioita.
1.1
Logiikan lauseet ja totuusarvot
Logiikan perusalkioina ovat lauseet ja niiden arvoina totuusarvot.
Määritelmä 1.1.1 Logiikassa lause (proposition, statement ) on väite tai ilmaisu,
jolla on täsmälleen yksi mahdollisista totuusarvoista tosi (true ) ja epätosi (false ).
Totuusarvoja merkitään jatkossa tosi = T ja epätosi = E (myös symboleja tosi
= 1 ja epätosi = 0 käytetään, erityisesti tietotekniikassa).
Matemaattinen logiikka ei tunne muita totuusarvoja: tämä nk. ’kielletyn kolmannen laki’ tarkoittaa, että lause ei voi olla muuta kuin tosi tai epätosi. Toiseksi, lause
ei voi olla yhtä aikaa tosi ja epätosi: tämä on nk. ’kielletyn ristiriidan laki’.
Logiikan tehtävä ei ole ottaa kantaa lauseiden havainnolliseen totuuteen tai totuusarvoon sinänsä, vaan siinä pyritään esittämään menetelmiä, joiden avulla tosina pidetyistä väitteistä voidaan johtaa uusia tosia väitteitä. On kuitenkin järkevää
liittää reaalielämään liittyvään lauseeseen sen havainnollinen totuusarvo.
Esimerkki 1.1.2 Ilmaisut
”Rooma on Ranskassa.”
”Luku 12 on jaollinen luvulla 3.”
”3 < 2.”
ovat kaikki logiikan lauseita, koska niiden totuusarvo on kiistatta selvitettävissä.
Sen sijaan ilmaisut
”Avaa ikkuna!”
”1 + 1.”
”Tämä lause on epätosi.”
eivät ole logiikan mielessä lauseita. Myöskään väitteen ”Ydinvoimaa tarvitaan
lisää.” totuusarvo ei ole ilmeinen.
1 LAUSELOGIIKKAA
11
Lauseita merkitään tässä esityksessä isoilla kirjaimilla P , Q, R, S, . . . Ainoat
logiikan ”vakiot” ovat identtisesti tosi lause T ja vastaavasti epätosi lause E.
Annetuista peruslauseista eli atom(ilaus)eista voidaan johtaa uusia lauseita, molekyylilauseita eli johdettuja lauseita loogisten konnektiivien avulla:
¬
∨
∧
⇒
⇔
negaatio (’ei’)
disjunktio (’tai’)
konjunktio (’ja’)
implikaatio (’jos . . . niin’)
ekvivalenssi (’jos ja vain jos’)
vaihtaa totuusarvon
edes yksi tosi
kaikki tosia
seuraa
sama(narvoise)t totuusarvot
Määritelmä 1.1.3 Olkoot P ja Q logiikan lauseita.
a) Lauseen P negaatio ¬P on lause, jolla on päinvastainen totuusarvo kuin
lauseella P .
b) Lauseiden P ja Q disjunktio P ∨ Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos
P on tosi tai Q on tosi, ja epätosi, jos P ja Q ovat epätosia.
c) Lauseiden P ja Q konjunktio P ∧ Q on lause, jonka totuusarvo on tosi, jos
P ja Q ovat tosia, muutoin epätosi.
d) Lauseiden P ja Q implikaatio P ⇒ Q on lause, jonka totuusarvo on epätosi,
jos P on tosi ja Q epätosi, muulloin tosi.
e) Lauseiden P ja Q ekvivalenssi P ⇔ Q on lause, jonka totuusarvo on tosi,
jos lauseilla P ja Q on sama totuusarvo, muulloin epätosi.
Johdettuja lauseita ovat kaikki ne lauseet, jotka saadaan äärellisen monella logiikan operaatiolla äärellisen monesta peruslauseesta.
Huomautus 1.1.4 Negaatio kohdistuu yhteen, sitä seuraavaan lauseeseen, muut
yhdistävät kahta lausetta, jotka voivat olla itsekin konnektiiveilla johdettuja; vrt.
lukujen laskutoimitukset!
Loogisten symbolien avulla saatujen lauseiden totuusarvot ilmaistaan usein nk.
totuusarvotaulukon (truth table ) avulla. Seuraavat perustotuusarvotaulukot on siis
sovittu logiikan perustaksi:
1 LAUSELOGIIKKAA
Negaatio ’ei’
P
¬P
T
E
E
T
12
Konjunktio ’ja’
P Q P ∧Q
T T
T
T E
E
E T
E
E E
E
Implikaatio ’jos . . . niin’
P Q
P ⇒Q
T T
T
T E
E
E T
T
E E
T
Disjunktio ’tai’
P Q P ∨Q
T T
T
T E
T
E T
T
E E
E
Ekvivalenssi ’jos ja vain jos’
P Q
P ⇔Q
T T
T
T E
E
E T
E
E E
T
Huomautus 1.1.5 a) Negaatio tarkoittaa täydellistä vastakohtaa, esimerkiksi reaalilukujen tilanteessa lauseen ”a < b” negaatio ei ole ”a > b” vaan ”a ≥ b”.
Mikähän on lauseen ”auto on musta” negaatio?
b) Disjunktio ’tai’ poikkeaa kieliopillisesta tai-sanasta siinä, että se ei ole ’poissulkeva tai’; arkikielessähän ’tai’ tarkoittaa usein ’joko . . . tai’.
c) Implikaatio voidaan lukea monilla eri tavoilla. Lause P ⇒ Q luetaan
Jos P , niin Q.
Q, jos P .
Q, mikäli P .
P on riittävä ehto lauseelle Q.
Q on välttämätön ehto lauseelle P .
d) Lauseita yhdistettäessä on aina käytettävä tarpeellinen määrä sulkeita osoittamaan, missä järjestyksessä lauseet on yhdistetty. Sovitaan kuitenkin, että jos negaatio vaikuttaa vain seuraavaan atomilauseeseen, niin sulkeita ei tarvita.
e) Jos johdetussa lauseessa on n eri atomilausetta, niin totuuarvotaulukossa johdetun lauseen kuvaamiseen tarvitaan 2n vaakariviä.
Esimerkki 1.1.6 Olkoot seuraavassa P , Q ja R logiikan lauseita. Näistä johdettuja lauseita ovat mm.
a) ¬Q, T ∨ Q, ¬P ∧ Q,
b) (P ∧ Q) ⇒ R,
c) (P ⇔ Q) ∨ ¬R.
1 LAUSELOGIIKKAA
13
Esimerkki 1.1.7 Oletetaan, että Esimerkin 1.1.6 peruslauseella P on arvo tosi eli
T, ja olkoot Q ja R epätosia. Silloin johdettujen lauseiden totuusarvot ovat:
a) ¬Q tosi, T ∨ Q tosi, ¬P ∧ Q epätosi,
b) (P ∧ Q) ⇒ R tosi,
c) (P ⇔ Q) ∨ ¬R tosi.
Annetuista lauseista konnektiiveilla johdetun lauseen kaikki mahdolliset totuusarvot saadaan selville mekaanisella laskulla totuusarvotaulukon avulla.
Esimerkki 1.1.8 Lauseen P ∧ ¬Q totuusarvot ovat
P
T
T
E
E
Q
T
E
T
E
¬Q
E
T
E
T
P ∧ ¬Q
E
T
E
E
Esimerkki 1.1.9 Olkoon S lause (¬P ∨Q) ⇒ Q. Määritä lauseen S totuusarvot.
Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko, josta lauseen totuusarvot näkyvät.
P
T
T
E
E
Q
T
E
T
E
¬P
E
E
T
T
¬P ∨ Q
T
E
T
T
Q
T
E
T
E
S
T
T
T
E
Esimerkki 1.1.10 Määritä lauseen ¬P ∨ (Q ∧ ¬R) totuusarvot.
Ratkaisu. Muodostetaan taas totuusarvotaulukko:
P
T
T
T
T
E
E
E
E
Q R
T T
T E
E T
E E
T T
T E
E T
E E
¬P
E
E
E
E
T
T
T
T
¬R
E
T
E
T
E
T
E
T
Q ∧ ¬R
E
T
E
E
E
T
E
E
¬P ∨ (Q ∧ ¬R)
E
T
E
E
T
T
T
T
Huomautus 1.1.11 Logiikan lause on erotettava matematiikan lauseesta, joka on
tosi väite. Matematiikan lause on usein kahden logiikan lauseen implikaatio, siis
muotoa A ⇒ B, missä A on oletus ja B väitös.
1 LAUSELOGIIKKAA
1.2
14
Tautologia ja looginen ekvivalenssi
Identtisesti tosi lause on tautologia (nk. ajatuslaki, yleispätevä looginen totuus).
Johdettu lause on tautologia, jos se on tosi riippumatta siitä, mitkä totuusarvot
atomilauseilla on. Tällöin totuusarvotaulukon sarakkeessa on vain arvoja T.
Esimerkki 1.2.1 Tutki, onko lause (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q tautologia.
Ratkaisu. Merkitään S:llä tehtävän lauseketta ja muodostetaan totuusarvotaulukko. Koska lauseen S sarakkeeseen tulee vain arvoja T, on S tautologia.
P
T
T
E
E
Q
T
E
T
E
P ⇒Q
T
E
T
T
P ∧ (P ⇒ Q) S
T
T
E
T
E
T
E
T
Esimerkki 1.2.2 Osoita tautologiaksi lause R := ¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q).
Ratkaisu. Muodostetaan totuusarvotaulukko
P
T
T
E
E
Q
T
E
T
E
P ⇒ Q ¬(P ⇒ Q)
T
E
E
T
T
E
T
E
¬Q
E
T
E
T
P ∧ ¬Q
E
T
E
E
R
T
T
T
T
Koska lauseen R sarakkeeseen tuli vain arvoja T, on R tautologia.
Lause 1.2.3 Seuraavat logiikan lauseet ovat tautologioita:
1.
(P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P )
∨ vaihdannainen
2.
(P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P )
∧ vaihdannainen
3.
[P ∨ (Q ∨ R)] ⇔ [(P ∨ Q) ∨ R]
∨ liitännäinen
4.
[P ∧ (Q ∧ R)] ⇔ [(P ∧ Q) ∧ R]
∧ liitännäinen
5.
[P ∨ (Q ∧ R)] ⇔ [(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)]
I osittelulaki
6.
[P ∧ (Q ∨ R)] ⇔ [(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)]
II osittelulaki
7.
¬(¬P ) ⇔ P
kaksoisnegaatio
1 LAUSELOGIIKKAA
15
8.
¬(P ∨ Q) ⇔ (¬Q ∧ ¬P )
I de Morganin laki
9.
¬(P ∧ Q) ⇔ (¬Q ∨ ¬P )
II de Morganin laki
10.
(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P )
kontrapositio
11.
(P ⇔ Q) ⇔ [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )]
12.
(P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q)
ekvivalenssi implikaatioiksi
implikaatio disjunktioksi
Todistus. Todistetaan malliksi lauseen kohta 10 (kontrapositio) tautologiaksi:
P
T
T
E
E
Q
T
E
T
E
¬Q
E
T
E
T
¬P
E
E
T
T
P ⇒Q
T
E
T
T
¬Q ⇒ ¬P
T
E
T
T
koko lause
T
T
T
T
Muut todistetaan vastaavaan tapaan (ks. mm. Tehtävä 1.2.4).
Tehtävä 1.2.4 Todista Lauseesta 1.2.3 kohta 12.
Määritelmä 1.2.5 Jos P1 ja P2 ovat lauseita ja jos ekvivalenssi P1 ⇔ P2 on
tautologia, niin sanotaan, että P1 ja P2 ovat loogisesti yhtäpitäviä eli loogisesti
ekvivalentteja (logical equivalence ). Tätä merkitään P1 ≡ P2 .
Esimerkki 1.2.6 Koska (P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)) on tautologia,
on
P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
Kahden lauseen looginen ekvivalenssi mahdollistaa logiikan lausekkeiden sieventelyn, jossa lausekkeen osia pyritään korvaamaan yhtäpitävillä (yksinkertaisemmilla) lausekkeilla.
Esimerkki 1.2.7 Sievennetään lauseke (¬P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q).
Sovelletaan ensin II osittelulakia (takaperin):
(¬P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q) ≡ (¬P ) ∧ (Q ∨ ¬Q).
Nyt Q ∨ ¬Q ≡ T, joten
(¬P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q) ≡ (¬P ) ∧ (Q ∨ ¬Q) ≡ (¬P ) ∧ T ≡ ¬P.
Tehtävä 1.2.8 Sievennä lauseet P ∨ (P ∧ Q) ja P ∧ (P ∨ Q).
Vihje: Muodosta totuusarvotaulukko . . .
1 LAUSELOGIIKKAA
1.3
16
Looginen päättely
Looginen päättely (argument ) muodostuu äärellisen monesta oletuksesta eli premisseistä (premise ) A1 , A2 , . . . , An ja johtopäätöksestä (conclusion ) B, joiden
kaikkien tulee olla logiikan lauseita. Päättelyt ovat siis muotoa: A1 , A2 , . . . , An .
Siis B.
Määritelmä 1.3.1 Äärellisen monesta lauseesta koostuva päättely
A1 , A2 , . . . , An . Siis B.
on johdonmukainen eli sitova (valid argument ), jos päättelylause
(A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An ) ⇒ B
on tautologia.
Esimerkki 1.3.2 Onko seuraava päättely johdonmukainen?
Jos 7 < 4, niin 7 ei ole alkuluku. Luku 7 ei ole < 4. Siis 7 on alkuluku.
Ratkaisu. Merkitään P := ”7 < 4” ja Q := ”7 on alkuluku”. Päättely voidaan
kirjoittaa muotoon
A1 :
A2 :
B:
P ⇒ ¬Q
¬P
Q
Muodostetaan totuusarvotaulukko päättelylausetta (A1 ∧ A2 ) ⇒ B varten:
P
T
T
E
E
Q
T
E
T
E
A1
¬Q P ⇒ ¬Q
E
E
T
T
E
T
T
T
A2
¬P
E
E
T
T
A1 ∧ A2
(P ⇒ ¬Q) ∧ ¬P
E
E
T
T
B
Q
T
E
T
E
(A1 ∧ A2 ) ⇒ B
T
T
T
E
Päättelylause ei ole tautologia, sillä viimeisellä rivillä on arvo epätosi. Siten päättely ei ole johdonmukainen.
Esimerkki 1.3.3 Onko seuraava päättely johdonmukainen?
Jos on opiskelija, saa alennusta VR:ltä. En ole opiskelija, joten en saa alennusta
VR:ltä.
Ratkaisu. Merkitään P := ”Olen opiskelija.” ja Q := ”Saan alennusta VR:ltä.”
Päättely on muotoa
1 LAUSELOGIIKKAA
17
P ⇒Q
¬P
¬Q
A1 :
A2 :
B:
Totuusarvotaulukon
P
T
T
E
E
Q
T
E
T
E
A1
P ⇒Q
T
E
T
T
A2
¬P
E
E
T
T
A1 ∧ A2
E
E
T
T
B
¬Q
E
T
E
T
(A1 ∧ A2 ) ⇒ B
T
T
E
T
rivillä 3 on nyt päättelylauseessa epätosi arvo, joten lause ei ole tautologia ja siten
päättely ei ole johdonmukainen.
Koska implikaatio on tosi aina paitsi silloin, kun siinä todesta seuraa epätosi, riittää päättelyn sitovuuden toteamiseksi tutkia ne tapaukset, jolloin premissien konjunktiolause
A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An
on tosi. On siis perusteltu
Käytännön sääntö: Päättely on johdonmukainen eli sitova, jos johtopäätös B on tosi aina silloin, kun kaikki premissit A1 , A2 , . . . , An
ovat tosia.
Esimerkki 1.3.4 Tutki logiikan menetelmin seuraavien päättelyjen johdonmukaisuutta.
a) Jos ei sada, menen ulos. Sataa. Siis en mene ulos.
b) Jos ei sada, menen ulos. En mene ulos. Siis sataa.
Ratkaisu. a) Merkitään P := ”Sataa.” ja Q := ”Menen ulos.”
Päättely on muotoa
A1 :
A2 :
B:
¬P ⇒ Q
P
¬Q
Tutkitaan tätä nyt edellä olevan käytännön säännön avulla. Totuusarvotaulukon
1 LAUSELOGIIKKAA
A2
P
T
T
E
E
18
Q
T
E
T
E
¬P
E
E
T
T
A1
¬P ⇒ Q
T
T
T
E
B
¬Q
E
T
E
T
ensimmäisellä rivillä premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Päättely
ei ole johdonmukainen.
b) Olkoot edelleen P = ”Sataa.” ja Q = ”Menen ulos.”
Päättely on nyt muotoa
A1 :
A2 :
B:
¬P ⇒ Q
¬Q
P
Tämän totuusarvotaulukossa
B
P
T
T
E
E
Q
T
E
T
E
¬P
E
E
T
T
A1
¬P ⇒ Q
T
T
T
E
A2
¬Q
E
T
E
T
ainoastaan toisella rivillä ovat kaikki premissit tosia. Koska myös johtopäätös on
tällä tosi, on päättely johdonmukainen.
Huomautus 1.3.5 On syytä tarkentaa, että edellä on logiikalla tarkoitettu nimenomaan perinteistä kaksiarvoista matemaattista logiikkaa, jossa totuusarvot ovat E
ja T. Tämä sopii hyvin teorianmuodostukseen, jossa tavoitellaan ehdotonta totuutta.
Vaikka formaalin logiikan juuret ovat antiikin kreikassa (Aristoteles), pidetään
englantilaista George Boolea (1815 - 1864) logiikan (ja samalla myös joukkoopin) matematisoijana. Häneltä on peräisin symbolien ja loogisten operaatioiden
käyttö; nyt logiikka nousi formaaliudessaan algebran ja analyysin rinnalle. Boolen
työtä jatkoivat mm. britti Augustus de Morgan (1806 - 1871) ja amerikkalainen
Benjamin Peirce (1809 - 1880).
Tekniikassa ja teollisuudessa käytetään nykyään paljon kulmikkaan kaksiarvoisen
logiikan ”pehmeämpää” laajennusta, nk. sumeaa logiikkaa , jonka alkuna pidetään
Lotfi A. Zadeh’in (1921 -) julkaisua Fuzzy sets vuonna 1965.
1 LAUSELOGIIKKAA
1.4
19
∗Sumeasta logiikasta
Sumea logiikka (fuzzy logic ) on matemaattisen logiikan laajennus, jossa lauseella
on diskreetin totuusarvon E = 0 ja T = 1 sijasta reaalinen totuusarvo suljetulla
välillä [0, 1]. Sumeassa logiikassa ei siis ole kyse siitä, mitä jokin on, vaan siitä,
kuinka varmasti tai paremminkin kuinka paljon jokin asia on. Siis esimerkiksi
kuinka paljon numero 3 on sama kuin numero 5. Numero 3 on selvästikin paljon
enemmän sama kuin numero 5 kuin esimerkiksi numero 23.
Sumeassa logiikassa peruskonnektiivit määritellään seuraavasti: jos P ja Q ovat
totuusarvoja väliltä [0, 1], niin
¬P := 1 − P
P ∨ Q := max(P, Q)
P ∧ Q := min(P, Q)
Sumeaan logiikkaan liittyy analogisesti mm. sumea joukko-oppi (ks. Luku 2) ja
niin edelleen. Sumeat systeemit soveltuvat erinomaisesti kaikenlaiseen prosessien
säätöön, jopa automaattipesukoneen ohjaukseen.
Esimerkki 1.4.1 Sumea logiikka on sisäänrakennettuna myös inhimillisessä elämässä:
”Pitkillä ihmisillä on iso jalka.”
”Pasi on melko pitkä.”
Siis: ”Pasilla on melko iso jalka.”
Esimerkki 1.4.2 Seuraavassa voitaisiin varmaan jopa laskea, jos skaalauksista
sovittaisiin:
”Jos x on vähän alle 5, niin y on vähän alle 20.”
”Luku x on vähän yli 5.”
Siis: ”Luku y on varmaankin vähän yli 20.”
Esimerkki 1.4.3 Entä nyt:
”Jos x on noin 10, niin y on erittäin pieni.”
”Luku x on lähes 100.”
Siis: ??
2
Joukko-oppia
Logiikka ja joukko-oppi ovat modernin matematiikan kulmakiviä. Esimerkiksi todennäköisyyslaskentaa on vaikea kuvitella ilman joukkoja (”tapahtumat”), ja tavanomaiset todistusmekanismit ovat ”helposti” muotoiltavissa logiikan ja joukkojen avulla. Mutta ei joukko-opin käyttö rajoitu pelkästään matematiikan piiriin,
sen käyttöalueina ovat esimerkiksi tietotekniikka, lingvistiikka ja informaatioteoria:
Loogiselta kannalta tarkasteltuna käänteistiedoston käyttö on joukkoopin sovellus ja joukko-oppi on siten käänteistiedostoihin perustuvan
tiedonhaun matemaattinen perusta. Jokaisen ammattimaisen tiedonhakijan on tarpeen hallita sen alkeet. Joukko-opin tuntemus on tärkeää myös tiedonhaun tutkimuksessa.
Internetix/Informaatiotutkimus
2.1
Joukko ja alkio
Joukko-opin peruskäsitteet ovat joukko (set ) ja alkio (element, point ). Näitä käsitteitä emme määrittele , sanomme vain, että ”joukko koostuu alkioista” tai että ”tietyt alkiot muodostavat tietyn joukon”. Alkeellisimmillaan joukko voidaan ilmaista
luettelemalla sen alkiot, esimerkiksi arpanopan silmäluvut S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Merkintä a ∈ A tarkoittaa ”a on joukon A alkio” eli ”alkio a kuuluu joukkoon
A”. Sen negaatio a ∈
/ A := ¬(a ∈ A) tarkoittaa ”a ei ole joukon A alkio” eli
”alkio a ei kuulu joukkoon A”. Edellä esimerkiksi 3 ∈ S mutta 8 ∈
/ S.
Käsitteelle joukko asetetaan seuraavat vaatimukset:
1) Jos A on joukko ja a mikä tahansa alkio, niin täsmälleen yksi väittämistä a ∈ A
ja a ∈
/ A on tosi (vrt. Luku 1.1).
2) Joukko ei saa esiintyä itsensä alkiona.
Huomautus 2.1.1 Kohta 1) sitoo joukko-opin kaksiarvoiseen logiikkaan ja kohta
2) sulkee pois ristiriitoja; esimerkiksi seuraavat määrittelyt eivät tuota joukkoja:
a) A := {1, A} (kehämääritelmä).
b) A := kaikkien joukkojen joukko (kehämääritelmä).
c) Joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita (Russellin paradoksi, ks. Luku 2.8).
Joukko voi toki olla jonkin toisen joukon alkio muttei itsensä alkio. Ongelmilta
välttyy yleensä sillä, että ottaa avuksi jonkin selkeän perusjoukon X, joka sisältää
kaikki tarkasteltavat alkiot, ja tutkii sitten joukon X alkioista koostuvia osajoukkoja (Luku 2.3).
2 JOUKKO-OPPIA
2.2
21
Joukkojen merkitseminen
Joukkoja voidaan esittää
a) luettelemalla sen alkiot aaltosulkeissa pilkulla erotettuina: {2, 6} ja {2, 4, 6, . . . }.
b) antamalla aaltosulkeissa alkio ja pystyviivan jälkeen ehto, joka joukon alkioiden pitää toteuttaa: { x | ehto alkiolle x }, esimerkiksi
{ x | x on kahdella jaollinen kokonaisluku }.
c) kuvaamalla joukon alkiot sanallisesti, esimerkiksi ”parittomien kokonaislukujen joukko”.
d) tavanomaisten sovittujen symbolien avulla: N, jne. . . . (ks. alla).
e) tuloksena muista joukoista saaduilla joukko-operaatiolla (ks. alla).
Tällä kurssilla käytetään seuraavia merkintöjä lukujoukoille:
N := {1, 2, 3, . . . }
N0 := {0, 1, 2, 3, . . . }
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }
Q := { m
| m ∈ Z, n ∈ N }
n
R
C := { x + iy | x ∈ R, y ∈ R }
A+
luonnollisten lukujen joukko
peruslukujen joukko
kokonaislukujen joukko
rationaalilukujen joukko
reaalilukujen joukko
kompleksilukujen joukko
joukon A aidosti positiivinen osa
Huomautus 2.2.1 Joskus merkitään N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Nollan kuuluminen
luonnollisten lukujen joukkoon on kuitenkin sopimuskysymys.
Reaaliakselin väleille käytetään tavanomaisia hakasulkumerkintöjä:
]a, b[ := { x ∈ R | a < x < b }
[a, b[ := { x ∈ R | a ≤ x < b }
]a, b] := { x ∈ R | a < x ≤ b }
[a, b] := { x ∈ R | a ≤ x ≤ b }
avoin väli
puoliavoin väli (avoin loppupäästä)
puoliavoin väli (avoin alkupäästä)
suljettu väli
Esimerkki 2.2.2 Joukoissa {2x + 1 | x ∈ ]1, 2] } ja ]3, 5] on samat alkiot.
Huomautus 2.2.3 Hakasulut varataan yleensä välien merkitsemiseen. Kuitenkin
äärellisen lukumääräjoukon määrittelemme seuraavasti:
{
∅,
jos n = 0,
[n] :=
{1, 2, 3, . . . , n} muutoin.
Lisäksi on muistettava:
Alkiot aaltosulkeissa: kyseessä on joukko.
Alkiot kaarisulkeissa: kyseessä on järjestetty jono lukuja (vektori).
2 JOUKKO-OPPIA
2.3
22
Joukko-opin käsitteitä
Seuraavassa luetellaan joitakin joukko-oppiin liittyviä peruskäsitteitä ja annetaan
niille vastaavuudet logiikassa.
Tyhjä joukko: Joukko, jossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjä joukko (empty set ).
Tyhjää joukkoa merkitään ∅ (joskus myös {}).
Logiikan vastaavuus: lause x ∈ ∅ on identtisesti epätosi , ts. epätosi kaikilla alkioilla x.
Perusjoukko: Jos kaikkien tarkasteltavien joukkojen alkiot ovat tietyssä laajemmassa joukossa X, tätä sanotaan perusjoukoksi (fundamental, universal set ).
Logiikan vastaavuus: x ∈ X on lause, joka on identtisesti tosi, siis tosi koko
perusjoukossa X.
Osajoukko: Joukko A on joukon B osajoukko (subset ), jos jokainen joukon A
alkio on myös joukon B alkio.
Merkintä on tällä kurssilla A ⊆ B, vaikka usein käytetään myös (epäloogista)
merkintää A ⊂ B (joka vastaisi paremmin aitoa osajoukkoa, ks. myöh.)
Logiikan vastaavuus: A ⊆ B, jos lause x ∈ A ⇒ x ∈ B on tosi kaikilla x ∈ X.
Esimerkki 2.3.1 a) Olkoon A := {1, 2} ja B := {1, 2, 3}. Tällöin A ⊆ B.
b) N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.
Samuus: Joukot A, B ⊆ X ovat identtiset eli sama joukko (identical, same,
equal ), jos niissä on täsmälleen samat alkiot. Samuutta merkitään A = B.
Logiikan vastaavuus: A = B, jos lause x ∈ A ⇔ x ∈ B on tosi kaikilla x ∈ X.
Esimerkki 2.3.2 Olkoot A := {1, 2}, B := {2, 1} ja C := {1, 2, 1}. Tällöin
A = B = C.
Huomautus 2.3.3 a) Aina pätee A ⊆ A.
b) A = B jos ja vain jos A ⊆ B ja B ⊆ A.
c) On erotettava merkit ∈ ja ⊆:
a ∈ B : a on joukon B alkio
A ⊆ B : A on joukon B osajoukko
Esimerkki 2.3.4 a) Olkoon A := {1, 2}. Tällöin on voimassa
∅ ⊆ A, 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈
/ A, {1} ⊆ A, {2} ⊆ A, {1, 2} ⊆ A ja {1, 2} = A,
mutta esimerkiksi merkinnät 1 ⊆ A ja {1} ∈ A eivät ole mielekkäitä.
2 JOUKKO-OPPIA
23
b) Jos kuitenkin B := {1, {1}}, niin myös {1} ∈ B on mielekäs ja totta!
c) Mitähän tarkoittaa lauseen A ⊆ B negaatio A ̸⊆ B?
Aito osajoukko: Jos A ⊆ B ja A ̸= B, niin A on joukon B aito osajoukko (proper
subset ). Aitoa osajoukkoa merkitsemme jatkossa A ( B.
Esimerkki 2.3.5 Selvästi {1, 2} ( {1, 2, 3}, samoin N ( Z ja Q ( R. Mitenkä
muut lukujoukot?
Yhdiste: Joukkojen A, B ⊆ X yhdiste (union ) on joukko, joka koostuu kaikista
joukkojen A ja B alkioista, ts. yhdiste on joukko (ks. Kuva 2)
A ∪ B := { x ∈ X | x ∈ A tai x ∈ B } = { x ∈ X | x ∈ A ∨ x ∈ B }.
Logiikan vastaavuus: (x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) tosi kaikilla x ∈ X.
X
X
A
B
B
A
Kuva 2: Kahden joukon yhdiste A ∪ B ja leikkaus A ∩ B
Esimerkki 2.3.6 Jos A := {1, 2} ja B := {2, 3}, niin A ∪ B = {1, 2, 3}.
Leikkaus: Joukkojen A, B ⊆ X leikkaus (intersection ) on joukko, joka koostuu
joukkojen A ja B yhteisistä alkioista, ts. leikkaus on joukko (ks. Kuva 2)
A ∩ B := { x ∈ X | x ∈ A ja x ∈ B } = { x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈ B }.
Logiikan vastaavuus: (x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) tosi kaikilla x ∈ X.
Esimerkki 2.3.7 Jos A := {1, 2} ja B := {2, 3}, niin A ∩ B = {2}.
Erilliset joukot: Joukot A ja B ovat erilliset eli pistevieraat (disjoint ), jos
A ∩ B = ∅.
Esimerkki 2.3.8 Jos A := {1, 2} ja B := {3, 4}, niin A ∩ B = ∅ eli A ja B ovat
erilliset.
2 JOUKKO-OPPIA
24
Joukkoerotus: Joukkojen A, B ⊆ X erotus (difference ) on joukko, johon kuuluvat ne joukon A alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon B, ts. joukko (ks. Kuva 3)
A \ B := { x ∈ X | x ∈ A ja x ∈
/ B } = {x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈
/ B }.
Logiikan vastaavuus: (x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)) tosi kaikilla x ∈ X.
X
X
B
A
A
Kuva 3: Joukkojen erotus A \ B ja joukon komplementti A = X \ A
Esimerkki 2.3.9 Jos A := {1, 2} ja B := {2, 3}, niin A \ B = {1}.
Komplementti: Joukon A ⊆ X komplementti (complement ) on joukko, johon kuuluvat kaikki ne perusjoukon X alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A, ts.
komplementti on joukko (ks. Kuva 3)
A = X \ A := { x ∈ X | x ∈
/ A }.
Muita merkintöjä: {A, Ac tai −A.
Logiikan vastaavuus: x ∈ A ⇔ ¬(x ∈ A) tosi kaikilla x ∈ X.
Esimerkki 2.3.10 Olkoon X := {1, 2, 3, 4, 5} (perusjoukko), A := {1, 2} ja
B := {2, 3}. Tällöin A = {3, 4, 5} ja B = {1, 4, 5}.
Edellä olevia joukko-operaatioita havainnollistavia kuvioita 2 ja 3 sanotaan Venndiagrammeiksi (englantilainen John Venn, 1834 - 1923).
Tulojoukko: Joukkojen X ja Y tulojoukko (product ) eli karteesinen tulo on joukko, jonka alkioina ovat kaikki järjestetyt parit, joissa ensimmäinen alkio on joukosta X ja jälkimmäinen alkio on joukosta Y, ts. joukko
X × Y := { (x, y) | x ∈ X ja y ∈ Y }.
Logiikan vastaavuus: (x, y) ∈ X × Y ⇔ ((x ∈ X) ∧ (y ∈ Y)).
Esimerkki 2.3.11 Olkoon X := {1, 2} ja Y := {2, 3}. Tällöin
X × Y = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.
2 JOUKKO-OPPIA
25
Tehtävä 2.3.12 Olkoon X := {1, 2} ja Y := {♡, ♣, ♢}. Mitkä seuraavista
olioista ovat joukon X × Y alkioita:
a) (1, 1)
d) (1, ♡)
b) (2, ♢)
e) (3, ♢)
c) (1, 2, ♣)
f) {1, ♡}
g) (♢, 1) ?
Tulojoukkoja ja niiden osajoukkoja, relaatioita, käsitellään Luvussa 4.
Potenssijoukko: Joukon A ⊆ X potenssijoukko (power set ) on joukon A kaikkien osajoukkojen joukko
P(A) = 2A := { B ⊆ X | B ⊆ A }.
Esimerkki 2.3.13 Olkoon A := {1, 2} ja B := {2, 3, 4}. Tällöin
P(A) = {∅, {1}, {2}, A}
P(B) = {∅, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, B} .
Huomautus 2.3.14 Jokaisen joukon potenssijoukko on aidosti ”suurempi” joukko kuin joukko itse. Tätä asiaa käsitellään tarkemmin Luvussa 11.1.
Tehtävä 2.3.15 Olkoon A := {2, {2, 4}, 5}. Mitkä seuraavista ovat totta:
a) 2 ∈ A
e) 4 ∈ A
i) {2, 4} ⊆ A
2.4
b) 2 ⊆ A
f) 4 ⊆ A
j) {2, 4} ∈ A
c) {2} ∈ A
g) {4} ∈ A
k) {{2, 4}} ⊆ A
d) {2} ⊆ A
h) {4} ⊆ A
l) {{2, 4}} ∈ A
Joukko-opin kaavoja
Myös mutkikkaampia joukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Venndiagrammeilla kuten Kuvassa 4.
X
X
A
B
A
B
C
Kuva 4: Joukko-operaatio A ∪ (B ∩ C) ja yhtälö (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A
2 JOUKKO-OPPIA
26
Lause 2.4.1 Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. Tällöin
a)
A∪B =B∪A
∪ vaihdannainen
b)
A∩B =B∩A
∩ vaihdannainen
c)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
∪ liitännäinen
d)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
∩ liitännäinen
e)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
I osittelulaki
f)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
II osittelulaki
g)
A=A
h)
A∪B =A∩B
I de Morganin laki
i)
A∩B =A∪B
II de Morganin laki
j)
A⊆B ⇔ B⊆A
k)
A = B ⇔ A ⊆ B ja B ⊆ A
l)
A\B =A∩B
m)
A ∪ A = A, A ∩ A = A
n)
A ∪ X = X, A ∩ X = A
o)
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅
p)
X = ∅, ∅ = X
q)
A ∪ A = X, A ∩ A = ∅
r)
A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B
s)
A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B.
kaksoiskomplementti
idempotenssi
Todistus. Väitteet voidaan todistaa esimerkiksi käyttäen Lauseen 1.2.3 tautologioita, siis loogisia ekvivalenttiuksia. Todistetaan malliksi kohdat e) ja h).
2 JOUKKO-OPPIA
27
Olkoot A, B, C ⊆ X joukkoja. Kohdan e) osoittaa seuraava looginen muunnosketju: Jokaisella x ∈ X on totta
x ∈ A ∪ (B ∩ C) ≡
≡
≡
≡
≡
x∈A∨x∈B∩C
x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)
x∈A∪B∧x∈A∪C
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Tämä tarkoittaa, että joukoissa on samat alkiot, eli A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
Todistetaan vastaavaan tapaan h), siis että A ∪ B = A ∩ B. Käytetään kuitenkin
nyt yhtäpitävyyksiä matematiikan arkisemmassa muodossa:
x∈A∪B ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
¬(x ∈ A ∪ B)
¬(x ∈ A ∨ x ∈ B)
¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
x ∈ A ∩ B.
Siis A ∪ B = A ∩ B. Täydennä molempiin perustelut!
Tehtävä 2.4.2 Lisää todistukseen kunkin vaiheen perustelut, esimerkiksi viittaukset sopiviin lauselogiikan kaavoihin.
Huomautus 2.4.3 Koska liitäntälait c) ja d) ovat voimassa, on mielekästä ja yksikäsitteistä käyttää merkintäjä A ∪ B ∪ C ja A ∩ B ∩ C. Merkinnöillä A ∩ B ∪ C ja
A ∪ B ∩ C ei ole sovittua tarkoitusta, vrt. kaavat e) ja f). Tällaisia ei pidä käyttää.
2.5
Joukko-opin väitteiden todistaminen
• Venn-diagrammien avulla voi usein havaita, onko väite voimassa vai ei,
mutta Venn-diagrammit eivät todista väitettä.
• Väitteitä todistetaan ’sieventämällä’ lausekkeita tunnettuja kaavoja käyttäen
tai soveltamalla logiikan tautologioita lauseisiin x ∈ A, x ∈ B jne.
• Se, ettei väite ole voimassa, osoitetaan aina näyttämällä vastaesimerkki.
• Muotoa A = B oleva väite kannattaa usein osoittaa kahdessa vaiheessa:
A ⊆ B ja B ⊆ A eli
x ∈ A ⇒ x ∈ B ja x ∈ B ⇒ x ∈ A.
2 JOUKKO-OPPIA
28
Esimerkki 2.5.1 Osoita, että A = (A \ B) ∪ (A ∩ B).
Ratkaisu. Olkoon perusjoukkona X. Kuvan 5 Venn-diagrammin mukaan kaava
näyttäisi pätevän.
X
U
A B
A\B
B
A
Kuva 5: Esimerkin 2.5.1 Venn-diagrammi
Todistustapa 1: Joukko-opin kaavojen mukaan (kohdat n, q, f ja l)
A = A ∩ X = A ∩ (B ∪ B)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
= (A \ B) ∪ (A ∩ B).
Todistustapa 2: Osoitetaan alkiotasolla
1) A ⊆ (A \ B) ∪ (A ∩ B)
2) (A \ B) ∪ (A ∩ B) ⊆ A.
ja
1) Olkoon x ∈ A. Jos x ∈ B, niin x ∈ A ∩ B. Jos x ∈ B, niin x ∈ A \ B. Siis
joka tapauksessa x ∈ (A \ B) ∪ (A ∩ B). Näin ollen A ⊆ (A \ B) ∪ (A ∩ B).
2) Olkoon x ∈ (A \ B) ∪ (A ∩ B). Tällöin x ∈ A \ B tai x ∈ A ∩ B. Kummassakin
tapauksessa x ∈ A. Näin ollen (A \ B) ∪ (A ∩ B) ⊆ A.
Kohdista 1) ja 2) seuraa A = (A \ B) ∪ (A ∩ B).
Todistustapa 3: Logiikan lakien perusteella saadaan jokaisella x ∈ X:
x ∈ (A \ B) ∪ (A ∩ B) ⇔
⇔
⇔
⇔
x∈A\B∨x∈A∩B
[x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)] ∨ [x ∈ A ∧ x ∈ B]
x ∈ A ∧ [¬(x ∈ B) ∨ x ∈ B]
x ∈ A ∧ [x ∈
/ B ∨ x ∈ B]
|
{z
}
=T, sillä aina tosi
⇔ (x ∈ A) ∧ T
⇔ x ∈ A.
Siis A = (A \ B) ∪ (A ∩ B).
2 JOUKKO-OPPIA
29
Esimerkki 2.5.2 Olkoot A, B ja C perusjoukon X osajoukkoja. Päteekö kaava
(B \ A) ∪ (B \ C) = B \ (A ∪ C)?
Ratkaisu. Kuvan 6 Venn-diagrammin mukaan näyttäisi, että kaava ei päde. VennA
X
A
B
C
B
C
X
(B \ A) U (B \ C)
B \ (A U C)
Kuva 6: Onko (B \ A) ∪ (B \ C) = B \ (A ∪ C) ?
diagrammista saadaan myös vihje vastaesimerkkiä varten: järjestetään yksi alkio
alueelle, joka ei ole toisessa mukana. Valitaan ”minimalistisesti” X := {1}, A :=
{1}, B := {1} ja vaikkapa C := ∅. Silloin A, B, C ⊆ X ja
(B \ A) ∪ (B \ C) = ∅ ∪ {1} = {1}
B \ (A ∪ C) = {1} \ {1} = ∅.
Siis kaava ei päde esimerkiksi edellä valituilla joukoilla.
Tehtävä 2.5.3 Onko Esimerkin 2.5.2 joukkoyhtälö sitten aina epätosi?
Esimerkki 2.5.4 Todista, että jos A ⊆ B, niin B ⊆ A.
Ratkaisu. Olkoon A ⊆ B. Osoitetaan, että x ∈ B ⇒ x ∈ A: Olkoon x ∈ B.
Tällöin x ∈
/ B. Koska A ⊆ B ja x ∈
/ B, niin x ∈
/ A. Siis x ∈ A. Näin ollen
B ⊆ A.
Tehtävä 2.5.5 Päteekö yhtälö (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)?
Tehtävä 2.5.6 Päteekö A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ C?
Tehtävä 2.5.7 Päteekö A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)?
Todistus. Joukko-opin kaavojen mukaan (miten?)
A \ (B ∪ C) = A ∩ B ∪ C = A ∩ (B ∩ C)
= (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
2 JOUKKO-OPPIA
2.6
30
Yleisempää joukko-oppia
Olkoon A kokoelma erään perusjoukon X osajoukkoja. Oletetaan, että joukot A1 ,
A2 , . . . , An ∈ A.
Yhdiste: Joukkojen A1 , A2 , . . . , An yhdiste on joukko
n
∪
Ai := { x ∈ X | x ∈ Ai jollakin i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} },
i=1
siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioista x, jotka kuuluvat johonkin joukoista
Ai , i = 1, 2, 3, . . . , n.
Leikkaus: Joukkojen A1 , A2 , . . . , An leikkaus on joukko
n
∩
Ai := { x ∈ X | x ∈ Ai jokaisella i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} },
i=1
siis joukko, joka muodostuu kaikista alkioista x, jotka kuuluvat jokaiseen joukkoon Ai , i = 1, 2, 3, . . . , n.
Esimerkki 2.6.1 Olkoon Ai := {1, 2, . . . , i}, ts. A1 := {1}, A2 := {1, 2}, A3 :=
{1, 2, 3} jne. Tällöin
n
∪
Ai = {1, 2, . . . , n} = An
i=1
ja
n
∩
Ai = {1} = A1 .
i=1
Karteesinen tulo: Joukkojen X1 , X2 , . . ., Xn tulojoukko eli karteesinen tulo on
joukko
n
∏
Xi = X1 × X2 × · · · × Xn := {(x1 , x2 , . . . , xn ) | x1 ∈ X1 , . . . , xn ∈ Xn },
i=1
siis joukko, joka muodostuu järjestetyistä jonoista (x1 , x2 , . . . , xn ). Esimerkiksi
voidaan merkitä
n
∏
n
R=R
{z· · · × R} = R .
| ×R×
i=1
n kpl
2 JOUKKO-OPPIA
31
Äärettömät yhdisteet ja leikkaukset: Jos A1 , A2 , . . . ovat perusjoukon X osajoukkoja, niin
∞
∪
i=1
∞
∩
Ai := { x ∈ X | x ∈ Ai jollakin i ∈ N },
Ai := { x ∈ X | x ∈ Ai kaikilla i ∈ N }.
i=1
Vielä yleisemmin: Olkoon A kokoelma perusjoukon X osajoukkoja. Silloin
∪
A := { x ∈ X | x ∈ A jollakin A ∈ A },
A∈A
∩
A := { x ∈ X | x ∈ A kaikilla A ∈ A }.
A∈A
Esimerkki 2.6.2 Olkoon perusjoukkona X := R ja Ax := [x, x+1] kaikilla x ∈
R. Silloin
A := { Ax | x ∈ R }
on kaikkien yhden yksikön pituisten suljettujen välien kokoelma, ja
∪
∪
A =
Ax = R,
A∈A
∩
A∈A
x∈R
A =
∩
Ax = ∅.
x∈R
Erikoisesti arvoilla x = i ∈ N saadaan vain
∞
∪
i=1
∞
∩
Ai = [1, 2] ∪ [2, 3] ∪ [3, 4] ∪ . . . = [1, ∞[ ,
Ai = ∅.
i=1
]
[
∩∞
∪
Esimerkki 2.6.3 Olkoot Ai := 0, 1 + 1i , i ∈ N. Mitä ovat ∞
i=1 Ai ?
i=1 Ai ja
Ratkaisu. Kuviosta 7 voinemme saada idean, että voisi hyvinkin olla:
∪
a) ∞
i=1 Ai = ]0, 2[,
∩∞
b) i=1 Ai = ]0, 1].
Todistetaan
kohdan a) väite näyttämällä, että:
∪∞
⊆ ]0, 2[ ja
1) i=1 Ai ∪
2) ]0, 2[ ⊆ ∞
i=1 Ai .
2 JOUKKO-OPPIA
32
A1 = ]0,2[
0
1
2
A2 = ]0, _23[
0
1
2
0
1
2
4
A3 = ]0, _3 [
Kuva 7: Esimerkin 2.6.3 välejä
1) Jos x ∈
∪∞
i=1
[
]
Ai niin x ∈ Ai jollakin i eli x ∈ 0, 1 + 1i ⊆ ]0, 2[.
2) Jos x ∈ ]0, 2[, on 0 < x < 2∪ja on olemassa i ∈ N, jolle x ∈ Ai (tässä ainakin
i = 1 kelpaa). Siten myös x ∈ ∞
i=1 Ai .
Todistetaan
niinikään kohdan b) väite näyttämällä, että:
∩
A
⊆ ]0, 1] ja
1’) ∞
i=1 i ∩
2’) ]0, 1] ⊆ ∞
i=1 Ai .
∩
1’) Olkoon x ∈ ∞
i=1 Ai mielivaltainen, ts. x ∈ Ai kaikilla i ∈ N. Täten 0 <
x < 1 + 1/i kaikilla i ∈ N. Riittää osoittaa, että ei voi olla x > 1. Jos näin
olisi, voitaisiin lukujen 1 ja x∩välistä löytää luku 1 + 1/k, kun k on riittävän suuri.
Silloin x ∈
/ Ak , ja siten x ∈
/ ∞
i=1 Ai . On siis oltava x ∈ ]0, 1].
2’) Olkoon x ∈ ]0, 1] mielivaltainen.
Silloin 0 < x ≤ 1 < 1 + 1/i, joten x ∈ Ai
∩
jokaisella i ∈ N. Siis x ∈ ∞
A
.
i=1 i
Esimerkki 2.6.4 Olkoon perusjoukkona euklidinen taso R2 = R × R. Tason yksikkökiekko on joukko
D := { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1 }.
Olkoon A kaikkien niiden 1-säteisten tasoympyröiden joukko, joiden keskipiste
on yksikkökiekossa D. Mitä ovat seuraavat joukot?
∪
A =
A∈A
∩
A =
A∈A
Ympyröiden yhdiste (JavaSketchpad-visualisointi)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/KiekkojenYhdiste.htm
2 JOUKKO-OPPIA
2.7
33
Joukkojen alkiomääristä
Puetaan lauseiksi intuitiivisesti ilmeiset äärellisten joukkojen yhdisteiden ja tulojen alkiomääriä koskevat tulokset. Merkintä #X tarkoittaa jatkossa äärellisen
joukon X alkioiden lukumäärää. Asiaan palataan tarkemmin Luvussa 11.
Lause 2.7.1 a) Kahden erillisen äärellisen joukon A, B ⊆ X alkiomäärille on
voimassa
#(A ∪ B) = #A + #B.
b) Kahden äärellisen joukon A, B ⊆ X alkiomäärille on voimassa
#(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B)
c) Kolmelle äärelliselle joukolle A, B, C ⊆ X pätee yhteenlaskukaava
#(A ∪ B ∪ C) = #A + #B + #C
−#(A ∩ B) − #(A ∩ C) − #(B ∩ C)
+#(A ∩ B ∩ C).
Todistus. a) Väite on varsin järkeenkäypä.
b) Seuraa edellisestä samuuksia A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), B = (B \ A) ∪ (A ∩ B)
ja
A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)
(ks. Luku 2.5) soveltaen.
c) Voidaan päätellä vastaavaan tapaan. Laskettaessa kaikkien alkioiden määrää
tulevat kaksittaisissa leikkauksissa olevat lasketuiksi kahteen kertaan, ja kaikkien
kolmen leikkauksessa kolmesti. Mutta tästä kolmen leikkauksesta tulevat poistetuiksi kaikki, joten ne on lisättävä.
Lause 2.7.2 (summaperiaate) Jos A1 , A2 , . . ., An ⊆ X on äärellinen kokoelma
pareittain erillisiä äärellisiä joukkoja, niin niiden yhdiste on äärellinen ja
( n
)
n
∪
∑
#
Ak =
#Ak .
k=1
k=1
Lauseiden 2.7.2 ja 2.7.1 yleistys joukkojen yleinen yhteenlaskukaava eli summaja erotusperiaate :
2 JOUKKO-OPPIA
34
Lause 2.7.3 (joukkojen yhteenlaskukaava) Jos A1 , A2 , . . ., An ⊆ X, n ∈ N,
ovat äärellisiä joukkoja, niin
#(A1 ∪ . . . ∪ An ) =
n
∑
i=1
+
∑
#Ai −
∑
#(Ai ∩ Aj )
1≤i<j≤n
#(Ai ∩ Aj ∩ Ak )
1≤i<j<k≤n
− · · · + (−1)n−1 #(A1 ∩ . . . ∩ An ).
