Liikkeet
Transcription
Liikkeet
Liikkeet Haarto & Karhunen www.turkuamk.fi Suureita • Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s • Paikka: tunnus x, y, r, …; yksikkö: metri = m • Paikka on vektorisuure • Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) voidaan ilmoittaa suoralla olevan pisteen paikkakoordinaatin (esim. x) avulla. • Siirtymä on paikan muutos. Tunnus: x, y, r, … x x x0 www.turkuamk.fi • Nopeus: tunnus v, yksikkö m/s • Vektorisuure • Keskinopeus vk on siirtymä jaettuna siihen käytetyllä ajalla x x x 0 vk t t t0 • Keskinopeus EI kerro minkälaista liike on ollut ajan hetkien t0 ja t välillä. • Keskinopeuden etumerkki ilmaisee keskimääräisen kulkusuunnan. Jos –, niin negatiivisen x-akselin suuntaan Jos +, niin positiivisen x-akselin suuntaan www.turkuamk.fi • Keskivauhti uk on rataa pitkin kuljettu kokonaismatka s jaettuna siihen käytetyllä ajalla t. s uk t • Matkan ja siirtymän itseisarvot eivät ole yhtä suuret, jos liikkeen suunta vaihtelee! • Kiihtyvyys a on vektorisuure. • Suoraviivaisessa liikkeessä suunta ilmoitetaan etumerkin avulla (hidastuvuus). • Keskikiihtyvyys ak on nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä ajalla v v v 0 ak t t t0 www.turkuamk.fi Esimerkki keskivauhdista • Autolla käydään 450 km päässä. Menomatkalla keskivauhti on 75 km/h ja paluumatkalla 90 km/h. Laske edestakaisen matkan keskivauhti. s koko matka Keskivauhti on eli uk t käytetty aika Koko matka on 2 450 km 900 km 450 km s s t1 6,0 h t1 uk1 75 km/h 450 km s s t2 5,0 h t2 uk 2 90 km/h Menomatkan aika : u k1 Paluumatkan aika : uk 2 s 900 km Keskivauhti : uk 81,8 km/h 82 km/h t 6,0 h 5,0 h www.turkuamk.fi Tasainen liike • Kappaleen liikkeen sanotaan olevan tasaista, kun kappaleen siirtymät yhtä pitkinä aikaväleinä ovat yhtä suuret. • Kappaleen nopeus on vakio. • Kuvaaja tx-koordinaatistossa on suora. www.turkuamk.fi Muuttuva liike • Muuttuvassa liikkeessä kappaleen siirtymä yhtä pitkinä aikaväleinä vaihtelee. • Kuvaaja tx-koordinaatistossa käyrä, EI suora. www.turkuamk.fi Hetkellinen nopeus • Keskinopeudesta ei selviä, miten nopeus vaihtelee valittuna aikana. • Hetkellinen nopeus tai nopeus v ilmoittaa kappaleen nopeuden mielivaltaisella hetkellä. • Nopeus saadaan, kun lasketaan keskinopeus erittäin pienellä aikavälillä. v lim t 0 x dx t dt • Nopeus on paikan x derivaatta ajan t suhteen (paikan aikaderivaatta). www.turkuamk.fi Nopeuden graafinen tulkinta • Nopeus voidaan selvittää tx-koordinaatistoon piirretystä kuvaajasta. • Jos kuvaaja on suora, niin nopeus on suoran fysikaalinen kulmakerroin. • Jos kuvaaja on käyrä, niin nopeus on käyrää sivuavan suoran, tangentin, fysikaalinen kulmakerroin x x x 0 v t t t0 www.turkuamk.fi www.turkuamk.fi www.turkuamk.fi www.turkuamk.fi v x 18 m - 2 m 2,0 m/s t 10 s - 2 s www.turkuamk.fi • Virheiden pienentämiseksi pisteet (x, t) ja (x0, t0) kannattaa valita riittävältä etäisyydeltä toisistaan. • Nopeuden (kulmakertoimen) etumerkki