Luku 8

8
8.1
Potenssisarjoista
Määritelmä
Olkoot a0 , a1 , a2 , . . . reaalisia vakioita ja c ∈ R.
Määritelmä 8.1. Muotoa
∞
X
ak (x − c)k = a0 + a1 (x − c) + a2 (x − c)2 + · · ·
k=0
olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi.
Selvästi jokainen potenssisarja suppenee (vakioiden a0 , a1 , a2 , . . . arvoista riippumatta) pisteessä x = c. On myös mahdollista, että piste x = c on ainoa piste,
jossa potenssisarja suppenee (ks. esimerkki 8.1). Toisaalta potenssisarja voi supeta
koko reaalilukujoukossa (ks. esimerkki 8.2) tai sitten jollakin äärellisellä välillä (ks.
muut esimerkit ja luku 8.2).
Esimerkki 8.1. Osamäärätarkastimen nojalla potenssisarja
∞
X
k!(x − c)k
k=0
suppenee vain, kun x = c. Jos nimittäin x 6= c, niin
(k
+ 1)! (x − c)k+1 = (k + 1) · |x − c| → ∞,
k! (x − c)k
kun k → ∞.
Esimerkki 8.2. Potenssisarja
∞
X
∞
X
1 k
xk
x =
k=0 k!
k=0 k!
suppenee kaikilla x ∈ R (esimerkki 7.2, s. 155).
Esimerkki 8.3. Esimerkin 7.3 (s. 156) perusteella potenssisarja
∞
X
(x − c)n
n
n=1
suppenee täsmälleen silloin, kun x ∈ [c − 1, c + 1[.
175
Esimerkki 8.4. Olkoon A 6= 0. Geometrisen sarjan (esimerkki 7.1, s. 155) suppenemisesta seuraa, että potenssisarja
∞
X
A(x − c)k = A ·
k=0
∞
X
(x − c)k
k=0
suppenee täsmälleen silloin, kun |x − c| < 1 eli kun x ∈ ]c − 1, c + 1[. Jos erityisesti
A = 1 ja c = 0, on kyseessä potenssisarja
∞
X
xk
k=0
eli tavallinen geometrinen sarja. Tämä suppenee, kun x ∈ ]−1, 1[.
Esimerkki 8.5. Käyttämällä osamäärätarkastinta ja Leibnizin lausetta voidaan
osoittaa, että potenssisarja
∞
X
(−1)k 2k+1
x
k=0 2k + 1
suppenee täsmälleen silloin, kun x ∈ [−1, 1] (harjoitustehtävä).
Lause 8.1. Jos potenssisarja suppenee pisteessä x1 6= c ja r = |x1 − c|, niin sarja
suppenee (vieläpä itseisesti) myös välillä
n
x ∈ R |x − c| < r
o
= ]c − r, c + r[ .
Todistus. Oletetaan, että sarja
∞
X
ak (x1 − c)k
k=0
suppenee ja x1 6= c. Koska suppenevan sarjan termit ovat rajoitettuja, on olemassa
sellainen M > 0, että
|ak | rk = ak (x1 − c)k ≤ M
eli
|ak | ≤
M
rk
∀k ∈ N
∀k ∈ N.
Siis
ak (x − c)k M
|x − c|
≤ k · |x − c|k = M ·
r
r
!k
∀x ∈ R ∀k ∈ N.
Täten sarja
ak (x − c)k ≤ M
∀k ∈ N
suppenee itseisesti majoranttiperiaatteen nojalla, kun |x − c| < r (majoranttina
suppeneva geometrinen sarja).
176
Seuraus 8.2. Jos sarja
∞
X
ak (x1 − c)k
k=0
hajaantuu ja |x − c| > |x1 − c| (= r), myös sarja
∞
X
ak (x − c)k
k=0
hajaantuu.
177
8.2
Potenssisarjan suppenemissäde ja -väli
Luvun 8.1 esimerkeistä ja tuloksista havaitaan, että yleisesti potenssisarja näyttäisi
suppenevan jollakin välillä (tai vain pisteessä x = c). Tarkastellaan nyt asiaa
täsmällisemmin.
Määritelmä 8.2. Jos joukko
S =
n
∞
X
o
|x − c| ak (x − c)k suppenee
k=0
on ylhäältä rajoitettu, niin potenssisarjan
∞
X
ak (x − c)k
k=0
suppenemissäde R = sup S. Jos joukko S ei ole ylhäältä rajoitettu, niin R = ∞.
Lauseen 8.1 nojalla saadaan välittömästi seuraavat tulokset (harjoitustehtävä).
Lause 8.3. Potenssisarjan suppenemissäteellä R on seuraavat ominaisuudet.
(i) Jos R = 0, niin sarja suppenee vain, kun x = c.
(ii) Jos R = ∞, niin sarja suppenee kaikilla x ∈ R.
(iii) Jos 0 < R < ∞, niin sarja suppenee, kun |x − c| < R, ja sarja hajaantuu,
kun |x − c| > R.
Huomautus 8.4. Jos 0 < R < ∞, niin lauseen 8.3 kohdan (iii) perusteella potenssisarja suppenee välillä ]c − R, c + R[. Kyseistä väliä kutsutaan potenssisarjan suppenemisväliksi. Jos R = 0, niin potenssisarjan suppenemisväli surkastuu pisteeksi c,
ja jos R = ∞, niin suppenemisväli on koko reaalilukujoukko.
Huomautus 8.5. Suppenemisvälin päätepisteissä c − R ja c + R potenssisarja voi
supeta tai hajaantua (ks. esimerkki 8.7, s. 179).1
Huomautus 8.6. Potenssisarjan suppeneminen ja itseinen suppeneminen ovat
yhtäpitäviä muualla paitsi mahdollisesti pisteissä c − R ja c + R.
1
Joskus potenssisarjan suppenemisvälillä tarkoitetaan väliä, joka sisältää nyt määritellyn suppenemisvälin (eli avoimen välin) lisäksi myös välin päätepisteet tai päätepisteen, jos potenssisarja
suppenee kyseisissä pisteissä.
178
Esimerkki 8.6. Esimerkin 8.1 (s. 175) potenssisarjan suppenemissäde on 0 ja
esimerkin 8.2 (s. 175) potenssisarjan suppenemissäde on ∞.
Esimerkki 8.7. Esimerkkien 8.3 (s. 175), 8.4 (s. 176) ja 8.5 (s. 176) jokaisen
potenssisarjan suppenemissäde on 1.
Suppenemisvälin päätepisteissä esimerkkien 8.3 - 8.5 sarjat kuitenkin käyttäytyvät eri tavalla. Esimerkin 8.4 potenssisarja hajaantuu suppenemisvälin molemmissa
päätepisteissä, esimerkin 8.5 sarja suppenee suppenemisvälin molemmissa päätepisteissä ja esimerkin 8.3 sarja suppenee toisessa päätepisteessä ja hajaantuu toisessa
päätepisteessä.