Todistus sivuutetaan tässä yhteydessä, mutta havainnollistukseksi:
Tehtävä 2.7.4 Kirjoita auki joukkojen yleinen yhteenlaskukaava neljän joukon
tapauksessa.
Aloita ottamalla esimerkiksi joukot A1 , A2 , A3 , A4 ⊆ X.
Tehtävä 2.7.5 Lauseen 2.7.3 yhteenlaskukaavassa voidaan kaksittaisten, kolmittaisten etc. leikkausten lisäksi tulkita ensimmäisen summan yhteenlaskettavat ’yksittäisten’ leikkausten alkioiden summaksi. Niinpä voidaan laskea kuinka monta
termiä kaavan oikealla puolella on. Kahden joukon tapauksessa niitä oli 3, kolmen
joukon tapauksessa 7, ja tietysti yhden joukon tapauksessa 1. Tehtävästä 2.7.4 pitäisi voida nähdä niitä olevan neljän joukon tapauksessa 15.
Entäpä viiden joukon tapauksessa? Yleisesti?
Vihje: Kuinka monella tavalla voidaan ottaa k alkiota n alkion joukosta?
Lause 2.7.6 (tuloperiaate) Äärellisten joukkojen X ja Y tulojoukon alkiomäärille on
#(X×Y) = #X · #Y.
Yleisesti: Jos X1 , X2 , . . ., Xn , n ∈ N, on kokoelma äärellisiä joukkoja, niin niiden
tulojoukko on äärellinen ja
( n
)
n
∏
∏
#
Xk =
#Xk .
k=1
k=1
Lause 2.7.7 Jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvulle n ∈ N0 pätee:
Jos joukossa A on n alkiota, niin sen potenssijoukossa P(A) on 2n alkiota.
Väite perustellaan induktiotodistuksella Luvussa 10.2.
Joukkojen alkiomäärän käsitettä laajennetaan Luvussa 11 koskeman myös äärettömiä joukkoja.
2 JOUKKO-OPPIA
2.8
35
Joukko-opin ongelmista
Palataan vielä luvun alussa mainittuun joukko-opin ongelmallisuuteen.
Saksalaiset matemaatikot Georg Cantor (1845 - 1918) ja Gottlob Frege (1848 1925) kehittivät nk. naiivin joukko-opin (johon mekin tässä esityksessä tyydymme), jonka piti olla täydellinen ja ristiriidaton. Hanke kaatui (jossain määrin), kun
brittiläinen filosofi-matemaatikko Bertrand Russell (1872 - 1970) esitti keksimänsä paradoksin v. 1901.
Esimerkki 2.8.1 (Russellin paradoksi) Sovimme jo, että joukon ei sallita olla
itsensä alkio, ja että emme muodosta ”kaikkien joukkojen joukkoa”, koska nämä
johtavat ikävyyksiin. Voisimmekohan kiertää tämän vaikkapa seuraavasti: Muodostetaan joukko, johon kootaan kaikki ne joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita:
R := { A | A ∈
/ A }.
Nyt tietysti mielivaltaisesta joukosta B pitäisi voida sanoa että joko B ∈ R tai
B∈
/ R. Mutta miten on joukon R itsensä laita?
1) Jos on R ∈ R, niin joukon R määritelmän mukaan se ei saa olla itsensä alkio
eli R ∈
/ R.
2) Jos taas on R ∈
/ R eli R ei ole itsensä alkio, niin nyt joukon R määritelmän
mukaan R ∈ R.
Kansanomainen versio paradoksista: Eräässä syrjäisessä kylässä ei siedetä parrakkaita. Kylässä on vain yksi parturi ja hän on mies. Osa kyläläisistä ajaa partansa
itse, muiden parran leikkaa kyläparturi. Leikkaako parturi oman partansa?
Russellin paradoksi johti järeämmän aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen.
Sen rakentajia olivat saksalaiset Ernst Zermelo (1871 - 1956) ja Abraham Fraenkel
(1891 - 1965), ja lopulta norjalainen Thoralf Skolem (1887 - 1963). Tässä nk. ZFaksiomatiikassa on aksioomia 9. Jos lisäksi hyväksytään kymmenes aksiooma,
jossain määrin kiistanalainen Valinta-aksiooma C (Axiom of Choice ), puhutaan
ZFC-aksiomatiikasta.
Aksiomaattisen joukko-opin muotoutumiseen vaikutti suuresti myös itävaltalainen Kurt Gödel (1906 - 1978). Hän todisti nk. epätäydellisyyslauseen, jonka mukaan jokaisessa formaalisessa järjestelmässä (kuten aksiomatiikoissa) on ainakin
yksi tosi lause, jota ei kuitenkaan voi todistaa tämän kyseisen järjestelmän puitteissa. On siis olemassa tosia ja epätosia lauseita, joiden totuussarvoa ei voida
perustella kyseisessä aksiomatiikassa. Näin matematiikka ei voikaan olla sisäisesti täysin konsistentti, ja mm. Fregen yritys luoda täydellinen rakennemalli (edes
silloiselle) matematiikalle oli tuomittu epäonnistumaan.
2 JOUKKO-OPPIA
36
Frege ei kestänyt työhönsä kohdistunutta iskua, vaan katkeroitui ja vetäytyi tutkimusalalta
riviopetustyöhön. Cantorkaan ei lopulta kestänyt hänen matematiikkaansa kohdistettua
kritiikkiä; hänen elämänsä viimeiset vuodet kuluivat mielisairaalassa. Gödel taas kuvitteli
nuoruudestaan lähtien itselleen erilaisia sairauksia. Vanhetessaan hän alkoi pelätä, että
hänet myrkytetään, ja lopulta – syömättömyyttään – kuoli aliravitsemukseen.
Tehtävä 2.8.2 Ota selville – jos uskallat – aksiomaattisen joukko-opin aksioomat,
Valinta-aksiooma ja Kontinuumihypoteesi.
2 JOUKKO-OPPIA
37
∗Sumeasta joukko-opista
2.9
Sumeat joukot (fuzzy set ) ovat sumean logiikan (ks. Luku 1) kanssa yhteensopiva
joukko-opin laajennus. Siinä alkio voi kuulua kokonaan tai ’jossain määrin’ tiettyyn joukkoon. Esimerkiksi ihmisten joukko voidaan jakaa sumeisiin osajoukkoihin ”lapset”, ”nuoriso”, ”aikuiset”, ja ”vanhat”. Yhden ihmisen voidaan (tietyllä
hetkellä) katsoa kuuluvan jossain määrin sekä lasten että nuorten joukkoon. Sopimalla yhteinen matemaattinen malli voidaan ilmiö mekanisoida ’laskennoksi’.
Tavallisessa joukko-opissa alkion kuulumista joukkoon A ⊆ X voidaan mitata
totuusarvoin tai nk. karakteristisen funktion avulla;
{
1, x ∈ A
χA (x) :=
0, x ∈ X \ A
Sumeassa joukko-opissa tavallisen perusjoukon X sumeaa osajoukkoa A voidaan
karakterisoida nk. jäsenyysfunktiolla JA , jonka maalijoukoksi otetaan suljettu väli
[0, 1]. Alkion x kuuluessa kokonaan joukkoon A sillä on täysi jäsenyysaste 1 tässä
joukossa, JA (x) = 1. Yleisesti siis jokaiselle perusjoukon alkiolle ja sumealle
osajoukolle 0 ≤ JA (x) ≤ 1.
Esimerkki 2.9.1 Ihmisten sumean osajoukon ”nuoriso” jäsenyysfunktion valinta
on tietenkin tulkinnanvarainen, eräs ehdotus näkyy Kuvassa 8.
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Kuva 8: Eräs ehdotus nuorison jäsenyysfunktioksi iän mukaan
Tehtävä 2.9.2 Hahmottele joukon ”lapset” jäsenyysfunktiota.
3
Lausefunktiot
Luvuissa 1 ja 2 esitellyt lauselogiikka ja joukko-oppi yhdistyvät hyödyllisellä tavalla nk. kvanttorien avulla. Tarkasteltavat ”lausefunktiot” ovat todellakin tulkittavissa (totuusarvoisiksi) funktioiksi (ks. Luku 5), mutta tässä emme funktioformalismia vielä täysin käytä.
3.1
Avoin lause ja kvanttorit
Määritelmä 3.1.1 Olkoon A ⊆ X epätyhjä joukko. Ilmaus P (x) on joukossa
A määritelty avoin lause eli lausefunktio (predicate, propositional function ), jos
P (x) on looginen lause (tosi tai epätosi) silloin, kun siihen sijoitetaan mikä tahansa joukon A alkio. Lausefunktion P ratkaisujoukko LP on niiden alkioiden x
muodostama joukko, joilla P on tosi.
Esimerkki 3.1.2 P (x) := ”x + 3 < 7” on reaalilukujen joukossa määritelty
lausefunktio. P on tosi, kun x < 4 ja epätosi, kun x ≥ 4. Täten LP = ]−∞, 4[.
Esimerkki 3.1.3 Q(n) := ”Luku n on parillinen.” on vaikkapa kokonaislukujen
joukossa määritelty lausefunktio. Tosia ovat arvot Q(2n) eli . . . , Q(−2), Q(0),
Q(2), Q(4),. . . ja epätosia kaikki arvot Q(2n + 1), missä n ∈ Z. Täten LQ =
{ 2n | n ∈ Z }.
Lausefunktioista voidaan muodostaa loogisia lauseita seuraavien kvanttorien (quantifier ) avulla:
∀ kaikkikvanttori (for all )
∃ olemassaolokvanttori (exists )
Muistisääntö: ’All’ → A → ∀,
’Exists’ → E → ∃.
Syntaksi: Kun P on muuttujasta x ∈ A riippuva lausefunktio, saadaan kaksi
erilaista (suljettua) lausetta
∃ x ∈ A : P (x) , luetaan ”On olemassa (ainakin yksi) x ∈ A, jolle P (x) on tosi.”
∀ x ∈ A : P (x) , luetaan ”Jokaisella x ∈ A on voimassa P (x).” tai ”Olipa x ∈ A
mikä tahansa, niin P (x) on tosi.”
Huomautus 3.1.4 a) Olemassaolokvanttorin yhteydessä kaksoispiste luetaan usein
”siten, että” tai ”sellainen . . . , että”
b) Kaikkikvanttorin yhteydessä kaksoispiste luetaan usein ”on voimassa” tai ”on
totta” .
3 LAUSEFUNKTIOT
39
Esimerkki 3.1.5 a) Lause
∃x∈R:x+3<7
luetaan ”On olemassa reaaliluku x, jolle pätee x + 3 < 7”.
Lause on tosi, sillä esimerkiksi 1 + 3 < 7.
b) Lause
∀x∈R:x+3<7
luetaan ”Kaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x + 3 < 7”.
Lause on epätosi, sillä esimerkiksi 5 + 3 ≥ 7.
Lausefunktiossa voi olla myös useita muuttujia. Lausefunktiota sanotaan yksi-,
kaksi-, kolme- jne. paikkaiseksi sen mukaan, kuinka monta muuttujaa siinä on.
Tehtävä 3.1.6 P (x, y) := ”x2 + y 2 = 1” on kaksipaikkainen lausefunktio, kun
määrittelyjoukko valitaan sopivasti. Keksi sellainen ja selvitä missä P se on tosi.
Joukossa A × B määritellystä kahden muuttujan avoimesta lauseesta P (x, y) saadaan kvanttorien avulla periaatteessa 8 eri lausetta:
1) ∃ x ∈ A, ∃ y ∈ B : P (x, y)
”On olemassa alkiot x ∈ A ja y ∈ B, joille P (x, y) on tosi.”
2) ∃ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y)
”On olemassa (kiinteä) x ∈ A siten, että jokaiselle y ∈ B on voimassa P (x, y).”
”On olemassa sellainen x ∈ A, että olipa y ∈ B mikä tahansa, P (x, y) on tosi.”
3) ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B : P (x, y)
”Jokaista x ∈ A kohti on olemassa sellainen y ∈ B, että P (x, y) on tosi.”
”Olipa x ∈ A mikä tahansa, niin aina löytyy sellainen y ∈ B, että P (x, y) pätee.”
4) ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y)
”Jokaisella x ∈ A ja y ∈ B on voimassa P (x, y).”
”P (x, y) pätee kaikilla x ∈ A ja y ∈ B.”
Vaihtamalla muuuttujien järjestys kvanttorien perässä saadaan toiset neljä:
1’) ∃ y ∈ B, ∃ x ∈ A : P (x, y)
2’) ∃ y ∈ B, ∀ x ∈ A : P (x, y)
3’) ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : P (x, y)
4’) ∀ y ∈ B, ∀ x ∈ A : P (x, y)
Kuitenkin vain 6 niistä on loogisesti erilaisia; nimittäin lauseilla 1) ja 1’) on aina
sama totuusarvo, samoin lauseilla 4) ja 4’).
3 LAUSEFUNKTIOT
40
Kvanttorien järjestyksen merkitys: Kun avointa lausetta suljettaessa käytetään
molempia kvanttoreita ∀ ja ∃, on oltava hyvin tarkkana; sekä niiden keskinäinen
järjestys että muuttujien järjestys voivat vaikuttaa lauseen totuusarvoon!
Esimerkki 3.1.7 Olkoon P (x, y) := ”y = |x|”, missä x ∈ R ja y ∈ R.
1) ∃ x ∈ R, ∃ y ∈ R : y = |x| on tosi, sillä esimerkiksi 1 = |1|.
2) ∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R : y = |x| on epätosi. Jokaisella x ∈ R on esimerkiksi
−1 = |x| epätosi.
3) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R : y = |x| on tosi. Mielivaltaiselle x ∈ R voidaan valita
y := |x|; silloin y = |x|.
4) ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R : y = |x| on epätosi, sillä esimerkiksi 1 ̸= |3|.
2’) ∃ y ∈ R, ∀ x ∈ R : y = |x| on epätosi. Olkoon y ∈ R mielivaltainen. Jos nyt
y = 0, valitaan vaikkapa x := 1, jolloin 0 ̸= |1|. Jos taas y ̸= 0, valitaan vaikkapa
x := 0. Silloin y ̸= |0|.
3’) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R : y = |x| on epätosi. Kun y := −1, niin arvosta x
riippumatta on y ̸= |x|.
Tehtävä 3.1.8 Kirjoita kvanttorien avulla lause: ”Jokaista reaalilukua x vastaa
sellainen luonnollinen luku n, että x kuuluu välille [n, n+1[.”
Tehtävä 3.1.9 Koeta esittää kvanttorien avulla nk. kokonaislukujen jakoyhtälö:
Jos m ∈ Z ja n ∈ N, on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt luvut q, r ∈ Z, joille
m = qn + r ja 0 ≤ r < n.
3.2
Lausefunktion negaatio
Kvanttoreilla suljetun lausefunktion negaatio saadaan vaihtamalla olemassaolokvanttori ∃ kaikkikvanttoriksi ∀ ja päinvastoin sekä ottamalla lausefunktion negaatio. Esimerkiksi:
• ¬ (∃ x ∈ A : P (x)) ≡ ∀ x ∈ A : ¬P (x)
”Ei pidä paikkaansa, että on olemassa x ∈ A, jolle P (x) pätee.”
”Ei ole olemassa alkiota x ∈ A, jolle P (x) pätee.”
”jokaiselle x ∈ A on P (x) epätotta.”
• ¬ (∀ x ∈ A : P (x)) ≡ ∃ x ∈ A : ¬P (x)
”Ei pidä paikkaansa, että kaikilla x ∈ A pätee P (x).”
”On olemassa ainakin yksi alkio x ∈ A, jolle P (x) ei päde.”
¬ (∃ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y))
≡
∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B : ¬P (x, y)
3 LAUSEFUNKTIOT
41
Lause on epätosi, jos ja vain jos sen negaatio on tosi. Se, että jokin lause on epätosi, voidaan perustella negaation avulla. Tarkemmin:
Huomautus 3.2.1 1) Lause ∃ x ∈ A, ∃ y ∈ B : P (x, y) osoitetaan todeksi konkreettisella esimerkillä ja epätodeksi näyttämällä, että kaikilla x ∈ A ja kaikilla
y ∈ B pätee ¬P (x, y).
2) Lause ∃ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y) osoitetaan todeksi antamalla esimerkki
jostakin sellaisesta x ∈ A, jolle P (x, y) on voimassa kaikilla y ∈ B.
Lause osoitetaan epätodeksi antamalla jokaista x ∈ A kohti esimerkki sellaisesta
y ∈ B, että ¬P (x, y) on voimassa.
3) Lause ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B : P (x, y) osoitetaan todeksi antamalla jokaista x ∈ A
kohti sellainen alkio y ∈ B, että P (x, y) on tosi.
Lause osoitetaan epätodeksi antamalla esimerkki sellaisesta alkiosta x ∈ A, että
kaikilla y ∈ B on voimassa ¬P (x, y).
4) Lause ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ B : P (x, y) osoitetaan todeksi näyttämällä, että kaikilla
x ∈ A ja kaikilla y ∈ B on voimassa P (x, y).
Lause osoitetaan epätodeksi antamalla (yhdet) alkiot x ∈ A ja y ∈ B, jolle
P (x, y) ei ole voimassa, ts. ¬P (x, y) on tosi.
Tehtävä 3.2.2 Mitkä seuraavista kolmen muuttujan lausefunktion avulla muodostetusta lauseista ovat tosia:
a) ∃ x, ∀ y, ∀ z : x(y + z 2 ) = 0
b) ∀ x, ∀ y, ∃ z : x(y + z 2 ) = 0
c) ∀ x, ∃ z, ∀ y : x(y + z 2 ) = 0
d) ∀ x, ∀ z, ∃ y : x(y + z 2 ) = 0
e) ∀ x, ∃ y, ∀ z : x(y + z 2 ) = 0
f) ∃ z, ∀ y, ∀ x : x(y + z 2 ) = 0
g) ∃ y, ∃ x, ∀ z : x(y + z 2 ) > 0
Tehtävä 3.2.3 Keksi esimerkki lausefunktiosta P (x, y, z), jolle seuraavilla lauseilla on eri totuusarvo:
a) ∃ x, ∀ y, ∃ z : P (x, y, z)
b) ∃ x, ∃ y, ∀ z : P (x, y, z)
Tehtävä 3.2.4 Keksi selitys seuraavalle (vrt. Luku 2.6) lauseelle:
∀ x ∈ B, ∃ i ∈ N : x ∈ Ai .
Tehtävä 3.2.5 Kannattaa huomata, että kvanttoreilla lauseeksi muunnettava lausefunktio voi olla johdettu lause, esimerkiksi implikaatiolause. Mikä onkaan implikaation P ⇒ Q negaatio, mikä vastaavan ekvivalenssin?
4
Relaatiot
Luvussa käsitellään tulojoukkojen osajoukkoja, nk. relaatioita, mm. ekvivalenssi ja järjestys, jotka ovat tärkeimpiä yhden joukon sisäisiä ei-algebrallisia relaatiotyyppejä. Tulojoukko esiintyi jo Luvussa 2. Luvussa 5 käsitellään tarkemmin
funktioita ja laskutoimituksia.
4.1
Tulojoukko
Epätyhjien joukkojen X ja Y tulojoukoksi eli karteesiseksi tuloksi (cartesian product ) X×Y sanotaan joukkoa, jonka alkioina on kaikki järjestetyt parit, joissa
ensimmäinen alkio on joukosta X ja jälkimmäinen alkio on joukosta Y, siis
X × Y := { (x, y) | x ∈ X ja y ∈ Y }.
Huomautus 4.1.1 Jos X = Y, niin voidaan merkitä X × X =: X2 .
Esimerkki 4.1.2 Olkoon X := {1, 2} ja Y := {2, 3}. Tällöin
X × Y = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)},
Y × X = { (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}.
Siis yleensä X × Y ̸= Y × X.
Lause 4.1.3 Olkoot X, Y ja Z joukkoja. Tällöin
a)
X × (Y ∪ Z) = (X × Y) ∪ (X × Z),
b)
X × (Y ∩ Z) = (X × Y) ∩ (X × Z),
c)
(X ∪ Y) × Z = (X × Z) ∪ (Y × Z),
d)
(X ∩ Y) × Z = (X × Z) ∩ (Y × Z).
Todistus. Todistetaan malliksi kohta b), muut kohdat jäävät harjoitustehtäviksi.
Logiikan laskusääntöjen mukaan (täydennä perustelut):
(x, y) ∈ X × (Y ∩ Z) ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
(x ∈ X) ∧ (y ∈ Y ∩ Z)
(x ∈ X ∧ x ∈ X) ∧ (y ∈ Y ∧ y ∈ Z)
(x ∈ X ∧ y ∈ Y) ∧ (x ∈ X ∧ y ∈ Z)
((x, y) ∈ X × Y) ∧ ((x, y) ∈ X × Z)
(x, y) ∈ (X × Y) ∩ (X × Z)
4 RELAATIOT
43
Tulojoukkoa voidaan havainnollistaa tasokuvion avulla. Kuvio voi olla koordinaatisto, mutta yhtä hyvin jokin abstraktimpi esitys.
Esimerkki 4.1.4 Olkoot X := {1, 2, 3}, Y := {2, 3} ja Z := {a, b, c}. Tällöin
X × Y = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)},
Y × Z = {(2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)},
joita esittävät Kuvan 9 tasokuviot
y
3
Z
c
2
b
1
a
1
3 x
2
2
3 Y
Kuva 9: Esimerkin 4.1.4 tasokuviohavainnollistukset
Esimerkki 4.1.5 Olkoot
X := [0, 1] = { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1 } ja
Y := [1, 2] = { x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2 }.
Tällöin Kuva 10 havainnollistaa tulojoukkoa
X × Y = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 ja 1 ≤ y ≤ 2 }.
y
2
1
x
0
1
2
Kuva 10: Esimerkin 4.1.5 tasokuviohavainnollistus
4 RELAATIOT
4.2
44
Relaatio
Määritelmä 4.2.1 Olkoot X ja Y epätyhjiä (perus)joukkoja. Kaikkia tulojoukon
X×Y osajoukkoja sanotaan relaatioiksi (relation ) joukosta (tai joukolta) X joukkoon Y. Jos R ⊆ X × Y ja (x, y) ∈ R, niin sanotaan: ”Alkio x on relaatiossa R
alkion y kanssa”. Relaatiossa R oloa merkitään myös xRy.
Esimerkki 4.2.2 Olkoot X := {1, 2, 3, 4}, Y := {1, 2, 3} ja
R := {(1, 2), (1, 3), (4, 1), (4, 2)}.
Tällöin R on relaatio joukosta X joukkoon Y. Relaatiota voidaan havainnollistaa
eri tavoin, Kuvassa 11 nuolidiagrammina ja karteesisena diagrammina.
X
1
Y
3
1
2
Y2
2
3
1
X
3
4
1
2
3
4
Kuva 11: Esimerkin 4.2.2 relaatio nuoli- ja tasokuviona
Esimerkki 4.2.3 Määritellään relaatio R ⊆ N × N asettamalla
xRy ⇔ x + y ≤ 4.
Ilmaise R järjestettyjen parien joukkona ja piirrä sen kuvaaja.
Ratkaisu. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)} ja kuvaaja Kuvassa 12.
y
3
2
1
1
2
3
x
Kuva 12: Esimerkin 4.2.3 kuvaaja
Tehtävä 4.2.4 Entä relaatio S ⊆ N × Z, xRy ⇔ x + y ≤ 4 ?
4 RELAATIOT
4.3
45
Relaation osapuolet, kuvat ja alkukuvat
Nimetään relaation osapuolet ja joukot, joiden kanssa tietty alkio tai joukko on
relaatiossa.
Määritelmä 4.3.1 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Relaatiossa R ⊆ X × Y
ensimmäistä joukkoa X sanotaan relaation lähtöjoukoksi (domain ) ja jälkimmäistä joukkoa Y sanotaan relaation maalijoukoksi (co-domain ). Sanomme myös, että
relaation suunta on joukosta X joukkoon Y.
Esimerkki 4.3.2 Joukosta
R := { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6) }
tulee relaatio ainakin seuraavilla valinnoilla:
a) Lähtöjoukko ja maalijoukko ovat X := {1, 2, 3, 4, 5, 6}; silloin R ⊆ X×X.
Myöskin tätä laajemmat joukot kelpaavat.
b) Lähtöjoukko on X := {2, 3} ja maalijoukko Y := {2, 4, 6}. Nämä ovat suppeimmat kelvolliset joukot, joille R ⊆ X×Y, ja siis on relaatio.
Tehtävä 4.3.3 Mitkä seuraavista joukoista sopivat joukon
R := { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6) }
lähtö- ja maalijoukoiksi X ja Y (ks. myös Esimerkki 4.3.2):
1) X := {1, 2, 3} ja Y := {1, 2, 4, 6}.
2) X := {2, 3, 4} ja Y := {3, 4, 5, 6}.
3) X := {−1, 2, 3} ja Y := R.
4) X := N ja Y := Q.
Huomautus 4.3.4 a) Monesti relaation lähtöjoukossa ja maalijoukossa on alkioita, jotka eivät lainkaan esiinny itse relaation alkiopareissa. Joskus nämä voidaan jättää kokonaan huomiotta (esimerkiksi poistamalla lähtö- tai maalijoukosta), mutta toisinaan ne vaikuttavat olennaisesti relaation ominaisuuksiin (esimerkiksi refleksiivisyys ja funktio-ominaisuus).
b) Englanninkielisessä terminologiassa ’lähtöjoukko’ on usein domain, mutta toisaalta tämä voi tarkoittaa myös todellista ’määrittelyjoukkoa’, joka voi olla suppeampi kuin lähtöjoukko. Funktion tapauksessa nämä ovat kuitenkin sama asia,
ominaisuus sisältyy funktion määritelmään (ks. Luku 4.5).
4 RELAATIOT
46
Usein on tarpeen poimia relaatiosta osia tai selvittää alkioihin tai osajoukkoihin
liittyvät jäsenet.
Määritelmä 4.3.5 Olkoon R ⊆ X×Y relaatio. Lähtöjoukon osajoukon A ⊆ X
kuvajoukko (image ) relaatiossa R on maalijoukon osajoukko
R(A) := { y ∈ Y | (x, y) ∈ R jollakin x ∈ A }.
Vastaavasti maalijoukon osajoukon B ⊆ Y alkukuvajoukko (pre-image ) on lähtöjoukon osajoukko
R−1 (B) := { x ∈ X | (x, y) ∈ R jollakin y ∈ B }.
Erityisesti lähtöalkion x ∈ X kuvajoukko on
R(x) := R({x}) = { y ∈ Y | (x, y) ∈ R }
ja maalialkion y ∈ Y alkukuvajoukko
R−1 (y) := R−1 ({y}) = { x ∈ X | (x, y) ∈ R }.
Relaation määrittelyjoukko (domain ) on koko maalijoukon alkukuva R−1 (Y) ⊆
X ja arvojoukko (range ) on koko lähtöjoukon kuvajoukko R(X) ⊆ Y.
Esimerkki 4.3.6 Joukon X := {1, 2, 3, 4, 5, 6} relaatiossa (ks. myös Esimerkki
4.3.2 ja Tehtävä 4.3.3)
R := {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}
alkion 2 kuvajoukko R(2) = {2, 4, 6} ja alkion 2 alkukuvajoukko R−1 (2) = {2}.
Joukon {1, 2} kuvajoukko on {2, 4, 6} ja joukon {3, 4, 5} kuvajoukko on {6}.
Joukon {1, 2, 3} alkukuvajoukko on {2} ja joukon {5, 6} alkukuvajoukko {2, 3}.
Joukon {1, 3, 5} alkukuvajoukko on ∅.
Esimerkki 4.3.7 Kuvassa 13 on esitetty eräs joukkojen X := {1, 2, 3, 4} ja Y :=
{a, b, c, d, e} välinen relaatio R.
Lähtöjoukon X alkioiden kuvajoukot ovat:
R(1) = {a}, R(2) = {a, b, d}, R(3) = {b, e}, R(4) = ∅.
Maalijoukon Y alkioiden alkukuvajoukot ovat:
R−1 (a) = {1, 2}, R−1 (b) = {2, 3}, R−1 (c) = ∅, R−1 (d) = {2}, R−1 (e) = {3}.
4 RELAATIOT
47
1
2
X
3
4
a
b
c Y
d
e
Kuva 13: Esimerkin 4.3.7 kaavio
Edelleen esimerkiksi
R({2, 3})
R({1, 4})
R({1, 2})
R−1 ({a, b})
R−1 ({b, c})
=
=
=
=
=
R({1, 2, 3}) = R(X) = {a, b, d, e}
R(1) = {a}
R({1, 2, 4}) = {a, b, d}
R−1 ({a, b, c}) = R−1 ({a, b, c, d}) = R−1 (Y) = {1, 2, 3}
R−1 ({b, c, d}) = R−1 ({b, c, d, e}) = R−1 ({d, e}) = {2, 3}.
Tehtävä 4.3.8 Relaation
C := { (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, x2 + y 2 = 1 }
lähtö- ja maalijoukot ovat R.
a) Määritä alkioiden 0, 1/2, 1 ja 2 kuvajoukot.
b) Määritä alkioiden 0, 1/2, 1 ja 2 alkukuvajoukot.
c) Mitkä olisivat suppeimmat mahdolliset lähtö- ja maalijoukot, joilla R voitaisiin
korvata niin, että C pysyisi samana joukkona?
Tehtävä 4.3.9 Määritä Esimerkin 4.3.7 (Kuva 13) tapauksessa
a) joukon {a, d} alkukuvan kuvajoukko.
b) alkion 2 kuvajoukon alkukuvajoukko.
4.4
Käänteisrelaatio ja relaatioiden yhdistäminen
Tutustutaan seuraavaksi relaatioiden kääntämiseen ja yhdistämiseen sekä todistetaan pari näitä koskevaa perustulosta.
Määritelmä 4.4.1 Relaation R ⊆ X × Y käänteisrelaatio (inverse relation ) on
joukko
R−1 := { (y, x) | (x, y) ∈ R }.
4 RELAATIOT
48
Huomautus 4.4.2 a) Jokaisella relaatiolla R ⊆ X × Y on käänteisrelaatio R−1
ja se on itsekin relaatio, koska R−1 ⊆ Y × X.
b) Relaatio ja käänteisrelaatio toteuttavat ehdon
⇔
xRy
yR−1 x,
ts. relaatioissa on samat parit mutta käänteisessä järjestyksessä; relaation suunta
on vaihtunut.
Esimerkki 4.4.3 Olkoot X := {1, 2, 3, 4}, Y := {y, z} ja
R := {(1, y), (3, y), (3, z), (4, y)},
ks. Kuva 14. Tällöin on R tulojoukon X × Y osajoukkona relaatio ja
R−1 = {(y, 1), (y, 3), (y, 4), (z, 3)}.
4
3
2
1
z
y
1 2 3 4
y z
Kuva 14: Esimerkin 4.4.3 relaatiot R ja R−1
Esimerkki 4.4.4 a) Olkoon A kaikkien suomalaisten kirjainten aakkosjärjestystä
kuvaava relaatio, siis
xAy
⇔
”x on kirjaimen y edellä”.
Tällöin yA−1 x tarkoittaa samaa: ”y on kirjaimen x jälkeen”.
b) Olkoon aKb jos ja vain jos ”a on oikealle kirjaimesta b”. Silloin bK −1 a tarkoittaa ”b on vasemmalle kirjaimesta a”.
Esimerkki 4.4.5 Edellä oli jo merkitty alkion kuvajoukkoa R(x) ja alkukuvajoukkoa R−1 (y). Koska
R(x) = { y ∈ Y | (x, y) ∈ R } = { y ∈ Y | (y, x) ∈ R−1 } = (R−1 )−1 (x),
voidaan aavistella, että R = (R−1 )−1 .
4 RELAATIOT
49
Lause 4.4.6 Jokaiselle relaatiolle R on R = (R−1 )−1 .
Todistus. Olkoon R ⊆ X×Y mielivaltainen relaatio. Sen käänteisrelaatio R−1 ⊆
Y×X, ja edelleen sen käänteisrelaatio (R−1 )−1 ⊆ X×Y. Siis R ja (R−1 )−1 ovat
saman perusjoukon X×Y osajoukkoja. Sen, että joukot ovat samat, osoittaa lasku
(x, y) ∈ R ⇔ xRy ⇔ yR−1 x ⇔ x(R−1 )−1 y ⇔ (x, y) ∈ (R−1 )−1 .
Määritelmä 4.4.7 Joukon X×X yksikkö- eli identtisyysrelaatio (unit, identity )
on
IdX := { (x, x) | x ∈ X }.
Määritelmä 4.4.8 Relaatioiden R ⊆ X×Y ja S ⊆ Y×Z yhdistetty relaatio eli
kompositio (composition ) on relaatio
S ◦ R := { (x, z) ∈ X×Z | jollekin y ∈ Y : xRy ja ySz }.
Huomautus 4.4.9 a) Joukkojen X ja Z välille voi siis syntyä relaatio välittävien
alkioiden y ∈ Y avulla (tai kautta).
b) Jos R ⊆ X×Y, niin R−1 ◦ R ⊆ X×X ja R ◦ R−1 ⊆ Y×Y.
c) Yksikkörelaatio IdX vastaa algebrallisessa mielessä nk. neutraalialkiota (ks.
Luku 9.2). Se on itse asiassa identtinen kuvaus Id(x) := x (ks. Luku 5).
Nimittäin, jokaiselle R ⊆ X×X on (harjoitustehtävä)
IdX ◦ R = R ◦ IdX = R.
Esimerkki 4.4.10 Ihmisten joukossa relaatio
”henkilö x on henkilön z setä”
on relaatioiden ”henkilö x on henkilön y veli” ja ”henkilö y on henkilön z isä” yhdistetty relaatio, sillä x on henkilön z setä, jos ja vain jos on (tai on ollut) olemassa
sellainen henkilö y, että henkilö x on y:n veli ja y on henkilön z isä.
Tehtävä 4.4.11 Olkoot X := {1, 2, 3}, Y := {a, b, c} ja Z := {α, β}. Piirrä
seuraavaan kuvioon nuolet, jotka kuvaavat relaatioita
R := {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, a)},
ja relaatioita S ◦ R sekä R−1 :
S := {(b, α), (c, α), (c, β)}
4 RELAATIOT
50
X
Y
R
1
Z
X
S◦R
S
a
b
2
c
−1
a
1
b
2
c
3
α
β
3
X
R
1
α
2
Z Y
β
3
Lause 4.4.12 Relaatioille R ⊆ X×Y ja S ⊆ Y×Z pätee laskusääntö
(S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1 .
Todistus. (S ◦ R)−1 ja R−1 ◦ S −1 ovat selvästikin relaatioita joukosta Z joukkoon X. Seuraava ekvivalenssiketju osoittaa relaatiot samoiksi: Kullakin (z, x) ∈
Z×X
(z, x) ∈ (S ◦ R)−1 ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
z(S ◦ R)−1 x
x(S ◦ R)z
jollekin y ∈ Y : xRy ja ySz
jollekin y ∈ Y : yR−1 x ja zS −1 y
jollekin y ∈ Y : zS −1 y ja yR−1 x
z(R−1 ◦ S −1 )x
(z, x) ∈ R−1 ◦ S −1 .
Lause 4.4.13 Relaatioille R ⊆ X×Y, S ⊆ Y×Z, T ⊆ Z×V pätee
(T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R).
Todistus. Koska T ◦ S ⊆ Y×V ja R ⊆ X×Y, on (T ◦ S) ◦ R relaatio joukosta
X joukkoon V. Koska T ⊆ Z×V ja S ◦ R ⊆ X×Z, on myös T ◦ (S ◦ R) relaatio
joukosta X joukkoon V. Väitteen osoittaa oikeaksi ekvivalenssiketju:
(
(x, v) ∈ (T ◦ S) ◦ R ⇔ x (T ◦ S) ◦ R)v
⇔ jollekin y ∈ Y : xRy ja y(T ◦ S)v
⇔ joillekin y ∈ Y, z ∈ Z : xRy, ySz ja zT v
⇔ jollekin
z ∈ Z): x(S ◦ R)z ja zT v
(
⇔ x T ◦ (S ◦ R) v
⇔ (x, v) ∈ T ◦ (S ◦ R)
4 RELAATIOT
51
Huomautus 4.4.14 a) Relaatioiden yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio.
Lauseen 4.4.13 mukaan tulo on kuitenkin liitännäinen, joten voidaan merkitä
T ◦ S ◦ R := (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R).
b) Joukon X×X relaatioiden joukko varustettuna kompositiolla ◦ on algebralliselta rakenteeltaan puoliryhmä, jonka neutraalialkio on diagonaali IdX . Käänteisrelaatio ei yleensä toteuta ryhmän käänteisalkiolta vaadittavia ehtoja
R ◦ R−1 = R−1 ◦ R = IdX ,
joten kyseessä ei ole ryhmä (vasta bijektiivisten kuvausten joukko on ryhmä, ks.
Luku 9.2).
c) Lauseiden 4.4.12 ja 4.4.13 tuloksia käyttäen voidaan laskea esimerkiksi
(T ◦ S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1 ◦ T −1 .
Joukon sisäiselle relaatiolle voidaan määritellä potenssit yhdistämällä sitä itsensä
kanssa toistuvasti:
Määritelmä 4.4.15 Relaation R ⊆ X×X n. potenssi (power ) Rn määritellään
luvuille n ∈ N0 seuraavasti:
1. R0 := IdX ,
2. Rn+1 := Rn ◦ R, n ∈ N0 .
Nyt esimerkiksi R3 = (R ◦ R) ◦ R = R ◦ R ◦ R. Mitä on R1 ? Määritelmän kohdat
1 ja 2 antavat tuloksen R1 = R0 ◦ R = IdX ◦ R. Mutta Huomautuksen 4.4.9
yhteydessäpä on tulos R = IdX ◦ R, joten R1 = R.
Esimerkki 4.4.16 Relaatio ”olla isoisä” on relaation ”olla isä” toinen potenssi,
”olla isoisän isä” kolmas potenssi jne.
Määritelmä 4.4.17 Sanomme, että R-ketju vallitsee alkioiden x ja y välillä, jos
niiden välillä vallitsee jokin relaation R potenssi.
Esimerkki 4.4.18 Relaatio ”isänpuoleinen esi-isä” on yleisessä muodossa esitetty R-ketju, kun R = ”isä”.
Tehtävä 4.4.19 Formuloi ”isä”-relaatio tarkemmin, ja kirjoita potenssimuodossa
”isänisänisänisänisänisä”.
4 RELAATIOT
4.5
52
Funktio
Määritelmä 4.5.1 Relaatio f ⊆ X × Y on funktio (function ) eli kuvaus (map )
joukosta X joukkoon Y, jos
F1)
jokaista x ∈ X vastaa y ∈ Y siten, että (x, y) ∈ f ,
F2)
jos (x, y1 ) ∈ f ja (x, y2 ) ∈ f , niin y1 = y2 .
Relaatio f ⊆ X × Y on siis funktio, jos ja vain jos jokaista x ∈ X vastaa täsmälleen yksi y ∈ Y siten, että (x, y) ∈ f .
Kaikki funktiot ovat relaatioita, mutta kaikki relaatiot eivät ole funktioita.
Esimerkki 4.5.2 Esimerkin 4.4.3 relaatio R = {(1, y), (3, y), (3, z), (4, y)} ei ole
funktio, koska 3Ry ja 3Rz (olettaen tietysti, että y ̸= z). Onko R−1 funktio?
Jos f ⊆ X × Y on funktio, käytetään merkintää f : X → Y. Jos lisäksi (x, y) ∈
f , niin merkitään f (x) := y ja sanotaan, että x on muuttuja (variable ) ja alkio y
on alkion x kuva (image ) funktiossa f .
Esimerkki 4.5.3 Olkoon X ihmisten joukko ja R ⊆ X × R relaatio
xRy ⇔ ihmisen x pituus on y.
Tällöin R on funktio joukolta X joukkoon R. Voidaan merkitä
f (x) := ihmisen x pituus.
Jaa, mutta eikös tässä ole jotain ongelmallista?
Esimerkki 4.5.4 Olkoot X := {1, 2, 3} ja Y := {1, 2, 3, 4, 5}. Relaatioista (ks.
Kuva 15)
R1 := {(1, 1), (2, 1), (3, 4), (1, 3)}
R2 := {(1, 1), (2, 1), (3, 4)}
R3 := {(1, 1), (2, 1)}
vain R2 on funktio. Miksi muut eivät ole?
Huomautus 4.5.5 a) Merkintä f tarkoittaa itse funktiota, f (x) tarkoittaa funktion
f arvoa pisteessä x.
b) Funktion f : X → Y määrittelyjoukolle (joka on sama kuin lähtöjoukko,
miksi?) käytetään joskus merkintää Mf = X. Vastaavasti arvojoukkoa merkitään
Af = f (X).
4 RELAATIOT
R1
53
R2
1
R3
1
1
1
2
1
2
1
2
2
3
2
3
2
3
3
4
3
4
3
4
X
5
X
Y
5
Y
X
5
Y
Kuva 15: Esimerkin 4.5.4 relaatiot
Tehtävä 4.5.6 Olkoon lähtöjoukko N ja maalijoukko sopiva Y, jotta sääntö n 7→
3n + 6 muodostaa funktion.
a) Keksi sopiva Y.
b) Mikä on funktion arvojoukko?
Tehtävä 4.5.7 Mitkä seuraavista kolmikoista ”lähtö - maali - sääntö” voivat muodostaa funktion jollakin järkevällä tavalla:
a) {1, 2, 3} - {2, 3, 4} - lisätään lukuun 1.
b) N - Z - arvotaan luvulle etumerkki.
c) Aakkoset - luvut - järjestysluku.
d) R - R+ - etäisyys.
e) Taso - R - etäisyys.
f) Kissat - koirat - tykkääminen.
Huomautus 4.5.8 Milloin kaksi funktiota ovat samat? Kaksi funktiota f : X →
Y ja g : U → V ovat samat (identical ), merkitään f = g (tai myös f ≡ g), jos
(1) X = U,
(2) Y = V,
(3) f (x) = g(x) kaikilla x ∈ X.
Funktion käsitettä ja ominaisuuksia tarkastellaan perusteellisemmin Luvussa 5.
4 RELAATIOT
4.6
54
Joukon sisäisiä relaatiotyyppejä
Funktio saattoi olla kahden eri joukon välinen relaatio. Tarkastellaan vielä yhden
joukon sisäisiä relaatioita. Nimetään aluksi relaatioiden tärkeimpiä ominaisuuksia.
Määritelmä 4.6.1 Relaation R ⊆ X × X sanotaan olevan
a) refleksiivinen, jos jokaiselle x ∈ X on xRx,
b) symmetrinen, jos kaikilla x, y ∈ X pätee
xRy
⇒
yRx.
c) antisymmetrinen, jos kaikilla x, y ∈ X pätee
xRy ∧ yRx
⇒
x = y.
d) transitiivinen, jos kaikilla x, y, z ∈ X pätee
xRy ∧ yRz
⇒
xRz.
e) täysi (total, trichotomous ), jos kaikilla x, y ∈ X pätee xRy tai yRx.
Lause 4.6.2 Relaatio R ⊆ X × X on
α) refleksiivinen jos ja vain jos IdX ⊆ R,
β) symmetrinen jos ja vain jos R = R−1 ,
γ) antisymmetrinen jos ja vain jos R ∩ R−1 ⊆ IdX ,
δ) transitiivinen jos ja vain jos R ◦ R ⊆ R,
ϵ) täysi jos ja vain jos R ∪ R−1 = X × X.
Todistus. Kohdat α), β) ja ϵ) ovat ilmeisiä. Kohta δ) on harjoitustehtävä. Todistetaan näytteeksi kohta γ).
⇒ Olkoon R antisymmetrinen ja (x, y) ∈ R ∩ R−1 . Silloin on xRy ja yRx,
joten antisymmetrisyyden perusteella x = y ja siten (x, y) ∈ IdX .
⇐ Kääntäen: oletetaan, että R ∩ R−1 ⊆ IdX . Olkoot xRy ja yRx, jolloin myös
xR−1 y. Silloin (x, y) ∈ R ∩ R−1 ⊆ IdX , joten x = y. Siis R on antisymmetrinen.
4 RELAATIOT
4.7
55
Ekvivalenssirelaatio
Ekvivalenssirelaatio on tärkeä erikoistapaus joukon sisäisestä relaatiosta. Se on
relaatio, joka esittää joukon alkioiden jotakin yhteistä ominaisuutta.
Ekvivalenssirelaatio = ”samankaltaisuussuhde”.
Määritelmä 4.7.1 Relaatio E ⊆ X × X on joukossa X määritelty ekvivalenssirelaatio (equivalence relation ), jos
E1)
xEx kaikilla x ∈ X,
refleksiivisyys
E2)
xEy ⇒ yEx,
symmetrisyys
E3)
xEy ja yEz ⇒ xEz.
transitiivisuus
Esimerkki 4.7.2 Olkoon X := {1, 2, 3}. Tällöin
E := {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}
on ekvivalenssirelaatio.
y
3
2
1
x
1 2 3
Esimerkki 4.7.3 Olkoon X := kaikkien ihmisten joukko. Määritellään relaatio
E ⊆ X × X asettamalla
xEy ⇔ ”Henkilöillä x ja y on sama etunimi.”
Tällöin E on ekvivalenssirelaatio, mikäli kultakin henkilöltä käytetään vain yhtä
kutsumanimeä.
Esimerkki 4.7.4 Määritellään R ⊆ Z × Z asettamalla
xRy ⇔ ”x + y on parillinen.”.
Onko R ekvivalenssirelaatio?
4 RELAATIOT
56
Ratkaisu. Tarkastetaan ekvivalenssin määritelmän kohdat:
E1) xRx kaikilla x ∈ Z, sillä x + x = 2x on parillinen.
E2) Olkoon xRy. Silloin x + y = y + x on parillinen ja siten yRx.
E3) Olkoot xRy ja yRz. Silloin x+y ja y+z ovat parillisia, siis muotoa x+y = 2m
ja y + z = 2n joillakin m, n ∈ Z. Koska
x + z = (x+y) + (y+z) − 2y = 2m + 2n − 2y = 2(m + n − y),
missä m+n−y ∈ Z, on x+z parillinen ja siten xRz.
Kohtien E1-3) nojalla R on ekvivalenssirelaatio.
Tehtävä 4.7.5 Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossa X. Onko totta, että jos
otetaan osajoukko A ⊆ X ja rajoitetaan E tähän, niin saadaan ekvivalenssi joukossa A?
Ekvivalenssirelaatiolla on luokitteleva ominaisuus, se antaa keinon ”niputtaa” joukon alkiot relaation ominaisuuden perusteella ”karsinoihin”.
Määritelmä 4.7.6 Olkoon E joukossa X määritelty ekvivalenssirelaatio ja a ∈
X. Joukko
E(a) := { x ∈ X | aEx }
on alkion a määräämä ekvivalenssiluokka (equivalence class ).
Joukko E(a) sisältää siis kaikki ne joukon X alkiot, joiden kanssa a on relaatiossa
E. Relaation symmetrisyyden nojalla myös E(a) = { x ∈ X | xEa }
Esimerkki 4.7.7 Olkoot X := {1, 2, 3} ja E := {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}.
Tällöin
E(1) = {1, 3}
E(2) = {2}
E(3) = {1, 3} = E(1).
Esimerkki 4.7.8 Olkoon E ⊆ Z×Z Esimerkin 4.7.4 ekvivalenssirelaatio:
xEy ⇔ ’x + y on parillinen’.
Tällöin
E(0) = {0, ±2, ±4, . . .} = E(2) = E(4) = . . . ,
E(1) = {±1, ±3, ±5, . . .} = E(3) = E(5) = . . .
4 RELAATIOT
57
Huomautus 4.7.9 Olkoon E ⊆ X × X ekvivalenssirelaatio. Tällöin jokainen
a ∈ X on relaatiossa itsensä kanssa, ts. aEa. Siten a ∈ E(a). Jokainen alkio
kuuluu siis johonkin ekvivalenssiluokkaan, ainakin itsensä määräämään.
Ekvivalenssiluokkien yleiset ominaisuudet voidaan koota lauseeksi:
Lause 4.7.10 Jos E ⊆ X × X on ekvivalenssirelaatio, niin
a)
a ∈ E(a) kaikilla a ∈ X,
b)
aEb ⇔ E(a) = E(b),
c)
aE
̸ b ⇔ E(a) ∩ E(b) = ∅,
∪
E(a).
X=
d)
a∈X
Todistus. Kohta a) on selvä. Kohta b):
⇒ Oletetaan, että aEb, ja osoitetaan kahdessa osassa, että E(a) = E(b).