kertoo nopeuden suunnan. Jos +, niin positiivisen x-akselin suuntaan Jos –, niin negatiivisen x-akselin suuntaan www.turkuamk.fi Kiihtyvyyden graafinen tulkinta • Keskikiihtyvyys ak oli nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä ajalla v v v 0 ak t t t0 • Hetkellinen kiihtyvyys saadaan kuten hetkellinen nopeus v dv a lim dt t 0 t • Kiihtyvyys on nopeuden v derivaatta ajan t suhteen (nopeuden aikaderivaatta). www.turkuamk.fi • Kiihtyvyys voidaan selvittää tv-koordinaatistoon piirretystä kuvaajasta. • Jos kuvaaja on suora, niin kiihtyvyys on suoran fysikaalinen kulmakerroin. • Jos kuvaaja on käyrä, niin kiihtyvyys on käyrää sivuavan suoran, tangentin, fysikaalinen kulmakerroin v v v 0 a t t t0 • Samalla tavalla saatiin nopeus tx-koordinaatistoon piirretystä kuvaajasta www.turkuamk.fi Siirtymä ja nopeuden muutos fysikaalisena pintaalana • Siirtymä voidaan selvittää kuvaajasta, jossa on esitetty nopeus ajan funktiona. • Kun kappaleen nopeus on vakio, niin kuvaaja on vaakasuora viiva. x v x vt t www.turkuamk.fi • Siirtymä oli kuvaajan osan alle jäävän suorakulmion ”pinta-ala” (fysikaalinen pinta-ala). • Yleisemmin: Siirtymä on nopeuskäyrän ja aika-akselin väliin jäävä ”pinta-ala”. t2 x v(t )dt t1 • Huomioi! Aika-akselin alapuolinen ”pinta-ala” on negatiivinen. • Huomioi! Saadaan vain siirtymä EI paikkaa. www.turkuamk.fi Nopeuden muutos • Vastaavalla tavalla kuin siirtymä saadaan nopeuden muutos Δv kiihtyvyyskäyrän ja aika-akselin väliin jäävänä ”pinta-alana”. t2 v a (t )dt t1 • Huomioi! Aika-akselin alapuolinen ”pinta-ala” on negatiivinen. • Huomioi! Saadaan vain nopeuden muutos EI nopeutta www.turkuamk.fi • Esim. Laske siirtymä ajanhetkien 0 s ja 12 s välillä 2 m/s 4 m/s 1 1 2 s 4 m/s 3 s 4 m/s 2 s - 4 m/s 5 s 2 2 2 12 m x www.turkuamk.fi Tasaisesti muuttuva liike • Kappale on tasaisessa muuttuvassa suoraviivaisessa liikkeessä, jos kappaleen kiihtyvyys on vakio • Vapaa putoaminen • Varattu hiukkanen tasaisessa sähkökentässä • Voimassa yleensä vain lyhyen matkan! • Keskikiihtyvyys voidaan korvata vakiolla a ak v v v 0 t t t0 www.turkuamk.fi • Yksinkertaistetaan yhtälöä siten, että kappaleen ohittaessa origoa: • t0 = 0; x0 = 0; • Silloin edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa v v0 a t v v 0 at • Yhtälön kuvaaja tv-koordinaatistossa on suora, jonka kulmakerroin on kiihtyvyys www.turkuamk.fi • Jos ja VAIN JOS kiihtyvyys on vakio, niin keskinopeus v0 v vk 2 • Silloin kappaleen paikka mielivaltaisella hetkellä v0 v x vk t t 2 • Sijoittamalla nopeuden v lauseke v v 0 at edelliseen saadaan x v 0 t at 1 2 2 www.turkuamk.fi Edellinen yhtälö kuvaajan avulla x v 0 t 12 at 2 www.turkuamk.fi • Usein tarvitaan yhtälöä, jossa ei ole mukana aikaa t • Tällainen saadaan yhdistelemällä edellisiä yhtälöitä • v v 0 at ja x v 0 t 12 at 2 v 2 v02 2ax www.turkuamk.fi Esimerkki tasaisesti muuttuvasta liikkeestä Auto lähtee liikennevaloista vakio kiihtyvyydellä 1,50 