Jos potenssisarjan kertoimet ovat itseisarvoltaan pienempiä tai yhtäsuuria kuin
jonkin toisen potenssisarjan kertoimet, niin potenssisarjojen suppenemissäteet ovat
käänteisessä järjestyksessä. Tämä nähdään seuraavasta lauseesta.
Lause 8.7. Olkoot R1 ja R2 (järjestyksessä) potenssisarjojen
∞
X
ak (x − c)k
ja
k=0
∞
X
bk (x − c)k
k=0
suppenemissäteet. Jos on olemassa sellainen k0 ∈ N, että
(8.1)
|ak | ≤ |bk |
∀k > k0 ,
niin R1 ≥ R2 .
Todistus. Olkoon x1 jokin välin ]c − R2 , c + R2 [ piste. Tällöin sarja
∞
X
bk (x1 − c)k
k=0
suppenee itseisesti. Ehdosta (8.1) seuraa täten majoranttiperiaatteen nojalla, että
myös sarja
∞
X
ak (x1 − c)k
n=0
suppenee itseisesti. Siis sarja
∞
X
ak (x − c)k
n=0
suppenee kaikissa välin ]c − R2 , c + R2 [ pisteissä. Täten R1 ≥ R2 .
179
Esimerkki 8.8. Olkoon M > 0 ja m > 0. Tutkitaan potenssisarjan
∞
X
ak (x − c)k
k=0
suppenemissädettä R. Esimerkin 8.4 (s. 176) perusteella potenssisarjat
∞
X
k
m(x − c)
∞
X
ja
k=0
M (x − c)k
k=0
molemmat suppenevat täsmälleen silloin, kun |x − c| < 1, joten kummankin sarjan
suppenemissäde on yksi. Olkoon k0 ∈ N. Lauseen 8.7 perusteella saadaan nyt
seuraavat tulokset.
(i) Jos |ak | ≤ M kaikilla k > k0 , niin R ≥ 1.
(ii) Jos |ak | ≥ m kaikilla k > k0 , niin R ≤ 1.
(iii) Jos m ≤ |ak | ≤ M kaikilla k > k0 , niin R = 1.
Seuraava lause antaa käyttökelpoisen ja usein helpon tavan määrittää potenssisarjan suppenemissäde.
Lause 8.8. Jos
a k lim k→∞ ak+1 (0 ≤ A < ∞ tai A = ∞),
= A
niin potenssisarjan
∞
X
ak (x − c)k
k=0
suppenemissäde R = A.
Todistus. Jos x = c, niin tarkasteltava potenssisarja suppenee. Jos taas x =
6 c, niin
(8.2)
k+1 a
k+1 (x − c)
lim k→∞ ak (x − c)k =
ak+1 · |x − c|
lim k→∞
ak
=
1
· |x − c| ,
A
joten sarjan suppenemista voidaan tutkia osamäärätarkastinta käyttäen.
1◦ : Jos A = 0 ja x 6= c, niin raja-arvo (8.2) on ääretön. Täten sarja hajaantuu,
kun x 6= c. Siis R = A (= 0).
2◦ : Jos A = ∞, niin raja-arvo (8.2) on nolla. Täten sarja suppenee kaikilla
x ∈ R. Siis R = A (= ∞).
180
3◦ : Jos 0 < A < ∞, niin sarja suppenee, kun
1
· |x − c| < 1
A
eli
|x − c| < A,
1
· |x − c| > 1
A
eli
|x − c| > A.
ja hajaantuu, kun
Siis R = A.
Esimerkki 8.9. Määritetään potenssisarjan
∞
X
(k + 1) xk
k=0
suppenemissäde R. Koska
lim k→∞ (k
k + 1 k+1
= lim
= 1,
k→∞
+ 1) + 1
k+2
niin lauseen 8.8 nojalla R = 1. Suppenemisvälin päätepisteissä x = ±1 sarja
hajaantuu hajaantumistarkastimen nojalla, joten sarja suppenee täsmälleen silloin,
kun |x| < 1.
Esimerkki 8.10. Määritetään potenssisarjan
∞
X
nn n
x
n=1 n!
suppenemissäde R. Kun n → ∞, niin
nn / n!
(n + 1)n+1 / (n + 1)! =
nn
(n + 1)!
·
n! (n + 1)n+1
=
nn · (n + 1)
(n + 1)n+1
=
n
n+1
n
1
=
→
1
.
e
1+
1
n
n
Täten R = 1e lauseen 8.8 nojalla. Sarja siis suppenee, kun |x| < 1e , ja hajaantuu,
kun |x| > 1e . Suppenemissäde ei kuitenkaan kerro mitään sarjan suppenemisesta
pisteissä x = ± 1e , joten näissä pisteissä suppeneminen on tutkittava erikseen.
181
Esimerkki 8.11. Oletetaan, että n2 ≤ an ≤ n4 kaikilla n ∈ Z+ . Määritetään
potenssisarjan
∞
X
an x n
n=1
suppenemissäde R.
Olkoot R2 ja R4 (järjestyksessä) potenssisarjojen
∞
X
n 2 xn
ja
n=1
∞
X
n4 xn
n=1
suppenemissäteet. Koska n2 ≤ an ≤ n4 kaikilla n ∈ Z+ , niin lauseen 8.7 nojalla
R2 ≥ R ≥ R4 .
Toisaalta
lim
n→∞
n2
= 1
(n + 1)2
ja
lim
n→∞
joten lauseen 8.8 nojalla R2 = R4 = 1. Siis R = 1.
182
n4
= 1,
(n + 1)4
8.3
Potenssisarjan määrittelemä funktio
Tutkitaan seuraavaksi potenssisarjan summafunktiota. Potenssisarjan suppenemisominaisuuksista seuraa, että potenssisarjan summafunktio on määritelty jollakin
välillä (tai mahdollisesti vain yhdessä pisteessä).
Luvussa 7 osoitettiin, että jos funktiosarja suppenee tasaisesti jollakin välillä, sarjan termien jatkuvuus ja integroituvuus periytyvät sarjan summafunktiolle.
Siksi aloitetaan osoittamalla, että potenssisarja suppenee aina tasaisesti jokaisella suppenemisvälin suljetulla osavälillä. Seurauksena saadaan sitten välittömästi
summafunktion jatkuvuutta ja integroituvuutta koskevat tulokset.
Lause 8.9. Olkoon
∞
X
ak (x − c)k
n=0
potenssisarja, jonka suppenemissäde R > 0. Tällöin sarja suppenee tasaisesti
jokaisella välillä Ir = [c − r, c + r] , missä 0 < r < R.
