Fysiikan laboratoriotyöt 2

Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio
Fysiikan laboratoriotyöt 2
KALTEVA TASO
1. Työn tavoitteet
Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa. Vierimisliike koostuu kaltevan tason suuntaisesta kappaleen massakeskipisteen etenevästä liikkeestä, joka on tasaisesti kiihtyvää, sekä kappaleen pyörimisestä massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri. Määrität vierivien kappaleiden etenemisliikkeen kiihtyvyydet mittaamalla kappaleiden vierintäaikoja matkan funktiona. Kappaleiden hitausmomentit saat selville punnitsemalla kappaleet ja mittaamalla niiden halkaisijat. Tutkimalla vieriviin kappaleisiin vaikuttavia
voimia dynamiikan peruslain avulla saadaan yhtälöt, joista voit laskea teoreettisesti
kappaleiden etenemisliikkeen kiihtyvyydet, kun tason kaltevuuskulma tunnetaan.
Työn toisessa osassa tutkit suorakulmaisen särmiön liukumista pitkin kaltevaa tasoa.
Tarkoituksenasi on määrittää pienin mahdollinen kaltevuuskulma eli rajakulma, jolla
särmiö vielä liukuu pitkin tasoa. Tarkastelemalla liukuvaan kappaleeseen vaikuttavia
voimia voidaan johtaa yhtälö, joka esittää liu’unta-ajan ja tason kaltevuuskulman välistä riippuvuutta. Yhtälöstä nähdään, että mittaamalla liu’unta-aikoja kaltevuuskulman funktiona ja esittämällä tulokset sopivassa koordinaatistossa, saat kuvaajan, josta
voit määrittää rajakulman arvon. Rajakulman avulla saat selville myös kappaleen ja
tason välisen kitkakertoimen.
2. Teoria
2.1 Vierimisliike kaltevalla tasolla
2.1.1 Tasaisesti kiihtyvä liike
Tarkastellaan kuvan 1 mukaista tilannetta, jossa kappale vierii pitkin kaltevaa tasoa.
Kappaleen vieriessä sen massakeskipiste on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä, jolloin
massakeskipisteen etenevän liikkeen kiihtyvyyden a , nopeuden v ja ajan t välillä on
yhteys
a=
t
v
dv
Þ ò adt = ò dv Þ v = v0 + at ,
dt
0
v0
(1)
1
2
KALTEVA TASO
jossa on ajateltu, että liikkeen tarkastelu aloitetaan hetkellä t0 = 0 . Tällöin
massakeskipisteen kaltevan tason suuntaisen paikan x , nopeuden v ja ajan t välinen
riippuvuus on muotoa
v=
t
x
t
dx
Þ ò vdt = ò dx Þ x - x 0 = ò ( v 0 + at)dt Þ s = v 0 t + 1 2 at 2 ,
dt
0
x0
0
(2)
jossa kaltevan tason suunnassa kuljettua matkaa on kuvan 1 mukaisesti merkitty symbolilla s . Jos kappale lähtee liikkeelle levosta eli jos sen alkunopeus v 0 = 0 ,
vierintämatkan s , vierintäajan t ja etenevän liikkeen kiihtyvyyden a välillä on yhteys
s=
1
2
at 2 .
(3)
y
a
x
Kuva 1. Kaltevalla tasolla vierivä kappale
2.1.2 Kappaleiden hitausmomentit
Kappaleen hitausmomentti, jota merkitään usein symbolilla I , on suure, joka riippuu
pyörimisakselin paikasta kappaleessa ja kappaleen massan jakautumisesta pyörimisakselin suhteen. Jäykän kappaleen, jonka massa on jatkuvasti jakautunut, hitausmomentti
voidaan laskea yhtälöstä
I = ò r 2 dm ,
(4)
missä dm on massa-alkio, jonka kohtisuora etäisyys pyörimisakselista on r . Yhtälöä
(4) käyttäen saadaan työssä käytettäville kuulalle, sylinterille ja sylinterirenkaalle
Taulukon 1 mukaiset hitausmomentit massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Näitä hitausmomentteja merkitään usein symbolilla I 0 . Taulukossa 1 on jatkoa
varten laskettu myös suhde K = I 0 ( MR 2 ) , missä M on kappaleen massa ja R on
kappaleen säde. Esimerkkejä erilaisten kappaleiden hitausmomenttien laskemisesta
löydät mm. kirjasta Young ja Freedman: University Physics.