m/s2. a) Mikä on auton nopeus 8,00 s lähdön jälkeen? b) Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut 8,00 s aikana? a 1,50 m/s 2 v0 0,00 m/s t 8,00 s a) v v0 at 0,00 m/s 1,50 m/s 2 8,00 s 12,0 m/s b) s v0t 12 at 2 0,00 m/s 8,00 s 12 1,50 m/s 2 (8,00 s) 2 48,0 m www.turkuamk.fi Vapaa putoamisliike • Kappale on vapaassa putoamisliikkeessä, kun siihen ei vaikuta muita voimia kuin painovoima • Putoamiskiihtyvyys • g = 9,81 m/s2 laskutehtävissä • mittauksissa Turussa 9,82 m/s2 • Lyhyillä matkoilla voidaan g:n arvoa pitää vakiona www.turkuamk.fi • Tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt ovat voimassa myös vapaassa putoamisliikkeessä • Kiihtyvyyden suunta on alaspäin: a = -g v v 0 at v v 0 gt v0 v x t 2 v0 v y t 2 x v 0 t 12 at 2 y v 0 t 12 gt 2 v 2 v02 2ax v 2 v02 2 gy www.turkuamk.fi Heittoliike • Pystytasossa (2 akselia) tapahtuvaa liikettä • Vain Maan vetovoima vaikuttaa kiihtyvyydellä g = ay –9,81 m/s2 • Ilmanvastusta ei siis huomioida • Tasaisen etenemisliikkeen (vaakasuoraan) ja vapaan putoamisliikkeen (pystysuoraan) yhdistelmä • Toisistaan riippumattomia • Aika yhdistää www.turkuamk.fi • Oletetaan, että kappale lähtee aina origosta (x0 = 0 ja y0 = 0) • Koordinaatiston valinta tarvittaessa • Yleensä tiedetään alkuvauhti v0 ja lähtökulma θ0 www.turkuamk.fi Alkunopeuden komponentit v0 x v0 cos 0 v0 y v0 sin 0 Nopeuden komponentit ajan t kuluttua v x v0 x v0 cos 0 v y v0 y gt v0 sin 0 gt Kappaleen asema ajan t kuluttua (lähtöpaikka origo) x v0 x t v0 cos 0 t y v0 y t 12 gt 2 v0 sin 0 t 12 gt 2 www.turkuamk.fi • Lentoaika on se aika, jonka kuluttua kappale on palannut lähtökorkeudelle 2v0 sin 0 t g • Nousuaika lakikorkeuteen v0 sin 0 tn g • on puolet lentoajasta • Symmetrinen lento, koska ei ilmanvastusta www.turkuamk.fi • Kantama R on matka vaakasuunnassa, jonka kappale liikkuu lentoajassa 2v0 sin 0 R v0 x t v0 cos 0 g 2v02 cos 0 sin 0 v02 sin( 2 0 ) g g • Maksimi saavutetaan, kun θ0 = 45º • Vain jos kappale on palannut lähtökorkeudelle! www.turkuamk.fi www.turkuamk.fi • Huomioi! • Kantaman ja lentoajan kaavoja voi käyttää vain poikkeustapauksissa • Tavallisesti lasketaan ensin aika joko tunnetun korkeuseron tai tunnetun etäisyyden avulla. • Korkeuseroa käytettäessä aika joudutaan ratkaisemaan toisen asteen yhtälöllä • Kun aika on ratkaistu, voidaan sen avulla ratkaista joko etäisyys tai korkeusero www.turkuamk.fi Esimerkki heittoliikkeestä Samppanjapullon korkkia avatessa se osuu ikkunaan 2,5 m etäisyydelle vaakasuunnassa. Korkin lähtökulma on 55° ja lähtövauhti 6,5 m/s. Laske kuinka korkealla korkki käy ja kuinka korkealle ikkunaan korkki osuu lähtöpisteeseen verrattuna. alkuvauhti (x) : v0 x v0 cos 0 3,73 m/s alkuvauhti (y) : v0 y v0 sin 0 5,32 m/s x 0,671 s v0 x korkeus ikkunassa : y v0 y t 12 gt 2 1,365 m 1,4 m v0 y aika radan huipulle : v y v0 y gt n 0 t n 0,543 s g lakikorkeus : y v0 y t n 12 gt n2 1,446 m 1,4 m aika : x v0 x t t www.turkuamk.fi