tehtävät

TT/TV Integraalimuunnokset
Metropolia/A. Koivumäki
Tässä tiedostossa ovat kaikki tunnilla esille tulleet tehtävät. (Tosin ihan kaikkia tehtäviä ei välttämättä ole
tunnilla menty läpi kovin tarkasti, jos ollenkaan.)
Ensimmäisellä tunnilla olleet tarvittavan matematiikan perusasoihin liittyneet kertaustehtävät numeroitiin
1:stä lähtien ja sitten varsinaiset kurssiin liittyvät tehtävät numeroitiin taas 1:stä lähtien. Siksi tässä nuo alun
johdantotehtävät on merkitty lisämääreellä "Aluksi".
Aluksi.1. Integrointia
∫ xdx = ______________
b) ∫ x dx = ______________
c) ∫ x dx = ______________
d) ∫ (5 x − 7 x + 9 )dx = ________________________
e) ∫ sin( x) dx = ______________
f) ∫ cos( x) dx = ______________
g) ∫ e dx = ______________
h) ∫ e dx = ______________
i) ∫ [3 sin( 4 x) − 5 cos( x / 3) ]dx = ___________________________
a)
2
n
4
2
x
4x
Aluksi.2. Kompleksimatematiikkaa
a) Miten kompleksiluku a+jb lausutaan muodossa r⋅ejϕ ?
b) Miten kompleksiluku r⋅ejϕ lausutaan muodossa a+jb?
c) Esitä a- ja b-kohdan asia kuvana kompleksitasossa:
Im
b
Re
a
d) Miten ejx lausutaan trigonometristen funktioiden avulla?
e) Mitä on ejnπ , missä n on mikä tahansa kokonaisluku?
f) Mikä on kompleksiluvun cos(x) + j⋅sin(x) itseisarvo?
Aluksi.3. a)
b)
∫ 4e
1
c)
jx
∫ Ae
−1
∫e
j 2πf ⋅t
dt =
⋅ cos(5 x)dx =
j 2π f t
dt =
Tästä alkavat "Tunnilla vastattavaksi tarkoitettuja tehtäviä" –tyyppiset tehtävät.
1. Piirrä näiden sinisignaalien kuvaajat:
a) Taajuus 1 Hz, amplitudi 1, vaihekulma 0°.
b) Taajuus 50 Hz, amplitudi 325 V, vaihekulma 180°.
c) Samaan kuvaan:
Taajuus 1 kHz, amplitudi 10, vaihekulma 90°.
Taajuus 1 kHz, amplitudi 10, vaihekulma −90°.
2. Mikä on tämän kolmioaallon a) perustaajuus b) viides harmoninen taajuus?
v(t)
Vastaus: Koska T0 =
40
t/µs
, on
a) f0 =
b)
3. Erään jaksollisen signaalin jaksonpituus on 100 ms. Signaalin n:nnen harmonisen taajuuskomponentin
amplitudi on
1
ja n:nnen harmonisen taajuuskomponentin vaihekulma = 90°. Kirjoita signaalin yhtälö
n
Fourier-sarjana.
Vastaus: v(t ) =
∑
(Täydennä ylläoleva.)
, missä f0 =
4. Sakara-aallon
v(t)
A
T
-A
t
2T
yhtälö on
sin(2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t ) sin(2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t ) sin(2π ⋅ 7 f 0 ⋅ t )
4A 

⋅ sin(2π ⋅ f 0 ⋅ t ) +
+
+
+ ...
3
5
7
π 

Koska sin( x) = cos( x − 90°) , tämä voidaan kirjoittaa kosinien summana:
v(t ) =
v(t)=
Tästä nähdään suoraan, mikä on sakara-aallon Fourier-sarjassa
∞
v(t ) = ∑ An ⋅ cos( 2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
n =0
n:nnen harmonisen taajuuskomponentin amplitudin An lauseke: An =
ja n:nnen harmonisen taajuuskomponentin vaihekulman ϕn lauseke: ϕn =
Joten sakara-aallon yhtälö voidaan kirjoittaa Fourier-sarja -muodossa:
v(t ) = ∑
(Täydennä sigman ylä- ja alapuolelle ja perään.)
