MAB 03 kertaustehtavia

Mb3 Mallikoe 1.
1.
Määritä funktion f ( x)  3x  2 arvo muuttujan arvolla
5
a) 4 b)
c) k  1 .
6
2.
a) Määritä suorien y  x  3  0 ja y  3x  5 leikkauspiste.
b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (1,3) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
2 y  4 x  3  0 kanssa.
3.
Määritä paraabelin y  x 2  x  6 huipun koordinaatit.
4.
Muumioiden ikää voidaan määrittää niistä mitatun hiili-14-isotoopin pitoisuuden avulla.
Kuinka vanha on muumio Ajattepo, kun sen 14C-isotoopin pitoisuuden mitataan olevan 42 %
alkuperäisestä? Hiili-14-isotoopin puoliintumisaika on 5370 vuotta.
5.
Erään etelämantereella sijaitsevan saaren pingviinipopulaatio oli vuonna 1998 200 yksilöä ja
vuonna 2003 300 yksilöä. Kuinka monta pingviiniä saarella on vuonna 2010, jos
populaation kasvu on a) lineaarista b) eksponentiaalista?
6.
Muodosta sellaiset nollannen, ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktiot, joiden
kuvaajat kulkevat pisteen (1,1) kautta.
Mb3 Mallikoe 2.
1.
Millä muuttujan arvolla funktio f ( x)  6 x  3 saa arvon
3
a) 1 b) 0 c) ?
5
2.
a) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteiden (3,3) ja (3,0) kautta.
b) Määritä vakio a siten, että piste (a,1) on suoralla y  3x  2 .
3.
Ratkaise a) 5 x  24
4.
Hyppy-kirpun hyppyä kuvaa funktio h( x)  0,024 x 2  1,9 x . Muuttujan arvot ovat kirpun
paikka vaakasuunnassa senttimetreinä ja funktion arvot kirpun paikka pystysuunnassa
senttimetreinä. Kuinka pitkä kirpun hyppy on? Kuinka korkealla kirppu käy?
5.
Matematiikan opettaja tilasi oppilailleen graafisia funktiolaskimia 65 kpl, jolloin tilauksen
hinnaksi toimituskuluineen tuli 8762,50 €. Seuraavan vuoden tilaus oli 80 samanhintaista
laskinta toimituskulujen pysyessä samana, jolloin tilauksen hinnaksi tuli 10780 €. Mikä on
laskimen hinta? Entä kuinka suuret ovat toimituskulut? Kuinka paljon maksaisi 70 laskimen
tilaus?
6.
Jarnon tehtävänä on haravoida 800 neliömetrin piha syyslomalla. Hän lupaa vanhemmilleen
haravoida joka päivä 25 % haravavoimattomasta alueesta.
a) Muodosta funktio, joka kuvaa haravoimattoman alueen pinta-alaa päivien funktiona.
b) Kuinka monta neliömetriä pihasta on haravoimatta 7 päivän jälkeen?
1
b) 3 x2  12 c) ( ) x  9 .
4
MB3/ Lyhyitä tehtäviä
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Määritä funktion f ( x)  3x  2 arvo muuttujan arvolla
5
a) 4 b)
c) k  1 .
6
Millä muuttujan arvolla funktio f ( x)  6 x  3 saa arvon
3
a) 1 b) 0 c) ?
5
Määritä suorien y  x  3  0 ja y  3x  5 leikkauspiste.
Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteiden (3,3) ja (3,0) kautta.
Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (1,3) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
2 y  4 x  3  0 kanssa.
Määritä vakio a siten, että piste (a,1) on suoralla y  3x  2 .
7.
Laske funktion nollakohdat
a) f ( x)  2 x  7
b) f ( x)  3x 2  5x  2 c) f ( x)  3x 2  2 x  1
8.
9.
Määritä vakio a siten, että yhtälöllä x 2  3x  a  0 on yksi reaalijuuri.
Määritä paraabelin y  x 2  x  6 huipun koordinaatit.
10. Missä pisteissä paraabeli y  x 2  10 x  5 leikkaa x-akselin?
11. Laske.
a) 132
12. Laske.
1
92
a)
b)
b)
4
81
2
83
5
c) 3 15 .
8
c)
2
5
32
.
13. Ratkaise yhtälö. a) x 2  144 b) x 3  5  22
c) 4 x 7  132  380 .
14. Kuinka suuri täytyy vuotuisen korkoprosentin olla, jotta talletus kaksinkertaistuisi 13
vuodessa?
15. Ratkaise. a) (3) x  27 b) (2) x3  32 .
1
16. Laske a) lne
b) log 3 27
c) log 2 .
4
17. Liuoksen happamuutta tai emäksisyyttä kuvataan pH-luvulla, joka määritellään
pH  lg[H 3O  ] , missä [H 3 O  ] on liuoksen oksoniumionikonsentraatio. Määritä
sitruunamehun pH, kun tiedetään sen oksoniumionikonsentraation olevan 0,01 mol/dm3.
1
18. Ratkaise a) 5 x  24
b) 3 x2  12 c) ( ) x  9 .
4
19. Äänen voimakkuutta L mitataan desibeleinä (dB) ja se riippuu äänen intensiteetistä I
I
seuraavasti L  10 lg , missä I0 = 10-12W/m2. Ylittääkö moottoripyörän äänen voimakkuus
I0
kipurajan 120 dB, kun sen mitattu intensiteetti on 1  10 4 W/m 2 ?
20. Laske f (5) , kun a) f ( x)  lg x 2 b) f ( x)  e x1
c) f ( x)  5
x
.
Mb3 Lyhyitä tehtäviä ratkaisut
1.
Määritä funktion f ( x)  3x  2 arvo muuttujan arvolla
5
a) 4 b)
c) k  1 .
6
5
5
1
Ratk. a) f (4)  3  4  2  10 b) f ( )  3   2  c) f (k  1)  3(k  1)  2  3k  5 6 p.
6
6
2
2.
Millä muuttujan arvolla funktio f ( x)  6 x  3 saa arvon
3
a) 1 b) 0 c) ?
5
1
1
3
2
Ratk. a) 6 x  3  1  x   b) 6 x  3  0  x   c) 6 x  3   x  
3
2
5
5
3.
Määritä suorien y  x  3  0 ja y  3x  5 leikkauspiste.
y  x  3
 x  3  3x  5  x  1  y  1  3  2
Ratk. 
 y  3x  5
4.
6 p.
3p.
Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteiden (3,3) ja (3,0) kautta.
03
1
 ,
3  (3)
2
1
1
1
suoran yhtälö y  0   ( x  3)  y   x  1
2
2
2
Ratk. Kulmakerroin k 
5.
3p.
Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (1,3) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
2 y  4 x  3  0 kanssa.
1
Ratk. Kulmakerroin 2 y  4 x  3  0  y  2 x  1  k  2
2
suoran yhtälö y  (3)  2( x  1)  y  2 x  5
3p.
6.
Määritä vakio a siten, että piste (a,1) on suoralla y  3x  2 .
Ratk. 1  3a  2  a  1 3p.
7.
Laske funktion nollakohdat
a) f ( x)  2 x  7
b) f ( x)  3x 2  5x  2 c) f ( x)  3x 2  2 x  1
7
Ratk. a) 2 x  7  0  x  
2
b) 3x 2  5 x  2  0  x 
5  (5) 2  4  3  (2)
1
 x  2 tai x   .
23
3
 2  2 2  4  3 1  2   8