Todistus. Koska
ak (x − c)k ja sarja
= |ak | · |x − c|k ≤ |ak | · rk
∞
X
|ak | rk =
k=0
∀x ∈ Ir ja ∀k ∈ N
∞ X
ak ((c + r) − c)k k=0
suppenee (huomautus 8.6, s. 178), niin Weierstrassin M-testin (lause 7.14, s. 164)
nojalla sarja
∞
X
ak (x − c)k
k=0
suppenee tasaisesti välillä Ir .
Lause 8.10. Olkoon
f (x) =
∞
X
ak (x − c)k
k=0
potenssisarja, jonka suppenemissäde R > 0. Tällöin sarja määrittelee koko suppenemisvälillä ]c − R, c + R[ jatkuvan funktion f .
Todistus. Sarjan termit ak (x − c)k ovat jatkuvia kaikilla x ∈ R ja kaikilla k ∈ N,
joten lauseen 7.12 (s. 162) nojalla myös sarjan summafunktio f on jatkuva jokaisella
lauseen 8.9 välillä Ir . Koska r voi olla mielivaltaisen lähellä lukua R, summafunktio
on jatkuva koko välillä ]c − R, c + R[.
183
Lause 8.11. Potenssisarja
f (x) =
∞
X
ak (x − c)k
k=0
voidaan integroida termeittäin jokaisella sarjan suppenemisvälin ]c − R, c + R[
(R > 0) suljetulla osavälillä [a, b] eli
Zb
∞ Zb
X
f (x) dx =
ak (x − c)k dx.
n=0 a
a
Todistus. Lauseen 8.9 nojalla sarja
∞
X
ak (x − c)k
k=0
suppenee tasaisesti välillä [a, b]. Koska sarjan termit ovat lisäksi jatkuvia välillä [a, b],
väite seuraa lauseesta 7.16 (s. 167).
Koska potenssisarjan termit voidaan helposti integroida, lauseen 8.11 tulos
saadaan muotoon
Zb
f (x) dx =
∞ Zb
X
ak (x − c)k dx
n=0 a
a
=
∞
X
k=0
=
∞
X
k=0
b
ak (x − c)k+1
k+1 a
ak (b − c)k+1 − (a − c)k+1 .
k+1
Valitsemalla yllä a = c ja b = x saadaan termeittäin integrointia koskevalle tulokselle
seuraava muoto.
Seuraus 8.12. Olkoon
f (x) =
∞
X
ak (x − c)k
k=0
potenssisarja, jonka suppenemissäde R > 0. Jos x ∈ ]c − R, c + R[, niin
Zx
c
f (t) dt =
∞
X
k=0
ak
(x − c)k+1 .
k+1
184
Esimerkki 8.12. Osoitetaan, että
arc tan x =
∞
X
k=0
(−1)k 2k+1
x
2k + 1
∀x ∈ [−1, 1] .
Otetaan lähtökohdaksi potenssisarja
∞
X
k 2k
(−1) t
=
k=0
∞
X
(−t2 )k =
k=0
1
,
1 + t2
jonka suppenemisväli on geometrisena sarjana ]−1, 1[. Täten lauseen 8.11 perusteella
Zx
0
!
Zx X
∞
1
k 2k
dt =
(−1) t
dt
1 + t2
k=0
0
=
∞ Zx
X
(−1)k t2k dt
k=0 0
=
=
∞
X
k
(−1)
x
t2k+1
2k + 1
k=0
0
∞
X
(−1)k 2k+1
x
2k + 1
k=0
kaikilla x ∈ ]−1, 1[. Toisaalta
Zx
0
1
dt =
1 + t2
x
arc tan t = arc tan x
0
kaikilla x ∈ R, joten
arc tan x =
∞
X
k=0
(−1)k 2k+1
x
2k + 1
∀x ∈ ]−1, 1[ .
Tutkimalla tasaista suppenemista (Leibnizin lause) hyödyntäen sarjan summafunktion jatkuvuutta voidaan osoittaa, että saatu tulos on voimassa myös pisteissä
x = ±1 (harjoitustehtävä). Täten
arc tan x =
∞
X
k=0
(−1)k 2k+1
x
2k + 1
∀x ∈ [−1, 1] .
Tarkastellaan sitten potenssisarjojen derivointia termeittäin. Aluksi osoitetaan,
että jos muodostetaan uusi sarja derivoimalla jonkin potenssisarjan termit, tuloksena
on potenssisarja, jolla on sama suppenemissäde kuin alkuperäisellä potenssisarjalla.
185
Lause 8.13. Potenssisarjoilla
∞
X
k
ak (x − c)
∞
X
ja
k=0
kak (x − c)k−1
k=1
on sama suppenemissäde.
Todistus. Olkoot R1 ja R2 (järjestyksessä) sarjojen
∞
X
ak (x − c)k
∞
X
ja
k=0
kak (x − c)k−1
k=1
suppenemissäteet. Koska
|ak | ≤ |kak |
∀k ∈ Z+ ,
niin lauseen 8.7 (s. 179) nojalla R1 ≥ R2 .
Osoitetaan sitten, että R1 ≤ R2 . Olkoon 0 < r < R1 . Tällöin sarja
∞
X
ak (x − c)k
k=0
suppenee pisteessä x = c + r. Koska suppenevan sarjan termit ovat rajoitettuja, on
olemassa sellainen M > 0, että
|ak | rk = ak ((c + r) − c)k ≤ M
eli
|ak | ≤
Siis
kak (x − c)k−1 M
rk
∀k ∈ Z+
∀k ∈ Z+ .
M
Mk
≤ k · k · |x − c|k−1 =
r
r
x − c k−1
·
r
kaikilla x ∈ R ja kaikilla k ∈ Z+ . Edelleen sarja
∞
X
∞
x − c k−1
M k x − c k−1
M X
·
=
k
·
r r k=1 r k=1 r
suppenee (esimerkki 8.9, s. 181) aina, kun x−c
< 1 eli |x − c| < r.
r
Täten sarja
∞
X
kak (x − c)k−1
k=1
suppenee majoranttiperiaatteen nojalla aina, kun |x − c| < r. Siis sarja suppenee
kaikilla x ∈ ]c − r, c + r[, joten R2 ≥ r. Koska r voidaan valita mielivaltaisen läheltä
lukua R1 , niin R2 ≥ R1 ja edelleen R1 = R2 .
186
Seuraus 8.14. Jos sarja
∞
X
ak (x − c)k
k=0
integroidaan termeittäin (yli välin [c, x]), niin saadulla sarjalla on sama suppenemissäde kuin alkuperäisellä sarjalla.