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio
Fysiikan laboratoriotyöt 2
Taulukko 1. Työssä käytettävien vierivien kappaleiden hitausmomentit
massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen
Kappale
Kuula
Massa Ulkosäde
M
R
Sisäsäde
-
2
1
Sylinteri
M
R
-
Sylinterirengas
M
R
Rs
2.1.3
K = I 0 ( MR 2 )
I0
1
5
MR 2
2
2
1
2 MR
2
2 M (R
+
Rs2 )
1
2
5
2
(1 + ( R
s
/ R) 2
)
Yhdistetty etenevä - ja pyörimisliike
Kuvan 2 tilanteessa R - säteinen, M - massainen kappale vierii liukumatta pitkin
kaltevaa tasoa, jonka kaltevuuskulma on q . Ajatellaan, että kappaleeseen vaikuttavat
seuraavat voimat:
1) Kappaleen paino G = Mg . Painon kaltevan tason eli x - akselin suuntaisen komponentin suuruus on kuvan 2 perusteella Gx = Mg sin q ja tasoa vastaan kohtisuoran eli y-komponentin suuruus on G y = Mg cos q .
2) Pinnan tukivoima N , joka on kohtisuorassa kaltevaa pintaa vastaan.
3) Kitkavoima Fm , joka vaikuttaa kuvan mukaisesti kappaleen ja pinnan
kosketuspisteeseen (A) ja aiheuttaa momentin, joka saa kappaleen pyörimään massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri.
N
y
v
R
Fm
x
A
G
q
Kuva 2. Kaltevalla tasolla vierivään kappaleeseen vaikuttavat voimat. Kuvassa
koordinaatisto on valittu siten, että z-akseli osoittaa sisälle kuvan tasoon.
Soveltamalla dynamiikan peruslakia ( å F = Ma ) kaltevan pinnan suuntaisiin voimiin
saadaan yhtälö
å Fx = Mg sin q - Fm = Ma ,
(6)
3
4
KALTEVA TASO
jossa a on massakeskipisteen etenevän liikkeen kiihtyvyys. Toisaalta soveltamalla
pyörimisliikkeeseen sopivaa dynamiikan peruslakia ( å t z= Ia z ) jäykkään,
massakeskipisteensä kautta kulkevan akselin ympäri pyörivään kappaleeseen päädytään yhtälöön
åt
z
= I 0a z Þ Fm R = I 0a z ,
(7)
jossa I 0 on kappaleen hitausmomentti sen massakeskipisteen kautta kulkevan akselin
suhteen, R on etäisyys massakeskipisteestä kitkavoiman vaikutuspisteeseen eli kappaleen säde ja a z on pyörimisliikkeen kulmakiihtyvyys. Kulmanopeuden ω = wk ja nopeuden v = vi välillä on yhteys
v = ω ´ R Þ vi = wk ´ (- Rj) = wRi Þ v = wR ,
(8)
jossa i, j ja k ovat x - , y - ja z - akseleiden suuntaiset yksikkövektorit. Derivoimalla tulos (8) ajan suhteen saadaan kiihtyvyyden a ja kulmakiihtyvyyden a z väliseksi yhteydeksi
dv dw
dR
dw
=
R+
w=
R Þ a = azR .
dt dt
dt
dt
(9)
Käyttämällä yhtälöitä (7) ja (9) yhdessä saadaan
I a MI 0 a
a
Fm R = I 0 Þ Fm = 0 2 =
= MKa ,
(10)
R
R
MR 2
jossa on käytetty tutkittaville kappaleille Taulukossa 1 annettua suhdetta
K = I 0 ( MR 2 ) . Sijoittamalla näin saatu kitkavoiman suuruus yhtälöön (6) saadaan
kappaleiden massakeskipisteiden kiihtyvyydelle tulos
Mg sin q - MKa = Ma Þ a =
g sin q
.
(1 + K )
(11)
2.2 Liukuminen kaltevalla tasolla
Kuvassa 3 suorakulmainen särmiö liukuu pitkin kaltevaa tasoa. Soveltamalla dynamiikan peruslakia kaltevan pinnan eli x - akselin suuntaisiin voimiin ja pintaa vastaan
kohtisuoriin eli y - akselin suuntaisiin voimiin saadaan yhtälöpari
ìma = Gx - Fm = mg sin q - mN
í 0 = N - G = N - mg cos q ,
y
î
(12)
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio
Fysiikan laboratoriotyöt 2
jossa kitkavoima Fm on kirjoitettu kitkakertoimen m ja pinnan tukivoiman suuruuden
N tulona. Sijoittamalla alemmasta yhtälöstä ratkaistu pinnan tukivoiman itseisarvo
ylempään yhtälöön saadaan
ma = mg sin q - mmg cosq Þ a = g (sin q - m cosq ) .
