JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN

Transcription

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN
Esko Suhonen
Fysikaalisten tieteiden laitos
Oulun yliopisto
2001, pienin korjauksin 2010
Sisältö
1 SUHTEELLISUUSTEORIAN SYNTY
2
1.1
Newtonin mekaniikan peruslait ja Newtonin suhteellisuusperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Michelsonin ja Morleyn koe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Suhteellisuusteorian peruspostulaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 LORENTZIN KOORDINAATISTOMUUNNOS JA SEN VÄLITTÖMIÄ SEURAUKSIA
6
2.1
Lorentzin koordinaatistomuunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Samanaikaisuuden suhteellisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Pituuden kontraktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Ajan dilataatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Suhteellisuusteoreettinen nopeuden muunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Nopeuden suuntakulman muunnos ja liikkuvan hiukkasen valoemissio
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 NELIULOTTEINEN AVARUUS-AIKAMAAILMA
12
3.1
Minkowskin diagrammit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2
Hyperbolinen koordinaatiston kierto ja viivaelementti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Kaksosparadoksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4 KINEMAATTISIA SUUREITA
17
4.1
Paikkavektori ja ominaisaika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Nelinopeus ja nelikiihtyvyys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5 RELATIVISTISTA DYNAMIIKKAA
19
5.1
Lepomassa ja liikemassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.2
Suhteellisuusteoreettinen dynamiikan perusyhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.3
Lepomassan vakioisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.4
Massan ja energian ekvivalenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5.5
Neliliikemäärä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.6
Einsteinin fotoniteoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
6 SÄILYMISLAKIEN SOVELLUTUKSIA HIUKKASKINEMATIIKKAAN
25
6.1
Dopplerin ilmiö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
6.2
Comptonin sironta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
6.3
Hiukkasen hajonta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
6.4
Elastinen sironta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6.5
Hiukkasreaktion kynnysenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1
1
SUHTEELLISUUSTEORIAN SYNTY
1.1
Newtonin mekaniikan peruslait ja Newtonin suhteellisuusperiaate
Useimmat fysiikan kokeet suoritetaan maanpinnalla levossa olevassa laboratoriossa. Tällöin on kokeen suorittajan kannalta yksinkertaisinta antaa koetulokset koordinaatistossa, joka on levossa maanpinnan suhteen. Tällaista koordinaatistoa sanotaan maan lepokoordinaatistoksi tai myös laboratoriokoordinaatistoksi. Sen sijaan liikuttaessa esim. suurella valtamerialuksella, on aluksen sisällä tapahtuvien tapahtumien kuvaamiseen alukseen kiinnitetty koordinaatisto eli
aluksen lepokoordinaatisto yksinkertaisin.
Kokemuksesta tiedämme, että tasainen suoraviivainen liike ei lainkaan vaikuta fysikaalisiin tapahtumiin. Esimerkiksi
tyynellä merellä tasaisella nopeudella liikkuvan aluksen matkustajat voivat pelata pöytätennistä yhtä vaivattomasti
kuin kuivalla maalla. Katsomatta aluksen ulkopuolelle ei matkustaja edes tiedä, onko alus liikkeellä vai levossa.
Newtonin dynamiikan I peruslaki eli jatkavuuden laki asettaakin lepotilan ja tasaisen suoraviivaisen liikkeen samaan
asemaan. Jatkavuuden lain mukaan massapiste, johon mikään voima ei vaikuta, pysyy levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä. Onko massapiste levossa vai liikkeessä riippuu vertailutilasta, jossa havainnot tehdään. Esim. liikkuvan
laivan masto on levossa laivan suhteen, mutta liikkuu maamerkkien suhteen.
Jatkavuuden laki ei alkuperäisessä muodossaan pidä paikkansa kaikissa koordinaatistoissa. Jos kappaleen liike mitataan esim. vauhtiaan hidastavaan laivaan kiinnitetyssä koordinaatistossa, todetaan, ettei voiman puuttuminen merkitsekään kappaleen lepotilaa tai sen tasaista suoraviivaista liikettä. Laivaa jarrutettaessa siellä oleviin kappaleisiin
näyttää vaikuttavan voimia, jotka pyrkivät antamaan kappaleille kiihtyvyyden alkuperäisen liikkeen suuntaan. Näitä
voimia nimitetään hitausvoimiksi ja ne on otettava huomioon, jotta jatkavuuden lakia voitaisiin soveltaa kiihtyvissä
koordinaatistoissa.
Havaitsijaa, joka toteaa jatkavuuden lain pitävän alkuperäisessä muodossaan paikkansa, nimitetään inertiaalihavaitsijaksi. Inertiaalihavaitsijalle testikappaleen kiihtyvyyden puuttuminen merkitsee kyseiseen kappaleeseen vaikuttavan
voiman puuttumista ja kappaleen kiihtyvyys taas osoittaa kappaleeseen vaikuttavan jonkin ulkoisen voiman. Koordinaatistot, joihin kiinnitetyt havaitsijat toteavat jatkavuuden lain pitävän paikkansa, ovat inertiaalikoordinaatistoja. Tässä
monisteessa rajoitutaan tapahtumien kuvaamiseen yksinomaan inertiaalikoordinaatistoissa.
Newtonin mekaniikan perusvertailujärjestelmä on absoluuttisessa levossa oleva koordinaatisto, jota ei voida kuitenkaan kokeellisesti löytää. Vapaan eli inertiaaliliikkeen nopeus absoluuttisessa avaruudessa mitattuna on vakio. Absoluuttisen avaruuden suhteen tasaisella nopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja.
Siirtyminen inertiaalikoordinaatistosta toiseen tapahtuu Newtonin mekaniikassa Galilein koordinaatistomuunnoksen
avulla. Olkoot K ja K 0 kaksi inertiaalikoordinaatistoa, joiden akselit ovat yhdensuuntaiset. Liikkukoon koordinaatisto
K 0 koordinaatiston K suhteen tasaisella nopeudella v positiivisen x-akselin suuntaan (Kuva 1). Oletetaan, että koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = 0. Newtonin mekaniikassa oletetaan aika absoluuttiseksi eli samaksi jokaiselle
havaitsijalle. Galilein koordinaatistomuunnos kuvan 1 liiketapauksessa on
(
x0 = x − vt
y0 = y
z 0 = z.
(1)
Vektorimuodossa esitettynä r 0 = r − vt.
Jos massapisteen nopeus on u = dr/dt koordinaatistossa K ja u0 = dr 0 /dt koordinaatistossa K’, saadaan yhtälöistä
(1) ajan suhteen derivoimalla nopeuskomponenttien Galilein muunnosyhtälöt
 0
 ux = ux − v
u0 = uy
 y0
uz = uz .
(2)
Yhtälöiden (2) derivointi antaa kiihtyvyydelle a = du/dt saman arvon molemmissa koordinaatistoissa eli a0 = a.
Newtonin dynamiikan II peruslain eli liikelain mukaan on ulkoisen voiman f massapisteelle antama liikemäärän
muutos dp suoraan verrannollinen vaikuttavaan voimaan ja tapahtuu voiman suunnassa eli
d
dp
= (mu),
(3)
dt
dt
missä u on massapisteen nopeus, m sen massa ja t aika. Mikäli massa on ajan suhteen vakio, yhtälö (3) voidaan kirjoittaa
muotoon
f=
2
.
.
.............
..............
0 .....
...
...
..
...
.. .
...
...............................
...
... .
...
...
...
...
...
.........
........
.
.
.
...
.
.
..
...
....
.
.
..
.
...
.
.
...
....
..
.
0
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
..
......
...
....
..
......
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
..
.........................
...
................. .... .......
0
...
.................
. .
.................
.......
..... ...
.................
................................................................................................................................................................................................. ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
..
.................
.........
...
.................
....
....
...
.. ...................
......................................................................................................................... ....... ....... ....... ....... ...............................................................................................................................
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
0
.....
.....
0
.....
.....
.....
.....
..........
...........
.
0 .......
........
y
y
v
u
u
r
vt
K
z
r
x
x
K
z
Kuva 1: Kaksi inertiaalikoordinaatistoa K ja K 0 , joiden vastinakselit ovat yhdensuuntaiset. K 0 liikkuu K:n suhteen
nopeudella v x-akselin suuntaan.
f = ma.
(4)
Klassillisessa fysiikassa massan oletetaan olevan riippumaton kappaleen liikkeestä, joten tulo ma on sama molemmille
havaitsijoille K ja K 0 . Jos yhtälö (3) tai (4) tulkitaan voiman määritelmäksi, seuraa tästä, että f = f 0 .
Newtonin dynamiikan III peruslaki eli vaikutuksen ja vastavaikutuksen laki ilmaisee, että jos massapiste A vaikuttaa
massapisteeseen B voimalla fA→B , niin B vaikuttaa A:han voimalla −fA→B .
Newtonin mekaniikassa aika on absoluuttista, mikä edellyttää ääretöntä signaalinopeutta. Tarkastellaan kahdessa eri
avaruuden pisteessä olevien kellojen synkronointia. Ajan siirtämiseksi kellosta toiseen tarvitaan signaali, jonka nopeus
tunnetaan. Nopeuden mittaus taas edellyttää ajan mittausta kahdessa eri pisteessä, joten ajan tulisi olla jo siirrettynä.
Mikäli aika on absoluuttista, niin ainoa ratkaisu on, että signaalinopeus on ääretön. Myös Newtonin III laki edellyttää,
että voiman vaikutus pisteestä A pisteeseen B siirtyy äärettömän nopeasti.
Koska muut mekaniikan lait, kuten energian, liikemäärän ja kulmaliikemäärän säilymislait ovat Newtonin peruslakien seurauksia, ovat mekaniikan lait samanmuotoiset kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tämä sisältyy klassisen
mekaniikan suhteellisuusperiaatteeseen, jonka mukaan toistensa suhteen tasaisella nopeudella liikkuvat koordinaatistot
ovat mekaniikan ilmiöiden kannalta samanarvoisia. Millään mekaniikan kokeella, joka suoritetaan kokonaisuudessaan
yhdessä inertiaalikoordinaatistossa ei voida määrittää kyseisen koordinaatiston nopeutta jonkin toisen inertiaalikoordinaatiston suhteen. Erikoisesti mitään absoluuttista lepotilaa ei ainakaan mekaniikan ilmiöiden kannalta ole olemassa,
sillä mikä tahansa inertiaalikoordinaatisto on yhtä oikeutettu lepokoordinaatistoksi.
1.2
Michelsonin ja Morleyn koe
Sähkömagnetismin perusyhtälöistä, Maxwellin yhtälöistä, voidaan johtaa sähkö- ja magneettikentille aaltoyhtälöt, joiden perusteella voidaan päätellä sähkömagneettisten häiriöiden etenevän aaltoliikkeenä, jonka etenemisnopeus tyhjiössä
on valonnopeus. Viime vuosisadan lopulla, jolloin mekaaninen ajattelutapa ohjasi fysiikan teoriain muodostusta, ajateltiin, etteivät sähkömagneettiset aallot (esim. valoaallot) voisi edetä tyhjiössä. Ääni- ja vesiaaltojen tavoin valoaaltojenkin ajateltiin liikkuvan väliaineessa, joka täysin läpinäkyvänä ja painottoman täyttäisi koko avaruuden. Tästä
hypoteettisestä väliaineesta käytettiin nimitystä eetteri. Absoluuttisen avaruuden ajateltiin määrittelevän järjestelmän,
jonka suhteen maailmaneetteri on levossa. Valonnopeus eetterin lepokoordinaatistossa K on kaikissa suunnissa sama
c = 2.997925 · 1010 cm/s eli nopeus, jota sanomme valon tyhjiönopeudeksi (Kuva 2a). Koordinaatistossa K 0 oleva havaitsija mittaa eri suuntiin liikkuvalle valolle eri nopeudet, mikäli nopeuden muunnosyhtälöt (2) ovat oikeat (Kuva 2b).
x0 -akselin positiiviseen ja negatiiviseen suuntaan liikkuvan valon nopeuksien komponenteiksi saadaan yhtälöistä (2)
u0x = c − v
u0y = 0
(5)
u0−x = c + v
u0y = 0
(6)
Tarkastellaan sitten koordinaatistossa K 0 y 0 -akselin suunnassa liikkuvaa valonsädettä. Koska K 0 liikkuu K:n suhteen
x-akselin suuntaisella nopeudella v, on kyseisen valonsäteen nopeuden x-komponentti koordinaatistossa K ux = v.
3
y
.
..............
...
...
...
...
...
2
2
...
...
...
........
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
...
.
......................................................... ..........................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
........
...
...
...
2
2
...
..
.............................
...
...
.....................................................................................................................................................
....
.
..............
...
...
...
...
...
.
...
..............
...
..
.........
...
.............
...
.......
...
...
.....
..... .
.
.....
.....
...
..... .... ........
...
..... .. .....
..... .. ....
...
.
.
.
...
.......................................... ............................................
...
.
.
.... ... .......
.
.
.
...
.
... ..... ........
.
.
.
...
.
.....
...
...
.
.
.
.
.
...
.
.....
...
..
.......
...
.......
...
.........
..........
...
...
...
.............
...
.
...
...
...
...
...
.....................................................................................................................................................
....
y0
√
c
c
c
c
c
c
c
K
c−v
c+v
c
c −v
√
v
c −v
K0
x
x0
2a
2b
Kuva 2: Eri suuntiin etenevän valon nopeudet inertiaalikoordinaatistoissa K ja K 0 , ( joista K on eetterin lepokoordinaatisto ) mikäli klassiset nopeuden muunnosyhtälöt pitävät paikkansa.
