MAB_Preli_s2015

2015 - 2016
Lukion preliminääri
Matematiika
Lyhyt oppimäärä
Preliminäärin saa pitää aikaisintaan torstaina 3. syyskuuta 2015.
Palautelomake löytyy osoitteesta
www.mfka.fi/prelit
Käyttöoikeus:
Preliminäärin käyttöoikeus myönnetään oppilasryhmittäin (oppilasryhmä 36 oppilasta). Kokeen voi monistaa (koetta saa käyttää) seuraavasti: tilattu 1 oppilasryhmä = maks 36 oppilasta
tilattu 2 oppilasryhmää = maks 72 oppilasta jne.
MFKA-Kustannus Oy
Asemamiehenkatu 4, 00520 HELSINKI
puh. 010 322 3162 - sähköposti: [email protected]
Preliminäärikoe
Tehtävät
Lyhyt matematiikka syksy 2015
1/4
Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Eräät tehtävät sisältävät useita osioita [merkittynä a), b)
jne], jolloin kaikkien kohtien käsittely kuuluu tehtävän täydelliseen suorittamiseen.
1. Jokaiseen kohdan laskuun vaaditaan välivaiheita näkyviin. Pelkästä tuloksesta laskimella ei
pisteitä.
a) Laske lausekkeen arvo 2( x − 1) − (3 x + 5) , kun x = −7 .
b) Sievennä (( x + 1) − ( x − 1) ) : 2
c) Sievennä
5 0 + 5 −1
52
2. Ratkaise yhtälöt.
1
a) ( x − 6) = 3
3
b) x 4 = 81
c) ( x + 1) 2 = ( x + 1)( x − 1)
3. a) Lääkäri on määrännyt potilaalle lääkekuurin. Reseptissä lukee, että kuuri sisältää XXVIII
kappaletta tabletteja. Lääkettä otetaan kaksi tablettia kaksikertaa vuorokaudessa. Kuinka monta
vuorokautta kuuri kestää?
b) Toimit sairaanhoitajana. Potilaalle on määrätty lääkettä, jonka vahvuus on 2,4 mg/ml.
Ohjeen mukainen annostus on 20 μg/kg/vrk. Lääkettä annetaan kerran vuorokaudessa. Kuinka
monta millilitraa lääkettä pitää antaa 90 kg painavalle potilaalle?
4. a) Vuoden elintarvikkeen (Sadonkorjuupuuro, Fazer) tuoteselosteessa lukee, että yksi annos (1
dl hiutaleita) sisältää rasvaa 4,4 grammaa. Mikä on tuotteen rasvaprosentti, kun 500 g pakkaus
sisältää 12,5 annosta?
b) Tavaratalon erikoispäiville tilataan erä tuotteita. Kauppias haluaa tuotteista 20 % voiton
sisäänostohinnasta. Lisäksi hän mainostaa, että nämä erikoistuotteet myydään puoleen hintaan.
Kuinka monta prosenttia tuotteen ns. normaalin myyntihinnan pitää olla suurempi kuin
sisäänostohinta, jotta molemmat ehdot toteutuvat?
© MFKA/MAOL
v 0106
Preliminäärikoe
Tehtävät
Lyhyt matematiikka syksy 2015
2/4
5. Laske kolmion ACD hypotenuusan pituus ja kolmion ABE kateettien pituudet.
D
E
3,0 cm
A
B
4,0 cm
C
1,0 cm
1
6. Suorat y = x , y = − x + 4 ja y = −3 x + 4 rajaavat koordinaatistossa kolmion. Piirrä suorat
3
koordinaatistoon. Laske suorien leikkauspisteet. Merkitse kaikkien suorien leikkauspisteet
kuvaan. Laske muodostuneen kolmion pinta-ala hyödyntäen suorien leikkauspisteitä.
7. Korissa on sinisiä, valkoisia ja sinivalkoisia palloja yhteensä 24 kappaletta. Valkoista väriä on
12 pallossa ja näistä palloista 75 % on kokonaan valkoisia.
a) Määritä erilaisten pallojen lukumäärät.
Korista nostetaan yhtä aikaa neljä palloa. Mikä on todennäköisyys, että
b) kaikki pallot ovat sinisiä?