1) Olkoon x ∈ E(a). Tällöin aEx ja symmetrisyyden nojalla myös xEa. Koska
oli aEb, on transitiivisuuden nojalla xEb, samoin bEx, eli x ∈ E(b). Siis E(a) ⊆
E(b).
2) Symmetrisyyden nojalla bEa. Vaihtamalla edeltävässä päättelyssä alkioiden a
ja b roolit, nähdään, että E(b) ⊆ E(a).
Kohdista 1) ja 2) seuraa E(a) = E(b).
⇐ Oletetaan, että E(a) = E(b). Osoitetaan, että aEb:
Koska a ∈ E(a) ja E(a) = E(b), on a ∈ E(b). Mutta silloinhan aEb.
c) ⇐ Osoitetaan suoraan, että jos E(a) ∩ E(b) = ∅, niin a E
̸ b.
Olkoon siis E(a) ∩ E(b) = ∅. Koska aEa, on a ∈ E(a), joten a ∈
/ E(b). Mutta
silloin a E
̸ b.
⇒ Osoitetaan epäsuorasti, että jos a ̸ E b, niin E(a) ∩ E(b) = ∅; ts. jos E(a) ∩
E(b) ̸= ∅, niin aEb.
Antiteesi : E(a) ∩ E(b) ̸= ∅. Siis on olemassa x ∈ E(a) ja x ∈ E(b). Koska
x ∈ E(a), on aEx. Vastaavasti myös bEx ja symmetrisyyden nojalla xEb. Koska
aEx ja xEb, on transitiivisuuden nojalla aEb.
Mutta tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis antiteesi ei voi olla totta ja väite
on tosi.
Kohta d) jää helpoksi harjoitustehtäväksi.
4 RELAATIOT
58
Ekvivalenssi ja ositus. Olkoon annettu ekvivalenssirelaatio E ⊆ X×X. Koska E
on refleksiivinen, on jokainen alkio x ∈ X relaatiossa E ainakin itsensä kanssa.
Jokainen alkio on siis jossakin ekvivalenssiluokassa. Toisaalta mikään alkio ei
voi kuulua Lauseen 4.7.10 nojalla useampaan kuin yhteen ekvivalenssiluokkaan.
Täten ekvivalenssirelaatio jakaa perusjoukon X pistevieraisiin osiin, ts. määrää
seuraavan määritelmän mukaisen osituksen.
Määritelmä 4.7.11 Perhe A = { Xi ⊆ X | i ∈ I } on joukon X ositus (partition ), jos
a) jokainen Xi on epätyhjä,
∪
b) i∈I Xi = X,
c) Xi ∩ Xj on tyhjä aina, kun i ̸= j.
Lause 4.7.12 a) Ekvivalenssirelaation E ⊆ X×X määräämät ekvivalenssiluokat
{ E(x) | x ∈ X } muodostavat joukon X osituksen.
b) Jos A = { Xi | i ∈ I } on joukon X ositus, on olemassa täsmälleen
yksi ekvivalenssirelaatio E ⊆ X×X, joka muodostaa osituksen A, nimittäin
E := { (x, y) ∈ X×X | x, y ∈ Xi jollekin i }.
Todistus. Kohta a) on todettu edellä.
b) Selvästi E on relaatio joukossa X. Osoitetaan, että E on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.
1) Olkoon x ∈ X mielivaltainen. Koska A on ositus, on olemassa indeksi i ∈ I,
jolle x ∈ Xi . Mutta silloin (x, x) ∈ E eli xEx. Täten E on refleksiivinen.
2) Olkoot xEy. Silloin x ja y ovat samassa joukossa Xj , joten myös yEx, mikä
osoittaa symmetrisyyden.
3) Olkoot xEy ja yEz. On olemassa i1 , i2 ∈ I, joille x, y ∈ Xi1 ja y, z ∈ Xi2 .
Koska y kuuluu molempiin ja A on ositus, on Xi1 = Xi2 . Siis x, z ∈ Xi1 eli xEz.
Relaatio E on siis myös transitiivinen.
Tuli siis osoitetuksi, että E on ekvivalenssi. Jos lopuksi F ⊆ X×X on jokin
ekvivalenssi, joka määrää osituksen A, on xF y ⇔ x, y ∈ Xi ⇔ xEy, eli F = E.
Huomautus 4.7.13 Lause 4.7.12 osoittaa, että ekvivalenssirelaatio voidaan ilmaista antamalla suoraan siihen liittyvä ositus.
Tehtävä 4.7.14 Olkoon X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sekä A := {1, 2, 3, 5, 7},
B := {0, 4, 6, 9} ja C := {8}. Keksi ekvivalenssirelaatio, joka määrää joukolle X
osituksen {A, B, C}.
4 RELAATIOT
4.8
59
Järjestysrelaatio
Määritelmä 4.8.1 Joukossa X määritelty relaatio J ⊆ X × X on osittainen järjestys (partial order ), jos
J1) xJx kaikilla x ∈ X,
refleksiivisyys
J2) xJy ja yJx ⇒ x = y,
antisymmetrisyys
J3) xJy ja yJz ⇒ xJz.
transitiivisuus
Esimerkki 4.8.2 Olkoot X := {1, 2, 3, 4} ja
R := {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}
(ks. Kuva 16). Relaatio R on osittainen järjestys joukossa X, sillä
J1) xRx sillä (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R,
J2) Jos xRy ja x ̸= y, niin y R
̸ x, tarkasta!
J3) Jos xRy ja yRz niin xRz, tarkasta kaikki tilanteet!
y
4
3
2
1
4
4
2
x
1 2 3 4
3
1
2
3
1
Kuva 16: Esimerkin 4.8.2 järjestys taso- ja nuolikuviona ja Hassen kaaviona
Nuolikaavioiden ohella järjestyksiä voidaan kuvata pelkistetyillä Hassen kaavioilla (saksalainen Helmut Hasse, 1898 - 1979), joissa relaatiossaolo kuvataan vaikkapa ylöspäin olevalla nuolella tai janalla. Kuviosta jätetään luupit ja ’oikaisunuolet’ pois, kun sitä sovitaan luettavan transitiivisesti. Kuviossa 16 relaatio 1R4 näkyy välittävän alkion 2 avulla. Hassen kaaviota saa käyttää vain ja ainoastaan järjestysrelaatioiden kuvaamiseen, koska niissä implisiittisesti oletetaan olevan kaikki luupit ja transitiivisuuden vaatimat oikaisunuolet!
4 RELAATIOT
60
Esimerkki 4.8.3 Relaatio ≤ on osittainen järjestys reaalilukujen joukossa R.
J1) x ≤ x kaikilla x ∈ R.
J2) x ≤ y ja y ≤ x ⇒ y = x.
J3) x ≤ y ja y ≤ z ⇒ x ≤ z.
Tämä on nk. luonnollinen järjestys (natural order ) reaalilukujen joukossa R.
Esimerkki 4.8.4 Osajoukkorelaatio ⊆ on osittainen järjestys joukon X potenssijoukossa P(X) – siis kaikkien joukon X osajoukkojen joukossa.
Olkoon esimerkiksi X := {1, 2}. Tällöin P(X) = {∅, {1}, {2}, X}, ja
J1) ∅ ⊆ ∅, {1} ⊆ {1}, {2} ⊆ {2} ja X ⊆ X; vastaava pätee yleisestikin.
J2) Kun otamme mitkä tahansa kaksi joukon X osajoukkoa A ja B,
joille A ⊆ B ja B ⊆ A, niin tiedämmekin jo, että A = B.
J3) ’Olla osajoukko’ myös siirtyy: Jos A ⊆ B ja B ⊆ C, on myös
A ⊆ C.
Tehtävä 4.8.5 Piirrä Esimerkkien 4.8.3 ja 4.8.4 tilanteet Hassen kaavioina.
Määritelmä 4.8.6 Joukon X osittainen järjestys R on täydellinen järjestys tai
totaali järjestys (total order ), jos se on osittainen järjestys ja täysi, ts.
J4) Kaikilla x, y ∈ X on voimassa xRy tai yRx.
Täydellistä järjestystä sanotaan myös lineaariseksi järjestykseksi (linear order ) tai
lyhyesti järjestykseksi (order ).
Esimerkki 4.8.7 Olkoot X := {1, 2, 3} ja
R := {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.
Tällöin R ei ole täydellinen järjestys, sillä ei ole voimassa 2R3 eikä 3R2. Relaatiosta R saadaan täydellinen järjestys lisäämällä joko alkio (2, 3) tai alkio (3, 2).
Esimerkki 4.8.8 Reaalilukujen joukon R luonnollinen järjestys ≤ on täydellinen
järjestys.
Esimerkki 4.8.9 Määritellään luonnollisten lukujen joukossa N relaatio |:
x | y ⇔ ”x on luvun y tekijä.”
4 RELAATIOT
61
Tämä luetaan myös näin: ”x jakaa luvun y”. Onko relaatio |
a) osittainen järjestys?
b) täydellinen järjestys?
Ratkaisu: a) Kokonaisluku x on luvun y tekijä, jos y on jaollinen sillä, eli jos
y = kx jollakin k ∈ N.
J1) x | x kaikilla x ∈ N, sillä x = 1 · x.
J2) Oletetaan, että x | y ja y | x joillakin x, y ∈ N. Seuraava lasku näyttää tämän
kohdan todeksi (lisää tarkat perustelut):
x | y ja y | x ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
y = k1 x ja x = k2 y joillakin k1 , k2 ∈ N
x = k1 k2 x, k1 k2 ∈ N
k1 k2 = 1
k1 = k2 = 1
x = y.
J3) Oletetaan, että x | y ja y | z joillakin x, y, z ∈ N. Silloin:
x | y ja y | z ⇒ y = k1 x ja z = k2 y joillakin k1 , k2 ∈ N
⇒ z = k1 k2 x, k1 k2 ∈ N
⇒ x | z.
Siis | on osittainen järjestys.
b) J4) ei päde, sillä esimerkiksi 2 - 3 ja 3 - 2. Siis | ei ole täydellinen järjestys.
Huomautus 4.8.10 Reaalilukujen R järjestykseen ≤ liittyy aito järjestys x <
y ⇔ (x ≤ y ja x ̸= y). Vastaavasti jokaiseen osittaiseen ja täydelliseen järjestykseen R liittyy aito järjestys (proper order ) S, jolle
xSy ⇔ xRy ja x ̸= y.
Määritelmä 4.8.11 Sanomme, että pari (E, ≤) on osittain järjestetty joukko (partially ordered set ), jos ≤ on osittainen järjestys joukossa E.
Vastaavasti pari (E, ≤) on totaalisti järjestetty joukko tai täysin järjestetty joukko
(totally ordered set ), jos ≤ on täydellinen järjestys joukossa E.
Tarkastellaan lopuksi osittain järjestetyn joukon äärimmäisiä alkioita. Tätä varten on syytä todeta, että osittainen järjestys periytyy osajoukkoihin: Jos (E, ≤) on
osittain järjestetty joukko ja F ⊆ E, niin rajoittuma (F, ≤) on myös osittain järjestetty joukko (koeta perustella!).
Pitääkö vastaava asia paikkansa myös totaalisti järjestetyn joukon osajoukoille?
4 RELAATIOT
62
Määritelmä 4.8.12 Olkoon (E, ≤) osittain järjestetty joukko ja F ⊆ E.
Alkio a ∈ E on minimaalinen, jos x = a aina, kun x ≤ a.
Alkio a ∈ E on maksimaalinen, jos x = a aina, kun a ≤ x.
Alkio a ∈ E on äärimmäinen, jos a on minimaalinen tai maksimaalinen.
Alkio a ∈ E on joukon E pienin alkio, jos a ≤ x kaikilla x ∈ E.
Alkio a ∈ E on joukon E suurin alkio, jos x ≤ a kaikilla x ∈ E.
Alkio a ∈ E on joukon F alaraja, jos a ≤ x kaikilla x ∈ F .
Alkio a ∈ E on joukon F yläraja, jos x ≤ a kaikilla x ∈ F .
Alkio a ∈ E on joukon F suurin alaraja eli infimum, jos se on joukon F alarajojen joukon suurin alkio.
Alkio a ∈ E on joukon F pienin yläraja eli supremum, jos se on joukon F ylärajojen joukon pienin alkio.
Joukko F on alhaalta (vast. ylhäältä) rajoitettu, jos sillä on alaraja (vast. yläraja)
joukossa E.
Joukko F on rajoitettu, jos se on alhaalta ja ylhäältä rajoitettu.
Esimerkki 4.8.13 Esimerkin 4.8.9 relaatio |
x | y ⇔ ”x on luvun y tekijä”
rajoitettuna joukkoon E := {1, 2, 3, 4, 5, 6} on esitetty Kuvassa 17 nuolikaaviona
ja Hassen kaaviona, josta on helppo tarkastaa osittaisen järjestyksen vaatimukset.
1
6
2
4
2
5
5
6
3
3
1
4
Kuva 17: Jaollisuusesimerkin 4.8.13 kaaviot
Tällä osittain järjestetyllä joukolla (E, | ) on ominaisuudet:
• äärimmäisiä alkioita ovat 1, 4, 5 ja 6, joista 1 on minimaalinen ja pienin alkio.
• suurinta alkiota ei ole, mutta 4, 5 ja 6 ovat maksimaalisia.
• luku 6 on joukon {1, 2, 3, 6} yläraja ja supremum.
• joukolla {1, 2, 3, 5, 6} ei ole ylärajaa.
4 RELAATIOT
63
Lause 4.8.14 Olkoon (E, ≤) osittain järjestetty joukko.
a) Joukossa E on korkeintaan yksi pienin ja yksi suurin alkio.
b) Osajoukolla F ⊆ E on korkeintaan yksi infimum ja supremum.
c) Joukossa E on pienin alkio jos ja vain jos E on alhaalta rajoitettu. Vastaava
pätee suurimmalle alkiolle.
Todistus. Kohdat a) ja b) ovat harjoitustehtäviä (vihje: antisymmetrisyys).
Kohta c) on ilmeinen.
Merkintöjä. Joukon E pienintä alkiota merkitään min E ja suurinta max E. Luonnollisesti voidaan puhua myös osajoukon F ⊆ E pienimmästä ja suurimmasta
alkiosta, kun paria (F, ≤) tarkastellaan järjestettynä joukkona. Joukon F ⊆ E
suurinta alarajaa merkitään inf F , pienintä ylärajaa sup F (vrt. Analyysit).
Tehtävä 4.8.15 Piirrä Hassen kaavio Esimerkissä 4.8.9 määritellystä jaollisuusrelaatiosta | joukossa E := {1, 2, 3, . . . , 10} ja määritä sup{2, 4} sekä inf{4, 6, 10}.
Zornin lemma ja hyvin järjestäminen
Luvussa 2.8 mainitussa ZF-aksiomatiikassa valinta-aksiooman (C) kanssa yhtäpitäviä ovat seuraavat järjestystä koskevat aksioomat:
Zornin lemma (saksalais-amerikkalainen Max August Zorn, 1906-1993). Olkoon
(E, ≤) epätyhjä osittain järjestetty joukko. Jos sen jokaisella totaalisti järjestetyllä
osajoukolla on yläraja, niin joukossa E on ainakin yksi maksimaalinen alkio.
Täysin järjestetty joukko (E, ≤) on hyvin järjestetty, jos sen jokaisessa epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. Tämä tarkoittaa mm. sitä, että jokaisella alkiolla
pitää olla välitön seuraaja, muttei välttämättä välitöntä edeltäjää.
Pari (N, ≤) on hyvin järjestetty, mutta (Z, ≤) ei ole, kun ≤ on tavallinen suuruusjärjestys. Kuitenkin kokonaisluvut (ja jopa rationaaliluvut, ks. Luku 12.7) voidaan
järjestää hyvin, esimerkiksi seuraavasti:
0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, . . .
Hyvinjärjestämisaksiooma. Jokainen joukko on hyvinjärjestettävissä.
Lystikästähän tässä on se, ettei kukaan ole keksinyt miten edes reaaliluvut pistetään hyvään järjestykseen!
5
Funktiot
Funktiot ovat erikoistapauksia relaatioista, joita käsiteltiin Luvussa 4. Luvussa 4.5
funktio eli kuvaus f : X → Y määriteltiin relaationa f ⊆ X × Y, jolle jokaista
x ∈ X vastaa täsmälleen yksi sellainen y ∈ Y, että (x, y) ∈ f .
Joukko X on funktion f lähtöjoukko, Y maalijoukko ja f (X) arvojoukko.
Relaation lähtöjoukko voi olla määrittelyjoukkoa laajempi, mutta funktiolla nämä
yhtyvät; määrittelyjoukko = lähtöjoukko. Tämä seuraa funktion määritelmästä.
Alkio x ∈ X on muuttuja ja vastaava f (x) := y ∈ Y on kuva. Funktion tapauksessa kuvajoukossa f (x) on nimittäin tasan yksi alkio, jolloin se voidaan samaistaa alkion itsensä kanssa.
Usein funktiota tarkastellaan myös varsinaisen määrittelyjoukon osajoukoissa. Sanonta ”funktiolla f : X → Y on se-ja-se ominaisuus joukossa A ⊆ X” voitaisiin
korvata tarkastelemalla funktion f rajoittumaa (restriction ) joukkoon A, siis funktiota f |A : A → Y, jolle (f |A)(x) := f (x) kaikilla x ∈ A. Silloin sanottaisiin:
”Funktion f : X → Y rajoittumalla joukkoon A on se-ja-se ominaisuus.”
5.1
Injektio ja surjektio
Määritelmä 5.1.1 Tarkastellaan funktiota f : X → Y.
a) Funktio f on injektio (injection, one-to-one ), jos kaikilla x1 , x2 ∈ X pätee:
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
b) Funktio f on surjektio (surjection, onto ), jos jokaista y ∈ Y vastaa x ∈ X
siten, että f (x) = y.
c) Funktio f on bijektio (bijection ), jos se on sekä injektio että surjektio.
Huomautus 5.1.2 Relaatio f : X → Y on bijektio, jos jokaista x ∈ X vastaa täsmälleen yksi y ∈ Y siten, että (x, y) ∈ f ja jos jokaista y ∈ Y vastaa täsmälleen
yksi sellainen x ∈ X, että (x, y) ∈ f .
Funktio f : X → Y on injektio, jos ja vain jos
x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 ),
ts. eri alkiot kuvautuvat eri alkioille, eli mitkään kaksi alkiota eivät kuvaudu samalle alkiolle.
5 FUNKTIOT
65
Surjektiivisuus tarkoittaa sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on ainakin yksi
alkukuva määrittelyjoukossa. Injektiivisyys puolestaan tarkoittaa sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on korkeintaan yksi alkukuva määrittelyjoukossa. Bijektiivisyys tarkoittaa siis sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on täsmälleen
yksi alkukuva määrittelyjoukossa.
Koska implikaatio x = y ⇒ f (x) = f (y) pätee kaikille kuvauksille, f on
injektio täsmälleen silloin kun ekvivalenssi
x = y ⇔ f (x) = f (y)
pätee kaikille x, y ∈ X. Kuvan 18 kaaviot kuvastavat erilaisia tilanteita relaatioista
ja funktioista.
on funktio
on injektio
on surjektio
=> on bijektio
on funktio
ei ole injektio
ei ole surjektio
on funktio
ei ole injektio
on surjektio
ei ole funktio
ei ole funktio
Kuva 18: Kaikki relaatiot eivät ole funktioita
Esimerkki 5.1.3 Olkoon f : R → R, f (x) := 1 kaikilla x ∈ R (vakiokuvaus).
Funktio f ei ole injektio, sillä esimerkiksi f (0) = 1 = f (1). Kuvaus f ei ole
myöskään surjektio R → R, sillä 1 on ainoa maalijoukon alkio, jolla on alkukuvia.
Kaikki reaaliluvut ovat luvun 1 alkukuvia; f −1 (R) = f −1 ({1}) = f −1 (1) = R.
5 FUNKTIOT
66
4
y
3
y=f(x)
2
1
0
−2
x
−1
0
1
2
Kuva 19: Funktion f : R → R, f (x) := x2 , kuvaaja
Esimerkki 5.1.4 Olkoon f : R → R, f (x) := x2 (Kuva 19).
a) Funktio f ei ole injektio, sillä esimerkiksi f (−1) = f (1) = 1.
Edelleen f ei ole surjektio, sillä esimerkiksi ei ole olemassa alkiota x ∈ R, jolle
f (x) = −1.
b) Kuvaus f on injektio joukossa A := [0, ∞[, ts. f |A on injektio. Jos nimittäin
x, y ∈ A, x ̸= y, niin joko x < y tai y < x. Ensimmäisessä tapauksessa f (x) =
x2 < y 2 = f (y) ja jälkimmäisessä tapauksessa f (y) = y 2 < x2 = f (x). Joka
tapauksessa f (x) = x2 ̸= y 2 = f (y).
Esimerkki 5.1.5 Todistetaan funktio f : R → R,
f (x) := 2x + 3,
bijektioksi: Ensiksikin, kyseessä todella on funktio.
Oletetaan, että luvuilla x, y ∈ R on sama kuva f (x) = f (y). Siis
f (x) = 2x + 3 = 2y + 3 = f (y).
Tästä saadaan 2x = 2y ja edelleen x = y. Siis f on injektio.
Surjektiivisuuden todistamiseksi olkoon y ∈ R (maalijoukosta). Asetetaan f (x) =
2x + 3 = y ja ratkaistaan x y:n funktiona. Koska
1
2x + 3 = y ⇔ 2x = y − 3 ⇔ x = (y − 3)
2
ja tämä x on lähtöjoukossa R, on se luvun y ∈ R alkukuva. Siis f on myös
surjektio, ja kaikenkaikkiaan bijektio.
5 FUNKTIOT
67
Esimerkki 5.1.6 Kuvaus f : N → R,
f (n) :=
1
,
n
on injektio. Yleisestikin jokainen aidosti kasvava tai aidosti vähenevä jono määrittelee injektion N → R.
5.2
Yhdistetty funktio
Jo Luvussa 4.4 on yhdistetty relaatioita, mutta tarkastellaan vielä erikseen funktioiden yhdistämistä.
Määritelmä 5.2.1 Olkoot f : X → Y ja g : Y → Z funktioita. Tällöin funktio
g ◦ f : X → Z,
(g ◦ f )(x) := g (f (x))
on funktioiden f ja g yhdistetty funktio eli yhdistetty kuvaus (composite function ).
Funktio f on sisäfunktio (inner function ) ja funktio g on ulkofunktio (outer function ).
Perustavanlaatuiset kysymykset:
Onko yllä määritelty ’yhdistetty funktio’ myös todella funktio?
Entä onko äskeinen määritelmä sopusoinnussa relaatioiden yhdistämisen kanssa?
Kuvan 20 kaavio havainnollistaa yhdistämisprosessin osapuolia. Sen pitäisi mm.
funktion määritelmässä vaadittujen kuvien olemassaolon ja yksikäsitteisyyden perusteella vahvistaa myönteinen vastaus edellisiin kysymyksiin.
f
g
g(f(x))
f(x)
x
X
Z
Y
gof
Kuva 20: Yhdistetty funktio
5 FUNKTIOT
68
Esimerkki 5.2.2 Yhdistetään molemmin päin funktiot
f : R → R,
g : R → R,
f (x) := 3x − 1,
g(x) := x2 − 2.
Koska molempien lähtöjoukko sisältää toisen arvojoukon, ovat yhdistetyt funktiot
määriteltyjä ja
(g ◦ f )(x) =
=
(f ◦ g)(x) =
=
g(f (x)) = g(3x − 1) = (3x − 1)2 − 2
9x2 − 6x + 1 − 2 = 9x2 − 6x − 1
f (g(x)) = f (x2 − 2)
3(x2 − 2) − 1 = 3x2 − 6 − 1 = 3x2 − 7.
Esimerkki 5.2.3 Funktioita joukosta samaan joukkoon voidaan yhdistellä mielin
määrin, myös puolin ja toisin, kuten kuvassa 21.
X
1
f
X
1
g
X
1
f
X
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
X
1
gof
fog
X
1
X
1
X
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
Kuva 21: Yhdistetyt funktiot f ◦ g ja g ◦ f .
Huomautus 5.2.4 a) Funktioiden yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio,
siis yleensä g ◦ f ̸= f ◦ g, ks. Esimerkit 5.2.2 ja 5.2.3.
5 FUNKTIOT
69
b) Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen operaatio (ks. Kuva 22): Jos f :
X → Y, g : Y → Z ja h : Z → V ovat funktioita, niin
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.
Tämähän on vain erikoistapaus relaatioiden yhdistämisen liitännäisyydestä (ks.
Lause 4.4.13).
f
g
x
h
g(f(x))
h(g(f(x)))
f(x)
Y
X
gof
Z
V
hog
Kuva 22: Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen operaatio
Lause 5.2.5
a) Jos f ja g ovat injektioita, niin g ◦ f on injektio.
b) Jos f ja g ovat surjektioita, niin g ◦ f on surjektio.
Todistus. a) Oletetaan, että f : X → Y ja g : Y → Z ovat injektioita. Olkoon
joillakin x1 , x2 ∈ X (g ◦ f )(x1 ) = (g ◦ f )(x2 ) eli g(f (x1 )) = g(f (x2 )). Koska g
on injektio, on f (x1 ) = f (x2 ). Koska f on injektio, seuraa x1 = x2 . Siis
(g ◦ f )(x1 ) = (g ◦ f )(x2 ) ⇒ x1 = x2 ,
joten g ◦ f on injektio.
b) Olkoot f : X → Y ja g : Y → Z surjektioita. Olkoon z ∈ Z. Koska g
on surjektio, on olemassa y ∈ Y siten, että g(y) = z. Koska f on surjektio, on
olemassa x ∈ X, jolle f (x) = y. Siis
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = z.
Alkiota z ∈ Z vastaa (ainakin yksi) x ∈ X, jolle (g ◦ f )(x) = z. Funktio g ◦ f on
siis surjektio.
Edellisen lauseen nojalla on siis:
Lause 5.2.6 Kahden bijektion yhdistetty funktio on bijektio.
5 FUNKTIOT
5.3
70
Käänteisfunktio
Relaation R ⊆ X × Y käänteisrelaatio R−1 = { (y, x) | (x, y) ∈ R } on aina
olemassa (Luku 4.4).
Jos relaatio on funktio, niin käänteisrelaatio on tietysti olemassa, mutta tämä käänteisrelaatio ei välttämättä ole funktio.
Määritelmä 5.3.1 Jos funktion f : X → Y käänteisrelaatio on funktio, sitä kutsutaan funktion f käänteisfunktioksi eli käänteiskuvaukseksi (inverse function ) ja
merkitään f −1 : Y → X.
Lause 5.3.2 Funktion f : X → Y käänteisrelaatio f −1 : Y → X on funktio, jos
ja vain jos f on bijektio.
Todistus. ⇐ Oletetaan, että f on bijektio (ja siis funktio). Osoitetaan, että käänteisrelaatio f −1 on funktio (ks. Määritelmä 4.5.1): Ensinnäkin, f −1 ⊆ Y × X on
relaatio.
F1) Olkoon y ∈ Y mielivaltainen. Koska f on surjektio, on olemassa x ∈ X siten,
että y = f (x) eli (x, y) ∈ f . Siis jokaista y ∈ Y vastaa x ∈ X, joille (y, x) ∈ f −1 .
F2) Oletetaan, että (y, x1 ) ∈ f −1 ja (y, x2 ) ∈ f −1 . Tällöin (x1 , y) ∈ f ja (x2 , y) ∈
f eli f (x1 ) = y ja f (x2 ) = y. Koska f on injektio ja f (x1 ) = f (x2 ), on oltava
x1 = x2 .
Kohtien F1) ja F2) nojalla f −1 on funktio.
⇒ Oletetaan, että f −1 on funktio. Osoitetaan, että f on bijektio.
a) Injektio: Olkoon f (x1 ) = f (x2 ) =: y. Tällöin (y, x1 ) ∈ f −1 ja (y, x2 ) ∈ f −1 .
Koska f −1 on funktio, on x1 = x2 , ja siten f on injektio.
b) Surjektio: Olkoon y ∈ Y. Koska f −1 on funktio, on olemassa x ∈ X, jolle
(y, x) ∈ f −1 . Mutta silloin (x, y) ∈ f eli f (x) = y. Siis f on surjektio.
Kohtien a) ja b) nojalla f −1 on bijektio.
Huomautus 5.3.3 Bijektion käänteisfunktio on aina bijektio: Olkoon f −1 funktion f käänteisfunktio. Tällöin f −1 on bijektio, koska sillä on käänteisfunktio
(f −1 )−1 = f .
Huomautus 5.3.4 Funktiolla f : X → Y on siis käänteisfunktio, jos ja vain jos
yhtälöllä y = f (x) on yksikäsitteinen ratkaisu x ∈ X kaikilla y ∈ Y, ja tällöin
x = f −1 (y).
5 FUNKTIOT
71
Esimerkki 5.3.5 Määritä funktion f : R → R,
f (x) := x3 − 1,
käänteisfunktio.
Ratkaisu. Olkoon y ∈ R (maalijoukosta). Tällöin
y = f (x) = x3 − 1 ⇔ x3 = 1 + y
√
⇔ x = 3 1 + y.
Koska ratkaisu on yksikäsitteinen, on f −1 on olemassa ja
√
f −1 (y) = 3 1 + y.
Vaihtamalla muuttujaksi x saadaan käänteisfunktio f −1 : R → R,
√
f −1 (x) = 3 1 + x.
Määritelmä 5.3.6 Funktio Id : X → X, Id(x) := x (siis yksikkörelaatio) on
identtinen kuvaus (identity map ).
Huomautus 5.3.7 a) IdX on aina bijektio ja (IdX )−1 = IdX .
b) Jos f : X → Y ja g : Y → X ovat funktioita, niin f ◦ IdX = f ja IdX ◦ g = g.
Lause 5.3.8 Olkoon f : X → Y bijektio. Tällöin (ks. Kuva 23)
f −1 ◦ f = IdX
ja
f ◦ f −1 = IdY .
Id X
x
f -1
X
f -1
f
y = f(x)
y'
Y
x
x'
f
y'
f -1
f
X
Y
Id Y
Kuva 23: Yhdistämällä f ja f −1 saadaan identtisiä kuvauksia
Todistus. Olkoon x ∈ X ja y := f (x) ∈ Y. Käänteisfunktion määritelmän
mukaan f (x) = y jos ja vain jos x = f −1 (y). Siten
(f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (y) = x
kaikilla x ∈ X eli f −1 ◦ f = IdX . Vastaavasti f ◦ f −1 = IdY .
5 FUNKTIOT
72
Lause 5.3.9 Olkoot f : X → Y ja g : Y → Z bijektioita. Tällöin
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Yleisemmin: Jos funktiot fi ovat bijektioita, niin
(f1 ◦ f2 ◦ . . . ◦ fn )−1 = fn−1 ◦ · · · ◦ f2−1 ◦ f1−1 .
Todistus. Tulos on yleinen relaatioita koskeva tulos (Lause 4.4.12), yleistys voidaan todistaa induktiolla.
5.4
Osajoukkojen kuvautuminen
Palautetaan mieleen kuvajoukot ja alkukuvajoukot Luvusta 4.3. Jos relaatio f on
funktio, kullakin alkiolla on yksi ja vain yksi kuva-alkio. Tämän ansiosta kuva- ja
alkukuvajoukot voidaan esittää yksinkertaisessa muodossa:
Lause 5.4.1 Olkoon f : X → Y funktio.
a) Osajoukon A ⊆ X kuvajoukko on
f (A) = { f (x) ∈ Y | x ∈ A }.
b) Joukon B ⊆ Y alkukuvajoukko on
f −1 (B) = { x ∈ X | f (x) ∈ B }.
Huomautus 5.4.2 a) Käytännössä on usein hyötyä ominaisuuksista
y ∈ f (A)
⇔
∃ x ∈ A s.e. y = f (x)
x ∈ f −1 (B)
⇔
f (x) ∈ B.
b) Funktio f : X → Y on surjektio jos ja vain jos f (X) = Y.
Esimerkki 5.4.3 Olkoon f : R → R, f (x) := x2 . Tällöin
Mf
Af
f (Z)
−1
f (Z)
f ([1, 2])
−1
f ([1, 4])
=
=
=
=
=
=
R
[0, ∞[
{0, 1, 4, 9, 16, . . .}
√
√
{0, ±1, ± 2, ± 3, ±2, . . .}
[1, 4]
[−2, −1] ∪ [1, 2].
5 FUNKTIOT
73
Esimerkki 5.4.4 Olkoon X := {1, 2, 3, 4}, Y := {1, 2, 3, 4, 5} ja f : X → Y
sellainen, että (ks. myös Kuva 24)
f (1)
f (2)
f (3)
f (4)
=
=
=
=
4
4
1
5.
Tällöin Mf = X = {1, 2, 3, 4} ja Af = {1, 4, 5}, ja esimerkiksi
f ({2, 3})
f ({1, 2})
f −1 ({2, 3})
f −1 ({1, 2, 4})
X 1
2
3
4
f
=
=
=
=
{1, 4}
{4}
∅
{1, 2, 3}.
1 Y
2
3
4
5
Kuva 24: Esimerkin 5.4.4 funktio
Lause 5.4.5 Olkoon f : X → Y funktio. Olkoot A1 , A2 ⊆ X sekä B1 , B2 ⊆ Y.
Tällöin
a)
f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ),
b)
f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ),
c)
f (A1 \ A2 ) ⊇ f (A1 ) \ f (A2 ),
d)
f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ),
e)
f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ),
f)
f −1 (B1 \ B2 ) = f −1 (B1 ) \ f −1 (B2 ),
(
)
f −1 f (A1 ) ⊇ A1 ,
(
)
f f −1 (B1 ) ⊆ B1 .
g)
h)
5 FUNKTIOT
74
Todistus. a) On osoitettava, että kaikilla y ∈ Y on voimassa
y ∈ f (A1 ∪ A2 ) ⇔ y ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ).
Funktion määritelmän ja yhdisteen määritelmän mukaan
y ∈ f (A1 ∪ A2 ) ⇔
⇔
⇔
⇔
∃ x ∈ A1 ∪ A2 : y = f (x)
(∃ x ∈ A1 : y = f (x)) tai (∃ x ∈ A2 : y = f (x))
y ∈ f (A1 ) tai y ∈ f (A2 )
y ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ).
b) Osoitetaan, että kaikilla y ∈ Y: y ∈ f (A1 ∩ A2 ) ⇒ y ∈ f (A1 ) ∩ f (A2 ).
Funktion määritelmän mukaan (täydennä perustelut):
y ∈ f (A1 ∩ A2 ) ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
∃ x ∈ A1 ∩ A2 : y = f (x)
x ∈ A1 ja x ∈ A2 ja y = f (x)
(x ∈ A1 ja y = f (x)) ja (x ∈ A2 ja y = f (x))
y ∈ f (A1 ) ja y ∈ f (A2 )
y ∈ f (A1 ) ∩ f (A2 ).
e) Osoitettava: ∀x ∈ X x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ) ⇔ x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
Käänteisrelaation määritelmän mukaan (täydennä perustelut):
x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ) ⇔
⇔
⇔
⇔
f (x) ∈ B1 ∩ B2
f (x) ∈ B1 ja f (x) ∈ B2
x ∈ f −1 (B1 ) ja x ∈ f −1 (B2 )
x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
Muut kohdat jätetään harjoitustehtäviksi, samoin sen näyttäminen, että kohtien b),
c), g) ja h) osajoukko-ominaisuudet todella voivat olla aitoja.
Tehtävä 5.4.6 Tutki yksityiskohtaisesti mitä Lauseen 5.4.5 kohdan b) implikaatioista ei voida korvata ekvivalensseilla.
5 FUNKTIOT
75
6
Reaalifunktiot
Tässä luvussa esitellään reaalifunktioiden esittämistä ja eräitä keskeisiä ominaisuuksia, joita niillä voi olla.
6.1
Reaalifunktio ja sen esittämistapoja
Määritelmä 6.1.1 Olkoon A ⊆ R ja B ⊆ R. Funktiota f : A → B kutsutaan
reaalifunktioksi (real function ).
Sopimus: Jos reaalifunktion f määrittelyjoukkoa A = Mf ei ole mainittu, niin
joukoksi Mf otetaan laajin mahdollinen A ⊆ R. Jatkossa käytämme funktiolle usein merkintää x 7→ ”lauseke”, joka tarkoittaa funktion määräävää sääntöä;
määrittelyjoukko tulee aina itse selvittää, mikäli sitä ei ole annettu.
Esimerkki 6.1.2 Reaalifunktion f ,
f (x) :=
2x + 1
,
x − 4x2
laajin mahdollinen määrittelyjoukko on Mf = R \ {0, 41 }.
Reaalifunktion g,
g(x) :=
√
x2 − 2x,
laajin mahdollinen määrittelyjoukko on puolestaan Mg = ]−∞, 0] ∪ [2, ∞[.
Reaalifunktioiden esitysmuotoja
Eksplisiittinen esitys: Suora kaava tai lauseke f (x) := . . .
Muuttujanvaihdolla tai yhdistettynä funktiona: f (u(x)) := . . .
Implisiittinen esitys: Yhtälön avulla, esimerkiksi F (x, y) = 0.
Parametriesitys: relaation f ⊆ A × B alkiot (x, y) = (x, f (x)) annetaan erikseen
jostain ulkoisesta muuttujasta riippuvina:
{
x = u(t)
(x, y) :
t ∈ T ⊆ R.
y = v(t)
Graafinen esitys tasossa:
joukko
Reaalifunktion kuvaaja (graph ) on tason R × R osa-
{ (x, y) ∈ R | x ∈ Mf , y = f (x) } = { (x, f (x)) | x ∈ Mf }.
6 REAALIFUNKTIOT
77
Graafinen esitys kaaviolla: Diskreettejä funktioita (joilla määrittelyjoukko on
äärellinen), voidaan esittää jo Luvussa 4 esillä olleilla Venn-diagrammityyppisillä
kaavioilla tai vaikkapa kahden lukusuoran avulla, ks. Kuva 25.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
y = f(x)
Kuva 25: Diskreetti reaalifunktio
Graafinen esitys dynaamisella kuviolla: Kahden suoran välinen muuttuja-arvoliitäntä vaatii käyttäjän vuorovaikutusta, ks. linkki.
Reaalifunktion dynaaminen esitys (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/FunktionDynEsitys.htm
Esimerkki 6.1.3 Reaalifunktio f : R → R, f (x) := 23 x + 1, voidaan esittää
a) eksplisiittisesti antamalla suora määrittely lausekkeena: f (x) = 23 x + 1,
b) yhdistettynä funktiona: f ( 32 z) = z + 1,
c) implisiittisesti arvoa y ja muuttujaa x sitovana yhtälönä: 2x − 3y + 3 = 0,
d) parametrimuodossa antamalla relaation f ⊆ R × R alkiot (x, y):
{
x = 3t
t ∈ R,
y = 2t + 1
e) graafisena tasoesityksenä, kuten Kuvassa 26.
y
2
1
-1
1
-1
2
3
x
Kuva 26: Reaalifunktion f , f (x) = 23 x + 1, kuvaajaa
6 REAALIFUNKTIOT
78
Implisiittisen ja parametriesityksen kanssa on oltava tarkkana, sillä niistä syntyy
salakavalasti riippuvuuksia, jotka eivät olekaan yhden muuttujan reaaliarvoisia
funktioita.
Tehtävä 6.1.4 Seuraavat ilmaukset esittävät yhden muuttujan reaaliarvoista funktiota vain huolellisesti valituissa määrittelyjoukoissa, missä?
{
x = cos t
2
2
a) x + y = 1
b)
y = sin t
Esimerkki 6.1.5 Määritellään f (ex ) := x2 , x ∈ R. Funktio f tulee näin määritellyksi vain välillä R+ = ]0, ∞[. Helposti saadaan myös eksplisiittinen esitys:
koska eksponenttifunktio on bijektio, saadaan sijoituksella ex = u eli x = ln u
suora lauseke f (u) = (ln u)2 arvoilla u > 0. Funktio on siis f : R+ → R,
f (x) = (ln x)2 .
Esimerkki 6.1.6 Määritellään f (x2 ) := x, x ∈ R. Silloin f (12 ) = 1 ja
f ((−1)2 ) = −1. Kuitenkin molemmissa laskettiin f (1), joten kyseessä ei olekaan funktio!
Esimerkki 6.1.7 Monien funktioiden esittäminen graafisesti on hankalaa:
a) Funktio f : R → R,
{
f (x) :=
0,
x∈Q
1, x ∈ R \ Q
on epäjatkuva kaikissa reaalipisteissä.
b) Funktio g : R → R,
{
g(x) :=
sin( x1 ), x ̸= 0
0, x = 0
on origon ulkopuolella siisti, mutta oskilloi sitä lähestyttäessä yhä kiivaammin
välillä [0, 1].
c) Funktio f : R → R,
{
h(x) :=
x sin( x1 ), x ̸= 0
0, x = 0
on jatkuva, mutta sekin oskilloi kiihtyvästi origon lähellä.
Tehtävä 6.1.8 Muotoile sääntö, joka sopii yhteen Kuvan 25 kanssa.
6 REAALIFUNKTIOT
6.2
79
Reaalifunktiotyyppejä
Monotonisuus
Määritelmä 6.2.1 Olkoon A ⊆ R. Funktio f : A → R on
a) kasvava (increasing ), jos kaikilla x1 , x2 ∈ A on voimassa
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).
b) vähenevä (decreasing ), jos kaikilla x1 , x2 ∈ A on voimassa
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ).
c) aidosti kasvava (strictly increasing), jos kaikilla x1 , x2 ∈ A on voimassa
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
d) aidosti vähenevä (strictly decreasing), jos kaikilla x1 , x2 ∈ A on voimassa
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
e) (aidosti) monotoninen ((strictly) monotonic, monotone ), jos se on (aidosti)
kasvava tai (aidosti) vähenevä.
Lause 6.2.2 Aidosti monotoninen funktio on injektio.
Todistus. Harjoitustehtävä.
Lemma 6.2.3 Olkoon f : A → R kuvaus.
a) Jos f on aidosti kasvava, niin x < y jos ja vain jos f (x) < f (y),
b) Jos f on aidosti vähenevä, niin x < y jos ja vain jos f (x) > f (y).
Todistus. Todistetaan malliksi kohta a), kohta b) jätetään harjoitustehtäväksi.
Implikaatio vasemmalta oikealle pätee määritelmän mukaan.
Käänteisen implikaation todistamiseksi olkoon f (x) < f (y) ja olkoon vastoin
väitettä x ≥ y. Tapauksessa x = y pätee f (x) = f (y) (ristiriita) ja tapauksessa
x > y pätee aidon kasvavuuden nojalla f (x) > f (y) (ristiriita).
6 REAALIFUNKTIOT
80
Esimerkki 6.2.4 Olkoot f ja g sellaisia reaalifunktioita, että yhdistetty funktio
g ◦ f on määritelty. Jos f on aidosti kasvava ja g aidosti vähenevä, on
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ⇒ g(f (x1 )) > g(f (x2 )) ⇒ (g◦f )(x1 ) > (g◦f )(x2 ).
Yhdistetty funktio g ◦ f on siis aidosti vähenevä.
Monotonisuutta voidaan käyttää mm. epäyhtälöiden ratkaisussa.
Esimerkki 6.2.5 a) Identtinen kuvaus, ja yleisemmin muotoa x 7→ ax, missä
vakio a > 0, olevat funktiot ovat aidosti kasvavia funktioita R → R, sillä jopa
x1 < x2 ⇔ ax1 < ax2 .
b) Funktio f : ]0, ∞[ → R, f (x) := x1 , on aidosti vähenevä ja
0 < x1 < x2 ⇔
1
1
> .
x1
x2
Samoin funktio g : ]−∞, 0[ → R, g(x) := x1 , on aidosti vähenevä ja
x1 < x2 < 0 ⇔
1
1
> .
x1
x2
Esimerkki 6.2.6 Olkoon f : R → R aidosti vähenevä. Ratkaistaan epäyhtälö
(
)
(x
)
5x − 3
f
<f
−1 .
4
2
Lemman 6.2.3 b) nojalla epäyhtälö pätee jos ja vain jos (5x − 3)/4 > x/2 − 1.
Siis
5x − 3
x
1
> − 1 ⇔ 5x − 3 > 2x − 4 ⇔ 3x > −1 ⇔ x > − .
4
2
3
Huomaa, että tarkasteltavan epäyhtälön kannalta funktion f lauseke on epäolennainen, eikä lauseketta sitäpaitsi edes tarvitse olla olemassa!
Usein puhutaan funktion mootonisuudesta jossain lähtöjoukon osajoukossa, useimmiten jollain osavälillä. Määritelmässä 6.2.1 taas puhuttiin monotonisuudesta koko lähtöjoukossa. Nämä sovitetaan yhteen määrittelemällä:
Määritelmä 6.2.7 Reaalifunktio f on kasvava osajoukossa A ⊆ Mf , jos sen
rajoittuma f |A on kasvava.
Reaalifunktio f on vähenevä osajoukossa B ⊆ Mf , jos sen rajoittuma f |B on
vähenevä.
Muut monotonisuuslajit määritellään vastaavalla tavalla.
6 REAALIFUNKTIOT
81
Esimerkki 6.2.8 a) Muotoa x 7→ ax2 , missä vakio a > 0, olevat funktiot eivät ole
kasvavia funktioita R → R. Kuitenkin ne ovat aidosti väheneviä välillä ]−∞, 0]
ja aidosti kasvavia välillä [0, ∞[.
b) Funktio f : R \ {0} → R, f (x) := x1 , on aidosti vähenevä erikseen väleillä
]0, ∞[ ja ]−∞, 0[, mutta ei niiden yhdisteessä, joka on koko Mf .
Parillisuus ja jaksollisuus
Määritelmä 6.2.9
a) Reaalifunktio f on parillinen (even ), jos f (−x) = f (x)
kaikilla x ∈ Mf .
b) Reaalifunktio f on pariton (odd ), jos f (−x) = −f (x) kaikilla x ∈ Mf .
Huomautus 6.2.10 a) Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen ja parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.
b) Yleensä funktio ei ole parillinen eikä pariton, nämä ominaisuudet ovat funktioiden joukossa harvinaisia.
Esimerkki 6.2.11 Parillisia funktioita ovat esimerkiksi
x 7→ x2 ,
x 7→
x4
1
ja x 7→ cos x.
−1
Parittomia ovat taas
x 7→ x3 ,
x 7→
1
ja x 7→ sin x.
x5
Määritelmä 6.2.12 Koko reaalilukujen joukossa määritelty reaalifunktio f on
jaksollinen (periodic ), jos on olemassa a ̸= 0 siten, että f (x + a) = f (x) kaikilla x ∈ R. Tällöin a on funktion f jakso.
Jos funktion aidosti positiivisten jaksojen joukossa on pienin luku, sitä sanotaan
funktion perusjaksoksi.
Huomautus 6.2.13 Jos funktion f jakso on a ̸= 0, niin jokainen monikerta
ka ̸= 0, k ∈ Z, on myös jakso. Jokaisella jaksollisella funktiolla on siis aidosti
positiivisiakin jaksoja.
Esimerkki 6.2.14 Trigonometriset funktiot sin ja cos ovat jaksollisia perusjaksonaan 2π. Funktiosta tan saadaan jaksollinen perusjaksona π, kun sille määritellään
pisteisiin π/2 + nπ, n ∈ Z, vaikkapa arvo 0.
Tehtävä 6.2.15 Onkohan jaksollisia funktioita, joilla ei ole perusjaksoa lainkaan?
6 REAALIFUNKTIOT
82
Rajoitettu funktio
Määritelmä 6.2.16 Funktio f on alhaalta rajoitettu (lower bounded ), jos on olemassa luku m < 0, jolle f (x) ≥ m kaikilla x ∈ Mf .
Funktio f on ylhäältä rajoitettu (upper bounded ), jos on olemassa luku M > 0,
jolle f (x) ≤ M kaikilla x ∈ Mf .
Funktio f on rajoitettu (bounded ), jos on olemassa luku M > 0, jolle |f (x)| ≤ M
kaikilla x ∈ Mf .
Funktio f on rajoitettu joukossa A ⊆ Mf , jos on olemassa luku M > 0, jolle
|f (x)| ≤ M kaikilla x ∈ A.
Voitaisiin sanoa myös: Funktio f on rajoitettu joukossa A ⊆ Mf , jos ja vain jos
sen rajoittuma joukkoon A, f |A : A → R, on rajoitettu. Kuvan 27 funktio on
rajoitettu, ainakin kuviossa näkyvällä välillä.
y
M
x
-M
Kuva 27: Kuvan funktio on rajoitettu
Tehtävä 6.2.17 Osoita, että funktio on rajoitettu jos ja vain jos se on sekä ylhäältä
että alhaalta rajoitettu.