Koska valonnopeus eetterin lepokoordinaatistossa on kaikissa suunnissa c, on c2 = v 2 + uy 2 , uy =
(2) saadaan
√
c2 − v 2 ja yhtälöistä
u0x = √
0
u0y = c2 − v 2 .
(7)
Valonnopeus ei näin ollen säily invarianttina Galilein muunnoksissa. Mikäli nämä muutokset todella soveltuisivat
sähkömagneettisiin ilmiöihin, niin olisi olemassa vain yksi koordinaatisto, jossa mitattu valonnopeus olisi tarkasti c. Tämä koordinaatisto olisi eetterin lepokoordinaatisto ja sitä voitaisiin pitää absoluuttisena lepojärjestelmänä.
Määrittämällä valonnopeuden arvo jossakin muussa koordinaatistossa, saataisiin yhtälöiden (5) - (7) mukaan tämän
koordinaatiston nopeus eetterin suhteen määritetyksi.
Michelsonin vuonna 1881 suorittamassa ja Michelsonin ja Morleyn v. 1887 uusimassa kokeessa pyrittiin määrittämään
maan ratanopeus absoluuttisen vertailujärjestelmän eli eetterin suhteen. Periaatteena oli verrata maan rataliikkeen
suunnassa ja sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa kulkevien valonsäteiden nopeuksia valon interferenssin avulla kuvan
3 osoittamaa koejärjestelyä käyttäen.
P1
.
..... .... .....
..... .. .....
............
.
...............................................
.... .. ....
..... .. .....
..... .... .....
.
S
.......................................
... ..
... ...
.... ...
................
... ...
... ...
.. ...
..
...
...
.....
1 ..... .....
...
.....
. .
.....
...
..................
.....
.
.
... ..
.
.
...
..
..
.... ... ........
...
...
◦
... ... ..........
...
...
.....
.....
...... .
.
.
.
.
........................................................................................................................................................................................................
.
.
.
..
.
..... ....................................................................................................................
.
.
.
...
.
.
.... .. ..
.....
...
..... .. ...
.
..... ... ...
...
2
.....
...
... ....
.....
.
.
.
.
.
...
.
... .. .
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
.... ........
.
.... ....
. .
..................
... ..
.. ...
.... ....
... ...
↑|
|
l
|
↓|
P
45
P2
←−−−−− l −−−−−→
T
Kuva 3: Michelsonin ja Morleyn kokeen koejärjestely ( selitys oheisessa tekstissä ).
Laboratoriossa levossa olevasta lähteestä S tuleva valosuihku jakautuu puoliläpäisevällä peilillä P kahteen osaan.
Peililtä P heijastunut valo ohjautuu peilille P1 ja peilin P läpäissyt valo peilille P2 . Peilit P1 ja P2 heijastavat valon
takaisin peiliin P , josta osa kumpaakin tietä kulkeneesta valosta tulee teleskooppiin T , missä eri suuntia kulkeneet
valonsäteet interferoivat. Odotettavissa on interferenssikuvio eri teitä kulkeneiden säteiden matkaerosta aiheutuvasta
vaihe-erosta ja (kuten oletettiin) erisuuntaisten valonsäteiden erilaisesta nopeudesta johtuen.
Tarkastellaan aluksi peilin P2 kautta kulkevaa valonsädettä ja oletetaan, että S − P − P2 on maan rataliikkeen
suunnassa. Jos maan nopeus eetterin suhteen on v, niin valonnopeus on c − v suunnassa P − P2 ja c + v suunnassa
P2 − P (yhtälöt (5) ja (6) tai kuva 2b). Edestakaiseen matkaan P − P2 − P = 2l2 valolta kuluu aika
t2 =
l2
2cl2
2l2 γ 2
l2
+
= 2
=
,
c−v c+v
c − v2
c
4
missä
γ=p
1
1 − (v/c)2
.
(8)
Peilin P1 kautta kulkevan säteen edestakaiseen matkaan P − P1 -P = 2l1 käyttämä aika saadaan yhtälöiden (7) tai
kuvan (2b) avulla:
2l1
2l1
t1 = √
=
γ.
c
c2 − v 2
| {z }
u0y
Eri reittejä kulkeneiden säteiden aikaero on
∆t = t2 − t1 =
2γ
(γl2 − l1 ),
c
mikä havaitaan laitteistossa interferenssikuviona.
Jatketaan koetta kiertämällä laitteistoa 90o siten, että peiliin P1 kulkeva säde etenee maan rataliikkeen suuntaan.
Vastaavilla laskuilla kuin edellä saadaan aikaeroksi
∆t̄ = t¯2 − t¯1 =
2γ
(l2 − γl1 ).
c
Laitteiston kiertämisen pitäisi siirtää interferenssijuovia määrällä, joka on suoraan verrannollinen aikojen ∆t ja ∆t̄
erotukseen
∆ = ∆t − ∆t̄ =
2γ
(γ − 1)(l1 + l2 ).
c
Siirtymän suuruus verrattuna interferenssijuovien etäisyyteen on
∆
2(l1 + l2 )
=
γ(γ − 1),
T
λ
missä T = λ/c on säteilyjakson kesto ja λ säteilyn aallonpituus.
S=
(9)
Pienten nopeuksien (v c) kyseessäollen kerroin γ voidaan approksimoida lausekkeella
γ=p
1
1 − v 2 /c2
=1+
1 v2
+ ...
2 c2
jolloin suureelle S saadaan
S≈
(l1 + l2 )v 2
.
λ c2
(10)
Michelson ja Morley käyttivät laitteistoa, jolle l1 + l2 ≈ 22 m. Jos käytetyn valon aallonpituus on 5.5 · 10−7 m ja
v:n oletetaan olevan maan ratanopeuden suuruusluokkaa (v ≈ 30 km/s), saadaan yhtälöstä (10) S=0.4. Näin suuri
interferenssijuovien suhteellinen siirtymä olisi varmuudella havaittu. Siirtymää ei kuitenkaan havaittu alkuperäisissä
kokeissa eikä myöhemminkään koetta uusittaessa.
Yksinkertainen tapa selittää Michelsonin ja Morleyn kokeen tulos on päätellä, että valonnopeudella on tarkasti sama
lukuarvo kaikissa koordinaatistoissa ja kaikissa suunnissa. Jos valonnopeudelle mitattu arvo ei riipu havaitsijan nopeudesta, kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat sähkömagneettisten ilmiöiden kannalta samanarvoisia. Mitään absoluuttista
lepojärjestelmää eli eetteriä ei siten olisi olemassa. Kuitenkin tällainen selitys, joka ei ole sopusoinnussa klassisten
nopeuden muunnosyhtälöiden kanssa, oli viime vuosisadan vaihteessa liian rohkea. Lukuisia yrityksiä tehtiinkin Michelsonin ja Morleyn koetuloksen ymmärtämiseksi siten, että eetterin käsite säilyisi. Seuraavassa luetellaan tärkeimmät
selitysyritykset ja niiden heikkoudet:
5
1. Maa kuljettaa eetterin mukanaan.
Tämä on selitys, jota Michelson itse ehdotti. Tähtivalon aberraatio, joka havaittiin jo 1729, osoittaa kuitenkin selityksen vääräksi. Aberraatiolla ymmärretään tähtien aseman näennäistä siirtymistä vuodenaikojen mukaan pitkin ympyränkehää, jonka näkökulma on 41”. Siirtyminen johtuu maan rataliikkeestä. Valon kulkiessa suoraan yläpuolella olevaan tähteen suunnatun l-pituisen kaukoputken läpi, siirtyy kaukoputki maan rataliikkeen suuntaan matkan s=vt=vl/c.
Jotta tähti nähtäisiin, on putkea kallistettava kulma α, jonka suuruus on noin v/c ' 10−4 radiaania. Kuuden kuukauden
kuluttua maan rataliike on vastakkaissuuntainen ja aberraation suunta siten myös vastakkainen. Kokonaisaberraatiokulma 2α = 2 · 10−4 = 41” on erinomaisen hyvin sopusoinnussa havaintojen kanssa. Valon aberraatiosta voidaan päätellä,
ettei eetteri kulje maan mukana. Mikäli se kulkisi, niin eetteri olisi levossa maan suhteen, jolloin kaukoputkea ei tarvitsisi
kallistaa eikä mitään aberraatiota myöskään havaittaisi.
p
2. Kappaleet kutistuvat liikesuunnassa tekijällä 1 − v 2 /c2 .
Lorentz kehitti kutistumisilmiön perusteella ns. elektroniteorian, joka kuitenkin johtaa eräisiin efekteihin, joita ei ole
kokeellisesti havaittu.
3. Elektromagnetismin teoria on virheellinen.
Useimmat ”korjatuista”teorioista perustuvat oletukselle, että valonnopeus on c valolähteen suhteen ja on riippumaton sen väliaineen liiketilasta, jonka läpi valo kulkee. Tällaisia teorioita kutsutaan emissioteorioiksi. Koska Michelsonin
ja Morleyn kokeessa sekä valolähde että havaitsija ovat maan lepokoordinaatistossa, niin emissioteoriat selittävät kokeen lopputuloksen automaattisesti. Emissioteoriat on kuitenkin voitu kokeellisesti kumota. Ensiksikin, Michelsonin ja
Morleyn koe on suoritettu auringonvaloa käyttäen eikä mitään interferenssijuovien siirtymistä havaittu. Toisaalta, tutkittaessa nopeiden pionien hajoamista, on syntyvän säteilyn nopeuden todettu olevan riippumaton hajoavien hiukkasten nopeudesta. Samaan johtopäätökseen valonnopeuden riippumattomuudesta valolähteen nopeudesta on tultu myös
kaksoistähtihavaintojen perusteella.
1.3
Suhteellisuusteorian peruspostulaatit
Einstein esitti v. 1905 teorian, joka selitti Michelsonin ja Morleyn kokeen tuloksen ja johti useihin uusiin myöhemmin
kokeellisesti todettuihin ilmiöihin. Tämän teorian lähtökohtana ovat seuraavat kaksi peruspostulaattia:
1) Kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat kaikkien fysiikan lakien suhteen samanarvoisia.
2) Valonnopeus on riippumaton valolähteen ja havaitsijan nopeudesta.
Ensimmäinen peruspostulaatti on klassisen suhteellisuusperiaatteen suoranainen ja välttämätön laajennus. Koska
pelkästään mekaniikan piiriin kuuluvaa koetta ei ole olemassa, ei klassisella suhteellisuusperiaatteella ole fysikaalista
sisältöä. Einstein laajensi suhteellisuusperiaatteen käsittämään kaikki fysiikan alat ja ilmiöt. Koska mitkään koetulokset eivät tukeneet absoluuttisen lepokoordinaatiston olemassaoloa, Einstein hylkäsi koko eetterikäsitteen asettamalla
kaikki inertiaalikoordinaatistot tasavertaiseen asemaan. Rajoittamalla suhteellisuusperiaate inertiaalikoordinaatistoihin, päädytään erikoiseen l. suppeampaan suhteellisuusteoriaan. Vaatimalla fysiikan lakien invarianssi myös toistensa
suhteen kiihtyvässä liikkessä olevissa koordinaatistoissa, päästään yleisempään formalismiin, ns. yleiseen suhteellisuusteoriaan. (Tässä monisteessa rajoitutaan käsittelemään yksinomaan suppeampaa suhteellisuusteoriaa, josta käytetään
nimitystä suhteellisuusteoria.)
Valonnopeuden vakioisuuden seurauksena on, että aika riippuu havaitsijan liiketilasta. Koska nopeus on aikayksikössä
kuljettu matka ja matka on käytetystä koordinaatistosta riippuva, on välttämätöntä, että myös aika on suhteellista.
Näin suhteellisuusteorian toinen peruspostulaatti ”romuttaa”Newtonin mekaniikan absoluuttisen ajan käsitteen sekä
Galilein muunnosyhtälöt.
Toinen peruspostulaatti antaa mahdollisuuden eri paikoissa ja eri liiketiloissa olevien kellojen osoittamien aikojen
keskinäiseen vertailuun. Vertailu voidaan suorittaa eri suuntiin yhtä suurella nopeudella etenevillä valosignaaleilla.
2
2.1
LORENTZIN KOORDINAATISTOMUUNNOS JA SEN VÄLITTÖMIÄ SEURAUKSIA
Lorentzin koordinaatistomuunnos
Pyrkimyksenä on suhteellisuusteorian peruspostulaattien avulla löytää muunnosyhtälöt kahden inertiaalikoordinaatiston välille. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että koordinaatistojen K ja K 0 vastinakselit ovat yhdensuuntaiset, että
6
koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t0 = 0 sekä että koordinaatiston K 0 liike tapahtuu yhteisen x- ja x0 -akselin
suunnassa (Kuva 1). Olkoot jonkin tapahtuman koordinaatit x, y, z ja t koordinaatistossa K, sekä x0 , y 0 , z 0 ja t0 koordinaatistossa K 0 . Tarkastellaan aluksi etäisyyksiä liikesuuntaan nähden kohtisuorilla suunnilla. Havaitsijoilla K ja K 0
ajatellaan olevan metrimitat, jotka on todettu yhtäpitkiksi vertaamalla niitä levossa toisiinsa ja jotka on asetettu yja y 0 -akselien suuntaisiksi. Mikäli olisi y 0 6= y, niin hetkellä, jolloin mitat ohittavat toisensa, olisi toinen niistä toista
lyhyempi. Oletetaan, että K:n mielestä K 0 :n mitta, joka liikkuu, on hänen omaansa lyhempi. Vastaavasti K 0 :n mielestä
K-koordinaatisto liikkuu ja siihen kiinnitetty mitta on lyhyempi. Koska mittojen vertailu tapahtuu samassa pisteessä
samalla ajanhetkellä (mittojen ohitushetkellä), on ainoa ratkaisu, että y 0 = y. Vastaavasti z 0 = z.
Edellä jo päättelimme, että t0 6= t. On luonnollista olettaa, että uudet paikka- ja aikakoordinaatit riippuvat alkuperäisistä paikka- ja aikakoordinaateista eli
x0 = x0 (x, t)
t0 = t0 (x, t)
(11)
Jos massapiste liikkuu K:ssa tasaisella nopeudella, niin K 0 :n tasaisesta nopeudesta K:n suhteen seuraa, että piste liikkuu tasaisella nopeudella myös K 0 :ssa. Matemaattisesti tämä vaatimus edellyttää, että munnokset (11) ovat lineaarisia.
Koska lisäksi oletimme, että koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t0 = 0, on
x 0 = A1 x + B 1 t
t0 = A2 x + B2 t,
(12)
missä kertoimet A1 , A2 , B1 ja B2 ovat vakioita.
Kertoimet A1 , A2 , B1 ja B2 voidaan määrittää seuraavista ehdoista:
1o K 0 :n nopeus K:n suhteen on v, joten
a) jos piste on levossa koordinaatistossa K 0 , niin sen nopeus K:n suhteen on v,
b) jos piste on levossa koordinaatistossa K, niin sen nopeus K 0 :n suhteen on −v.
o
2 Valonnopeus c on sama molemmissa koordinaatistoissa.
Olkoon pisteen nopeus K:ssa u =
A2 dx + B2 dt, joten
dx
dt
ja K 0 :ssa u0 =
u0 =
dx0
dt0 .
Differentioimalla yhtälöt (12) saadaan dx0 = A1 dx+B1 dt; dt0 =
A1 dx
dx0
A1 dx + B1 dt
A1 u + B 1
dt + B1
=
=
=
.
dx
0
dt
A2 dx + B2 dt
A2 u + B 2
A2 dt + B2
(13)
Ehdoista 1o seuraa
a) kun u0 = 0, u = v:
0=
A1 v + B 1
eli B1 = −A1 v ; B2 6= −A2 v
A v+B
| 2 {z 2}
A2 v+B2 6=0
b) kun u0 = −v, u = 0:
−v =
B1 + 0
eli B1 = −B2 v.
B2 + 0
joista edelleen nähdään, että B2 = A1 .
Ehdosta 2o , kun u = u0 = c, taas saadaan
c=
A1 c + B 1
A1 c − A1 v
A1 (c − v)
=
=
,
A2 c + B 2
A2 c + B2
A2 c + A1
josta A2 = − A12v . Sijoittamalla B2 = A1 ja A2 = (−A1 v)/c2 lisäehtoon B2 6= −A2 v todetaan, ettei koordinaatistojen
c
välinen nopeus v voi olla valonnopeus.
7
Sijoittamalla saadut kertoimien lausekkeet muunnosyhtälöihin (12), nämä tulevat muotoon
 0
x = A1 x − A1 v t = A1 (x − vt)


