UMF I Loppukoe 27.10 Aikaa 240 min. Kokeessa saa käyttää UMF

UMF I
Loppukoe 27.10
Aikaa 240 min. Kokeessa saa käyttää UMF luentomonistetta ja omia luento- ja harjoitusmuistiinpanoja sekä taulukkokirjaa.
Z
1. Laske
x2 + y 2 dx dy, kun
D
(a) D on yksikköneliö {(x, y) : |x| < 1, |y| < 1} ;
(b) D on yksikköpallo {(x, y) : x2 + y 2 < 1}.
2. Olkoon f (x, y) = x3 + y 2 . Määritä
(a) gradientti ∇f (0, −1) ;
(b) pinnan z = f (x, y) normaali pisteessä (0, −1, 1).
3. OlkoonZ r(t) = (1 + t, 1 − t2 , t), t ∈ [0, 1] polun γ parametrisaatio. Laske polkuintegraali F · dr, kun
γ
(a) F (x, y, z) = (x, y, z) ;
(b) F (x, y, z) = (xyz, 0, 0).
4. Olkoon f : R2 → R differentioituva, ja a, b ∈ R2 . Määritellään g : R → R lausekkeella g(t) = f (bt2 + a). Osoita, että g 0 (0) = 0.
5. Maan korkeus suorakaiteen muotoisessa alueessa |x| < 4 ja |y| < 2 saadaan kaavasta z = −10 + x2 + (3y)2 . Vesiraja on z = 0, eli pienemmät z-koordinaatin omaavat
pisteet ovat joko maan sisällä tai veden peitossa. Mikä on rantaviivan määräävän
käyrän yhtälö? Piste (1, 1, 0) on rannalla. Mihin suuntaan tästä pisteestä vesi syvenee nopeinten?
UMF I
Loppukoe 1.12
Aikaa 240 min. Kokeessa saa käyttää UMF luentomonistetta ja omia luento- ja harjoitusmuistiinpanoja sekä taulukkokirjaa.
Z
x dx dy kun
1. Laske
D
(a) D = [0, 1] × [0, 1] ;
(b) D on suorakaide jonka sivut muodostavat suorat y = 2x, y = 2x + 1, x = −2y,
x = −2y + 4.
2. Olkoon S niiden pisteiden (x, y) joukko, joille x2 + 3y 2 ≤ 1. Mikä on funktion
f (x, y) = x2 + x + y 2 − 1 suurin ja pienin arvo joukossa S?
3. Olkoon f : R2 → R ja g = (g1 , g2 ) : R → R2 jatkuvasti differentioituvia kuvauksia.
Silloin
∂f
∂f
(g(s))g10 (s) +
(g(s))g20 (s).
D(f ◦ g)(s) =
∂x
∂y
Ilmaise myös D(g ◦ f ) käyttäen (komponentti)funktioiden osittaisderivaattoja.
4. Olkoon f : R2 → R määritelty kaavalla
Z
f (x0 , y0 ) =
x3 dx dy,
D(x0 ,y0 )
missä D(x0 , y0 ) on (x0 , y0 ) keskeinen, 1-säteinen pallo. Missä pisteissä funktion f
saavuttaa suurimmat arvonsa joukossa [−1, 1] × [−1, 1]?
5. Olkoon 0 = (0, 0), a = (1, 1) ja b = (2, 0). Tiedetään, että ∂a f (0) = 1 ja ∂b f (0) =
−1. Laske näistä tiedoista, jos mahdollista, ∂f
(0) ja/tai ∂f
(0) olettaen, että
∂x
∂y
(a) funktiolla f on osittaisderivaatat origossa;
(b) funktio f on differentioituva origossa.
UMF I
Loppukoe 18.8.2015
Aikaa 240 min. Kokeessa saa käyttää UMF luentomonistetta ja omia luento- ja harjoitusmuistiinpanoja sekä taulukkokirjaa.
Z
1. Laske
x2 dx dy kun
D
(a) D = [−1, 1] × [0, 1] ;
(b) D on kolmio jonka kärjet ovat pisteissä (0, 0), (1, 1) ja (2, 0).
2. Olkoon f (x, y) = x + y 2 + xy. Määritä, jos mahdollista,
(a) gradientti ∇f (0, −1) ;
(b) pinnan z = f (x, y) normaali pisteessä (0, −1, 1).
3. Z
Olkoon r(t) = (1+t, 1+t2 ), t ∈ [0, 1] polun γ parametrisaatio. Laske polkuintegraali
F · dr, kun
γ
(a) F (x, y) = (x, y) ;
(b) F (x, y) = (xy, 0).
4. Olkoon 0 = (0, 0), a = (1, 1) ja b = (1, 0). Tiedetään, että ∂a f (0) = 1 ja ∂b f (0) =
(0) ja/tai ∂f
(0) olettaen, että
2. Laske näistä tiedoista, jos mahdollista, ∂f
∂x
∂y
(a) funktiolla f on osittaisderivaatat origossa;
(b) funktio f on differentioituva origossa.
5. Olkoon f : R2 → R on differentioituva funktio jolla on minimi origossa. Määritellään
kuvaus g : R2 → R kaavalla g(x, y) = f (x, x + y). Osoita, että 0 on funktion g
kriittinen piste. Minkä tyyppinen kriittinen piste on kyseessä?