Harjoitus 1

MEI-32010 Murtumismekaniikka
1. kotitehtäväsarja
1. Tarkastellaan kidemäisen materiaalin teoreettista lujuutta. Oletetaan, että materiaalin
atomit ovat järjestäytyneet kuution muotoisen hilan mukaisesti ja että atomien välinen etäisyys on d0 . Atomien väliselle vuorovaikutusvoimalle F = −dΨ/dr otaksutaan
Lennartin-Jonesin potentiaalilauseke
Ψ = −A
d0
r
6
+B
d0
r
12
.
Määritä materiaalin koheesiolujuuden σc lauseke. Huomaa, että oppikirjassa atomien
välinen vuorokaikutusvoima on määritelty puristavana positiiviseksi, joten lujuusopissa
yleisesti käytetyn merkkisopimuksen mukaan jännitys on
σ=−
F
.
d20
Muodonmuutos ε voidaan määritellä
x
r − d0
=
,
d0
d0
ε=
jossa x on poikkeama tasapainoasemasta. Katso oppikirjan kuvaa 3.1. Määritä myös
pintaenergian γ0 lauseke
Z
∞
2γ0 =
σ dx.
0
Mitkä lukuarvot σc ja γ0 saavat jos kimmokertoimella on arvo E = 210 GPa ja atomitasojen välinen etäisyys on d0 = 2.5 · 10−10 m.
2. Tarkastellaan ns. Kirschin ongelmaa, eli pyöreän reiän (säde a) aiheuttamaa tasojännitystilaa levyssä, jonka mitat ovat huomattavasti reiän kokoa suuremmat. Oletetaan,
että kaukana reiästä levyssä vallitsee tasan jakautunut x-akselin suunnassa vaikuttava
vetävä jännitys σ∞ .
y
σ∞
σ∞
r
θ
2a
x
b
y
Ongelma voidaan ratkaista
tarkastelemalla rengaslevyä, jonka sisäsäde on a ja ulkosäde
b a, jolloin jänitystila rengaslevyn ulkoreunalla r = b on hyvin lähellä yksiakselista
σ∞
σ∞
jännitystilaa σx = σ∞ , σy = τxy = 0, joka lausuttuna napakoordinaatistossa on
2a
σr = σ∞ cos2xθ = 12 σ∞ (1 + cos 2θ),
α
τrθ = − 12 σ∞ sin 2θ.
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 1. kotiteht. 8.9.2015
F
h
1
Ongelma voidaan nyt ratkaista superponoimalla kahdesta kuormituksesta rengaslevyn
ulkoreunalla:
σr (r = b, θ) = 12 σ∞ ,
τrθ (r = b, θ) = 0,
(1)
ja
(2)
τrθ (r = b, θ) = − 21 σ∞ sin 2θ.
σr (r = b, θ) = 12 σ∞ cos 2θ,
Kummassakin tapauksessa tietenkin sisäreuna r = a on jännityksetön. Ensimmäisessä
tapauksessa (1) jännitystila on pyörähdyssymmetrinen, eli se on ainoastaan napasäteen
r funktio. Ratkaisu löytyy perusoppikirjoista, esim. A. Ylinen: Kimmo- ja lujuusoppi,
osa II, luku 247, s. 876-877 ja T. Salmi, S. Virtanen: Materiaalien mekaniikka, s. 140-142.
Ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa
1
(a/r)2
σr =
−
σ∞ ,
1 − (a/b)2 1 − (a/b)2
1
(a/r)2
σθ =
+
σ∞ ,
1 − (a/b)2 1 − (a/b)2
τrθ ≡ 0.
Reunaehtotapaus (2) voidaan ratkaista Airyn jännitysfunktion Φ avulla. Yhteensopivuusehto ∆∆Φ = 0 lausuttuna napakoordinaatistossa on muotoa
∂2
1 ∂
1 ∂2
+
+
∂r2 r ∂r r2 ∂θ2
∂ 2 Φ 1 ∂Φ
1 ∂2Φ
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
(3)
= 0.
y
Reunaehtotapauksessa (2) havaitaan, että jännitysfunktio on muotoa
σ∞
Φ = f (r) cosr2θ.
σ∞
θ
x
2a
Sijoittamalla tämä yhteensopivuusehtoon
(3) saadaan dierentiaaliyhtälö funktiolle f .
b
Ratkaise probleema ja piirrä jännitysten lausekkeet
leikkauksessa θ = π/2. Mitkä ovat
johtopäätelmäsi tuloksesta? Jännitysten lausekkeet saadaan jännitysfunktiosta seuraavasti:
2
2
σr =
1 ∂Φ
1 ∂ Φ
+ 2 2,
r ∂r
r ∂θ
σθ =y
∂ Φ
,
∂r2
σ∞
τrθ = −
∂
∂r
∂Φ
∂θ
.
σ∞
3. Määritä millä perusmuototavoilla alla olevien kuvien rakenteissa olevat säröt kuormit2a
tuvat. Esitä lyhyt perustelu.