5. Tässä erään jaksollisen signaali amplitudi- ja vaihespektri:
Amplitudi
Vaihe/ast.
4
180
3
135
2
90
1
45
f/kHz
1
2
3
4
f/kHz
1
2
3
4
Signaalin spektristä nähdään nämä asiat:
•
Mitä taajuuksia signaaliin sisältyy?
•
Amplitudispektri → Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän taajuuden amplitudi?
•
Vaihespektri → Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän taajuuden vaihe?
Kerää noiden kysymysten vastaukset tähän taulukkoon:
Taajuus
Amplitudi
Vaihe
Joten signaalin yhtälö voidaan kirjoittaa kosinien summana:
v(t) =
6. Edelläoleva amplitudispektri on esitetty amplitudien absoluuttiarvoja käyttäen. Silloin pystyakselin
lukuarvot ovat esim. voltteja. Käytännössä amplitudispektrin arvot esitetään usein desibeleinä, yleensä niin,
että suurin esiintyvä dB-arvo on 0 dB, jolloin kaikki muuta arvot ovat negatiivisia dB-arvoja. Jos
absoluuttiarvoin esitetyn amplitudispektrin suurin amplitudiarvo on Amax , niin silloin amplitudiarvon A
 A
 Amax
desibeliarvo on 20 ⋅ log10 

 dB. Alla olevassa kuvassa on ylläoleva amplitudispektri desibeleinä.

Laske taulukkoon spektriviivojen dB-arvot kahden desimaalin tarkkuudella.
Taajuus
Ampl.
Ampl./dB
(abs.)
Amplitudi/dB
0
-5
-10
-15
f/kHZ
-20
1
2
3
4
Miten laskit taulukon arvot?
Kirjoita kaavoja tähän alle.
7. a) Piirrä sakara-aallon (jaksonpituus 2 µs) amplitudispektri desibeleinä. Ota mukaan spektriviivat −20
dB:n tasoon asti.
Vastaus:
Ensimmäinen laskettava asia: Koska jaksonpituus T0 = _______, on perustaajuus f0 = _________________
Seuraavaksi kannattaa täyttää tällainen taulukko:
Monesko
harmoninen
Taajuus
/MHz
Amplitudi (kalvojen sivun
8 perusteella)
Amplitudi desibeleinä
suhteessa suurimpaan
amplitudiarvoon
*
**
Ja
edelleen
äärettömään
asti
Kirjoita tähän, miten laskit *:llä ja **:llä merkittyjen kohtien lukuarvot:
*:
**:
Pohja amplitudispektrin piirtämiselle.
b) Millä taajuudella tämän sakara-aallon amplitudispektrin taso alittaa −40 dB?
Vastaus: Sakara-aallon n:nnen harmonisen amplitudi on: An = __________________________
Kun tästä ratkaistaan, millä n:n arvolla tämän dB-arvo (verrattuna amplitudin maksimiarvoon, joka toteutuu
n:n arvolla _______ ja on ______________ ), alittaa −40 dB, pitää ratkaista tämä yhtälö:
Ratkaisu: Ensimmäinen n:n arvo, jolla An alittaa −40 dB on n = __________ , joka vastaa taajuutta
___________ MHz.
8. Kolmioaallon
v(t)
A
T0
-A
t
yhtälö on
8A 
sin( 2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t ) sin( 2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t ) sin( 2π ⋅ 7 f 0 ⋅ t )

+
−
+ ...
⋅ sin( 2π ⋅ f 0 ⋅ t ) −
2 
2
2
2
3
5
7
π 

Koska sin( x) = cos( x − 90°) , tämä voidaan kirjoittaa kosinien summana:
v(t ) =
v(t)=
Tästä nähdään, mikä on kolmioaallon Fourier-sarjassa
∞
v(t ) = ∑ An ⋅ cos( 2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
n =0
n:nnen harmonisen taajuuskomponentin amplitudin An lauseke: An =
ja n:nnen harmonisen taajuuskomponentin vaihekulman ϕn lauseke: ϕn =
Joten kolmioaallon yhtälö voidaan kirjoittaa Fourier-sarja -muodossa:
v(t ) = ∑
(Täydennä sigman ylä- ja alapuolelle ja perään.)