c) kaikki neljä ovat sinivalkoisia?
© MFKA/MAOL
v 0106
Preliminäärikoe
Tehtävät
Lyhyt matematiikka syksy 2015
3/4
8. On kaksi lukujonoa, joiden molempien 1. jäsen on 3. Ensimmäisen jonon peräkkäisten jäsenten
erotus on − 5 . Toisen jonon peräkkäisten jäsenten suhde on − 5 . Laske molemmista jonoista
16 ensimmäisen jäsenen summa. Laske toisen lukujonon jäsenten summan suhde ensimmäisen
lukujonon jäsenten summaan.
9. Piirrä koordinaatistoon jokin kaikkialla kasvavan funktion kuvaaja. Millaisia arvoja funktion
derivaattafunktio saa, jos itse funktio on kaikkialla kasvava? Osoita, että funktio
f ( x) = x 5 + x 3 + 1 on kaikilla muuttujan arvoilla kasvava.
10. Ympyräkartion korkeuden ja pohjaympyrän halkaisijan suhde on 3:2. Kuinka moninkertainen
kartion sivujana on verrattuna pohjan säteeseen? Määritä kartion vaipan pinta-alan lauseke
pohjaympyrän säteen avulla. Laske sen avulla, kuinka suuri on tällaisen kartion tasoon avatun
vaipan (s-säteinen sektori) keskuskulma asteen tarkkuudella.
11. Hopea-atomin (massaluku 106) massan määrä ajan funktiona on
f (t ) = 0,97153 t ⋅ alkuperäinen massa , missä muuttujan t yksikkö on minuutti. Osoita funktion
avulla, että ko. isotoopin puoliintumisaika on 24 minuuttia. Kuinka monta sekuntia kestää, että
isotoopista on hajonnut 10 %?
12. Kuinka monta prosenttia (0,1 % prosentin tarkkuudella) lääkeriippuvuutta aiheuttavan lääkkeen
annostusta on vähennettävä viikoittain, kun 22 viikossa viikkoannos on saatava ehdottomasti
alle 500. osaan alkuperäisestä viikkoannoksesta? Tämän jälkeen viikkoannosta ei enää
pienennetä, mutta lääkettä otetaan vielä kaksi kertaa. Kuinka monta millilitraa lääkettä otetaan
koko aikana yhteensä, kun ensimmäisen viikon viikkoannos on 500,0 ml?
13. Yliopiston pääsykokeen monivalintaosiossa on 60 kysymystä. Oikeasta vaihtoehdosta saa
pisteen ja väärästä vaihtoehdosta saa − 1 pistettä. Tyhjästä saa 0 pistettä. Usean vuoden
tilastojen perusteella on havaittu, että kokeesta saadut pistemäärät ovat likimain normaalisti
jakautuneet. Mitkä ovat kokeen keskiarvo ja keskihajonta, kun tiedetään, että
alle 45 pistettä saa 75,2 % kokeen tekijöistä ja alle 12 pistettä saa 6,3 % kokeen tekijöistä.
© MFKA/MAOL
v 0106
Preliminäärikoe
Tehtävät
Lyhyt matematiikka syksy 2015
4/4
14. Pekka ja Lotta neuvottelivat pankissa kymmenen vuotta vanhan asuntolainan ehdot uusiksi.
Aikaisempi laina oli tasaerälaina. Nyt heidän taloudellinen tilanne on kohonnut, joten he
päätyivät tasalyhennyslainaan. Lainan pääoma on nyt 52 764 euroa. Pankin viitekorko on 6
kk:n euribor (sopimuspäivänä 0,07 %) ja korkomarginaali 1,25 %. Lainan kuukausittainen
maksuerä oli korko + 500 euron lyhennys. Mikä on heidän viimeisen maksuerän suuruus?
Kuinka paljon he maksavat lainasta yhteensä korkoa?
15. a) Pisteen A(6, 2) paikkavektorin a ja pisteestä B (0, 4) alkavan vektorin b = 4i − t j pistetulo
on 16. Laske vektoreiden välinen kulma.
π