 ei ratk.  ei nollakohtia. 6p.
c) 3x  2 x  1  0  x 
23
6
2
8.
Määritä vakio a siten, että yhtälöllä x 2  3x  a  0 on yksi reaalijuuri.
9
Ratk. D  (3) 2  4  1  a  0  a  . 3p.
4
9.
Määritä paraabelin y  x 2  x  6 huipun koordinaatit.
 1  12  4  1  (6)
Ratk. Nollakohdat: x 
 x  2 tai  3
2 1
3 2
1
1
1
1
Huipun x-koord.: x 
  , y-koord.: y  ( ) 2   6  6 .
2
2
2
2
4
6p.
10. Missä pisteissä paraabeli y  x 2  10 x  5 leikkaa x-akselin?
10  (10) 2  4  1  5 10  80 10  4 5


 52 5 .
Ratk. x 
2 1
2
2
Vast. Pisteissä ( 5  2 5 ,0 )
3p.
11. Laske.
a) 132
Ratk. a) 13 b) 3
12. Laske.
a)
1
92
Ratk. a) 3
b)
c) 2
b)
b) 4
4
81
5
c) 3 15 .
8
1
2
3p.
2
83
c) 4
c)
2
5
32
.
3p.
13. Ratkaise yhtälö. a) x 2  144 b) x 3  5  22
c) 4 x 7  132  380 .
Ratk. a) x   144  12 b) x 3  27  x  3  27  3
c) 4 x 7  512  x  7 128  2
3p.
14. Kuinka suuri täytyy vuotuisen korkoprosentin olla, jotta talletus kaksinkertaistuisi 13
vuodessa?
Ratk. x13  2  x  13 2  1,0547...  1,055  5,5 %.
3p.
15. Ratkaise. a) (3) x  27 b) (2) x3  32 .
Ratk. a) (3) x  (3) 3  x  3
16. Laske a) lne
Ratk. a) 1
b) log 3 27
b) 3
c) -2 3p.
b) (2) x3  (2) 5  x  3  5  x  8 . 3p.
c) log 2
1
.
4
17. Liuoksen happamuutta tai emäksisyyttä kuvataan pH-luvulla, joka määritellään
pH  lg[H 3O  ] , missä [H 3 O  ] on liuoksen oksoniumionikonsentraatio. Määritä
sitruunamehun pH, kun tiedetään sen oksoniumionikonsentraation olevan 0,01 mol/dm3.
Ratk. pH  lg[0,01]  2 . 3p.
1
b) 3 x2  12 c) ( ) x  9 .
4
lg 24
 1,9746...  1,97
Ratk. a) 5 x  24  x 
lg 5
lg 12
 2  0,2618...  0,26
b) 3 x  2  12  x 
lg 3
1
lg 9
c) ( ) x  9  x 
 1,5849...  1,58 . 6p.
1
4
lg
4
18. Ratkaise a) 5 x  24
19. Äänen voimakkuutta L mitataan desibeleinä (dB) ja se riippuu äänen intensiteetistä I
I
seuraavasti L  10 lg , missä I0 = 10-12W/m2. Ylittääkö moottoripyörän äänen voimakkuus
I0
kipurajan 120 dB, kun sen mitattu intensiteetti on 1  10 4 W/m 2 ?
10 4
Ratk. L  10  lg 12  80 dB . Vast. Ei. 6p.
10
20. Laske f (5) , kun a) f ( x)  lg x 2 b) f ( x)  e x1
Ratk. a) f (5)  lg 52  1,3979...  1,40
c) f (5)  5
5
 36,5548  36,6 . 6 p.
c) f ( x)  5
x
.
b) f (5)  e 51  403,428...  403
MB3/ Tehtäviä
Muodosta sellaiset funktiot, joille a) f (3)  7 b) f (3)  f (3) .
3
2. Laske suoran y   x  3 ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion ala.
4
3. Määritä sellaiset kolme pistettä, jotka ovat samalla suoralla ja muodosta tämän suoran
yhtälö.
4. Matematiikan opettaja tilasi oppilailleen graafisia funktiolaskimia 65 kpl, jolloin tilauksen
hinnaksi toimituskuluineen tuli 8762,50 €. Seuraavan vuoden tilaus oli 80 samanhintaista
laskinta toimituskulujen pysyessä samana, jolloin tilauksen hinnaksi tuli 10780 €. Mikä on
laskimen hinta? Entä kuinka suuret ovat toimituskulut? Kuinka paljon maksaisi 70 laskimen