9. a) Piirrä kolmioaallon (jaksonpituus 2 µs) amplitudispektri desibeleinä. Ota mukaan spektriviivat −40
dB:n tasoon asti.
Vastaus:
Jaksonpituus on sama kuin tehtävän 7 sakara-aallolla, joten perustaajuuskin on sama:
T0 = ___________, f0 = _________________
Täytetään samanlainen taulukko kuin tehtävässä 7 sakara-aallolle:
Monesko
harmoninen
Taajuus
/MHz
Amplitudi (tehtävän 8
perusteella)
Amplitudi desibeleinä
suhteessa suurimpaan
amplitudiarvoon
*
**
Ja
edelleen
äärettömään
asti
Kirjoita tähän, miten laskit *:llä ja **:llä merkittyjen kohtien lukuarvot:
*:
**:
Piirrä kolmioaallon spektri samaan kuvaan aiemmin piirretyn sakara-aallon spektrin kanssa:
0
Ampl./dB
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
...
-40
-45
-50
0
1
2
3
4
5
f/MHz
6
b) Millä taajuudella tämän kolmioaallon amplitudispektrin taso alittaa −40 dB?
Vastaushan on nähtävissä spektrin kuvasta ilman sen kummempia laskutoimituksia: ___________ MHz.
(Sakara-aallollahan vastaavaksi taajuudeksi saatiin 50.5 MHz.)
10. Piirrä allaolevaan kuvaan siniaallon seuraksi saman jaksonpituuden ja amplitudin omaava sakara-aalto
ja kolmioaalto.
T0
Kumpi muistuttaa enemmän siniaaltoa? Miten tämä asia on nähtävissä tehtävässä 9 olevia spektrejä
tutkimalla?
11. Puhelinverkko päästää läpi taajuudet 300 Hz ... 3400 Hz. Miltä näyttää taajuustasossa (= spektri) ja
aikatasossa (= aaltomuoto)
a) sakara-aalto, jonka jaksonpituus on 0.5 ms
b) sakara-aalto, jonka jaksonpituus on 5 ms
kun kyseinen sakara-aalto on välitetty puhelimitse paikasta toiseen?
12. Sovella tätä matematiikan peruskaavaa
cos( x) =
(
1 jx − jx
e +e
2
)
niin, että muutat sinisignaalin
v(t ) = A cos(2πft + ϕ )
yhtälön kompleksiseen eksponenttimuotoon. Siis:
v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) = __________________________________________
Sievennä lauseke soveltaen tätä: e a +b = e a ⋅ eb . Siis:
v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) = __________________________________________
13. Edellä saatiin kahden ajasta t riippuvan kompleksisen eksponenttilausekkeen summa. Piirrä alle
kompleksitasoon, miten noiden kahden kompleksisen lausekkeen arvo käyttäytyy, kun aika t kasvaa:
Vinkki: Piirrä kumpaakin lauseketta vastaava osoitin hetkellä t = 0, ja sitten mieti, mitä osoittimelle
tapahtuu, kun t kasvaa.
Im
Im
Re
Re
Selitystä:
14. Mitä tarkoittikaan sinisignaalin v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) taajuus f ?
Sitä että _________________________________________________________________________
Miten tulkitset taajuuden f tarkoittavan edellisessä tehtävässä piirtämissäsi kuvissa?
Vasemmanpuoleisessa kuvasssa: ________________________________________________________
Oikeanpuoleisessa kuvasssa: ____________________________________________________________
15. Edellä tehtävässä 12 todettiin, että
A cos(2πft + ϕ ) =
A jϕ j 2πft A − jϕ − j 2πft
e e
+ e e
2
2
Ja sitten on aiemmin todettu (kalvot, s. 6), että jos signaali v(t) on jaksollinen, niin sen aaltomuodon yhtälö
ajan funktiona voidaan lausua Fourier-sarjana:
∞
v(t ) = ∑ An cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
n =0
Siis jaksollinen signaali on nf0-taajuisten sinimuotoisten komponenttien summa.
