Speciale i Stålkonstruktioner

Transcription

Bygningskonstruktør UCN Aalborg
Dimensionering af stålkonstruktioner
Udført af
5. semester speciale efterår 2014
17. november – 28. november
Mads Foldager
1.1 FORORD
Denne rapport omhandler dimensionering af bjælker og søjler i stål, hvor metoderne bliver gennemgået,
derudover bliver der også regnet på en case. På konstruktøruddannelsen bliver studerende undervist i
dimensioneringsprincipperne, som også gennemgås i specialet her, men specialet gå ind og dækker området
vindlast også, som der ikke bliver gjort så meget ud af på uddannelsen.
Udregningerne i specialet er udført, som håndberegninger, der er ikke anvendt specielle programmer, eller
software, som kan dimensionere bjælker og søjler, håndberegningerne er prioriteret, fordi specialet skal være
med til, at give en bedre og bredere forståelse for, hvad der sker ved metoderne til statiske beregninger.
Baggrund for emnevalget er 5. semesters renoveringsprojekt, hvor en del af det tværfaglige projektforløb
indeholder krav om en tilbygning i stål, som skal opføres, så for, at få gennemgået beregningerne på denne
tilbygning er Case beskrivelsen stillet op omkring dette tværfaglige projekt.
1.2 LÆSEVEJLEDNING
Speciale i stålkonstruktioner er et speciale, som beskriver metoder inden for dimensionering af stål. Det
anbefales at kapitlet ”problemstilling” læses, fordi det er her læseren gøres opmærksom på problemet, der
behandles i specialet.
Specialet er opdelt i tre grundlæggende dele, indledning, hoveddel samt referencedel.
Indledningen indeholder fakta omkring, hvem der har udarbejdet opgaven.
Hoveddelen er ydereligere opdelt i tre dele en indledning, som indeholder problemstilling og
problemformulering, som belyser et problem. Hovedteksten vil være alt analyse, teori og diskussioner, som er
blevet undersøgt og bearbejdet, for at kunne udfærdige en konklusion på problemstillingen. Sidste del er
konklusionen, hvor der bliver samlet op på den viden, som er anvendt til specialet, det vil også være her der
kommer et svar til problemformuleringen.
Referencedelen er oversigter på anvendte kilder, billeder, bilag og anden henvisning, som er blevet anvendt
igennem specialet.
Når der anvendes citater i specialet, vil kendetegnet være, at citatet er skrevet med kursiv, kilden til citatet vil
være skrevet umiddelbart efter, og vil følge princippet fra Harvard-metoden.
S i d e 3 | 40
Udført af
Mads Foldager
2 INDHOLDSFORTEGNELSE
Titelblad ............................................................................................................................................................2
1
1.1
Forord .......................................................................................................................................................3
1.2
Læsevejledning .........................................................................................................................................3
3
Indledning .........................................................................................................................................................5
3.1
Problemstilling ..........................................................................................................................................5
3.2
Problemformulering .................................................................................................................................6
3.3
Hypotese ...................................................................................................................................................6
3.4
Afgrænsning..............................................................................................................................................6
3.5
Metode .....................................................................................................................................................6
4
Case på Stålbyggeri ...........................................................................................................................................7
4.1
5
Case beskrivelse........................................................................................................................................7
Teori afsnit ..................................................................................................................................................... 10
5.1
Teorien bag laster på og i konstruktioner ............................................................................................. 10
5.2
Understøttelser i konstruktioner ........................................................................................................... 12
5.3
Elementer, samlinger og konstruktionen .............................................................................................. 14
5.4
Materialeegenskaber............................................................................................................................. 14
5.5
teori til simple understøttede bjælkeberegninger ................................................................................ 15
5.6
Teorien bag ved vindberegninger på bygninger .................................................................................... 18
5.7
Søjledimensionering .............................................................................................................................. 20
6
Teori anvendt i Praksis................................................................................................................................... 23
6.1
Lastberegninger ..................................................................................................................................... 23
6.1.1
Etagedæk ....................................................................................................................................... 23
6.2
Beregning af nedbøjning i stålkonstruktionen ...................................................................................... 24
6.3
Søjledimensionering .............................................................................................................................. 34
7
Konklusion ..................................................................................................................................................... 36
8
Perspektivering .............................................................................................................................................. 37
9
Bibliografi....................................................................................................................................................... 38
10
Figur liste ................................................................................................................................................... 39
11
Bilagsliste ................................................................................................................................................... 40
S i d e 4 | 40
Udført af
Mads Foldager
3 INDLEDNING
På 5. semester bygningskonstruktøruddannelsen skal der skrives et speciale og her er valgt at tage
udgangspunkt i det tværfaglige projektforløb, som omhandler en renoveringsopgave af Carit Etlars Gade 8,
9000, Aalborg, hvor der er krav om, at der skal opføres en stålkonstruktion.
