Luento2_2015
Transcription
Luento2_2015
Säätötekniikan perusteet Luento 2: Järjestelmän matemaattinen malli 19.1.2015 LUT Energy Electricity | Energy | Environment Kertausta viime viikosta Mitä on säätötekniikka ja mihin sitä tarvitaan? Säätöpiiriin liittyviä peruskäsitteitä. Mitä säädöllä voidaan tehdä? LUT Energy Electricity | Energy | Environment Mitä säädöltä odotetaan? Systeemi on stabiili! Tämän lisäksi: Kuinka nopea systeemin pitää olla? Saako lähtösuureessa olla ylitystä, saako se värähdellä? Paljonko ylitystä saa olla ja kauanko lähtö saa värähdellä? Paljonko oloarvo saa poiketa asetusarvosta? Häiriönsieto? LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Luennon 2 sisältö: Järjestelmän matemaattinen malli Mihin tarvitaan matemaattista mallia? Miten järjestelmän matemaattinen malli muodostetaan? Mikä on tilamalli? Miten tilamalli muodostetaan? Miten tilamuuttujat valitaan? LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Mihin säätötekniikassa tarvitaan matemaattista mallia? Säätämättömän systeemin analysointiin (stabiilius, nopeus, ylitys, värähtely, jatkuvuustilan virhe) Säätösuunnittelu Säädetyn systeemin analysointiin Systeemin simulointiin LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Järjestelmän matemaattinen esitys Matemaattinen malli kuvaa systeemin tulon ja lähdön keskinäisen suhteen. Klassisessa säätöteoriassa käytetään lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, esim. Jousimassasysteemi, tulona voima F, lähtönä paikka x b F-voima mx (t ) bx (t ) kx (t ) m k F (t ) x-paikka Säiliö, tulona tilavuusvirta q, lähtönä pinnankorkeus h q [m3/s] A ht qt h Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden derivaattatermien kertoimet ovat vakioita LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology SISO- ja MIMO-systeemit MIMO-systeemi (Multiple-input, multiple-output) Dynaamisella järjestelmällä on yleisesti useita tulo- ja lähtösignaaleja MIMO SISO-systeemi (Single-input, single-output) Säätöteknisessä mielessä monet järjestelmät voidaan kuvata yhden tulo- ja yhden lähtösignaalin systeeminä. SISO LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Matemaattisen mallin muodostaminen 1. Määrittele systeemi ja sen suureet. Mitkä ovat tulo ja lähtösuureet? 2. Määritä systeemiä koskevat lainalaisuudet (Ohm, Kirchhoff, Newton, taseyhtälö) 3. Onko systeemi lineaarinen tai linearisoitavissa? Mitä oletuksia joudutaan tekemään? 4. Muodosta systeemille differentiaaliyhtälö(t) tai tilamalli LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkkejä dynaamisista systeemeistä 1. Mekaaniset systeemit Systeemikomponentit lineaarisessa liikkeessä: F-voima 1. Massa F M Ma M d 2x dt 2 x-paikka 2. Vaimennin b F-voima F dx bv b dt x-paikka 3. Jousi k F-voima F x-paikka LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology k x Esimerkkejä 1. Mekaaniset systeemit Jousimassasysteemi Muodostetaan järjestelmälle voimatasapainon yhtälö (Newton II), jonka mukaan kappaleeseen vaikuttavien voimien summa = massa * kiihtyvyys b Fi F b dx dt 2 kx M d xt dt 2 F-voima M k x-paikka Systeemille saadaan 2. asteen differentiaaliyhtälö M x b x k x F (ks. Myös harjoitus 1, tehtävä 1 ja noppa: muu materiaali) LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkkejä dynaamisista systeemeistä 2. Sähköiset piirit Systeemikomponentit sähköisissä piireissä: i-virta R 1. Vastus uR R i u-jännite 2. Kondensaattori C uC 