Kun nuo kaksi edelläolevaa yhdistetään, niin voidaan päätyä jaksollisen signaalin v(t) kompleksisen
Fourier-sarjan yhtälöön:
∞
∑c
v (t ) =
n = −∞
n
⋅ e j 2π ⋅nf 0 ⋅t
Siis jaksollinen signaali on taajuudella nf0 pyörivien kompleksisten vektorien (osoittimien) summa.
Aiemmin on kerrottu, että jos v(t) on sakara-aalto, niin sen Fourier-sarjassa
∞
v(t ) = ∑ An cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n ) amplitudit An ja vaiheet ϕn saadaan näin:
n =0
4A

An =  nπ
0
ϕ n = −90°
kun n on pariton
kun n on parillinen
Mistä tuo tiedetään? Ne on laskettu soveltamalla Fourier-analyysin matematiikkaa. Millaista se on? Emme
nyt tutustu siihen, miten reaalisen Fourier-sarjan amplitudit ja vaiheet saadaan, vaan mennään suoraan
kompleksiseen Fourier-sarjaan. Ilman sen kummempia johtamisia, tämä pätee:
Jos signaali v(t) on jaksollinen, niin se voidaan lausua Fourier-sarjana
v (t ) =
∞
∑c
n = −∞
sarjassa esiintyvä kompleksinen kerroin cn saadaan näin:
Tässä merkintä
∫
cn =
n
⋅ e j 2π ⋅nf 0 ⋅t
ja
1
v(t )e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt
∫
T0 T0
tarkoittaa määrättyä integraalia T0:n pituisen ajanjakson yli. Integroinnin alaraja on
T0
vapaasti valittavissa, mutta yläraja on alaraja+T0. Joissakin tapauksissa cn:n saa lasketuksi helpoiten
integroimalla −T0/2:sta T0/2:een, toisissa tapauksissa integrointi 0:sta T0:aan johtaa helpommin
sieventyvään cn:n lausekkeeseen.
Tehtävä: Määritä sakara-aallon Fourier-sarjan kertoimen cn lauseke.
(Tehdään tunnilla niin että opettaja antaa liitutaululla vinkkejä, miten edetään ja jokainen ainakin yrittää
selviytyä tehtävästä, mielellään naapurien kanssa asiaa miettimällä.)
16. Miten edellä saadusta sakara-aallon cn:n lausekkeesta saadaan jo moneen kertaan esitetyt sakara-aallon
An ja vaiheet ϕn :n lausekkeet?
Vastaus:
17. Määritä kolmioaallon (kuvassa) kompleksisen Fourier-sarjakehitelmän
v(t ) =
∞
∑c e
n = −∞
j 2πnf 0t
n
kertoimet cn . Kirjoita sitten lauseke amplitudispektrin määrittäville arvoille
|cn| ja vaihespektrin määrittäville arvoilla arg(cn).
v(t)
A
t
T0
-A
Kertoimen integraalilausekkeen laskemista varten tarvittavaksi jakson pituiseksi ajaksi kannattaa valita
T0 T0
L . Tuolla välillähän kolmioaalto koostuu kolmesta suoranpätkästä, joiden yhtälöt pitää
2
2
T T
selvittää. Sitten lasketaan F-sarjan kertoimet antava integraali välin − 0 ... 0 yli kolmessa osassa:
2
2
T T
T T
T T
− 0 ... 0 , − 0 ... 0 ja 0 ... 0 . Osoittautuu, että integrointi on sen verran suuritöinen homma, että ei
2
4
4
4
4
2
aikaväli −
sitä kannata kokonaan tehdä ainakaan liitutaululla. Tunnilla katsellaan, mihin yritys johtaa.
18. Määritä oheisen pulssijonon kompleksisen Fourier-sarjakehitelmän
kertoimet cn .Pulssijonossa siis toistuu τ :n pituinen A:n korkuinen pulssi jaksonpituudella T0.
v(t)
A
t
-T0
τ
T0
Nytkin integrointiväliksi kannattaa valita −
T0 T0
... .