|{z}



B1
v
0
t
+
(−A
t
=
A
1 2 x) = A1 (t −
1


|{z}


| {z c }

B2
v
c2 x).
(14)
A2
Kertoimen A1 määrittämiseksi käytämme ehtoa 2o eli suhteellisuusteorian toista peruspostulaatia. Tarkastellaan
hetkellä t = t0 = 0 origosta lähtevän valon etenemistä. Valo etenee
kaikkiin suuntiin nopeudella c, joten se kulkee ajassa
p
t matkan r = ct koordinaatistossa K mitattuna. Koska r = x2 + y 2 + z 2 , on valorintaman yhtälö
x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = 0.
(15)
Koordinaatistossa K 0 valorintama etenee myös pallonpintana, koska valorintaman erilaisesta muodosta voitaisiin
muutoin päätellä K 0 :n liikkuvan,
p mikä olisi vastoin suhteellisuusperiaatetta. Nopeudella c liikkuvan valorintaman yhtälö
koordinaatistossa K 0 on r0 = x02 + y 02 + z 02 = ct0 , josta neliöimällä
x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = 0
(16)
Yhtälöistä (15) ja (16) voidaan päätellä, että
x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = α2 (x2 + t2 + z 2 − c2 t2 ),
(17)
missä α on vakio. Sijoittamalla x0 ja t0 yhtälöistä (14) ja y 0 = y, z 0 = z yhtälöön (17), saadaan termin y 2 + z 2 kertoimien
yhtälöksi
α2 = 1.
Yhtälö (17) supistuu näinollen muotoon
x02 − c2 t02 = x2 − c2 t2 ,
(18)
mikä on voimassa kaikille x :n ja t:n arvoille. Sijoitus yhtälöistä (14) yhtälöön (18) antaa sekä x2 :n että c2 t2 :n kerroinyhtälöksi
A21 (1 −
v2
) = 1,
c2
josta
A1 = ± p
1
1 − v 2 /c2
.
(19)
Vain + -merkki kelpaa, koska muuten ajan suunta vaihtuisi muunnoksissa.
Olemme näin johtaneet Lorentzin koordinaatistomuunnoksen:
 0
x − vt
x − vt

 x = √1−(v/c)2 = √1−β 2



 y0 = y
z0 = z

v


t − 2x


0
t = √ c
1−β 2
missä β = v/c.
Käänteismuunnos saadaan vaihtamalla nopeuden v etumerkki:
8
(20)