1 C uL di L dt i-virta idt u-jännite 3. Induktanssi L i-virta u-jännite LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkkejä 2. Sähköiset piirit RC-piiri Kirchoff: ui u R u C ui R i (t ) uo 0 Eliminoidaan virta duc C dt duo i C dt du ui R C o u o dt du RC o uo ui dt 0 RC-piiriä kuvaa 1. asteen differentiaaliyhtälö. (ks. Noppa => Muu materiaali) LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkkejä 2. Sähköiset piirit RLC-piiri Kirchoff: ui u R u L uC ui R i L di uo dt 0 Eliminoidaan virta duc du C o dt dt duo d 2uo ui RC LC 2 dt dt d 2uo du LC 2 RC o uo dt dt i C uo ui RLC-piiriä kuvaa 2. asteen differentiaaliyhtälö. (ks. Myös noppa => muu materiaali) LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilamalli Suuren kertaluvun differentiaaliyhtälöitä on hankala käsitellä. Tilayhtälötekniikassa differentiaaliyhtälöt pilkotaan useaksi 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöksi, jotka esitetään differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen 1. kertaluvun diffis kuvaa yhden tilamuuttujan riippuvuuden muista tilamuuttujista ja systeemin tulosta. Tilamuuttuja voi olla esim. virta, jännite, paikka, nopeus,… Tilamuuttujaksi valitaan usein systeemin lähtö ja sen eriasteiset derivaatat Systeemin kertaluku määrää tilamuuttujien määrän 14 Tilamalli Systeemiyhtälöt: Tilayhtälö Lähtö x(t ) f (x(t ), u(t ), t ) y (t ) g (x(t ), u(t ), t ) Dynaaminen systeemi tulot u(t) lähdöt y(t) Tilat x(t) Aikainvariantin systeemin (ajan suhteen muuttumattoman) systeemiyhtälöt ovat xt f x t ,u t yt g x t ,u t 15 Tilamalli Lineaarisen ja aikainvariantin systeemin systeemiyhtälöt voidaan esittää muodossa xt Ax t Bu t yt Cx t Du t Yhden tulon ja yhden lähdön systeemillä (SISO – single input, single output) tulo ja lähtö ovat skalaareja xt Ax t Bu t yt Cx t Du t Usein D = 0 eli lähtö ei riipu suoraan tulosta. 16 Esimerkki Jousi-massa-vaimennin b F-voima M k x-paikka z - paikka M z bz kz F 2. kertaluvun systeemi => 2 tilamuuttujaa Valitaan tilamuuttujiksi systeemin lähtö ja sen derivaatta eli massakappaleen paikka ja nopeus x1 t zt x2 t dz (t ) dt z (t ) 17 Esimerkki Jousi-massa-vaimennin Muodostetaan tilayhtälöt eli kirjoitetaan yhtälöt tilamuuttujien derivaatoille x1 z x2 x2 k z M z b z M 1 F M k x1 M b x2 M 1 F M Systeemin lähtö on y = z = x1 Systeemiyhtälöt ilmoitetaan yleensä matriisimuodossa 0 1 0 x1 x1 k b 1 u x2 x2 M M M y z x1 1 0 x1 x2 18 Esimerkki RCL-piiri Tarkastellaan sivun 13 RLC-piiriä, jota kuvaa 2. asteen differentiaaliyhtälö d 2uo LC 2 dt RC duo dt uo ui LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkki RCL-piiri Sähköisissä piireissä tilamuuttujiksi valitaan usein kondensaattorin jännite uC ja käämin virta iL (tilamuuttujilla on tällöin fysikaalinen merkitys) x1 uC x2 iL iC Tilayhtälöt x1 x2 uo uo du o C dt 1 x2 C RC 1 1 Cu o C uo uo ui LC LC LC RC 1 1 R 1 uo uo ui x2 x1 L L L L L LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology 1 ui L Esimerkki RCL-piiri Lähtö y uo x1 Ja systeemiyhtälöt matriisimuodossa 0 x1 1 L x2 1 C R L 0 1 u , L x1 x2 y x1 1 0 x2 Tai vielä ‘tiiviimmin’ esitettynä 0 x 1 L 1 C x R L 0 1 u L , y 1 0x Yhteenveto Mitä pitäisi osata? Mihin tarvitaan matemaattista mallia? Miten järjestelmän matemaattinen malli muodostetaan? Tilamallin muodostaminen Mikä on tilamalli? Miten tilamuuttujat valitaan? Miten tilamalli muodostetaan? LUT Energy Electricity | Energy | Environment