3.1 PROBLEMSTILLING
Problemstillingen ligger til grund for specialet og problemformuleringen. Problemstillingen tager fat i
problemer, som igennem studiet, litteratur og erfaringer er lagt vægt på. Emnet som problemstillingen
beskriver omhandler bæreevnen i stålkonstruktioner, med fokus på statisk dimensionering.
Igennem studiet Bygningskonstruktør på UCN Aalborg, bliver studerende ofte stillet over for opgaver, hvor det
er nødvendigt at anvende stål, fordi der kan forekomme svære situationer, som kræver at f.eks. et etagedæk
skal have en understøttende bjælke. Denne bjælke kræver en dimensionering, som skal udføres af rådgiverne i
et bygningsprojekt og hvordan er det nu lige, at sådan en beregningen skal foretages og hvad er det nu lige en
forskydningskraft er og hvad gør den?
Når der arbejdes med stålkonstruktioner er der mange hensyn, at tage med i beregningerne for, hvordan
konstruktion skal opbygges. Der kan blandt andet nævnes problemstillingerne med hensyn til
brandsikkerheden, idet stål er meget sårbar overfor høje temperaturer, som gør at stålet mister sin bæreevne
og derfor byder sammen. Hvordan kan man sikre at stålet kan holde til en højere temperatur længe nok til at
evakuere alle, som bor eller opholder sig i bygningen inden der sker et brud i konstruktionen. En løsning ville
være, at pakke stålet ind i isolering og gips eller male stålet i brandmaling, som op svulmer og forkuller ved
høje temperature, dette er bare en af mange problemstillinger som projekterende rådgivere bliver stillet
overfor, ved opførelse af en bygning i stål. En anden opgave er, at beregne bæreevnen af stålet, f.eks. kan det
være nødvendigt for en Ingeniør eller Konstruktør at beregne stålets bæreevne for, at finde frem til en
stålbjælkes dimension eller søjle for den sags skyld. Denne bæreevne skal beregnes ud fra nogle egenlaster,
som findes i bygningen og her skal der igen regnes på tallene. Fremgangsmåden vil være, at finde frem til
komponenterne der er i konstruktioner, som lægger af på f.eks. en stålbjælke, hvorefter der kan anvendes et
opslag til at finde frem til hvad elementerne denne konstruktionerne vejer. Herved er det muligt igennem
beregninger at finde frem til stålbjælkens nedbøjning, denne nedbøjning vil i mange tilfælde være
dimensionsgivende, fordi der skal meget last til før der kommer et brud i stål, men en stålbjælke kan godt
nedbøje uden at der sker yderligere. Men der er ikke nok bare at have egenlasterne med i beregningerne, der
findes også naturlaster som er yderst vigtige, at tage hensyn til ved en beregning, naturlige eller variable laster
vil være sne, vind og nyttelaster. Nyttelast er den variable last, som fastlægges efter hvad bygningen anvendes
til, bolig, erhverv, forsamlingssteder osv. nyttelasten fortæller altså, hvor mange personer der opholder sig i
rummet. Der er også dynamiske laster, som der skal tages hensyn til, hvor nyttelasten fortæller, hvor mange
der står stille i et rum, vil en dynamisk last være en last som opstår ved en bevægelse, f.eks. hvis en hopper på
etagedækket, så vil denne last være dynamisk.
Der er altså en hel del statiske hensyn, der skal tages i det, der vælges at arbejde med stål i bygningerne, men,
hvordan dimensioneres sådan en stålbjælke eller stålsøjle, for at komme mere i bunds og finde en metode til at
S i d e 5 | 40
Udført af
Mads Foldager
dimensionere et stålbjælke og stålsøjle, startes der med at undersøge teorien bag ved beregningsteknikkerne,
for at få alle principperne på plads inden påbegyndelsen af dimensioneringen af en bjælke og søjle. Der bliver
også ofte stillet spørgsmålstegn ved forskellige udtryk, som der anvendes ved dimensioneringsopgaver, som
nævnt tidligere er der et udtryk der hedder forskydningskraft men hvad var det nu lige at det betød og hvilken
indvirkning har denne kraft på stålbjælken?