tilaus?
5. Kun jääkiekon sm-liigaa on pelattu 24 pelikierrosta, on Jokereilla 45 pistettä ja HIFK:lla 35
pistettä. Erään analyysin mukaan arvioidaan, että kauden lopussa 52 pelatun kierroksen
jälkeen Jokereilla on 69 pistettä ja HIFK:lla 77 pistettä. Kierroksesta 25 alkaen arvioidaan
joukkueiden pistemäärän kasvavan lineaarisesti pelattujen kierroksien funktiona. Muodosta
joukkueiden pistemääriä kuvaavat funktiot ja laske minkä pelikierroksen jälkeen HIFK:lla
on enemmän pisteitä kuin Jokereilla.
6. Määritä vakio a siten, että paraabeli y   x 2  ax  5 kulkee pisteen (2,3) kautta. Laske
paraabelin ja koordinaattiakselien leikkauspisteet.
7. Muodosta sellaiset nollannen, ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktiot, joiden
kuvaajat kulkevat pisteen (1,1) kautta.
8. Maatalon isäntä rakentaa eläimilleen suorakulmion muotoisen aitauksen. Lisäksi isäntä
rakentaa väliaidat siten, että aitaus jakautuu kolmeen yhtä suureen suorakulmioon.
Aitamateriaalia isännällä on käytössään 240 m. Muodosta funktio, joka kuvaa aitauksen
pinta-alaa väliaitojen suuntaisen sivun funktiona. Miten isännän kannattaisi valita aitauksen
mitat, jotta aitauksen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri?
1
9. Määritä paraabelin y  x 2  2 x  3 ja suoran y  2 x  3 leikkauspisteen koordinaatit.
2
10. Hyppy-kirpun hyppyä kuvaa funktio h( x)  0,024 x 2  1,9 x . Muuttujan arvot ovat kirpun
paikka vaakasuunnassa senttimetreinä ja funktion arvot kirpun paikka pystysuunnassa
senttimetreinä. Kuinka pitkä kirpun hyppy on? Kuinka korkealla kirppu käy?
11. Paraabeli kulkee pisteiden (0,10), (5,5) ja (15,10) kautta. Onko piste (2,7) paraabelilla?
12. Auto maksoi uutena 13600 €. Yhdeksän vuoden päästä sen arvo oli 3500 €. Kuinka monta
prosenttia auton arvo laskee vuosittain?
13. Yksi irtokarkki maksoi 15 vuotta sitten 10 penniä. Samanlainen irtokarkki maksaa nykyään
10 senttiä. Kuinka monta prosenttia irtokarkin hinta on keskimäärin noussut vuosittain? 1 €
= 5,94573 mk.
1.
2
4x 3
2
9
b) 4 x  6 x 10  16
4
15. Jarnon tehtävänä on haravoida 800 neliömetrin piha syyslomalla. Hän lupaa vanhemmilleen
haravoida joka päivä 25 % haravavoimattomasta alueesta.
a) Muodosta funktio, joka kuvaa haravoimattoman alueen pinta-alaa päivien funktiona.
b) Kuinka monta neliömetriä pihasta on haravoimatta 7 päivän jälkeen?
16. Röntgensäteilyn voimakkuus vähenee säteilyn edetessä aineessa siten, että jäljellä olevan
säteilyn voimakkuus saadaan yhtälöstä I  I 0 e  kx , missä I 0 on säteilyn alkuperäinen
voimakkuus, k aineesta riippuva vakio ja x säteilyn kulkema matka. Kuinka monta prosenttia
säteilyn voimakkuus vähenee 1,5 cm paksussa lyijysuojassa, kun lyijylle k = 0,058 mm-1?
14. Ratkaise a)