2
2
19. Piirrä tehtävässä 18 määritellyn pulssijonon amplitudispektri, kun
a) T0 = 4 ms, A = 1, τ = 1 ms
b) T0 = 4 ms, A = 1, τ = 2 ms
c) T0 = 4 ms, A = erittäin suuri (lähestyy ääretöntä), τ =
d) T0 = 4 ms, A = 1, τ = 4 ms
1
s
A
20. Jos signaalin aaltomuoto ei ole jaksollinen, voidaan ajatella, että sen jaksonpituus on (lähes) ääretön,
jolloin sen perustaajuus on (lähes) nolla. Silloin sen harmoniset taajuuskomponentit ovat (lähes) äärettömän
tiheässä. Näin päädytään siihen, että kun jaksollisen signaalin spektrissä esiintyy nollasta poikkeavia arvoja
vain tietyillä (harmonisilla) taajuuksilla:
niin ei-jaksollisen signaalin spektrissä voi esiintyä nollasta poikkeavia arvoja kaikilla taajuuksilla:
Jos signaalin (jaksollisen tai ei-jaksollisen) aaltomuodon yhtälö on v(t), niin sen spektrin yhtälö saadaan
Fourier-muunnoksella:
∞
V ( f ) = ∫ v (t )e − j 2πft dt
−∞
Merkintätapa: aaltomuodon nimi pienellä kirjaimella (v, x, y, ...) → Fourier-muunnos isolla kirjaimella (V,
X, Y, ...)
Tehtävä: Määritä yksittäisen suorakulmaisen jännitepulssin
v(t)
A
t
−τ/2
spektri.
τ/2
Ratkaisun askeleet:
Miten pulssin yhtälö v(t) voidaan kirjoittaa? Täydennä:

v(t ) = 

<t <
kun
muualla
Siispä kun integroidaan −∞:stä +∞:ään, on integroitavan arvo melkein koko ajan nolla. Vain ihan origon eli
hetken t = 0 ympäristössä integroidaan jotain nollasta poikkeavaa. Jää siis laskettavaksi määrätty integraali
(täydennä alleviivatut kohdat):
V( f ) =
⋅ e − j 2πft dt
∫
= ...
21. Suorakulmainen pulssi on yksi tietoliikenteen perussignaaleista. Nimittäin digitaalisessa siirrossa
voidaan ajatella, että bitit kulkevat kaapelissa jännitepulsseina, esim. näin:
Jännite
Aika
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
(Tosin käytännön tiedonsiirrossa aika harvoin tilanne on ihan näin yksinkertainen.)
Suorakulmaiselle pulssille onkin käytössä erityinen merkintätapa. Tehtävän 20 kuvassa oleva A:n korkuinen
ja τ:n kestoinen pulssi voidaan kirjoittaa yhtälönä näin:
t
v(t ) = AΠ 
τ 
Pulssin symbolina käytetty merkki on iso pii-kirjain.
t
τ 
 t −T 
 kuvaaja, kun
 2τ 
Tehtävä: Piirrä kolmesta pulssista koostuvan signaalin v(t ) = AΠ   + BΠ 
a) A = B = 2, τ = 1 ms, T = 3 ms
b) A = 2, B = −1, τ = 2 ms, T = −4 ms
22. Edellisessä tehtävässä tuli esille käsite viive. Jos signaalia viivästetään, sen aaltomuoto siirtyy muotonsa
säilyttäen aika-akselilla viiveen verran joko oikealle (positiivinen viive) tai vasemmalle (negatiivinen
viive). Koska tämä on matematiikan kurssi, otetaan edes yksi todistamistehtävä: Osoita, että jos signaalin
v(t) Fourier-muunnos on V(f), niin viivästetyn signaalin v(t−T) Fourier-muunnos on
23. Kirjoita tehtävän 21 a-kohdan signaalin Fourier-muunnoksen yhtälö.
V(f) =
V ( f )e − j 2πfT .