Huomautus. Termeittäin derivoimalla tai integroimalla saadun sarjan suppenemisesta suppenemisvälin päätepisteissä c − R ja c + R edellä olevat tulokset eivät
kerro mitään.
Lause 8.15. Potenssisarja
∞
X
ak (x − c)k
k=0
voidaan derivoida termeittäin jokaisessa suppenemisvälinsä ]c − R, c + R[ (R > 0)
pisteessä eli
(8.3)
∞
∞
X
d X
ak (x − c)k =
kak (x − c)k−1
dx k=0
k=1
∀x ∈ ]c − R, c + R[ .
Todistus. Jokaisella välillä Ir = [c − r, c + r], missä 0 < r < R, on voimassa
1◦ :
∞
X
ak (x − c)k suppenee (sillä r < R),
k=0
2◦ :
∞
X
kak (x − c)k−1 suppenee tasaisesti (lause 8.13 ja lause 8.9),
k=1
3◦ : termit ak (x − c)k (k ∈ N) ja kak (x − c)k−1 (k ∈ Z+ ) ovat jatkuvia.
Täten sarja
∞
X
ak (x − c)k
k=0
voidaan lauseen 7.18 (s. 171) nojalla derivoida termeittäin ja yhtälö (8.3) on voimassa
jokaisella välillä Ir . Koska r voidaan valita mielivaltaisen läheltä lukua R, niin
∞
X
ak (x − c)k
k=0
voidaan derivoida termeittäin koko välillä ]c − R, c + R[ ja
∞
∞
X
d X
ak (x − c)k =
kak (x − c)k−1
dx k=0
k=1
kaikilla x ∈ ]c − R, c + R[.
187
Esimerkki 8.13. Määritetään sarjan
f (x) =
∞
X
xk
k=1 k
summa välillä ]−1, 1[. Esimerkin 8.3 (s. 175) nojalla sarjan suppenemissäde R = 1.
Täten
f 0 (x) =
∞
∞
∞
∞
X
X
X
d X
xk
k · xk−1
1
=
=
xk−1 =
xk =
dx k=1 k
k
1−x
k=1
k=1
k=0
kaikilla x ∈ ]−1, 1[. Koska myös
D(− log(1 − x)) =
1
,
1−x
niin integraalilaskennan peruslauseen nojalla on olemassa sellainen C ∈ R, että
f (x) = − log(1 − x) + C
kaikilla x ∈ ]−1, 1[. Koska f (0) = 0, niin C = 0 ja
f (x) = − log(1 − x)
kaikilla x ∈ ]−1, 1[.
Seuraus 8.16. Potenssisarjan
∞
X
ak (x − c)k
k=0
summafunktiolla S(x) on sarjan suppenemisvälillä ]c − R, c + R[ (R > 0) kaikkien
kertalukujen derivaatat ja
(8.4)
S (n) (x) =
∞
X
k · (k − 1) · · · · · (k − (n − 1)) · ak · (x − c)k−n
k=n
kaikilla x ∈ ]c − R, c + R[.
Huomautus 8.17. Potenssisarjan
S(x) =
∞
X
ak (x − c)k
k=0
summafunktion derivaatat S (n) (x) ovat sarjan suppenemisvälillä tietenkin myös
jatkuvia.
188
Jos yhtälössä (8.4) erityisesti x = c, niin summalausekkeen muut termit kuin
k = n ovat nollia. Täten
S (n) (c) = n · (n − 1) · · · · · (n − (n − 1)) · an = n! · an
eli
an =
1
· S (n) (c)
n!
kaikilla n ∈ N. Siis
S(x) =
∞
X
S (k) (c)
(x − c)k
k!
k=0
∀x ∈ ]c − R, c + R[ .
Näin on tullut todistetuksi seuraus 8.18.
Seuraus 8.18. Jos funktio f voidaan esittää välillä ]c − h, c + h[ (h > 0) potenssisarjana
f (x) =
∞
X
ak (x − c)k ,
k=0
niin tämä esitys on yksikäsitteinen ja
ak =
f (k) (c)
k!
kaikilla k ∈ N.
Lause 8.19 (Yksikäsitteisyyslause). Jos jollakin välillä ]c − h, c + h[ (h > 0) on
voimassa
∞
∞
X
ak (x − c)k =
k=0
X
bk (x − c)k ,
k=0
niin ak = bk kaikilla k ∈ N.
Todistus. Jos potenssisarjojen yhteinen summafunktio välillä ]c − h, c + h[ on S(x),
niin seurauksen 8.18 nojalla
ak =
S (k) (c)
= bk
k!
kaikilla k ∈ N.
189
8.4
Taylorin sarja
Tähän asti funktiosarjoja tutkittaessa pääasiallisena tavoitteena on ollut määrittää
sarjojen summafunktioita. Seuraavaksi tarkastellaan käänteistä tehtävää eli etsitään
potenssisarjaa, jonka summafunktio on jokin haluttu funktio.
8.4.1
Taylorin polynomi
Ennen varsinaista tarkastelua esitetään yksi käyttökelpoinen aputulos, jonka avulla
pystytään mahdollisesti arvioimaan löydetyn potenssisarjan virhetermiä.
Lause 8.20 (Taylorin lause). Jos funktio f ja sen derivaatat f 0 , f 00 , . . . , f (n) ovat
jatkuvia välillä [a, b] ja derivaatta f (n+1) on olemassa välillä ]a, b[, niin on olemassa
sellainen ξ ∈ ]a, b[, että
f (b) =
n
X
k=0
f (n+1) (ξ)
f (k) (a)
(b − a)k +
(b − a)n+1 .
k!
(n + 1)!
Todistus. Merkitään
F (x) =
n
X
k=0
f (k) (x)
(b − x)k
k!
ja
g(x) = (b − x)n+1 ,
jolloin
n
X
d
f (k) (x)
F (x) =
f (x) +
(b − x)k
dx
k!
k=1
!
0
0
= f (x) +
n
X
k=1
=
f (k+1) (x)
f (k) (x)
(b − x)k −
(b − x)k−1
k!
(k − 1)!
!
f (n+1) (x)
(b − x)n
n!
ja
g 0 (x) = −(n + 1)(b − x)n .
Lauseen oletusten nojalla funktiot g(x) ja F (x) ovat jatkuvia välillä [a, b] ja
derivoituvia välillä ]a, b[. Täten (differentiaalilaskennan) yleistetyn väliarvolauseen
nojalla on olemassa sellainen ξ ∈ ]a, b[, että
(8.5)
F 0 (ξ)[g(b) − g(a)] = g 0 (ξ)[F (b) − F (a)]
190
eli
f (n+1) (ξ)
(b − ξ)n · [g(b) − g(a)] = −(n + 1)(b − ξ)n · [F (b) − F (a)].
n!