17. Muumioiden ikää voidaan määrittää niistä mitatun hiili-14-isotoopin pitoisuuden avulla.
Kuinka vanha on muumio Ajattepo, kun sen 14C-isotoopin pitoisuuden mitataan olevan 42 %
alkuperäisestä? Hiili-14-isotoopin puoliintumisaika on 5370 vuotta.
18. Martin säästötilin saldo on monen vuodensäästämisen jälkeen ylittänyt 10000 euroa. Kuinka
monta vuotta sitten Martti talletti säästötilille 9000 euroa, kun vuotuinen korko on koko ajan
ollut 3,2 % ja korot on lisätty tilille kerran vuodessa?
19. Erään etelämantereella sijaitsevan saaren pingviinipopulaatio oli vuonna 1998 200 yksilöä ja
vuonna 2003 300 yksilöä. Kuinka monta pingviiniä saarella on vuonna 2010, jos
populaation kasvu on a) lineaarista b) eksponentiaalista?
20. Logaritmifunktion f ( x)  log a x kuvaaja kulkee pisteen (8,3) kautta. Määritä a) kantaluku a
1
b) f ( ) .
8
Mb3 / Tehtäviä ratkaisut
1. Muodosta sellaiset funktiot, joille a) f (3)  7
Ratk. a) esim. f ( x)  2 x  1
2.
b) f (3)  f (3) .
b) esim. f ( x)  x 2 .
3
Laske suoran y   x  3 ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion ala.
4
Ratk. Y-akselin leikkauspiste (0,-3),
3
43
x-akselin leikkauspiste: 0   x  3  x  4 , piste (4,0) , ala:
 6.
4
2
3.
Määritä sellaiset kolme pistettä, jotka ovat samalla suoralla ja muodosta tämän suoran
yhtälö.
Ratk. Esimerkiksi pisteiden (0,0) ja (1,1) kautta kulkevan suoran yhtälö: k 
y  0  1( x  0)  y  x ,
kun x  2 niin y  2 eli yksi suoran pisteistä on (2,2).
4.
1 0
 1,
1 0
Matematiikan opettaja tilasi oppilailleen graafisia funktiolaskimia 65 kpl, jolloin tilauksen
hinnaksi toimituskuluineen tuli 8762,50 €. Seuraavan vuoden tilaus oli 80 samanhintaista
laskinta toimituskulujen pysyessä samana, jolloin tilauksen hinnaksi tuli 10780 €. Mikä on
laskimen hinta? Entä kuinka suuret ovat toimituskulut? Kuinka paljon maksaisi 70 laskimen
tilaus?
Ratk. Merkitään x = laskimen hinta, y = toimituskulut
65 x  y  8762,50  y  8762,50  65 x

