Matematiikka, lyhyt, B-osa

1
YLIOPPILASTUTKINTOLAUTAKUNTA
13.2.2015
MATEMATIIKAN MALLIKOE
LYHYT OPPIMÄÄRÄ
B-osa
B-osan tehtävät arvostellaan pistein 0–6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan omalle puoliarkille.
Apuvälineinä saat käyttää taulukkokirjaa ja laskinta. Laskimen saat kuitenkin haltuusi vasta sitten,
kun olet palauttanut A-osan tehtävävihkosi. Sekä B1- että B2-osassa ratkaistaan kolme tehtävää.
Osio B1 Ratkaise kolme (3) tehtävistä 5–9.
B1-osa Ratkaise kolme tehtävistä 5–9.
5. Eläimille on likimääräisesti voimassa yhteys koko kehon massan ja aivojen massan välillä:
aivojen massa kolminkertaistuu, kun kehon massa nelinkertaistuu. Koiran massa on 24 kg,
hevosen 480 kg ja elefantin 6 400 kg. Laske aivojen massojen suhde, kun eläiminä ovat
a) hevonen ja koira
b) elefantti ja hevonen
c) koira ja elefantti.
6. Simeoni osti Saapasnahka-tornin 12 000 eurolla ja teetti siihen myöhemmin 4 000 euron peruskorjauksen. Yksitoista vuotta myöhemmin hän myi sen Juhanille 42 000 eurolla. Voitosta
on maksettava 30 % pääomatuloveroa. Verottaja tulkitsee voitoksi summan, joka saadaan,
kun myyntihinnasta vähennetään ostohinta ja peruskorjauskulut. Toisaalta Simeoni voi
myös halutessaan käyttää ns. hankintameno-olettamaa. Tällöin myyntihinnasta vähennetään
20 %, jos on omistanut tornin alle 10 vuotta, ja 40 %, jos yli 10 vuotta. Mitään muita vähennyksiä ei saa tehdä. Jäljelle jääneestä summasta maksetaan 30 % pääomatuloveroa.
a) Paljonko Simeonille jää myyntihinnasta verotuksen jälkeen, kun hän valitsee edullisimman vaihtoehdon?
b) Mikä olisi sellainen myyntihinta, että Simeoni maksaisi kummassakin verotusvaihtoehdossa yhtä suuren veron?
7. Hajuvesivalmistajan tarkistusmittauksissa todettiin, että hajuvesipullon sisällön määrä noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 52 millilitraa ja keskihajonta 1,25 millilitraa.
Millä todennäköisyydellä pullon sisältö on alle 50 millilitraa?
8. Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon välissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 39 m ja 26 m. Kuinka kaukana korkeammasta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma  maanpinnan tasolta katsottuna?
9. a) Anna esimerkki kahdesta kuutiosta, joiden pinta-alojen suhde on 16 : 25.
b) Kuinka monta prosenttia a-kohdan esimerkin isomman kuution tilavuus on suurempi
kuin pienemmän kuution tilavuus?
2
B2-osa Ratkaise kolme tehtävistä 10–13.
Osio B2 Ratkaise kolme (3) tehtävistä 10–13.
10.
10. Suoran ympyräkartion sisällä on suora ympyrälieriö, jonka pohja on kartion pohjalla ja yläreuna sivuaa kartion vaippaa. Lieriön pohjan halkaisija on yhtä suuri kuin lieriön korkeus.
Lieriön pohjan halkaisija on myös puolet kartion pohjan halkaisijasta. Kuinka monta prosenttia lieriön tilavuus on kartion tilavuudesta? Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.
11.
11. a) Viking Lotossa pelaaja valitsee kuusi lukua joukosta 1, 2, 3, …, 48. Tällainen valinta on
”yksinkertainen lottorivi”. Kuinka monta erilaista ”yksinkertaista lottoriviä” on olemassa? Kuinka paljon maksaisi kaikkien näiden rivien pelaaminen, kun yksi rivi maksaa 80
senttiä?
b) Matematiikan opettaja pelaa järjestelmälottoa. Silloin lottorivi voi sisältää enemmän kuin
kuusi lukua. Opettajan järjestelmärivi sisältää 10 lukua. Kuinka monta ”yksinkertaista
lottoriviä” tämä järjestelmärivi sisältää? Määritä myös tämän järjestelmärivin hinta.
c) Kuuden varsinaisen voittonumeron lisäksi arvotaan kaksi lisänumeroa.
Määritä todennäköisyys sille, että pelaajalla on ”yksinkertaisessa lottorivissä” neljä oikeaa voittonumeroa, mutta ei yhtään lisänumeroa.
12.
12. Lentoyhtiöllä on seuraavat säännöt, jotka koskevat matkatavararuumassa kuljetettavia matkalaukkuja. Jos matkalaukku on suorakulmaisen särmiön muotoinen, tulee laukun pituuden,
leveyden ja korkeuden summan olla enintään 158 cm. Oletetaan, että laukulla on maksimaaliset, ehdot täyttävät mitat ja että laukun pituus on kaksinkertainen leveyteen verrattuna.
a) Muodosta funktio, joka antaa laukun tilavuuden, kun muuttuja x on laukun leveys. Millä
muuttujan x arvoilla funktio on määritelty?
b) Määritä sen laukun mitat, jolla on suurin mahdollinen tilavuus. Mikä on tämä suurin tilavuus litroina? Anna vastauksessa laukun mitat millimetrin tarkkuudella ja tilavuus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
13.
13. Alla on funktion f ( x)  A sin(bx ) kuvaaja välillä  720 , 720  . Määritä


kuvaajan perusteella a) vakion A arvo
b) vakion b arvo
c) funktion f lyhin jakso L, jolle pätee L  0 ja
f ( x  L) 
f ( x) kaikilla x.