b) Erään aurinkoisen kevätpäivän lämpötila noudatti funktiota f ( x) = 12,5 cos ( x + 8)  + 1,2
 12

missä muuttuja on tunteja keskiyöstä ja muuttuja on ilmaistu radiaaneissa. Mitkä olivat
vuorokauden maksimi ja minimilämpötilat.
© MFKA/MAOL
v 0106
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
1/9
1. RATKAISU:
a)
2( x − 1) − (3x + 5)
= 2 x − 2 − 3x − 5
= −x − 7
= -(-7) - 7
= 7-7
=0
sievennys 1p ja
TAI
oikea sijoitus 1p ja oikea tulos 1p
sijoitus + tulos 1p
b)
(( x + 1) − ( x − 1)) : 2
x +1− x +1
2
2
= =1
2
sulkeiden poisto 1p ja
kokonaisuuden jakaminen kakkosella 1p, josta oikea tulos
=
c)
5 0 + 5 −1
52
=
1
5 = 6 :5 = 6 ⋅1 = 6
5
5
5 5 25
1+
kun tunnettu merkinnät 5 0 = 1, 5 −1 =
1
ja 5 2 = 5 , niin 1p
5
murtoluvuilla laskeminen 1p
2. RATKAISU:
a)
1
( x − 6) = 3
3
1
x−2=3
3
1
x = 5 | ⋅3
3
x = 15
sulkeiden poisto 1p ja ratkaisu 1p
b)
x 4 = 81
x = ± 4 81
x = ±3
positiivinen ratkaisu 1p ja negatiivinen ratkaisu 1p
v 0206
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
2/9
c)
( x + 1) 2 = ( x + 1)( x − 1)
x 2 + 2x + 1 = x 2 − 1
2 x = −2
x = −1
sulkeiden poisto 1p ja ratkaisu 1p
3. RATKAISU:
a) tabletteja yhteensä XXVIII kpl eli 28 kpl
vuorokaudessa otetaan 4 tablettia
28:4 = 7
V: 7 vrk
1p
1p
b) yksikön muunnos 2,4 mg = 2400 µg tai 20 µg = 0,02 mg
90 kg painavalle potilaalle annetaan lääkettä 90 ⋅ 20 = 1800 (µg)
1800
joka millilitroina on
V: 0,75 ml
= 0,75 (ml)
2400
2p
1p
1p
4. RATKAISU:
500 g
= 40 g .
12,5
TAI koko paketissa on rasvaa 12 ,5 ⋅ 4, 4 g = 55 g .
4,4 55
Tuotteen rasvaprosentti on
=
= 0,11
40 500
V: 11 %
a) Yksi annos painaa
b) Ostohinta a €
voitto 0,2a €
Normaalihinta b € = 2 ⋅ ( a + 0,2 a ) € = 2,4a €
2,4a − a
Normaalihinta on
= 1,4 kertainen eli
a
140 % suurempi kuin sisäänostohinta
1p
1p
1p
1p
1p
1p
v 0206
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
3/9
5. RATKAISU:
Hypotenuusa AD (= x) saadaan Pythagoraan lauseella.
x 2 = ( 4 + 1) 2 + 3 2
1p.
josta x = 25 + 9 = 34 ≈ 5,83095
V: AD on 5,8 cm
1p.
Kolmion ABE kateetit saadaan verrannolla, kun on osoitettu kolmioiden
yhdenmuotoisuus.
Kun on mainittu, että kolmiot ovat yhdenmuotoiset.
1p
Kun yhdenmuotoisuus on osoitettu KK-lauseen avulla eli todettu että molemmissa
kolmioissa on kaksi yhtä suurta kulmaa ja mainittu, että
kulma A on yhteinen molemmille kolmioilla ja
molemmissa kolmioissa on 90 asteen kulma.
1p
Merkitään BE = y ja AE = z. Tällöin saadaan verrannot
3 5
34
, josta
= =
y z
4
12
V: 2,1 cm.
1p
34 y = 12 ja y =
≈ 2,05798
34
20
V: 3,4 cm.
1p
34 z = 20 ja z =
≈ 3,42997
34
TAI
3
5
Kulma CAD (=α) on tan α = ,
1p
josta α ≈ 39,96 o .
1p
Sivu BE saadaan lausekkeesta sin α =
BE
, josta BE ≈ 2,057988
4
V:2,1 cm
AE
, josta AE ≈ 3,42997
4
V:3,4 cm
1p
Sivu AE saadaan lausekkeesta cos α =
1p
v 0206
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
4/9
6. RATKAISU:
*Suorat piirretty oikein 1p
*Suorien y = x ja y = −3 x + 4
leikkauspisteet laskettu oikein
x = −3x + 4
4x = 4
x =1
1p
y =1
* Suorien y = x ja
1
y = − x + 4 leikkauspisteet
3
laskettu oikein
1
x = − x + 4 |⋅3
3
4 x = 12
x=3
y=3
1p
*Kolmas leikkauspiste saadaan suoraan yhtälöistä (0, 4)
*Leikkauspisteet merkitty kuvaan oikein
*Kolmion pinta-alan voi laskea monella tapaa:
laskulauseke esim.
A(kolmio)= A(suorakulmio)-[A(1)+A(2)+A(3)]
oikeat lukuarvot
1
1
1