Esimerkki 6.2.18 a) Vakiofunktiot x 7→ a ovat rajoitettuja koko joukossa R, mutta lineaarifunktiot x 7→ ax eivät, paitsi arvolla a = 0.
b) Polynomit ovat rajoitettuja jokaisella äärellisellä välillä I ⊆ R.
c) Sinifunktio sin : R → R on rajoitettu, sillä tunnetusti | sin x| ≤ 1 kaikilla
x ∈ R. Samoin kosini on rajoitettu, mutta tangenttifunktio on rajoitettu vain tietynlaisilla väleillä, millä esimerkiksi?
6 REAALIFUNKTIOT
83
Koveruus ja kuperuus - konveksi ja konkaavi funktio
Derivoituvien reaalifunktioiden (kuvaajien) kuperuuksia tarkastellaan derivaatan
monotonisuuksien tai toisen derivaatan merkin avulla. Alaspäin kuperuus määritellään usein niin, että funktion kuvaaja on tarkasteluvälillä jokaisen tangenttinsa
yläpuolella. Tämä määritelmä on sinänsä kuvaava, mutta oikeastaan se on enemmänkin kuvaileva, epälaskennallinen. Koska on runsaasti ei-derivoituvia funktioita, joilla ei tangentteja ainakaan joka paikassa ole, on tarpeen ottaa käyttöön yleisempi määritelmä, joka on myös laskennallinen.
Koska alaspäin kuperuus toisaalta tarkoittaa, että jokaisella välillä [x, y] ⊆ I funktion kuvaaja tasossa on pisteitä (x, f (x)) ja (y, f (y)) yhdistävän janan alapuolella
(ks. Kuva 28), asetetaan täsmälliseksi määritelmäksi tämän analyyttinen vastine.
(1-t)f(x)+tf(y)
(x, f(x))
f((1-t)x+ty)
(y, f(y))
x
(1-t)x+ty y
t
0
I
1
Kuva 28: Konveksin reaalifunktion määritelmän havainnollistus
Määritelmä 6.2.19 Olkoon I reaalilukuväli. Reaalifunktio f : I → B on alaspäin kupera eli konveksi (convex ), jos on voimassa
(
)
f (1 − t)x + ty ≤ (1 − t)f (x) + tf (y) kaikilla x, y ∈ I, t ∈ [0, 1].
Reaalifunktio g on ylöspäin kupera eli konkaavi (concave ), jos −g on alaspäin
kupera.
Joskus puhutaan myös koveruuksista, esimerkiksi alaspäin kupera tarkoittaa samaa kuin ylöspäin kovera. On ilmeistä, että konkaavius voitaisiin määritellä erikseenkin kääntämällä konveksiuden määritelmässä merkki ≤ merkiksi ≥.
Esimerkki 6.2.20 Vakiofunktio f , f (x) := a, on konveksi, mutta myös konkaavi.
Sijoitus konveksiuden ja konkaaviuden määritelmiin antaa nimittäin yhtälön
(
)
f (1 − t)x + ty = a = (1 − t)a + ta = (1 − t)f (x) + tf (y).
6 REAALIFUNKTIOT
84
Esimerkki 6.2.21 Itseisarvo on alaspäin kupera, ts. funktio f = | | : R → R,
x 7→ |x|, on konveksi.
Perustelu. Jos x ≥ 0 ja y ≥ 0, on myös (1 − t)x + ty ≥ 0 ja
(
)
f (1−t)x+ty = |(1−t)x+ty| = (1−t)x+ty = (1−t)|x|+t|y| = (1−t)f (x)+tf (y).
Vastaavalla tavalla käsitellään tapaus x ≤ 0 ja y ≤ 0. Olkoon lopuksi x < 0 ja
y > 0. Koska t ja 1−t ovat ei-negatiivisia, on kolmioepäyhtälön (|a+b| ≤ |a|+|b|)
nojalla
(
)
f (1 − t)x + ty = |(1 − t)x + ty|
≤ |(1 − t)x| + |ty| = (1 − t)|x| + t|y| = (1 − t)f (x) + tf (y).
Tehtävä 6.2.22 a) Osoita, että lineaari-affiini funktio f , f (x) := ax + b, on konveksi ja konkaavi.
b) Osoita, että itseisarvofunktio ei ole konkaavi (ts. x 7→ −|x| ei konveksi).
Esimerkki 6.2.23 Osoita, että perusparaabelin piirtävä neliöfunktio f , f (x) :=
x2 , on alaspäin kupera, siis konveksi.
Ratkaisu. Sijoittamalla f (x) = x2 saadaan kaikilla x, y ∈ R ja t ∈ [0, 1]:
(
)
(
)2
(1 − t)f (x) + tf (y) − f (1 − t)x + ty = (1 − t)x2 + ty 2 − (1 − t)x + ty ≥ 0.
Vasen puoli menee muotoon
(
)2
(1 − t)x2 + ty 2 − (1 − t)x + ty = tx2 − t2 x2 − 2txy + 2t2 xy + ty 2 − t2 y 2 ,
josta yhdistelemällä tulomuotoon (tee se!) saadaan yhtäpitävä epäyhtälö
tx2 − t2 x2 − 2txy + 2t2 xy + ty 2 − t2 y 2 = t(1 − t)(x − y)2 ≥ 0.
Mutta tämähän on tosi kaikilla x, y ∈ R ja t ∈ [0, 1]!
Lause 6.2.24 a) Konveksien funktioiden summa on konveksi.
b) Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi.
Todistus. a) Olkoot f ja g : I → R konvekseja. On osoitettava, että summa f + g
on konveksi. Oletuksen mukaan kaikilla x, y ∈ I, t ∈ [0, 1] on
(
)
(
)
(
)
(f + g) (1 − t)x + ty = f (1 − t)x + ty + g (1 − t)x + ty
≤ (1 − t)f (x) + tf (y) + (1 − t)g(x) + tg(y)
= (1 − t)(f (x) + g(x)) + t(f (y) + g(y))
= (1 − t)(f + g)(x) + t(f + g)(y).
b) Harjoitustehtävä.
Voidaan osoittaa, että konveksi funktio on jatkuva. Esimerkki 6.2.21 osoittaa, että
konveksin funktion ei kuitenkaan tarvitse olla derivoituva.
6 REAALIFUNKTIOT
6.3
85
Käänteiskuvaus
Palautetaan mieliin funktioasioita Luvuista 4 ja 5.
Olkoot A, B ⊆ R epätyhjiä joukkoja ja f : A → B bijektio. Tällöin jokaista maalijoukon alkiota y ∈ B vastaa yksikäsitteinen alkukuva lähtöjoukossa A (Huomautus 5.1.2). Tälle alkukuvalle käytetään merkintää f −1 (y). Sääntö y 7→ f −1 (y)
määrittelee kuvauksen B → A, ja tätä kuvausta sanotaan kuvauksen f käänteiskuvaukseksi ja sille käytetään merkintää f −1 .
Esimerkki 6.3.1 Jos kuvaus f : A → B on määritelty analyyttisellä lausekkeella, käänteiskuvauksen lauseke saadaan selville, mikäli yhtälöstä f (x) = y ∈ B
saadaan x ratkaistua yksikäsitteisesti y:n avulla.
Esimerkissä 5.1.5 todettiin, että kuvauksessa f : R → R, f (x) = 2x + 3, luvun
y ∈ R yksikäsitteinen alkukuva on 12 (y −3). Siis käänteiskuvauksen f −1 : R → R
antaa sääntö f −1 (x) = 12 (x − 3). Tässä käänteiskuvauksen muuttujaa voitaisiin
merkitä y:llä, mutta siihen ei ole erityistä tarvetta. Yleensä kuvauksen ja sen käänteiskuvauksen lausekkeissa käytetäänkin samaa muuttujamerkintää.
Esimerkki 6.3.2 Olkoon f : R \ {−1} → R kuvaus
f (x) :=
x
.
1+x
Mikä on kuvajoukko f (R \ {−1})? Onko f injektio määrittelyjoukossaan?
Tutkitaan mielivaltaisen luvun y ∈ R alkukuvia. Jos y ∈ R, niin olettaen x ̸= −1
voidaan kirjoittaa
f (x) = y ⇔
x
= y ⇔ y + yx = x ⇔ y = x(1 − y).
1+x
Jos lisäksi y ̸= 1, oikeanpuoleinen yhtälö on edelleen ekvivalentti yhtälön
x=
y
1−y
y
kanssa. Jokaisella y ̸= 1 on siis yksikäsitteinen reaalinen alkukuva 1−y
. Luvulla
x
1 ei ole alkukuvaa, sillä jos olisi 1+x = 1, olisi 1 + x = x, mikä on mahdotonta.
Näin ollen f on bijektio joukosta R \ {−1} joukkoon R \ {1}. Käänteiskuvaus
f −1 : R \ {1} → R \ {−1} saadaan yo. yhtälöstä ja
f −1 (x) =
x
.
1−x
6 REAALIFUNKTIOT
86
Huomautus 6.3.3 Jos f : A → B on bijektio, niin funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion f −1 kuvaaja ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen. Funktion
f kuvaaja on nimittäin joukko
{ (x, f (x)) | x ∈ A }
ja käänteisfunktion f −1 kuvaaja on joukko
{ (f (x), x) | x ∈ A }.
Toisaalta pisteet (x0 , f (x0 )) ja (f (x0 ), x0 ) ovat toistensa peilikuvia suoran y = x
suhteen kaikilla x0 ∈ A. Tämän toteamiseksi huomaa, että
(1) pisteiden (x0 , f (x0 )) ja (f (x0 ), x0 ) kautta kulkeva suora on kohtisuorassa
suoraan y = x nähden,
(2) pisteiden (x0 , f (x0 )) ja (f (x0 ), x0 ) välisen janan keskipiste on suoralla y =
x.
Lemma 6.3.4 Olkoon f : A → B reaalifunktio.
a) Jos f on aidosti kasvava, on käänteiskuvaus f −1 : f (A) → A aidosti kasvava.
b) Jos f on aidosti vähenevä, on käänteiskuvaus f −1 : f (A) → A aidosti vähenevä.
Todistus. Todistetaan kohta b), kohta a) jätetään harjoitustehtäväksi.
Koska f on aidosti vähenevä, se on injektio (Lemma 6.2.2). Näin ollen f : A →
f (A) on bijektio ja siis käänteiskuvaus f −1 : f (A) → A on olemassa.
Olkoot x′ , y ′ ∈ f (A). Tällöin on olemassa (injektiivisyyden nojalla yksikäsitteiset) luvut x, y ∈ A siten, että f (x) = x′ ja f (y) = y ′ . Käänteiskuvauksen määritelmän mukaan f −1 (x′ ) = x ja f −1 (y ′ ) = y. Lemman 6.2.3 b) nojalla x < y, jos
ja vain jos f (x) > f (y). Siis f −1 (x′ ) < f −1 (y ′ ) jos ja vain jos x′ > y ′ . Erityisesti
f −1 : f (A) → A on aidosti vähenevä.
6 REAALIFUNKTIOT
6.4
87
Funktioiden yhdistäminen
Olkoot A, B ja C ⊆ R epätyhjiä osajoukkoja ja olkoot f : A → B ja g : B → C
kuvauksia. Tällöin relaatioiden yhdistämissääntö saa yksinkertaisen muodon
(g ◦ f )(x) = g(f (x)),
x ∈ A,
määrittelee yhdistetyn funktion g ◦ f : A → C.
Esimerkki 6.4.1 Olkoot f : R → R, g : R → R ja h : R → R kuvaukset
f (x) := x + 1,
g(x) := x2 ,
ja
h(x) := |x|.
Tällöin esimerkiksi
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 ) = x2 + 1,
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1,
(h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(x2 + 2x + 1) = |x2 + 2x + 1|.
Näistä palautunee mieliin, että kuvausten yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio eli yleensä f ◦ g ̸= g ◦ f .
Samoin, kuten jo relaatioiden tapauksessa, yhdistettäessä useampia funktioita ei
tarvita sulkuja määräämään laskujärjestystä, koska kuvausten yhdistäminen on liitännäinen operaatio; yleisesti pätee
(h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))),
((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x)),
eli h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f (ovat sama funktio).
Huomautus 6.4.2 Olkoon f : A → B bijektio. Tällöin tiedämme sen käänteiskuvauksen f −1 olevan olemassa ja
(f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = x kaikilla x ∈ B,
(f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = x kaikilla x ∈ A,
suoraan käänteiskuvauksen määritelmän mukaan.
Esimerkki 6.4.3 Esimerkin 6.3.2 kuvauksille
x
x
ja f −1 (x) =
f (x) =
1+x
1−x
on
(
)
x
x
x
1−x
1−x
−1
(f ◦ f )(x) = f
=
=
x
1−x+x = x,
1−x
1 + ( 1−x
)
1−x
(
)
x
x
x
1+x
1+x
−1
−1
(f ◦ f )(x) = f
= 1+x−x = x,
=
x
)
1+x
1 − ( 1+x
1+x
x ̸= 1,
x ̸= −1.
6 REAALIFUNKTIOT
6.5
88
Reaalifunktioiden luokittelusta
Reaalifunktioita voidaan luokitella monilla tavoin. Eräs tärkeä jakoperuste on niiden – samoin kuin lukujen, ks. Luku 12.4 – algebrallisuus , joka lähtee funktioiden
muodostamistavoista.
1. Algebralliset funktiot
Algebrallisia funktioita (algebraic function ) ovat ne reaalifunktiot, joiden määrittelyjoukko on äärellisen monen välin yhdiste, ja jotka saadaan vakiofunktioista
x 7→ c ∈ R ja identtisestä kuvauksesta x 7→ x suorittamalla äärellisen monta
yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, juurenottoa ja kuvausten yhdistämistä.
Algebrallisia ovat siis:
a) rationaalifunktiot (rational function ), joita ovat polynomit (polynomial ) ja
murtofunktiot (fractional functions ).
Polynomien yleinen muoto on x 7→ P (x):
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .
Murtofunktiot ovat muotoa: x 7→
P (x)
,
Q(x)
missä P ja Q ovat polynomeja.
b) juurifunktiot (root functions ), jotka ovat muotoa
1
x 7→ x n =
√
n
x
jollakin n ∈ N.
c) funktiot, jotka saadaan yhdistämällä kohtien a) ja b) funktioita.
Algebrallisten funktioiden määrittelyjoukko voi olla koko R tai sen jokin osajoukko. Esimerkiksi rationaalifunktioilla voi olla nimittäjän nollakohdissa määrittelemättömyyspisteitä. Juurenottojen yhteydessä määrittelyjoukko voi käydä hyvinkin suppeaksi.
Esimerkki
6.5.1 Algebrallisia ovat esimerkiksi funktiot x 7→ x/(1 − x2 ) ja x 7→
√
1 − x2 . Edellisen lähtöjoukoksi käy R\{−1, 1}, jälkimmäisen vain väli ]−1, 1[.
Tehtävä 6.5.2 Muodosta algebrallinen funktio, joka on määritelty jollain rajoitetulla välillä lukuunottamatta yhtä sen pistettä.
6 REAALIFUNKTIOT
89
2. Transkendenttiset funktiot
Muut kuin algebralliset reaalifunktiot ovat transkendenttisia (transcendental ). Ne
jaetaan vielä kahteen kastiin:
α) Transkendenttiset alkeisfunktiot, joita ovat
- yleiset potenssifunktiot
- eksponenttifunktiot
- logaritmifunktiot
- trigonometriset funktiot
- syklometriset eli arkusfunktiot
- hyperboliset funktiot
- areafunktiot
- edellisistä ja algebrallisista funktioista aritmeettisesti tai yhdistämällä saadut funktiot, jotka eivät sievene tai muuten redusoidu algebrallisiksi.
β) Korkeammat transkendenttifunktiot, joita ei voida esittää nk. suljetussa
muodossa, ks. alla.
Algebrallisia funktioita ja transkendenttisiä alkeisfunktioita kutsutaan yhteisnimellä alkeisfunktiot (elementary functions ). Funktio on esitetty suljetussa muodossa (closed form ), jos se on saatu alkeisfunktioista suorittamalla äärellisen monta yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, juurenottoa, kuvausten yhdistämistä ja
kuvauksen kääntämistä.
Esimerkki 6.5.3 Korkeampia transkendenttifunktioita saadaan aikaan mm. sarjojen ja integraalien avulla:
∫ x
∫ x
∞
∑
1
1
sin t
−t2 /2
Φ(x) =
e
dt,
x 7→
,
x 7→
dt.
x
2π −∞
n
t
0
n=1
2
Tehtävä
√ 6.5.4 Mihin yllä mainituista luokista kuuluvat funktiot x 7→ x + 1,
2
x 7→ x2 + x1 , x 7→ cos x, x 7→ ex , x 7→ sin2 x, x 7→ 1 − 2 sin2 x − cos 2x?
Tehtävä 6.5.5 Olkoot f : R → R+ , f (x) := ex , ja g : R+ → R, g(x) :=
ln x3 +1. Mihin yllä mainituista luokista kuuluvat funktiot (siellä missä määriteltyjä)
2
a) f , g, f + g, f g ?
b) g ◦ f ?
b) f ◦ g ?
Alkeisfunktioita käsitellään tarkemmin Luvuissa 7 ja 8.
7
Algebralliset alkeisfunktiot
7.1
Polynomit
Polynomi on alkeisfunktioista yksinkertaisin, koska kuva-alkio saadaan lähtöpisteestä äärellisellä määrällä yhteen- ja kertolaskuoperaatioita. Polynomit ovat tärkeitä mm. siksi, että
(1) sovellutuksissa ongelmien ratkaisut ovat usein polynomien nollakohtia,
(2) polynomeilla voidaan approksimoida muita säännöllisiä funktiota.
Määritelmä 7.1.1 Polynomi on reaalifunktio P : R → R,
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
missä a0 , a1 . . ., an ∈ R ovat vakioita, polynomin kertoimia (coefficients ). Jos
an ̸= 0 ja ai = 0 kun i > n, niin luku deg P := n ∈ N0 on polynomin P aste
(degree ). Nollapolynomi 0̂ on polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia, se on
siis samalla nollafunktio. Sovitaan, että nollapolynomilla ei ole astetta.
Huomautus 7.1.2 a) Nollapolynomin asteeksi näkee joskus sovittavan deg 0̂ :=
−1 tai deg 0̂ := −∞.
b) Polynomi voidaan esittää sigma-merkintää käyttäen
P (x) =
n
∑
ak xk .
k=0
Esimerkki 7.1.3 Lauseke
P (x) =
√
7x5 − πx2 + 1
määrittelee polynomin, jolle deg P = 5.
Perustelemme aluksi, miksi yhtälöllä P (x) = 0 on korkeintaan deg P erisuurta
reaalista ratkaisua. Tätä varten tarvitaan seuraava aputulos (vrt. kokonaislukujen
jakoyhtälö Tehtävässä 3.1.9):
Lemma 7.1.4 (polynomien jakoyhtälö) Olkoot P ja Q polynomeja ja olkoon
deg Q > 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteisesti määrätyt polynomit A ja R siten,
että kaikilla x ∈ R pätee
P (x) = A(x)Q(x) + R(x)
ja
deg R < deg Q.
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
91
Lemman 7.1.4 jakoyhtälössä polynomi P on jaettava ja polynomi Q on jakaja
polynomi A on osamäärä ja polynomi R jakojäännös (denominator, nominator,
quotient, remainder ).
Lemman 7.1.4 todistus sivuutetaan algebrallisena ja teknisenä, ks. esimerkiksi
Myrberg: Algebra, s. 112.
Määritelmä 7.1.5 Jos jakoyhtälössä jakojäännös R = 0̂ (nollapolynomi), sanotaan, että polynomi P on jaollinen (divisible ) polynomilla Q, ja Q on polynomin
P tekijä (factor ).
Esimerkki 7.1.6 Käsin laskien A ja R löydetään jakokulman avulla.
a) Olkoon
P (x) := x3 + x2 + x + 1
ja
Q(x) := x2 + 1.
Jakamalla jakokulmassa x3 + x2 + x + 1 polynomilla x2 + 1 saadaan tulokseksi
x + 1. Siis
x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(x + 1)
eli A(x) = x + 1 ja R = 0̂.
b) Olkoon
P (x) := x3 + 3x2 − x − 1
ja Q(x) := x + 2.
Jakamalla jakokulmassa x3 + 3x2 − x − 1 polynomilla x + 2 saadaan A(x) =
x2 + x − 3 ja jakojäännökseksi R(x) = 5. Tarkastamalla todetaan, että tulos on
oikein, sillä
A(x)Q(x) + R(x) = (x2 + x − 3)(x + 2) + 5 = x3 + 3x2 − x − 1 = P (x).
Määritelmä 7.1.7 Reaaliluku x0 on polynomin P nollakohta (zero, root ), jos
P (x0 ) = 0.
Lemma 7.1.8 Jos polynomilla P on nollakohta x0 , niin P on muotoa
P (x) = (x − x0 )A(x),
missä A on polynomi, jolle deg A = deg P − 1.
Todistus. Kun polynomi P jaetaan polynomilla Q, Q(x) = x − x0 , saadaan jakoyhtälön nojalla esitys
P (x) = (x − x0 )A(x) + R(x),
x ∈ R,
(1)
missä deg R < deg Q = 1. Siis deg R = 0 tai R on nollapolynomi. Joka tapauksessa R on vakiopolynomi. Sijoittamalla x = x0 esitykseen (1) saadaan
0 = P (x0 ) = (x0 − x0 )A(x0 ) + R(x0 ) = R(x0 ).
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
92
Koska R on vakiopolynomi ja R(x0 ) = 0, on R välttämättä nollapolynomi, ja
ensimmäinen väite on todistettu.
Polynomin A astetta koskeva väite todetaan helposti antiteesin kautta.
Lemma 7.1.9 Jos P on polynomi
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
jolle n = deg P ∈ N, ja jos x1 , x2 , . . . , xn ovat erillisiä polynomin P nollakohtia,
niin P on muotoa
P (x) = an (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ).
Todistus. Soveltamalla toistuvasti Lemmaa 7.1.8 voidaan kirjoittaa
P (x) = (x − x1 )A1 (x) = (x − x1 )(x − x2 )A2 (x) = (x − x1 ) · · · (x − xn )An (x),
missä deg A1 = n − 1, deg A2 = n − 2, . . . , deg An = 0. Tällöin erityisesti
An (x) = an .
Lause 7.1.10 Jos P on polynomi ja deg P = n, niin polynomilla P on korkeintaan n kappaletta erillisiä nollakohtia.
Todistus. Tehdään antiteesi: Erillisiä nollakohtia on m, missä m > n. Nyt Lemman 7.1.9 nojalla P on muotoa
P (x) = an (x − x1 ) · · · (x − xm ),
missä an ̸= 0. Mutta tällöin välttämättä deg P ≥ m > n, mikä on ristiriita.
Esimerkki 7.1.11 Nollakohdat voivat olla moninkertaisia. Esimerkiksi
x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3 ,
jolloin sanotaan, että x = 1 on kolminkertainen nollakohta. Tietenkään (reaalisia)
nollakohtia ei tarvitse olla olemassa. Esimerkiksi polynomilla x 7→ x2 + 1 ei ole
reaalisia nollakohtia.
Polynomifunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/Polynomifunktiot.htm
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
7.2
93
Algebrallisista yhtälöistä
Tarkastellaan yhtälöä
P (x) = 0,
(2)
missä P on polynomi. Tätä sanotaan algebralliseksi yhtälöksi. Yhtälöllä (2) on
Lauseen 7.1.10 nojalla korkeintaan deg P erillistä reaalista ratkaisua.
Esimerkki 7.2.1 Jos deg P = 1, niin (2) on muotoa
ax + b = 0,
missä a ̸= 0 ja b ∈ R. Tällä yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu x = − ab .
Palautetaan mieleen myös toisen asteen yhtälön ratkaisukaava.
Lause 7.2.2 (toisen asteen yhtälön ratkaisukaava) Olkoot a ̸= 0 ja b, c ∈ R.
Tällöin yhtälön
ax2 + bx + c = 0
(3)
ratkaisut saadaan kaavasta
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
.
2a
(4)
Yhtälön (3) diskriminantti on luku D := b2 − 4ac.
(i) Jos diskriminantti D > 0, on yhtälöllä (3) kaksi reaalista ratkaisua.
(ii) Jos D = 0, on yhtälöllä (3) täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu.
(iii) Jos D < 0, ei yhtälöllä (3) ole reaalisia ratkaisuja.
Todistus. Sijoittamalla on helppo todeta, että yhtälön (4) lauseke todella on ratkaisu. Tämä myöskin todistaa kohdan (i) (Lause 7.1.10). Kohtia (ii) ja (iii) tarkastellaan jäljempänä.
Esimerkki 7.2.3 a) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan myös ratkaisu
neljännen asteen yhtälölle, jossa esiintyy ainoastaan muuttujan x parillisia potensseja. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä
−2x4 + x2 + 1 = 0.
Merkitään x2 = y, jolloin yhtälö saa muodon −2y 2 + y + 1 = 0. Tämän ratkaisu
on
√
−1 ± 9
y=
−4
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
94
eli y1 = − 12 ja y2 = 1. Alkuperäisen yhtälön ratkaisut saadaan yhtälöiden
x2 = − 21 ja x2 = 1 ratkaisuina. Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja, kun taas jälkimmäisellä yhtälöllä on ratkaisut x = ±1. Nämä ovat samalla
tarkasteltavan yhtälön ainoat reaaliset ratkaisut.
b) Jos esimerkiksi kolmannen asteen yhtälön eräs ratkaisu tunnetaan, muut ratkaisut saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta Lemman 7.1.8 nojalla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä
7
x3 − x − 1 = 0.
2
Yhtälön eräs ratkaisu on x = 2, joten jakamalla jakokulmassa saadaan (Lemma
7.1.8)
7
1
x3 − x − 1 = (x − 2)(x2 + 2x + ) = 0.
2
2
Siten alkuperäisen yhtälön muut ratkaisut saadaan yhtälön x2 + 2x + 12 = 0 ratkaisuista. Nämä ovat
√
−2 ± 4 − 2
1√
x=
= −1 ±
2.
2
2
Kokonaislukukertoimisen polynomin tapauksessa saattaa olla apua seuraavasta
aputuloksesta, jonka avulla voi kokeilemalla yrittää löytää mahdollisia rationaalijuuria.
Menetelmä 7.2.4 Jos supistetussa muodossa oleva rationaaliluku r/s on kokonaislukukertoimisen yhtälön
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0,
an ̸= 0,
juuri, niin |r| on luvun a0 ja |s| luvun an tekijä.
Tehtävä 7.2.5 Ratkaise yhtälö 4x3 + 8x2 − 11x + 3 = 0.
Opastus. Polynomiyhtälö on kokonaislukukertoiminen, joten Menetelmän 7.2.4
mukaan kannattaa kokeilla murtolukuja r/s, missä r = ±1, ±3 ja s = ±1, ±2, ±4.
Tehtävä 7.2.6 Johda Lauseessa 7.2.2 esitetty toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaava.
Syvennämme tarkastelua kunhan olemme tutustuneet lähemmin kompleksilukuihin, ks. Luku 12.9.
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
7.3
95
Rationaalifunktiot
Rationaalifunktiot ovat muotoa
R(x) =
P (x)
,
Q(x)
missä P ja Q ̸= 0̂ ovat polynomeja. Rationaalifunktio on määritelty nimittäjäpolynomin Q nollakohtien ulkopuolella.
Tehtävä 7.3.1 Kuvassa 29 on rationaalifunktioiden R1 , R2 , R3 , R4 ,
R1 (x) := −
1
1
1
−1 + 5x
, R2 (x) := 4
, R3 (x) :=
ja R4 (x) :=
2
2
x
x +x−1
x
x−2
kuvaajat, tosin eivät tässä järjestyksessä. Mikä kuvaajista esittää mitäkin funktiota?
20
5
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
x
6
8
y 10
–5
0
1
2
x
3
4
y –10
–10
–15
–20
–20
8
4
6
y4
y
2
2
–8
–6
–4
–2
0
2
4
x
6
8
–4
–2
0
–2
–2
–4
–6
–4
–8
Kuva 29: Tehtävän 7.3.1 rationaalifunktiot
2
x
4
10
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
96
Rationaalifunktion jakaminen osamurtoihin
P
Tarkastellaan rationaalifunktioita R = Q
, joille deg P < deg Q. Tarkoituksena
on esitellä laskurutiineja, joilla saadaan aikaan rationaalifunktion osamurtokehitelmä. Emme tässä yhteydessä perustele, miksi kyseinen rutiini johtaa tulokseen.
Huomaa, että saatu tulos voidaan (ja kannattaa) aina tarkistaa.
Tapaus 1. Oletetaan, että deg Q = n ja että polynomilla Q on n kappaletta erillisiä
P
nollakohtia x1 , . . . xn . Tällöin rationaalifunktiolla R = Q
on osamurtokehitelmä
R(x) =
P (x)
P (x)
=
Q(x)
a(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn )
A2
An
A1
+
+ ... +
=
x − x1 x − x2
x − xn
missä A1 , . . ., An ∈ R ja a ̸= 0.
Esimerkki 7.3.2 Huomaa, että osamurtokehitelmä ratkaisee funktion R integrointiongelman; nimittäin
∫
1
dx = ln |x − x1 | + C, C ∈ R,
x − x1
ja siis
∫
R(x) dx =
∫ ∑
n
i=1
∑
Ai
dx =
Ai ln |x − xi | + C, C ∈ R.
x − xi
i=1
n
Esimerkki 7.3.3 Määritetään osamurtokehitelmä funktiolle
R(x) :=
x2
x
.
−1
Asetetaan
A
B
x
=
+
, x ̸= ±1.
−1
x+1 x−1
Kertomalla nimittäjät pois (siis lavennukset etc.) saadaan
x2
x = A(x − 1) + B(x + 1) = Ax − A + Bx + B = (A + B)x + (B − A).
Tämä pätee kaikilla x ̸= ±1 vain jos A + B = 1 ja B − A = 0. Tästä yhtälöparista
saadaan ratkaisuiksi A = 12 ja B = 21 . Huomaa, että metodi menee asteen n
kasvaessa työlääksi, koska ratkaisuun pääseminen edellyttää yleisessä tapauksessa
yhtälöryhmän ratkaisua tilanteessa, jossa on n tuntematonta ja n yhtälöä.
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
97
Esimerkki 7.3.4 Osamurtokehitelmä löytyykin yleensä kätevimmin Heavisidemetodilla. Etsitään malliksi sellaiset vakiot A1 , A2 , A3 ∈ R, että
R(x) :=
A1
A2
A3
1
=
+
+
x(x − 1)(x + 1)
x
x−1 x+1
(5)
kaikilla x ̸= 0, x ̸= ±1.
Kerrotaan (5) ensin puolittain ”ensimmäisellä nimittäjällä” x, jolloin saadaan
1
A2
A3
= A1 + x
+x
.
(x − 1)(x + 1)
x−1
x+1
(6)
Tähän voidaan sijoittaa x = 0, jolloin saadaan −1 = A1 (tarkkaan ottaen tässä
tulisi vedota yhtälön (6) lausekkeiden jatkuvuuteen pisteessä x = 0, koska a priori
tarkastellaan vain pisteitä x ̸= 0, x ̸= ±1). Sijoitetaan esitykseen (5) A1 = −1 ja
kerrotaan seuraavaksi ”toisella nimittäjällä” x − 1. Näin saadaan
1
1
(x − 1)
= − (x − 1) + A2 + A3
.
x(x + 1)
x
(x + 1)
Nyt sijoitetaan x = 1 ja saadaan A2 = 12 . Sijoittamalla A2 =
kertomalla ”kolmannella nimittäjällä” x + 1 todetaan
(
)
1
x+1 1 x+1
=−
+
+ A3 .
x(x − 1)
x
2 x−1
1
2
esitykseen (5) ja
Sijoittamalla lopuksi x = −1 saadaan A3 = 12 .
(
)
(
)
1
1
1
1 1
1
=− +
+
x(x − 1)(x + 1)
x 2 x−1
2 x+1
kaikilla x ̸= 0 ja x ̸= ±1. Kertomalla nimittäjät pois voidaan helposti tarkistaa,
että tulos on oikein.
Siis
Määritelmä 7.3.5 Olkoon n ∈ N. Polynomilla Q on n-kertainen nollakohta x0 ,
jos Q on jaollinen polynomilla (x − x0 )n , mutta ei polynomilla (x − x0 )n+1 .
Tapaus 2. Jos nimittäjä Q on muotoa
Q(x) = (x − x1 )n1 (x − x2 )n2 · · · (x − xs )ns ,
missä x1 , . . . , xs ovat erillisiä Q:n nollakohtia ja ni ∈ N, niin jokaista termiä
(x − xi )ni kohti on osamurtokehitelmään summattava mukaan lauseke
Ai2
Aini
Ai1
+
+
.
.
.
+
,
x − xi (x − xi )2
(x − xi )ni
i = 1, 2, . . . , s.
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
98
Esimerkki 7.3.6 Jaetaan osamurtoihin
R(x) :=
1
.
− 1)
x2 (x
Nimittäjällä on siis kaksinkertainen nollakohta 0 ja yksinkertainen nollakohta 1.
Etsitään Heaviside-metodilla vakiot A1 , A2 ja A3 ∈ R siten, että
1
A1 A2
A3
= 2 +
+
.
− 1)
x
x
x−1
R(x) =
x2 (x
(7)
Kerrotaan ensin (7) puolittain erotuksella x − 1, jolloin todetaan
1
A1
A2
= (x − 1) 2 + (x − 1)
+ A3 .
2
x
x
x
Sijoittamalla tähän x = 1 saadaan A3 = 1. Toisaalta, kertomalla (7) puolittain
neliöllä x2 ja sijoittamalla A3 = 1 saadaan
1
1
= A1 + A2 x + x2
,
x−1
x−1
ja sijoittamalla tähän x = 0 todetaan A1 = −1. Sijoittamalla nyt A1 = −1
saadaan yhtälö (7) muotoon
1
1
A2
1
=− 2 +
+
.
− 1)
x
x
x−1
x2 (x
Koska tämän pitää olla samalla vakiolla A2 voimassa kaikilla x ̸= 0, x ̸= 1,
saadaan sijoittamalla vaikkapa x = 2
1
A2
− =
+ 1,
4
2
ja siten A2 = −1. Siis kaikilla x ∈ R \ {0, 1} pätee
1
1
1
1
=− 2 − +
.
− 1)
x
x x−1
x2 (x
Kertomalla nimittäjät pois tarkistetaan helposti, että tulos on taas oikein.
Huomautus 7.3.7 Jos nimittäjäpolynomilla Q on tekijänä vähintään toista astetta
oleva polynomi, jolla ei ole reaalisia nollakohtia, osamurtokehitelmä mutkistuu
entisestään. Silloin voidaan koettaa osoittajaan vakion sijasta yritettä Ax + B, tai
jakaa kompleksisiin tekijöihin.
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
7.4
99
Potenssi- ja juurifunktio
Olkoon n ∈ N ja olkoon f : R+ → R,
f (x) := xn .
Jos 0 ≤ x < y, niin tunnetusti xn < y n , joten funktio f on aidosti kasvava. Se on
siis injektio ja kuvaus f : R+ → f (R+ ) on bijektio. Bolzanon lauseesta (Analyysi
I) seuraa, että f (R+ ) = R+ , joten f : R+ → R+ on bijektio. Kyseisen bijektion
käänteiskuvaukselle n:s juurifunktio f −1 : R+ → R+ käytetään merkintää
√
f −1 (x) =: n x.
Huomaa, että Lemman 6.3.4 a) nojalla juurifunktio on aidosti kasvava ja että
√
√
( n x)n = x ja n xn = x
kaikilla x ∈ R+ Huomautuksen 6.4.2 mukaan.
Olkoon n ∈ N pariton. Tällöin sääntö f (x) = xn määrittelee injektion R → R.
Tämän toteamiseksi riittää osoittaa, että f on aidosti kasvava joukossa R. Olkoot
x, y ∈ R, x < y. Jos 0 ≤ x < y, niin xn < y n . Jos x < 0 ≤ y, niin xn < 0 ≤ y n ,
koska n on pariton. Jos lopuksi x < y < 0, niin 0 < −y < −x ja luvun n
parittomuuden nojalla
−y n = (−y)n < (−x)n = −xn .
Näin ollen xn < y n . Siis f : R → R on injektio. Pitäen tunnettuna, että f (R) =
R (seuraa Bolzanon lauseesta, Analyysi I) päätellään, että f on aidosti kasvava
bijektio R → R. Käänteiskuvaukselle käytetään edelleen merkintää
√
f −1 (x) = n x.
√
Lemman 6.3.4 nojalla myös tämä juurifunktio x 7→ n x on aidosti kasvava.
Esimerkki 7.4.1 Ratkaistaan epäyhtälö
1
1
(x2 + 2) 4 > (x2 + 3x) 4 .
Neljäs juuri on määritelty vain ei-negatiivisille luvuille. Siksi vaaditaan, että x2 +
3x = x(x + 3) ≥ 0 eli x ≤ −3 tai x ≥ 0.
Oletetaan, että x ≤ −3 tai x ≥ 0. Juurifunktion aidon kasvavuuden nojalla (Lemma 6.2.3)
1
1
(x2 + 2) 4 > (x2 + 3x) 4 ⇔ x2 + 2 > x2 + 3x
⇔ 2 > 3x
2
⇔ x< .
3
Siispä kysytyn epäyhtälön ratkaisut ovat x ≤ −3 tai 0 ≤ x < 23 .
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
100
Esimerkki 7.4.2 Olkoon f : R \ {−2} → R,
√
3x
.
f (x) := 5
x+2
Määritetään funktion f käänteiskuvaus.
Tätä varten olkoon y ∈ R. Koska kuvaus x 7→
x ̸= −2 kirjoittaa ekvivalenssiketju
√
3x
f (x) = y ⇔ 5
=y ⇔
x+2
⇔
⇔
x5 on injektio, voidaan arvoilla
3x
= y5
x+2
3x = y 5 (x + 2)
x(3 − y 5 ) = 2y 5
2y 5
⇔ x=
3 − y5
√
√
olettaen, että x ̸= −2 ja että y ̸= 5 3. Siis jokaisella y ̸= 5 3 on yksikäsitteinen
alkukuva 2y 5 /(3√− y 5 ). Ekvivalenssiketjun yhtälöstä x(3 − y 5 ) = 2y 5 nähdään,
että luvulla y =√5 3 ei ole alkukuvaa. Näin ollen
√ f on bijektio joukosta R \ {−2}
joukkoon R \ { 5 3} ja käänteiskuvaus R \ { 5 3} → R \ {−2} on
2x5
.
3 − x5
√
Esimerkki 7.4.3 Määritä säännölle f : x 7→ 3 x2 − 3 lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy mahdollisimman laajalla välillä määritelty reaalifunktio, jolla
on käänteisfunktio. Määritä myös se.
√
Ratkaisu. Sääntö f (x) = 3 √
x2 − 3 määrittelee
√ selvästi funktion R → R, mutta
se ei ole injektio, sillä f (− 3) = 0 = f ( 3). Yleisemmin, f on parillinen,
siis kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, sillä f (−x) = 0 = f (x) kaikilla
x ∈ R.
f −1 (x) =
Funktio f√voidaan esittää yhdistettynä funktiona h ◦ g, missä g(x) := x2 − 3 ja
h(x) := 3 x, sillä
√
3
(h ◦ g)(x) = h(x2 − 3) = x2 − 3 = f (x).
Funktio g on välillä [0, +∞[ aidosti kasvava arvojoukkonaan
[ √
[[−3, +∞[, ja vastaavasti h on aidosti kasvava funktio [−3, +∞[ → − 3 3, +∞ . Yhdistetty funktio
f on siten aidosti kasvava
√ näin ollen
[ injektio, ja niinpä funktion f rajoittuma[ ja
kuvaus f1 : [0, +∞[ → − 3 3, +∞ on bijektio.
7 ALGEBRALLISET ALKEISFUNKTIOT
101
[ √
[
Lauseen 5.3.2 mukaan funktiolla f1 on käänteiskuvaus f1−1 : − 3 3, +∞ →
[0, +∞[. Se voidaan tässä tapauksessa myös laskea:
√
√
3
y = x2 − 3 ⇔ y 3 = x2 − 3 ⇔ x = ± y 3 + 3.
Koska piti olla x ≥ 0, pitää valita positiivinen haara; vaihtamalla muuttujat saadaan (ks. Kuvat 30)
√
f1−1 (x) = x3 + 3.
Toinen yhtä laajasti määritelty ratkaisufunktio
on samalla
[ √
[ lausekkeella määritelty
3
aidosti vähenevä bijektio f2 : ]−∞, 0] → − 3, +∞ (perustele itse!) ja sillä on
[ √
[
käänteisfunktiona f2−1 : − 3 3, +∞ → ]−∞, 0],
√
f2−1 (x) = − x3 + 3.
–4
–2
4
4
y2
y2
0
2x
4
–4
–2
0
–2
–2
–4
–4
Kuva 30: Esimerkin 7.4.3 funktioita
Tehtävä 7.4.4 Ratkaise yhtälö ja piirrä tilanteesta kuvio:
√
2 |x2 − 1| = 1.
2x
4
8
Transkendenttiset alkeisfunktiot
Algebrallinen potenssifunktio x 7→ xn ja juurifunktio x 7→
rajoituksin myös reaalisille eksponenteille.
8.1
√
n
x yleistyvät eräin
Yleiset potenssi- ja juurifunktiot
Luvun x > 0 reaaliset potenssit määritellään seuraavissa vaiheissa:
Olkoon n ∈ N, m ∈ Z ja r ∈ R. Määritellään induktiivisesti:
{ 1
x
:= x
1)
xn+1 := x · xn , n ∈ N
{ 0
x
:= 1
1
2)
x−n := n
x
3)
4)
m
1
1
x n := (x n )m , missä x n on luku y > 0, jolle pätee y n = x,
{ m }
{
inf {x n m
∈ Q, m
< r }, kun 0 < x < 1,
r
n
n
m
x :=
sup x n m
∈ Q, m
< r , kun x ≥ 1.
n
n
Reaalisen potenssin määritteleminen rationaalipotenssin avulla vaatii reaalilukujen täydellisyysaksiooman tuntemisen (joukon supremum sup = pienin yläraja ja
infimum inf = suurin alaraja, ks. Luku 4.8 ja Analyysit).
Määritelmä 8.1.1 Olkoon r ∈ R. Funktio f : R+ → R, f (x) := xr on yleinen
potenssifunktio (power function ).
Huomautus 8.1.2 Kokonaislukuarvoilla m ∈ N ja parittomilla n ∈ N voidaan
1
potenssifunktiot x 7→ xm ja x 7→ x n laajentaa koko reaalilukujen joukossa määritellyiksi, ks. Luku 7.4. Arvoilla r > 0 voidaan sopia 0r = 0, siis jatkaa x 7→ xr
nollaan asti.
Laskusääntöjä 8.1.3 Olkoot x > 0 ja y > 0 sekä r ja s reaalilukuja. Tällöin
( )r
xr
x
r
r r
= r
a) (xy) = x y
b)
y
y
r
x
c) xr xs = xr+s
d) s = xr−s
x
r s
rs
e) (x ) = x
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
r>1
3
r=1
3
2
103
2
y
2
y
1
0
y
1
1
2
x
1
0
3
1
2
x
r=0
3
0<r<1
3
1
x
2
3
r<0
3
2
0
3
2
y
y
1
0
1
1
x
2
3
0
1
x
2
3
Kuva 31: Potenssifunktioiden kuvaajia
Esimerkki 8.1.4 Edelliset laskusäännöt pätevät vain, kun x > 0 ja y > 0. Siten
laskussa
1
2
1
1
−2 = (−8) 3 = (−8) 6 = ((−8)2 ) 6 = 64 6 = 2
on varmaankin käytetty sääntöjä väärin, miten?
Potenssifunktiot x 7→ xr ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan R+ . Lisäksi ne ovat
monotonisia ja ei-negatiivisia. Potenssifunktioiden kuvaajia eri arvoilla r ∈ R
näkyy Kuvassa 31.
Huomautus 8.1.5 Kullakin arvolla r ̸= 0 on funktion x 7→ xr käänteisfunktio
1
x 7→ x r yhtälailla potenssifunktio.
Esimerkki 8.1.6 a) Olkoon f : R → R, f (x) := x3 . Funktion f käänteisfunktio
on f −1 : R → R,
√
1
f −1 (x) = x 3 = 3 x.
b) Funktion g : [0, ∞[ → [0, ∞[, g(x) := x2 , käänteisfunktio g −1 : [0, ∞[ →
[0, ∞[ on
√
1
g −1 (x) = x 2 = x.
Potenssi- ja juurifunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/PotenssiJaJuurifunktiot.htm
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
8.2
104
Eksponentti- ja logaritmifunktiot
Tärkein eksponenttifunktioista on e-kantainen eksponenttifunktio, jonka käänteisfunktio on luonnollinen logaritmi.
Eksponenttifunktio kantalukuna e
Neperin luku e on transkendenttinen ”luonnonvakio”, jota voi lähestyä monella
tapaa. Yksinkertaisin tapa on käyttää lukujonoa:
(1 + 1)1
(
)2
1
1+
2
)3
(
1
1+
3
(
)4
1
1+
4
)5
(
1
1+
5
= 2
= 2, 25
= 2, 37037 . . .
= 2, 44141 . . .
= 2, 48832 . . .
..
.
Voidaan osoittaa, että jonolla on äärellinen raja-arvo (jono on kasvava ja ylhäältä
rajoitettu, ks. Analyysi I).
Määritelmä 8.2.1 Neperin luku e on raja-arvo
(
1 )n
e := lim 1 +
= 2,71828 . . . .
n→∞
n
Luku on nimetty skotlantilaisen astrologi-matemaatikko John Napier’n (1550 1617) mukaan; hän keksi mm. jäljempänä käsiteltävän luonnollisen logaritmin.
Määritelmä 8.2.2 Funktio exp : R → R+ , exp(x) := ex , on e-kantainen eksponenttifunktio (exponential function ).
Eksponenttifunktio exp on aidosti kasvava (jatkuva) bijektio R → R+ , ks. kuvaaja
Kuvassa 32.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
105
4
3
y2
1
–3
–2
–1 0
1
x
2
3
Kuva 32: Eksponenttifunktion kuvaajaa
Laskusääntöjä 8.2.3 Eksponenttifunktiolle exp on voimassa kaikilla x, y ∈ R ja
n∈N
1
a) e0 = 1
b) e−x = x
e
ex
c) ex+y = ex ey
d) ex−y = y
e
x
x
e −1
e
e) lim
=1
f) lim n = ∞
x→0
x→∞ x
x
Huomautus 8.2.4 Raja-arvokaavan mukaan x 7→ ex kasvaa nopeammin kuin potenssifunktio x 7→ xn millään n ∈ N.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
106
Logaritmifunktio kantalukuna e
Koska eksponenttifunktio exp : R → R+ on bijektio, sillä on käänteisfunktio
exp−1 : R+ → R.
Määritelmä 8.2.5 Eksponenttifunktion exp käänteisfunktiota ln := exp−1 :
R+ → R sanotaan luonnolliseksi logaritmifunktioksi (natural logarithm ).
2
y 1
0
1
2x
3
4
–1
–2
Kuva 33: Logaritmifunktion kuvaajaa
Huomautus 8.2.6 Logaritmifunktion kuvaajaa näet Kuvassa 33. Luonnollista logaritmifunktiota x 7→ ln x sanotaan myös e-kantaiseksi logaritmiksi (logarithm of
base e). Käänteisfunktion määritelmän mukaan
y = ex ⇔ x = ln y.
Logaritmifunktio ln : R+ → R on aidosti kasvava (jatkuva) bijektio.
Laskusääntöjä 8.2.7 Logaritmifunktiolle ln on voimassa kaikilla x, y, r ∈ R+ ,
c ∈ R ja n ∈ N
a) ln 1 = 0 ja ln e = 1
c) ln(xy) = ln x + ln y
x
=∞
e) lim
x→∞ (ln x)n
b) ln xc = c ln x
( )
d) ln xy = ln x − ln y
xr
f) lim
=∞
x→∞ ln x
Raja-arvosäännön f) mukaan mikä tahansa potenssifunktio x 7→ xr , r > 0, kasvaa
nopeammin kuin ln.
Koska eksponentti- ja logaritmifunktiot ovat toistensa käänteisfunktioita, on
eln x = x kaikilla x ∈ R+ ,
ln ex = x kaikilla x ∈ R.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
107
Muut eksponentti- ja logaritmifunktiot
Eksponenttifunktion x 7→ ax kantaluvuksi käy mikä tahansa reaalivakio a > 0.
Määritelmä 8.2.8 Olkoon a ∈ R+ vakio. Funktio expa : R → R+ , expa := ax
on a-kantainen eksponenttifunktio.
Arvoilla 0 < a < 1 on eksponenttifunktio expa aidosti vähenevä ja arvoilla a > 1
aidosti kasvava, ks. Kuva 34. Rajatapaus a = 1 on luonnollisesti vakiofunktio
exp1 = 1.
a>1
4
–3
–2
0<a<1
4
3
3
y2
y2
1
1
–1 0
1
x
2
3
–3
–2
–1 0
1
x
2
3
Kuva 34: Eksponenttifunktioiden kuvaajia
Arvoilla a ∈ R+ \ {1} on funktioilla x 7→ ax käänteiskuvaukset.