Siis
f (n+1) (ξ)
· [g(b) − g(a)] = −(n + 1) · [F (b) − F (a)]
n!
sekä edelleen
f (n+1) (ξ)
· [g(b) − g(a)] = −[F (b) − F (a)]
(n + 1)!
ja
F (b) = F (a) +
f (n+1) (ξ)
· [g(a) − g(b)].
(n + 1)!
Koska F (b) = f (b),
F (a) =
n
X
k=0
f (k) (a)
(b − a)k
k!
ja
g(a) − g(b) = (b − a)n+1 − 0 = (b − a)n+1 ,
niin
f (b) =
n
X
k=0
f (k) (a)
f (n+1) (ξ)
(b − a)k +
(b − a)n+1 .
k!
(n + 1)!
Jos b < a ja Taylorin lauseen oletukset ovat voimassa väleillä [b, a] ja ]b, a[, niin
Taylorin lauseen todistuksessa ξ ∈ ]b, a[ ja yhtälö (8.5) korvautuu yhtälöllä
F 0 (ξ)[g(a) − g(b)] = g 0 (ξ)[F (a) − F (b)],
joka on yhtäpitävä yhtälön (8.5) kanssa. Täten voidaan esittää seuraava huomautus.
Huomautus 8.21. Taylorin lause on voimassa myös, kun b < a. Tällöin tietysti
ξ ∈ ]b, a[ ja lauseen oletuksia on tarkasteltava väleillä [b, a] ja ]b, a[.
Taylorin lauseen oletuksia tarkasteltaessa havaitaan, että jos derivaatta f (n)
(n ∈ Z+ ) on jatkuva välillä [a, b], myös derivaatat f 0 , f 00 , . . . , f (n−1) ovat jatkuvia
välillä [a, b]. Muutenhan derivaattaa f (n) ei voitaisi muodostaa. Täten olisi riittänyt
olettaa pelkästään derivaatan f (n) jatkuvuus. Jos vastaavasti derivaatta f (n+1) on
olemassa jollakin välillä I, niin derivaattojen f 0 , f 00 , . . . , f (n) on oltava jatkuvia
välillä I. Näin ollen voidaan esittää seuraava Taylorin lauseen seuraus.
191
Seuraus 8.22. Jos funktio f on n+1 kertaa derivoituva pisteen c jossakin ympäristössä I ja x ∈ I (x =
6 c), niin on olemassa sellainen ξ ∈ ]c, x[ (tai ξ ∈ ]x, c[, jos
x < c), että
(8.6)
f (x) =
n
X
k=0
f (k) (c)
f (n+1) (ξ)
(x − c)k +
(x − c)n+1 .
k!
(n + 1)!
Todistus. Sovelletaan Taylorin lausetta välillä [c, x] (tai [x, c]).
Huomautus 8.23. Jos x = c, niin yhtälö (8.6) on voimassa kaikilla luvun ξ
arvoilla, sillä
n
X
k=0
f (n+1) (ξ)
f (0) (c)
f (k) (c)
(c − c)k +
(c − c)n+1 =
+ 0 = f (c).
k!
(n + 1)!
0!
Määritelmä 8.3. Yhtälössä (8.6) esiintyvää summaa
Tn (x) =
n
X
k=0
f (k) (c)
(x − c)k
k!
kutsutaan funktion f (x) Taylorin polynomiksi pisteessä c. Jos erityisesti c = 0, niin
polynomia kutsutaan funktion f (x) Maclaurinin polynomiksi.
Taylorin polynomia käyttäen seuraukselle 8.22 saadaan jonkin verran selkeämpi
esitysmuoto.
Huomautus 8.24. Jos funktio f on n+1 kertaa derivoituva pisteen c jossakin
ympäristössä I ja x ∈ I (x =
6 c), niin on olemassa sellainen ξ ∈ ]c, x[ (tai ξ ∈ ]x, c[,
jos x < c), että
f (x) = Tn (x) + Rn (x),
missä
Rn (x) =
f (n+1) (ξ)
(x − c)n+1 .
(n + 1)!
Taylorin lauseessa arvio jäännöstermille saatiin differentiaalilaskennan yleistettyä
väliarvolausetta käyttäen. Käyttämällä osittaisintegrointia voidaan helposti todistaa
(induktiolla, harjoitustehtävä) Taylorin lauseen jäännöstermille täsmällinen esitys
(= huomautus 8.25). Tällöin on oletettava myös derivaatan f (n+1) jatkuvuus.
192
Huomautus 8.25. Jos funktio f ja sen derivaatat f 0 , f 00 , . . .,f (n+1) ovat jatkuvia
pisteen c jossakin ympäristössä I ja x ∈ I, niin
f (x) = Tn (x) + Rn (x),
missä
x
1 Z (n+1)
Rn (x) =
f
(t) (x − t)n dt.
n! c
Esimerkki 8.14. Muodostetaan funktion f (x) = log(1 + x) Taylorin polynomi
pisteessä c = 0 (eli funktion Maclaurinin polynomi).
Funktiolla f (x) = log(1 + x) on selvästi kaikkien kertalukujen (jatkuvat) derivaatat, kun x > −1. Olkoon siis x > −1. Derivoimalla funktio muutamia kertoja
havaitaan, että
f 0 (x) =
1
= (1 + x)−1 ,
1+x
f 00 (x) = (−1) · (1 + x)−2 ,
f 000 (x) = (−1)(−2) · (1 + x)−3 ,
f (4) (x) = (−1)(−2)(−3) · (1 + x)−4 ,
..
.
Induktiolla voidaan nyt helposti todistaa, että
f (k) (x) = (−1)k−1 · (k − 1)! · (1 + x)−k =
(−1)k−1 (k − 1)!
(1 + x)k
∀k ≥ 1,
joten
f (k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)!
∀k ≥ 1.
Koska f (0) = 0, niin funktion f Maclaurinin polynomi on
Tn (x) =
n
X
k=0
n
n
X
X
f (k) (0) k
(−1)k−1 (k − 1)! k
(−1)k−1 k
x =
x =
x
k!
k!
k
k=1
k=1
kaikilla n ∈ N. Jos n = 0, niin yllä T0 (x) = 0.
Lisäksi huomautuksien 8.25 ja 8.24 nojalla (x > −1, n ∈ N)
log(1 + x) = Tn (x) + Rn (x),
193
missä
x
1 Z (n+1)
Rn (x) =
f
(t) (x − t)n dt
n!
0
x
1 Z (−1)n n!
=
(x − t)n dt
n! (1 + t)n+1
0
n
= (−1)
Zx
0
(x − t)n
dt
(1 + t)n+1
tai (jos x 6= 0)
f (n+1) (ξ) n+1
x
(n + 1)!