(13)
y
x
N
Fm
G
q
Kuva 3. Kaltevalla tasolla liukuvaan kappaleeseen vaikuttavat voimat
Kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä, jos sen kiihtyvyys a on suurempi kuin
nolla. Yhtälön (13) perusteella saadaan ehto
a > 0 Þ g (sin q - m cosq ) > 0 Þ m <
sin q
= tan q .
cosq
(14)
Rajatapauksena on tilanne, jossa kappale vielä lähtee juuri ja juuri liikkeelle, mutta sen
kiihtyvyys on nolla. Tässä tilanteessa tason kaltevuuskulma on ns. rajakulma q 0 , jolle
pätee yhtälön (14) perusteella
m=
sin q 0
= tan q 0 .
cosq 0
(15)
Edellisessä kohdassa 2.1.2 tutkittiin tasaisesti kiihtyvää liikettä. Kappaleen
kiihtyvyydeksi a saadaan yhtälön (3) avulla
a=
2s
.
t2
(16)
Käyttämällä nyt yhtälöitä (13), (14) ja (16) yhdessä saadaan
sin q 0
2s
1
g
= g (sin q cosq ) Þ 2 =
(sin q cosq 0 - cosq sin q 0 )
2
cosq 0
2 s cosq 0
t
t
1
g
1
Þ 2 =
sin (q - q 0 ) Þ 2 » kq - kq 0
2 s cosq 0
t
t
,
(17)
5
6
KALTEVA TASO
missä mittauksissa vakiona pysyvää kerrointa g (2s cosq 0 ) on merkitty symbolilla k .
Yllä yhtälössä (17) tehty approksimaatio sin(q - q 0 ) » q - q 0 pätee, jos kulma q - q 0
on pieni.
3. Mittauslaitteisto
Kaaviokuva laitteistosta on esitetty kuvassa 4 ja valokuva työssä käytettävästä
kaltevasta tasosta ja tutkittavista kappaleista on kuvassa 5. Kaltevan tason yläosassa
on magneettinen piiri, jonka avulla tutkittava kappale voidaan pitää paikallaan
painamalla kuvassa 5 b) näkyvää kellolaitteen kotelon ”START”-nappia. Kun nappi
vapautetaan, kappale irtoaa ja piiri käynnistää kellon. Tason alaosassa on valolähdeilmaisinpari, jossa käytetään infrapunasädettä. Kappaleen ohittaessa parin säteilyn
kulku lähteeltä ilmaisimelle katkeaa, jolloin kello pysähtyy.
Magneetti
Kuula
Infrapunasäde
Valolähde-ilmaisinpari
Kello
Kuva 4. Kalteva taso ja ajanottolaitteet
Magneettinen piiri on kiinni varressa, jota voidaan liikuttaa pitkin kaltevaa tasoa. Tason toisessa reunassa on kuvan 5 b) mukainen mitta-asteikko, josta voidaan havaita
varren ja siten kappaleen paikka alussa. Näin voidaan säädellä ja mitata kappaleiden
kaltevalla tasolla kulkemia matkoja. Tason alapuolelle on kiinnitetty myös kuvan mukaisesti kulma-asteikko. Vapauttamalla kuvassa näkyvä kahva voidaan tason kaltevuuskulmaa säädellä.
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio
Fysiikan laboratoriotyöt 2
7
Varsi
a)
Magneetti
Kahva
Kello
Valolähde
b)
Mitta-asteikko
Ilmaisin
Start-nappi
Kulma-asteikko
Kuva 5. Työssä käytettävä kalteva taso. Kuvassa a) on tutkittavia kappaleita ja
kuvassa b) näkyvät asteikot ja kello.
4. Tehtävät
4.1 Ennakkotehtävät
Ennen työvuorolle saapumista tee seuraavat tehtävät:
1. Laske sylinterirenkaan hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin
suhteen. (Vihje: Käytä massa-alkiona ohutta sylinterirengasta, jonka korkeus on
L , säde r ja paksuus dr .)
2. Kuten työn mittauspöytäkirjasta ja ohjeen luvusta 4.2 käy ilmi, tutkit kappaleiden
vierimistä kaltevalla tasolla mittaamalla vierintäaikoja matkan funktiona. Pohdi,
miten saat mittaustulostesi perusteella selville kappaleiden kiihtyvyydet. Esitä työn
ohjaajalle suunnitelma siitä, miten aiot analysoida tuloksesi.
8
KALTEVA TASO
3. Kitkakertoimen määrittämiseksi mittaat kappaleen liu’unta-aikoja kaltevuuskulman funktiona. Yhtälöstä (17) huomataan, että jos esität mittaustuloksesi
(q , 1 t 2 ) - koordinaatistossa, saat kuvaajan, jonka perusteella voit määrittää
rajakulman q 0 arvon. Millainen kuvaaja koordinaatistoon syntyy ja miten saat
selville rajakulman?
4.2 Mittaustehtävät
4.2.1 Kappaleiden kiihtyvyydet ja hitausmomentit
1. Valmistelut: Valitse tutkittavat kappaleet, punnitse ne orsivaa’alla ja mittaa
kappaleiden halkaisijat työntömitalla. Säädä tason kaltevuuskulma sopivaksi (n.