0
0

x = x√+ vt2


1−β



 y = y0
(21)
z = z0

v


t 0 + 2 x0



t = √ c 2 .
1−β
Mikäli v c, Lorentzin koordinaatistomuunnos antaa Galilein muunnoksen. Tästä johtuu, että suhteellisuusteoreettinen probleemien käsittely on yleensä välttämätöntä vain suurten nopeuksien kyseessäollen. Poikkeuksena ovat
puhtaasti relativistiset ilmiöt, joissa epärelativistisen approksimaation termi ei esiinny.
2.2
Samanaikaisuuden suhteellisuus
Olkoot kahden tapahtuman koordinaatit (x1 , t1 ) ja (x2 , t2 ) koordinaatistossa K sekä (x01 , t01 ) ja (x02 , t02 ) koordinaatistossa
K 0 . Merkitään ∆x = x2 −x1 , ∆x0 = x02 −x01 , ∆t = t2 −t1 ja ∆t0 = t02 −t01 . Tällöin yhtälöiden (21) ajan muunnosyhtälöstä
saadaan
∆t =
∆t0 + v2 ∆x0
p c
.
1 − β2
Jos eripaikkaiset tapahtumat (∆x0 6= 0) ovat samanaikaiset (∆t0 = 0) koordinaatistossa K 0 , on niiden aikaväli
koordinaatistossa K
∆t =
v∆x0
p
6= 0.
c2 1 − β 2
Näinollen eripaikkaisten tapahtumien samanaikaisuus on koordinaatistosta riippuva käsite.
2.3
Pituuden kontraktio
Tarkastellaan x-akselin suunnassa liikkuvan mittasauvan pituuden mittausta. Olkoon K 0 sauvan lepokoordinaatisto,
jossa sauvan pituus on sen lepopituus lo ja x02 − x01 = lo . Sauvan pituuden mittaamiseksi koordinaatistossa K, jonka
suhteen sauva liikkuu tasaisella x-akselin suuntaisella nopeudella v, on sauvan päiden koordinaatit luettava samalla
ajanhetkellä (∆t = 0). Olkoot lukemat x1 ja x2 . Koordinaatistossa K mitattu sauvan pituus on l = x2 −x1 . Soveltamalla
koordinaatin x0 muunnosyhtälöä (21) erikseen sauvan koordinaatteihin x1 ja x2 ja vähentämällä näin saadut yhtälöt
puolittain toisistaan, saadaan
l
l0 = p
eli
1 − β2
l = l0
p
1 − β2,
(22)
koska ∆t = t2 − t1 = 0. Lauseke (22) osoittaa, että liikkuva kappale on liikkeensä suunnassa kutistunut. Vastaavasti
liikkuva havaitsija mittaa liikkeensä suunnassa olevat välimatkat kutistuneina.
2.4
Ajan dilataatio
Verrataan kahden tapahtuman välisiä aikaeroja inertiaalikoordinaatistoissa K ja K 0 , joista K 0 on lepokoordinaatisto.
Sattukoot tapahtumat pisteessä x0 , johon pisteeseen kiinnitetty kello (samoinkuin mikä tahansa K 0 :n suhteen levossa
oleva edellisen kanssa synkronoitu kello) osoittaa tapahtumahetkien olevan t01 ja t02 . Tapahtumien välinen aika on
∆t0 = t02 − t01 . Koska koordinaatisto K 0 liikkuu K:n suhteen, eivät tapahtumat satu samassa pisteessä koordinaatistossa
K. Jotta eripaikkaisten tapahtumien ajanhetket voitaisiin määrittää, ajatellaan koordinaatiston K x-akselilla olevan
vieri vieressä havaitsijoita, joilla on keskenään synkronoidut kellot. Tapahtumien ajanhetket t1 ja t2 koordinaatistossa
K lukevat ne havaitsijat, jotka ovat pisteen x0 kohdalla tapahtumahetkillä. Yhtälön (21) mukaan on
9
t02 + v2 x0
t01 + v2 x0
ja t2 = p c
,
t1 = p c
1 − β2
1 − β2
joten tapahtumien aikaväliksi koordinaatistossa K saadaan
t0 − t01
∆t0
∆t = t2 − t1 = p2
=p
.
2
1−β
1 − β2
(23)
Lepokoordinaatistossa mitatusta ajasta t0 käytetään nimitystä ominaisaika. Kahden tapahtuman välinen ominaisaika
voidaan mitata samalla kellolla. Sen sijaan aikavälin ∆t määrittämiseen tarvitaan kaksi kelloa, koska tapahtumat ovat
eri paikkaisia koordinaatistossa K. Yhtälöstä (23) nähdään, että ominaisaikaa mittaava kello (s.o. kello, joka on paikalla
kummallakin tapahtumahetkellä) mittaa tapahtumien välille lyhimmän aikaeron ∆t0 .
Ajan dilataation kaava (23) tulkitaan usein siten, että liikkuva kello käy hitaammin kuin levossa oleva. Tämä sanonta on oikea; tällöin on vain tiedettävä, mitä tarkoitetaan liikkuvalla kellolla. Ajatellaan seuraavaa tilannetta: Kello
A kulkee levossa olevan kellon B ohi, jolloin siis A käy hitaammin kuin B. Toisaalta A:n kannalta tilannetta tarkasteltaessa B liikkuu, joten B kävisi A:ta hitaammin. Tässä on ristiriita, joka usein selvitetään sanomalla, että levossa
olevan havaitsijan mielestä liikkuva kello vain näyttää käyvän hänen omaa kelloaan hitaammin. Selityksen mukaan ajan
dilataatio olisikin vain näennäistä. Näin ei kuitenkaan ole asianlaita, vaan kysymyksessä on todella reaalinen efekti.
Mitattu aikaväli on lyhin kellon omassa lepokoordinaatistossa. Edellä olleen esimerkin näennäinen ristiriita johtuu siitä,
että vertailu suoritettiin eri intervallien kesken.
Ajan venymän lausekkeessa nopeus esiintyy neliöllisenä. Näin ollen jos K 0 :n kellot jätättävät K:n kellojen suhteen
koordinaatistosta K katsottuna, niin samalla tavoin jätättävät K:n kellot K 0 :n suhteen koordinaatistosta K 0 katsottuna.
Ajan venymistä ja pituuden kutistumista voidaan havainnollistaa kosmisen säteilyn myonien hajonnan mittauksilla.
Elektronien kaltaisia mutta niitä noin 200 kertaa raskaampia myoneja syntyy π-mesonien eli pionien hajotessa. Pioneja puolestaan syntyy ylemmissä ilmakerroksissa esim. kahden protonin törmätessä toisiinsa. Myonin keskimääräinen
elinaika on T = 2.2 ∗ 10−6 s ja myonien puoliintumisaika To = T / ln 2 ' 1.5 ∗ 10−6 s. Nämä ajat ovat myonien lepokoordinaatistossa mitattuja.
Tarkastellaan esimerkkinä maata kohti 3000 metrin korkeudessa, lo = 3000, nopeudella v = 0.99c lentävää myoniparvea. Puoliintumisajassa myonit ehtivät kulkea matkan vTo ' 445 m. Myonien lepokoordinaatistossa mitattu maan
etäisyys on
l = lo
p
1 − β 2 ' 423 m,
Koska vTo > l, ja puoliintumisajassa myonien määrä vähenee puoleen, niin yli puolet myonierästä saavuttaa maan
pinnan.
Maan koordinaatistossa mitattuna myonien puoliintumisaika on ajan dilataatiokaavan mukaan
T =p
To
1 − β2
,
ja niiden tänä aikana kulkema matka
vT ' 3158 m > lo .
Niin myonien lepokoordinaatistossa kuin maan koordinaatistossakin tehty lasku osoittaa, että yli puolet esimerkin
myoneista ehtii maanpinnalle ennen hajoamistaan.
2.5
Suhteellisuusteoreettinen nopeuden muunnos
Tarkastellaan mielivaltaista liikettä, jonka hetkellinen nopeus on u = (ux , uy , uz ) ja u0 = (u0x , u0y , u0z ) koordinaatistoissa
K ja K 0 vastaavasti. Differentioimalla koordinaattien muunnosyhtälöt (20) saadaan
10
dt − v2 dx
dx − vdt
0
0
0
dx = p
; dy = dy; dz = dz; dt = p c
,
1 − β2
1 − β2
0
joten



u0x =










 0
uy =









0

 uz =


dx0 = dx − vdt = ux − v
v
vux
dt0
dt − 2 dx
1− 2
c
qc
2
0
u
1
−
β
y
dy
=
vux
dt0
1− 2
q c
2
0
u
dz = z 1 − β
vux
dt0
1− 2
c
(24)
Käänteiset muunnosyhtälöt saadaan muuttamalla v:n etumerkki ja vaihtamalla pilkulliset ja pilkuttomat merkinnät
keskenään:



ux =







uy =








 uz =
u0x + v
1 +qvu0x /c2
u0y 1 − β 2
0
2
1+
qvux /c
(25)
u0z 1 − β 2
1 + vu0x /c2
Koska u0x on vektorin u0 projektio koordinaatistojen välisen nopeuden v suunnalla, on ensimmäinen yhtälöistä (25)
samansuuntaisten nopeuksien yhteenlaskukaava. Tästä kaavasta havaitaan, että kahden samansuuntaisen nopeuden
summa on pienempi kuin kyseisten nopeuksien algebrallinen summa. On helppo osittaa, että laskettaessa suhteellisuusteoreettisesti yhteen valonnopeuksia ja valonnopeutta pienempiä nopeuksia, ei saavuteta ylivalonnopeuksia. Mikäli
v ja u ovat molemmat valonnopeutta paljon pienempiä, yhtälöt (24) antavat approksimaationa klassilliset nopeuden
muunnoskaavat (2).
2.6
Nopeuden suuntakulman muunnos ja liikkuvan hiukkasen valoemissio
Olkoon xy-tasossa liikkuvan hiukkasen nopeusvektorin u ja x-akselin välinen kulma θ. Koordinaatistossa K 0 ovat
hiukkasen nopeusvektori ja suuntakulma u0 ja θ0 vastaavasti (Kuva 4). Nopeuden u0 komponenttien muunnosyhtälöistä
(24) saadaan

u cos θ − v
u0 cos θ0 =



1 − vuq
cos θ/c2
u sin θ 1 − β 2


 u0 sin θ0 =
.
1 − vu cos θ/c2
joista
p
sin θ 1 − β 2
tan θ =
cos θ − v/u
0
(26)
Yhtälö (26) on koordinaatistojen välisen liikkeen suuntaisessa tasossa olevan kulman suhteellisuusteoreettinen muunnos. Koordinaatistojen välistä liikesuuntaa vastaan kohtisuorassa tasossa olevat kulmat säilyvät muuttumattomina,
koska nopeuden y 0 - ja z 0 -komponenttien lausekkeet (24) ovat samanmuotoiset.
Tarkastellaan hiukan edellisestä poikkeavaa tilannetta, jossa laboratorion suhteen nopeudella v liikkuva hiukkanen
emittoi omassa lepokoordinaatistossaan K 0 valoa kulmaan θ0 . Laboratoriokoordinaatistossa K on valon lähtökulma θ
(Kuva 5). Koska valon etenemisnopeus on molemmissa koordinaatistoissa sama, on u = u0 = c.
Nopeuden y-komponentin muunnosyhtälöstä (25) saamme tällöin
11
y
..
...........
..
....
..
...
...
...
........
...
....... ..
...
....... .
.......
...
.......
.
.
.
.
...
.
.
....
...
.......
.......
...
.......
...
........
........... ......... ....... ....... ....... .......
...
...
...
...
...
...
....
.
...................................................................................................................
.
u
θ
K
x
y 0 .................
..
.
....
...
..
0
...
.........
...
..... .
...
.....
.
.
.
...
.
...
.
.
.
...
.
.
.....
...
..... 0
...
.....
..
.
........
.............................................
.......... ......... ....... ....... ....... .......
.
....
..
....
....
..
..
.
.....................................................................................................................
.
u
v
θ
K0
x0
Kuva 4: Hiukkasen nopeusvektori ja suuntakulma inertiaalikoordinaatistoissa K ja K 0 .
y
.
.............
..
....
..
...
..........
...
...........
...
........
...
........
........
...
.
.
...
.........
...
.........
.........
...
........
.
...
.
.
.
.
.
...
...
...........
........ ........ ....... ....... ....... .......
...
...
...
...
...
...
...
.
...................................................................................................................
.
u
θ
K
x
y 0 ..................
..
0 ...........
.
.... .
....
.....
...
.........
..
.
.
.
.
.
.
..
...
........
...
........
...
........
...
.......
...
........
...
.......... 0
...
...
.............
.....
........................................
....... ....... ....... ....... ....... .......
.
....
..
....
....
..
...
.
...................................................................................................................
.
u
v
θ
K0
x0
Kuva 5: Hiukkanen, jonka nopeus laboratorion suhteen on v, emittoi lepokoordinaatistossaan K 0 valoa kulmaan θ0 .
Laboratoriokoordinaatistossa K nähtynä on vastaava kulma θ, joka on pienempi kuin θ0 .
p
sin θ0 1 − β 2
sin θ =
.
1 + v cos θ0 /c
Käänteismuunnos vastaa lauseketta (26). Jos oletamme valoemission tapahtuvan hiukkasen lepokoordinaatistossa
0
samalla todennäköisyydellä kaikkiin suuntiin, niin
p puolet valosta suuntautuu kulman θ = π/2 suhteen etusuuntaan.
Tällöin laboratoriokoordinaatistossa on sin θ = 1 − β 2 ja mikäli hiukkanen liikkuu lähes valonnopeudella, on kulma
θ hyvin pieni. Näinollen laboratoriokoordinaatistossa valo ohjautuu suurella todennäköisyydellä pieneen etusuunnassa
olevaan kulmaan.
3
3.1
NELIULOTTEINEN AVARUUS-AIKAMAAILMA
Minkowskin diagrammit
Lorentzin koordinaatistomuunnoksessa avaruus- ja aikakoordinaatit liittyvät kiinteästi toisiinsa. Aika ei ole universaalista kuten Galilein muunnoksessa, vaan se riippuu havaitsijan liiketilasta. Paikka- ja aikakoordinaattien toisiinsa
niveltyminen tulee havainnollisesti esiin, kun suhteellisuusteoriaa esitetään geometrisesti avaruus-aikakoordinaatistoa
käyttäen. Avaruus-aikakoordinaatiston otti suhteellisuusteorian kuvaamiseksi ensiksi käyttöön Minkowski, jonka vuoksi
suhteellisuusteoreettisia avaruus-aikapiirroksia sanotaan Minkowskin diagrammeiksi.
Avaruus-aikamaailman elementteinä ovat tapahtumat l. maailmanpisteet. Kuvassa 6 piste O esittää tapahtumaa,
joka sattuu havaitsijan A mittaamalla ajanhetkellä t = 0 pisteessä x = 0. Kaikki havaitsijalle A sattuvat tapahtumat
kuvautuvat A0 :n aika-akselille eli viivalle OA. Tämän vuoksi viivasta OA käytetään nimitystä A:n maailmanviiva.
Jokaisen laboratorion (ja siten myös A:n) suhteen levossa olevan kappaleen maailmanviiva on OA:n suuntainen. Viiva
OB kuvaa tapahtumia, jotka sattuvat tapahtuman O kanssa samanaikaisesti laboratoriohavaitsijan mielestä.
Aikakoordinaatiksi valitaan yleensä ct pelkän t asemesta. Valonsäteen maailmanviivoja x = ±ct esittävät tällöin
koordinaattiakselien välisen kulman puolittajat. Laboratorion suhteen tasaisella nopeudella liikkuvan havaitsijan A0
maailmanviivan OA0 ja suoran OA välinen kulma on θ, jolle tanhθ = v/c. Havaitsijan A0 maailmanviiva on samalla hänen
12
.....
.
...
.....
.....
...
.........
....
.....
..
...
.....
.....
.....
..
.....
...
..
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
....
...
.....
.....
.....
...
...
.....
.....
.....
...
...
.....
....
.
.
.
..
.....
.
.
.
.
.....
....
...
....
.....
.....
.....
...
.....
...
.....
..................
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
..
.
.....
.... ... .........
.....
.. .. ....
.....
..... .... .... .........
..... .. .. .....
..... .........
.. ...
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
........ ....
............ ........
.
.
.
.
.... . . ........
.....
..... .. ..
.....
..... ... ...
.....
..... ... ...
.....
.....
.
.
.. ...
.
.
.....
.
..
....
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.....
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
...
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
...
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
...
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
...
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
...
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
...
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
....
.....
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
...
ct A
D
A’
C
θ
B
O
x
Kuva 6: Havaitsijoiden A ja A’ maailmanviivat OA ja OA’ sekä valonsäteiden maailmanviivat OC ja OD A:n lepokoor
dinaatistossa. A:n ja A’:n maailmanviivat leikkaavat toisensa origossa ja niiden välinen kulma on θ = arctanh vc ,
missä v on havaitsijoiden välinen suhteellinen nopeus.
ominaisaika-akselinsa kerrottuna valonnopeudella. Kiihtyvässä liikkeessä olevan havaitsijan (kappaleen) maailmanviiva
on käyrä.
Havainnollistetaan Minkowskin maailman käsitteitä yksinkertaisella esimerkillä. Olkoon A avaruusasemalla oleva
havaitsija, joka näkee samanaikaisesti häntä vastakkaisilta suunnilta lähestyvät avaruusalukset B ja C matkojen sb
ja sc päässä. Alukset liikkuvat tasaisilla nopeuksilla vB ja vC . Alus B ohittaa havaitsijan ennen alusta C. Kuvassa
7 tapahtumaketju on kuvattu avaruus-aikakoordinaatistossa A:n, B:n ja C:n maailmanviivojen avulla. Aluksi B ja C
ovat matkojen sB ja sC päässä A:sta (1). A ja B kohtaavat maailmanviivojensa leikkauspisteessä (2). B ja C kohtaavat
toisensa (3) ja lopulta A ja C kohtaavat (4).
ct
.........
...
...
.........
.....
........
........
....
...
..
..
...
...
...
...
...
...
.
.
...
.
.
.
...
..
...
...
....
...
...
...
...
... ....
...
...
... ..
...
... ..
.
...
.
... ...
..
...
.....
...
...
...
.....
...
...
... ....
...
. ...
.
...
.
.
.
...
.... ...... .....
......
...
...
...
...
.....
. ..... .....
...
.
...
...
.... .....
...
...
...
.......
...
..
...
...
......
.
...
.
...
.. ...
.
...
...
.
...
.. ...
.
...
.
...
.. ...
.
...
...
.
.
..
...
.
.
...
.
.
...
..
..
.
...
.
.
...
.
..
.
.
...
...
.
.
..
...
..
.
...
.
.
...
.
..
.
.
...
.
.
.
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
A
C
B
4
3
2
1
...........
x
sB ...........←−− sC −−→
Kuva 7: Minkowskin diagramma tapahtumaketjusta, jossa vastakkaisilta suunnilta tulevat avaruusalukset B ja C ohittavat
havaitsijan A tapahtumapisteissä 2 ja 3 sekä kohtaavat toisensa pisteessä 3.
Toisena esimerkkinä graafisesta esityksestä tarkastellaan samanaikaisuuden suhteellisuutta. Olkoot A, B ja C tasavälein toisistaan olevia avaruusasemia, jotka ovat levossa koordinaatistossa K. Niiden maailmanviivat ovat ct-askelin
suuntaisia suoria (kuva 8a). Asemalta B lähetetään hetkellä t = 0 valosignaalit x-akselin positiiviseen ja negatiiviseen
suuntaan. Signaalit saapuvat asemille A ja C maailmanpisteissä A1 ja C1 . Yhdysjana A1 C1 on x-akselin suuntainen,
joten signaalit saapuvat samaan aikaan asemille A ja C eli tapahtumat A1 ja C1 ovat samanaikaiset koordinaatistossa
K.
Oletetaan sitten, että asemat A, B ja C ovat levossa koordinaatistossa K 0 , joka liikkuu tasaisella nopeudella v
koordinaatiston K suhteen x-akselin positiiviseen suuntaan (kuva 8b). Pisteestä (xB , 0) lähteneet valosignaalit saapuvat
asemille A ja C pisteissä A01 ja C10 . Asemien A,B ja C maailmaviivat A01 , B10 ja C10 ovat vinossa ct-akseliin nähden,
joten yhdysjana A01 C10 ei ole x-akselin suuntainen eivätkä tapahtuvat A01 ja C10 ole samaaikaisia koordinaatistossa K.
Signaali saapuu aikaisemmin asemalle A kuin asemalle C, koska K-koordinaatistosta nähtynä A liikkuu signaalia kohti
ja C signaalista poistaan.
K 0 -koordinaatiston x’-akseli on suora t0 = 0 ja ct0 -akseli on suora x0 =0. Lorentzin muunnosyhtälöiden
13
x0 = γ(x − vt)
t0 = γ(x − cv2 x)
mukaan näiden K 0 :n koordinaattiakselien yhtälöt koordinaatistossa K ovat
x0 − akseli
:
ct0 − akseli
v
x eli ct = βx
c2
t=
:
x = vt eli x = βct
Kordinaatiston K 0 -akselit on esitetty kuvassa 7b. Kuvasta todetaan, että A01 C10 - jana on x0 -akselin suuntavinen, joten
signaalin saapumishetket ovat samat koordinaatistossa K 0 .
ct ................
.
....
...
..
...
..
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
...
...
.
.
..
..
...
...
.
.
..
..
...
...
.
.
..
..
...
...
.
.
..
..
...
...
.
.
..
..
...
...
.
.
..
..
...
...
.
.
..
..
...
...
.
.
..
..
...
..
.
.
..
..... 1
...
.
.
.
.
1............
..
.. .......
...
.
.
... ...
.
..
.. .......
.
.
...
.
.
.
.....
.... ...
...
....
....
.....
.....
.....
...
.....
....
...
...
.....
.....
...
...
...
...
.....
.....
.
.
.
.
.
...
.
.
...
.
.
.....
...
.
.
.
.
..
.
.
...
.
.
...
.
.
.....
.
...
.
.
..
.
.
.
...
.
...
.
.
.
..... .. ....
..
.
.
.
...
.
..
.
.
.
..
.
.................................................................................................................................................................................................
....
A
B
A
xA
ct ................
C
.
0
0
0
0
....
...
..
.
...
.
.
.
.
..........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
...
.
.
.
.
...
0 ....
...
...
...
...
...
...
...
1 ....
...
...
...
...
..................
.
.
.
.
..
..
..
.
...
.
.
.
.
.
.
.
........... ............
...
...
...
...
...........
.. .
...
... .............
...
...
..... ..
...
............
...
... 0
..... ....
...............
.
.
.
.....
.
..
..
.
...
.
.
........
.
..
.
.
.
.
......
1
.....
.
.
.
.
.
.
..
..
.
.
.
.
.
.
...
.
... ................
.
.
.
.
.
0
.
......
...............
.....
...
...
...
... ...........
.... .......................
.
..
...........
.
.
... ....
.
.
.
................
.
.
.
.
..
.. ........
.
.
... ...
.
.
.
.
......
.....
... ...
...
............................
...
.....
..
.....
... ...
...........
...
...
.. .............. .... .........
..
... ...
...
..
. ......
..................
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
... ...
.
.
.
.
.
..... .. .....
.....
..... .. .....
...
...... ........................
... ....
..
.. .... .
.
............................................................................................................................................................................................................
.
xC
A
B
C
C
A
C
xB
ct
x
x
xB
8a
x
8b
Kuva 8: Minkowskin kuvaus koejärjestelylle, jolla havainto-asemien A ja C puolivälissä sijaitsevalta asemalta B
lähetettyjen valosignaalien avulla määritetään samanaikaisuus asemilla A ja C a) asemien lepokoordinaatistossa K ja
b) koordinaatistossa K’, joka siihen kiinnitettyjen havaintoasemien tavoin liikkuu K-koordinaatiston suhteen positiivisen
x-akselin suuntaisella tasaisella nopeudella.
3.2
Hyperbolinen koordinaatiston kierto ja viivaelementti
Koordinaattien x ja ct Lorentz-muunnosten
x0 = ax − bct
ct0 = act − bx
kertoimet a = γ = (1 − β 2 )−1/2 ja b = βγ toteuttavat yhtälön
a2 − b2 = 1.
Koska sama yhtälö on voimassa myös hyperbolisille funktioille cosh ϕ ja sinh ϕ, niin Lorentzin muunnokset voidaan
kirjoittaa muotoon
0
x = x cosh ϕ − ct sinh ϕ
(27)
ct0 = ct cosh ϕ − x sinh ϕ,
jolloin