Rn (x) =
(−1)n
xn+1 ,
(n + 1) (1 + ξ)n+1
=
missä ξ ∈ ]0, x[ (tai ξ ∈ ]x, 0[, jos x < 0).
8.4.2
Taylorin sarja
Tarkastellaan sitten varsinaista tehtävää eli etsitään potenssisarjaa, jonka summafunktio on haluttu funktio f . Lähtökohdan tarjoaa seuraus 8.18 (s. 189), sillä jos
funktiolla f (x) on välillä ]c − h, c + h[ (h > 0) potenssisarjakehitelmä
f (x) =
∞
X
ak (x − c)k ,
k=0
niin seurauksen 8.18 nojalla
ak =
f (k) (c)
.
k!
Siis etsitty potenssisarja on
(8.7)
∞
X
k=0
f (k) (c)
(x − c)k .
k!
Määritelmä 8.4. Sarjaa (8.7) kutsutaan funktion f (x) Taylorin sarjaksi (tai
sarjakehitelmäksi) pisteessä c. Jos Taylorin sarjassa c = 0, niin sarjaa kutsutaan
funktion f (x) Maclaurinin sarjaksi.
194
Funktion f (x) Taylorin sarja voidaan muodostaa pisteessä c silloin, kun f (k) (c)
on olemassa kaikilla k ∈ N eli funktiolla f on pisteessä c kaikkien kertalukujen
derivaatat. Tällöin derivaatat f (k) (x) ovat olemassa (ja ne ovat jatkuvia) myös
jollakin välillä ]c − h, c + h[ (h > 0), sillä f (k+1) (c) voidaan muodostaa vain, jos
derivaatta f (k) (c) on määritelty pisteen c jossakin ympäristössä.
Funktion f (x) pisteessä c muodostetun Taylorin sarjan summa ei välttämättä
ole f (x) kaikilla x ∈ R. Ensinnäkin sarja voi hajaantua muuttujan x joillakin
arvoilla. Toisaalta on mahdollista, että vaikka sarja suppenee jollakin välillä I, niin
sarjan summa ei ole f (x) välillä I (ks. esimerkki 8.23, s. 201).
Pisteessä x = c sarjan summa on aina f (c), sillä
∞
X
k=0
f (k) (c)
f (0) (c)
(c − c)k =
= f (c),
k!
0!
mutta yleisesti Taylorin sarjan summa on f (x) vain, kun sarjan osasumma eli
vastaava Taylorin polynomi Tn (x) lähestyy arvoa f (x), kun n → ∞. Toisin sanoen
jos funktion f Taylorin sarja voidaan muodostaa pisteessä c, niin
f (x) =
∞
X
f (k) (c)
(x − c)k
k!
k=0
täsmälleen silloin, kun
lim Tn (x) = f (x)
n→∞
eli
lim Rn (x) = 0,
n→∞
missä Rn (x) on huomautuksissa 8.24 ja 8.25 esiintyvä Taylorin polynomia Tn (x)
vastaava jäännöstermi. Esitetään asia vielä täsmällisesti lauseen muodossa.
Lause 8.26. Oletetaan, että funktiolla f on kaikkien kertalukujen derivaatat
pisteessä c. Tällöin
∞
X
f (k) (c)
(x − c)k
f (x) =
k!
k=0
täsmälleen silloin, kun
lim Rn (x) = 0,
n→∞
missä Rn (x) on huomautuksissa 8.24 ja 8.25 esiintyvä Taylorin polynomia Tn (x)
vastaava jäännöstermi.
Jos funktion f Taylorin sarjan summa pisteessä x on f (x), sanotaan, että sarja
esittää funktiota f pisteessä x. Taylorin sarjan voimassaoloalue on niiden pisteiden
joukko, joissa sarja esittää funktiota f .
195
Esimerkki 8.15. Muodostetaan funktion f (x) = sin x Maclaurinin sarja, ja osoitetaan, että sarja esittää funktiota sin x kaikilla x ∈ R (eli sarjan voimassaoloalue
on koko reaalilukujen joukko).
Induktiolla voidaan helposti todistaa, että
f (2k) (x) = (−1)k sin x
ja
f (2k+1) (x) = (−1)k cos x
kaikilla k ∈ N ja kaikilla x ∈ R. Täten
f (2k) (0) = 0
f (2k+1) (0) = (−1)k
ja
kaikilla k ∈ N. Siis
∞
X
∞
X
f (k) (0) k
(−1)k
x =
x2k+1
k!
(2k
+
1)!
k=0
k=0
on funktion f (x) = sin x Maclaurinin sarja. Osoitetaan vielä, että tämän sarjan
summa on sin x kaikilla x ∈ R.
Jos x = 0, niin sekä sarjan summa että sinin arvo ovat nollia, joten sarja esittää
funktiota sin x. Olkoon sitten x 6= 0. Taylorin lauseen (huomautus 8.24) nojalla
sin x = Tn (x) + Rn (x),
missä Tn (x) on funktion sin x Maclaurinin polynomi (n ∈ N) ja
Rn (x) =
f (n+1) (ξ) n+1
x
(n + 1)!
(ξ ∈ ]0, x[ tai ξ ∈ ]x, 0[ ).
Nyt
|Rn (x)| =
f (n+1) (ξ)
n+1 x
(n + 1)!
≤
|x|n+1
(n + 1)!
kaikilla n ∈ N ja
|x|n+1
lim
= 0,
n→∞ (n + 1)!
joten
lim Rn (x) = 0.
n→∞
Siis lauseen 8.26 nojalla
sin x =
∞
X
k=0
eli
sin x = x −
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
∀x ∈ R
x3 x5
+
− ···
3!
5!
∀x ∈ R.
196
Taylorin lauseen vaatima funktion derivaattojen laskeminen ja jäännöstermitarkastelu on usein työlästä. Seuraava jo aluksi esitetty huomio tarjoaa mahdollisuuden
käyttää Taylorin lauseen sijasta jo aiemmin muodostettuja potenssisarjoja.
Huomautus 8.27. Jos funktiolla f (x) on välillä ]c − h, c + h[ (h > 0) potenssisarjakehitelmä
(8.8)
f (x) =
∞
X
ak (x − c)k ,
k=0
niin seurauksen 8.18 (s. 189) nojalla tämä sarja on funktion f (x) Taylorin sarja
pisteessä c.
Huomautuksen 8.27 Taylorin sarjan voimassaoloalue on vähintään huomautuksen
väli ]c − h, c + h[, mutta voimassaoloalue voi olla laajempikin. Voimassaoloalue
sisältää esimerkiksi kaikki ne väliin ]c − h, c + h[ kuulumattomat pisteet x, joille
on jo osoitettu, että ehto (8.8) on voimassa. Tällöinhän muodostettu Taylorin sarja
esittää funktiota f (x) myös pisteessä x. Tällainen tilanne voi esiintyä esimerkiksi, jos
]c − h, c + h[ on tarkasteltavan Taylorin sarjan suppenemisväli ja väliin kuulumaton
piste on suppenemisvälin päätepiste.