24. Varsin helppoa on osoittaa oikeaksi tämä superpositioteoreema:
A1 ⋅ v1 (t ) + A2 ⋅ v2 (t ) ↔ A1 ⋅V1 ( f ) + A2 ⋅V2 ( f )
Tuossa näkyy yksi käytössä oleva merkintätapa eli kaksipäinen nuoli. Jos V(f) on signaalin v(t) Fouriermuunnos, niin merkitään v(t ) ↔ V ( f ) .
v(t)
τ
Tehtävä: Määritä oheisen kuvan signaalin Fourier-muunnos.
Ratkaisun askeleet:
• Kirjoita signaalin yhtälö kahden viivästetyn
suorakulmaisen pulssin summana.
• Superpositioteoreeman mukaan signaalin F-muunnos on
-T
noiden pulssien F-muunnosten summa. Kirjoita tuo
summa ottaen viiveet huomioon tehtävässä 22 osoitetulla tavalla.
• Sievennä lauseke. Käytä hyväksi tätä tuttua kaavaa: cos( x) = 12 e jx + e − jx
(
τ
A
t
T
)
25. Sama tehtävä kuin 24, mutta signaali on eri:
v(t)
τ
A
t
T
-T
-A
τ
Tässä voit sieventämisessä käyttää hyväksi tätä toista tuttua kaavaa: sin( x) =
1
2j
(e
jx
− e − jx
)
Huom! Tunnilla 8.2. jaetussa tehtävien paperiversiossa tuo ylläoleva sinikaava oli väärin (leikepöytäkirous
iski), siinä oli sulkujen sisällä plus-merkki. Korjaa paperiin, jos se vielä on tallella.
26. Signaalinkäsittelyssä (sekä laitteisto- että ohjelmistoperusteisessa, sekä digitaalisessa että analogisessa)
derivointi ja integrointi ovat varsin hyödyllisiä signaaliin kohdistettavia toimenpiteitä. Ilman johtamista
näiden merkitys Fourier-analyysissä:
Jos v(t ) ↔ V ( f ) niin
dv(t )
↔ j 2πf ⋅ V ( f )
dt
t
V( f )
∫ v(λ )dλ ↔ j 2πf
Siis: Signaalin derivointi aiheuttaa sen, että signaalin spektri tulee kerrotuksi j2πf:llä ja signaalin integrointi
aiheuttaa sen, että signaalin spektri tulee jaetuksi j2πf:llä.
t
Merkinnän
∫ v(λ )dλ selitystä: Signaalin v(t) integrointi on aloitettu joskus menneisyydessä, esim. silloin
kun on kytketty päälle se laite, jossa v(t) esiintyy. Siksi määrätyn integraalin alarajaa ei ole merkitty.
Integroinnin yläraja on nykyhetki t, joka tietenkin koko ajan kasvaa, koska niin aika tekee. Muuttuja λ on
t
apumuuttuja, jota käytetään siksi, että merkintä
∫ v(t )dt
saattaisi hämätä. Kuluva aika t on nimenomaan
integroinnin ylärajana, joten aaltomuodon v lausekkeessa on syytä käyttää jotain muuta muuttujaa. Jostain
syystä λ:aa käytetään usein tällaisessa yhteydessä.
v(t)
A
Tehtävä: Määritä oheisen kolmiopulssin Fourier-muunnos.
Tehtävän voisi tehdä soveltamalla Fourier-muunnoksen määritelmää
∞
t
−τ
V ( f ) = ∫ v (t )e − j 2πft dt , mutta tuloksena olisi aika työläästi
τ
−∞
sieventyvä lauseke. Helpommalla pääsee käyttämällä hyväksi tähän mennessä opittuja asioita.
Ratkaisun askeleet:
• Derivoi kolmiopulssi, piirrä derivaatan kuvaaja tähän:
x(t)=dv(t)/dt
t
•
•
•
Totea, että derivaatta on käytännössä sama kuin tehtävän 25 signaali. Nyt vaan tehtävässä 25 olevien
parametrien A, T ja τ tilalla on jotain muuta. (Paitsi että τ tarkoittaa kyllä nyt derivaatan kuvaajassa
samaa asiaa kuin tehtävässä 25.)
