4/09 - Noppa

Sarjat ja integraalit, kevät 2015
Peter Hästö
9. huhtikuuta 2015
Department of Mathematical Sciences
Epäoleellinen integraali
ˆ
Mitä tarkoittaa
0
1
1
√ dx ja
x
ˆ
1
∞
1
dx?
x2
Käytetään määritelmiseksi Riemann integraalia ja raja-arvoja.
Peter Hästö
University of Oulu
9. huhtikuuta 2015
2/4
Epäoleellinen integraali
ˆ
Mitä tarkoittaa
0
1
1
√ dx ja
x
ˆ
1
∞
1
dx?
x2
Käytetään määritelmiseksi Riemann integraalia ja raja-arvoja.
Funktion
1
xs
Peter Hästö
integraalin suppeneminen väleillä [0, 1] ja [1, ∞).
University of Oulu
9. huhtikuuta 2015
2/4
Epäoleellinen integraali
ˆ
Mitä tarkoittaa
0
1
1
√ dx ja
x
ˆ
1
∞
1
dx?
x2
Käytetään määritelmiseksi Riemann integraalia ja raja-arvoja.
1
xs
integraalin suppeneminen väleillä [0, 1] ja [1, ∞).
P
Yhteys sarjoihin: olkoon f (x) := ∞
k=0 xk χ[k,k+1) (x). Silloin
Funktion
ˆ
n
f (x) dx =
0
n−1
X
xk ,
k=0
joten määritelmien nojalla
ˆ
∞
f (x) dx =
0
Peter Hästö
∞
X
xk .
k=0
University of Oulu
9. huhtikuuta 2015
2/4
Suppenemistarkastelu
Epäoleellisten integraalien suppenemista voi tarkastella samalla
tavalla kuin sarjojen:
I
Positivistermiset sarjat = ei-negatiiviset funktiot
I
majoranttiperiaate = majoranttiperiaate
I
itseinen suppeneminen = itseinen suppeneminen
Peter Hästö
University of Oulu
9. huhtikuuta 2015
3/4
Suppenemistarkastelu
Epäoleellisten integraalien suppenemista voi tarkastella samalla
tavalla kuin sarjojen:
I
Positivistermiset sarjat = ei-negatiiviset funktiot
I
majoranttiperiaate = majoranttiperiaate
I
itseinen suppeneminen = itseinen suppeneminen
Tehtävä: vertaa sarjojen ja integraalien majoranttiperiaatetta.
(Mitä samaa, mitä eroa?)
Peter Hästö
University of Oulu
9. huhtikuuta 2015
3/4
Suppenemistarkastelu
Epäoleellisten integraalien suppenemista voi tarkastella samalla
tavalla kuin sarjojen:
I
Positivistermiset sarjat = ei-negatiiviset funktiot
I
majoranttiperiaate = majoranttiperiaate
I
itseinen suppeneminen = itseinen suppeneminen
Tehtävä: vertaa sarjojen ja integraalien majoranttiperiaatetta.
(Mitä samaa, mitä eroa?)
Esimerkki todistuksesta (L 4.0.27)
Peter Hästö
University of Oulu
9. huhtikuuta 2015
3/4
Epäoleellisuuskohdat
Funktion epäoleellisuuskohdat ovat ne pisteet joiden ympäristössä
funktio ei ole rajoitettu, sekä ±∞. Jokainen epäoleellisuuskohta
pitää tutkia erikseen, kummaltakin puolelta!
Esimerkki
ˆ
2
Interaalit
0
Kuitenkin
1
dx ja
x
ˆ
ˆ
0
1
dx eivät suppene.
−2 x
ˆ 2
−
1
1
dx +
dx ≡ 0
x
−2 x
kaikilla > 0.
ˆ
2
Suppeneeko integraali
−2
Peter Hästö
1
dx?
x
University of Oulu
9. huhtikuuta 2015
4/4