Aiemmin muodostettuja potenssisarjoja voidaan nyt yrittää hyödyntää joko
suoraan tai muokkaamalla niitä sopivasti. Jos on aiemmin osoitettu, että jonkin
oikeaa muotoa olevan potenssisarjan summa on jossakin pisteen c ympäristössä
funktio, jonka Taylorin sarjaa etsitään, niin tehtävä on sarjan muodostamisen osalta
jo suoritettu. Jäljellä on mahdollisesti vielä sarjan voimassaoloalueen määrittäminen,
jos voimassaoloalue ei selviä aiemman tarkastelun perusteella.
Jos toisaalta edellä mainittua potenssisarjaa ei ole tiedossa, voidaan yrittää
muokata tunnettuja potenssisarjoja siten, että uuden sarjan summa on haluttu
funktio. Mahdollisia tapoja ovat esimerkiksi sarjojen derivointi ja integrointi, sarjojen kertominen keskenään, funktioiden sijoittaminen sarjoihin muuttujan x tilalle
tai sopivien (esimerkiksi trigonometristen) kaavojen käyttö. Lähtökohdan tarjoaa
esimerkiksi geometrinen sarja
∞
X
1
,
1−x
xk =
k=0
joka potenssisarjana on funktion
f (x) =
1
1−x
Maclaurinin sarja välillä ]−1, 1[.
197
Esimerkki 8.16. Muodostetaan funktion f (x) = log(1 + x) Maclaurinin sarja, ja
osoitetaan, että sarja esittää funktiota log(1 + x) kaikilla x ∈ ]−1, 1].
Esimerkissä 7.13 (s. 169) osoitettiin geometrista sarjaa integroimalla, että
(8.9)
log(1 + x) =
∞
X
(−1)k−1 k
x
k
k=1
∀x ∈ ]−1, 1[ .
Täten funktiolla f (x) = log(1 + x) on Maclaurinin sarja ainakin välillä ]−1, 1[.
Osoitetaan vielä, että yhtälö (8.9) pätee myös, kun x = 1.
Esimerkin 8.14 perusteella kaikilla n ∈ N on olemassa sellainen ξ ∈ ]0, 1[, että
f (1) = Tn (1) + Rn (1),
missä Tn (1) on funktion log(1 + x) Maclaurinin polynomi ja
Rn (1) =
(−1)n
f (n+1) (ξ) n+1
=
·1
.
(n + 1)!
(n + 1) (1 + ξ)n+1
Täten
|Rn (1)| =
1
1
≤
n+1
(n + 1)(1 + ξ)
n+1
kaikilla n ∈ N. Koska
lim
n→∞
1
= 0,
n+1
niin myös
lim Rn (1) = 0.
n→∞
Siis lauseen 8.26 nojalla
log(1 + x) =
∞
X
(−1)k−1 k
x
k
k=1
∀x ∈ ]−1, 1] .
Jos x > 1 tai x ≤ −1, niin sarja
∞
X
(−1)k−1 k
x
k
k=1
hajaantuu (harjoitustehtävä). Täten sarjan summa ei voi olla log(1+x) (ja log(1+x)
ei edes ole määritelty, kun x ≤ −1). Siis funktio log(1+x) voidaan esittää Maclaurin
sarjana ainoastaan välillä ]−1, 1], jolloin
log(1 + x) =
∞
X
k=1
(−1)k−1 k
x2 x3 x4
x = x−
+
−
+ ···
k
2
3
4
198
Esimerkki 8.17. Määritetään kosinin Maclaurinin sarja ja sarjan voimassaoloalue.
Kosinin Maclaurinin sarja voidaan tietysti määrittää vastaavasti kuin sinin
Maclaurinin sarja esimerkissä 8.15. Menetellään nyt kuitenkin toisin ja hyödynnetään esimerkissä 8.15 muodostettua sarjaa
sin x =
∞
X
k=0
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
∀x ∈ R.
Koska tämä sarja voidaan potenssisarjana derivoida termeittäin, niin
cos x = D(sin x)
= D
∞
X
k=0
=
∞
X
k=0
=
∞
X
k=0
=
∞
X
k=0
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
!
(−1)k
· D(x2k+1 )
(2k + 1)!
(−1)k
· (2k + 1) · x2k
(2k + 1)!
(−1)k 2k
x
(2k)!
kaikilla x ∈ R. Siis funktion cos x Maclaurinin sarja on
cos x =
∞
X
(−1)k 2k
x2 x4 x6
x = 1−
+
−
+ ···
(2k)!
2!
4!
6!
k=0
∀x ∈ R.
Esimerkki 8.18. Esimerkissä 8.12 (s. 185) osoitettiin geometrista sarjaa integroimalla, että
arc tan x =
∞
X
k=0
(−1)k 2k+1
x3 x5
x
= x−
+
− ···
2k + 1
3
5
∀x ∈ [−1, 1] .
Huomautuksen 8.27 nojalla kyseinen sarja on funktion arc tan x Maclaurinin sarja
välillä [−1, 1]. Jos |x| > 1, niin sarja hajaantuu (esimerkki 8.5, s. 176), joten sarjan
summa ei tietenkään ole arc tan x (eli sarja ei esitä funktiota arc tan x).
Esimerkki 8.19. Esimerkissä 7.15 (s. 173) osoitettiin, että
ex =
∞
X
k=0
∞
X
xk
1 k
=
x
k!
k=0 k!
∀x ∈ R.
Huomautuksen 8.27 nojalla kyseinen sarja on funktion ex Maclaurinin sarja (kaikilla
x ∈ R).
199
Esimerkki 8.20. Määritetään funktion ax (a > 0) Maclaurinin sarja ja sarjan
voimassaoloalue. Esimerkin 8.19 perusteella
ax = ex log a =
∞
X
∞
X
(x log a)k
(log a)k k
=
x
k!
k!
k=0
k=0
∀x ∈ R,
joten huomautuksen 8.27 nojalla
ax =
∞
X
(log a)k k
x
k!
k=0
∀x ∈ R.
Esimerkki 8.21. Määritetään funktion f (x) = e3x+1 Maclaurinin sarja ja sarjan
voimassaoloalue.
Esimerkin 8.19 perusteella
e3x+1 = e · e3x = e ·
∞
X
∞
X
(3x)k
e3k k
=
x
k=0 k!
k=0 k!
∀x ∈ R.
Esimerkki 8.22. Määritetään funktion
 x
e


−1
, kun x 6= 0,
x
f (x) =


1,
kun x = 0,
Maclaurinin sarja ja sarjan voimassaoloalue.