3.2 PROBLEMFORMULERING
Hvorledes dimensioneres en stålbjælke og stålsøjle igennem diverse beregninger?
3.3 HYPOTESE
For at give en mere konkret besvarelse på problemformuleringen vil dette speciale tage udgangspunkt i en case
beskrivelse, som nævnt øverst i Indledningskapitlet. Casen kommer til at omhandle et projekt, hvor der skal
opføres en tilbygning i stål og derfor vil det være nødvendigt at udføre detaljerede
dimensioneringsberegninger, som skal danne grundlag for en videre projektering af tilbygningen.
3.4 AFGRÆNSNING
Specialeprojektet til være afgrænset således, at det tager udgangspunkt i bygningskonstruktør uddannelsen
renoveringsopgave på 5. semester, hvor der skal laves projektmateriale til opførelsen af en tilbygning i
stålkonstruktioner. Specialet vil komme omkring områderne lastberegning i bygninger, for at finde frem til
lasterne til bjælkedimensionering. Ud fra disse lastberegninger vil specialet bearbejde dimensioneringen af en
stålbjælke og søjle, som er simplet understøttet, hvor der forefindes variable laster ud over egen lasterne,
derfor vil specialet også gå i dybden med, at forklarer hvad variable laster er. Specialet vil ende ud i en konkret
beregning på en simplet understøttet bjælke med udgangspunkt i lasterne, som er fundet ud fra en case
beskrivelse, denne beregning vil indeholde beskrivelser af forskydningskraften, nedbøjningen, momentet osv.
inden for området dimensionering i stål.
3.5 METODE
For at belyse problemformuleringen i dette speciale vil opgaven tage udgangspunkt i en case beskrivelse, som
kan læses i afsnittet ”Case beskrivelse”. Det vil altså blive en konkret opgave som kan løses ved beregninger og
forklaringer på metoderne, som anvendes til en bjælkedimensionering. Specialet kommer omkring laster, både
egen-, variable- og vindlaster for at komme med en konkret vurdering på dimensioneringen, som skal anvendes
i projektet. For at finde frem til lasterne, er det nødvendigt i case beskrivelsen, at beskrive alle forskellige
konstruktioner der har indvirkning på stålkonstruktion, så det er muligt at fastlægge lasterne og derved finde
linjelasterne, som påvirker stålet.
Som litteratur til specialet vil Teknisk Ståbi udgave 21. være anvendt i stor stil, fordi det er et professionelt
redskab som anvendes af Ingeniør og konstruktører til dimensioneringsopgaver.
S i d e 6 | 40
Udført af
Mads Foldager
4 CASE PÅ STÅLBYGGERI
Casen vil som nævnt tage udgangspunkt i det tværfaglige projektforløb for konstruktør uddannelsens 5.
semester, som omhandler en renoveringsopgave, på et selv valgt etagebolig, hvor der igennem renoveringen
skal optimeres på klimaskærmen for, at bringen bygningens energiforbrug ned til et BR10 niveau. Men i
opgaven er der også krav til, at der skal opføres en tilbygning med stålkonstruktioner og lette vægge (Larsen,
2014), det er her dette speciale vil gå i dybden, fordi det er muligt, at foretage detaljerede beregninger på
dimensioneringen af netop denne stålkonstruktion.
Casen er fiktion, men med reel baggrund.
4.1 CASE BESKRIVELSE
En bygherre ”Ejerforeningen Grønnegade” ønsker en registrering af Carit Etlars Gade 8, 9000, Aalborg med
henblik på en renoveringsopgave. Renoveringen skal forestå i en projektmateriale, som er udført til
konstruktionsfasen Hovedprojekts niveau, det vil altså være muligt herefter, at sende projektmaterialet i
udbud. Men inden projektet kommer så langt har bygherre nogle ønsker, som skal opfyldes, blandt andet vil
bygherre gerne have, at bygningen bliver optimeret i forhold til gældende klimaskærmsværdier og derved blive
optimeret til gældende energiforbrugskrav. Ydermere ønsker bygherren, at der opføres en tilbygning, som
består af en stålkonstruktion med lette væge. Stålkonstruktionen vil komme i forlængelse af det nuværende
køkken, så der bliver mulighed for at etablere spiseplads i køkkenet med direkte adgang til stue og altan.