A(kolmio) = 3 ⋅ 3 −  ⋅ 3 ⋅ 1 + ⋅ 2 ⋅ 2 + ⋅ 1 ⋅ 3 
2
2
2

= 9 − (1,5 + 2 + 1,5)
1p
1p
1p
= 9−5
=4
v 0206
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
5/9
7. RATKAISU:
a) sinisiä 12 kpl
valkoisia 0,75 ⋅ 12 = 9 kpl
1p
sinivalkoisia 12 − 9 = 3 kpl
1p
b) P(kaikki 4 sinisiä)
=P(1. pallo sininen ja 2. pallo sininen ja 3. pallo sininen ja 4. pallo sininen)
12 11 10 9
15
V: 0,047 tai 0,05
=
⋅ ⋅ ⋅
=
≈ 0,04658
24 23 22 21 322
c) P(kaikki 4 sinivalkoisia)
=P(1. pallo sinivalkoinen ja … ja 4. pallo sinivalkoinen)
3 2 1 0
1p
=
⋅ ⋅ ⋅
24 23 22 21
0
V: nolla
1p
=
322
1p
1p
8. RATKAISU:
Ensimmäinen jono on aritmeettinen lukujono:
a1 = 3 , d = −5 ja a n = 3 + (n − 1) ⋅ (−5) = −5n + 8
a16 = −5 ⋅ 16 + 8 = −72
3 + ( −72)
− 69
= 16 ⋅
= − 552
2
2
Toinen jono on geometrinen lukujono:
a1 = 3 , q = − 5
S16 = 16 ⋅
S16 = 3 ⋅
1 − ( −5)16
1 − ( −5)
= −7,62939... ⋅ 1010 ≈ − 7,6 ⋅ 1010
Summien suhde on
− 7,62939 ... ⋅ 1010
= 138213669
− 552
1p
1p
1p
1p
1p
1p
v 0206
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
6/9
9. RATKAISU:
Kuvaaja
1p
Kuvaaja voi olla suora, pariton potenssifunktio tai paloittain määritelty
funktio, joka ei ole vähenevä millään muuttujan arvolla. Derivoitavuutta
ei tarvitse tässä kohtaa huomioida.
Kaikkialla kasvavan funktion derivaattafunktion arvot ovat aina
positiivisia tai nolla.
f ' ( x) = 5 x 4 + 3 x 2
1p
1p
f ' ( x) = 0 , kun 5 x + 3x = 0 , josta x (5 x + 3) = 0 ja tulon nollasäännöllä
4
2
nollakohdat. x 2 = 0 , josta x = 0
5x 2 + 3 = 0
2
2
ja
5 x 2 = −3 , josta ei tule reaalisia nollakohtia.
3
x2 = −
5
Funktiolla on vain yksi nollakohta,
Koska funktion kulkusuunta voi muuttua vain derivaatan nollakohdassa,
niin lasketaan derivaattafunktion arvot nollakohdan molemmilta puolilta
f ' (−1) = 5 ⋅ (−1) 4 + 3 ⋅ (−1) 2 = 8 ja
f ' (1) = 5 ⋅ 14 + 3 ⋅ 12 = 8 eli
derivaatan arvot ovat positiivisia muualla kuin kohdassa x = 0, jossa
derivaatan arvo on nolla, niin itse funktio f ( x) = x 5 + x 3 + 1
on kaikilla muuttujan arvoilla kasvava.
1p
1p
1p
v 0206
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
7/9
10. RATKAISU:
Sivujana s: s 2 = (3r ) + r 2 = 10r 2 , josta
2
s = 10 ⋅ r
1p
10 ⋅ r
= 10 ≈ 3,2 kertainen pohjan
r
säteeseen verrattuna.
1p
Sivujana on tällöin
Vaipan pinta-ala on
Av = π ⋅ r ⋅ s
= π ⋅ r ⋅ 10 ⋅ r
1p
= 10 ⋅ π ⋅ r 2
Keskuskulma:
Av =
α
π ⋅ s2 = π ⋅ r ⋅ s
o
360
(
1p
)
2
α
π
r
10
= 10 ⋅ π ⋅ r 2 , josta
1p
o
360
α
10 ⋅ π ⋅ r 2
360o ⋅ 10
==
≈ 114o
ja α =
o
2
10
360
10π ⋅ r
1p
11. RATKAISU: merkitään alkuperäistä massaa kirjaimella a.
f (24) = 0,97153 24⋅ a = 0,499976 a eli alkuperäisestä massasta on jäljellä puolet,
joten puoliintumisaika on 24 min.
1p+1p
Kun isotoopista on hajonnut 10 %, niin sitä on jäljellä 90 %
1p
t
Saadaan yhtälö 0,97153 ⋅ a = 0,9a , jonka ratkaisu on
1p
lg ( 0,9 )
t=
≈ 3,64782 (min)
1p
lg ( 0,97153)
V: 3,64782... ⋅ 60s = 218,8693...s ≈ 219s
1p
v 0206
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
8/9
12. RATKAISU:
Muutoksia eli vähennyskertoimella kertomisia on 22 kpl. Kun on kulunut 22 viikkoa
ensimmäisestä annoksesta, otetaan 23. annos.
1p
Viikoittainen vähennys saadaan yhtälöstä
1
x 22 ⋅ a =
a , josta
500
1
≈ ±0,75391
500
Viikoittainen vähennysprosentti on tällöin 100% − 75,4% = 24,6%
x = ±22
1p
1p
Viikkoannokset muodostavat geometrisen lukujonon. Lääkettä otetaan yhteensä
S = S 23 + 2 ⋅ a23 eli
1p
1 − 0,754 23
S = 500 ⋅
+ 2 ⋅ 500 ⋅ 0,754 22
1 − 0,754
S = 2029,447231 + 2,005255 ≈ 2031,452486
1p
V: 2031 ml
1p
13. RATKAISU:
Kokeen pistemäärä x ~ N ( x, s)
Tiedetään, että P( x < 45) = 0,752 eli Φ( z ) = 0,752 . Taulukosta saadaan,
että z 45 = 0,68
1p
Lisäksi tiedetään, että P( x < 12) = 0,063 eli Φ( z ) = 1 − 0,063 = 0,937 .
1p
Taulukosta sekä symmetrian avulla saadaan, että z12 = −1,53 .
Normitetuista arvoista saadaan yhtälöpari