Esimerkin 8.19 perusteella
ex − 1 =
∞
X
k=0
∞
X
xk
xk
−1 =
k!
k=1 k!
∀x ∈ R,
joten
∞
∞
∞
X
X
ex − 1
1 X
xk
xk−1
xk
=
·
=
=
x
x k=1 k!
k=1 k!
k=0 (k + 1)!
Lisäksi
∞
X
k=0
∀x 6= 0.
0k
0
0
= 1 + + + · · · = 1 = f (0),
(k + 1)!
2! 3!
joten sarja esittää funktiota f (x) myös pisteessä x = 0. Täten huomautuksen 8.27
nojalla
∞
X
1
f (x) =
xk
∀x ∈ R.
(k
+
1)!
k=0
200
Esimerkki 8.23. Olkoon

1
e− x2 ,
f (x) = 
0,
kun x 6= 0,
kun x = 0.
Voidaan suhteellisen helposti osoittaa, että f (n) (0) = 0 kaikilla n ∈ N (harjoitustehtävä). Täten funktion f (x) Maclaurinin sarja on
∞
∞
X
X
f (n) (0) n
0 n
x =
x =
0 = 0
n!
n=0 n!
n=0
n=0
∞
X
∀x ∈ R.
Sarja tietenkin suppenee kaikilla x ∈ R mutta antaa funktion f (x) arvon vain
pisteessä x = 0.
8.4.3
Sovelluksia
Taylorin sarjaa voidaan käyttää esimerkiksi funktion raja-arvon ja ääriarvon määrittämiseen (korvaamalla funktio Taylorin sarjallaan), derivaattojen määrittämiseen
pisteessä c sekä yleensäkin erilaisiin likiarvotehtäviin.
Esimerkki 8.24. Määritetään derivaatta f (n) (0), kun
 x
e


−1
, kun x 6= 0,
x
f (x) =


1,
kun x = 0.
Esimerkin 8.22 nojalla
f (x) =
∞
X
n=0
1
xn
(n + 1)!
∀x ∈ R.
Täten seurauksen 8.18 (s. 189) nojalla
f (n) (0)
1
=
n!
(n + 1)!
∀n ∈ N
ja edelleen
f (n) (0) =
1
n+1
Siis esimerkiksi
f (2014) (0) =
201
∀n ∈ N.
1
.
2015
Esimerkki 8.25. Määritetään raja-arvo
2
ex − 1 − x − x2 −
lim
x→0
x3 arc tan x
x3
6
.
Tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä neljä kertaa l’Hospitalin sääntöä, mutta
tällöin joudutaan kohtuullisen mutkikkaisiin derivointeihin. Määritetään raja-arvo
nyt l’Hospitalin säännnön sijasta käyttämällä funktioiden potenssisarjaesityksiä.
Esimerkin 8.19 nojalla
ex = 1 + x +
x2 x3 x4 x5 x6
+
+
+
+
+ ···
2!
3!
4!
5!
6!
∀x ∈ R,
joten
ex − 1 − x −
x4 x5 x6
x2 x3
−
=
+
+
+ ···
2
6
4!
5!
6!
= x
1
x
x2
+ +
+ ···
4! 5!
6!
4
!
kaikilla x ∈ R. Esimerkin 8.18 nojalla taas
arc tan x = x −
x3 x5
+
− ···
3
5
∀x ∈ [−1, 1] ,
joten
3
x arc tan x = x
3
x3 x5
+
− ···
x−
3
5
!
= x
x2 x4
1−
+
− ···
3
5
4
kaikilla x ∈ [−1, 1]. Jos siis 0 < |x| ≤ 1, niin
x2
2
x
e −1−x− −
x3 arc tan x
x3
6
=
x4
=
1
4!
+
x4 1 −
1
4!
+
1−
x
5!
x2
3
x
5!
x2
3
+
+
+
+
x2
6!
x4
5
x2
6!
x4
5
+ ···
− ···
+ ···
− ···
,
josta nähdään suoraan, että
2
ex − 1 − x − x2 −
lim
x→0
x3 arc tan x
202
x3
6
=
1
1
=
.
4!
24
!
Esimerkki 8.26. Määritetään integraalille
Z1
2
e−x dx
0
sellainen likiarvo, että virhe on korkeintaan 10−2 .
Esimerkin 8.19 perusteella
∞
X
(−x2 )k
(−1)k 2k
=
x
k!
k!
k=0
k=0
∞
X
2
e−x =
∀x ∈ R.
Potenssisarjana sarja voidaan integroida termeittäin, joten
Z1
e
−x2
dx =
0
=
Z1
∞
X
0
k=0
∞ Z1
X
k=0 0
=
∞ 1
X
k=0 0
=
∞
X
k=0
(−1)k 2k
x
dx
k!
!
(−1)k 2k
x dx
k!
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)k!
(−1)k
.
(2k + 1)k!
Tulokseksi saatu sarja toteuttaa selvästi Leibnizin lauseen ehdot, joten sarja suppenee ja jäännöstermille saadaan arvio
|Rn | ≤
1
1
=
(2(n + 1) + 1)(n + 1)!
(2n + 3)(n + 1)!
kaikilla n ∈ N. Virheelle asettu vaatimus toteutuu nyt, jos
1
≤ 10−2
(2n + 3)(n + 1)!
eli
(2n + 3)(n + 1)! ≥ 100.
Pienin epäyhtälön toteuttava kokonaisluku on 3, joten esimerkiksi
Z1
0
2
e−x dx ≈
3
X
k=0
(−1)k
1
1
1
26
= 1− +
−
=
(2k + 1)k!
3 10 42
35
tuottaa halutun tarkkkuuden.
203
Esimerkki 8.27. Arvioidaan funktiota f (x) = sin x välillä [0, π4 ] tarkkuudella 10−4 .
Esimerkissä 8.15 osoitettiin, että
sin x = Tn (x) + Rn (x),
missä Tn (x) on funktion sin x Maclaurinin polynomi (n ∈ N) ja
|Rn (x)| ≤
|x|n+1
(n + 1)!
kaikilla x ∈ R ja kaikilla n ∈ N. Välillä [0, π4 ] tarvittavaksi ehdoksi tulee täten
n+1
1
π
(n + 1)! 4
< 10−4 ,
joka toteutuu, kun n ≥ 6.
Siis riittävän tarkka tulos saadaan, kun valitaan arvioksi esimerkiksi T6 (x).
Täten kaikilla x ∈ [0, π4 ] on voimassa arvio
sin x = T6 (x) + R6 (x) = x −
missä |δ| < 10−4 .
204
x3 x5
+
− δ,
3!
5!