Voit siis kirjoittaa suoraan kolmiopulssin derivaatan x(t) F-muunnoksen yhtälön, koska tehtävän 25
vastaus on käytettävissä.
Sitten voit soveltaa tehtävässä 26 kerrottua derivaattalauseketta ja näin saada V(f):lle lausekkeen. Vaatii
hieman sieventämistä. Sinc-funktio tulee vastaan, sehän määritellään: sinc( x) =
sin(πx)
.
πx
27. Signaalin v(t) spektri V(f) on ohessa. Signaalia integroidaan. Piirrä integraalisignaalin amplitudispektri
suhteellisina arvoina (mikä tarkoittaa, että spektrin maksimiarvo = 1).
V(f)
1
f /MHz
-4
-2
2
4
28. Mikä on signaalin v(t ) = A cos(2π f t ) Fourier-muunnos?
Mikä on signaalin v(t ) = A cos(2π f t ) derivaattasignaali x(t ) =
dv(t )
?
dt
Mikä on derivaattasignaalin x(t) Fourier-muunnos?
Onko tulos sopusoinnussa aiemmin esilläolleen derivointisäännön
dv(t )
↔ j 2πf ⋅ V ( f ) kanssa?
dt
29. Erillisessä tekstissä (http://users.metropolia.fi/~koiva/S2014/TV13K-Integr/070.modulaatio.pdf) on
käsitelty tärkeää tietoliikennetekniikan signaalinkäsittelytoimenpidettä eli modulaatiota. Tämä tehtävä
liittyy siihen: Mikä on oheisen signaalin Fourier-muunnos? Vaaka-akselilla on aika mikrosekunteina.
[Tutka saattaa lähettää suunnilleen tällaisia signaaleja.
Tätä kutsutaan esim. tutkapulssiksi, myös termi "purske"
saattaa esiintyä tässä yhteydessä.]
30. Suorakulmaisen pulssin leveys (kesto) = τ ja sen
amplitudi (korkeus) A = 1/τ. (Ei kannata vaivata päätään
yksiköillä, nehän tuossa menee ihan pipariksi.)
a) Miten pulssin yhtälö kirjoitetaan? (Siis käyttäen suorakulmaisen pulssin symboliksi sovittua isoa piikirjainta.)
b) Mikä on pulssin Fourier-muunnos? Piirrä F-muunnoksen kuvaaja.
c) Kun pulssi lyhenee (jolloin se samalla kasvaa korkeutta), niin miten sen F-muunnoksen yhtälö muuttuu?
d) Entä miten pulssin F-muunnoksen kuvaaja muuttuu, kun pulssi lyhenee?
e) Miltä pulssi näyttää, kun se on aivan älyttömän lyhyt, eli kesto = melkein nolla?
f) Miltä näyttää pulssin spektri, kun pulssin kesto = melkein nolla.
Kaksi viimeistä kohtaa parempaa matemaattista kieltä käyttäen: Miten pulssi ja sen spektri muuttuvat, kun
pulssin kesto lähestyy arvoa τ = 0?
Edellisessä tehtävässä päädyttiin impulssiin. Teoriassa impulssi on äärettömän luhyt äärettömän korkea
pulssi, jonka pinta-ala (leveys kertaa korkeus) = 1. Käytännössä impulssiksi kutsutaan erittäin lyhyttä
pulssia (jonka muoto voi olla muutakin kuin suorakulmainen). Impulssia käsitellään teoriatekstissä
(http://users.metropolia.fi/~koiva/S2014/TV13K-Integr/060_Fourieranalyysi.tietoliikenneorientoituneesti.pdf#page=31). Pari impulsseihin liittyvää tehtävää.
31. Piirrä signaalin v(t ) = 2δ (t − 1 s) − 3δ (t − 3 s) kuvaaja.
32. Johda suorakulmaisen pulssin Fourier-muunnos derivoimalla pulssi.
33. Johda kolmiopulssin Fourier-muunnos derivoimalla pulssi kahteen kertaan.
34. Laske tehtävä 24 derivoinnin kautta.