Määritelmä 8.2.9 Kullekin vakiolle a ∈ R+ \ {1} sanotaan a-kantaisen eksponenttifunktion käänteisfunktiota loga : R+ → R a-kantaiseksi logaritmifunktioksi.
Logaritmifunktioiden kuvaajat ovat eksponenttifunktioiden kuvaajien peilikuvia
suoran y = x suhteen, ks. Kuva 35.
a>1
2
y 1
0
0<a<1
2
y 1
1
2x
3
4
0
–1
–1
–2
–2
1
2x
Kuva 35: Logaritmifunktioiden kuvaajia
3
4
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
108
Eksponenttifunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/Eksponenttifunktiot.htm
Logaritmifunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/Logaritmifunktiot.htm
Eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuuksia
Lause 8.2.10 a) Eksponenttifunktio expa voidaan esittää e-kantaisen eksponenttifunktion avulla:
ax = ex ln a .
b) Logaritmifunktio loga voidaan esittää e-kantaisen logaritmin avulla muodossa
loga x =
ln x
1
=
· ln x.
ln a
ln a
Todistus. a) Olkoon x ∈ R. Silloin ax = eln a = ex ln a (perustele!).
x
b) Olkoon x > 0 ja y := loga x. Silloin käänteisfunktion määritelmän ja luonnollisen logaritmin ominaisuuksien nojalla
y = loga x ⇔ x = ay
⇔ ln x = ln ay = y ln a
ln x
⇔ y=
,
ln a
eli loga x = y =
ln x
.
ln a
Esimerkki 8.2.11 Lauseen 8.2.10 a) nojalla voidaan funktio x 7→ xx esittää muodossa
x
xx = eln x = ex ln x , x > 0,
ja yleisemmin
g(x)
f (x)g(x) = eln f (x)
= eg(x) ln f (x) .
Eksponentti- ja logaritmilausekkeita sisältävien yhtälöiden ratkaisemisessa voidaan hyödyntää näiden funktioiden bijektiivisyyttä: arvoilla x, y, a > 0, a ̸= 1,
on
x = y ⇔ ax = ay ,
x = y ⇔ loga x = loga y.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
109
Esimerkki 8.2.12 Ratkaistaan yhtälö
2 −1
2x
2x
2 −1
−
−
1 2x
· 3 = 0.
2
1 2x
·3 =0 ⇔
2
⇔
⇔
⇔
⇔
2 · 2x
2 −1
= 32x
2
2x = 32x
2
ln 2x = ln 32x
x2 ln 2 = 2x ln 3
x(x ln 2 − 2 ln 3) = 0
2 ln 3
⇔ x = 0 tai x =
ln 2
Esimerkki 8.2.13 Ratkaistaan yhtälö
4x − 2x+2 = 32.
Aluksi muokataan yhtälöä:
4x − 2x+2 = 32 ⇔ (2x )2 − 2x 22 − 32 = 0
⇔ (2x )2 − 4 · 2x − 32 = 0.
Merkitään t := 2x . Silloin on t > 0, mikä saattaa vaikuttaa ratkaisuihin. Nyt
4x − 2x+2 = 32 ⇒
⇒
⇒
⇒
t2 − 4t − 32 = 0
t = 8 tai t = −4
2x = 8 = 23 tai 2x = −4
x = 3 tai 2x = −4.
Ainoa reaalinen ratkaisu voi olla x = 3, mikä toteuttaakin yhtälön (tarkasta!).
Eksponentti- ja logaritmifunktioita sisältävien epäyhtälöiden ratkaisu voidaan perustaa näiden funktioiden
• aidosti monotonisuuteen.
• jatkuvuuteen; jatkuva funktio voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdissa.
On kuitenkin muistettava kantaluvusta johtuvat eroavuudet:
Arvoilla a > 1, x, y ∈ R on:
Arvoilla 0 < a < 1, x, y ∈ R on:
x < y ⇔ ax < ay .
x < y ⇔ ax > ay .
Arvoilla a > 1, x, y ∈ R+ on:
Arvoilla 0 < a < 1, x, y ∈ R+ on:
x < y ⇔ loga x < loga y.
x < y ⇔ loga x > loga y.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
110
Esimerkki 8.2.14 Ratkaistaan epäyhtälö
2 −1
2x
2 −1
2x
−
1 2x
·3 <0 ⇔
2
⇔
⇔
⇔
−
1 2x
· 3 < 0.
2
2
2x < 32x
2
ln aidosti kasvava
ln 2x < ln 32x
x2 ln 2 − 2x ln 3 < 0
x(x ln 2 − 2 ln 3) < 0
Merkitään f (x) := x ln 2 − 2 ln 3 ja tarkastellaan merkkikaaviota:
x
−
f (x)
−
xf (x) +
+ +
− +
− +
0
Ratkaisu on siis 0 < x <
2 ln 3
ln 2
2 ln 3
.
ln 2
Lause 8.2.15 Jos limx→x0 f (x) = ∞ (tai limx→x0 f (x) = −∞), niin
(
lim 1 +
x→x0
1 )f (x)
= e.
f (x)
Todistus. Seuraa yhdistetyn funktion määritelmästä ja tunnetusta raja-arvotuloksesta
(
1 )x
lim 1 +
= e.
x→±∞
x
Esimerkki 8.2.16 Lasketaan raja-arvo
)x
(
1
.
lim 1 +
x→∞
3x
Muokataan lauseketta Lauseen 8.2.15 mukaiseksi:
(
)x
1
=
lim 1 +
x→∞
3x
[(
(
) 1 ·3x
)3x ] 31
√
1
1 3
1
lim 1 +
= lim
1+
= e 3 = 3 e.
x→∞
x→∞
3x
3x
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
111
Esimerkki 8.2.17 Lasketaan raja-arvo
(
)x
x−2
lim
.
x→∞
x
Muokataan lauseketta Lauseen 8.2.15 mukaiseksi:
(
)x
(
)x
(
)x
x−2
2
1
lim
= lim 1 −
= lim 1 − x
x→∞
x→∞
x→∞
x
x
2
[(
)− x2 ]−2
1
1
= lim
1+ x
= e−2 = 2 .
x→∞
−2
e
Eksponentti- ja logaritmifunktioiden laskusäännöille
ex
= ∞,
x→∞ xn
lim
x
= ∞,
x→∞ (ln x)n
lim
xr
= ∞, (r > 0).
x→∞ ln x
lim
saadaan yleistykset
Lause 8.2.18 Jos limx→x0 f (x) = ∞, niin
lim
x→x0
ef (x)
= ∞,
(f (x))n
lim
x→x0
f (x)
= ∞,
(ln f (x))n
lim
x→x0
f (x)r
= ∞, (r > 0).
ln f (x)
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
8.3
112
Trigonometriset ja arkusfunktiot
Trigonometristen funktioiden määritelmät
Tarkastellaan yksikköympyrää (unit circle ) eli 1-säteistä origokeskistä ympyrää.
Asetetaan tarkasteltavan kulman kärki origoon ja alkukylki positiiviselle x-akselille, ks. Kuva 36. Kulman t suuruus radiaaneina (radian ) on kulmaa vastaa1
y
t
+
positiiviset kulman arvot
x
-1
1
negatiiviset kulman arvot
_
-1
Kuva 36: Yksikköympyrä
van kaaren pituus yksikköympyrän kehällä kiertosuuntaa vastaavalla merkillä varustettuna. Jos α on kulma asteina ja t on kulma radiaaneina, niin verrannosta
t
α
= 360
◦ saadaan aste-radiaaniyhteys (ks. Kuva 37)
2π
t=
2π
α
α=
2π.
◦
360
360◦
π
90ο = _2
π
135ο = 3__
4
60ο = π_3
π
ο
45 = _4
π
ο
30 = _6
180ο = π
0o = 0
270o = 3__2π
Kuva 37: Kulmia asteina ja radiaaneina
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
113
Jokaista reaalilukua t (= kulman suuruus radiaaneina) vastaa täsmälleen yksi kehän piste (x, y). Jokaista kehän pistettä (x, y) vastaa ääretön määrä reaalilukuja
(radiaanikulmia) t + n2π.
Määritelmä 8.3.1 Olkoon (x, y) kulmaa t vastaava yksikköympyrän kehän piste.
Määritellään kosini cos ja sini sin asettamalla
cos t := x
sin t := y
Siten (ks. Kuva 38)
- kulman kosini on kulmaa vastaavan kehäpisteen x-koordinaatti.
- kulman sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti,
1
y = sin t
(x,y)
t
-1
( x,y)
y
t
1
r
x = cos t
x
r
-r
-1
Kuva 38: Suhteita yksikköympyrässä ja r-säteisessä ympyrässä
Yleisemmin: origokeskisen r-säteisen ympyrän tapauksessa cos t = x/r ja sin t =
y/r eli x = r cos t ja y = r sin t. Eräitä tärkeitä arvoja saadaan suorakulmaisista
muistikolmioista, ks. Kuva 39.
1
1
o
30 =
π_
6
_3
2
1_
2
o
45 =
_π
4
2_
2
2_
2
Kuva 39: Muistikolmiot
1
60o =
1_
2
π
_
3
_3
2
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
114
Ajatellaan kulma muuttujaksi ja merkitään sitä symbolilla x. Näin tulevat määritellyksi trigonometriset funktiot (trigonometric functions ):
Sini
f1 : R → [−1, 1],
f1 (x) := sin x
Kosini
f2 : R → [−1, 1],
f2 (x) := cos x
Tangentti
f3 : R \ { π2 +nπ | n ∈ Z} → R,
f3 (x) = tan x :=
sin x
cos x
cos x
f4 (x) = cot x :=
sin x
Kotangentti f4 : R \ {nπ | n ∈ Z} → R,
f5 : R \ { π2 +nπ | n ∈ Z} → R,
Sekantti
f5 (x) = sec x :=
1
cos x
1
sin x
Trigonometriset funktiot ovat määrittelyjoukoissaan jatkuvia. Sini ja kosini ovat
jaksollisia perusjaksoinaan 2π. Muista saadaan jaksollisia jatkamalla ne määrittelemättömyyskohdissa vaikkapa nolliksi (ks. Kuva 40, huomaa skaalat akseleilla).
f6 : R \ {nπ | n ∈ Z} → R,
Kosekantti
f6 (x) = csc x :=
y = cos x
y = sin x
y
–8
1
–4
y
4
x
8
–8
–4
–1
–4
4
x
8
4
y
2
0
–2
8
y = cot x
4
–8
4
x
–1
y = tan x
y
1
4
x
8
–8
–4
–4
2
0
–2
–4
Kuva 40: Trigonometristen funktioiden kuvaajia
Trigonometristen funktioiden visualisointeja (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/TrigonometrisetFunktiot.htm
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
115
Sini ja kosini ovat rajoitettuja, | sin | ≤ 1 ja | cos | ≤ 1.
Pienillä kulman arvoilla |x| ≈ 0 on sin x ≈ x, mistä johtuu mm. raja-arvo-ominaisuus
sin x
lim
= 1.
x→0 x
Tämä käy ilmi myös sinin sarjakehitelmästä, kun x ∈ R on radiaaneja:
∑
x3 x5
x2k+1
+
− ... =
.
(−1)k
3!
5!
(2k
+
1)!
k=0
∞
sin x = x −
Kosinilla on myös samankaltainen sarjakehitelmä, mikähän se on? Trigonometriset funktiot voitaisiin määritelläkin suoraan sarjaesitysten avulla.
Huomautus 8.3.2 Trigonometristen funktioiden potensseja merkitään usein
sinn x := (sin x)n .
Potenssimerkinnässä on kuitenkin vaaransa, joskus nimittäin funktion yhdistämiselle käytetään niinikään potenssimerkintää f 2 = f ◦ f , mikä yleensä on aivan eri
asia! Esimerkiksi (sin x)2 ̸= sin(sin x) lähes kaikilla x ∈ R.
Laskusääntöjä 8.3.3 (osattaviksi) Trigonometrisille funktioille sini ja kosini on
kaikkialla voimassa muunnoskaavat
1) sin(−x) = − sin x
2) cos(−x) = cos x
3) sin x = sin(x + n2π)
4) cos x = cos(x + n2π)
5) sin 2x = 2 sin x cos x
6) cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
7) cos2 x + sin2 x = 1
8) cos2 x − sin2 x = cos 2x
(
(
π)
π)
9) sin x +
= cos x 10) cos x +
= − sin x
2
2
11) sin(π − x) = sin x
12) cos(π − x) = − cos x
Tangentille ja kotangentille pätevät niiden määrittelyjoukoissa
1
sin x
14) cot x =
13) tan x =
cos x
tan x
15) tan(−x) = − tan x
16) cot(−x) = − cot x
17) tan x = tan(x + nπ) 18) cot x = cot(x + nπ)
Perusyhteenlaskukaavat
19) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
x+y
x−y
20) sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
116
Trigonometriset yhtälöt ja epäyhtälöt
Trigonometristen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisussa kannattaa käyttää apuna
yksikköympyrää.
A. Yhtälöiden ratkaiseminen
Olkoon T trigonometrinen funktio. Trigonometriset yhtälöt pyritään palauttamaan
esimerkiksi trigonometristen kaavojen avulla seuraaviin perustyyppeihin:
T (α(x)) = a
T (α(x)) = T (β(x)),
tai
missä a ∈ R ja α ja β ovat reaalifunktioita.
1) Muotoa T (α(x)) = a olevat yhtälöt ratkaistaan etsimällä ensin yksi ratkaisu
α(x) = α0 laskimella tai muistikolmion avulla ja sitten loput ratkaisut funktion T
määritelmän nojalla yksikköympyrää apuna käyttäen:
sin(α(x)) = a
a
tan(α(x)) = a
α0
α0
α0
y
a
cos(α(x)) = a
a
y
y
α0
a
x
α(x) = α0 + n2π
tai
α(x) = π − α0 + n2π
a
α0
α(x) = α0 + n2π
tai
α(x) = −α0 + n2π
α0
x
α(x) = α0 + nπ
α(x) ̸= π2 + nπ
Esimerkki 8.3.4 Ratkaise yhtälö 2 sin 2x = 1.
Ratkaisu. Yhtälö menee muotoon 1) arvolla α(x) := 2x:
1
2 sin 2x = 1 ⇔ sin 2x = .
2
Yksikköympyrä ja muistikolmio (Kuva 41) antavat ratkaisut
{
{
π
x = 12
2x = π6 + n2π
+ nπ
⇔
,
π
5π
2x = π − 6 + n2π
x = 12 + nπ
n ∈ Z.
x
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
__
5π
6
1_
2
π_
6
117
1
1_
2
π_
6
Kuva 41: Esimerkin 8.3.4 apukuviot
2) Muotoa T (α(x)) = T (β(x)) olevan yhtälön eräs ratkaisu saadaan asettamalla α(x) = β(x). Loput ratkaisut löytyvät funktion T määritelmän nojalla yksikköympyrää apuna käyttäen:
sin(α(x)) = sin(β(x))
y
cos(α(x)) = cos(β(x))
y
y
x
α(x) = β(x) + n2π
tai
α(x) = π − β(x) + n2π
tan(α(x)) =
tan(β(x))
x
x
α(x) = β(x) + n2π
tai
α(x) = −β(x) + n2π
α(x) = β(x) + nπ
α(x) ̸= π2 + nπ
β(x) ̸= π2 + nπ
Esimerkki 8.3.5 Ratkaise yhtälö tan 3x = tan x.
Ratkaisu. Yhtälö on muotoa 2), jossa α(x) = 3x ja β(x) = x. Ottamalla huomioon yhtälö ja tangentin määrittelyalue saadaan yhtälöryhmä


 3x = x + nπ
 x = n π2
3x ̸= π2 + nπ ⇔
x ̸= π6 + n π3 , n ∈ Z.


x ̸= π2 + nπ
x ̸= π2 + nπ
Ottamalla huomioon, että tangetti ei ole määritelty arvoilla x =
42), saadaan ratkaisuiksi x = nπ, n ∈ Z.
π
2
+ nπ (Kuva
3) Muotoa sin(α(x)) + cos(α(x)) = a oleva yhtälö kannattaa usein korottaa neliöön, jolloin voidaan käyttää ominaisuutta cos2 α + sin2 α = 1. Saadut ratkaisut
on tarkastettava!
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
118
ei käy
ei käy
Kuva 42: Tangentti ei ole määritelty, kun x =
π
2
+ nπ, n ∈ Z
Esimerkki 8.3.6 Ratkaise yhtälö cos x + sin x = 1.
Ratkaisu. Korotetaan molemmat puolet neliöön:
cos x + sin x = 1 ⇒ cos2 x + sin2 x + 2 cos x sin x = 1 ⇒ sin 2x = 0.
Tämän ratkaisut ovat kohdan 1) mukaan:
sin 2x = 0 ⇔ 2x = 0 + n2π tai 2x = (π − 0) + n2π,
π
⇔ x = nπ tai x = + nπ, n ∈ Z
2
π
⇔ x=n , n∈Z
2
n∈Z
Tarkastus osoittaa, etteivät nämä kaikki toteuta alkuperäistä yhtälöä; ratkaisuksi
jää vain x = n2π tai x = π2 + n2π, n ∈ Z.
Esimerkki 8.3.7 Ratkaise yhtälö cos 2x = sin x.
Ratkaisu. Trigonometristen kaavojen avulla saadaan
cos 2x = sin x ⇔ 1 − 2 sin2 x = sin x
⇔ 2 sin2 x + sin x√− 1 = 0
−1 ± 1 + 8
−1 ± 3
⇔ sin x =
=
4
4
1
⇔ sin x = −1 tai sin x =
2
3
π
5π
⇔ x = π + n2π tai x = + n2π tai x =
+ n2π, n ∈ Z
2
6
6
π
2π
⇔ x = + n , n ∈ Z (koottuina).
6
3
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
119
B. Epäyhtälöiden ratkaiseminen
Olkoon ratkaistava yhtälö muotoa f (x) > g(x) tai f (x) ≥ g(x).
1) Yleensä kannattaa ratkaista vastaava yhtälö f (x) = g(x) eli f (x)−g(x) = 0
ja tehdä lausekkeen f (x) − g(x) etumerkkitarkastelu yksikköympyrällä tai
reaaliakselin välillä [0, 2π].
2) Jatkuvan funktion merkki voi vaihtua vain nollakohdissa ja kohdissa, joissa funktio ei ole määritelty. Huomaa, että merkki voi vaihtua myös epäjatkuvuuskohdissa. Kun nämä pisteet ovat selvillä, voidaan lausekkeen
f (x) − g(x) etumerkki kullakin välillä selvittää kokeilemalla yhdellä välin sisällä olevalla muuttujan arvolla.
3) Rationaalilausekkeita sisältävissä epäyhtälöissä kannattaa yleensä viedä
kaikki termit epäyhtälön samalle puolelle (ei kertoa nimittäjiä pois), laskea
yhteen ja tehdä osoittajan ja nimittäjän merkkitarkastelu yksikköympyrällä.
Esimerkki 8.3.8 Ratkaise epäyhtälö 2 cos 2x ≥ 1.
Ratkaisu. Tarkastellaan yhtäsuuruutta:
1
2 cos 2x = 1 ⇔ cos 2x =
2
π
⇔ 2x = ± + n2π, n ∈ Z
3
π
⇔ x = ± + nπ, n ∈ Z.
6
Lausekkeen 2 cos 2x − 1 merkkikaavioon 43 asetellaan nämä mahdolliset merkinvaihtopisteet. Kultakin väliltä valitaan sopiva piste, josta etumerkki ko. välillä
selviää; tässä esimerkiksi pisteet 0, π/2, π ja 3π/2.
π
5__
6
−
π
− 5__
6
π_
−
+
+
+
+
−
−
6
π
−_
6
Kuva 43: Merkkikaavio lausekkeelle 2 cos 2x − 1
Nähdään, että ratkaisu on
π
π
− + nπ ≤ x ≤ + nπ,
6
6
n ∈ Z.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
120
Esimerkki 8.3.9 Ratkaise epäyhtälö cos 2x ≤ sin x.
Ratkaisu. Ratkaistaan yhtäsuuruus (ks. Esimerkki 8.3.7):
cos 2x = sin x ⇔ x =
π
2π
+n ,
6
3
n ∈ Z.
Lausekkeen cos 2x − sin x merkkikaavion 44 mukaan sijoitetaan nyt lausekkeeπ
5__
6
π_
−
−
+
+
+
6
+
_
−π
2
Kuva 44: Merkkikaavio lausekkeelle cos 2x − sin x
seen vaikkapa pisteet 0, π/2 ja π ja merkitään etumerkkivälit. Nähdään, että
epäyhtälön ratkaisu on
π
5π
π
+ n2π ≤ x ≤
+ n2π tai x = − + n2π,
6
6
2
n ∈ Z.
Arkusfunktiot eli syklometriset funktiot
Trigonometriset funktiot eivät ole – toisin kuin esimerkiksi eksponenttifunktiot
– sellaisinaan käännettävissä, mutta rajoittamalla ne sopiville määrittelyväleille
saadaan käyttökelpoiset osittaiset käänteisfunktiot; mm. funktiolaskimet tuottavat
juuri näiden arvoja.
[ π π]
1. Sinifunktio
on
aidosti
kasvava
välillä
− 2 , 2 , joten sen rajoittumafunktio
[ π π]
f : − 2 , 2 → [−1, 1], f (x) := sin x, on bijektio. Tämän käänteisfunktiota
kutsutaan nimellä arkussinin päähaara ja sitä merkitään
[ π π]
arc sin := f −1 : [−1, 1] → − ,
.
2 2
Siten
sin x = y ⇔ x = arc sin y
kaikilla
[ π π]
x∈ − ,
.
2 2
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
121
2. Kosinifunktio on aidosti vähenevä välillä [0, π], joten sen rajoittumafunktio
f : [0, π] → [−1, 1], f (x) := cos x, on bijektio. Sen käänteisfunktio on
arkuskosinin päähaara:
arc cos x := f −1 : [−1, 1] → [0, π] .
] π π[
3. Tangenttifunktio
on
aidosti
kasvava
välillä
− 2 , 2 , joten sen rajoittuma] π π[
funktio f : − 2 , 2 → R, f (x) := tan x, on bijektio. Sen käänteisfunktio
on arkustangentin päähaara:
] π π[
arc tan x := f −1 : R → − ,
.
2 2
4. Kotangentti on aidosti vähenevä välillä ]0, π[, joten sen rajoittumafunktio
f : ]0, π[ → R, f (x) := cot x, on bijektio. Sen käänteisfunktio on arkuskotangentin päähaara:
arc cot := f −1 : R → ]0, π[ .
Rajoittumalla muihin väleihin voidaan määritellä muita arkusfunktioiden haaroja,
nk. sivuhaaroja ; näille ei merkinnöissä arcsin, arccos, jne käytetä yläviivaa.
[
]
Esimerkki 8.3.10 Funktio f1 : π2 , 3π
→ [−1,
2
[ 1] ,]f1 (x) := sin x, on bijektio,
joten sillä on käänteisfunktio f1−1 : [−1, 1] → π2 , 3π
. Tätä voidaan sanoa arkus2
sinin 1. sivuhaaraksi ja merkitä vaikkapa arcsin1 := f1−1 .
[
]
5π
Seuraava sivuhaara olisi arcsin2 : [−1, 1] → 3π
,
.
2
2
Jaksollisuudesta johtuen muut haarat voidaan kuitenkin palauttaa päähaaraan, esimerkiksi
arcsin1 x = − arc sin x + π = arc sin(−x) + π kaikilla
arcsin2 x = arc sin x + 2π kaikilla x ∈ [−1, 1].
x ∈ [−1, 1],
Huomautus 8.3.11 a) Arkusfunktioiden päähaaroille käytetään monesti – mm.
laskimissa – epätarkkoja merkintöjä sin−1 , cos−1 , tan−1 , ja cot−1 . Monikäsitteisyyden lisäksi on syytä taas huomata, että sin−1 x ja (sin x)−1 tarkoittavat eri asioita.
b) Tarkasti ottaen voitaisiin puhua sinifunktion käänteisrelaatiosta arcsin :=
sin−1 , joka on joukko
arcsin = { (x, y) ∈ R2 | sin y = x }.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
122
y = arcsin x
10
9
8
7
6
y5
4
3
2
1
0 0.5 1
–1 –1
x
–2
Kuva 45: Arkussini-relaatiota xy-tasossa
Tehtävä 8.3.12 Piirrä Kuvaan 45 arkussinin päähaara ja Esimerkissä 8.3.10 kuvatut sivuhaarat.
[
]
Lause 8.3.13 Funktio arc tan : R → − π2 , π2 on koko reaalilukujen joukossa
rajoitettu, aidosti kasvava jatkuva bijektio, jolle
lim arc tan x =
x→∞
π
,
2
π
lim arc tan x = − .
x→−∞
2
Arkusfunktioyhtälöiden ratkaisemisesta
Yhtälöiden ratkaisemisessa on muistettava:
1) todetaan määrittelyalueet,
2) trigonometristen funktioiden ja trigonometrian kaavojen avulla yhtälö muutetaan algebralliseksi yhtälöksi,
3) saadut ratkaisut tarkastetaan.
Esimerkki 8.3.14 Lasketaan luvun x := arc sin 12 tarkka arvo.
Ratkaisu. Ottaen huomioon, että x ∈ [− π2 , π2 ], saadaan
x = arc sin
1
1
π
⇔ sin x = ⇔ x = .
2
2
6
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
123
Esimerkki 8.3.15 Sievennä cos(arc sin x), kun −1 ≤ x ≤ 1.
Ratkaisu. Koska on arc sin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ] eli
−
π
π
≤ arc sin x ≤ ,
2
2
on cos(arc sin x) ≥ 0. Koska aina cos2 x + sin2 x = 1, on
√
cos x = ± 1 − sin2 x.
Edellä todetun nojalla on kosini tarkasteluarvoilla ei-negatiivinen, joten
√
√
cos(arc sin x) = + 1 − (sin(arc sin x))2 = 1 − x2 .
Vastaavalla tavalla voitaisiin näyttää, että välillä [−1, 1] on
√
sin(arc cos x) = 1 − x2 .
Esimerkki 8.3.16 Ratkaise yhtälö arc sin x = 2 arc cos x.
Ratkaisu. Määrittelyalue on −1 ≤ x ≤ 1. Koska arc sin on tällä välillä bijektio,
on (vaikkakin edellyttäen vielä, että |2 arc cos x| ≤ π2 , ratkaisut on siten kuitenkin
tarkastettava)
arc sin x = 2 arc cos x ⇒
⇒
⇒
⇒
x = sin(2 arc cos x)
x = 2 sin(arc cos x) cos(arc cos x)
√
x = 2 1 − x2 · x
√
x(1 − 2 1 − x2 ) = 0
√
1
⇒ x = 0 tai 1 − x2 =
√ 2
3
⇒ x = 0 tai x = ±
.
2
Tarkastetaan: x = 0: arc sin 0 = 0, mutta 2 arc cos 0 = π, ei käy.
√
x=
x=
√
√
3
3
3
π
arc
sin
arc
cos
:
=
ja
2
= 2 · π6 = π3 , käy.
2
2
3
2
( √ )
( √ )
√
− 23 : arc sin − 23 = − π3 , mutta 2 arc cos − 23
√
Vastaus: x =
3
.
2
=2·
5π
,
6
ei käy.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
8.4
124
Hyperboliset ja areafunktiot
Hyperboliset funktiot määritellään helpoimmin eksponenttifunktion avulla.
Määritelmä 8.4.1 Hyperbolinen sini on funktio sinh : R → R,
1
sinh x := (ex − e−x ).
2
Hyperbolinen kosini on funktio cosh : R → R,
1
cosh x := (ex + e−x ).
2
Hyperbolinen tangentti on funktio tanh : R → R,
tanh x :=
sinh x
.
cosh x
Hyperbolinen kotangentti on funktio coth : R \ {0} → R,
coth x :=
cosh x
.
sinh x
Hyperboliset funktiot ovat jatkuvia koko määrittelyjoukoissaan (ks. Kuva 46).
4
y
2
–4
–2
0
2x
4
–2
–4
Kuva 46: Hyperboliset funktiot
Tehtävä 8.4.2 Nimeä hyperbolisten funktioiden kuvaajat Kuvaan 46.
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
125
Huomautus 8.4.3 Trigonometrisistä ja hyperbolisista funktioista havaitaan
a) Piste (cos t, sin t), t ∈ R, on ympyrällä x2 + y 2 = 1.
b) Piste (cosh t, sinh t), t ∈ R, on hyperbelillä x2 − y 2 = 1.
Ympyröitä ja hyperbelejä voi siis piirtää näiden parametriesitysten avulla.
a)
b)
y
y
x
x
Kuva 47: Pisteiden (cos t, sin t) ja (cosh t, sinh t) sijainnit
Laskusääntöjä 8.4.4 Hyperbolisille funktioille on voimassa muunnoskaavat
a) cosh2 x − sinh2 x = 1,
b) sinh 2x = 2 sinh x cosh x,
c) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x,
d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,
e) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y.
Todistus. Todistetaan malliksi kohta b):
1
1
2 sinh x cosh x = 2 · (ex − e−x ) · (ex + e−x )
2
2
1 2x
=
(e − e−2x )
2
= sinh 2x.
Hyperbolisten funktioiden visualisointeja (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/HyperbolisetFunktiot.htm
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
126
Areafunktiot
Määritelmä 8.4.5 Hyperbolinen sini sinh : R → R on bijektio. Sen käänteisfunktio on areahyperbolinen sini
ar sinh := sinh−1 : R → R.
Hyperbolisen kosinin rajoittuma cosh : [0, ∞[ → [1, ∞[ on bijektio. Sen käänteisfunktio on areahyperbolisen kosinin päähaara
ar cosh := cosh−1 : [1, ∞[ → [0, ∞[ .
Areakosinin toinen haara on ar cosh : [1, ∞[ → ]−∞, 0].
Hyperbolinen tangentti tanh : R → ]−1, 1[ on bijektio. Sen käänteisfunktio on
areahyperbolinen tangentti
ar tanh := tanh−1 : ]−1, 1[ → R.
Hyperbolinen kotangentti coth : R \ {0} → R \ [−1, 1] on bijektio ja sen käänteisfunktio on areahyperbolinen kotangentti
ar coth := coth−1 : R \ [−1, 1] → R \ {0}.
Areahyperboliset funktiot ovat jatkuvia koko määrittelyjoukoissaan (ks. Kuva 48).
4
y
2
–4
–2
0
2x
4
–2
–4
Kuva 48: Areahyperboliset funktiot
8 TRANSKENDENTTISET ALKEISFUNKTIOT
127
Tehtävä 8.4.6 Nimeä areahyperbolisten funktioiden kuvaajat Kuvaan 48.
Esimerkki 8.4.7 Ratkaise x yhtälöstä y = sinh x.
1
y = sinh x ⇔ y = (ex − e−x )
2
1
1
x
⇔ e y = (ex )2 −
2
2
⇔ (ex )2 − 2yex − 1 = 0
√
√
4y 2 + 4
2y
±
⇔ ex =
= y ± y2 + 1
2
√
Koska ex > 0, on valittava x = ln(y + y 2 + 1). Näin olemme johtaneet laskukaavan hypebolisen sinin käänteisfunktiolle ja
√
ar sinh x = ln(x + x2 + 1).
Laskusääntöjä 8.4.8 Areahyperbolisille funktioille on voimassa muunnoskaavat
√
1) ar sinh x = ln(x + x2 + 1),
√
2) ar cosh x = ln(x + x2 − 1),
√
3) ar cosh x = ln(x − x2 − 1),
(
)
4) ar tanh x = 12 ln 1+x
, x ∈ ]−1, 1[.
1−x
Todistus. Kaava 1) on jo edellä johdettu.
2) & 3) Ratkaisemalla x yhtälöstä
1
y = cosh x = (ex + e−x )
2
saadaan funktioiden ar cosh x ja ar cosh x lausekkeet.
4) Ratkaisemalla x yhtälöstä
y = tanh x =
saadaan funktion ar tanh x lauseke:
1
ar tanh x = ln
2
(
ex − e−x
,
ex + e−x
1+x
1−x
)
,
x ∈ ]−1, 1[ .
Tehtävä 8.4.9 Ilmaise ar coth x logaritmien avulla.
9
Kahden muuttujan funktio ja laskutoimitus
Seuraavaksi tutkiskelemme kahden muuttujan funktiota ja sen erikoistapausta laskutoimitus.
9.1
Kahden muuttujan funktio
Kahden muuttujan funktio voitaisiin määritellä sääntönä f : X × Y → Z,
f (x, y) := täysin määrätty alkio joukosta Z,
joka liittää kaikkiin lähtöjoukon X × Y järjestettyihin pareihin (x, y) tasan yhden alkion joukosta Z. Tätä voidaan pitää myös yhden muuttujan funktiona, kun
lähtöjoukoksi ajatellaan tulojoukko X × Y ja siten muuttujaksi järjestetty pari
(x, y).
Esimerkki 9.1.1 Sääntö (m, n) 7→ m
määrittelee kahden muuttujan funktion Z×
n
N → Q. Tämä on tunnetusti jopa surjektio. Onko se injektio?
On kuitenkin käytännöllistä ja joustavampaa sallia lähtöjoukon olla jokin tulojoukon (perusjoukon) X × Y osajoukko A = Mf ⊆ X × Y. Useinhan tarvitaan
funktioita, joiden määrittelyjoukko ei ole mikään selkeä tulojoukko.
Esimerkki 9.1.2 Määritellään
g(x, y) :=
x
.
1 − x2 − y 2
Sääntö (x, y) 7→ g(x, y) antaa kelvollisia lukuja tason yksikköympyrän kehän
ulkopuolisille pareille (x, y), joten voidaan sallia määrittelyjoukoksi
A := Mg = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ̸= 1 }.
Määritelmä 9.1.3 Olkoot X, Y ja Z epätyhjiä joukkoja ja A ⊆ X × Y. Relaatio
f ⊆ A × Z on kahden muuttujan funktio (two-variable function ), jos jokaista
(x, y) ∈ A vastaa täsmälleen yksi alkio z = f (x, y) joukossa Z.
Kahden muuttujan funktion (x, y) 7→ f (x, y) tapauksessa relaatiomainen esitystapa tarkoittaa joukkoa
(
)
f = { (x, y), z | (x, y) ∈ A, f (x, y) = z ∈ Z }.
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
129
Esimerkki 9.1.4 Esimerkissä 9.1.2 oli kyseessä funktio g : A → R,
g(x, y) :=
x
,
1 − x2 − y 2
missä A = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ̸= 1 } ⊆ R2 .
Esimerkki 9.1.5 Muutamia kahden muuttujan funktioita:
a) f : R × R → R, f (x, y) := 2
b) g : [1, ∞[ × R → R, g(x, y) :=
√
x2 − 1
c) h : R × R → {tosi, epätosi}, xy = 1 (tai h(x, y) := ”xy = 1”)
d) i : Z × Z → Z, i(m, n) := |m − n|
e) j : Z × Z → R, j(m, n) := em+n
f) f : X × Y → Z erilaisina kuviona Kuvassa 49
Y
y2
f
y1
x1 x2 x3 X
Z
z5
z4
z3
f (x3, y2) = z2
z1
z1
z2
z3
z4
z5
x1
x
2
x3
((x3, y2), z2)
y1
y2
(x3, y2)
Kuva 49: Funktio tasokaaviona ja idea kolmiulotteisesta
g) Kun A := {a1 , a2 }, B := {b1 , b2 , b3 } ja C := {c1 , c2 , c3 , c4 }, niin funktio
g : A × B → C on taulukkona:
g
a1
a2
b1
c2
c1
b2
c3
c2
b3
c1
c4
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
130
Tehtävä 9.1.6 Valitse seuraaville säännöille sopivat lähtö- ja maalijoukot niin,
että muodostuu kahden muuttujan funktio:
a) f (m, n) := 12 (m + n)
1
x−y
b) g(x, y) :=
√
x2 − y 2
c) h(x, y) :=
d) 4 ln(x − y) − 2 = 0
Tehtävä 9.1.7 Olkoot X := {x1 , x2 }, Y := {y1 , y2 } ja Z := {z1 , z2 , z3 , z4 , z5 }.
Piirrä Kuvan 50 vasempaan kuvioon relaatio H,
{(
) (
) (
) (
) (
)}
H := (x1 , y1 ), z4 , (x1 , y2 ), z2 , (x2 , y1 ), z5 , (x2 , y2 ), z3 , (x2 , y1 ), z5 .
Esitä se myös taulukkona. Onko se funktio?
X
x1
x2
( x1, y1) ( x1, y2)
(x2 , y1) (x2 , y2)
Z z1 z2 z3 z4 z5
Y
y1
X
x1
y2
x2
( x1, y1) ( x1, y2)
(x2 , y1) (x2 , y2)
Y
y1
y2
Z z1 z2 z3 z4 z5
Kuva 50: Tehtävien 9.1.7 ja 9.1.8 kuviot
Tehtävä 9.1.8 Olkoon H kuten Tehtävässä 9.1.7.
a) Selvitä onko seuraava relaatioon H liittyvä relaatio funktio
HX := {(x, z) | ∃ y ∈ Y, jolle H(x, y) = z}.
b) Piirrä relaatio HX nuolin Kuvan 50 oikeanpuoleiseen kuvioon sekä esitä HX
taulukkona.
Matematiikan tietokoneohjelmat kuten Maple, Mathematica ja Matlab (ja monet
suppeammatkin) osaavat esittää kahden muuttujan funktioiden muodostamia pintoja, jopa implisiittimuodossa annetuista. Kuvioihin voi liittyä myös monia säätöoptioita ja mm. kuvan pyörittely ja animaatiot ovat mahdollisia.
Kuvassa 51 on Maple-ohjelmalla tuotettu funktion f : R2 → R,
f (x, y) := 3x2 − 7y 2 ,
kuvaajaa ”kolmiulotteisena”.
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
131
50
0
–50
–100
–150
–4
–4
–2
–2
0
y
2
2
4
0
x
4
Kuva 51: Kahden muuttujan funktion muodostamaa pintaa (Maple)
Implisiittisesti määritelty kahden muuttujan funktio
Tämän täydennyksen tarkoitus on laajentaa perspektiiviä kahden muuttujan funktion määrittely- ja esitystapoihin.
Kolmen muuttujan funktio määritellään (aivan kuten kahden muuttujan tapauksessa) funktiona f ⊆ A × Y, missä A ⊆ X1 × X2 × X3 .
Kahden muuttujan funktio voi olla määritelty implisiittisesti, jonkin muotoa
F (x, y, z) = 0
olevan yhtälön avulla, missä F : A → R on jossain joukossa A ⊆ R3 määritelty
kolmen muuttujan funktio. Jos jokin muuttujista, esimerkiksi z, voidaan yhtälöstä
ratkaista, saadaan eksplisiittinen esitys, mutta usein yhtälö ei ratkea algebrallisin
keinoin, vaan voidaan joutua tyytymään numeeriseen arviointiin.
Esimerkki 9.1.9 Yhtälö 2x + 4y − 2z = 0 tulee määritellyksi funktion F : R3 →
R, F (x, y, z) := 2x + 4y − 2z nollakohtien avulla. Yhtälöstä saadaan ratkaisemalla: z = f (x, y) := x + 2y, joka on määritelty koko tasossa R2 .
Esimerkki 9.1.10 Yhtälöstä exy − exz = 0 nähdään, että se on mielekäs täsmälleen arvoilla xy > 0, tason neljänneksissä I ja III eli joukossa
A := {(x, y) ∈ R2 | xy > 0} = (R+ × R+ ) ∪ (R− × R− ).
1 xz
Yhtälöstä voidaan helposti ratkaista y = ex
e = x1 exz−1 , mutta myös z =
1
(ln(xy) + 1) (sensijaan x on hankalampi tapaus . . . ). Siis esimerkiksi
x
g(x, y) = z = x1 (ln(xy) + 1)
muodostaa kahden muuttujan funktion g : A → R.
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
132
Implisiittiseksi voidaan luokitella
myös tilanne,
jossa funktio on annettu yhdistet(
)
tynä funktiona (x, y) 7→ f u(x, y), v(x, y) , koska haluttua funktion arvoa f (a, b)
ei voida laskea suoraan – eikä edes kaikkia arvoja (a, b) ehkä saavuteta – vaan on
ensin löydettävä sopivat muuttujien x ja y arvot, joille u(x, y) = a ja v(x, y) = b.
Esimerkki 9.1.11 Olkoon f (x+y, x−y) := xy. Onko f määritelty koko tasossa
R2 ?
Ratkaisu. Tehdään muuttujienvaihto x + y = u, x − y = v. Tästä syntyy kahden
yhtälön ja kahden tuntemattoman yhtälöryhmä, jolla on yksikäsitteinen ratkaisu
(ratkaise!) x = 12 (u + v) ja y = 12 (u − v). Siis f (u, v) = xy = 41 (u + v)(u − v) =
1
(u2 − v 2 ), joka on määritelty kaikilla (u, v) ∈ R2 . Kaikenkaikkiaan siis f on
4
funktio R2 → R,
f (x, y) = 41 (x2 − y 2 ).
Edellä on siis voimassa: kun x ja y käyvät läpi kaikki mahdolliset reaaliarvot, niin
myös u = x + y ja v = x − y käyvät läpi kaikki reaaliarvot.
Esimerkki 9.1.12 Olkoon g(x−y, 2y−2x) := xy. Onko g määritelty koko tasossa R2 ?
Ratkaisu. Yritetään samaa strategiaa, muuttujienvaihtoa x−y = u, −2x+2y = v.
Nyt tämä antaa äärettömästi ratkaisuja ehdolla v = −2u. Vaikka nyt x ja y käyvät
läpi kaikki mahdolliset reaaliarvot, niin u = x − y ja v = −2(x − y) käyvät
läpi vain suoran v = −2u pisteitä (u, −2u). Näin ollen g ei todellisuudessa tule
määritellyksi kuin suoralla B := {(x, y) ∈ R2 | y = −2x}. Mutta mitä ovat arvot,
ovatko ne yksikäsitteisiä? Nyt lukupareilla (x1 , y1 ) = (1, 0) ja (x2 , y2 ) = (2, 1)
saadaan tulokset g(1 − 0, 2 · 0 − 2 · 1) = 0 = g(1, −2), mutta g(2 − 1, 2 · 1 −
2 · 2) = 2 = g(1, −2). Relaatio g ei siis olekaan funktio, koska tulokset eivät ole
yksikäsitteisiä.
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
9.2
133
Laskutoimitus
Algebrallisissa rakenteissa esiintyy erityisiä kahden muuttujan funktioita, laskutoimituksia eli binäärioperaatioita, jotka toimivat yhden joukon sisällä. Perusesimerkki on yhteenlasku tai sen kanssa samankaltaiset operaatiot mm. algebrassa.
On myös vastaavia operaatioita, joissa jokin toinen joukko vaikuttaa tuloksiin,
esimerkiksi vektorien skalaarilla kertominen, joka tulee vastaan mm. lineaarialgebrassa. Tästä syystä voidaan puhua erikseen sisäisistä ja ulkoisista laskutoimituksista. Asetamme määritelmän väljäksi, mutta toisaalta täsmälliseksi.
Määritelmä 9.2.1 Olkoon X epätyhjä joukko. Jokainen kahden muuttujan funktio joukolta X × X joukkoon X on laskutoimitus (binary operation ) joukossa X.
Joukossa X määritelty laskutoimitus on siis jokin sääntö ◦, jolla jokaiseen järjestettyyn pariin (x, y) ∈ X×X liitetään täsmälleen yksi alkio x◦y := ◦(x, y) ∈ X.
Jotta algebralliset laskusäännöt voivat toimia – usein olla edes mielekkäitä – on
välttämätöntä vaatia, että
• operaation tulos on määritelty kaikilla pareilla,
• tulos on samassa joukossa kuin operoijat.
Jo peräkkäisten laskujen merkitseminen, esimerkiksi (x ◦ y) ◦ z, on mielekästä
vain, jos tiedämme, että tulos x ◦ y antaa sellaista, joka voi edelleen operoida
alkion z kanssa!
Esimerkki 9.2.2 a) Yhteenlasku + on laskutoimitus joukoissa N ja Z.
b) Erotus − ei ole laskutoimitus joukossa N, sillä esimerkiksi 1 − 2 = −1 ∈
/ N.
Erotus on kuitenkin laskutoimitus joukossa Z.
c) Kertolasku on laskutoimitus kussakin joukoista N, Z, Q, R ja C. Jakolasku on
laskutoimitus joukoissa Q \ {0}, R \ {0} ja C \ {0}.
Tehtävä 9.2.3 Ovatko seuraavat operaatiot ◦ laskutoimituksia joukossa X?
a) X := N, m ◦ n := m + 2n
b) X := N, m ◦ n := m − 2n
c) X := N, m ◦ n := 2m
d) X := N, kahden luvun keskiarvo.
e) X := Z, kahden luvun keskiarvo.
f) X := Q, kahden luvun keskiarvo.
g) X := R, x ◦ y := xy
h) A joukko, X := P(A), x ◦ y := x ∩ y
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
134
Esimerkki 9.2.4 Logiikassa operaatiot ∨ ja ∧ muodostavat myös laskutoimituksen joukossa X := {0, 1}, ja tästä syntyy eräänlaista algebraa, nk. Boolen algebraa . Siinä olevat peruslaskut ovat jo tuttuja:
∨ 0 1
∧ 0 1
0∨0=0 0∨1=1 1∨0=1 1∨1=1
eli 0 0 1 ja 0 0 0
0∧0=0 0∧1=0 1∧0=0 1∧1=1
1 1 1
1 0 1
Määritelmä 9.2.5 Joukon X laskutoimitus ◦ on vaihdannainen (commutative ),
jos kaikille x, y ∈ X on
x ◦ y = y ◦ x.
Yhteenlasku ja kertolasku ovat vaihdannaisia, mutta vähennys- ja jakolasku eivät.
Ei-vaihdannaisista standardeista operaatioista on syytä mainita matriisien kertolasku ja jo tuttu funktioiden yhdistäminen.
Määritelmä 9.2.6 Joukon X laskutoimitus ◦ on liitännäinen (associative ), jos
kaikille x, y, z ∈ X on
x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z.
Tehtävä 9.2.7 Mitkä seuraavista operaatioista ◦ ovat vaihdannaisia laskutoimituksia joukossa Z ?
a) x ◦ y := xy − 1
b) x ◦ y := (x − 1)y
c) x ◦ y := x2 − y 2
d) x ◦ y := 2(x + y)
Tehtävä 9.2.8 Mitkä Tehtävän 9.2.7 operaatioista ◦ ovat liitännäisiä?
Määritelmä 9.2.9 Joukon X laskutoimitukset ◦ ja ∗ toteuttavat osittelulait (distributive ), jos kaikille x, y, z ∈ X on
x ∗ (y ◦ z) = (x ∗ y) ◦ (x ∗ z)
vasen osittelulaki
(x ◦ y) ∗ z = (x ∗ z) ◦ (y ∗ z)
oikea osittelulaki
Usein käytetään sanontaa ”∗ on (vasemmalta tai oikealta) ositteleva laskutoimituksen ◦ suhteen”.
Esimerkki 9.2.10 a) Kertolasku on ositteleva yhteenlaskun suhteen.
b) Yhteenlasku ei ole ositteleva kertolaskun suhteen.
c) Logiikan konjunktio ja disjunktio ovat osittelevia toistensa suhteen, samoin
joukko-opin leikkaus ja yhdiste.
Tehtävä 9.2.11 Osoita, että yhteenlasku ei ole kummaltakaan suunnalta ositteleva kertolaskun suhteen.
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
135
Esimerkki 9.2.12 Olkoon X := {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 }. Laskutoimitus ◦ joukossa
X voidaan määritellä esimerkiksi laskutoimitustaulukon avulla:
ai ◦ aj
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a1
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a2
a2
a1
a5
a6
a3
a4
a3
a3
a4
a1
a2
a6
a5
a4
a4
a3
a6
a5
a1
a2
a5
a5
a6
a2
a1
a4
a3
a6
a6
a5
a4
a3
a2
a1
Tämän konkreettinen vastine on tasasivuisen kolmion kierrot ja peilaukset sekä
niiden yhdistely (Kuvat 52 ja 53).
3
3
3
3
2
1
1
2
1
3
2
1
2 1
3
2 1
2
Kuva 52: Kolmion kierrot 0, 120 ja 240 astetta vastapäivään
1
1
3
3
3
2
1
3
3
3
2
1
2
2
2
1
1
2
Kuva 53: Kolmion peilaukset
Näitä voidaan merkitä lukemalla kolmion ulkopuolella olevat luvut sisällä olevien
määräämässä järjestyksessä. Asetetaan matriisien yläriveihin sisäpuolen luvut ja
alariviin vastaavat ulkopuolen luvut:
a1 kolmio paikallaan, siis 0 asteen kierto
(
)
1 2 3
a1 :=
1 2 3
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
136
a2 peilaus kärjen 1 kautta kulkevan suoran suhteen
(
)
1 2 3
a2 :=
1 3 2
a3 peilaus kärjen 3 kautta kulkevan suoran suhteen
(
)
1 2 3
a3 :=
2 1 3
a4 240 asteen kierto vastapäivään (positiivinen suunta!)