 cosh ϕ = γ = √ 1
1−β 2
β

 sinh ϕ = βγ = √
(28)
1−β 2
Yhtälöt (27) muistuttavat koordinaatiston kiertokaavoja
0
x = x cos α + y sin α
y 0 = y cos α − x sin α,
14
(29)
missä koordinaatistoa on kierretty z-akselin ympäri vastapäivään.
Yhtälöt (27) poikkeavat yhtälöistä (29) siten, että tavallisten trigonometristen funktioiden tilalla ovat hyperboliset funktiot sekä yhden etumerkin osalta. Joka tapauksessa yhtälöiden yhdenkaltaisuus on ilmeinen. Yhtälöiden (27)
esittämää muunnosta sanotaan hyperboliseksi kierroksi.Muunnoksen tuottama x0 − ct0 -koordinaatisto on vinokulmainen, kun se esitetään x − ct - tasossa (kuva 8b).
Funktiot, jotka säilyvät invariantteina trigonometrisessa ja hyperbolisessa
koordinaatiston kierrossa, poikkeavat oleelp
lisella tavalla toisistaan. Muunnoksessa (27) kahden pisteen etäisyys x2 + y 2 on säilyvä suure. Lorentz-muunnoksen
johto perustui suureen
s2 = −x2 − y 2 − z 2 + c2 t2
(30)
invarianssiin,
joten kaksidimensioisessa hyperbolisessa kierrossa (29) on taas
√
−x2 + c2 t2 säilyvä suure. Avaruuden- ja ajanlaatuisten termien etumerkit ovat vastakkaiset hyperbolisessa kierrossa
invarianttina säilyvässä suureessa. Etumerkkiero on seuraus valonnopeuden invarianssista.
Kahden tapahtumapisteen, (x1 , y1 , z1 , ct1 ) ja (x2 , y2 , z2 , ct2 ) välimatka ∆s määritellään neliulotteisessa Lorentzkoordinaatistossa yhtälöllä
∆s2
= −(x1 − x2 )2 − (y1 − y2 )2 − (z1 − z2 )2 + c2 (t1 − t2 )2
= −∆r · ∆r + c2 (∆t)2 .
(31)
Mikäli tapahtumapisteiden välimatka on differentiaalinen, niin
ds2
=
−dx2 − dy 2 − dz 2 + c2 dt2
=
−dr 2 + c2 dt2
(32)
Suure ds on viivaelementti ja se säilyy invarianttina Lorentzin koordinaatistomuunnoksessa.
Lausekkeesta (31) nähdään, että kahden tapahtuman välimatkan neliö voi olla positiivinen, nolla tai negatiivinen.
Erikoisesti valonsäteelle on ∆s2 = 0, josta syystä valonsäteen maailmanviivoja kutsutaan nollaviivoiksi.
Tapahtumaparit voidaan luokitella invariantin välimatkan avulla seuraavasti:
a)
∆s2 > 0 eli
∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 < c2 ∆t2
- ajanlaatuinen
b)
∆s2 = 0 eli
∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 = c2 ∆t2
- valonlaatuinen
c)
∆s2 < 0 eli
∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 > c2 ∆t2
- paikanlaatuinen
Vastaavasti puhutaan ajan-, valon- ja paikanlaatuisesta vektorista sen mukaan, onko sen neliö suurempi, yhtäsuuri vai
pienempi kuin nolla. Tehty jako on valitusta inertiaalijärjestelmästä riippumaton lausekkeen (31) invarianssista johtuen.
Tutkiaksemme, voidaanko tapauksissa a) - c) siirtää informaatiota tapahtumapisteestä
toiseen, laskemme informaap
tion siirtoon tarvittavan signaalin nopeuden. Merkitsemällä ∆r =
∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 ja muistamalla, että valon
tyhjiönopeus on suurin mahdollinen informaation siirtonopeus, todetaan eri tapauksissa a) - c):
a)
| ∆r
∆t | < c
- tapahtumat voidaan yhdistää signaalilla
b)
| ∆r
∆t | = c
- tapahtumat voidaan yhdistää vain valon
tyhjiönopeudella etenevällä signaalilla
c)
| ∆r
∆t | > c
- tapahtumia ei voida yhdistää signaalilla
Mikäli kaksi tapahtumaa ovat syy- ja seuraussuhteessa keskenään, niin kyseisen riippuvuuden välittää jokin signaali.
Edellä olevan mukaan ei paikanlaatuisen tapahtumaparin tapahtumista voi niinollen toinen olla toisen syy. Ajan ja
valonlaatuisilla tapahtumapareilla on aikajärjestys yksikäsitteinen. Paikanlaatuisten tapahtumien aikajärjestys riippuu
koordinaatiston valinnasta.
Havainnollistetaan edellä esitettyä x − ct-koordinaatistossa. Oletetaan, että hetkellä t = 0 sattuu paikassa x = 0 tapahtuma P , jonka maailmanpiste on siten koordinaatiston origo. Tapahtumaparin toinen tapahtuma Q on tapauksissa
a) joko ylös- tai alaspäin aukeavassa sektorissa, b) suorilla x = ±ct ja c) joko vasemmalle tai oikealle avautuvassa sektorissa. Jos tapahtuman Q maailmanpiste on ylöspäin avautuvassa sektorissa, on tapahtuma Q ehdottomasti myöhäisempi
15
kuin tapahtuma P . Sen vuoksi sanotaan, että ylöspäin aukeava sektori muodostaa origon tapahtuman ehdottoman tulevaisuuden. Vastaavasti alaspäin aukeava sektori muodostaa ehdottoman menneisyyden. Mikäli maailmanpiste Q on
oikealle tai vasemmalle aukeavissa sektoreissa, ei tapahtumien P ja Q aikajärjestys ole yksikäsitteinen, jonka vuoksi
sivuille aukeavien sektoreiden sanotaan muodostavan origon tapahtuman epämääräisyysalueen. Neliulotteisessa koordinaatistossa vastaavat edellä mainittuja sektoreita 3-ulotteiset kartiot.
.....
....
...
.....
........
.....
.....
.....
.....
.....
....
.....
....
.
.
.
.....
...
.
....
.....
...
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
...
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
....
....
.....
...
.....
.....
.....
...
.....
.....
.
.
.....
.
.
.
.
.....
....
....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
..... ....
....
..... .. ........
..... .. .....
.. . ..
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. .
..... ... .......
.
.
.
.... .... .........
.
.
.
.....
...
.
.
.
.....
....
.
..
.....
...
.....
.....
.....
...
.....
.....
.
.
.
.....
.
.
.
.
...
.....
.
.
.
.
.
.
.....
.
....
.
.
.
.....
.
.
.
...
.....
.
.
.
.
.
.
.....
.
...
.
.
.
.
.
.....
.
.
...
.
.
.....
.
.
.
.
.
.....
...
.
.
.
.
.
.
.....
.
...
.
.
.
.....
.
.
.
.
.....
....
.
.
.
.
.
.....
.
...
.
.
.
.
.....
.
.
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
.
....
.....
...
x = −ct
epämääräisyysalue
ct
ehdoton
tulevaisuus
P
x = ct
epämääräisyysalue
x
ehdoton
menneisyys
Kuva 9: Origon tapahtuman ehdottoman tulevaisuuden, ehdottoman menneisyyden ja epämääräisyyden alueet ovat
ylöspäin, alspäin ja sivulle avautuvat sektorit.
3.3
Kaksosparadoksi
Suhteellisuusteoreettiseen aikakäsitteeseen liittyy läheisesti usein väärinymmärretty kaksos- eli kelloparadoksi. Kaksosista A ja B pääsee B suurella nopeudella liikkuvalla aluksella pitkälle avaruusmatkalle. Olettakaamme, että alus
liikkuu tasaisella nopeudella alku-, käännös- ja loppuvaiheen kiihdytysvälejä lukuunottamatta. Ajan dilataatiokaavan
(23) mukaan B:n kello käy menomatkalla A:n mielestä hänen omaa kelloaan hitaammin. Suhteellisuusperiaatteen mukaan voimme päätellä edelleen, että B:n kellon tavoin myös B:n sydämenlyönnit, ajatukset ja kaikki elintoiminnot
hidastuvat A:n näkemänä. Henkilö B ei kuitenkaan huomaa tapahtumien tempossa mitään epätavallista. Mikäli hän
huomaisi, hän voisi siitä päätellä liikkuvansa suurella nopeudella, mikä suhteellisuusperiaatteen mukaan on mahdotonta havaita. Koska nopeus esiintyy aikadilataatiokaavassa neliöterminä, B:n kello käy myös paluumatkalla A:n kelloa
hitaammin. Näinollen B:n palattua matkalta hän on kaksoisveljeään (-sisartaan) nuorempi. Mikäli aluksen nopeus olisi
lähellä valonnopeutta, henkilöiden ikäero olisi todella huomattava.
Tarkastellaan samaa tilannetta alukseen kiinnitetystä B:n koordinaatistosta. Tällöin maapallo ja sen pinnalla oleva
B:n kaksosveli (-sisar) näyttävät tekevän avaruusmatkan. Koska liikkuvan koordinaatiston aika käy lepokoordinaatiston
aikaa hitaammin, A olisi B:n mielestä häntä nuorempi matkan jälkeen. Ainoa ratkaisu näinollen olisi, että A ja B olisivat
samanikäiset. Tämä päättely on kuitenkin virheellinen.
Piirrämme kuvatusta tilanteesta avaruusaikadiagrammin. A:n maailmanviiva on minimaalisia poikkeamia lukuunottamatta maapallon ominaisaika-akselin suuntainen suora. B:n maailmanviiva koostuu avaruusmatkan tapahtumien osalta
kahdesta approksimoidusta suorasta B1 ja B2 , joista B1 vastaa meno- ja B2 paluumatkaa. Suhteellisuusperiaate asettaa inertiaalihavaitsijat tasavertaiseen asemaan. A on inertiaalihavaitsija, mutta B, jonka idealisoitukin maailmanviiva
koostuu kahdesta suorasta, ei ole. Voimme ajatella havaitsijan B korvatuksi kahdella inertiaalihavaitsijalla, joista B1
poistuu maasta ja B2 lähestyy maata tasaisella nopeudella. Havaitsijat A ja B1 sekä A ja B2 ovat samanarvoisia.
Sensijaan A ja B eivät ole samassa asemassa, koska B2 liikkuu B1 :n suhteen.
Koska ajan dilataatiokaava johdettiin suppeampaan suhteellisuusteoriaan rajoittuen, ei B voi käyttää kyseistä kaavaa
johtopäätösten tekoon, koska hän ei ole inertiaalihavaitsija. Paitsi A:n koordinaatistoa voidaan tilanteen tarkasteluun
käyttää myös inertiaalihavaitsijoiden B1 tai B2 koordinaatistoa, jolloin päädytään samaan lopputulokseen kuin A:n (=
maan) lepokoordinaatistossa.
Henkilö B tietää olleensa avaruusmatkalla maailmanviivaansa maan lepokoordinaatistoon piirtämättäkin. Hän tuntee kiihdytysten ja jarrutusten aiheuttamat fysikaaliset efektit, kun taas A:n ”inertiaalielo”ei häiriinny B:n startista,
käännöksestä tai loppujarrutuksesta. Liikkeellä oleva henkilö vanhenee levossa olevaa hitaammin, joten aika riippuu
kuljetusta reitistä matkan tavoin.
16
ct
..
....
........
...
...
....
......
...
..
......
...
... ....
...
... ....
.
...
... ....
..
...
... ....
...
...
...
...
...
.
.
...
.
.
...
1
...
...
....
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
.
...
.
..
...
...
....
... ...
...
...
... .
...
.....
...
.
....
...
.
.
...
... .
....
...
... ....
...
.
...
...
...
.
...
...
...
.
.
..
...
...
....
.
..
...
.
.
...
..
..
...
..
.
.
.
.
..
...
.
.
.
...
2
...
.... ....
..
. ..
...
.
.
...
.... ....
. ..
...
.
...
........
...
.....
...
...
...
..
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
B
A
B
B
x
Kuva 10: Kaksosparadoksi. Maanpinnalla olevan henkilön A maailmanviiva on ct-akselin suuntainen suora. Avaruusmatkan tekevän henkilön B maailmanviiva voidaan esittää approksimoiden kahtena suorana, joista B1 yhdistää menomatkan ja B2 paluumatkan tapahtumapisteet. Tilanne on epäsymmetrinen. A on inertiaalihavaitsija mutta B ei ole.
4
KINEMAATTISIA SUUREITA
Tässä ja seuraavissa luvuissa käytettävät 4-vektorit on esitetty liitteessä 1. Nelivektoreita tarvitaan fysiikan lakien
kirjoittamiseksi lorentzkovarianttiin muotoon eli siten, että ne ovat samanmuotoisia kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.
Inertiaalikoordinaatistosta toiseen siirrytään Lorentzin muunnoksella, jossa 4-vektorit ja niiden skalaaritulot säilyvät
muuttumattomina, kun taas vektoreiden komponentit muuttuvat kaavojen (L13) mukaan. Eri koordinaatistoissa ovat
myös eri kantavektorit.
4.1
Paikkavektori ja ominaisaika
Maailmanpisteen aseman koordinaatiston origon suhteen ilmaisee 4-paikkavektori S, jonka komponentit ovat (x, y, z, ct).
Neliulotteisella paikkavektorilla S on siis kolmiulotteisen vastineensa r lisäksi ct-suuruinen komponentti ajan suunnalla;
S = r + ctê4 ,
(33)
missä ê4 on aika-akselin suuntainen yksikkövektori. Vektorin S pituuden neliö on määritelmän mukaan
S2 = S · S
=
−r 2 + c2 t2
=
−(x2 + y 2 + z 2 ) + c2 t2 ,
(34)
mikä voi olla positiivinen, nolla tai negatiivinen. Differentiaalisen 4-paikkavektorin
dS = dr + cdtê4
(35)
neliötä
dS 2 = dS · dS
=
−dr 2 + c2 dt2
=
−(dx2 + dy 2 + dz 2 ) + c2 dt2
(36)
sanotaan viivaelementin neliöksi.
Hiukkasen ominaisaika on hiukkasen mukana liikkuvan standardikellon mittaama aika. Esim. radioaktiivisten ydinten
hajoaminen seuraa omainaisaikaa. Samoin elimistömme mittaa ominaisaikaa, joskaan se ei sovellu standardikelloksi.
Ominaisaikaintervalli dto on yksinkertaisessa yhteydessä viivaelementtiin. Tämä yhteys havaitaan helposti lausumalla
invariantti viivaelementti kappaleen lepokoordinaatistossa, jossa
p
ds = c2 dt2o − dx2o − dyo2 − dzo2 .
17
Kappaleen lepokoordinaatistossa on dxo = dyo = dzo = 0, joten
ds
.
c
dto = dτ =
(37)
Yhtälöstä (37) voimme todeta yksinkertaisesti ajan dilataatiokaavan (23), sillä
ds
dτ =
=
c
r
p
c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2
u2
= dt 1 − 2 ,
c
c
(38)
missä u2 = (dx2 + dy 2 + dz 2 )/dt2 . Integroimalla yhtälö (38) puolittain havaitaan, että kahden tapahtuman välinen
ominaisaika on tapahtumien välinen maailmanviivan pituus jaettuna valonnopeudella. Mikäli tapahtumien aikaväli
lasketaan koordinaatistossa K, johon liittyy aika t, niin
Z t2 r
u2
τ2 − τ1 =
(39)
1 − 2 dt.
c
t1
Jos u = vakio, on
τ2 − τ1 =
p
1 − u2 /c2 (t2 − t1 ),
missä t1 ja t2 ovat tapahtumahetket koordinaatistossa K.
Kaava (39) on nykyisten koetuloksien rajoissa voimassa myös kiihtyvän liikkeen tapauksessa eli kun u = u(t). Esim.
eräässä CERN:issä tehdyssä kokeessa myonien keskimääräisen elinajan todettiin olevan kiihtyvyydestä riippumaton
kiihtyvyyden ollessa 1019 kertaa maanvetovoimakiihtyvyys. Kokeen tarkkuus oli noin yksi prosentti.
Yhtälöstä (37) nähdään, että kahden tapahtuman välinen ominaisaika on suoraan verrannollinen kyseisten tapahtumapisteiden välisen maailmanviivan pituuteen. Samoinkuin jokaisella havaitsijalla on oma maailmanviivansa, on hänellä
myös oma ominaisaikansa. Luvun 3.3. kuvassa 9 on esitetty kaksoisparadoksin kaksosten A ja B maailmanviivat. B:n
maailmanviiva näyttää A:n maailmanviivaa pitemmältä. Kuitenkin A:n maailmanviiva on pisin kaikista A:n ja B:n
maailmanviivojen leikkauspisteitä yhdistävistä viivoista. Tämä johtuu siitä, että paikkakomponentit antavat pituuden
neliön lausekkeeseen negatiivisen lisän. Näin ollen ∆sA > ∆sB eli myös ∆τA > ∆τB , joten matkan tehnyt henkilö on
kaksostaan nuorempi.
4.2
Nelinopeus ja nelikiihtyvyys
Kappaleen nopeuden neliulotteinen vastine, nelinopeus, määritellään paikkavektorin S ominaisaikaderivaattana,
U=
dS
.
dτ
(40)
Nelinopeuden U ja kolminopeuden u välinen yhteys saadaan yhtälöistä (33) ja (38) ,
U
=
=
dS
1
=q
dτ
1−
γ(u)(
u2
c2
d(r + ctê4 )
dt
dr
+ cê4 ) = γ(u)(u + cê4 ),
dt
(41)
missä
γ(u) = q
1
1−
.
(42)
u2
c2
Nelinopeuden avaruusosa U ja aikaosa U 4 ovat siis kolminopeus u ja valonnopeus c kerrottuina γ(u)-tekijällä,
U = γ(u)u,
U 4 = γ(u)c
Vektoriin U suunta on maailmanviivan tangentin suunta ja sen pituus on valonnopeus,
18
(43)
= −U · U + U 4 U 4 = −[γ(u)]2 u2 + [γ(u)]2 c2
c2 − u2
2
=
2 = c .
1 − uc2
U ·U
(44)
Lorentzin koordinaatistomuunnoksen johto luvussa II.1. perustuu 4-paikkavektorin neliön invarianssivaatimukseen.
Koska jokaisen nelivektorin neliö säilyy Lorentzin muunnoksessa invarianttina, muuttuvat minkä tahansa nelivektorin
komponentit 4-paikkavektorin vastaavien komponenttien tavoin. Nelinopeuden komponenttien muunnosyhtälöt ovat siis
U 01
=
γ(U 1 − βU 4 ), U 02 = U 2 , U 03 = U 3 ,
U 04
=
γ(U 4 − βU 1 )
(45)
Yhtälöt (45) voidaan toki johtaa sijoittamalla kolminopeuden muunnosyhtälöt (24) nelinopeuden U 0 = γ(u0 )(u0 +cê04 )
komponentteihin, mutta tulos tiedetään johtamattakin, kiitos 4-vektoriesityksen.
Nelikiihtyvyys määritellään nelinopeuden ominaisaikaderivaattana
A=
dU
.
dτ
(46)
Nelikiihtyvyyden A yhteys kolmikiihtyvyyteen a on vastaavaa nelinopeudelle kirjoitettua yhtälöä (41)monimutkaisempi. Kappaleen hetkellisessä lepokoordinaatistossa, jossa u = 0, 4-kiihtyvyyden avaruusosa A on kolmikiihtyvyys a
ja aikakomponentti on nolla.
Vektoreiden U ja A määritelmiä ja yhtälöä U · U = c2 hyväksikäyttäen todetaan, että 4-nopeus ja 4-kiihtyvyys ovat
toisiaan vastaan kohtisuorassa.
U ·A
=
5
1 dU
dU
dU
= (
·U +U ·
)
dτ
2 dτ
dτ
1 d(U · U )
1 dc2
=
= 0.
2
dτ
2 dτ
= U·
(47)
RELATIVISTISTA DYNAMIIKKAA
5.1
Lepomassa ja liikemassa
Tarkastellaan kahden identtisen hiukkasen (lepomassa m0 ) täysin epäelastista törmäystä. Koordinaatistossa K 0 hiukkaset liikkuvat ennen törmäystä vastakkaissuuntaisilla yhtäsuurilla nopeuksilla u0 toisiaan kohti ja muodostavat
törmäyshetkellä levossa olevan hiukkasen (Kuva 11a). Koordinaatistossa K, jossa toinen hiukkasista on ennen törmäystä
levossa, törmäyksen jälkeisen hiukkasen (lepomassa M0 ) nopeus on u0 (Kuva 11b).
Jotta energian ja liikemäärän säilymislait olisivat voimassa, täytyy hiukkasen massan riippua nopeudesta. Merkitään
törmäävän hiukkasen massaa m0 = m(u0 ) ja m = m(u) koordinaatistoissa K 0 ja K sekä M0 -lepomassaisen hiukkasen
massaa M = M (u) koordinaatistossa K.
Eliminoimalla massa M liikemäärän ja massan säilymislaeista
mu = M u0
(48)
m + m0 = M
(49)
m
u0
=
.
m0
u − u0
(50)
saadaan
19
0
−u
.
a)
u0
•...................................................
m0
b)
u
•...............................................................................
m
•
m0
•
M0
•
m0
u0
•...................................................
M
...................................................
Kuva 11: Kahden identtisen hiukkasen täysin epäelastinen törmäys a) massakeskuskoordinaatistossa, b) toisen
törmäävän hiukkasen lepokoordinaatistossa.
Sijoittamalla koordinaatistojen välinen nopeus v = u0 nopeuksien yhteenlaskukaavaan (25) saadaan törmäävän hiukkasen nopeudeksi koordinaatistossa K
u=
2u0
u0 + v
=
,
1 + vu0 /c2
1 + u02 /c2
(51)
josta
u02 − 2c2 u0 /u + c2 = 0.
Tämän yhtälön ratkaisut ovat
u0 =
c2 (+) p
1 − 1 − u2 /c2 .
u
(52)
Vain − merkki kelpaa, sillä pienten nopeuksien tapauksessa, u c, massa on nopeudesta riippumaton jolloin u0 →
u/2. Näin ollen
u − u0
!
u2
1− 1− 2
c
!
r
c2 u2
u2
=
−1+ 1− 2
u c2
c
!
r
r
c2
u2
u2
=
1− 2 1− 1− 2
u
c
c
r
u2
=
1 − 2 u0 .
c
r
c2
= u−
u
(53)
Sijoitus yhtälöistä (52) ja (53) yhtälöön (50) antaa
m= p
m0
1 − u2 /c2
= γ(u)m0 .
(54)
Kaavan (54) mukaan hiukkasen massa on suurempi liikkeessä kuin levossa. Suuretta m0 nimitetään lepomassaksi ja
suuretta m liikemassaksi.
Vaikka kaava (54) johdettiin yksinkertaisessa erikoistapauksessa, on tulos yleispätevä. Suhteellisuusteoreettinen massan kasvu on verifioitu kokeellisesti suurella tarkkuudella esimerkiksi tutkimalla elektronien ratoja magneettikentässä.
Massan kasvu nopeuden funktiona on helppo ymmärtää. Suhteellisuusteoriassa valon tyhjiönopeus on rajanopeus,
jota mikään hiukkanen (jonka lepomassa on reaalinen ja eri suuri kuin nolla) ei voi saavuttaa.
Klassillinen fysiikka ei taas tunne mitään rajaa hiukkasten nopeuksille. Kun voima vaikuttaa kappaleeseen, se kasvattaa
d(mu)
dynamiikan peruslain f =
mukaan liikemäärää. Nopeuksien ehdottoman ”kattorajasta”u = c johtuen suurella
dt
nopeudella liikkuvan kappaleen lisäkiihdytys vaikeutuu ja voiman vaikutus ohjautuu suurelta osin massan kasvuun.
20
5.2
Suhteellisuusteoreettinen dynamiikan perusyhtälö
Pyrimme lausumaan massapisteen liikeyhtälön kovariantissa muodossa neliulotteisessa Minkowskin avaruudessa.
Yhtälössä voi esiintyä vain nelidimensioisia suureita ja skalaareja. Koska Newtonin mekaniikka pitää suurella tarkkuudella paikkansa pienillä nopeuksilla liikkuviin kappaleisiin sovellettuna, on relativistisen liikeyhtälön annettava rajatapauksena klassinen liikeyhtälö.
Newtonin dynamiikan toisen peruslain mukaan
d
(mu).
(55)
dt
missä f on kappaleeseen vaikuttava ulkoinen voima, u kappaleen nopeus ja m massa. Tunnemme ennestään 3dimensioisen nopeuden u vastineen nelinopeuden U . Koordinaatistosta riippuvan ajan t sijasta voimme käyttää invarianttia ominaisaikaa τ . Massan m korvaamme lepomassalla m0 , joka on jokaiselle kappaleeelle yksikäsitteisesti
määritelty skalaarisuure. Voiman f tilalle on otettava käyttöön vastaava neliuloitteinen suure, nelivoima, jota merkitsemme F . Näin toimien Newtonin dynamiikan liikelaki (55) yleistyy suhteellisuusteoreettisen dynamiikan perusyhtälöksi
f=
F =
d
(m0 U ).
dτ
(56)
Käyttämällä hyväksi yhtälöitä (43) saadaan 4-voiman avaruus- ja aikaosalle lausekkeet





