Luento 3

Säätötekniikan perusteet
Luento 3: Linearisointi, Laplace-muunnos,
Siirtofunktio, testifunktiot, painofunktio
26.1.2015
LUT Energy
Electricity | Energy | Environment
Kertausta viime viikosta
Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen
Säätöpiiriin liittyviä peruskäsitteitä.
Mitä säädöllä voidaan tehdä?
Säätösuunnitteluprosessin vaiheet.
LUT Energy
Electricity | Energy | Environment
Linearisointi
Klassinen säätöteoria
pätee lineaarisille
systeemeille.
Todelliset systeemit ovat
usein epälineaarisia.
Epälineaarisia
systeemejä voidaan
approksimoida
lineaarisilla
differentiaaliyhtälöillä
tietyssä toimintapisteessä
3
y=x3
ylin
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
0.5
1
1.5
Linearisointi
Linearisointi perustuu Taylorin sarjakehitelmään
f x
df
f ( x0 )
dx
x x0
x x0
1!
d2 f
dx 2
x x0
x x0
2!
2
Funktiosta saadaan lineaarinen, kun Taylorin sarjasta
otetaan 2 ensimmäistä termiä (suoran yhtälö)
f x
df
f ( x0 )
dx
x x0
x x0
1!
Differentiaaliyhtälöt linearisoidaan samalla tavoin.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Linearisointi
Esimerkki
Linearisoi epälineaarinen funktio
y
f ( x)
x3
3
toimintapisteeseen x0 = 1.
Linearisoi
dy
dt
y=x3
ylin
2.5
2
2
y
1
0
1.5
toimintapisteeseen y=3.
1
Usein linearisoidaan
tilayhtälömuodossa
tasapainopisteeseen. Ei tämän
kurssin aihe.
0.5
0
0
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
0.5
1
1.5
Laplace-muunnos
Lineaariset differentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista joko
aika- tai taajuustasossa.
Säätötekniikassa differentiaaliyhtälöitä käsitellään usein
taajuustasossa.
Aikatasosta päästään taajuustasoon
integraalimuunnosten avulla.
Säätötekniikan kannalta keskeiset integraalimuunnokset
ovat Fourier-muunnos ja sen erikoistapaus Laplacemuunnos.
Taajuustasossa dynaamisia järjestelmiä voidaan käsitellä
käyttäen algebrallisia yhtälöitä.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Kertausta viime viikosta
Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen?
Tehtävä, ratkaise 1.kl differentiaaliyhtälö
dy
dt
1
y
0
Tehtävä, ratkaise 2.kl differentiaaliyhtälö
d2y
dt 2
2
n
dy
dt
2
n
y
0
Käytä molemmissa yritettä
LUT Energy
Electricity | Energy | Environment
y
e st s
Z
Laplace-muunnos ja
Laplace-käänteismuunnos
Laplace-muunnos funktiolle f(t) määritellään
F ( s)
L f (t )
e
st
f (t )dt
0
Ja käänteismuunnos
f t
1
2
F
e
j
d
L on Laplace-operaattori ja käänteismuunnosta
merkitään L-1
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Laplace-muunnos
Esimerkkejä
1. Määritä funktion f(t) = 1 Laplace-muunnos.
L f (t )
st
e
1dt
1
e
s
/
0
0
st
1
s
2. Määritä funktion f(t) derivaatan Laplace-muunnos.
df t
L
dt
df t
e
dt
0
| f
0
e
s
d
s
f
s e
0
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
s
d
f 0
sF s
Laplace-muunnoksia
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Laplace-muunnos
Esimerkkejä
Muodosta Laplace-muunnos (alkuarvot = 0)
Sivun 11 RC-piirille
Sivun 9 jousi-massa-systeemille
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Siirtofunktio
Siirtofunktio kuvaa systeemin dynamiikkaa.
Siirtofunktio on systeemin lähdön ja tulon Laplacemuunnosten suhde, kun alkuarvot oletetaan nolliksi.
Esim. Jousimassasysteemi
F(s)
X(s)
ms 2
G ( s)
X ( s)
F ( s)
1
bs k
ms 2
1
bs k
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Siirtofunktioon liittyviä käsitteitä
Tarkastellaan siirtofunktiota
G ( s)
B ( s)
A( s)
Nimittäjäpolynomi A(s) on siirtofunktion karakteristinen
polynomi.
Nimittäjäpolynomin A(s) kertaluku on siirtofunktion
kertaluku.
Nimittäjäpolynomin A(s) juuret ovat siirtofunktion navat.
Osoittajapolynomin B(s) juuret ovat siirtofunktion nollat.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Siirtofunktio
Siirtofunktio kuvaa tulosignaalin lähtösignaaliksi taajuustasossa.
Lähtösignaali saadaan tulosignaalin ja siirtofunktion tulona
Y s
G sU s
Systeemin käyttäytymistä tarkastellaan käyttäen erilaisia
testisignaaleja.