(
)
1 2 3
a4 :=
3 1 2
a5 120 asteen kierto vastapäivään (positiivinen suunta!)
)
(
1 2 3
a5 :=
2 3 1
a6 peilaus kärjen 3 kautta kulkevan suoran suhteen
)
(
1 2 3
a6 :=
3 2 1
Tällöin taulukon laskutoimitus ◦ toimii kuten kiertojen ja peilausten yhdistäminen, siis tekeminen peräkkäin.
Algebrassa ja lineaarialgebrassa puhutaan tarkemmin näistä sekä muista nk. ryhmien ominaisuuksista, nimittäin neutraalialkioista ja käänteisalkioista, jotka mahdollistavat mm. yhtälöiden ratkaisemisen tällaisessa ryhmässä. Mainittakoon kuitenkin, että Esimerkissä 9.2.12 neutraalialkio on a1 . Mitä ovat yhteen- ja kertolaskun neutraalialkiot? Funktioiden yhdistämisen?
9 KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIO JA LASKUTOIMITUS
137
10
Matemaattisesta teoriasta ja todistamisesta
Matemaattisessa teoriassa esiintyy aksioomia, määritelmiä, lauseita, lauseiden todistuksia, apulauseita, seurauslauseita jne. Pyrimme nyt saamaan jonkinlaista ryhtiä tähän käsiteviidakkoon.
10.1
Matemaattisen teorian käsitteitä
Aksiooma
Matematiikassa jokin asia on tosi, vain jos se pystytään matemaattisesti todistamaan, ts. johtamaan jo tunnetuista tuloksista. Näin syntyy todistusketju:
...
⇒
tulos
⇒
tulos
⇒
uusi tulos .
Mikä on tällaisen ketjun alku, miten ensimmäinen tulos voidaan todistaa? Mihin
koko päättely nojaa? Lähtökohdat on yksinkertaisesti sovittava. Näitä sopimuksia,
matematiikan perustotuuksia, sanotaan aksioomiksi (axiom ). Aksiooma on siis todistamaton totuus, sovittu juttu.
Yleensä aksioomat on valittu siten, että ne vastaavat havaintoa (jos mahdollista),
ts. tuntuvat järkeviltä ja luonnollisilta lähtökohdilta. Aksioomien on oltava keskenään ristiriidattomia.
Määritelmä
Määritelmällä kuvataan käsitteitä, matemaattisia otuksia, jotka elävät aksioomien
kuvaamassa maailmassa. Määritelmä on hyvä, jos se on yksikäsitteinen ja ristiriidaton. Määritelmä ei sinänsä väitä mitään, joten siinä ei ole mitään todistettavaa.
Määritelmä on siis ”kastetilaisuus”, paikka, jossa jollekin otukselle annetaan nimi.
Sanotaan, että määritelmä on aksiomaattinen, jos siinä esitetään ne ehdot, jotka
määriteltävä otus toteuttaa, ja joista kaikki muut ominaisuudet ovat johdettavissa.
On huomattava, että määritelmässä määritelty käsite ja sen määrittelevä ehto ovat
yhtäpitäviä, vaikka määritelmä tavallisesti esitetään ’jos’-muodossa. Useat käsitteet voidaan määritellä vaihtoehtoisilla tavoilla riippuen siitä, missä järjestyksessä teoriaa on rakennettu, ts. mitä käsitteitä ja tuloksia jo entuudestaan tunnetaan.
Mahdollisesti myös muita vaihtoehtoja esitetään ja – oltaessa kovin perusteellisia – osoitetaan niiden yhtäpitävyys valitun määritelmän kanssa. Tämä tapahtuu
usein esittämällä vaihtoehtoinen määritelmä ’jos ja vain jos’ -lauseena.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
139
Esimerkki 10.1.1 (logaritmifunktion määritelmiä) Annetaan vaihtoehtoisia määritelmiä käsitteelle logaritmifunktio. Kussakin yhteydessä näistä yksi valitaan logaritmifunktion määritelmäksi riippuen siitä mitä käsitteitä jo tunnetaan.
Määritelmä 1. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio.
Määritelmä 2. Logaritmifunktio on funktio
∫
f : R+ → R,
x
f (x) :=
1
1
dt.
t
Määritelmä 3. Olkoon f : R+ → R funktio, joka toteuttaa seuraavat ehdot:
f (1 + x)
= 1,
x→0
x
a) lim
b) f (xy) = f (x) + f (y) kaikilla x, y ∈ R+ .
Tällöin funktiota f sanotaan logaritmifunktioksi.
Lause eli Teoreema
Matematiikan teoriassa esiintyvät lauseet (nyt ei puhuta logiikan lauseista) ovat
matematiikan tuloksia, totuuksia ja päämääriä. Lause on aina todistettava loogisesti oikealla päättelyllä aksioomien tai jo aikaisemmin todistettujen tulosten avulla. Pyrkimyksenä on esittää lauseet mahdollisimman yleisessä muodossa, esimerkiksi:
Esimerkki 10.1.2 Lause 1. Derivoituva funktio on jatkuva.
Kuitenkin näin lakoninen esitystapa vaatii lukijalta tulkintaa, johon asiayhteydestä pitäisi saada riittävästi taustatietoa; mm. funktion muuttujien lukumäärä, jatkuvuuden ja derivoituvuuden määrittely jne . . .
Ikävä kyllä usein näkee seuraavanlaista turhaa symbolien käyttöä:
Lause 1’. Joukossa A derivoituva funktio f on jatkuva.
Lauseen todistuksessa on tietysti mentävä tarpeellisiin yksityiskohtiin.
Monissa kielissä Teoreemaa suppeampi tai vaatimattomampi tulos on nimeltään
Propositio.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
140
Apulause eli Lemma
Lausetta, jota tarvitaan vain jonkin toisen ”tärkeämmän” lauseen todistamiseksi,
kutsutaan apulauseeksi eli lemmaksi. Lemman ei tarvitse välttämättä olla kovin
yleisessä muodossa ja se voi sijaita vaikka keskellä lauseen todistusta.
Seuraus eli korollaari
Lausetta, joka on toisen lauseen välitön seuraus, usein erikoistapaus, kutsutaan
korollaariksi eli seurauslauseeksi.
√
Esimerkki 10.1.3 Lause. Jokaiselle reaaliluvulle x pätee x2 = |x|.
√
Seuraus. Jos x ≥ 0, niin x2 = x.
Tehtävä 10.1.4 Ilmaise edellinen lause ja seuraus ilman symboleja.
Konjektuuri
Konjektuuri muistuttaa muotoilultaan lausetta. Kyseessä ei ole tulos, vaan oletettu
väite, jota ei vielä ole onnistuttu todistamaan eikä kumoamaan. Konjektuurit työllistävät matemaatikkoja ja ohjaavat jopa uusien matematiikan alojen kehittymistä.
Esimerkki 10.1.5 Konjektuuri. Jokainen lukua 2 suurempi parillinen kokonaisluku voidaan esittää kahden alkuluvun summana.
Esimerkiksi siis 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3. Tämä on kuuluisa Goldbachin
konjektuuri.
Todistus
Esimerkin 10.1.2 Lauseen 1 todistus voisi alkaa asetelman kuvauksella.
Todistus. Olkoon f joukossa A ⊆ R määritelty derivoituva reaaliarvoinen funktio.
Olkoon x ∈ A mielivaltainen. Koska f on derivoituva pisteessä x, on sillä esitys
...
Todistamista sen eri muodoissaan tarkastellaan Luvussa 10.2.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
141
Matemaattinen malli
Matemaattista teoriaa rakentamalla saadaan matemaattinen malli. Jos malli kuvaa
’todellisuutta’, niin se on todellisuuden pelkistetty kuva. Järkevillä aksioomien
valinnoilla ja käsitteiden määrittelyillä malli pyritään saamaan mahdollisimman
hyvin toimivaksi.
Loogisesti oikein suoritetulla päättelyllä saatu tulos kertoo totuuden. Tämä totuus
on totuus kyseisessä mallissa, ei ympäröivässä todellisuudessa. Toisaalta todistuksesta tulee merkityksellinen vasta, kun myös sitä myöhemmin tarkasteleva voi
ymmärtää sen ja vakuuttua todistuksen oikeellisuudesta.
10.2
Induktioperiaate ja induktiotodistus
Induktion idea
Asetetaan dominolaattoja pystyasentoon lähelle toisiaan.
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxx xx xx xx xxx xx xx xxxxx
xxx xx xx xx xxx xx xx xxxxx
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxx xx xx xx xxx xx xx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Kuva 54: Dominolaatat pystyssä peräkkäin ja lähekkäin
Olettakaamme, että
1◦ jonon ensimmäinen laatta kaatuu.
2◦ jonossa ei ole liian suuria välejä: jos k:s laatta kaatuu, se kaataa k + 1:n
laatan.
Silloin kaikki dominolaatat kaatuvat.
Matemaattinen induktio (induction ) on todistusmenetelmä, joka toimii dominolaattaesimerkin kuvaamalla tavalla.
Matemaattisen induktion periaate
Olkoon P (n) luonnollisia lukuja koskeva väite. Jos
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
142
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Kuva 55: Kun yksi kaatuu, seuraavatkin kaatuvat
1◦ P (1) on tosi, ja
2◦ siitä, että P (k) on tosi jollakin arvolla k ≥ 1 seuraa, että P (k + 1) on tosi,
niin ominaisuus P (n) on voimassa kaikille luonnollisille luvuille n ∈ N.
Kohta 2◦ jaetaan usein selvyyden vuoksi kahteen osaan I2) ja I3), jolloin induktiotodistus koostuu kolmesta osasta:
I1) n = 1: Osoitetaan P (1) todeksi tavalla tai toisella.
I2) n = k: Tehdään induktio-oletus, jossa ilmaistaan, mitä ”P (k) on tosi jollakin arvolla k ≥ 1” tarkoittaa.
I3) n = k+1: Induktioaskel tai induktioväite, jossa todistetaan induktio-oletusta
käyttäen ”P (k + 1) on tosi”.
Esimerkki 10.2.1 Todista, että jos n on luonnollinen luku, niin n2 + n on parillinen luku.
Ratkaisu. Olkoon P (n) := ”n2 + n on parillinen”.
I1) Arvo n = 1. Kokeillaan luvulla n = 1:
12 + 1 = 2 on parillinen. Siis väite on tosi arvolla n = 1, eli P (1) on tosi.
I2) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että P (k) on tosi eli että k 2 +k on parillinen
jollakin arvolla k ≥ 1.
I3) n = k+1: Induktioaskel: Osoitetaan, että P (k +1) on tosi, ts. (k +1)2 +(k +1)
on parillinen.
Induktio-oletuksen mukaan k 2 + k = 2m jollakin m ∈ Z.
Tarkastellaan lukua n2 + n arvolla k + 1:
(k + 1)2 + (k + 1) =
=
=
=
k 2 + 2k + 1 + k + 1
k 2 + k + 2k + 2
induktio-oletus
2m + 2k + 2
2(m + k + 1) = 2p, p ∈ Z.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
143
Siis (k + 1)2 + (k + 1) on parillinen.
Induktioperiaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla n2 + n on parillinen kaikilla n ∈ N.
Esimerkki 10.2.2 Todista, että kaikilla n ∈ N on
1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
.
2
Ratkaisu. Olkoon kyseinen väite ”P (n) on tosi”. Induktiotodistus:
I1) n = 1. Tarkistetaan kaava arvolla 1: 1 =
1·2
,
2
mikä on tosi.
I2) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että kaava pätee jollakin arvolla k ≥ 1, eli
1 + 2 + ... + k =
k(k + 1)
.
2
I3) n = k+1: Induktioaskel: Induktio-oletuksen nojalla (ja sievennellen)
k(k + 1)
+k+1
2
k(k + 1) + 2(k + 1)
=
2
(k + 1)(k + 2)
=
2
(k + 1)((k + 1) + 1)
=
.
2
1 + 2 + . . . + k + (k + 1) =
Siis kaava pätee arvolla k + 1.
Induktioperiaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla kaava pätee kaikilla n ∈ N.
Esimerkki 10.2.3 Todista, että 3n ≥ 1 + 2n kaikilla n ∈ N.
Ratkaisu. I1) n = 1: 31 = 3 ≥ 3 = 1 + 2 · 1 on tosi.
I2) n = k: Oletetaan, että jollekin luvulle k ≥ 1 pätee
3k ≥ 1 + 2k.
(induktio-oletus)
I3) n = k+1: Väite: 3k+1 ≥ 1 + 2(k + 1). Induktio-oletuksen nojalla – ja koska
k ≥ 0:
3k+1 = 3 · 3k ≥ 3(1 + 2k) = 3 + 6k
= 1 + 2(k + 1) + 4k ≥ 1 + 2(k + 1).
Siis epäyhtälö pätee myös luvulla k + 1.
Induktioperiaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla epäyhtälö pätee kaikilla n ∈ N.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
144
Matemaattisen induktion eri versioita
Joskus tarvitaan induktiotodistuksista erilaisia muunnelmia. Seuraavassa kaksi:
a) siirros koskemaan kokonaislukuja jostakin perusarvosta lähtien (luvun 1 sijasta)
b) yleinen hajoitusmahdollisuus
a) Olkoon m ∈ Z kiinteä luku. Olkoon P (n) kokonaislukuja n ≥ m koskeva
väite. Jos
1∗ ) P (m) on tosi, ja
2∗ ) siitä, että P (k) on tosi jollakin k ≥ m seuraa, että myös P (k + 1) on tosi,
niin ominaisuus P (n) on voimassa kaikille n ≥ m.
b) Olkoon P (n) luonnollisia lukuja koskeva väite. Jos
1 ) P (1) on tosi, ja
2 ) siitä, että P (1), P (2), . . . , P (k) ovat tosia jollakin k ≥ 1, seuraa, että P (k+1)
on tosi,
niin P (n) on voimassa kaikilla luonnollisilla luvuilla.
Lause 10.2.4 Jos joukossa A on n ∈ N0 alkiota, niin sen potenssijoukossa P(A)
on 2n alkiota.
Todistus. Perustellaan väite matemaattisella induktiolla joukon alkiomäärän n =
0, 1, 2, 3, . . . suhteen.
I1) Kun n = 0, on asia selvä; tyhjällä joukolla ei ole alkioita, mutta on yksi
osajoukko, se itse: 20 = 1.
I2) n = k: Oletetaan, että lauseen väite on tosi jollakin k ≥ 0, ts. k-alkioisilla
joukoilla on 2k osajoukkoa.
I3) n = k+1: Olkoon A joukko, jossa on k + 1 alkiota, ts.
A = {a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 }.
On osoitettava, että joukolla A on 2k+1 osajoukkoa. Olkoon B := {a1 , a2 , . . . , ak }.
Koska joukossa B on k alkiota, on sillä induktio-oletuksen mukaan 2k osajoukkoa. Kun lisätään joukon B jokaiseen osajoukkoon alkio ak+1 , saadaan 2k uutta
osajoukkoa. Koska B ⊆ A, ovat joukon B osajoukot myös joukon A osajoukkoja.
Myös uudet joukot ovat konstruktionsa perusteella joukon A osajoukkoja. Täten
joukolla A on
2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1
osajoukkoa. Näin induktioaskel on tullut todistetuksi.
Matemaattisen induktion periaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla on väite tullut todistetuksi.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
145
Tehtävä 10.2.5 Todista induktiolla, että aritmeettisen sarjan osasummille pätee
kaava
)
(
d
a + (a + d) + (a + 2d) + . . . + (a + (nd)) = (n + 1) a + n
.
2
Tehtävä 10.2.6 Todista induktiolla, että kun geometrisen sarjan suhdeluku q ̸= 1,
niin sen osasummille pätee kaava
1 + q + q2 + · · · + qn =
1 − q n+1
.
1−q
Tehtävä 10.2.7 Unkarilainen matemaatikko György ”George” Pólya (1887 - 1985)
havainnollisti induktiotodistuksen ”voimaa” seuraavan lauseen ja sen todistusehdokkaan avulla:
Hevonvärilause. Kaikki hevoset ovat samanvärisiä.
Onko väite mielestäsi totta, onko todistus kelvollinen? Jos ei, missä vika?
Todistus. Jätetään yksinkertaisuuden vuoksi kirjavat hevoset tarkastelun ulkopuolelle, koska voi olla vaikeuksia tulkita samanvärisyyttä näiden kesken.
Muodostetaan siis todistus matemaattisella induktiolla (yksiväristen) hevosten lukumäärän n suhteen. Jos nimittäin väite pitää paikkansa kaikenkokoisille hevosjoukoille, niin ymmärrettävästi se on totta kaikkien hevosten joukolle; hevosiahan
on vain äärellisen monta.
I1) n = 1: Yhden hevosen joukossa väite on triviaalisti totta.
I2) n = k: Oletetaan, että jollakin k ≥ 1 kaikissa k:n hevosen joukoissa hevoset
ovat samaa väriä.
I3) n = k + 1: Olkoon A hevosjoukko, jossa on k + 1 hevosta (kukin niistä
yksivärinen).
Numeroidaan hevoset: A = {h1 , h2 , h3 , . . . , hk , hk+1 }. Jotta pääsemme käyttämään induktio-oletusta, tarkastellaan kahta k hevosta sisältävää osajoukkoa, vaikkapa
B := {h1 , h2 , h3 , . . . , hk } ja
C := {h2 , h3 , . . . , hk , hk+1 }.
Induktio-oletuksen mukaan näissä olevat hevoset ovat keskenään samanvärisiä;
olkoot joukon B hevoset väriä b ja joukon C hevoset väriä c.
Koska selvästi B ∩ C ̸= ∅, on ainakin yksi hevonen väriä b ja c ja yksivärisyyden
perusteella b = c. Koska A = B ∪ C, ovat kaikki joukon A hevoset samanvärisiä.
Induktioperiaatteen ja todistuksen kohtien I1-3) nojalla kaikki (yksiväriset) hevoset ovat samanvärisiä.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
146
Induktiivinen määrittely
Induktioperiaatetta voidaan käyttää myös määriteltäessä mm. lukujonoja :
1◦ Yksi luku jonon (xn ) = x1 , x2 , x3 , . . . alusta kiinnitetään, x1 := a.
2◦ Annetaan sääntö xk+1 := f (xk ) jonka avulla luku xk+1 määräytyy luvun xk
avulla.
Tällöin sanotaan, että lukujono on määritelty induktiivisesti (inductive ).
Joskus sanotaan myös, että jono on annettu rekursiivisesti (recursive ). Idean tulkinta on kyllä usein käänteinen, erityisesti tietokoneohjelmoinnissa.
Normaalisti lukujono (xn ) = x1 , x2 , x3 , . . . määritellään induktiivisesti asettamalla
x1 := a,
xk+1 := f (xk ), k ∈ N,
missä a ∈ R ja f : R → R on funktio. On huomattava, että säännön on syytä olla
funktio, ja vieläpä sellainen, että sen määrittelyjoukko varmasti sisältää kaikki
jonon luvut.
Esimerkki 10.2.8 Kun valitaan f (x) := 2x2 ja
x1 := 1
xk+1 := 2x2k , k ∈ N.
Tällöin x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2 · 22 = 8, x4 = 2 · 82 = 128 jne.
Hiukan yleisempi muoto induktiokaavan määräävälle funktiolle on xk+1 = f (k, xk ).
Esimerkki 10.2.9 Valitsemalla f (k, x) := (k + 1)x ja
x0 := 1,
xk+1 := (k + 1)xk , k ∈ N0
saadaan jono x0 = 1, x1 = 1 · 1, x2 = 2 · 1, x3 = 3 · 2, x4 = 4 · 6, . . .
Toinen tulkinta tälle kertomajonolle (factorial ) on suora määrittely
0! := x0 = 1,
k! := xk = 1 · 2 · 3 · 4 · · · k.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
147
Lukujonon alusta voidaan antaa myös vaikkapa kaksi lukua x1 := a1 , x2 := a2 , ja
antaa sääntö muodossa xk+2 := f (xk+1 , xk ), tai vastaavassa.
Esimerkki 10.2.10 Määritellään Fibonaccin lukujono (Fibonacci sequence ) (Fn )
asettamalla
F1 = 1,
F2 = 1,
Fk+1 = Fk + Fk−1 , k ≥ 2.
Siis
(Fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .
Tähän lukujonoon kuuluvia lukuja kutsutaan Fibonaccin luvuiksi (Fibonacci numbers ).
Fibonaccin (Leonardo Pisano Fibonacci, 1170-1250) luvut esiintyvät luonnossa
muun muassa
• kukkien terälehdissä: liljat, irikset (3), leinikit, omena, villiruusu (5), kosmoskukka (8), asterit (21), kaunokainen (34, 55 ja 84),
• kasvien lehtien ja oksien järjestyksessä,
• luonnon spiraaleissa: männyn kävyissä (8 ja 13), auringonkukassa (34 ja
55), päivänkakkarassa (21 ja 34).
Esimerkki 10.2.11 Todista
Lause. F1 + F2 + . . . + Fn = Fn+2 − 1 kaikilla n ∈ N.
Todistus. I1) n = 1: 1 = 2 − 1 on tosi.
I2) n = k: Oletetaan, että jollakin k ≥ 1 on
F1 + F2 + . . . + Fk = Fk+2 − 1.
(induktio-oletus)
I3) n = k + 1: Arvolla k + 1 saadaan induktio-oletuksesta lähtien
F1 + F2 + . . . + Fk + Fk+1 =
=
=
=
Fk+2 − 1 + Fk+1
Fk+1 + Fk+2 − 1
Fk+3 − 1
F(k+1)+2 − 1.
Induktioperiaatteen ja kohtien I1-I3 nojalla kaava pätee kaikilla n ∈ N.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
148
Fibonaccin lukujonon määrittelevä yhtälö on esimerkki toisen kertaluvun lineaarisesta vakiokertoimisesta rekursiokaavasta eli differenssiyhtälöstä , joka aina voidaan ratkaista samaan tapaan kuin vastaavanlainen differentiaaliyhtälö.
Fibonaccin rekursiokaavaan sovellettuna ratkaisumenetelmä johtaa (sijoituksilla
Fk = αk ) karakteristiseen yhtälöön
α2 = α + 1,
√
josta saadaan α = 1±2 5 . Jonon luvuille voidaan nyt saada alkuehtojen F1 = F2 =
1 avulla suora laskukaava
(
)n
(
)n
√
√
1
1
1
1
Fn = √
(1 + 5) − √
(1 − 5) .
5 2
5 2
Luku α on kultainen luku (golden ratio ), joka on kultaisen leikkauksen suhdeluku
√
1+ 5
α=
≈ 1,618034.
2
Tämä saadaan myös peräkkäisten Fibonaccin lukujen suhteen raja-arvona
√
Fn+1
1+ 5
lim
=
= α.
n→∞ Fn
2
Esimerkki 10.2.12 Kultaisessa suorakulmiossa vierekkäisten sivujen suhde =
kultainen luku α. Kun suorakulmiota edelleen jaetaan samassa suhteessa, voidaan
sen sisälle piirtää nk. kultainen spiraali, ks. Kuva 56.
Kuva 56: Kultainen suorakulmio
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
10.3
149
Suora ja epäsuora todistus
Suora todistus
Logiikan lause (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q on tautologia, joten päättely
P
P ⇒Q
Q
on johdonmukainen (ks. Luku 1.3).
Monet väitteet ovat muotoa ”Jos P , niin Q”. Suorassa todistuksessa käytetään
hyväksi oletusta P , ja näytetään, että jos oletus P on tosi, niin Q on tosi.
Esimerkki 10.3.1 Väite. Jos n on parillinen kokonaisluku, niin n2 on parillinen.
Todistus. Olkoon n parillinen kokonaisluku. Tällöin n = 2k jollekin k ∈ Z, joten
n2 = (2k)2 = 2 · 2k 2 = 2m, m ∈ Z,
on parillinen.
Esimerkki 10.3.2 Väite. Jos n2 on parillinen kokonaisluku, niin n on parillinen.
Todistus. Olkoon n2 ∈ Z parillinen. Tällöin n2 = 2k missä k ∈ Z. Siis
√
n = 2k
???
Ei voida jatkaa!!
Kuten tästä esimerkistä huomataan, väitteen todistaminen suorasti ei ole aina mahdollista.
Epäsuora todistus
1) Lause (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) on tautologia, ts. (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P ).
Näin saadaan käänteinen suora todistusmenetelmä:
Väite P ⇒ Q voidaan todistaa osoittamalla ¬Q ⇒ ¬P .
(
)
2) Toisaalta logiikan lause (P ⇒ Q) ⇔ ¬(P ∧ ¬Q) on tautologia. Siten:
Väite P ⇒ Q voidaan todistaa osoittamalla P ∧ ¬Q mahdottomaksi.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
150
Väite P ⇒ Q todistetaan epäsuorasti yhdistämällä ylläolevat kaksi periaatetta:
Tehdään vastaoletus eli antiteesi ¬Q ja pyritään näyttämään
• joko ristiriita lauseen P kanssa (siis että P olisikin epätosi)
• tai että lauseista P ja ¬Q seuraa mahdottomuus, esimerkiksi ristiriita jonkun aikaisemmin saadun tuloksen, oletuksen tai aksiooman kanssa.
Esimerkin 10.3.2 väitteen todistaminen onnistuu epäsuoralla todistuksella:
Esimerkki 10.3.3 Väite. Jos n2 on parillinen, niin n on parillinen.
Todistus. Olkoot P (n) := ”n2 on parillinen” ja Q(n) := ”n on parillinen”.
Tehdään vastaoletus: ¬Q(n) on tosi eli n on pariton. Tällöin on olemassa k ∈ Z,
jolle n = 2k + 1. Silloin
n2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1.
Mutta tämä luku onkin paritonta muotoa 2p + 1, p ∈ Z, eli ¬P (n) olisi tosi. Tämä
on ristiriita, joten on oltava Q(n) tosi.
Esimerkki 10.3.4 Väite: Jos n ∈ N, niin 2(2n+1) ei ole minkään kokonaisluvun
neliö.
Todistus. Vastaoletus. luku 2(2n + 1) on kokonaisluvun neliö eli
2(2n + 1) = k 2
jollakin k ∈ Z. Silloin k 2 on parillinen ja Esimerkissä 10.3.3 todistetun nojalla
myös k on parillinen. Siis k = 2p jollakin p ∈ Z. Mutta tällöin
2(2n + 1) = (2p)2 = 2(2p2 ),
mistä seuraa 2n + 1 = 2p2 . Koska 2n + 1 on pariton ja 2p2 on parillinen, ilmenee
haettu ristiriita.
Esimerkki 10.3.5 Määritelmä. Kokonaisluku n ≥ 2 on alkuluku, mikäli sillä ei
ole muita positiivisia tekijöitä kuin 1 ja se itse.
Alkulukuja ovat siis mm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
151
Lause. Alkulukuja on ääretön määrä.
Todistus. Vastaoletus. Alkulukuja on äärellinen määrä.
Tällöin on tietysti olemassa suurin alkuluku. Olkoon tämä p ∈ N. Luku
q := (2 · 3 · 4 · 5 · · · p) + 1
ei ole jaollinen millään luvuista 2, 3, . . . , p, sillä jakojäännös on aina 1. Siis luku q > p on jaoton (siis alkuluku) tai ainakin sen alkutekijät ovat > p. Siis on
olemassa lukua p suurempia alkulukuja. Tämä on ristiriita luvun p määrittelyn
kanssa, joten antiteesi ei voi olla totta.
10.4
Ekvivalenssin osoittaminen
Luvussa 2 todistimme ekvivalenssitodistuksilla eräitä joukkojen samuuksia, mm.
I osittelulain. Väite P ⇔ Q joudutaan usein jakamaan (ja yleensä kannattaakin
jakaa) osiin P ⇒ Q ja Q ⇒ P . Koska lause
(P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ))
on tautologia, ovat lauseet P ⇔ Q ja (P ⇒ Q)∧(Q ⇒ P ) loogisesti ekvivalentit.
Usein jompikumpi tai jopa molemmat joudutaan todistamaan epäsuorasti, tai saatetaan joutua käyttämään aivan erilaisia päättelypolkuja.
Esimerkki 10.4.1 Lause. Luonnollinen luku on parillinen, jos ja vain jos sen neliö on parillinen.
Todistus. Väitteen eri puolet on todistettu Esimerkeissä 10.3.1 ja 10.3.3.
Seuraus. Luonnollinen luku on pariton, jos ja vain jos sen neliö on pariton.
Ominaisuuksien yhtäpitäviksi todistamisia on ollut mm. Luvuissa 4.6 ja 4.7, katso
esimerkiksi Lauseen 4.7.10 kohta c).
10.5
Todistuksen esitysjärjestys
Todistusta tehdessä on syytä ensin selkeästi erottaa mitä oletetaan ja mitä väitetään, ja mieluiten kirjoittaa ne myös selkeästi näkyviin, esimerkiksi
Oletus. Luku n on parillinen.
Väitös. Luku n2 on parillinen.
Todistus. Olkoon n ∈ N parillinen. Parillisuuden nojalla . . .
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
152
Itse todistusta työstettäessä on ensin syytä selvittää mitä kaikkea oletetuista asioista voi päätellä ja miten niitä voisi yhdistellä. Samoin kannattaa tutkiskella väitteen
sisältöä, mistä lähimmistä asioista se voisi olla seurausta. Voi siis edetä oletuksista
niin pitkälle kuin seurauksia keksii, ja taas väitteestä vastaavasti takaperin. Mikäli ”sillan rakenteet” molemmilta päin osuvat yhteen, voidaan lopullinen todistus
muokata loogiseen järjestykseen yhdistämällä osapäättelyt.
• Suora todistus etenee aina oletuksesta väitteeseen.
• Epäsuora todistus lähtee aina antiteesistä, joka lisätään muihin oletuksiin. Päättelyn pitäisi johtaa ristiriitaan alkuperäisen oletuksen tai tunnetun tuloksen tai aksiooman kanssa.
10.6
Väitteen osoittaminen vääräksi
Väitteet ovat usein muotoa ”jokaiselle x ∈ A pätee. . . ” tai ”kaava . . . pätee”. Tällaista väitettä oikeaksi todistettaessa on huomioitava kaikki mahdolliset tapaukset.
Väitteen kumoaa yksi esimerkki, jossa väite ei ole voimassa. Tällaista väitteen
kumoavaa yksittäistapausta sanotaan vastaesimerkiksi (counter-example ). Joskus
vastaesimerkki on hyvin yksinkertainen, joskus sitä voi olla hyvinkin työlästä keksiä. Onpa niinkin, että monille tunnetuille konjektuureille ei ole keksitty todistusta, mutta ei myöskään vastaesimerkkiä!
Väite osoitetaan vääräksi esittämällä väitteelle yksi vastaesimerkki!!
Esimerkki 10.6.1 Väite. Joukoille pätee laskusääntö
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
Ratkaisu. Vaikkapa Venn-diagrammi rohkaisisi epäilemään väitteen paikkansapitävyyttä, ja sen avulla voi vastaesimerkin usein keksiäkin.
Oikein: Kaava ei päde, sillä esimerkiksi jos A := {1, 2}, B := {2, 3} ja C := {3},
niin puoliskot ovat eri joukkoja
A \ (B ∪ C) = {1}
(A \ B) ∪ (A \ C) = {1, 2}.
Väärin: Kaava ei päde, sillä joukko-opin laskusääntöjen mukaan
A \ (B ∪ C) = A ∩ B ∪ C = A ∩ (B ∩ C)
= (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
̸= (A \ B) ∪ (A \ C),
sillä yhdiste ja leikkaus eivät ole samat.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
153
Ongelmana on se, että vaikka kahden joukon yhdiste ja leikkaus eivät yleensä ole
sama joukko, ne voisivatkin juuri tuossa tapauksessa, noille joukoille, olla sattumoisin samat. Monet yhtälöt ovat tosia, vaikkemme niitä tosiksi suoralta kädeltä
näekään. Perustelujen pitää olla sellaisia, ettei niihin voi tarttua kysymällä ”mistä
tiedät, onko varmasti?”
Esimerkki 10.6.2 Väite. Jos funktiolle f : R → R pätee f ′ (x0 ) = 0, niin x0 on
sen ääriarvokohta.
Ratkaisu. Väite on väärä.
Vastaesimerkki. Etsitään funktio ja muuttujalle (määrittelyjoukosta) arvo, jossa
funktion derivaatta häviää, mutta joka ei ole ääriarvokohta.
Olkoon f : R → R, f (x) := x3 (Kuva 57). Tällöin f ′ (x) = 3x2 , joten f ′ (0) = 0,
mutta 0 ei tunnetusti ole funktion f ääriarvokohta.
8
6
y 4
2
–2
–1
0
x1
2
–2
–4
–6
–8
Kuva 57: Funktion f , f (x) := x3 , kuvaajaa origon liepeillä
10.7
Arviointitekniikka
Matemaattisiin todistuksiin liittyy usein oleellisena osana arvioiminen. Jos väite
on muotoa ”On olemassa sellainen luku, että . . . ”, niin todistuksessa riittää tavallisesti etsiä jokin ehdon toteuttava luku, ei kaikkia, eikä ”parasta”.
Esimerkki 10.7.1 Osoita, että riittävän suurilla arvoilla n ∈ N on
7
< 0,0001.
3n + 1
Tämä tarkoittaa: on osoitettava, että on olemassa n0 ∈ N s.e.
n > n0 ⇒
7
< 0,0001.
3n + 1
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
154
Ratkaisutapa 1. Ratkaistaan n epäyhtälöstä:
7
7
< 0,0001 ⇔ 3n + 1 >
3n + 1
0,0001
⇔ 3n > 70000 − 1
⇔ n > 23333.
Voidaan valita n0 := 23333, jolloin
n > n0 = 23333 ⇒
7
< 0,0001.
3n + 1
7
Ratkaisutapa 2. Arvioidaan lauseketta 3n+1
ylöspäin, kohti yksinkertaisempaa
lauseketta:
7
7
9
3
<
<
= .
3n + 1
3n
3n
n
3
Nyt n < 0,0001 ⇔ n > 30000. Siis valitaankin nyt n0 := 30000, jolloin
7
3
< < 0,0001 eli
3n + 1
n
7
⇒
< 10−4 .
3n + 1
n > n0 = 30000 ⇒
n > 3·104
Samaan tapaan huomataan, että esimerkiksi
7
< 10−5 ,
3n + 1
7
n > 3·106 ⇒
< 10−6 .
3n + 1
n > 3·105 ⇒
Siis kun n on riittävän suuri, lausekkeesta
(ennalta valittu) positiivinen luku.
7
3n+1
tulee pienempi kuin mikä tahansa
Matematiikassa mielivaltaista aidosti positiivista reaalilukua merkitään tavallisesti
kreikkalaisella kirjaimella epsilon ε. Mielivaltainen ε > 0 tarkoittaa sitä, että ε voi
sijaita lukusuoralla missä tahansa nollan oikealla puolella. Usein tarkasteluissa ε
on lähellä nollaa.
Arviointia koskevia sanontoja
mielivaltainen = ”mikä tahansa”
mielivaltaisen lähellä = ”lähempänä kuin epsilonin päässä”
Esimerkki 10.7.2 Olkoon ε > 0. Esimerkin 10.7.1 mukaan
7
3
< ε.
n> ⇒
ε
3n + 1
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
155
Huomautus 10.7.3 Jos ε > 0 on mielivaltainen reaaliluku, niin myös esimerkiksi
lukuja
√
1
2ε, ε2 , ε5 ja ε
2
voidaan pitää mielivaltaisina positiivisina reaalilukuina, koska ne voivat olla mielivaltaisen lähellä nollaa, kunhan ε on riittävän lähellä nollaa. Sen sijaan esimerkiksi luvut
2 + ε, eε ja ln ε
eivät ole mielivaltaisia positiivisia reaalilukuja, sillä 2 + ε > 2, eε > 1 ja ln ε voi
olla negatiivinen.
Esimerkki 10.7.4 Osoita, että lauseke
via arvoja, kun n on tarpeeksi suuri.
4n+1
n3 +3
saa mielivaltaisen lähellä nollaa ole-
Ratkaisu. Olkoon ε > 0 mielivaltainen. Osoitetaan, että on olemassa n0 ∈ N s.e.
n > n0 ⇒ 0 ≤
4n + 1
< ε.
n3 + 3
Arvioimalla lauseketta saadaan
0≤
4n + 1
4n + n
5n
5
5
4n + 1
<
≤
= 3 = 2 ≤ < ε,
3
3
3
n +3
n
n
n
n
n
kun n > 5ε . Valitaan nyt sellainen n0 ∈ N, että n0 > 5ε . Silloin
n > n0 ⇒ 0 ≤
4n + 1
< ε.
n3 + 3
Kun nyt valitaan esimerkiksi ε := 10−9 tai ε := 10−15 :
5
⇒ 0≤
10−9
5
n > −15 ⇒ 0 ≤
10
n>
4n + 1
< 10−9
n3 + 3
4n + 1
< 10−15 .
n3 + 3
Huomautus 10.7.5 a) Vastaavalla tavalla käsitellään tilannetta ”mielivaltaisen
suuri”. Mielivaltaisen suurta lukua merkitään usein kirjaimella M .
b) Joissain tilanteissa lausekkeen arvo halutaan mielivaltaisen lähelle annettua lukua.
c) Ajatus ”mielivaltaisen lähellä” on monissa sellaisissakin tarkasteluissa, joissa
ei esiinny eksplisiittisesti lukua ε.
Tarkastellaan vielä näitä tilanteita esimerkkien valossa.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
Esimerkki 10.7.6 Osoita, että
tarpeeksi suuri.
n5 +n2 −2
n2 +2n
156
saa mielivaltaisen suuria arvoja, kun n on
Ratkaisu. Olkoon M > 0 mielivaltainen. Arviomalla lauseketta saadaan
n5 + n2 − 2
n5 + n2 − 2n2
n5 − n2
n4 − n
≥
=
=
n2 + 2n
n2 + 2n
n2 + 2n
n+2
4
3
n −n
n −1
n−1
≥
=
≥
> M,
n + 2n
3
3
kun n > 3M + 1. Siis
n > 3M + 1 ⇒
Esimerkki 10.7.7 Osoita, että
on tarpeeksi suuri.
2n+3
n+5
n5 + n2 − 2
> M.
n2 + 2n
saadaan mielivaltaisen lähelle lukua 2, kun n
Ratkaisu. Olkoon ε > 0 mielivaltainen. Väite tarkoittaa, että pitää olla
2n + 3
n + 5 − 2 < ε,
kun n on tarpeeksi suuri. Arvioimalla itseisarvoa saadaan arvoilla n > 7ε :
2n + 3
2n + 3 − 2n − 10 −7 = 7 < 7 <ε
=
n + 5 − 2 = n+5
n + 5 n + 5
n
[ 1]
Esimerkki 10.7.8 Olkoon Ai := 0, i arvoilla i ∈ N. Osoita: ∩∞
i=1 Ai = {0}.
Tilanteesta saa alustavan käsityksen Kuvasta 58. Luku 0 kuuluu jokaiseen joukA1 = [0,1]
1_
0, 2
A2 = [
1_
0, 3
A3 = [
]
0
0
]
0
1_
2
1_
3
1
1
1
Kuva 58: Esimerkin 10.7.8 välejä
koon Ai , joten {0} ⊆
∩∞
i=1
Ai . Osoitetaan, että jos x ∈
∩∞
i=1
Ai niin x = 0.
Vastaoletus. x ̸= 0.
∩
Koska x ∈ ∞
i=1 Ai , on x ∈ A1 eli 0 ≤ x ≤ 1. Koska x ̸= 0,[on x] > 0. Koska
1
∈
R,
on
olemassa
n ∈ N, jolle n > x1 eli x > n1 . Tällöin x ∈
/ 0, n1 .
x
[
]
∩
Koska An = 0, n1 , niin x ∈
/ An . Siis x ∈
/ ∞
i=1 Ai , mikä on ristiriita.
10 MATEMAATTISESTA TEORIASTA JA TODISTAMISESTA
10.8
157
Tietokone todistuksen apuna
Esimerkki 10.8.1 Väite: Jokainen parillinen kokonaisluku n > 2 voidaan esittää
kahden alkuluvun summana n = p + q.
Mitä voidaan tehdä tietokoneella? Tietokoneella voidaan etsiä näitä alkulukuja
annetuille kokonaisluvuille. Tällaisilla lukujen testaamisilla ei kuitenkaan voida
osoittaa väitettä oikeaksi.
Tietokoneen käyttö todistuksissa rajoittuu lähinnä mekaanisten laskutoimitusten
suorittamiseen (sellaisten, jotka ainakin periaatteessa voidaan tehdä ilman konetta). Tietokone on hyvä työväline vastaesimerkkien keksimisessä, siis jonkin väitteen osoittamisessa vääräksi.
Esimerkki 10.8.2 Kartanväritysongelma (graph coloring ). Väritetään kartta niin,
että mitkään naapurimaat eivät ole samanvärisiä keskenään. Maat voivat olla minkä muotoisia tahansa, mutta kukin maa muodostuu yhdestä yhtenäisestä osasta.
Montako väriä riittää?
Ongelma on vanha, yksinkertainen ja kiehtova. On helppo osoittaa, että ainakin
neljä väriä tarvitaan (ks. Kuva 59). Todistus sille, että 4 väriä aina riittää, on tun-
Kuva 59: Ainakin 4 väriä tarvitaan
netuin tietokoneella toteutettu matemaattinen todistus. Todistus vaati niin paljon
mekaanista laskemista, ettei se ilman tietokonetta ollut mahdollinen (K. Appel ja
W. Haken, 1976: The solution of the Four-Color-Map Problem: Scientific American, vol. 237). Työhön kului aikaa 4 vuotta ja yli 1200 tietokonetuntia.
11
Joukkojen mahtavuuksista
Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta
(vrt. Luku 2.7). Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa. Kuitenkin on monesti tärkeää päästä vertaamaan ”erikokoisia” äärettömiä, esimerkiksi miten joukon ja sen potenssijoukon alkiomäärät suhtautuvat toisiinsa. Joukkojen keskinäisiä alkiomääriä voidaan vertailla funktioiden
maailmasta saatavalla työkalulla, käsitteellä joukkojen mahtavuus (set cardinality ). Jo Luvussa 2.7 otimme käyttöön alkiomäärä-symbolin #; #A tarkoitti siis
joukon A alkioiden lukumäärää.
11.1
Mahtavuusvertailujen määrittely
Ristiriitoja välttääksemme otamme jonkin perusjoukon X, jonka osajoukkoja
kaikki vertailtavat perustason joukot ovat. Määritellään joukon X osajoukkojen
yhtämahtavuusrelaatio ≃ asettamalla:
A≃B
⇔
A = B = ∅ tai on olemassa bijektio A → B.
Lause 11.1.1 Yhtämahtavuusrelaatio ≃ on ekvivalenssi joukon potenssijoukossa.
Todistus. Asetelma on kelvollinen, ≃ ⊆ P(X)×P(X), joten ≃ todella on relaatio
joukossa P(X).
(E1) ≃ on refleksiivinen: A ≃ A, koska identtinen kuvaus Id : A → A, Id(x) :=
x, on näiden välinen bijektio.
(E2) ≃ on symmetrinen: Jos A ≃ B, on olemassa bijektio A → B. Sen käänteiskuvaus B → A on bijektio ja siten B ≃ A.
(E3) ≃ on transitiivinen: Olkoot A ≃ B ja B ≃ C. Silloin on olemassa bijektiot
f : A → B ja g : B → C. Nämä voidaan yhdistää funktioksi g ◦ f : A → C, joka
bijektioiden yhdistettynä funktiona on bijektio. Siis A ≃ C.
Määritelmä 11.1.2 Sanotaan, että (perusjoukon X osa)joukot A ja B ovat yhtä
mahtavia (equal cardinality ), jos A ≃ B, ts. jos molemmat ovat tyhjiä tai on
olemassa bijektio A → B.
Joukko A on korkeintaan yhtä mahtava joukko kuin B, jos joko A = ∅ tai on
olemassa injektio A → B. Tätä merkitään A ≼ B. Jos A ≼ B, sanotaan myös,
että joukko B on vähintään yhtä yhtä mahtava kuin A.
Joukko B on aidosti mahtavampi kuin joukko A (tai: joukko A on aidosti vähemmän mahtava), jos A ≼ B mutta ei ole A ≃ B; merkitään A ≺ B tai B ≻ A.
11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA
159
Lause 11.1.3 Joukko A on korkeintaan yhtä yhtä mahtava kuin B jos ja vain jos
joko A = ∅ tai on olemassa surjektio B → A.
Todistus. Olkoot A, B ⊆ X. Jos A = ∅, on asia selvä. Olkoon siis A ̸= ∅.
⇒ Oletetaan, että A ≼ B, ts. että on olemassa injektio f : A → B. Tämä
voidaan tulkita bijektioksi f : A → f (A), jolloin sen käänteisrelaation f −1 rajoittuma joukkoon f (A) on bijektio f (A) → A. Jos joukko B \ f (A) = ∅, on
asia selvä (miksi?). Jos ei, otetaan joukosta A jokin alkio a ja kuvataan kaikki
joukon B \ f (A) alkiot alkiolle a. Tarkemmin muotoiltuna: tehdään uusi funktio G : B → A, jolle G(y) := f −1 (y) kaikilla y ∈ f (A) ja G(y) = a kaikilla
y ∈ B \ f (A). Silloin G : B → A on surjektio.
⇐ Oletetaan kääntäen, että on olemassa surjektio g : B → A. Nyt jokainen alkukuvajoukko g −1 (x) on epätyhjä ja funktio-ominaisuuden nojalla nämä joukot
ovat erillisiä, eli g −1 (x1 ) ∩ g −1 (x2 ) kaikilla x1 ̸= x2 . Täten jokaista x ∈ A kohti voidaan valita yksi alkio sen alkukuvajoukosta ja näin saadut alkukuvat ovat
kaikki eri alkioita. Tällä tavoin saamme aikaan injektion A → B.
Esimerkki 11.1.4 Olkoon A := {1, 2, 3, 4, 5} ja B := {a, b, c, d, e, f }.
a) Oletetaan aluksi, että joukon B kaikki alkiot ovat eri alkioita. Silloin A on korkeintaan yhtä mahtava, jopa aidosti vähemmän mahtava kuin B, siis A ≺ B. Äärellisten joukkojen tapauksessa mahtavuuksien vertailua voidaan yleensäkin tehdä
suoraan alkiomäärien avulla; yllähän on #A = 5 < 6 = #B.
b) Jos joukon B luetelluissa alkioissa on samoja, niin A onkin vähintäin yhtä mahtava kuin B.
Esimerkki 11.1.5 Olkoon 2N := {2, 4, 6, 8, . . .}. Tällöin N ≃ 2N, sillä funktio
f : N → 2N, f (n) := 2n, on bijektio, ks. Kuva 60.
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
n
7
8
9
10 11 12
f(n)
Kuva 60: Esimerkin 11.1.5 bijektio f (n) = 2n
Esimerkki 11.1.6 Väli ]0, 1[ on yhtä mahtava joukon R kanssa, sillä on olemassa
bijektio f : R → ]0, 1[. Esimerkiksi mikä?
Tehtävä 11.1.7 Onko puoliavoin väli [0, 1[ yhtä mahtava kuin avoin väli ]0, 1[?
11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA
160
Osoitetaan, että potenssijoukko on aina aidosti mahtavampi kuin joukko itse. Äärellisille joukoillehan tämä seuraisi myös Lauseesta 10.2.4.
Lause 11.1.8 (Cantorin lause) Mielivaltaiselle joukolle X on X ≺ P(X). Erityisesti äärelliselle joukolle on #X < #P(X).
Todistus. Jos X = ∅, on asia selvä: ∅ ≺ {∅}.
Olkoon siis X epätyhjä joukko. Kuvaus f : X → P(X), f (x) := {x}, on selvästi
injektio, joten X ≼ P(X).
Aidon vähemmän mahtavuuden todistamiseksi riittää Lauseen 11.1.3 mukaan
näyttää, että ei ole olemassa surjektiota X → P(X). Olkoon g : X → P(X)
funktio ja
A := { x ∈ X | x ∈
/ g(x) }.
Silloin A ∈ P(X). Näytetään, että mikään joukon X alkio ei kuvaudu joukolle
A ⊆ X.
Vastaoletus: On olemassa x0 ∈ X, jolle g(x0 ) = A. Koska x0 ∈ A tai x0 ∈
/ A,
seuraa:
Jos x0 ∈ A, joukon A määrittelyn nojalla x0 ∈
/ g(x0 ) = A.
Jos x0 ∈
/ A = g(x0 ), joukon A määrittelyn nojalla x0 ∈ A.