α
x
Ohje. Kuormitustavan voi päätellä käyttämällä superpositioperiaatetta: (i) määritä jännitystila ehjälle rakenteelle, (ii) aseta näin saatu jännityskenttä vastakkaismerkkisenä
vaikuttamaan särön kyljille.
F
(a)
(b)
F
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 1. kotiteht. 8.9.2015
2
65
Crack-tip field
x-axis and contributes solely to the mode-I crack opening. The T-stress becomes
y K is zero or sufficiently small. It then represents the
important especially when
I
dominantσ∞part of the mode-I field.
σ∞
The field in the vicinity of
r the tip of a straight crack with traction-free crack
Kohdassa (f) sylinterissä vallitsee sisäinen paine ja putken pituuden muutos on estetty.
faces is,Kohdissa
according
to(f)
(4.5)
as a sum of the eigenfunctions.
θand (4.13),
x
(e) ja
kulma
α = 45◦ . composed
2a
Among them, the first term (i.e., the crack-tip field) dominates if the crack tip is
4. Oheisen
suuressa
levyssä on vaakatasoon
nähden
kulmassa
oleva
approached
(r kuvan
→ 0). mukaisessa
But itb should
be emphasized
that for larger
distances
r, αthe
suora 2a:n pituinen särö. Levyä kuormitetaan vaakasuuntaisella jännityksellä σx = σ∞ .
higher-order terms can not be neglected. Furthermore, it can be shown that the
Määritä särön kärjen jännitysintensiteettikertoimet.
crack-tip field has exactly the same form as (4.6) or (4.14) and (4.15), respectively,
y
if the crack faces are loaded (Fig. 4.4a) or if volume forces are present. This also
applies to
σ∞a crack which is curved in the
σ∞ region close to the crack tip (Fig. 4.4b).
2a
α
x
y
r
ϕ
x
5. Tarkastellaan edellisen tehtävän rakenneosaa. Murtumisen oletetaan
tapahtuvan kun
F
ehto
2 2
KI
KIc
KII
b) KIIc
h
+
= 1,
a)
L
toteutuu, jossa
KIc 6= KIIc . Tutki mitkä kulman α arvot ovat vaarallisimmat suhteen
Figure
4.4: a) Loaded crack faces, b) curved crack
KIc /KIIc funktiona.
b
6. Määritä oheisen kuvan mukaisen V-loven kärjen singulaarisuuseksponentti λ0 muodolI ja II. Muodon
tapauksessa
napakoordinaatistossa
esitettynä
Thelesingularity
of theI order
r −1/2 isjännitysfunktio
typical for a crack
tip. Singular stresses
of on
symmetrinen
eventually
a different type of singularity can also appear in many other problems
Φ = Arλ+2
cos(λθ) + Brλ+2 cos[(λ
+ 2)θ].
of linear elasticity. As an example,
a “crack-similar”
V-notch
is considered whose
ja
vastaavasti
muodon
II
tapauksessa
antimetrinen
edges form an angle 2α (Fig. 4.5a). The functions (4.9) in conjunction with (4.10)
λ+2
and the boundaryP conditions
=Pλ+2
0 again
to a homogeneous
Φ =(σ
Cr
sin(λθ)
+ Dr
sin[(λ lead
+ 2)θ].
ϕ + iτ
rϕ )ϕ=±α
systemAlla
of equations.
It
differs
from
(4.11)
only
in
that
now
the
α appears
Q1
Q2
olevassa kuvassa
ϕ = θ. Piirrä singulaarisuuseksponentin
λangle
kuvaajat
lovikulman
EI
instead2(π
of π.
Setting
the välillä
determinant
− α)
funktiona
(0, π). of the system to zero, we obtain the equation
L/2 myös jännitysten
L/2 kuvaajat vaaka-akselilla (θ = 0) lovikulman arvolla 0, π/4, π/2.
Piirrä
1
y
r
α
ϕ
x
λ0
1
1/2
α
π/2
a)
π
α
b)
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 1. kotiteht. 8.9.2015
Figure 4.5: a) V-notch, b) smallest eigenvalue
3
7. Vapaasti tuettua L:n pituista I-palkkia kuormittaa jännevälin keskellä pistevoima F .
Palkin uuma ja laipat on tehty levystä, jonka paksuus on t. Laippojen leveys otaksutaan vakioksi b. Mitoita palkin korkeus siten, että σ < σsall . Oleta yksinkertaisuuden
vuoksi, että uuman vaikutus taivutukseen voidaan jättää huomioon ottamatta. Mikä on
jännevälin keskellä alalaipan reunassa olevan levyn läpi menevän särön kriittinen pituus
acr , kun KIc tunnetaan. Mikä on tulos, jos teräs on S355 ja L = 4 m, b = 200 mm, t =
15 mm, F = 100 kN.
F
a
h
EI
L/2
L/2
b
Palautus viimeistään torstaina 24.9.2015 klo 14.15 mennessä.
Tähän kotitehtäväsarjaan liittyvä neuvontaharjoitus maanantaina 21.9.2015 klo 14.15-16.00.
2
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 1. kotiteht. 8.9.2015
4