F







F4





 = d (m0 γ(u)u)
= d  q m0 u
dτ
dτ
2 2
1 − u /c


(57)
 = d (m0 γ(u)c)
= d  q m0 c
dτ
dτ
1 − u2 /c2
missä nelivektorin F kolmen avaruudenlaatuisen komponentin muodostamaa vektoria on merkitty F . Kerromme yhtälöt
(57) puolittain tekijällä
p
dτ
= 1 − u2 /c2 = 1/γ(u),
dt
(58)
jolloin saamme
F /γ(u) =
d
d
(m0 γ(u)u) ; F 4 /γ(u) = (m0 γ(u)c).
dt
dt
(59)
Vertaamalla keskenään yhtälöitä (55) ja (59) sekä ottamalla huomioon yhtälö (54), todetaan, että
F = γ(u)f .
(60)
Nelivoiman F aikakomponentti liikemassan avulla lausuttuna on
F4 =
5.3
d
dm
(mc) = cγ(u)
.
dτ
dt
(61)
Lepomassan vakioisuus
Liikeyhtälö (56) sisältää neljä komponenttiyhtälöä. Lisäksi yhtälö (44) on ratkaisuja rajoittavana lisäehtona. Mikäli
nelivoiman F kaikki komponentit tunnetaan, voidaan näistä viidestä yhtälöstä ratkaista hiukkasen lepomassa m0 ja
koordinaatit x,y,z ja ct. Koska lepomassa saadaan liikeyhtälöistä, se ei välttämättä ole ominaisajan suhteen vakio.
Etsitään ehto sille, että dm0 /dτ = 0.
Kerrotaan yhtälön (56) molemmat puolet skalaarisesti nelinopeudella U :
F ·U =(
dm0
dU
dm0
dU
U + m0
)·U =
U · U + m0 U ·
.
dτ
dτ
dτ
dτ
21
Ottamalla huomioon yhtälöt (44) ja (51) saadaan
dm0
1
= 2 F · U.
dτ
c
(62)
Näinollen hiukkasen lepomassa pysyy vakiona, jos nelivoima on kohtisuorassa hiukkasen maailmanviivaa vastaan
(F · U = 0). (Kuten aikaisemmin on esitetty, on nelinopeusvektori maailmanviivan tangentin suuntainen.) Tämä kohtisuoruusehto on yleensä toteutettu ja vastaavasti m0 on vakio.
5.4
Massan ja energian ekvivalenssi
Rajoitutaan tarkastelu tavanomaiseen tilanteeseen, jossa kappaleen tai hiukkasen lepomassa on vakio. Tällöin yhtälön
(62) mukaan
F · U = −F · U + F 4 U 4 = 0.
(63)
Sijoittamalla yhtälöistä (43), (60) ja (61) yhtälöön (63) saadaan
0
= −F · γ(u)u + F 4 γ(u)c
= −γ(u)f · γ(u)u + γ(u)c
dm
γ(u)c,
dt
josta
d(mc2 )
= f · u.
dt
(64)
Vektoreiden f ja u skalaaritulo on esitettävissä muodossa
dr dr
f · u = |f | |u| cos α = fu |u| = fu = fu ,
dt
dt
missä α on vektoreiden f ja u välinen kulma ja fu on voiman projektio liikkeen suunnalla.
Kun hiukkanen siirtyy vakiovoiman f vaikutuksesta matkan dr, niin tehty työ on f · dr = fu dr. Toisaalta hiukkasen
siirtämiseksi tehty työ on sama kuin hiukkasen saama energialisä dE,
f · u = fu
dE
dr
=
dt
dt
(65)
Yhtälöiden (64) ja (65) perusteella
d(mc2 )
dE
=
dt
dt
(66)
eli integroituna E = mc2 + vakio. Olettaen Einsteinin tavoin, että integrointivakio on nolla, päädytään tulokseen
E = mc2 = p
m0 c2
1 − u2 /c2
.
(67)
Tämä Einsteinin kuuluisa massan ja energian ekvivalenssikaava ilmaisee hiukkasen energian, lepomassan ja vauhdin
välisen yhteyden. Yhtälöstä voidaan päätellä, ettei mitään massallista hiukkasta voida kiihdyttää valonnopeuteen.
Hiukkasen lepoenergiaa merkitään E0 . Koska lepokoordinaatistossa u = 0 ja γ(u) = 1, niin
E0 = m0 c2 .
22
(68)
Mihin tahansa energiaan Q liittyy massa Q/c2 , johon gravitaatio vaikuttaa. Kokonaisenergian E ja lepoenergian E0
erotus on kineettinen energia
T = E − E0 = (γ(u) − 1)m0 c2 .
(69)
Hiukkasen nopeuden ollessa paljon valonnopeutta pienempi, kineettiselle energialle saadaan binomikehitelmänä likimääräisyyslauseke
2
1u
u4
T =
+ 4 + ... m0 c2 ,
(70)
2 c2
c
jonka ensimmäinen termi on klassinen kineettinen energia 12 m0 u2 . Suurilla hiukkaskiihdyttimillä ja hiukkastörmäyttimillä hiukkaset kiihdytetään lähelle valonnopeutta, jolloin lepoenergia on vähäinen osa kokoenergiaa.
Esimerkin massan ja energian ekvivalenssista tarjoaa atomiytimen sidosenergia ja vastaava massakato.
Stabiilissa atomiytimessä vaikuttaa sen rakenneosasten, protonien ja neutronien, välillä ydintä koossapitäviä voimia.
Protonin tai neutronin poistamiseksi ytimestä on tehtävä työtä sidosenergian voittamiseksi. Massan ja energian ekvivalenssin perusteella on odotettavissa, että sidosenergiaa vastaa massakato. Toisin sanoen ytimen massan tulee olla
pienempi kuin sen yksityisten rakenneosasten massojen summa. Tämä on myös kokeellinen tosiasia.
Massakato ∆m saadaan yhtälöstä
∆m = Zmp + (A − Z)mn + Zme − MZ,A ,
(71)
missä mp on protonin, mn neutronin ja me elektronin massa ja MZ,A on Z protonia ja A − Z neutronia sisältävän
atomiytimen massa. Vastaava sidosenergia saadaan kertomalla yhtälö (71) puolittain valon nopeuden neliöllä. 1
Ydin- ja alkeishiukkasfysiikassa käytetään energian yksikkönä usein elektronivolttia (eV). Elektronivoltti on energia,
jonka elektroni (varauksen itseisarvo |e| = 1.60 · 10−19 C) saa, kun sitä kiihdytetään yhden voltin suuruisen potentiaalieron läpi. Harjoitustehtävien laskemisessa tarvittavia numeerisia arvoja ja eri energiayksiköiden välisiä suhdelukuja
annetaan liitteissä 2 ja 3.
5.5
Neliliikemäärä
Määrittelemme hiukkasen neliliikemäärä P siten, että sen avaruuskomponentit muodostavat kolmiulotteisen impulssivektorin p = mu, missä m on liikemassa. Tällöin
P = m0 U = m0 γ(u)(u + cê4 ) = m(u + cê4 ) = P +
E
ê4 .
c
(72)
Neliliikemäärän komponentit ovat
 1
P


 2
P
P3


 4
P
= m0 γ(u)ux = px
= m0 γ(u)uy = py
= m0 γ(u)uz = pz
= m0 γ(u)c = Ec
(73)
Koska kahden nelivektorin skalaaritulo on invariantti, on
P ·P
= −(P 1 )2 − (P 2 )2 − (P 3 )2 + (P 4 )2
E2
E2
= −p2x − p2y − p2z + 2 = −p2 + 2 = vakio.
c
c
(74)
Kun p = 0, niin E = E0 = m0 c2 , joten vakion arvo on m20 c2 . Sijoittamalla tämä arvo yhtälöön (74) saadaan hiukkasen
energian, liikemäärän ja lepomassan välille usein tarvittava yhtälö
E 2 = p2 c2 + m20 c4 .
(75)
1 Tyypillinen sidosenergia on 8 MeV/nukleoni. Elektronien sidosenergiat ovat 10 - 100 eV, joten niiden vaikutus massakatoon on häviävän
pieni.
23
Jos hiukkasen massa ja liikemäärä tunnetaan, sen kineettinen energia on
p
T = E − E0 = c p2 + m0 c2 − m0 c2 .
(76)
Kappaleen nopeuden, liikemäärän ja kokonaisenergian välillä on yksinkertainen yhtälö
Eu = c2 p.
(77)
Liikelaki (56) tulee yksinkertaiseen muotoon neliliikemäärän avulla lausuttuna. Yhtälöistä (56) ja (66) saamme
d
P,
(78)
dτ
mikä on yhtälön f = dp/dt luonnollinen lorentzkovariantti yleistys. Mikäli hiukkaseen ei vaikuta voimaa (F = 0) on
dP/dτ = 0 eli neliliikemäärä on vakio.
F =
Yhtälö (78) voidaan yleistää myös useiden hiukkasten muodostamalle systeemille, jolloin
X
Fi =
i
X d
Pi ,
dτ
i
(79)
missä Fi on hiukkaseen
P i systeemin ulkopuolelta vaikuttava nelivoima ja Ji hiukkasen i neliliikemäärä. Eristetyn systeemin tapauksessa ( Fi = 0) yhtälö (79) johtaa neliliikemäärän säilymiseen
X
Pi = vakio.
(80)
i
Säilymislaki (80) sisältää lineaarisen liikemäärän ja energian säilymislait. Lait ovat voimassa kaikissa törmäys- ja
hajontaprosesseissa. Jos hiukkassysteemi koostuu aluksi n:stä hiukkasesta, joiden neliliikemäärät ovat Pi (i = 1, 2, ..., n)
ja muodostaa keskinäisten sirontojen ja hajoamisten jälkeen m:n hiukkasen systeemin, joiden neliliikemäärät ovat Pj0 (j =
1, 2, ..., m), niin
n
X
Pi =
i=1
m
X
Pj0
(81)
j=1
Hajotettuna komponenttimuotoon yhtälö (81) sisältää yhtälöt

p + p2x + ... + pnx = p01x + p02x + ... + p0mx

 1x

 p1y + p2y + ... + pny = p01y + p02y + ... + p0my
p1z + p2z + ... + pnz = p01z + p02z + ... + p0mz


0
0
0

 E1 + E2 + ... + En = E1 + E2 + ... + Em .
(82)
0
missä esim. p2y = m2 u2y on hiukkasen kaksi liikemäärän y-komponentti ennen sirontaa ja Em
on hiukkasen m kokonaisenergia sironnan jälkeen. Nelivektoreiden välisenä yhtälönä yhtälö (81) pitää paikkansa missä tahansa inertiaalikoordinaatistossa.
5.6
Einsteinin fotoniteoria
Valo on sähkömagneettista säteilyä. Säteilykvantin, fotonin lepomassa on nolla. Lepomassattomalle hiukkaselle pätee
yhtälön (75) mukaan
E = pc
(83)
Sijoittamalla tähän yhtälöön E = mc2 ja p = mu todetaan, että lepomassattoman hiukkasen nopeus on valonnopeus
eli u = c. Kääntäen voidaan sanoa, että valonnopeudella liikkuva hiukkanen kuten fotoni, on massaton.
Hiukkaseen, jolle m0 6= 0, voidaan aina ajatella liitetyksi sen mukana liikkuva havaitsija. Näin ei voida menetellä
massattoman hiukkasen tapauksessa. Massattoman hiukkasen liikemäärä ja energia ovat erisuuret eri liiketiloissa olevien
havaitsijoiden mittaamina, mutta sen nopeus on sama, u = E/p = c, kaikissa koordinaatistoissa.
24
Planckin esittämän kaavan mukaan fotonin energian E ja taajuuden ν välillä on yhteys
E = hν,
(84)
missä h = 6.626 · 10−34 Js on Planckin vakio.
Liikemäärä p lausutaan usein aallonpituuden λ avulla. Aallonpituus on kahden vierekkäisen samassa vaiheessa olevan
aallonkohdan esim. aallonharjan välinen etäisyys ja valolle λ = c/ν. Yhtälöistä (82) ja (84) seuraa
p=
6
hν
h
= .
c
λ
(85)
SÄILYMISLAKIEN SOVELLUTUKSIA HIUKKASKINEMATIIKKAAN
Neliliikemäärän säilymislain avulla voidaan hiukkasreaktion, eli hiukkasen hajonnan tai hiukkasten sironnan, alkutilasta
lähtien määrittää lopputilahiukkasten liiketilaa. Hajonnassa yksi hiukkanen muuttuu kahdeksi tai useammaksi uudeksi
hiukkaseksi. Tyypillisen sironnan alkutilassa on kaksi hiukkasta ja lopputilassa kaksi tai useampia hiukkasia. Hiukkasten
vuorovaikutus rajoittuu yleensä pienelle alueelle, jolloin alku- ja lopputilan hiukkaset voidan olettaa vapaiksi. Elastisessa sironnassa alku- ja lopputilan hiukkaset ovat samat. Epäelastisessa sironnassa taas alku- ja lopputilassa on eri
hiukkaskoostumus.
6.1
Dopplerin ilmiö
Compton tutki röntkensäteiden sirontaa ohuesta metallikalvosta. Klassisen sähkömagnetismin mukaan säteilyn taajuuden tulisi pysyä muuttumattomana sironnassa. Koe osoitti taajuuden pienenevän. Compton selitti ilmiön säteilyn
kvanttiteorian avulla: Säteilykvantin sirotessa elektronista elektroni kokee iskun ja fotoni menettää energiansa, jolloin
sen taajuus pienenee.
Valoaalloilla esiintyy ääniaaltojen tavoin Dopplerin ilmiö, jonka mukaan havaitun valon frekvenssi riippuu valolähteen
liikkeestä. Olkoot K ja K 0 havaitsijan ja valolähteen lepokoordinaatistot (kuva 12). Liikkukoon lähde nopeudella v koordinaatiston K x-akselin suuntaan. Valolähde, joka on levossa K 0 :n origossa, lähettää fotonin hetkellä, jolloin koordinaatistojen origot yhtyvät. Olkoon θ näkösäteen ja x-akselin välinen kulma koordinaatistossa K. Tällöin yhtälöiden (84)
ja (85) mukaan on
E = hν
px = hν
c cos θ
y
...
.........
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.......
...
.......
.......
...
.......
.
.
.
.
...
.
.
.......
...
......
...
.......
.......
...
.......
.
.
.
.
...
.
.
......
...
.......
...
.......
.......
...
.......
.
.
.
.
...
.
.
.....
...
.......
.. ..............
..............................................................................................................................................................
p
θ
K
x
...
.........
....
...
...
...
...
...
...
...
...
.
....
...
.... 0
...
....
....
..
....
...............................................................
.
.
.
.
....
....
....
..
....
....
....
....
.
.
...
.
.
....
...
....
...
....
....
....
....
.
.
..
.
.
....
...
....
...
....
... ...........
... ...... ...
... 0
......
............................................................................................................................................................
y0
p
v
θ
x0
K’
Kuva 12: Koordinaatistossa K’ levossa oleva valolähde lähettää valonsäteen suunnassa θ’ olevaa havaitsijaa kohden hetkellä, jolloin valolähteen ja havaitsijan lepokoordinaatistojen origot yhtyvät. Koordinaatistossa K valonsäteen lähtökulma
on θ.
Soveltamalla Lorentzin muunnosta valonnopeudella kerrottuun neliliikemäärän aikakomponenttiin
E 0 = γ(E − vpx )
saadaan fotonin energiaksi koordinaatistossa K 0
25
(86)
hν 0 = γ(hν − hβν cos θ),
josta
(1 − β cos θ) ν = ν 0
p
1 − β2
eli
p
ν0 1 − β2
ν=
.
1 − β cos θ
(87)
Tämä kaava ilmaisee, miten säteilyn taajuus muuttuu lepotaajuuden ν 0 suhteen Lorentzin muunnoksessa.
Jos valolähde lähestyy suoraan havaitsijaa kohti, on θ = 0, joten
ν=
ν0
p
1 − β2
=
1−β
s
1−β 0
ν
1+β
(88)
ja ν > ν 0 . Suoraan havaitsijasta poispäin loittonevalle lähteelle θ = π ja
ν=
ν0
s
p
1 − β2
1−β 0
=
ν,
1+β
1+β
(89)
jolloin ν < ν 0 . Lähestyvän lähteen säteilyn taajuus kasvaa ja aallonpituus lyhenee (sinisiirtymä), kun taas loittonevan
lähteen säteily mitataan punasiirtyneenä. Mikäli valolähde ohittaa havaitsijan näkökentän kohtisuorassa suunnassa, on
θ = π2 eli cos θ = 0. Tällöin havaittu frekvenssi poikkeaa valolähteen lepofrekvenssistä yhtälön
ν = ν0
p
1 − β2
(90)
mukaan.
p
Dopplerin ilmiötä kuvaava lauseke (87) poikkeaa vastaavasta klassisesta kaavasta tekijän 1 − β 2 = 1 − 12 β 2 + · · ·
osalta. Yleisenä piirteenä suhteellisuusteorian antamille korjauksille on se, että ne sisältävät β:n toisia tai korkeampia
potensseja.
6.2
Comptonin sironta
Compton tutki röntkensäteiden sirontaa ohuesta metallikalvosta. Klassisen sähkömagnetismin mukaan säteilyn taajuuden tulisi pysyä muuttumattomana sironnassa. Koe osoitti taajuuden pienenevän. Compton selitti ilmiön säteilyn
kvanttiteorian avulla: Säteilykvantin sirotessa elektronista elektroni kokee iskun ja fotoni menettää energiansa, jolloin
sen taajuus pienenee.
Olkoon elektroni (lepomassa m0 ) levossa ennen sirontaa. Merkitään fotonin sirontakulmaa θ, fotonin frekvenssia
ennen sirontaa ν ja sironnan jälkeen ν 0 sekä elektronin nopeutta sironnan jälkeen u (kuva 13). Elektronin ja fotonien
liikemäärävektorit p, k ja k0 , ovat