45 − x
= 0,68
 z 45 =
45 − x = 0,68s
 45 − x = 0,68s

s
, josta 
ja edelleen 
.

12 − x = −1,53s
− 12 + x = 1,53s
 z = 12 − x = −1,53
 12
s
Yhteenlaskulla saadaan 33 = 2,21s , josta s = 14,9321... ≈ 15 pistettä.
1p
x = 45 − 0,68 ⋅ 14,9321... = 34,84615384 ≈ 35 pistettä
1p
1p
1p
v 0206
Preliminäärikoe
RATKAISUT
Lyhyt matematiikka syksy 2015
9/9
14. RATKAISU:
Vuotuinen korko 0,07 %+1,25 % = 1,32 %
1,32%
= 0,11%
Maksuerän korko
12
52764
= 105,528 ≈ 106 kpl.
Maksukertoja
500
Viimeinen lyhennys 52764 − 105 ⋅ 500 = 264 (euroa), josta
korko 264 ⋅ 0,0011 = 0,29 (euroa)
Viimeinen maksuerä 264€ + 0,29€ = 264,29€
Ensimmäisen erän korko 52764 ⋅ 0,0011 = 58 ,04 (euroa)
Toisen erän korko (52764 − 500 ) ⋅ 0 , 0011 = 57 , 49 (euroa)
Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon, jossa
a1 = 0,29 , a106 = 58,04 ja d = 58,04 − 57,49 = 0,55
S106 = 106 ⋅
0,29 € + 58,52 €
= 3116 ,93 €
2
1p
1p
1p
1p
1p
1p
15. RATKAISU:
a) Paikkavektori a = 6i + 2 j
Pistetulo a ⋅ b = 6 ⋅ 4 + 2 ⋅ (−t ) = 16 , josta t = 4
1p
a = 6 2 + 2 2 = 40 ja b = 4 2 + (−4) 2 = 32
1p
Vektoreiden välinen kulman cosα =
16
40 ⋅ 32
, josta
α = 63,4 o
π

b) Funktion osan cos ( x + 8)  arvot vaihtelevat − 1 ja 1 välillä, joten
 12

funktion suurin arvo on f suurin ( x) = 12,5 ⋅ 1 + 1,2 = 13,7 astetta ja
pienin arvo on f pienin ( x) = 12,5 ⋅ (−1) + 1,2 = −11,3
1p
1p
1p
1p
v 0206