Yleisimpiä testisignaaleja ovat:
Yksikköimpulssi
Yksikköaskel
Yksikköramppi
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Yleisesti käytettyjä testifunktioita
1. Yksikköimpulssi on äärettömän korkea ja äärettömän lyhyt pulssi
0
t
, kun t 0
0, kun t
0
t dt 1
U(s) = 1
2. Yksikköaskel
u(t) = 1 ( kun t
U(s) = 1/s
0)
3. Yksikköramppi
u(t) = t ( kun t
U(s) = 1/s2
0)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen
taajuustasossa (1/4)
Esimerkki
Tarkastellaan toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
2
d y
dy
0.1
2
dt
dt
y
u
Tulosignaalina on yksikköaskel.
Ratkaise lähtösignaali y(t)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen
taajuustasossa (2/4)
Laplace-muunnetaan differentiaaliyhtälö ja muodostetaan
siirtofunktio (siirtofunktiossa alkuarvot = 0)
d2y
dy
0.1
2
dt
dt
2
sY s
0.1 sY s
Y s
U s
s2
y
u
Y s
1
0.1s 1
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
U s
Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen
taajuustasossa (3/4)
Tulosignaalina on yksikköaskel => U(s) = 1/s
Lähtösignaali taajuustasossa
Y s
Gs U s
s2
1
1
0.1s 1 s
Kirjoitetaan lähtö uudestaan muotoon
Y s
s s 0,05
1
j 0,9987 s 0,05
j 0,9987
ja merkitään nimetään nimittäjän kompleksiset juuret
a = 0,05 + j0,9987 ja b = 0,05 - j0,9987.
Lähtösignaali aikatasossa saadaan nyt Laplacekäänteismuunnoksella
yt
L
1
1
ss a s b
1
ab
1
ae
ab b a
bt
be
at
Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen
taajuustasossa (4/4)
Step Response
Matlabilla askelvaste
saadaan ratkaistua
koodilla
2
1.8
1.6
1.4
1.2
Am plitude
G = tf(1,[1 0.1 1]);
step(G)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
Time (sec)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
80
100
120
Painofunktio
Painofunktio on siirtofunktion Laplace-käänteismuunnos
g(t)
Laplace-käänteismuunnetaan lähdön yhtälö
t
yt
L1 Y s
L1 G s U s
gt
u
0
Integraalilauseketta kutsutaan konvoluutiointegraaliksi
Funktio g(t) on järjestelmän painofunktio.
Painofunktio kuvaa, kuinka systeemi painottaa
tulosignaalin kunkin hetken arvoa lähtösignaalissa.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
d
Painofunktio
Systeemin painofunktio saadaan syöttämällä systeemin
tuloon yksikköimpulssi u(t) = (t) => U(s) = 1
t
y (t )
g (t
) ( )d
g (t )
0
Kokeellisesti painofunktio voidaan mitata syöttämällä
systeemin tuloon impulssivastetta approksimoiva
signaali (= mahdollisimman lyhyt ja korkea pulssi)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Pulssivaste
a
ua
1
a
kun a
0
.......
niin ya
ya
S
g
........
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
ya(t)
ja G(s)
L g
Sivun 6 diffiksen pulssivaste/
painofunktio
Määritetään pulssivaste
d2y
diffikselle
dt 2
Analyyttisesti pulssivaste
määritetään siirtofunktiosta
Laplace-käänteismuunnoksella
(ks. Kertoimet sivulla 8)
0.1
dy
dt
y
u
Impulse Response
1
0.8
0.6
L1
1
1
s a s b
a b
e
Ja Matlabilla seuraavasti:
bt
e
0.4
at
Amplitude
yt
0.2
0
-0.2
-0.4
G = tf(1,[1 0.1 1]);
impulse(G)
-0.6
-0.8
0
20
40
60
Time (sec)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
80
100
120
Impulssivasteet II-kl. järjestelmälle
2 kl järjestelmät Wn=10, G_DC =1, ksii=1,2,0.5,0.1
Impulse Response
4
Impulse Response
10
3.5
kriittinen
alikriittinen ksii=0.1
8
3
6
alikriittinen ksii=0.5
4
2
Amplitude
Amplitude
2.5
1.5
1
0
-2
ylikriittinen
0.5
0
2
-4
-6
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
2
2.5
-8
0
1
2
3
Time (sec)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
4
5
6
Impulssivasteet II-kl. järjestelmälle
2 kl järjestelmät Wn=10, G_DC =1, ksii= -3,-0.1
26
Impulse Response
x 10
Impulse Response
600
3
500
2
1
Amplitude
Amplitude
400
300
0
-1
-2
200
-3
100
-4
-5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
49
50
51
52
53
54
Time (sec)
Time (sec)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
55
56
57
58
59
Erilaisia painofunktioita
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Siirtofunktioon liittyviä käsitteitä
Tarkastellaan siirtofunktiota
G ( s)
B ( s)
A( s)
Nimittäjäpolynomi A(s) on siirtofunktion karakteristinen
polynomi.
Nimittäjäpolynomin A(s) kertaluku on siirtofunktion
kertaluku.
Nimittäjäpolynomin A(s) juuret ovat siirtofunktion navat.
Osoittajapolynomin B(s) juuret ovat siirtofunktion nollat.
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Yhteenveto
Mitä pitäisi osata?
Mihin tarvitaan matemaattista mallia?
Miten järjestelmän matemaattinen malli
muodostetaan?
Linearisointi
Laplace-muunnos
(Siirtofunktio)
LUT Energy
Electricity | Energy | Environment