k = |k| = hν

c

0
k 0 = |k0 | = hνc

 p = |p| = mu =
qm0 u
2
1− u
c2
(91)
Energia ja liikemäärä säilyvät sirontaprosessissa (vrt. yhtälöt (82)):
hν + m0 c2 = hν 0 + mc2
k = k0 + p.
(92)
Impulssinp
säilymislaki voidaan esittää liikemäärävektoreiden muodostaman kolmion avulla (kuva 14). Sijoittamalla
mc2 = E = p2 c2 + m20 c4 sekä merkinnät (91) ensimmäiseen yhtälöistä (92) ja lausumalla p2 vektorikolmiosta, saadaan
26
p
...........
............
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.........
.........
.........
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.........
.........
.........
...........
...................................................................................................................................................................................................................................................................... .......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..........
.....
..
.
0 ......................
.........
.........
.........
0 ...........
........
............
k=
hν
c
m
k
φ
•
x
θ
k
k0 =
hν 0
c
0
Kuva 13: Comptonin sironta. Fotoni, jonka impulssi on hνc . siroaa levossa olevasta elektronista (massa m0 ) kulmaan
0
θ ja sen sironnan jälkeinen impulssi on hνc . Elektronin impulssi ja suuntakulma sironnan jälkeen ovat p ja φ .
p
k − k 0 + m0 c = p2 + m20 c2
p2 = k 2 + k 02 − 2kk 0 cos θ,
Jälkimmäisen lausekkeen sijoitus edellisen yhtälön oikealle puolelle ja saadun yhtälön neliöinti antavat
(k − k 0 + m0 c)2 = k 2 + k 02 − 2kk 0 cos θ + m20 c2 .
(93)
p
.....
...............
....... . .........
......
.........
.......
......
.
.
.
.
.........
.
.
..
.......
........
......
.
.
.
.
.
........
....
.
.
.
.
.
.
.........
.....
.
0
.
.
.
.
....
.
.........
.
.
.
.
.
.....
.
.
.........
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.......
........
.......
......
.........
.......
.........
......
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
..........
.
.....
... .......
.......
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
k
θ
k
Kuva 14: Comptonin sirontaan liittyvä impulssin säilymislaki vektorikolmitulona esitettynä. k = k0 + p .
Suorittamalla yhtälön (93) vasemmalla puolella neliöönkorotus saadaan sievennyksen jälkeen
m0 c(k − k 0 ) = kk 0 (1 − cos θ),
josta tekijällä kk 0 jakaen ja yhtälöitä (91) hyväksikäyttäen saadaan
1
1
h
− =
(1 − cos θ).
ν0
ν
m0 c2
(94)
Koska ν1 = λc , yhtälö (94) antaa Comptonin sironnassa tapahtuvalle fotonin aallonpituuden muutokselle ∆λ = λ0 − λ
lausekkeen
∆λ =
Suure λ0 =
h
m0 c
h
(1 − cos θ).
m0 c
(95)
= 2.4 · 10−12 m on n.s. elektronin Comptonin aallonpituus.
Yhtälöstä (95) nähdään, että aallonpituuden muutos on suurin, kun θ = π, jolloin fotoni siroaa alkuperäisen liikesuunnan kanssa vastakkaiseen suuntaan. Tällöin
λmax =
27
2h
.
m0 c
(96)
Mikäli θ = 0, ei aallonpituus muutu.
Saadaksemme harjaannusta nelivektorialgebraan, johdamme vielä lausekkeen (94) neliliikemääriä hyväksikäyttäen. Merkitään elektronin ja fotonin neliliikemääriä ennen sirontaa P ja K sekä sironnan jälkeen P 0 ja K 0 .
Elektronin sironnan jälkeinen liiketila ei Comptonin sironnassa kiinnosta ja muut neliliikemäärät ovat
P = (0, m0 c), K = (k, k), K 0 = (k0 , k 0 ),
(97)
K + P = K 0 + P 0,
(98)
P 02 = P 0 · P 0 = (P + K − K 0 )2 = P 2 + K 2 + K 02 + 2(P · K − P · K 0 − K · K 0 ).
(99)
missä m0 on elektronin lepomassa.
Neliliikemäärä säilyy,
joten
Elektronille P 2 = P 02 = m20 c2 , fotonille K 2 = K 02 = 0 ja muut nelivektoreiden skalaaritulot ovat
P · (K − K 0 ) = −0 · (k − k0 ) + m0 c(k − k 0 ) = m0 c(k − k 0 )
K · K 0 = −k · k0 + kk 0 = kk 0 (1 − cos θ)
(100)
Sijoituksella yhtälöistä (99) yhtälöön (98) saadaan
0 = m0 c(k − k 0 ) − kk 0 (1 − cos θ).
(101)
Jakamalla tekijällä kk 0 ja ottamalla huomioon liikemäärän ja taajuuden välinen yhteys k = hν/c saadaan Comptonin
sironnassa tapahtuvalle taajuuden muutokselle kaava (94) ja aallonpituuden muutokselle kaava (95).
6.3
Hiukkasen hajonta
Hiukkasen hajotessa tytärhiukkasiksi, sen energia ja liikemäärä säilyvät. Hajontaa on yksinkertaisinta käsitellä massakeskuskoordinaatistossa, jossa hajoavan M0 -lepomassaisen hiukkasen neliliikemäärä on
0 = (0, M0 c)
(102)
Merkitään tytärhiukkasen i neliliikemäärää Pi , jos hiukkasella on lepomassa mi 6= 0, ja Ki jos hiukkanen i on
massaton. Tällöin
Pi2 = m2i c2
(103)
Ki = (Ei /c, Ei /c)
(104)
Ki2 = 0
(105)
missä Ei on lepomassattoman hiukkasen energia.
Esim.1 Hajonta kahdeksi fotoniksi
Neliliikemäärän säilymisyhtälöstä
P = K1 + K2
(106)
(P − K1 )2 = K22 ,
(107)
saadaan
josta yhtälöitä (105) ja (112) hyväksikäyttäen
P 2 − 2P · K1 = M02 c2 − 2M0 cE1 /c = 0
(108)
Ratkaisu E1 = 21 M0 c2 , E2 = M0 c2 − E1 = E1 , jossa vastakkaisiin suuntiin etenevät fotonit jakavat tasan
emohiukkasen energian, oli odotettavissa.
28
Esim.2 Hajonta massalliseksi (lepomassa m1 ) ja massattomaksi (energia E2 ) hiukkaseksi
Neliliikemäärän säilymisyhtälöstä
P = P1 + K2 eli P − K2 = P1
(109)
(P − K2 )2 = P 2 − 2P · K2 = P12 ,
(110)
M02 c2 − 2M0 cE2 /c = m21 c2
(111)
saadaan neliöönkorottamisella
josta
eli
E2 =
M02 − m21 2
c .
2M0
(112)
Esimerkiksi kaavin K + (M0 = 494 MeV) hajotessa myoniksi µ+ (m1 = 106 MeV) ja lepomassattomaksi
neutriinoksi ν, neutriinon energia K + :n leposysteemissä on kaavasta (116) laskettuna 236 MeV.
Esim.3 Hajonta kahdeksi hiukkaseksi, joiden lepomassat ovat m1 ja m2 .
Edellisiä esimerkkejä vastaavat laskun vaiheet:
P = P1 + P2
(113)
(P − P1 )2 = P 2 + P12 − 2P · P1 = P22
(114)
M02 c2 + m21 c2 − 2M0 cE1 /c = m22 c2
(115)
Tytärhiukkasten energiat hajoavan hiukkasen lepokoordinaatistossa ovat
E1 =
M02 + m21 − m22 2
M 2 − m21 + m22 2
c ; E2 = M0 c2 − E1 = 0
c
2M0
2M0
(116)
Syntyneiden hiukkasten liikemäärät ovat samat ja liikesuunnat vastakkaiset. Yhtälöistä (75) ja (117) saadaan
p
p1 = p2 =
(M02 − m21 − m22 )2 − 4m21 m22
c
2M0
(117)
Tytärhiukkasten energiat ja liikemäärät laboratoriokoordinaatistossa saadaan määritetyksi Lorentzin muunnosten avulla.
6.4
Elastinen sironta
Suurissa hiukkaskiihdyttimissä korkeisiin energioihin kiihdytetyt hiukkaset ohjataan törmäämään laboratorion suhteen
levossa olevan kohteen samamassaisiin hiukkasiin. Yksinkertaisin vuorovaikutus pommittavan hiukkasen ja kohdehiukkasen välillä on elastinen sironta, jota käsittelemme tässä luvussa.
Kuva 15 esittää sirontaprosessia laboratoriokoordinaatistossa. Hiukkanen, jonka lepomassa on m0 ja neliliikemäärä Pa ,
törmää samamassaiseen stationaariseen hiukkaseen, jonka neliliikemäärä on Pb . Törmäävä hiukkanen siroaa kulmaan θ
ja sen neliliikemäärä törmäyksen jälkeen on Pc . Alunperin levossa oleva hiukkanen lähtee kulmaan φ neliliikemäärällä
Pd . Sironta tapahtuu xy-tasossa, ja hiukkanen a liikkuu ennen törmäystä x-akselin suuntaan. Yhtälöistä (73) ja (75)
sekä oheisesta kuvasta saadaan hiukkasten a, b, c ja d neliliikemäärille seuraavat komponenttiesitykset:
29
.........
......
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
....
.
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
....
.....
.....
0......................
.
...
a
...........
......................................................................................................
.......... .......... ....... ....... ....... .......
.....
..... ....
.
.
.........
b
0
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.......
.........
•
m
J
m
J
•
Jc
θ
ϕ
Jd
Kuva 15: Samamassaisten hiukkasten a ja b elastinen sironta laboratoriokoordinaatistossa, jossa hiukkanen b on ennen
törmäystä levossa. Hiukkasten neli-impulssit ovat ennen sirontaa Ja ja Jb sekä sironnan jälkeen Jc ja Jd . Sirontakulmat
ovat θ ja ϕ .

P = (pa , 0, Ea /c)

 a
Pb = (0, 0, E0 /c)

 Pc = (pc cos θ, pc sin θ, Ec /c)
Pd = (pd cos φ, −pd sin φ, Ed /c),
(118)
p
missä pi = Ei2 − E02 /c ja Ei ovat hiukkasen i liikemäärä ja energia vastaavasti ja E0 = m0 c2 on kunkin hiukkasen
lepoenergia. Vektorien komponentit on lueteltu järjestyksessä (x, y, ct).
Sirontaprobleema voitaisiin käsitellä suoraan laboratoriokoordinaatistossa ratkaisemalla neliliikemäärän säilymislaista
Pa + Pb = Pc + Pd
(119)
saatava kolmen komponenttiyhtälön ryhmä. Kuitenkin tällainen käsittely on työlästä neliöjuurilausekkeista ja kahden
kulman trigonometrisista funktioista johtuen. Yksinkertaisempaa on käsitellä probleemaa ensin massakeskuskoordinaatistossa. Massakeskuskoordinaatisto määritellään koordinaatistona, jossa hiukkassysteemin liikemäärä on nolla. Jos
hiukkasten liikemäärät ennen törmäystä ovat pa∗ ja pb∗ , on siis
pa∗ + pb∗ = 0.
(120)
Koska hiukkasilla on lisäksi yhtäsuuret lepomassat, ne liikkuvat yhtäsuurilla mutta vastakkaissuuntaisilla nopeuksilla
toisiaan kohden. Yhtäsuurista massoista ja liikemääristä johtuen ovat myös hiukkasten energiat yhtälön (75) mukaan
yhtäsuuret (Ea∗ ). Massakeskuskoordinaatisto ja laboratoriokoordinaatisto liikkuvat toistensa suhteen x-akselin suuntaisella nopeudella. Koska laboratoriokoordinaatistossa on pa y = pb y = 0, on Lorentzin muunnosyhtälöiden mukaan myös
pa y∗ = pb y∗ = 0. Yhtälö (120) supistuu tällöin muotoon pa x∗ = −pb x∗ , josta yhtälöä (75) käyttäen
pa x∗
=
−pb x∗
1
=
c
q
Ea∗2 − m20 c4 = p∗a .
Impulssin ja energian säilymisestä johtuen hiukkaset liikkuvat sironnan jälkeen toisistaan poispäin yhtä suurilla nopeuksilla ja energioilla (kuva 16). Hiukkasten neliliikemäärille massakeskuskoordinaatistossa saadaan seuraavat komponenttiesitykset:
 ∗
P

