Jakso 11

763101P Fysiikan matematiikkaa
kesä 2015
Jakso 11
Näytä laskut viimeistään torstaina 4.6. tai palauta ne viimeistään perjantaina 5.6.
Vektorit ja differentiaalilaskenta
1. Olkoon   3x 2  yz ja F  ( y 2 cos x  z 3 ) ˆi  (2 y sin x  4) ˆj  (3xz 2  2) kˆ . Laske
a)   ( ) ja
b)  F .
2. Eräässä kaasusysteemissä kaasu virtaa siten, että sen massavirtatiheys μ   v , missä  on
kaasun tiheys ja v sen nopeus, noudattaa yhtälöä
μ( x, y)  ( x 2  6)ˆi  ( y3  2 y)ˆj .
Puristuuko kaasu kokoon (tiheys kasvaa) vai laajenekoo se (tiheys pienenee) pisteessä
a) (3, 4)
b) (6,1)
c) Missä pisteissä y-akselilla kaasu ei puristu kokoon eikä laajene?
Ohje: Laske divergenssi ja tee päätelmät kontinuiteettiyhtälön perusteella.
3. Kuvataan veden virtausnopeutta vektorikentällä V( x, y)  ( x2  y 2  3 y  1)ˆi  (3x  3)ˆj .
a) Missä pisteissä virtausnopeus on nolla?
b) Kiertyykö vesimassaa kyseisten pisteiden ympäri.
Vektori-integrointi
4. On annettu vektorifunktio R(u)  (1  2u) ˆi  3u 2 ˆj  3 kˆ . Etsi se integraalifunktio
 R(u)du ,
joka parametrin u arvolla u  1 on z-akselin suuntainen yksikkövektori.
5. Laske polkuintegraali

C
F  dr
vektorikentässä F( x, y)  y 2 ˆi  2 xy ˆj pisteestä (0,0) pisteeseen (1,1) pitkin
a) suoraa y  x ,
b) käyrää y  x 2 ja
c) koordinaattiakseleiden suuntaisesti ensin (0,0)  (0,1) ja sitten (0,1)  (1,1)
6. Laske vektorifunktion F  (2 y  3) ˆi  xz ˆj  ( yz  x) kˆ polkuintegraali

C
F  dr
pisteestä (0, 0, 0) pisteeseen (1,1, 2) pitkin seuraavia polkuja:
a) x  t 2 , y  t ja z  2t 3 , pisteestä t  0 pisteeseen t  1
b) koordinaattiakseleiden suuntaisesti reittiä (0,0,0)  (1,0,0)  (1,1,0)  (1,1, 2)
Vastaukset
1.
a) 6
b) 0
2.
a)

 52  0 eli tiheys pienenee, ts. kaasu laajenee
t

 11  0 eli tiheys kasvaa, ts. kaasu puristuu kokoon
t
2

 0 y-akselilla pisteissä y  
3
t
b)
c)
3.
a) Nopeus on nolla pisteissä (1, 0) ja (1,3)
b) Vesimassaa kiertyy pisteen (1, 0) ympäri.
1.0
4.0
0.5
3.5
0.0
3.0
0.5
2.5
2.0
1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
4.
(u  u 2 )ˆi  (u 3  1)ˆj  (4  3u)kˆ
5.
integraalin arvo on 1 pitkin kaikkia annettuja polkuja
6.
544
 5, 2
a) 105
b) 3
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0