 8762,50  65 x  10780  80 x  x  134,50 €,

80 x  y  10780
 y  10780  80 x
y  10780  80  134,50  20 € ,
70  134,50  20  9435 €
Vast. Laskimen hinta 134,50 €, toimituskulut 20 €, tilaus 9435 €.
5.
Kun jääkiekon sm-liigaa on pelattu 24 pelikierrosta, on Jokereilla 45 pistettä ja HIFK:lla 35
pistettä. Erään analyysin mukaan arvioidaan, että kauden lopussa 52 pelatun kierroksen
jälkeen Jokereilla on 69 pistettä ja HIFK:lla 77 pistettä. Kierroksesta 25 alkaen arvioidaan
joukkueiden pistemäärän kasvavan lineaarisesti pelattujen kierroksien funktiona. Muodosta
joukkueiden pistemääriä kuvaavat funktiot ja laske minkä pelikierroksen jälkeen HIFK:lla
on enemmän pisteitä kuin Jokereilla.
69  45 6
6
6
171
 , y  45  ( x  24)  y  x 
,
52  24 7
7
7
7
77  35 3
3
3
 , y  35  ( x  24)  y  x  1 ,
HIFK: k 
52  24 2
2
2
6
171

 y  7 x  7
6
171 3
356
 x
 x 1  x 
 39,6

7
7
2
9
y  3 x 1
2

Ratk. Jokerit: k 
6
171
3
, HIFK: f ( x)  x  1 , arvion mukaan HIFK:lla on
x
7
7
2
enemmän pisteitä kierroksen 40 jälkeen.
Vast. Jokerit: f ( x) 
6.
Määritä vakio a siten, että paraabeli y   x 2  ax  5 kulkee pisteen (2,3) kautta. Laske
paraabelin ja koordinaattiakselien leikkauspisteet.
 6  6 2  4  (1)  (5)
Ratk. 3  2  a  2  5  a  6 , nollakohdat: x 
 x  5 tai 1 ,
2  (1)
2
y-akselin leikkauskohta: y  0 2  6  0  5  5 .
Vast. a = 6, leikkaa x-akselin pisteissä (1,0) ja (5,0), leikkaa y-akselin pisteessä (0,-5)
7.
Muodosta sellaiset nollannen, ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktiot, joiden
kuvaajat kulkevat pisteen (1,1) kautta.
Ratk. esim. f ( x)  1, f ( x)  x, f ( x)  x 2 .
8.
Maatalon isäntä rakentaa eläimilleen suorakulmion muotoisen aitauksen. Lisäksi isäntä
rakentaa väliaidat siten, että aitaus jakautuu kolmeen yhtä suureen suorakulmioon.
Aitamateriaalia isännällä on käytössään 240 m. Muodosta funktio, joka kuvaa aitauksen
pinta-alaa väliaitojen suuntaisen sivun funktiona. Miten isännän kannattaisi valita aitauksen
mitat, jotta aitauksen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri?
240  4 x
Ratk. Merkitään väliaitojen suuntaista sivu = x, jolloin toinen sivu y 
 120  2 x ,
2
A( x)  x  y  x  (120  2 x)  2 x 2  120 x , funktion kuvaaja paraabeli ja pinta-ala suurin
paraabelin huipussa, nollakohdat:  2 x 2  120 x  0  x  0 tai 60 , huipun x-koord:
0  60
 30 , y-koord: y  120  2  30  60 .
2
Vast. Väliaitojen suuntainen sivu 30 m, toinen sivu 60 m.
9.
Määritä paraabelin y 
1 2
x  2 x  3 ja suoran y  2 x  3 leikkauspisteen koordinaatit.
2
1 2

1
 y  x  2x  3 1 2
 x  2 x  3  2 x  3  x 2  4 x  0  x  0 tai x  8 .
Ratk. 
2
2
2
 y  2 x  3
Kun x  0  y  2  0  3  3 , kun x  8  y  2  8  3  19 .
Vast. Pisteet (0,3) ja (8,19).
10. Hyppy-kirpun hyppyä kuvaa funktio h( x)  0,024 x 2  1,9 x . Muuttujan arvot ovat kirpun
paikka vaakasuunnassa senttimetreinä ja funktion arvot kirpun paikka pystysuunnassa
senttimetreinä. Kuinka pitkä kirpun hyppy on? Kuinka korkealla kirppu käy?
Ratk. Nollakohdat:  0,024 x 2  1,9 x  0  x(0,024 x  1,9)  0  x  0 tai x  79,166... ,
huipun koordinaatit:
0  79,166...
x
 39,5833...  y  0,024  39,5833...2  1,9  39,5833...  37,6041...  38 .
2
Vast. Hypyn leveys n. 79 cm ja korkeus n. 38 cm.
11. Paraabeli kulkee pisteiden (0,10), (5,5) ja (15,10) kautta. Onko piste (2,7) paraabelilla?
Ratk. Paraabelin yhtälön kertoimet:
10  a  0 2  b  0  c
c  10