 a∗
Pb
∗

 Pc∗
Pd
= (p∗a , 0, Ea∗/c)
= (−p∗a , 0, Ea∗/c)
= (p∗a cos θ∗ , p∗a sin θ∗ , Ea∗/c)
= (−p∗a cos θ∗ , −p∗a sin θ∗ , Ea∗/c),
(121)
Probleema on ratkaistu massakeskuskoordinaatistossa. Tulokset on kuitenkin lausuttava vielä laboratoriokoordinaatistossa, jossa mittaukset suoritetaan. Siirtyminen voidaan tehdä joko Lorentzin muunnosten tai nelivektorien tulojen
invarianssiominaisuuksien avulla; käytämme jälkimmäistä menetelmää.
Lausuaksemme hiukkasen a massakeskusenergian Ea∗ sen laboratorioenergian Ea avulla muodostamme tulon
30
.........
......
∗
.....
.....
b
.....
.
.
.
.
...
.
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
....
.....
......
∗
.........
........ .... ∗
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
.
.
..
................................................................................................................... ....... ..............................................................................................................
...
..........
........
∗
.......
.
.
.
.
c
.....
....
.
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
...
.....
∗ ...........
d ...................
J
•
J
θ
•
J
J
Kuva 16: Samamassaisten hiukkasten a ja b elastinen sironta massakeskuskoordinaatistossa esitettynä. Hiukkasten neliimpulssit massakeskuskoordinaatistossa ennen sirontaa ovat Ja∗ ja Jb∗ sekä sironnan jälkeen Jc∗ ja Jd∗ . Sirontakulma on
θ∗ .
Pa · Pb = Pa∗ · Pb∗
eli
−Pax Pbx − Pay Pby + Pact Pbct = −Pa∗ x Pb∗ x − Pa∗ y Pb∗ y + Pa∗ ct Pb∗ ct .
Sijoittamalla komponenttien arvot yhtälöistä (118) ja (121) saadaan
1
mo Ea = 2 Ea∗2 − E02 +
c
Ea∗
c
2
,
josta
r
E0 (Ea + E0 )
.
(122)
2
Massakeskuskoordinaatistossa on Ea∗ = Eb∗ = Ec∗ = Ed∗ . Sironnan jälkeisen hiukkasen c laboratorioenergia saadaan
invarianssiyhtälöstä
Ea∗
=
c2 Pb · Pc = c2 Pb∗ · Pc∗ ,
joka komponenttimuodossa yhtälöitä (118) ja (121) hyväksikäyttäen antaa
E0 Ec = (Ea∗2 − E02 ) cos θ∗ + Ea∗2 .
Väkentämällä yhtälön molemmille puolille termi −E02 ja sijoittamalla Ea∗ yhtälöstä (123) saadaan
E0 (Ec − E0 )
=
=
(Ea∗2 − E02 )(1 + cos θ∗ )
m0 (Ea − m0 c2 )
(1 + cos θ∗ ),
2
josta
Ec = E0 + (Ea − E0 ) cos2
Yhtälöstä
c2 Pb · Pd = c2 Pb∗ · Pd∗
saadaan vastaavasti
31
θ∗
.
2
(123)
θ∗
2
Ed − Eb = (Ea − E0 ) sin2
(124)
Yhtälöistä (123) ja (124) todetaan, että ammushiukkasen a kineettinen energia jakautuu sironnan jälkeisten hiukkasten c ja d kineettisiksi energioiksi osuuksilla cos2 (θ∗/2) ja sin2 (θ∗/2) vastaavasti.
6.5
Hiukkasreaktion kynnysenergia
Kahden hiukkasen keskinäisessä sironnassa voi syntyä uusia hiukkasia, jos törmäys energia on riittävän korkea. Uusien
hiukkasten syntyyn tarvittava kynnysenergia on helpointa laskea massakeskuskoordinaatistossa. Määritetään aluksi
protoni-antiprotoniparin syntymiseen vaadittava energia. Törmäytettäessä vetyatomin ydistä eli protonia toiseen levossa
olevaan protoniin.
Antiprotoni (p̄) on protonin lepomassan omaava hiukkanen, jonka varaus on protonin varauksen suuruinen, mutta
vastakkaismerkkinen. Protoni-antiprotoniparin syntyprosessi voidaan esittää reaktioyhtälönä
p + p → p + p + (p + p̄).
Pienin energia, joka vaaditaan p − p̄-parin syntymiseen riittää hiukkasten lepoenergiaan, muttei liike-energiaan, joten
prosessin jälkeinen neljän hiukkasen systeemi on massakeskuskoordinaatiston suhteen levossa. Jos protonin lepomassa
merkitään m0 , ovat systemin kokonaisenergia ja -liikemäärä siis
∗
Ekok
= 4m0 c2
ja
p∗kok = 0.
(125)
Massakeskuskoordinaatistossa ja laboratoriokoordinaatistossa lausuttujen kokonaisenergioiden välille voidaan johtaa
yhteys yhtälön (75) invarianssin perusteella. Jos pommittavan protonin ja kohdeprotonin energiat ovat E1 ja E2 sekä
liikemäärät p1 ja p2 , on
(E1 + E2 )2 − (p1 + p2 )2 c2 = (E1∗ + E2∗ )2 − (p∗1 + p∗2 )2 c2 ,
(126)
missä yhtälön oikealla puolella olevat suureet on lausuttu massakeskuskoordinaatistossa. Massakeskuskoordinaatiston
määritelmän mukaan on p∗1 + p∗2 = 0. Koska kohdehiukkanen on laboratorion suhteen levossa, on p2 = 0 ja E2 = E0 .
Yhtälö (120) supistuu näinollen muotoon
E12 + E02 + 2E0 E1 − p21 c2 = (E1∗ + E2∗ )2 .
Koska E12 − p21 c2 = E02 ja E1∗ + E2∗ = E ∗ , saadaan
2E0 E1 + 2E02 = E ∗2 ,
josta
E∗ =
p
2E0 (E1 + E0 ).
(127)
Yhtälöistä (125) ja (127)
4E0 =
p
2E0 (E1 + E0 )
josta kysytylle kynnysenergialle E1 saadaan arvo
E1 = 7E0 .
(128)
Pelkästään energian säilymisen kannalta riittäisi että ammusprotonin energia olisi lepoenergiaan verrattuna kolminkertainen, mutta koska liikemäärän on myös säilyttävä, tarvitaan energia seitsemänkertaisena.
Käsitellään pp̄-parin tuottokynnystä vielä 4-vektoreiden avulla. Reaktion alkutilassa olevien ammusprotonin ja kohdeprotonin kokonaisneliliikemäärä laboratoriokoordinaatistossa on
Pkok =
p1 ,
E1 + E0
c
32
.
(129)
Tämän pituuden neliöksi kerrottuna c2 -tekijällä saadaan
c2 Pkok · Pkok
= −p21 c2 + (E1 + E0 )2
= −E12 + E02 + E12 + 2E1 E0 + E02
=
2E02 + 2E1 E0 .
(130)
Reaktion lopputilan, kolmen protonin ja yhden antiprotonin, energia on pienin mahdollinen, jos kaikki neljä hiukkasta
ovat massakoordinaatistossa levossa. Tällöin niiden kokonaisneliliikemäärä on
∗
Pkok
= (0, 4E0 /c),
(131)
∗
∗
c2 Pkok
· Pkok
= 16E02
(132)
josta
Koska reaktiossa neliliikemäärä säilyy ja pistetulo on invariantti, niin
∗
∗
c2 Pkok · Pkok = c2 Pkok
· Pkok
(133)
josta yhtälöistä (130) ja (131) sijoittaen saadaan aikaisempi tulos (128).
Tarkastellaan edellistä hieman yleisempää reaktiota, jossa ammus ja kohde ovat eri hiukkasia, lepomassoiltaan ma ja
mb . Neliöimällä vektori cPkok , missä
Pkok =
Ea
+ mb c
pa ,
c
(134)
on laboratoriokoordinaatistossa lausuttu alkutilan neliliikemäärä, saadaan
c2 Pkok · Pkok
= −p2a c2 + (Ea + mb c2 )2
= −Ea2 + m2a c4 + Ea2 + 2mb c2 Ea + m2b c4
=
2mb c2 Ea + (m2a + m2b )c4 .
(135)
Olkoot lopputilan hiukkaset c ja d, joiden lepomassat ovat mc ja md . Reaktion
a+b
→
c+d
vaatima minimienergia massakeskuskoordinaatistossa kuluu kokonaisuudessaan hiukkasten c ja d tuottamiseen, joten
lopputilan massakeskusenrgia on (mc + md )/c2 . Lopputilahiukkasten kokonaisneliliikemäärä massakeskuskoordinaatistossa on siten
∗
Pkok
= (0, mc c + md c),
(136)
∗
∗
c2 Pkok
· Pkok
= (mc + md )2 c4 .
(137)
josta
Yhtälöiden (135) ja (137) vasemmat puolet ovat yhtälön (133) mukaan yhtäsuuret ja oikeiden puolien yhtäsuuruudesta
seuraa
Ea =
(mc + md )2 − (ma + mb )2 2
c
2mb
(138)
Reaktion toteutuminen vaatii ammushiukkaselta laboratoriokoordinaatistossa kineettistä energiaa määrän
Ta = Ea − ma c2 =
(mc + md )2 − (ma + mb )2 2
c
2mb
33
(139)
Massakeskuskoordinaatiston määritelmän mukaan hiukkassysteemin kokonais-3-liikemäärä massakeskuskoordinaatistossa on nolla ja vastaava kokonais-4-liikemäärä on
∗
∗2
Pkok
= (0, Ekok
/c).
(140)
∗
∗
∗2
c2 Pkok
· Pkok
= Ekok
(141)
Täten
∗
Yhtälöistä (133), (135) ja (141) saadaan hiukkassysteemin massakeskusenergia Ekok
lausutuksi ammushiukkasen
laboratorioenergian Ea ja alkutilahiukkasten lepomassojen avulla,
∗
Ekok
=
q
2mb c2 Ea + (m2a + m2b )c4
(142)
Hiukkafysiikan tutkimuksiin käytettävissä kiihdyttimissä energia Ea on huomattavasti lepoenergiaa suurempi ja ensimmäinen neliöjuuren alla oleva termi on dominoiva. Hiukkasprosessin tapahtumisen kannalta oleellinen massakeskuse∗
nergia Ekok
on täten verrannollinen laboratorioenergian Ea neliöjuureen. Kiihdytysenergian Ea kasvattaminen koituu
vain osittain hiukkasprosessin hyväksi. Hiukkastörmäyttimissä törmäytetään vastakkaisiin suuntiin kiihdytetyt hiukkassuihkut toisiinsa, jolloin koko massakeskusenergia tulee prosessissa hyödynnettyä.
Liite 1: Nelivektorit
Kolmiulotteisen karteesisen koordinaatiston kantavektorit ovat koordinaattiakselien suuntaisia yksikkövektoreita
êi · êj = δij =
1, kun i
0, kun i
= j = 1, 2, 3
= j
(L1)
Paikkavektorin eli origosta pisteeseen (x, y, z) piirretyn vektorin
r = xê1 + y ê2 + z ê3
(L2)
neliö säilyy invarianttina koordinaatiston kierrossa,
r · r = x2 + y 2 + z 2 = x02 + y 02 + z 02 .
(L3)
Invarianssi on voimassa minkä tahansa kahden vektorin a ja b skalaari- eli pistetulolle,
a·b
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
= a0 · b0 .
= a01 b01 + a02 b02 + a03 b03 ,
(L4)
missä ai , bi ja a0i , b0i ovat vektoreiden a ja b komponentit alkuperäisen ja kierron jälkeisen koordinaatiston i-suunnalla.
Esimerkiksi kahden pisteen välinen etäisyys on koordinaatistosta riippumaton,
√
∆r · ∆r
| ∆r | =
p
=
∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2
q
=
∆x0 2 + ∆y 0 2 + ∆z 0 2 .
Paikkavektorin r 4-ulotteinen vastine on origosta maailmanpisteeseen (x, y, z, ct) suuntautuva 4-paikka- eli 4radiusvektori
S = xê1 + yê2 + zê3 + ctê4
(L5)
= x1 ê1 + x2 ê2 + x3 ê3 + x4 ê4 ,
missä paikkavektorin komponenteille on otettu käyttöön merkinnät
x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ct.
(L6)
Vektori S voidaan esittää myös seuraavasti
S=
4
X
xµ êµ ≡ xµ êµ = r + ctê4 .
µ=1
34
(L7)
4-radiusvektorin skalaaritulo itsensä kanssa
S · S = −x2 − y 2 − z 2 + c2 t2 = −r 2 + c2 t2
(L8)
on tuttu Lorentz-invariantti neliömuoto,
S · S = S 0 · S 0 eli − r 2 + c2 t2 = −r 02 + c2 t02 .
Tulo S · S voi olla suurempi tai pienempi kuin nolla tai myös yhtä suuri kuin nolla, vaikka S 6= 0. Tällöin S on
ajanlaatuinen, paikanlaatuinen tai valonlaatuinen vektori, vastaavasti. Kahden maailmanpisteen välimatka on
p
p
∆S = | ∆S · ∆S | = p| −(∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 ) + c2 ∆t2 |
(L9)
=
| −∆r 2 + c2 ∆t2 |.
Differentiaalisen radiusvektorin
dS 0 = dr + cdtê4 = dxê1 + dyê2 + dzê3 + cdtê4
neliö
ds2 = dS · dS
= −(dx2 + dy 2 + dz 2 ) + c2 dt2
= −dr 2 + c2 dt2
(L10)
(L11)
on n.s. viivaelementin neliö.
Paikkavektori S ja sen differentiaali dS ovat esimerkkejä 4-vektoreista. Minkowskin avaruuden 4-vektorit määritellään
niiden muunnosominaisuuksien perusteella. Inertiaaalikoordinaatiston K vektoria
A = A1 ê1 + A2 ê2 + A3 ê3 + A4 ê4
(L12)
sanotaan 4-vektoriksi, jos se inertiaalikoordinaatistossa K’ lausuttuna on
A0 = A01 ê01 + A02 ê02 + A03 ê03 + A04 ê04
(L13)
ja vektoreiden A ja A0 komponenttien välillä ovat samat relaatiot kuin paikkavektoreiden S ja S 0 komponenteilla,
 01
A = γ(A1 βA4 )


 02
A = A2
(L14)
A03 = A3


 04
4
1
A = γ(A + βA ).
Kahden 4-vektorin skalaaritulo määritellään seuraavasti
A·B
= (A1 ê1 + A2 ê2 + A3 ê3 + A4 ê4 ) · (B 1 ê1 + B 2 ê2 + B 3 ê3 + B 4 ê4 )
≡ −(A1 B 1 + A2 B 2 + A3 B 3 ) + A4 B 4 .
(L15)
Kantavektoreille on siten voimassa

 êi · êi = −1 i = 1, 2, 3, paikanlaatuinen
ê4 · ê4 = +1 i = 4, ajanlaatuinen

êµ · êν = 0 µ 6= ν.
(L16)
Usein on hyödyllistä erottaa 4-vektorin paikka- ja aikaosuudet toisistaan,
A = A + A4 ê4 ,
(L17)
A · B = −A · B + A4 B 4 .
(L18)
jolloin skalaaritulo A · B kirjoitetaan
Liite 1: Vektorilaskentaa
Suhteellisuusperiaatteen mukaan fysiikan lait ovat koordinaatistosta riippumattomia ja ne on hyödyllistä esittää koordinaatistosta riippumattomassa muodossa. Tämä vaatimus on yksinkertaisinta toteuttaa lausumalla lait neliulotteista
vektorilaskentaa hyväksikäyttäen. Koska haluamme ottaa käyttöön merkinnät, jotka soveltuvat myös yleiseen suhteellisuusteoriaan, esitetään aluksi tarvittavat määritelmät yleisessä muodossa.
35
Vektorikomponenttien olennainen ominaisuus on niiden käyttäytyminen koordinaatistomuunnoksissa. Tarkastellaan
muunnosta neliulotteisesta koordinaatistosta x1 , x2 , x3 , x4 uuteen koordinaatistoon x̄1 , x̄2 , x̄3 , x̄4 . Tällöin uudet koordinaatit voidaan lausua vanhojen koordinaattien funktioina eli

x̄1


 2
x̄
 x̄3

 4
x̄
= x̄1 (x1 , x2 , x3 , x4 )
= x̄2 (x1 , x2 , x3 , x4 )
= x̄3 (x1 , x2 , x3 , x4 )
= x̄4 (x1 , x2 , x3 , x4 )
(143)
Mikäli vektorin A komponentit transformoituvat muunnoksessa (143) yhtälöiden
āµ =
4
X
∂ x̄µ λ
∂ x̄µ λ
a
≡
a
∂xλ
∂xλ
(144)
λ=1
mukaan, niin kyseessä ovat kontravariantin vektorin komponentit. Kontravarianttien komponenttien indeksi merkitään
ylös. Yhtälössä (144) on käytetty Einsteinin summaussopimusta, jonka mukaan samassa termissä kahdesti esiintyvän
indeksin yli on summattava. Esimerkkinä kontravarianteista vektorikomponenteista mainittakoon koordinaattidifferentiaalit dx1 , dx2 , dx3 ja dx4 , joille
dx̄i =
∂ x̄i k
∂ x̄i 1 ∂ x̄i 2 ∂ x̄i 3 ∂ x̄i 4
dx
+
dx
+
dx
+
dx
=
dx .
∂x1
∂x2
∂x3
∂x4
∂xk
(i = 1, 2, 3, 4)
Myös itse radiusvektori on kontravariantti, jonka vuoksi sen komponentteja merkitään x1 , x2 , x3 ja x4 .
Kovariantin vektorin komponentit, joita merkitään alaindeksein, transformoituvat yhtälöiden
∂xλ
bλ
(145)
∂ x̄µ
mukaan. Esimerkiksi ∇u:n (missä u on skalaari) komponentit ovat kovariantteja, sillä osittaisderivoinnin ketjusääntöä
soveltaen saadaan
b̄µ =
b̄µ =
∂u
∂u ∂xλ
∂xλ
=
=
bλ .
∂ x̄µ
∂xλ x̄µ
∂ x̄µ
Vektorien A ja B skalaaritulo määritellään
A · B = aλ bλ = aλ bλ .
(146)
Yhtälöiden (144) ja (145) mukaan on
∂xρ λ
∂ x̄ν λ ∂xρ
a
bρ =
a bρ = aρ bρ = A · B,
λ
ν
∂x
∂ x̄
∂xλ
joten kahden vektorin skalaaritulo on invariantti.
Ā · B̄ = āν b̄ν =
(147)
Suhteellisuusteorian matemaattisessa formuloinnissa on niinsanotulla metrisellä perustensorilla keskeinen merkitys.
Teorian peruselementtinä oleva viivaelementin neliö voidaan kirjoittaa metrisen perustensorin kovarianttien komponenttien gµν avulla muodossa
ds2 = gµν dxµ dxν = g11 dx1 dx1 + g12 dx1 dx2 + · · · + g44 dx4 dx4 .
(148)
Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatistossa on ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 , joten g11 = g22 = g33 = 1 ja gµν = 0, jos
i 6= j. Kolmiulotteisessa pallokoordinaatistossa, jonka koordinaatit ovat x1 = r, x2 = θ ja x3 = φ (Kuva 17), on
(
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ,
joista helposti saadaan
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 .
36
...
.........
...
..
...
...
...
...
.
...
......
...
...
...
... ..
.. ...
...
.
...
... .
...
... ....
...
...
...
..
...
.
..
...
...
...
...
...
..
...
.
..
... ....
...
... ...
..
...........
... ...
...
... ...
..
.......
....
.
..............................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
..
.....
....
...............................
.
.
.
.
.
.....
.....
..
.....
..... .....
.....
..
.....
.....
.
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
....
.....
........
..........
z
P
θ
y
ϕ
x
Kuva 17: Kolmiulotteinen pallokoordinaatisto.
Koska dx1 = dr, dx2 = dθ ja dx3 = dφ, on määritelmän (148) mukaan
g11 = 1, g22 = r2 , g33 = r2 sin2 θ
ja muut gµν = 0.
Mikäli ainoat nollasta poikkeavat metrisen perustensorin elementit ovat diagonaalielementit gµµ (µ=1,2,3,4), sen
kontravariantit komponentit ovat kovarianttien komponenttien käänteisarvoja eli
g µµ =
1
.
gµµ
(149)
Mikäli vektorin A kontravariantit komponentit aµ tunnetaan, voidaan kovariantit komponentit helposti laskea:
aµ = gµν aν .
(150)
Kääntäen kontravariantit komponentit saadaan kovarianteista komponenteista yhtälöillä
aµ = g µν aν .
(151)
Huomaa, että sekä yhtälössä (150) että yhtälössä (151) sovelletaan Einsteinin summaussopimusta!
Edellä olevat yhtälöt yksinkertaistuvat huomattavasti Lorentzin metriikan tapauksessa. Tällöin yhtälöiden (32) ja (148)
mukaan on
ds2 = gµν dxµ dxν = −dx2 − dy 2 − dz 2 + c2 dt2 .
Koska x1 = x, x2 = y, x3 = z ja x4 = ct, niin g11 = g22 = g33 = −1, g44 = 1 ja muut gµν = 0. Yhtälöt (150) ja (151)
antavat
aν = −aν , jos i 6= 4 ja a4 = a4 .
(152)
Kahden vektorin skalaaritulon lausekkeeksi Lorentzin metriikassa saadaan
A·B
=
aλ bλ = gλρ aλ bρ
=
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4
=
−a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 + a4 b4 .
Neliulotteisessa pallokoordinaatistossa viivaelementin neliö
ds2 = −dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ) + c2 dt2
on suoranainen yleistys kolmiulotteisesta pallometriikasta.
37
(153)
Liite 2: eräitä lukuarvoja
nimi
Planckin vakio
Valon nopeus
Elektronin lepomassa
Protonin lepomassa
Neutronin lepomassa
symboli
h
c
me
mp
mn
lukuarvo
6.626 · 10−34 Js
2.998 · 108 m s−1
9.110 · 10−31 kg
1.673 · 10−27 kg
1.675 · 10−27 kg
Liite 3: energiayksiköiden välisiä suhdelukuja
ergi
joule
eV
me c2
ergi
1
107
1.60 · 10−12
8.19 · 10−7
joule
10−7
1
1.60 · 10−19
8.19 · 10−14
eV
6.24 · 1011
6.24 · 1018
1
5.11 · 105
me c2
1.22 · 106
1.22 · 1013
1.96 · 10−7
1
38

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN

Transcription

Similar documents

AKO ohje - Restec Finland Oy

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta - MyCourses - Aalto

I Ympiiri Irlann n - The Ireland Whiskey Trail

Hämärämiesten havistelua

Demo7 Ratkaisut

Eräs piirre Turun tuomiokirkon keskiaikaisten erikoisjuhlien

URN:NBN:fi:jyu-20 - Jyx