Vastaoletus johtaa molemmissa tapauksissa ristiriitaan, joten ei ole olemassa alkiota x0 ∈ X, joka kuvautuisi joukolle A. Koska ei ole olemassa surjektiota
X → P(X), on X ≺ P(X).
11.2
Joukkojen äärellisyys ja äärettömyys
Naiivi tapa määritellä joukon äärettömyys on sanoa joukkoa äärettömäksi, jos siinä ei ole äärellisen monta alkiota. Tässä kuitenkin piilee kehämäärittelyn maku;
ääretön määritellään äärellisen avulla. Mitä on sitten ’olla äärellinen’?
Matemaattisesti voidaan menetellä toisinpäin, määritelläänkin ääretön joukko
edellä johdettujen työkalujen avulla, muodollisesti täysin riippumatta – tuosta hieman hämärästä – äärellisyyskäsitteestä.
Määritelmä 11.2.1 Joukko on ääretön (infinite ), jos se on yhtä mahtava jonkin
aidon osajoukkonsa kanssa. Muutoin joukko on äärellinen (finite ).
Äärettömän lukumäärän määrittely näin voi aluksi vaikuttaa hiukan abstraktilta,
mutta aikaa myöten sen käyttökelpoisuuden pitäisi tulla näkyviin.
11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA
161
Esimerkki 11.2.2 Viisialkioinen joukko A := {1, 2, 3, 4, 5} on ymmärrettävästi
äärellinen, koska sen jokaisessa aidossa osajoukossa on enintään neljä alkiota,
eikä näiden välillä siten voi olla bijektiota.
Esimerkki 11.2.3 Esimerkissä 11.1.5 todettiin, että N ≃ 2N = {2, 4, 6, 8, . . .}.
Koska 2N on joukon N aito osajoukko, on N ääretön. Onkohan myös 2N ääretön?
Nyt on siis voitu matemaattisesti vetää raja äärellisen ja äärettömän lukumäärän
välille. Mutta onkohan olemassa erikokoisia äärettömiä? Mehän nimittäin tiedämme Lauseesta 11.1.8, että vaikkapa P(N) on aidosti mahtavampi kuin N, joka jo
sekin on ääretön joukko!
Luvussa 11.3 lähestymme äärellisyysasiaa toisesta perspektiivistä, nimittäin luokittelemalla joukot niiden mahtavuuksien perusteella.
11.3
Joukon kardinaliteetti
Lauseessa 11.1.1 osoitettiin yhtämahtavuus ekvivalenssirelaatioksi. Relaatiosta
”olla korkeintaan yhtä mahtava kuin” saadaan osittainen ja jopa totaali järjestys
pienellä jekulla, ks. Lauseet 11.3.5 ja 11.3.6.
Ekvivalenssi- ja järjestysrelaatioiden avulla saadaan määritellyksi joukon absoluuttinen koko alkioiden määrän mielessä. Palautetaan mieleen ekvivalenssiluokat (ks. Luku 4.7): Joukon A ⊆ X määräämä ekvivalenssiluokka on joukko
≃ (A) = {X ∈ P(X) | A ≃ X}.
Määritelmä 11.3.1 Joukon A määräämää ekvivalenssiluokkaa yhtämahtavuusrelaatiossa ≃ sanotaan sen kardinaaliluvuksi eli kardinaliteetiksi, ja sitä merkitään
card A := ≃ (A). Kaikkien kardinaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla K,
siis K = {card A | A ∈ P(X)}.
Tietty kardinaaliluku on siis todellisuudessa joukko, jonka alkioina ovat kaikki
samankokoiset joukot, siis joukot joiden välillä on bijektioita. Esimerkiksi Jukolan
veljekset J on alkiona samassa kardinaaliluvussa kuin [7] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
samoin (perinteinen) Otavan tähdistö.
Esimerkki 11.3.2 Esimerkissä 11.1.5 todettiin, että N ja 2N = {2, 4, 6, 8, . . .}
ovat yhtämahtavia eli N ≃ 2N. Joukot N ja 2N kuuluvat siis samaan kardinaalilukuun κN . Tämä on pienin ääretön kardinaaliluku ja sillä on oma merkintä ℵ0 := κN
(ℵ luetaan ”alef”).
11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA
162
Kardinaalilukujen joukkoon saadaan osittainen järjestys korkeintaan-yhtä-mahtava
-relaation ≼ avulla: asetetaan kaikilla κ1 , κ2 ∈ K
ˆ 2 ⇔ X1 ≼ X2 joillakin X1 ∈ κ1 , X2 ∈ κ2 .
κ1 ≼κ
joukon X osajoukot
X
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
C
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
B
A
P(X)
P(X)
A
B
C
yhtämahtavien
ekvivalenssiluokat
relaatiossa
_
~ (A)
A
B
_
~
_
~ (C)
C
kardinaaliluvut K
_
~ (A) = card A
_ (C) = card C
~
_ osittainen järjestys
Kuva 61: Kardinaalilukujen rakentuminen
Koska kardinaaliluvun alkiot ovat keskenään yhtä mahtavia, sana ”joillakin” voitaisiin korvata sanalla ”kaikilla”.
ˆ on refleksiivinen ja transiApulause 11.3.3 Kardinaalilukujen joukon relaatio ≼
tiivinen.
Todistus. Harjoitustehtävä, vrt. Lause 11.1.1.
11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA
163
Antisymmetrisyys perustuu seuraavaan kuuluisaan lauseeseen:
Lause 11.3.4 (Cantor-Schröder-Bernstein) Jos A, B ⊆ X ja on olemassa injektiot A → B ja B → A, niin on olemassa bijektio A → B.
Todistus. Olkoot f : A → B ja g : B → A injektioita. Määritellään kaikilla
n ∈ N:
C1
:= A(\ g(B))
Cn+1 := g f (Cn )
Määritellään edelleen C := ∪∞
n=1 Cn ja funktio h : A → B,
{
f (x),
kun x ∈ C
h(x) :=
−1
g (x), kun x ∈ A \ C.
Selvästikin h todella on funktio, koska f on funktio ja g on injektio. Osoitetaan h
bijektioksi.
1) h on injektio. Olkoot x1 , x2 ∈ A, x1 ̸= x2 . Erotetaan kolme tapausta.
a) Jos x1 , x2 ∈ C, funktion f injektiivisyyden nojalla myös h(x1 ) = f (x1 ) ̸=
f (x2 ) = h(x2 ).
b) Jos x1 , x2 ∈ A \ C, funktion g injektiivisyyden nojalla h(x1 ) = g −1 (x1 ) ̸=
g −1 (x2 ) = h(x2 ).
c) Jos lopuksi x1 ja x2 ovat eri joukoissa, olkoon esimerkiksi x1 ∈ C ja x2 ∈ A\C.
Tällöin x1 ∈ Cn jollakin n ∈ N, jolloin h(x1 ) ∈ f (Cn ). Jos nyt olisi myös
h(x2 ) ∈ f (Cn ), niin
g(h(x2 )) = g(g −1 (x2 )) = x2 ∈ g(f (Cn )) = Cn+1 ,
mikä on vastoin oletustamme x2 ∈ A \ C. Siis nytkin h(x1 ) ̸= h(x2 ).
2) h on surjektio. Olkoon y ∈ B mielivaltainen. On osoitettava, että jollekin x ∈ A
on h(x) = y (tai että alkukuvajoukko h−1 (y) ̸= ∅).
Tapauksessa y ∈ f (Cn ) jollakin n ∈ N löytyy triviaalisti alkukuva joukosta Cn ⊆
A. Oletetaan siis, että y ∈
/ f (Cn ) kaikilla n ∈ N, eli että y ∈ B \ ∪∞
n=1 f (Cn ).
Näytetään, että g(y) ∈ A \ C, ja että h(g(y)) = y.
Selvästi g(y) ∈
/ C1 joukon C1 määrittelyn
mukaan.
Edelleen millään n ∈ N ei voi
(
)
olla g(y) ∈ Cn+1 , koska Cn+1 = g f (Cn ) ja g oli injektio, seuraisi y ∈ f (Cn ).
Siis g(y) ∈ A \ C ja h(g(y)) = g −1 (g(y)) = y.
Näin on konstruoitu bijektio h : A → B.
ˆ on osittainen järjestys kardinaalilukujen joukossa.
Lause 11.3.5 Relaatio ≼
11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA
164
Todistus. Apulauseessa 11.3.3 on jo todettu refleksiivisyys ja transitiivisuus. Antisymmetrisyys: Oletetaan, että kahdelle kardinaaliluvulle κ, µ ∈ K on voimassa
ˆ µ ja µ ≼
ˆ κ ja osoitetaan, että κ = µ. Tämä taas edellyttää, että löydämme näisκ≼
tä keskenään yhtä mahtavat alkiot K ∈ κ ja M ∈ µ, siis sellaiset, joiden välillä
on bijektio.
Oletuksesta seuraa, että on olemassa alkiot K1 , K2 ∈ κ ja M1 , M2 ∈ µ, joille
K1 ≼ M1 ja M2 ≼ K2 . Tämä tarkoittaa, että on olemassa injektiot f : K1 → M1
ja g : M2 → K2 , ks. Kuva 62.
κ
µ
K1
f
k
K2
M1
m
g
M2
Kuva 62: Kardinaalilukujen alkioiden väliset injektiot
Kunkin ekvivalenssiluokan alkioiden välillä on bijektiot, siis erityisesti bijektiot
k : K1 → K2 ja m : M1 → M2 . Yhdistetty funktio m ◦ f : K1 → M2 on silloin
injektio, samoin k −1 ◦ g : M2 → K1 . Cantor-Schröder-Bernsteinin lauseen 11.3.4
nojalla K1 ≃ M2 , joten ne ovat samassa ekvivalenssiluokassa, ts. κ = µ.
ˆ on totaali järjestys kardinaalilukujen jouLause 11.3.6 Yllä määritelty relaatio ≼
kossa.
Todistus. Asia on selvä, kun uskotaan, että jokaisesta joukkoparista A, B jompikumpi on vähintäin yhtä mahtava kuin toinen, ts. että on olemassa injektio A → B
tai B → A.
Voimme nyt lopulta sopia täsmällisesti mitä joukon alkiomäärällä #A tarkoitetaan. Idea on hyvin yksinkertainen: Annettu joukko A kuuluu johonkin kardinaalilukuun κ. Tsekataan löytyykö samasta kardinaaliluvusta myös jokin lukumääräjoukko [n], n ∈ N0 . Jos löytyy, #A = n.
Samalla määrittelemme äärellisyyden ja äärettömyyden uudelleen. Tämän ja aikaisemman Määritelmän 11.2.1 äärellisyyskäsitteen yhtäpitävyys jäänee kuitenkin tarkasti perustelematta . . .
11 JOUKKOJEN MAHTAVUUKSISTA
165
Määritelmä 11.3.7 Joukko X on äärellinen, jos X ≃ [n] jollakin n ∈ N0 , muutoin joukko X on ääretön.
Jos joukko X on äärellinen ja X ≃ [n], samaistetaan sen kardinaliteetti ja alkioiden lukumäärä n = #X seuraavasti:
#X = n ∼ card [n] = card X.
Myös näin saatua peruslukua #X sanotaan kardinaaliluvuksi. Tästä lähtien myös
äärettömän joukon kardinaliteettia merkitään symbolilla #X.
Olkoon reaalilukujen joukon kardinaaliluku c := #R. Voidaan osoittaa, että
P(N) ≃ R, joten c = #R = #P(N). Siten ℵ0 = #N < #R = c. Kardinaaliluvuista voidaan siis sanoa
0 < 1 < 2 < 3 < . . . < n < . . . < ℵ0 < c < #P(R) < . . .
Niin kutsuttu Kontinuumihypoteesi sanoo, että kardinaalilukuja ei ole lukujen ℵ0
ja c välillä. Tämä on muusta joukko-opista riippumaton olettamus!
12
Lukualueet
Seuraava tiivistetty esitys pyrkii antamaan mielikuvan lukualueiden määrittelyn
problematiikasta. Määritellään lukualueet lähtökohtana käsitteet ekvivalenssirelaatio, funktio ja bijektio. Lukualue määritellään antamalla joukko, jossa on määritelty tietyt laskutoimitukset sekä mahdollisesti järjestys.
On muistettava: Luku on abstrakti käsite. Luvun merkitseminen numerosymbolien avulla ja lukujen nimittäminen ovat sopimuksia.
12.1
Luonnolliset luvut N = {1, 2, 3, . . .}
Luonnolliset luvut voidaan määritellä joukkojen yhtämahtavuuden avulla (Georg
Cantor 1845-1918) tai – niinkuin tässä – Peanon aksioomien avulla (Giuseppe
Peano 1858-1932).
Peanon aksioomat
Määritelmä 12.1.1 Joukkoa L sanotaan luonnollisten lukujen joukoksi (natural
number set ), jos se toteuttaa seuraavat viisi ehtoa:
P1) Joukossa L on ainakin yksi alkio Υ ∈ L (”ypsilon”, yksikkö).
P2) Jokaisella alkiolla a ∈ L on olemassa täsmälleen yksi (välitön) seuraaja
(successor ) a′ ∈ L.
P3) Jos a ∈ L, niin a′ ̸= Υ.
P4) Jos a ∈ L ja b ∈ L ja jos a′ = b′ , niin a = b.
P5) Jos A on joukon L sellainen osajoukko, että
1) Υ ∈ A,
2) jos a ∈ A, myös a′ ∈ A,
niin silloin A = L.
12 LUKUALUEET
167
Tutkaillaanpa tarkemmin mitä aksioomista voidaan päätellä ja ilmaista modernin
matematiikan käsitteillä:
1) Ehto P1 takaa, että joukko L ei ole tyhjä.
2) Ehto P2 takaa, että välitön seuraajarelaatio ′ ⊆ L × L on funktio. Merkitään
jatkossa tarvittaessa kyseistä funktiota Sv : L → L, Sv (a) := a′ .
3) Ehto P3 vaatii, että yksikkö on ”ensimmäinen” alkio, Υ ei siis saa olla minkään
alkion seuraaja. Sv ei siten ole surjektio.
4) Ehto P4 takaa, että jokaisella alkiolla on korkeintaan yksi välitön edeltäjä; siis
alkio, jonka välitön seuraaja se on; funktio ′ on siis injektio. Edelleen aksioomat
P2 ja P4 antavat mahdollisuuden lisätä ja supistaa: a′ = b′ ⇔ a = b (ks. jäljempänä Lause 12.1.12).
5) Ehto P5 on pohjana matemaattisen induktion periaatteelle, mutta se myös kieltää ”kilpailevat” alkiojonot.
Esimerkki 12.1.2 On ilmeistä, että:
a) Vanha tuttu N = {1, 2, 3, 4, . . .} toteuttaa Peanon aksioomat, kun yksikkö
Υ := 1 ja seuraajafunktio Sv (n) := n + 1, ja sehän tietysti on itse asiassa koko aksiomatiikan taustalla.
b) Joukko N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} niinikään kelpaa, kun se varustetaan samalla seuraajafunktiolla ja yksikkönä on nyt Υ := 0.
Mutta myös monet muut systeemit kelpaavat:
1
c) Joukko M := { 2n
| n ∈ N } = { 12 , 14 , 16 , . . .} on myös luonnollisten lukujen
1
1
joukko Peanon mielessä, kun yksikkönä Υ := 21 ja Sv ( 2n
) := 2(n+1)
.
d) Von Neumannin ordinaalikonstruktio puolestaan nyhjäisee tyhjästä erään metkan luonnollisten lukujen joukon: Υ := ∅ ja seuraajafunktio Sv (A) := A ∪ {A}.
Näin saadaan jono ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . . Mikäpä on seuraava?
Tehtävä 12.1.3 Esimerkissä 12.1.2 joukoilla N ja M ei ole yhteisiä alkioita. Mitkä Peanon aksioomista ovat totta näiden yhdisteelle N ∪ M , kun käytetään molempien yksikköjä ja seuraajafunktioita?
Luonnollisten lukujen joukkoon saadaan totaali järjestys seuraavalla tavalla, kun
merkitään lyhyesti a′′ := (a′ )′ , a′′′ := (a′′ )′ = ((a′ )′ )′ jne.
Määritelmä 12.1.4 Luonnollisten lukujen joukossa L määritellään kunkin alkion
a ∈ L seuraajajoukko
S(a) := {a′ , a′′ , a′′′ , a′′′′ , . . . , a(n) , . . .},
missä a′ = Sv (a), a′′ = Sv (Sv (a)) = Sv2 (a), . . . ja yleisesti a(n) = Svn (a), missä
tietysti ovat käytössä funktioiden yhdistämispotenssit.
12 LUKUALUEET
168
Olkoon jatkossa L eräs luonnollisten lukujen joukko ja Υ sen yksikkö. Merkitään:
Υ(0) := Υ, Υ(1) := Υ′ = Sv (Υ), Υ(2) := Υ′′ = Sv2 (Υ), jne.
Lause 12.1.5 a) L = S(Υ) ∪ {Υ} eli L = {Υ(0) , Υ(1) , Υ(2) , . . .}.
b) Jokainen a ∈ L, a ̸= Υ, on jonkun alkion välitön seuraaja.
c) Kaikki alkiot Υ(0) , Υ(1) , Υ(2) , . . . ovat eri alkioita. L on siis erityisesti ääretön
joukko.
Todistus. a) Merkitään A := S(Υ) ∪ {Υ}. Osoitetaan aksiooman P5 avulla, että
A = L.
Ensiksikin, A ⊆ L aksiooman P2 mukaan ja Υ ∈ A.
Olkoon toiseksi a ∈ A mielivaltainen. Jos a = Υ, on a′ = Υ′ ∈ S(Υ) ja siten
myös a′ ∈ A. Jos taas a ̸= Υ, on a ∈ S(Υ) ja siten a = Υ(n) jollakin n ∈ N. Mutta
silloinkin a′ = Υ(n+1) ∈ S(Υ), koska välitön seuraaja on aina yksikäsitteinen.
Aksiooman P5 ehdot täyttyvät ja niinpä L = A = S(Υ) ∪ {Υ}.
b) Olkoon a ∈ L, a ̸= Υ. Silloin kohdan a) nojalla a = Υ(n) jollakin n ∈ N ja se
on alkion Υ(n−1) välitön seuraaja.
c) Tehdään vastaoletus: kaksi alkioista Υ(n) on samoja.
Tiedetään, että Υ(0) ̸= Υ(1) , sillä alkio Υ = Υ(0) ei ole minkään, edes itsensä
seuraaja. Koska Olkoon n pienin tavallinen luonnollinen luku, jolle y := Υ(n) =
Υ(k) , ja k > n. Tilanne on siis seuraava:
Υ(0) → Υ(1) → · · · → Υ(n−1) → y = Υ(n) → · · · → Υ(k−1) → y = Υ(k) → · · ·
Aksiooman P4 mukaan alkiot, joilla on sama välitön seuraaja, tässä y, ovat sama
alkio, tässä siis olisi Υ(n−1) = Υ(k−1) . Mutta luvun n piti olla pienin sellainen,
joten antiteesi on epätosi ja siten kaikki alkiot Υ(n) ovat eri alkioita.
Seuraus 12.1.6 a) Aina a ∈
/ S(a).
b) Joukon L kullekin parille a ̸= b on joko a ∈ S(b) tai b ∈ S(a).
Todistus. a) Alkio ja sen kaikki seuraajat ovat eri alkioita (Lause 12.1.5 kohta).
b) Lauseen 12.1.5 mukaan alkiot voidaan asettaa jonoksi, jossa a = Υ(n) ja b =
Υ(k) joillakin n ≤ k. Silloin on a ∈ S(b) tai b ∈ S(a).
Jos a ∈ S(b), on seuraajajonossa pätkä · · · → b → b′ → · · · → a → · · · . Samoin
jos b ∈ S(a), on seuraajajonossa pätkä · · · → a → a′ → · · · → b → · · · . Mutta
kukin alkio esiintyy koko jonossa tasan kerran, joten jonot yhdistyvät peräkkäin:
· · · → b → b′ → · · · → a → a′ → · · · → b → · · ·
Näin ollen olisi b ∈ S(b), mikä on vastoin kohtaa a).
12 LUKUALUEET
169
Määritelmä 12.1.7 Luonnollisten lukujen joukossa määritellään seuraajarelaatio: alkio on relaatiossa itsensä ja kaikkien seuraajajoukkonsa alkioiden kanssa,
ts.
a ≤ b ⇔ (a = b) ∨ (b ∈ S(a)).
Lause 12.1.8 Luonnollisten lukujen joukon seuraajarelaatio on totaali järjestys.
Todistus. Olkoon L luonnollisten lukujen joukko ja ≤ ⊆ L × L sen seuraajarelaatio. Se on osittainen järjestys, sillä:
J1) Refleksiivisyys seuraa suoraan määritelmästä: a ≤ a kaikilla a ∈ L.
J2) Antisymmetrisyys: Jos a ̸= b ja a ≤ b sekä b ≤ a, olisi a ∈ S(b) ja b ∈ S(a).
Mutta tämä on Seurauksen 12.1.6 nojalla mahdotonta.
J3) Transitiivisuus: Harjoitustehtävä.
J4) Lisäksi se on täysi, sillä jokaiselle parille (a, b) ∈ L × L on voimassa a = b
tai Seurauksen 12.1.6 mukaan a ∈ S(b) tai b ∈ S(a), ja siten b ≤ a tai a ≤ b. Määritelmä 12.1.9 Luonnollisten lukujen joukossa L määritellään (induktiivisesti tai rekursiivisesti) seuraavat laskutoimitukset:
Yhteenlasku (addition ):
{
a + Υ := a′
a + b′ := (a + b)′
Kertolasku (multiplication ):
{
a · Υ := a
a · b′ := (a · b) + a
(Y1)
(Y2)
(K1)
(K2)
Huomautus 12.1.10 Ylläolevista aksioomista voidaan johtaa kaikki luonnollisten lukujen tutut laskusäännöt.
Lause 12.1.11 Luonnollisten lukujen totaali järjestys voidaan karakterisoida myös
yhteenlaskun avulla:
a≤b
⇔
Todistus. Harjoitustehtävä.
a = b tai a + c = b jollekin c ∈ L.
12 LUKUALUEET
170
Lause 12.1.12 Luonnollisille luvuille pätee supistussääntö:
Jos a, b, c ∈ L, niin a + c = b + c jos ja vain jos a = b.
Tätä voidaan soveltaa myös epäyhtälöihin:
Jos a, b, c ∈ L, niin a + c ≤ b + c jos ja vain jos a ≤ b.
Todistus. Sovelletaan aksioomia P2 ja P4 toistuvasti: siirtyen lisäämisessä yksi
seuraaja kerrallaan ja supistaessa taaksepäin.
Esimerkki 12.1.13 Lasketaan kokeeksi muutamia summia ja tuloja (perustele nämä!):
Υ+Υ
Υ′ + Υ
Υ + Υ′
Υ′ + Υ′
Υ·Υ
Υ′ · Υ
Υ · Υ′
Υ′ · Υ′
=
=
=
=
=
=
=
=
Υ′
(Υ′ )′ = Υ′′
(Υ + Υ)′ = Υ′′
(Υ′ + Υ)′ = Υ′′′
Υ
Υ′
Υ · Υ + Υ = Υ′
Υ′ · Υ + Υ′ = Υ′′′
Luonnollisia lukuja merkitään jatkossa jälleen 1 ∼
= Υ, 2 := 1′ , 3 := 2′ , 4 := 3′ ,
jne.
Esimerkki 12.1.14 Yhteen- ja kertolasku sujuvat näppärästi edellä annetuilla
eväillä:
2 + 2 = 2 + 1′ = (2 + 1)′ = (2′ )′ = 3′ = 4,
3 · 2 = 3 · 1′ = (3 · 1) + 3 = 3 + 3 = 3 + 2′ = (3 + 2)′
= (3 + 1′ )′ = ((3 + 1)′ )′ = (4′ )′ = 5′ = 6.
12 LUKUALUEET
12.2
171
Kokonaisluvut Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Pidetään luonnollisten lukujen ominaisuudet tunnettuina ja määritellään kokonaisluvut niiden avulla. Formaalisti tämä tapahtuu yhteenlaskun avulla, vaikka käytännössä tämä osoittautuukin tapahtuvan vähennyslaskun kautta.
Tarkastellaan lukupareja (a, b) ∈ N × N. Määritellään joukossa N × N relaatio R
seuraavasti:
(a, b)R(c, d)
⇔
a + d = b + c.
Relaatio R on ekvivalenssirelaatio ja se jakaa joukon N × N alkiot ekvivalenssiluokkiin (ks. Luku 4.7).
Määritelmä 12.2.1 Lukuparin (a, b) ∈ N × N määräämää ekvivalenssiluokkaa
merkitään tässä [a, b]. Näitä ekvivalenssiluokkia kutsutaan kokonaisluvuiksi (integers ). Kokonaislukujen joukkoa merkitään alustavasti
Z := { [a, b] | (a, b) ∈ N × N }.
Määritelmä 12.2.2 Merkitään edelleen lukuparin (a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa [a, b] ja määritellään joukossa Z:
Yhteenlasku:
Kertolasku:
Järjestys:
[a, b] ⊕ [c, d] := [a + c, b + d].
[a, b] ⊙ [c, d] := [ac + bd, ad + bc].
[a, b] ≼ [c, d] ⇔ a + d ≤ b + c.
Esimerkki 12.2.3 Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan:
Yhteenlasku: [1, 5] ⊕ [2, 4] = [1 + 2, 5 + 4] = [3, 9].
Kertolasku: [1, 5] ⊙ [2, 4] = [1 · 2 + 5 · 4, 1 · 4 + 5 · 2] = [22, 14].
Järjestys: [3, 5] ≼ [2, 4], sillä 3 + 4 = 7 ≤ 7 = 5 + 2.
Edellä Määritelmässä 12.2.2 kuvatut operaatiot ovat tosiasiassa hieman ongelmallisia:
Ovatko yhteen- ja kertolasku todella laskutoimituksia joukossa Z eli ovatko ne
funktioita Z × Z → Z (ks. Luku 9)?
Kahden ekvivalenssiluokan eli kokonaisluvun [a, b] ja [c, d] summa nimittäin määritellään välillisesti käyttäen niiden edustajia (a, b) ja (c, d). Tästä johtuu, että ei
ole lainkaan itsestään selvää, että tulos on yksikäsitteinen! Pitää siis näyttää, että
kahden kokonaisluvun x, y ∈ Z summa x ⊕ y on kokonaisluku, joka ei riipu siitä
miten ne edustajat on ekvivalenssiluokista x ja y valittu. Sen perustelemisesta, että
kyseessä on todella funktio Z × Z → Z, käytetään usein ilmaisua ”laskutoimitus
on hyvin määritelty”.
12 LUKUALUEET
172
Esimerkki 12.2.4 Kokonaisluvun x := [2, 5] edustajia (siis ekvivalenssiluokan
x alkioita) ovat paitsi (2, 5), myös (1, 4), (3, 6), (4, 7) jne. Nimittäin esimerkiksi
(1, 4)R(2, 5), koska 1 + 5 = 6 = 4 + 2, samoin nuo muutkin. On siis totta, että
x = [1, 4] = [2, 5] = [3, 6] = [4, 7] = . . .
Kokonaisluvun y := [7, 3] edustajia taas ovat (7, 3), (6, 2), (5, 1) ja myös (8, 4),
(9, 5), (10, 6) jne, ja siten
y = [5, 1] = [6, 2] = [7, 3] = [8, 4] = . . .
Havaitaan, että kokonaisluvuilla x ja y on äärettömän monta esitystä niiden edustajien avulla! Jotta tulos x ⊕ y olisi yksi ja vain yksi kokonaisluku, se pitäisi saada
tulokseksi käytettiinpä mitä hyvänsä edustajia kustakin ekvivalenssiluokasta x ja
y. Onko näin, edes tässä konkreettisessa tapauksessa?
Ihan yleisestikin on totta supistussääntö [a, b] = [a + 1, b + 1], sillä a + (b + 1) =
b + (a + 1) (liitännäisyys ja vaihdannaisuus joukossa N).
Helposti havaitaan, että x = [n, n + 3] ja y = [m + 4, m] kullakin m, n ∈ N.
Silloin
x ⊕ y = [n + m + 4, n + 3 + m] = [4, 3],
mikä on ihan sama kuin alkuperäisistä saatu x ⊕ y = [2, 5] ⊕ [7, 3] = [9, 8] =
[8, 7] = [7, 6] = [6, 5] = [4, 3]. Sievimmilläänhän summa on [2, 1].
Jätetään toistaiseksi edellisen konkreettisen Esimerkin varaan (ja myöhemmäksi
harjoitustehtäväksi) se, että yhteenlasku on hyvin määritelty. Todistetaan malliksi
vähän hankalampi kertolaskun tapaus.
Lause 12.2.5 Määritelmässä 12.2.2 kuvattu kertolasku on hyvin määritelty, ts. se
on funktio Z × Z → Z.
Todistus. Olkoot x = [a, b] ja y = [c, d] mielivaltaiset alkiot joukosta Z, jolloin
määrittelyn mukaan x⊙y = [ac+bd, ad+bc]. Olkoot sitten (a′ , b′ ) ∈ x ja (c′ , d′ ) ∈
y mielivaltaiset edustajat, jolloin x = [a, b] = [a′ , b′ ] ja y = [c, d] = [c′ , d′ ]. Onko
nyt tulos sama alkio x ⊙ y = [ac + bd, ad + bc], jos laskemmekin sen muodossa
x ⊙ y = [a′ , b′ ] ⊙ [c′ , d′ ] = [a′ c′ + b′ d′ , a′ d′ + b′ c′ ]?
Tiedämme seuraavat asiat: (a′ , b′ )R(a, b) ja (c′ , d′ )R(c, d) eli a′ + b = b′ + a ja
c′ + d = d′ + c. Jotta em. tulon x ⊙ y esitykset ovat sama kokonaisluku (ekvivalenssiluokka), riittää osoittaa, että parit (ac + bd, ad + bc) ja (a′ c′ + b′ d′ , a′ d′ + b′ c′ )
ovat relaatiossa R eli että
(ac + bd) + (a′ d′ + b′ c′ ) = (ad + bc) + (a′ c′ + b′ d′ ).
12 LUKUALUEET
173
Käytetään edellä olevia yhtälöitä a′ + b = b′ + a ja c′ + d = d′ + c kerrottuina
sopivilla luvuilla saadaksemme kaikki tarvittavat tulotermit mukaan:
a(d′ + c)
b(c′ + d)
(b′ + a)c′
(a′ + b)d′
=
=
=
=
a(c′ + d)
b(d′ + c)
(a′ + b)c′
(b′ + a)d′
eli ad′ + ac
eli bc′ + bd
eli b′ c′ + ac′
eli a′ d′ + bd′
= ac′ + ad
= bd′ + bc
= a′ c′ + bc′
= b′ d′ + ad′
|
|
|
|
mukaan ac, ad
mukaan bd, bc
mukaan b′ c′ , a′ c′
mukaan a′ d′ , b′ d′
Nyt lasketaan taulukon oikeapuoleiset yhtälöt puolittain yhteen ja käytetään termien järjestelyyn vaihdannaisuutta ja liitännäisyyttä:
(ac + bd) + (a′ d′ + b′ c′ ) + (ad′ + bc′ + ac′ + bd′ )
= (ad + bc) + (a′ c′ + b′ d′ ) + (ac′ + bd′ + bc′ + ad′ )
Rivien viimeiset sulkulausekkeet todetaan helposti samoiksi, joten ne voidaan supistaa pois ja jäljelle jää haluttu yhtälö
(ac + bd) + (a′ d′ + b′ c′ ) = (ad + bc) + (a′ c′ + b′ d′ );
siis (ac + bd, ad + bc)R(a′ c′ + b′ d′ , a′ d′ + b′ c′ ) ja
x ⊙ y = [ac + bd, ad + bc] = [a′ c′ + b′ d′ , a′ d′ + b′ c′ ].
Tehtävä 12.2.6 a) Laske [6, 6] ⊕ [2, 4].
b) Ratkaise x yhtälöstä x ⊕ [7, 2] = [2, 12].
c) Laske [15, 6] ⊕ [2, 17].
d) Laske [6, 6] ⊙ [2, 17].
e) Ratkaise x yhtälöstä x ⊙ [7, 2] = [2, 12].
f) Ratkaise x yhtälöstä [3, 1] ⊙ x = [2, 1].
Kokonaisluvuille voidaan muotoa α ⊕ x = β oleva yhtälö aina ratkaista. Kullakin
α = [a, b] on vasta-alkiona −α = [b, a], sillä
α ⊕ (−α) = [a, b] ⊕ [b, a] = [a + b, b + a] = [1, 1].
Tässä [1, 1] = [2, 2] = . . . on yhteenlaskun neutraali- eli nolla-alkio:
[a, b] ⊕ [1, 1] = [a + 1, b + 1] = [a, b] = [1, 1] ⊕ [a, b].
Nyt vaikkapa yhtälö [3, 5] ⊕ x = [1, 7] ratkeaa lisäämällä molemmille puolille
vasta-alkio [5, 3], jolloin x = [5, 3] ⊕ [1, 7] = [6, 10] = [1, 5].
Sen sijaan muotoa α ⊙ x = β olevia yhtälöitä voidaan ratkaista vain poikkeustapauksissa, ks. Tehtävä 12.2.6 e) ja f).
Kun merkitään erotusta tuttuun tapaan a − b := [a, b], niin Esimerkin 12.2.3 laskut
voidaan esittää myös (−4) + (−2) = −6 ja (−4) · (−2) = 8.
Jatkossa kokonaislukujen joukkoa merkitään tutusti Z.
12 LUKUALUEET
174
12 LUKUALUEET
12.3
175
Rationaaliluvut Q = { m
n | m ∈ Z, n ∈ N}
Pidetään nyt kokonaislukujen ominaisuudet tunnettuina ja määritellään rationaaliluvut kokonaislukujen avulla. Taas työkaluna on ekvivalenssi, mutta käytetään
kertolaskua. Tuloksena ovat osamäärien muodostamat ekvivalenssiluokat.
Tarkastellaan lukupareja (a, b) ∈ Z × N. Määritellään joukossa Z × N relaatio R
seuraavasti:
(a, b)R(c, d)
⇔
ad = bc.
Relaatio R on ekvivalenssirelaatio ja siten se jakaa joukon Z × N alkiot ekvivalenssiluokkiin.
Määritelmä 12.3.1 Lukuparien (a, b) ∈ Z × N määräämiä ekvivalenssiluokkia
kutsutaan rationaaliluvuiksi (rational numbers ).
Merkitään lukuparin (a, b) määräämää ekvivalenssiluokkaa [a, b], ja määritellään:
Yhteenlasku:
Kertolasku:
Järjestys:
[a, b] ⊕ [c, d] = [ad + bc, bd].
[a, b] ⊙ [c, d] = [ac, bd].
[a, b] ≼ [c, d] ⇔ ad ≤ bc.
Esimerkki 12.3.2 Formaalisti lasketaan siis seuraavaan tapaan.
Yhteenlasku: [1, 5] ⊕ [2, 7] = [1 · 7 + 5 · 2, 5 · 7] = [17, 35].
Kertolasku: [1, 5] ⊙ [2, 7] = [1 · 2, 5 · 7] = [2, 35].
Järjestys: [1, 5] ≼ [2, 7], sillä 1 · 7 ≤ 5 · 2.
Kun merkitään jakolaskua tuttuun tapaan
voidaan esittää myös
1 2
+
=
5 7
1 2
·
=
5 7
1
2
< , sillä
5
7
a
b
:= [a, b], niin Esimerkin 12.3.2 laskut
1·7+5·2
17
= ,
5·7
35
1·2
2
= ,
5·7
35
1 · 7 < 5 · 2.
Rationaalilukujen joukko Q ei ole kyllin laaja, jotta edes yksinkertaiset, meille
arkipäiväiset yhtälöt ratkeaisivat.
12 LUKUALUEET
176
Esimerkki 12.3.3 Yhtälöllä x · x = 2 ei ole ratkaisua joukossa Q.
Todistus. Antiteesi. On olemassa q ∈ Q, jolle q 2 = 2.
Antiteesin mukaan olisi eräälle q = m
, missä m ∈ Z ja n ∈ N, voimassa q 2 = 2.
n
Voidaan olettaa, että m
on supistettu muoto. Siis
n
( m )2
n
=
m2
=2
n2
eli
m2 = 2n2 .
Koska m2 on parillinen, on myös m on parillinen (miksi?), joten m = 2k jollekin
k ∈ Z. Edelleen
m2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) = 2n2 ,
joten n2 = 2k 2 . Koska n2 on parillinen, on myös n on parillinen. Koska m ja n
ovat parillisia, ei m
olekaan supistettu muoto.
n
Tämä on ristiriita, joten minkään rationaaliluvun neliö ei ole 2.
12 LUKUALUEET
12.4
177
Reaaliluvut
Rationaaliluvut eivät riitä kaikenlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen eivätkä myöskään täyttämään lukusuoraa.
Reaalilukujen määritelmistä
Rationaalilukujen joukon Q täydentämiseen reaaliluvuiksi R on useita ekvivalentteja tapoja, joita ei kuitenkaan tässä käsitellä tarkasti.
1. Cantorin menetelmä perustuu ajatukseen määritellä irrationaaliluvut rationaalilukujonojen raja-arvoina. Reaaliluvut ovat rationaalilukujonojen ekvivalenssiluokkia relaatiossa, jossa samaa raja-arvoa kohti suppenevat rationaalilukujonot
samaistetaan.
Ks. esimerkiksi L. Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2, s. 189 –.
2. Dedekindin leikkaukset (Richard Dedekind, 1831 - 1916). Menetelmä perustuu
lukusuoran pisteiden ja reaalilukujen yksikäsitteiseen vastaavuuteen.
Ks. esimerkiksi W. Rudin: Principles of mathematical analysis.
3. Aksiomaattinen määrittely. Luetellaan perusominaisuudet (14 kpl), jotka reaalilukujen joukko ja siinä määritellyt yhteenlasku, kertolasku ja järjestys toteuttavat.
Ks. Algebran tai Analyysin oppikirjat.
Huomautus 12.4.1 Reaalilukuja on tapana havainnollistaa reaaliakselin eli lukusuoran (real line, real axis ) avulla.
Reaalilukujen merkintä
Nykyisin on käytössä niin kutsuttu arabialainen lukujen merkintätapa, jossa luku merkitään arabialaisin numeromerkein paikkajärjestelmässä. Paikkajärjestelmä tarkoittaa sitä, että luvun suuruus määräytyy luvun paikka- ja numeroarvoista.
Paikka-arvot ovat kantaluvun potensseja. Kun kantaluku on kymmenen, niin puhutaan kymmenjärjestelmästä (decimal number system ).
Kymmenjärjestelmässä esimerkiksi
643,576 = 6 · 102 + 4 · 101 + 3 · 100 + 5 · 10−1 + 7 · 10−2 + 6 · 10−3 .
Reaaliluku voidaan esittää eri lukujärjestelmissä, kunhan sovittuja numeromerkkejä on riittävästi. Kantaluvuksi voidaan valita mikä tahansa luonnollinen luku
b > 1. Tällöin mikä tahansa reaaliluku r saadaan muodossa
r = an bn + . . . + a1 b + a0 + c1 b−1 + c2 b−2 + c3 b−3 + . . . ,
12 LUKUALUEET
178
missä 0 ≤ ai ≤ b − 1 ja 0 ≤ ci ≤ b − 1. Arabialaisella merkintätavalla lukua
merkitään ilmoittaen pelkät kantaluvun alenevien potenssien kertoimet käyttäen
desimaalipilkkua (nykyään usein desimaalipiste) erottamaan kokonaisosaa ja desimaaliosaa:
r = an an−1 . . . a1 a0 ,c1 c2 c3 . . . .
Reaalilukujen luokittelu
1. tapa: Jako rationaali- ja irrationaalilukuihin
Rationaaliluvut (rational numbers{) ovat reaalilukuja, jotka
voidaan esittää koko}
m
naislukujen osamäärinä, siis Q = n | m ∈ Z, n ∈ N .
Irrationaaliluvut (irrational numbers ) eli irrationaaliset reaaliluvut ovat ne reaaliluvut, jotka eivät ole rationaalilukuja; irrationaalilukujen joukko on siis R \ Q.
Irrationaalilukuja ei siis voida esittää kokonaislukujen osamäärinä.
Rationaaliluvuilla on kaksi esitysmuotoa: Rationaalilukumuoto eli murtolukumuoto (fraction format ), sekä desimaalilukumuoto (decimal format ).
Irrationaaliluvut voidaan esittää yleisesti vain desimaalilukumuodossa,
mutta joil√
lekin irrationaaliluvuille on sovittu erikoismerkintä kuten π, e, 2 jne.
Voidaan osoittaa, että
Reaaliluvun desimaaliesitys on
päättyvä tai jaksollinen
⇔
luku on rationaaliluku
Reaaliluvun desimaaliosa on
päättymätön ja jaksoton
⇔
luku on irrationaaliluku
Jaksollinen desimaaliluku voidaan aina palauttaa murtolukumuotoon suppenevien
sarjojen avulla.
Esimerkki 12.4.2 Luku
1
2
= 0,5 = 0,49999 . . ., sillä
0,49999 . . . = 4 · 10−1 + 9 · 10−2 + 9 · 10−3 + . . .
(
)
( )2 ( )3
4
9
1
1
1
=
+
1+
+
+
+ ...
10 102
10
10
10
=
4
9
1
1
5
1
4
+ 2·
+
=
= .
1 =
10 10 1 − 10
10 10
10
2
Seuraava algoritmi perustuu myös suppeneneviin sarjoihin, mutta esitys on epätäsmällisempi.
12 LUKUALUEET
179
d 125
d 125
d . . .. Tällöin
Esimerkki 12.4.3 Olkoon x = 2,6 125
1000x =
x =
999x =
mistä seuraa x =
26099
9990
2612,5125 . . .
2,6125 . . .
2609,9
≈ 2,6125125125 . . ..
Tehtävä 12.4.4 Muunna päättymätön jaksollinen desimaaliluku 0,0abcdabcda . . .
murtolukumuotoon sekä geometristen sarjojen (vrt. Esimerkki 12.4.2) että Esimerkin 12.4.3 menetelmällä.
Huomautus 12.4.5 a) Käsitteet murtoluku ja desimaaliluku eivät muodosta erillisiä lukualueita, vaan ne liittyvät lukujen esitysmuotoihin.
b) Jos nollasta poikkeavalla reaaliluvulla on päättyvä desimaaliesitys, niin sille
saadaan myös päättymätön esitys, jossa on äärettömän monta nollasta poikkeavaa
desimaalia (vrt. 0,5 = 0,4999 . . .).
Päättymättömät desimaaliesitykset ovat yksikäsitteisiä, ts. jokaisella nollasta poikkeavalla reaaliluvulla on yksi ja vain päättymätön desimaaliesitys.
2. tapa: Jako algebrallisiin ja transkendenttisiin lukuihin
Algebralliset reaaliluvut (algebraic real numbers ) ovat jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuria, ts. muotoa
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0,
ai ∈ Z
olevien yhtälöiden ratkaisuja.
√
Esimerkki 12.4.6 Luku 5+1 on algebrallinen luku, sillä se on ratkaisu yhtälölle
x2 − 2x − 4 = 0.
Esimerkki 12.4.7 Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia, sillä kukin
nakin yhtälön nx − m = 0 juuri.
m
n
on ai-
Transkendenttilukuja (transcendental numbers ) ovat ne reaaliluvut, jotka eivät ole
algebrallisia. Luku on siten transkendenttiluku, jos se ei ole minkään kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.
√
Esimerkki 12.4.8 Luvut π ja e ovat transkendenttisia. Luku 2 ei ole, miksi?
12 LUKUALUEET
12.5
180
Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö
Reaaliluvun x itseisarvo (absolute value ) on
{
x, kun x ≥ 0
|x| :=
−x, kun x < 0
Itseisarvon geometrinen merkitys liittyy suuruuteen tai välimatkaan (Kuva 63):
x
|x-y|
|x| 0
y
Kuva 63: Pisteiden etäisyyksiä lukusuoralla
|x| on pisteen x etäisyys origosta lukusuoralla, ja samalla nollaa ja
lukua x yhdistävän janan pituus.
|x − y| on pisteiden x ja y välinen etäisyys lukusuoralla.
Lause 12.5.1 (itseisarvon ominaisuuksia) Kaikille reaaliluvuille x, y ∈ R ja
a > 0 on voimassa:
|x| ≥ 0
|xy| = |x||y|
|x| < a ⇔ −a < x < a
−|x| ≤ x ≤ |x|
|x| = | − x|
x |x|
=
y |y| , y ̸= 0
|x| > a ⇔ x < −a tai x > a
√
x2 = |x|.
Esimerkki 12.5.2 Ratkaistaan muistin virkistämiseksi muutamia itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä.
a) Ratkaistaan x yhtälöstä |4x − 3| = |3x + 2|.
|4x − 3| = |3x + 2| ⇔ 4x − 3 = 3x + 2 tai 4x − 3 = −(3x + 2)
1
⇔ x = 5 tai x = .
7
b) Ratkaistaan epäyhtälö |x − 2| < 3.
|x − 2| < 3 ⇔ −3 < x − 2 < 3
⇔ −1 < x < 5.
12 LUKUALUEET
181
c) Ratkaistaan epäyhtälö |3x + 2| < 1.
|3x + 2| < 1 ⇔ −1 < 3x + 2 < 1
⇔ −3 < 3x < −1
1
⇔ −1 < x < − .
3
d) Ratkaistaan epäyhtälö |−2x + 4| ≥ 1.
|−2x + 4| ≥ 1 ⇔ −2x + 4 ≤ −1
⇔ −2x ≤ −5 tai
5
⇔ x ≥ tai x ≤
2
tai − 2x + 4 ≥ 1
− 2x ≥ −3
3
.
2
Lause 12.5.3 (kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y ∈ R pätee
|x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.
Todistus. Itseisarvon ominaisuuksien nojalla −|xy| ≤ xy ≤ |xy| ja edelleen
−2|x||y| ≤ 2xy ≤ 2|x||y|.
Lisäämällä neliöt x2 ja y 2 kuhunkin lausekkeista saadaan
x2 − 2|x||y| + y 2 ≤ x2 + 2xy + y 2 ≤ x2 + 2|x||y| + y 2
⇒ |x|2 − 2|x||y| + |y|2 ≤ x2 + 2xy + y 2 ≤ |x|2 + 2|x||y| + |y|2
⇒ (|x| − |y|)2 ≤ (x + y)2 ≤ (|x| + |y|)2
⇒ |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| = |x| + |y|.
12 LUKUALUEET
12.6
182
Binomikertoimet ja binomikaava
Lasketaan joitakin binomin a + b potensseja:
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
=
=
=
=
..
.
a2 + 2ab + b2
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
Nyt varmaan palautuvat mieleen Pascalin kolmio (ranskalainen Blaise Pascal,
1623-62)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
..
.
ja binomikertoimet
( )
n
n!
=
k
k! (n − k)!
Miten nämä tarkemmin ottaen liittyvät toisiinsa?
Tehtävä 12.6.1 Osoita, että binomikertoimille pätee yhtälö
( ) (
) (
)
n
n
n+1
+
=
.
k
k+1
k+1
Lause 12.6.2 (binomikaava) Olkoot a ja b reaalilukuja ja n ∈ N. Tällöin
( )
( )
( )
(
)
( )
n n
n n−1
n n−2 2
n
n n
n
n−1
(a + b) =
a +
a b+
a b +...+
ab
+
b
0
1
2
n−1
n
eli lyhyesti
n ( )
∑
n n−k k
(a + b) =
a
b .
k
k=0
n
Tehtävä 12.6.3 Todista binomikaava vaikkapa induktiolla.
12 LUKUALUEET
12.7
183
Numeroituvuus
Joukoissa N, Z, Q ja R on kaikissa ääretön määrä alkioita. Kuitenkin R selvästi poikkeaa joukoista N, Z ja Q. Ero voidaan esittää Luvussa 11 määritellyillä
mahtavuus-käsitteillä: joukon mahtavuutta joukkoon N verrattuna mitataan käsitteellä numeroituvuus.
Määritelmä 12.7.1 Joukko A on numeroituva (countable, denumerable ), jos on
olemassa bijektio N → A. Joukko on korkeintaan numeroituva (at most countable ), jos se on äärellinen tai numeroituva.
Joukko on ylinumeroituva (uncountable ), jos se on ääretön, mutta ei numeroituva.
Numeroituvat joukot ovat siis yhtä mahtavia joukon N kanssa.
Esimerkki 12.7.2 Esimerkin 11.1.5 joukko A := {2, 4, 6, 8, . . .} on numeroituva.
Esimerkki 12.7.3 Kokonaislukujen joukko Z on numeroituva, sillä funktio f :
N → Z, joka määritellään

f (1) =
0,

f (2k) =
k, k = 1, 2, 3, . . .