25a  5b  5  b  5a  1


2
 25a  5b  c  5

5  a  5  b  5  c

225a  15b  c  10 225a  15b  0
2
10

a

15

b

15

c



1
1
3
 225a  15(5a  1)  0  a  , b  5   1   .
10
10
2
1 2 3
x  x  10 .
10
2
1 2 3
2
y   2   2  10  7  piste (2,7) ei ole paraabelilla.
10
2
5
Paraabelin yhtälö y 
12. Auto maksoi uutena 13600 €. Yhdeksän vuoden päästä sen arvo oli 3500 €. Kuinka monta
prosenttia auton arvo laskee vuosittain?
3500
Ratk. 13600  x 9  3500  x  9
 0,8600...  0,86
13600
Vast. Laskee vuosittain 14 %.
13. Yksi irtokarkki maksoi 15 vuotta sitten 10 penniä. Samanlainen irtokarkki maksaa nykyään
10 senttiä. Kuinka monta prosenttia irtokarkin hinta on keskimäärin noussut vuosittain? 1 €
= 5,94573 mk.
Ratk. 10  p15  0,1  5,94573  100  p  15
0,1  5,94573  100
 1,1261...  1.13 .
10
Vast. Noussut keskimäärin 13 %.
14. Ratkaise a)
Ratk. a)
2
x3
2
4x 3

9
4
b) 4 x
2
 6 x 10
 16
9
93
27
x 2 6 x 10

x

b)
4
 4 2  x 2  6 x  10  2
3
16
64
16
 x 2  6x  8  0  x 
6  6 2  4 1 8
 x  2 tai x  4 .
2 1
15. Jarnon tehtävänä on haravoida 800 neliömetrin piha syyslomalla. Hän lupaa vanhemmilleen
haravoida joka päivä 25 % haravavoimattomasta alueesta.
a) Muodosta funktio, joka kuvaa haravoimattoman alueen pinta-alaa päivien funktiona.
b) Kuinka monta neliömetriä pihasta on haravoimatta 7 päivän jälkeen?
Ratk. a) A( x)  800  0,75 x
b) A(7)  800  0,757  106,7871...  107 Vast. 107 m 2 .
16. Röntgensäteilyn voimakkuus vähenee säteilyn edetessä aineessa siten, että jäljellä olevan
säteilyn voimakkuus saadaan yhtälöstä I  I 0 e  kx , missä I 0 on säteilyn alkuperäinen
voimakkuus, k aineesta riippuva vakio ja x säteilyn kulkema matka. Kuinka monta prosenttia
säteilyn voimakkuus vähenee 1,5 cm paksussa lyijysuojassa, kun lyijylle k = 0,058 mm-1?
Ratk. I  I 0  e 0,058 15  0,4189...I 0  0,42I 0 . Vast. 58 %.
17. Muumioiden ikää voidaan määrittää niistä mitatun hiili-14-isotoopin pitoisuuden avulla.
Kuinka vanha on muumio Ajattepo, kun sen 14C-isotoopin pitoisuuden mitataan olevan 42 %
alkuperäisestä? Hiili-14-isotoopin puoliintumisaika on 5370 vuotta.
lg 0,42
 1,2515... ,
lg 0,5
ikä: 1,2515...  5370 a  6720,7631...  6720 a .
Ratk. K  0,5 x  0,42 K  x 
18. Martin säästötilin saldo on monen vuodensäästämisen jälkeen ylittänyt 10000 euroa. Kuinka
monta vuotta sitten Martti talletti säästötilille 9000 euroa, kun vuotuinen korko on koko ajan
ollut 3,2 % ja korot on lisätty tilille kerran vuodessa?
10000
9000  3,3449... Vast. 4 vuotta sitten.
Ratk. 9000  1,032 x  10000  x 
lg 1,032
lg
19. Erään etelämantereella sijaitsevan saaren pingviinipopulaatio oli vuonna 1998 200 yksilöä ja
vuonna 2003 300 yksilöä. Kuinka monta pingviiniä saarella on vuonna 2010, jos
populaation kasvu on a) lineaarista b) eksponentiaalista?
300  200
 20 yksilöä,
5
vuonna 2010: 300  7  20  440 yksilöä
Ratk. a) Kasvaa vuosittain
300
 1,0844... ,
200
vuonna 2010: 300  1,0844...7  529,2355...  530 yksilöä.
b) Vuosittainen kasvukerroin 200  x 5  300  x  5
20. Logaritmifunktion f ( x)  log a x kuvaaja kulkee pisteen (8,3) kautta. Määritä a) kantaluku a
1
b) f ( ) .
8
Ratk. a) 3  log a 8  a  2
b) log 2
1
 3 .
8