20o) ja kirjaa kulman arvo ylös. Aseta vierintämatkan pisimmäksi arvoksi n. 115 125 cm ja testaa sekä harjoittele magneetin ja kellolaitteen toimintaa antamalla
kappaleiden vieriä muutaman kerran pitkin tasoa.
2. Vierintäaikojen mittaaminen: Mittaa jokaisella matkalla kunkin kappaleen
vierintäaika kolme kertaa. Lyhennä mittausten välillä matkaa 10 cm:n välein.
4.2.2 Kitkakertoimen määrittäminen
3. Liu’unta-aikojen mittaaminen: Käytä tason kaltevuuskulman aloitusarvona edellä
tehtyjen mittausten kulmalukemaa ja aseta liu’untamatkaksi 50 - 80 cm. Kirjaa
valitsemasi liu’untamatkan arvo mittauspöytäkirjaan. Mittaa liu’unta-aika kolme
kertaa. Pienennä tämän jälkeen kulman arvoa asteen välein ja mittaa kullakin
kulman arvolla liu’unta-aika kolme kertaa.
5. Mittaustulosten käsittely
5.1 Kappaleiden kiihtyvyydet ja hitausmomentit
Kokeelliset kiihtyvyydet: Piirrä mittaustulostesi perusteella ennakkotehtävän 2
mukaiset sopivat kuvaajat, joiden avulla saat selville kappaleiden
massakeskipisteen etenevän liikkeen kiihtyvyydet. Vertaa sylinterien
kiihtyvyyksiä kuulan kiihtyvyyteen laskemalla kiihtyvyyksien suhteet
asylinteri a kuula ja asylinterir engas a kuula .
Laskennalliset kiihtyvyydet: Laske kappaleiden kiihtyvyydet yhtälöstä (11)
käyttäen hyväksi Taulukossa 1 annettuja tietoja. Huomaa, että mittaustuloksesi
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio
Fysiikan laboratoriotyöt 2
ovat kappaleiden ulko- ja sisähalkaisijoita ( D ja Ds ), eivätkä Taulukossa 1
esiintyviä säteitä R ja Rs . Vertaa myös tässä sylinterien kiihtyvyyksiä kuulan
kiihtyvyyteen laskemalla kiihtyvyyksien suhteet kuten edellä.
Hitausmomentit: Laske kappaleiden hitausmomentit massakeskipisteen kautta
kulkevan akselin suhteen käyttämällä mittaamiasi halkaisijoiden ja massojen
arvoja sekä Taulukkoa 1.
5.2 Rajakulman ja kitkakertoimen määritys
Kuvaaja ja rajakulma: Esitä mittaustuloksesi sopivassa koordinaatistossa ja
piirrä kuvaaja ennakkotehtävän 3 mukaisesti. Määritä kuvaajan perusteella sovittua menetelmää käyttäen ja työn ohjaajan antamia neuvoja hyödyntäen rajakulman arvo.
Kitkakertoimen määritys: Laske lopuksi kitkakerroin käyttäen kuvaajasta
määrittämääsi rajakulman arvoa.
6. Lopputulokset
Ilmoita vierintäliikkeen tutkimisen lopputuloksina kahdella eri menetelmällä määrittämäsi kappaleiden kiihtyvyydet sekä kuulan ja sylinterien kiihtyvyyksien suhteet. Ilmoita myös tutkittujen kappaleiden hitausmomentit. Liukumisen tapauksessa ilmoita
lopputuloksina rajakulman arvo sekä sen avulla määrittämäsi kitkakerroin.
Muista liittää selostukseesi myös ennakkotehtävän 1 ratkaisu.
9
OULUN YLIOPISTO
Työn suorittaja: ___________________________
FYSIIKAN OPETUSLABORATORIO
Mittauspäivä:
Fysiikan laboratoriotyöt 2
Työn ohjaaja: _____________________________
____ / ____ 20___
MITTAUSPÖYTÄKIRJA
KALTEVA TASO
1. Kappaleiden hitausmomentit
Massa m (kg) Ulkohalkaisija D (cm)
Kuula
Sylinteri
Sylinterirengas
Tason kaltevuuskulma q = _____o
Sisähalkaisija Ds (cm)
---------------------------------------------------
2. Vierimisliike
Matka
s(m)
Kuula
t1 (s)
t2 (s)
Sylinteri
t3 (s)
t1 (s)
t2 (s)
Sylinterirengas
t3 (s)
t1 (s)
3. Kitkakertoimen määrittäminen
Kaltevuuskulma
q (o)
Liu’unta-ajat
t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
Liu’untamatka s = ________ m
Ohjaajan allekirjoitus _________________________________
t2 (s)
t3 (s)