f (2k+1) = −k, k = 1, 2, 3, . . .
on bijektio. Funktio f antaa tavan esittää Z luettelona
Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .}.
Numeroituva joukko on siis ääretön, mutta sen alkiot voidaan asettaa jonoksi ja
esittää luettelona {a1 , a2 , a3 , . . .}. Tällä luettelolla ei ole välttämättä mitään tekemistä alkioiden suuruusjärjestyksen kanssa.
Huomautus 12.7.4 a) Esimerkin 12.7.3 ideaa käyttäen: kahden numeroituvan
joukon yhdiste on numeroituva: Jos A := {a1 , a2 , a3 , . . . } ja B := {b1 , b2 , b3 , . . . },
niin
A ∪ B = {a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , . . . }
on selvästikin numeroituva. Huomaa, että joukon luetteloesityksessä voi esiintyä
samoja lukuja, mutta siinä on kuitenkin ääretön määrä eri lukuja.
b) Joskus puhutaan myös numeroituvasti äärettömistä joukoista, erityisesti silloin
kun ’numeroituvuus’ määritellään enintään yhtämahtavuutena joukon N kanssa.
Silloin ’numeroituva’ tarkoittaakin äärellistä tai numeroituvasti ääretöntä.
12 LUKUALUEET
184
Esimerkki 12.7.5 Näytetään Cantorin ensimmäisellä diagonaalimenetelmällä,
että tulojoukko N × N on numeroituva:
1
1 (1, 1) →
↙
2 (2, 1)
↓
↗
3 (3, 1)
↙
4 (4, 1)
..
.
2
(1, 2)
3
4
(1, 3) → (1, 4)
↗
↙
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
↙
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(4, 2)
(4, 3)
···
···
···
···
(4, 4) · · ·
Koska joukon N × N alkiot voidaan esittää luettelona, niin myös joukon Q+ :=
| m, n ∈ N } alkiot voidaan esittää luettelona. Q+ on siis numeroituva:
{m
n
Q+ = { 11 , 12 , 21 , 31 , 31 , 14 , 23 , . . . } = {1, 21 , 2, 3, 31 , 14 , 23 , . . . }.
Tästä saadaan eräs tapa esittää koko rationaalilukujen joukko luettelona:
Q = {0, 1, −1, 21 , − 12 , 2, −2, 3, −3, 31 , − 13 , 14 , − 41 , 23 , . . . }.
On siis osoitettu:
Lause 12.7.6 Rationaalilukujen joukko Q on numeroituva.
Lause 12.7.7 Reaalilukuväli [0, 1] on ylinumeroituva.
Todistus. Jokainen joukon [0, 1] nollasta poikkeava alkio voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla päättymättömänä desimaalilukuna, jossa on ääretön määrä nollasta
poikkeavia desimaaleja (ks. Huomautus 12.4.5).
Lienee selvää (miksi?), että väli [0, 1] ei ole äärellinen, joten jos se ei ole ylinumeroituva, sen on oltava numeroituva.
Antiteesi: Väli I := [0, 1] on numeroituva joukko.
Silloin välin I luvut voidaan esittää jonona x1 , x2 , x3 , . . . . Niiden päättymättömät
desimaaliesitykset olkoot
x1
x2
x3
x4
=
=
=
=
..
.
0, a11 a12 a13 a14 . . .
0, a21 a22 a23 a24 . . .
0, a31 a32 a33 a34 . . .
0, a41 a42 a43 a44 . . .
12 LUKUALUEET
185
Nk. Cantorin toisella diagonaalimenetelmällä nähdään, että yllä oleva luettelo ei
voi sisältää kaikkia välin ]0, 1] reaalilukuja:
Muodostetaan luku y := 0, b1 b2 b3 b4 . . . , missä 0 < bi ≤ 9, i = 1, 2, 3, . . . ja
bi ̸= aii .
Tällöin 0 < y ≤ 1. Toisaalta esitysten yksikäsitteisyyden perusteella y ̸= xi millä
tahansa i = 1, 2, 3, . . . , sillä lukujen i:nnet desimaalit ovat erilaisia.
Siis y ei ole luettelossa x1 , x2 , x3 , . . . . Näin ollen kaikki välin ]0, 1] luvut sisältävää luetteloa ei ole olemassa.
Suoraan edellisestä lauseesta seuraa:
Lause 12.7.8 Reaalilukujoukko R on ylinumeroituva.
Esimerkki 12.7.9 Väli [2, 4] on ylinumeroituva, sillä välit [0, 1] ja [2, 4] ovat yhtä
mahtavia. Funktio f : [0, 1] → [2, 4], f (x) := 2x + 2 on nimittäin bijektio.
Huomioita
• Rationaalilukujoukko Q on numeroituva ja reaalilukujoukko R ylinumeroituva. R on aidosti mahtavampi kuin Q.
• Jos A = {a1 , a2 , . . . } on joukko, niin A ei edusta mielivaltaista joukkoa,
vaan mielivaltaista numeroituvaa joukkoa. Ei siis voida merkitä esimerkiksi
R = {x1 , x2 , x3 , . . . }.
• Reaalilukuja havainnollistetaan lukusuoran avulla. Rationaaliluvut ovat tiheässä lukusuoralla, ts. kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä
rationaalilukuja. Edelleen kahden reaaliluvun välissä on aina ääretön määrä irrationaalilukuja (Analyysit) ja kahden irrationaaliluvun välissä äärettömästi rationaalilukuja . . .
Hassua, eikö? Esiintyvätkö rationaali- ja irrationaaliluvut siis lukusuoralla
vuoron perään?
• Irrationaalilukujen joukko R \ Q on ylinumeroituva.
Perustelu. Antiteesi: R \ Q on numeroituva. Tällöin R = Q ∪ (R \ Q) olisi
numeroituvien joukkojen yhdisteenä numeroituva.
• Vieläkin mahtavampia joukkoja kuin R on olemassa, esimerkiksi sen potenssijoukko (vrt. Luku 11).
12 LUKUALUEET
12.8
186
Kompleksiluvut
Esimerkiksi yhtälöllä x2 = −1 ei ole reaalista ratkaisua. Tilkitäksemme tämän
valitettavan puutteen voimme edelleen laajentaa lukujoukkoja ottamalla käyttöön
kompleksiluvut. Näiden käyttö on osoittautunut vielä paljon hyödyllisemmäksi
kuin pelkästään yhtälöiden ratkeamisen varmistaminen.
Määritelmä 12.8.1 Reaalilukuparia (x, y) ∈ R × R sanotaan kompleksiluvuksi
(complex number ) ja kaikkien näiden parien joukkoa kompleksilukujen joukoksi
C := R × R = { (x, y) | x ∈ R, y ∈ R }
Jos z = (x, y), niin reaalilukua x sanotaan kompleksiluvun z reaaliosaksi (real
part ) ja reaalilukua y imaginaariosaksi (imaginary part ).
Näitä merkitään Re z := x ja Im z := y.
Kaksi kompleksilukua z1 = (x1 , y1 ) ja z2 = (x2 , y2 ) ovat samat, jos x1 = x2 ja
y1 = y2 , siis silloin kun niillä on sama reaaliosa ja sama imaginaariosa.
Tulkitsemalla kompleksiluvut xy-tason pisteiksi saadaan kompleksitaso (complex
plane ), jossa x-akseli on reaaliakseli (real axis ) ja y-akseli on imaginaariakseli
(imaginary axis ).
Kompleksiluku z on reaalinen, jos Im z = 0, ja imaginaarinen, jos Im z ̸= 0. Jos
Re z = 0 ja Im z ̸= 0, niin luku on puhtaasti imaginaarinen (purely imaginary ).
Reaaliselle kompleksiluvulle eli reaaliluvulle voidaan käyttää merkinnän (x, 0)
sijasta merkintää x.
Kompleksilukujen joukossa C määritellään laskutoimitukset
Yhteenlasku:
Kertolasku:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 +x2 , y1 +y2 )
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
Näin määritellyt yhteenlasku ja kertolasku todella ovat laskutoimituksia (ks. Luku
9.2) kompleksilukujen joukossa, siis hyvin määriteltyjä funktioita C × C → C,
koska tulokset ovat selvästikin määriteltyjä ja yksikäsitteisiä kompleksilukuja kaikilla (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ C.
Tehtävä 12.8.2 Näytä, että kompleksilukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat vaihdannaisia, so. kaikilla (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ C on
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x2 , y2 ) + (x1 , y1 ),
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x2 , y2 ) · (x1 , y1 ).
12 LUKUALUEET
187
Lause 12.8.3 Kompleksilukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat liitännäisiä, ts.
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 ja z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 kaikilla z1 , z2 , z3 ∈ C.
Todistus. Yhteenlaskun liitännäisyys on harjoitustehtävä. Kertolaskun liitännäisyys: Olkoot z1 , z2 , z3 ∈ C, zi = (xi , yi ). Silloin
(
)
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) · (x3 , y3 ) = (x1 , y1 ) · (x2 x3 − y2 y3 , x2 y3 + x3 y2 )
(
)
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) · (x3 , y3 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) · (x3 , y3 )
Lasketaan näille merkintöjen selvyyden vuoksi koordinaatit erikseen:
1) Ensimmäisen ja toisen ensimmäisiksi koodinaateiksi saadaan
x1 (x2 x3 − y2 y3 ) − y1 (x2 y3 + x3 y2 ) = x1 x2 x3 − x1 y2 y3 − y1 x2 y3 − y1 x3 y2 ,
(x1 x2 − y1 y2 )x3 − (x1 y2 + x2 y1 )y3 = x1 x2 x3 − y1 y2 x3 − x1 y2 y3 − x2 y1 y3 ,
jotka selvästikin ovat sama reaaliluku.
2) Toisiksi koordinaateiksi saadaan niinikään
x1 (x2 y3 + x3 y2 ) + y1 (x2 x3 − y2 y3 ) = x1 x2 y3 + x1 x3 y2 + y1 x2 x3 − y1 y2 y3 ,
(x1 x2 − y1 y2 )y3 + (x1 y2 + x2 y1 )x3 = x1 x2 y3 − y1 y2 y3 + x1 y2 x3 + x2 y1 x3 ,
siis sama luku.
Edellä on vapaasti käytetty myös reaalilukujen osittelulakeja. Osittelulait ovat voimassa myös kompleksiluvuille (harjoitustehtävä):
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 ja (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 kaikilla z1 , z2 , z3 ∈ C.
Kompleksiluvuille ei voida määritellä järjestystä, joka olisi yhteensopiva reaalilukujen luonnollisen järjestyksen kanssa.
Normaalimuoto
Kompleksilukujen kertolaskun määritelmän mukaan
(0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1.
Kompleksilukua i := (0, 1) sanotaan imaginaariyksiköksi (imaginary unit ) ja sille
on siis voimassa
i2 = −1.
Kompleksiluku z = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) voidaan esittää nyt ns. normaalimuodossa (normal form )
z = x + iy, missä x, y ∈ R.
12 LUKUALUEET
188
Kompleksiluvuilla voidaan laskea normaalimuodossa käyttämällä reaalilukujen
laskusääntöjä ja ottamalla huomioon, että i2 = −1:
Jos z1 = x1 + iy1 ja z2 = x2 + iy2 ovat normaalimuotoja, niin ovat myös summa
ja tulo
z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2 ),
z1 · z2 = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Esimerkki 12.8.4 Yhteen- ja kertolaskua normaalimuodossa:
(−2 + i4) + (3 − i2) = 1 + i2
(−2 + i4)(3 − i2) = −6 + i4 + i12 − i2 8 = 2 + i16
Normaalimuotoisen kompleksiluvun z = x + iy ̸= 0 käänteisluku on
z −1 =
1
1
x − iy
x − iy
x
y
=
=
= 2
= 2
−i 2
.
2
2
z
x + iy
(x + iy)(x − iy)
x +y
x +y
x + y2
Tehtävä 12.8.5 Todenna, että z ·
1
z
= 1 kaikilla z ∈ C \ {0}.
Esimerkki 12.8.6 Lasketaan kompleksiluvun z := 2 − i käänteisluku ja sen
reaali- ja imaginaariosat:
1
2+i
2+i
2+i
2
1
=
= 2
=
= +i .
2
2−i
(2 − i)(2 + i)
2 −i
4+1
5
5
Täten Re z =
2
5
ja Im z = 15 .
Kompleksilukujen jakolasku määritellään käänteisluvulla kertomisena:
z
:= z · w−1
w
kaikilla z ∈ C, w ∈ C \ {0}.
Esimerkki 12.8.7 Lasketaan kompleksilukujen osamäärä:
3+i
(1 + i)(3 + i)
1
1
2
=
=
(3
+
i
+
3i
+
i
)
=
(2 + 4i) = 1 + 2i.
1−i
12 − i2
2
2
12 LUKUALUEET
189
Esitysmuoto tason vektorina
Kompleksiluku z voidaan tulkita tason vektoriksi, joka on pisteestä (0, 0) = 0
alkavan ja pisteeseen z = (x, y) = x + iy päättyvän suuntajanan määräämä.
Määritelmä 12.8.8 Olkoon z = x + iy kompleksiluku (ks. Kuva 64).
a) Luvun z moduli (modulus, module ) eli itseisarvo on
√
|z| := x2 + y 2 .
b) Luvun z argumentti eli vaihekulma (argument ) arg z on kulma φ, jonka määrittelevät yhtälöt
cos φ = √
x
x2 + y 2
ja
sin φ = √
y
y
x2 + y 2
.
z = x+iy
|z|
ϕ
x
0
Kuva 64: Kompleksiluvun z esitys tasossa
c) Kompleksiluvun z = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti (complex conjugate ) on kompleksiluku (Kuva 65)
z = x − iy.
y
z = x+iy
|z|
ϕ
−ϕ
x
_
z = x-iy
Kuva 65: Liittoluvun geometrinen tulkinta
12 LUKUALUEET
190
(-2,2)
z
α
(-2,-2)
ϕ
_
z
Kuva 66: Lukujen z := −2 + i2 ja z = −2 − i2 vaihekulmat
Esimerkki 12.8.9 Olkoon z := −2 + i2. Laske |z|, arg z ja arg z.
Ratkaisu. Ks. Kuva 66.
Saadaan
√
√
√
(−2)2 + 22 = 8 = 2 2,
π π
3π
arg z = φ = + =
,
2
4
4
π
5π
arg z = α = π + =
.
4
4
|z| =
Esimerkki 12.8.10 Olkoon z1 := 4 + i2, z2 := −2 + i3. Näiden erotus on
z1 − z2 = 4 + i2 − (−2 + i3) = 6 − i.
Moduliksi saadaan
|z1 − z2 | =
√
√
62 + 12 = 37,
mikä on pisteiden (4, 2) ja (−2, 3) välinen etäisyys (ks. Kuva 67).
(-2,3)
I
z1-z2
(4,2)
z2
z1
-z2
0
z1-z2
R
(6,-1)
Kuva 67: Lukujen z1 = 4 + i2 ja z2 = −2 + i3 erotus
12 LUKUALUEET
191
Itseisarvon eli modulin geometrinen merkitys on yleisestikin
|z|
|z1 − z2 |
on pisteen z etäisyys origosta
on pisteiden z1 ja z2 välinen etäisyys.
Esimerkki
12.8.11 Millä kompleksiluvuilla pätee |z| = 2, ts. mikä on joukko
{ z ∈ C |z| = 2 }?
Ratkaisu. Olkoon z = x + iy. Tällöin
√
|z| = x2 + y 2 = 2
⇔
x 2 + y 2 = 22 .
Joukko { z ∈ C |z| = 2 } on siis 2-säteinen origokeskinen ympyrä (Kuva 68).
|z|=2
2
Kuva 68: Yhtälön |z| = 2 ratkaisu
Esimerkki 12.8.12 Mille kompleksiluvuille on voimassa yhtälö z 2 = |z|2 ?
Ratkaisu. Olkoon z = x + iy normaaliesitys. Silloin
z 2 = x2 − y 2 + 2xyi,
|z|2 = x2 + y 2 .
Vertaamalla imaginaariosia saadaan x = 0 tai y = 0. Reaaliosien perusteella taas:
jos x = 0, niin myös y = 0. Jos taas y = 0, saa x olla mitä hyvänsä. Täten kaikki
reaaliluvut ja vain ne toteuttavat yhtälön.
Lause 12.8.13 Olkoot z = x + iy, z1 ja z2 kompleksilukuja. Tällöin
a)
(z) = z,
b)
z1 + z2 = z1 + z2
c)
z1 z2 = z1 · z2
12 LUKUALUEET
d)
e)
f)
192
( )
1
1
=
z
z
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |
z1 |z1 |
=
z2 |z2 |
g)
|z|2 = z · z = x2 + y 2
h)
x = 12 (z + z)
ja
y=
1
(z
2i
− z).
Todistus. Todistetaan tässä kohta c), muut kohdat todistetaan vastaavaan tapaan.
Merkitään z1 = x1 + iy1 ja z2 = x2 + iy2 . Tällöin
z1 · z2 =
=
=
=
(x1 − iy1 )(x2 − iy2 )
x1 x2 − ix1 y2 − ix2 y1 + i2 y1 y2
x1 x2 − y1 y2 − i(x1 y2 + x2 y1 )
z1 z2 .
Napakoordinaattiesitys
Tason pisteen (x, y) ∈ R napakoordinaattiesitys on
{
x = r cos φ
y = r sin φ,
√
missä r = x2 + y 2 on etäisyys
origosta ja φ on pisteen (x, y) vaihekulma eli
√
2
kulma x-akselin
( x + y 2 , 0) pisteeseen (x, y) vastapäivään. Tällöin
] π pisteestä
[
arvoilla φ ∈ − 2 , π2 pätee
y
φ = arc tan .
x
Vastaavasti, jos kompleksiluvun z = x + iy moduli on |z| = r ja argumentti
arg z = φ, niin x = r cos φ ja y = r sin φ. Täten kompleksiluvulla z on napakoordinaattiesitys
z = r(cos φ + i sin φ).
Esimerkki 12.8.14 Määritetään luvun z := 2 + i napakoordinaatit. Nyt
√
√
r = 22 + 12 = 5.
12 LUKUALUEET
193
Vaihekulmalle φ on x = r cos φ ja y = r sin φ, joten saadaan yhtälöt
x
2
y
1
ja sin φ = = √ .
cos φ = = √
r
r
5
5
Jakamalla oikeanpuoleinen yhtälö vasemmanpuoleisella saadaan
1
tan φ = .
2
Kulmaksi φ saadaan φ = arc tan 12 ≈ 0.464 radiaania eli asteina 360 ·
26.6.
arc tan
2π
1
2
≈
Eulerin ja de Moivren kaavat
Määritellään Eulerin kaava (sveitsiläinen Leonhard Euler, 1707 - 1783)
eiφ = cos φ + i sin φ
ja
ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y).
Näin määritelty kompleksinen eksponenttifunktio noudattaa reaalisen eksponenttifunktion laskusääntöjä.
Eksponenttifunktion avulla saadaan kompleksiluvulle z toinen napakoordinaattiesitysmuoto (ks. Kuva 69)
z = reiφ = |z|ei arg z .
-z = re i(-
+ )
y
z = x + iy = re
i
r
i
>0
1
-z = re i(
+ )
-
z = x - iy = re
x
-i
Kuva 69: Kompleksilukuja tasossa
Kompleksilukujen aritmetiikkaa (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/KompleksiAritmetiikkaa.htm
12 LUKUALUEET
194
Esimerkki 12.8.15 Olkoon z := 1 + i. Lasketaan moduli ja argumentti:
√
√
|z| = r = 12 + 12 = 2,
1
π
arg z = φ = arccos √ = .
4
2
Nyt z saadaan muotoon
z =1+i=
√ iπ √ (
π
π)
2e 4 = 2 cos + i sin
.
4
4
Olkoon nyt |z| = r = 1. Tällöin kompleksiluvulla z on esitykset
z = cos φ + i sin φ = eiφ ,
joten korottamalla potenssiin n saadaan (ks. Kuva 70)
( )n
z n = (cos φ + i sin φ)n = eiφ = einφ .
zn
nϕ
z
ϕ
Kuva 70: Kompleksiluvun potenssi z n , kun |z| = 1
Toisaalta Eulerin kaavan mukaan kulman arvolla nφ pätee
einφ = cos nφ + i sin nφ.
Näin ollen saadaan nk. de Moivre’n kaava (ranskalainen Abraham de Moivre 1667
- 1754)
(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ.
12 LUKUALUEET
12.9
195
Kompleksinen 2. ja 3. asteen polynomiyhtälö
Voimme nyt jatkaa Luvun 7.2 tarkastelua.
Algebran peruslause on reaalitapausta koskevan Lauseen 7.1.10 vahvennus.
Lause 12.9.1 (algebran peruslause) Kompleksimuuttujan algebrallisella polynomiyhtälöllä
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0,
missä ai , z ∈ C ja an ̸= 0, on aina täsmälleen n juurta, kun niiden kertaluvut
otetaan huomioon.
Esimerkiksi yhtälöllä
(z − 1)n = 0
on vain yksi n-kertainen juuri 1.
Esimerkki 12.9.2 Tarkastellaan kompleksimuuttujan toisen asteen algebrallista
yhtälöä
z 2 + z + 1 = 0.
Kokeillaan tuttua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Saadaan
√
√
−1 ± 1 − 4
−1 ± −3
z=
=
.
2
2
√
√
Merkitsemällä −3 = 3i2 ja kirjoittamalla −3 = i 3 voidaan arvella ratkaisujen
olevan
√
√
−1 ± 1 − 4
−1 ± i 3
z=
=
.
2
2
Tarkistetaan vastaus sijoittamalla. Saadaan
(
√ )2 (
√ )
√
√
−1 ± i 3
−1 ± i 3
1
+
+ 1 = (1 + 3i2 ∓ 2i 3 − 2 ± 2i 3 + 4) = 0.
2
2
4
√
3
Siis luvut z = −1±i
ovat ratkaisuja eikä algebran peruslauseen nojalla muita
2
ratkaisuja ole olemassa.
Esimerkki 12.9.3 (b) Tarkastellaan yleisesti kompleksimuuttujan toisen asteen
algebrallista yhtälöä
az 2 + bz + c = 0,
12 LUKUALUEET
196
missä a, b, c ∈ R ja b2 − 4ac < 0. Vastaavaan tapaan kuin edellä voidaan todeta,
että kompleksiluvut
√
−b ± i 4ac − b2
z=
2a
ovat erilliset ratkaisut. Algebran peruslauseen nojalla muita ratkaisuja ei ole.
Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden yleiset ratkaisukaavat keksittiin jo
1500-luvulla (keksijöinä italialaiset Niccolo Tartaglia (1499-1557) ja Ludovico
Ferrari) (1522-1565). Kaavat julkisti Cardano julkaisussaan Ars Magna 1545. Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavaa etsittiin innolla kunnes norjalainen Niels
Henrik Abel (1802-1829) todisti vuonna 1824, että yleistä ratkaisukaavaa ei voi
olla olemassa!
Korkeamman asteen polynomien eksaktien nollakohtien löytäminen onkin usein
mahdotonta ja on tyydyttävä numeerisen analyysin antamiin nollakohtien likiarvoihin.
Esimerkki 12.9.4 (Cardanon kaava) Kolmannen asteen reaalikertoimisen yhtälön
z 3 + pz + q = 0,
(8)
missä p, q ∈ R, ratkaisut saadaan Cardanon kaavoilla
√
√
√
√
z2
z3
3
− 2q +
q2
4
p3
27
2
3
p
− 2q − q4 + 27
,
√
(
(
√
2
3
p3
+ − 21 −
= − 12 + i 2 3
− 2q + q4 + 27
√
√
(
(
√ )
2
3
p3
i 3
1
= −2 − 2
− 2q + q4 + 27
+ − 12 +
z1 =
+
√
)
+
3
√ )
i 3
2
√ )
i 3
2
√
3
√
3
− 2q
−
− 2q −
√
√
q2
4
+
p3
,
27
q2
4
+
p3
.
27
Cardanon kaava on historiallisesti merkittävä, sillä se on ensimmäisiä tuloksia,
jotka sisältävät negatiivisen luvun neliöjuuren.
13
Parametrikäyrät ja vektorifunktiot
Lopuksi tutkiskelemme yhden ja kahden muuttujan vektoriarvoisia funktioita.
Edellisistä hyviä esimerkkejä ovat parametrikäyrät ja jälkimmäisen erääseen erikoistapaukseen tutustuimme Luvussa 9.1, nimittäin kun havainnollistimme kahden muuttujan funktiota kolmiulotteisessa koordinaatistossa. Useamman muuttujan funktio ja vektorifunktio ovat yksinkertaisesti funktiota, joiden lähtöjoukko
tai maalijoukko ovat aivan erityistä tyyppiä.
Yleinen n:n muuttujan funktio tarkoittaa funktiota A → B, missä lähtöjoukko A
on jonkin n-ulotteisen tulojoukon epätyhjä osajoukko ja maalijoukko B jokin epätyhjä joukko. Jos myös tämä maalijoukko on tulojoukko tai sellaisen osajoukko,
funktiota sanotaan vektoriarvoiseksi tai vektorifunktioksi.
13.1
Parametrikäyrät
Tuttu tapa visualisoida yhden reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota h : A → R
on piirtää euklidiseen xy-koordinaatistoon sen kuvaaja (ks. Luku 6.1), siis joukko
Gh := { (x, h(x)) | x ∈ A }.
Tällöin funktio-ominaisuudesta seuraa, että muuttujan arvon x kasvaessa vastaava
kuvaajan piste (x, h(x)) siirtyy vääjäämättä samaan suuntaan. Näin voidaan saada
aikaan vain hyvin erikoista tyyppiä olevia liikeratoja tasossa, ks. Kuva 71.
(x, h(x))
x
y
(x, h(x))
x
y
x
x
Kuva 71: Funktion kuvaaja ja eräs hankalampi tasokäyrä
Vaikeus voitetaan sallimalla vapaampi liike myös x-suunnassa. Tämä käy siirtymällä aitoon vektoriarvoiseen funktioon, ts. ottamalla käyttöön kaksi reaalifunktiota f ja g, joista syntyy järjestetty pari H := (f, g). Näistä f säätää funktion
arvon x-koordinaattia ja g sen y-koordinaattia, joten voimme kirjoittaa
{
x = f (t),
H:
t ∈ I,
y = g(t),
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
198
missä I on sopiva reaalinen parametrijoukko. Syntyneen vektoriarvoisen funktion
H : I → R2 ,
H(t) = (f (t), g(t))
kuvapisteiden koordinaattifunktioita sanotaan komponenteiksi tai komponenttifunktioiksi.
On selvää, että jokaisen yhden muuttujan reaalifunktion g : A → R relaatiotulkinta voidaan esittää Kuvan 71 osoittamalla tavalla vektorifunktiona, nimittäin
valitsemalla f := Id ja I = A.
Esimerkki 13.1.1 Neliöfunktio h : R → R, h(x) := x2 , parametrisoituu valitsemalla f (t) := t ja g(t) := h(t) = t2 , ks. Kuva 72.
9
8
7
3
6
2
5
y
y
1
4
3
0
2
1
2
3
4
x
5
6
7
8
9
–1
1
–2
–3
–2
–1
1
2
x
3
–3
Kuva 72: Paraabeli ja sen käänteisrelaatio parametrikäyrinä
Esimerkki 13.1.2
√ Neliöjuuren päähaara eli positiivinen puoli h : [0, ∞[ →
[0, ∞[, √
h(x) := x, saadaan niinikään suoraan valitsemalla f (t) := t ja g(t) :=
h(t) = t, parametrivälinä I := [0, ∞[.
Neliöfunktion koko käänteisrelaatio sen sijaan saadaan valitsemalla f (t) := t2 ja
g(t) := t, ks. Kuva 72.
Tehtävä 13.1.3 Mitkä ovat sopivat parametrivälit Esimerkkien 13.1.1 ja 13.1.2 ja
kuvan 72 tapauksissa?
Esimerkki 13.1.4 Kahta tason pistettä (x1 , y1 ) ja (x2 , y2 ) yhdistävä jana voidaan
parametrisoida esimerkiksi seuraavasti: valitaan parametriväliksi I := [0, 1] ja
funktioiksi x, y : I → R:
x(t) := x1 + (x2 − x1 )t,
y(t) := y1 + (y2 − y1 )t.
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
199
Huomaa, että näin saadaan myös pystysuorassa olevat janat!
Pieni ongelmanpoikanen kätkeytyy tähän sinänsä näppärään esitystapaan: sama
kuvaaja saadaan aikaan useilla erilaisilla parametriesityksillä. Kun on piirrettävä
tietty tasokäyrä, siis relaatio tai kuvaaja, valitaan sopiva käyrän parametrisointi,
ts. kaksi reaalifunktiota ja parametriväli. Edelleen, mm. jaksollisten komponenttifunktioiden tapauksessa piirto voi tapahtua useaan kertaan paramerivälin aikana,
eikä se näy tuloskäyrästä mitenkään. Tässä voi olla apua dynaamisista kuvioista,
joissa piirto näkyy silloin kun se tapahtuu.
Tasokäyrien parametriesityksiä (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/KayranParametriEsitys.htm
Tehtävä 13.1.5 Koeta keksiä edellä olleille Esimerkeille 13.1.1 ja 13.1.2 muunlaisia parametriesityksiä.
Esimerkki 13.1.6 Ympyräesimerkissä 6.1.4
{
x = cos t,
y = sin t
saadaan ylempi puoliympyrä parametrin t määrittelyvälillä I = [0, π] ja täysi ympyrä välillä I = [0, 2π], ks. Kuvat 73. Täsmälleen sama staattinen kuvio saadaan
ympyrälle millä tahansa laajemmalla parametrivälillä kuin [0, 2π].
y
1 y(t)
y
1
x
-1 x(t)
1
(x(t), y(t))
(x(t), y(t))
0
0
t π
x
x(t)
-1
1
y(t)
-1
π t
2π
Kuva 73: Puoliympyrän ja ympyrän kehän muodostuminen parametrikäyrinä
Tehtävä 13.1.7 Mikä on sopiva parametriväli ympyräesimerkissä 13.1.6, kun halutaan piirtää origokeskinen ympyränkaari pisteestä (0, 1) pisteeseen (−1, 0) ?
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
200
Mielivaltainen origokeskinen r-säteinen ympyrä saadaan myös helposti:
{
x = r cos t,
t ∈ [0, 2π].
y = r sin t,
Tehtävä 13.1.8 Kuinka saadaan r-säteinen (x0 , y0 )-keskinen ympyrä?
Esimerkki 13.1.9 Ellipsi saadaan pienellä muunnoksella ympyrän esityksestä:
jos ellipsin puoliakselit ovat a ja b, niin origokeskiselle ellipsille saadaan esitys
{
x = a cos t,
t ∈ [0, 2π].
y = b sin t,
Tehtävä 13.1.10 Muodosta origokeskisen hyperbelin parametriesitys (vihje: Luku 8.4).
Monia muita mielenkiintoisia kuvioita saadaan aikaan sinin ja kosinin avulla.
Esimerkki 13.1.11 Sykloidi on parametrikäyrä
{
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t),
jonka ympyrän kehän piste piirtää, kun a-säteinen ympyrä pyörii pitkin x-akselia
liukumatta, ks. Kuva 74.
2
1.6
y1.2
0.8
0.4
0
2
4
x
6
8
10
Kuva 74: Sykloidin piirtää kiinteä ympyrän piste
Tehtävä 13.1.12 Selvitä pienin parametriväli, jolla sykloidin yksi ylöspäin kupera kaarenpätkä saadaan.
Esimerkki 13.1.13 Episykloidi on parametrikäyrä (ks. Kuva 75)
{
x = (a + b) cos t − b cos((a + b)t/b),
t ∈ [0, 2π].
y = (a + b) sin t − b sin((a + b)t/b),
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
201
6
6
4
4
y
y
2
–6
–4
–2
2
0
2
x
4
6
–4
–6
0
–2
–2
–2
–4
–4
–6
–6
2
x
4
6
Kuva 75: Episykloidi ja hyposykloidi
Esimerkki 13.1.14 Hyposykloidi on parametrikäyrä (ks. Kuva 75)
{
x = (a − b) cos t + b cos((a − b)t/b),
t ∈ [0, 2π].
y = (a − b) sin t − b sin((a − b)t/b),
Esimerkki 13.1.15 Astroidi on parametrikäyrä (ks. Kuva 76)
{
x = a cos3 t,
t ∈ [0, 2π].
y = b sin3 t,
2
1.5
y1
0.5
–3
–2
–1
0
1
x
2
3
–0.5
–1
–1.5
–2
Kuva 76: Astroidi
Eräs tapa muodostaa tasokäyriä on käyttää napakoordinaattiesitystä muodossa
Γ : ϕ 7→ (ϕ, r(ϕ))p (p niinkuin polar ), missä ϕ ∈ I, I parametriväli. Kuvaajan piste Γ(ϕ) asettuu siis etäisyydelle r(ϕ) origosta alkavalla puolisuoralla, jonka
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
202
kiertokulma positiivisen x-akselin suhteen on ϕ. Käyrän pisteen suorakulmaiset
koordinaatit ovat silloin
{
x = r(ϕ) cos ϕ,
Γ(ϕ) =
ϕ ∈ I.
y = r(ϕ) sin ϕ,
Tehtävä 13.1.16 Yhdistä seuraavat määrittelyt Kuvaan 77: 1) r = ϕ, 2) r = 1/ϕ,
3) r = ln(1 + ϕ), 4) r = sin 4ϕ, 5) r = sin ϕ, 6) r = 1 − cos ϕ.
0.8
2
0.6
1
0.4
–2
–1
0
1
2
3
0.2
–1
0
–0.2
0.2
0.4
–2
–0.2
–3
1
1
0.8
0.5
0.6
–2
–1.5
–1
0
–0.5
0.4
–0.5
0.2
–1
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.8
0.6
0.4
0.2
1
–2
2
4
6
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0
–1
–0.2
–2
–0.4
–3
–0.6
–4
–0.8
0.2
0.4
0.6
Kuva 77: Käyriä napakoordinaattipiirroksina
0.8
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
13.2
203
Vektorifunktiot
Kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio rakentuu tietysti kahdesta (tai useammasta) kahden muuttujan komponenttifunktiosta f : A → U ja g : A → V,
missä A ⊆ X × Y ja U ja V joukkoja. Yhdistelmä H := (f, g) on siten funktio
A → U × V.
Tarkastelemme tässä vain muutamia esimerkkejä reaalisista vektorifunktioista, ts.
H = (f, g) : A → R2 , missä A ⊆ R2 ja f ja g funktioita A → R.
Esimerkki 13.2.1 Seuraavat ovat koko tasossa määriteltyjä funktioita tasoon, siis
Hk : R2 → R2 :
a) H1 (x, y)
b) H2 (x, y)
c) H3 (x, y)
d) H4 (x, y)
e) H5 (x, y)
f) H6 (x, y)
=
=
=
=
=
=
(f1 (x, y), g1 (x, y)) = (5, −2)
(f2 (x, y), g2 (x, y)) = (x, 1)
(f3 (x, y), g3 (x, y)) = (x − y, y − x)
(f4 (x, y), g4 (x, y)) = (y, x)
(f5 (x, y), g5 (x, y)) = (x + y, x − y)
(f6 (x, y), g6 (x, y)) = (2x + y, 3x − 2y)
H1 on vakiofunktio, se kuvaa koko tason yhteen pisteeseen. H2 on vakio toisen
muuttujan ja myös toisen komponentin suhteen. Se projisoi koko tason kohtisuoraan suoralle y = 1. H3 kuvaa koko tason suoraksi; kokeile vaikka! Mikä on tuo
suora, miten asia perustellaan? H4 peilaa tason suoran y = x suhteen.
H4 , H5 ja H6 ovat bijektioita tasosta tasoon (ks. Lineaarialgebra).
Tehtävä 13.2.2 Kuvassa 78 näkyy kuinka osa Esimerkin 13.2.1 funktioista Hk
kuvaavat yksikköympyrän oikeapuoleiseen tasoon. Selvitä mikä mikin on.
–4
–3
–2
–1
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
1
2
Kuva 78: Kuinka funktiot kuvaavat ympyrän
3
4
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
204
Vektorifunktion havainnollistamisesta
Staattisilla kuvilla on vaikea kuvata kahden muuttujan vektorifunktioita. Niiden
toimintaa voi kuitenkin havainnollistaa näyttämällä miten ne tasoa deformoivat tai
transformoivat eli muuntavat, toisin sanoen kuinka erilaiset tason osat kuvautuvat.
Usein on helppo tutkia kuinka esimerkiksi tietynlaiset käyrät (suorat, ympyrät,
neliöt) kuvauksessa muuntuvat. Kuinka Kuvan 78 sisällöt on piirretty? Mapleohjelmalla lähtöpuolen yksikköympyrä piirretään helposti näin:
[> restart: with(plots): with(plottools): # nollataan muisti, ladataan piirtopaketit
[> alue := [-4..4, -4..4]; # piirtoalueen määrittely
[> plot([cos(t), sin(t), t = 0..2*Pi], scaling = constrained, view = alue); # parametrikäyrän piirto
Edellisen ympyrän kuvajoukot on piirretty toiseen (erilliseen) kuvaan, aluksi kukin erikseen ja lopuksi yhdistämällä yhdeksi kuvaksi. Tässä vain esimerkkinä kahden funktion kuvat yksikköympyrästä:
[>
[>
[>
[>
[>
[>
[>
H7 := (x, y) -> [x - 2*y, 2*x + 3*y];
# määritellään funktiot
H8 := (x, y) -> [sin(x - 2*y), 2*x + 3*y]; # ja piirretään, talletetaan ja yhdistetään
plot([op(H7(cos(t), sin(t))), t = 0..2*Pi], scaling = constrained, color = black);
plot([op(H8(cos(t), sin(t))), t = 0..2*Pi], scaling = constrained, color = cyan);
H7kuva := plot([op(H7(cos(t), sin(t))), t = 0..2*Pi], scaling = constrained, color = black):
H8kuva := plot([op(H8(cos(t), sin(t))), t = 0..2*Pi], scaling = constrained, color = cyan):
display(H7kuva, H8kuva, view = alue);
–4
–3
–2
–1
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
–4
–3
–2
0
–1
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
Kuva 79: Lisää yksikköympyrän kuvia
1
2
3
4
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
205
Paremmin onnistumme havainnollistamisessa käyttämällä dynaamisia kuvioita,
vaikka piirtäisimme tulokset samaan kuvaankin; pitää tulkita niin, että lähtö- ja
maalijoukko ovat päällekkäin.
Lineaaristen perusfunktioiden visualisointeja (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/
matematiikka/kurssit/MatematiikanJohdantokurssi/
Kurssimateriaali/applet/LineaarisetPerusfunktiot.htm
Lopuksi kuvataan erästä kompleksimuuttujan kompleksiarvoista funktiota, joka
voidaan tietysti tulkita kahden muuttujan vektorifunktioksi.
Eräs kompleksifunktio (JavaSketchpad)
http://wanda.uef.fi/mathematics/MathDistEdu/SemProd/Moebius.htm
13 PARAMETRIKÄYRÄT JA VEKTORIFUNKTIOT
206
Hakemisto
A+ , 21
[n], 21
#, 33, 164
C, 21
N, 21
N0 , 21
Q, 21
R, 21
Z, 21
ℵ0 , 161
card , 161
c, 165
P, 25
a-kantainen eksponenttifunktio, 107
a-kantainen logaritmifunktio, 107
e-kantainen logaritmi, 106
n:s juurifunktio, 99
Abel, Niels Henrik, 196
aidosti kasvava, 79
aidosti mahtavampi, 158
aidosti vähenevä, 79
aito järjestys, 61
aito osajoukko, 23
aksiomaattinen määritelmä, 138
aksiomaattinen määrittely, 177
aksiooma, 138
alaraja, 62
alaspäin kupera, 83
algebrallinen funktio, 88
algebrallinen yhtälö, 93
algebralliset reaaliluvut, 179
algebran peruslause, 195
alhaalta rajoitettu funktio, 82
alhaalta rajoitettu joukko, 62
alkeisfunktiot, 89
alkio, 20
alkukuva, 85
alkukuvajoukko, 46, 72
antisymmetrisyys, 54
antiteesi, 150
apulause, 140
arabialaiset numeromerkit, 177
areahyperbolinen kosini (päähaara), 126
areahyperbolinen kotangentti, 126
areahyperbolinen sini, 126
areahyperbolinen tangentti, 126
argumentti, 189
arkuskosinin päähaara, 121
arkuskotangentin päähaara, 121
arkussinin päähaara, 120
arkustangentin päähaara, 121
arvojoukko, 46
arvojoukko, funktion, 64
aste, 90
atomilause, 11
avoin lause, 38
bijektio, 64
binomikerroin, 182
Boole, George, 18
Cantor, Georg, 35, 166
Cantor-Schröder-Bernstein, 163
Cantorin I diagonaalimenetelmä, 184
Cantorin lause, 160
Cantorin menetelmä, 177
Cantorin toinen diagonaalimenetelmä, 185
de Moivre’n kaava, 194
de Moivre, Abraham, 194
de Morgan, Augustus, 18
Dedekind, Richard, 177
Dedekindin leikkaukset, 177
desimaalilukumuoto, 178
disjunktio, 11
diskriminantti, 93
207
HAKEMISTO
edeltäjä, 167
eksponenttifunktio, 104
ekvivalenssi, 11
ekvivalenssiluokka, 56
ekvivalenssirelaatio, 55
epätosi, 10
erilliset joukot, 23
erotus, joukkojen, 24
Euler, Leonhard, 193
Eulerin kaava, 193
Ferrari, Ludovico, 196
Fibonacci, Leonardo, 147
Fibonaccin luku, 147
Fibonaccin lukujono, 147
Fraenkel, Abraham, 35
Frege, Gottlob, 35
funktio, 52
Gödel, Kurt, 35
Hasse, Helmut, 59
Hassen kaavio, 59
Heaviside-metodi, 97
hyperbolinen kosini, 124
hyperbolinen kotangentti, 124
hyperbolinen sini, 124
hyperbolinen tangentti, 124
hyperboliset funktiot, 124
hyvin järjestetty, 63
Hyvinjärjestämisaksiooma, 63
identtinen kuvaus, 71
identtiset joukot, 22
identtisyysrelaatio, 49
imaginaariakseli, 186
imaginaariyksikkö, 187
implikaatio, 11
induktiivinen, 146
induktio-oletus, 142
induktioaskel, 142
induktioväite, 142
208
infimum, 62
injektio, 64
irrationaaliluvut, 178
itseisarvo, 180, 189
jaettava (polynomit), 91
jakaja (polynomit), 91
jakojäännös (polynomit), 91
jakolasku (C), 188
jakso, 81
jaksollinen, 81
jaollisuus (polynomit), 91
johdettu lause, 11
johdonmukainen, 16
johtopäätös, 16
joukko, 20
joukkojen mahtavuus, 158
juurifunktio, 88
järjestys, 60
järjestys (Q), 175
järjestys (Z), 171
jäsenyysfunktio, 37
kahden muuttujan funktio, 128
karakteristinen funktio, 37
kardinaliteetti, 158
karteesinen tulo, 24, 42
kasvava, 79
kertolasku (C), 186
kertolasku (N), 169
kertolasku (Q), 175
kertolasku (Z), 171
kertoma, 146
kokonaisluvut, 171
kolmioepäyhtälö, 181
kompleksifunktio, 205
kompleksikonjugaatti, 189
kompleksiluku, 186
kompleksilukujen joukko, 186
kompleksiluvun imaginaariosa, 186
kompleksiluvun käänteisluku, 188
HAKEMISTO
kompleksiluvun reaaliosa, 186
kompleksitaso, 186
komplementti, 24
komponentti, 198
komponenttifunktio, 198
kompositio, 49
konjektuuri, 140
konjunktio, 11
konkaavi, 83
Kontinuumihypoteesi, 165
konveksi, 83
korkeampi transkendenttifunktio, 89
korkeintaan numeroituva joukko, 183
korkeintaan yhtä mahtava, 158
korollaari, 140
kosinifunktio, 113
kultainen luku, 148
kuva, 52, 64
kuvaaja, 76
kuvajoukko, 46, 72
kuvaus, 52
kvanttori, 38
kymmenjärjestelmä, 177
käänteisfunktio, 70
käänteiskuvaus, 70, 85
käänteisrelaatio, 47
laskutoimitus, 133
lause, 10, 139
lausefunktio, 38
leikkaus, 23
lemma, 140
liittoluku, 189
liitännäisyys, 134
lineaarinen järjestys, 60
logiikka, 10
looginen yhtäpitävyys, 15
luku, 166
lukualue, 166
lukumääräjoukko, 21
lukusuora, 177
209
luonnollinen järjestys, 60
luonnollinen logaritmi, 106
luonnollisten lukujen joukko, 166
lähtöjoukko, 45
lähtöjoukko, funktion, 64
maalijoukko, 45
maalijoukko, funktion, 64
maksimaalinen alkio, 62
matemaattinen induktio, 141
matemaattinen malli, 141
minimaalinen alkio, 62
moduli, 189
molekyylilause, 11
moninkertainen nollakohta, (polynomit),
92
monotonisuus, 79
murtofunktio, 88
murtolukumuoto, 178
muuttuja, 52, 64
määritelmä, 138
määrittelyjoukko, 46
n-kertainen nollakohta (polynomit), 97
napakoordinaattiesitys, 192
Napier, John, 104
negaatio, 11
Neperin luku, 104
nollakohta, (polynomit), 91
nollapolynomi, 90
normaalimuoto, 187
numeroituva joukko, 183
numeroituvasti ääretön joukko, 183
oletus, 16
osajoukko, 22
osamurtokehitelmä, 96
osamäärä (polynomit), 91
osittain järjestetty joukko, 61
osittainen järjestys, 59
osittelulaki, 134
ositus, 58
HAKEMISTO
paikkajärjestelmä, 177
parametrisointi, 199
parillinen, 81
pariton, 81
Pascal, Blaise, 182
Peano, Giuseppe, 166
Peanon aksioomat, 166
Peirce, Benjamin, 18
perusjakso, 81
perusjoukko, 22
peruslause, 11
pienin alkio, 62
pienin yläraja, 62
pistevieraat joukot, 23
Polya, George, 145
polynomi, 88, 90
polynomien jakoyhtälö, 90
polynomin aste, 90
polynomin kerroin, 90
potenssi (relaation), 51
potenssifunktio, 102
potenssijoukko, 25
premissi, 16
puhtaasti imaginaarinen, 186
puoliryhmä, 51
päättely, 16
R-ketju, 51
radiaani, 112
rajoitettu funktio, 82
rajoitettu joukko, 62
rajoitettu joukossa, 82
rajoittuma, 64
rationaalifunktio, 88
rationaalifunktiot, 95
rationaaliluvut, 175, 178
ratkaisujoukko, 38
reaaliakseli, 177, 186
reaalifunktio, 76
refleksiivisyys, 54
rekursiivinen, 146
210
relaatio, 44
Russell, Bertrand, 35
samuus, 22
seuraaja, 166
seuraus, 140
sinifunktio, 113
sisäfunktio, 67
sitova, 16
Skolem, Thoralf, 35
suljettu muoto, 89
sumea joukko, 37
sumea logiikka, 19
supremum, 62
surjektio, 64
suurin alaraja, 62
suurin alkio, 62
symmetrisyys, 54
Tartaglia, Niccolo, 196
tautologia, 14
tekijä (polynomit), 91
teoreema, 139
todistus, 140
tosi, 10
totaali järjestys, 60
totaalisti järjestetty joukko, 61
totuusarvotaulukko, 11
transitiivisyys, 54
transkendenttiluvut, 179
transkendenttinen alkeisfunktio, 89
transkendenttinen funktio, 89
transkendenttiset alkeisfunktiot, 102
trigonometriset funktiot, 114
tulojoukko, 24, 42
tyhjä joukko, 22
täydellinen järjestys, 60
täysi, 54
täysin järjestetty joukko, 61
ulkofunktio, 67
HAKEMISTO
vaihdannaisuus, 134
vaihekulma, 189, 192
Valinta-aksiooma, 35
vastaesimerkki, 152
vastaoletus, 150
Venn, John, 24
Venn-diagrammi, 24
von Neumann, 167
vähenevä, 79
väli, 21
väritysongelma, 157
yhdiste, 23
yhdistetty funktio, 67
yhdistetty kuvaus, 67
yhdistetty relaatio, 49
yhteenlasku (C), 186
yhteenlasku (N), 169
yhteenlasku (Q), 175
yhteenlasku (Z), 171
yhtämahtavuus, 158
yksikkökiekko, 32
yksikkörelaatio, 49
yksikköympyrä, 112
ylhäältä rajoitettu funktio, 82
ylhäältä rajoitettu joukko, 62
ylinumeroituva joukko, 183
yläraja, 62
ylöspäin kupera, 83
Zadeh, Lotfi, 18
Zermelo, Ernst, 35
ZF-aksiomatiikka, 35
Zorn, Max, 63
Zornin lemma, 63
äärellinen joukko, 160
ääretön joukko, 160
äärimmäinen alkio, 62
211