Etagebygningen er på tre etager og der ønskes, at tagetagen renoveres så den kan udnyttes, som bolig for, at
give flere lejemål, mens tagetagen bliver til bolig, skal stuen gennemgå en anvendelses ændring, så der her i
stedet for bolig bliver let erhvervslokaler, efter renoveringen bliver der i alt 7 lejemål.
Imens der bliver udført et projektforslag fra arkitekten til bygherre, skal arkitekten have en Ingeniør eller
konstruktør til, at udføre nogle statiske beregninger på projektet, specifikt på den nye tilbygning, derfor har
arkitekten sendt tegningsmateriale afsted til Ingeniøren på projektet, så der er mulighed for, at foretage alle
nødvendige beregninger. Se bilag 1 ”Tegningsmateriale”. Bilag 1 ”Tegningsmateriale” danner grundlag for den
efterfølgende beregning.
Som det kan ses i bilag 1. fortæller bygningsdelsjournalen, hvordan konstruktionerne er opbygget, der er både
ydervægskonstruktion, tagkonstruktion og etagedæk i journalen.
S i d e 7 | 40
Udført af
Mads Foldager
Ydervæg
Beskrivelse
Den nye konstruktion
bliver lavet som en
stålkonstruktion med
facadebat på
ydersiden og en
95mm isolering
påforet på indersiden
som afsluttes med
gips for at få den
samme afslutning
som i resten af
ejendommen
Opbygning
5mm Puds
80mm Facadebat
22mm Vindgips
195mm Isolering
95mm på foring
15mm Fibergips
Vægt
0,689kN/m2
Illustration
Vægt
0,787kN/m2
Illustration
Tabel 4-1 Opbygning af Ydervæg
Etagedæk
Beskrivelse
Alt gulv vil blive
kasseret og
indskud udgravet
af bygningen.
Efterfølgende vil
beskadige bjælker
erstattes samt
indlægning af nye
bjælker for at
konstruktionen
bliver
dimensioneret
korrekt. Loftet er
rørpuds og bliver
erstattet af gips
Opbygning
8mm Gulvbelægning
50mm gulvisolering
22mm gulvspånplade
195mm Isolering
195 x 45 bjælkelag
2 x 19mm krydsforskalling
2 x 13mm gips
Tabel 4-2 Opbygning af Etagedæk
S i d e 8 | 40
Udført af
Mads Foldager
Tag
Beskrivelse
Tagsten og lægter
kasseres. Spær
forstærkes og øger
konstruktionens
tykkelse for at
overholde
gældende regler
for isolering.
Taget bliver
mellem 35 og 45
grader med nye
teglsten
Opbygning
8mm teglsten med
undertag
38mm taglægter
350mm tagspær
2 x 19mm krydsforskalling
2 x 13mm gips
Vægt
0,986kN/m2
Illustration
Opbygning
8mm Gulvbelægning
200mm in situ
195mm på foring
5mm puds
Vægt
5,229kN/m2
Illustration
Tabel 4-3 Opbygning af Tag
Kælderdæk
Beskrivelse
Dækket over
kælder er udført i
insitu. Der skal i
tilbygningen også
være et beton gulv
mod kælder, fordi
der her er
skærpede
brandkrav
Tabel 4-4 Opbygning af Kælderdæk
I det materiale som arkitekten har udsendt til ingeniøren, findes også en plantegning og snittegning som
illustrerer hvorhenne de forskellige konstruktioner er at finde i bygningen, det er muligt på hovedtegningerne
at finde henvisninger til detaljemateriale, som også er ved lagt i bilag 1, derud over er der desuden vedlagt
opstalter så det er nemt for ingeniøren at tage højderne på de stål søjler som indgår i bygningen.
Plantegning
K09_T(2) _H1_1 Stålkonstruktion Grundplan Stue
Snittegning
K09_T(2) _H3_1 Længdesnit i Stålkonstruktion
Detaljetegninger
K09_T(2) _H5_N1 - Detalje Stålkonstruktion Samlingsdetalje
K09_T(2) _H5_N2 - Detalje Stålkonstruktion tolerance detalje mod ydervæg
K09_T(2) _H5_N3 - Stålkonstruktion i Ydervæg
Opstalter
K09_T(28) _H2_1 Opstalt af Stålkonstruktion Grid 2 – 3
K09_T(28) _H2_2 Opstalt af Stålkonstruktion Grid B – C
S i d e 9 | 40
Udført af
Mads Foldager
5 TEORI AFSNIT
Dette afsnit vil belyse den teoretiske side ved dimensionering, herved vil teorien beskrevet i dette afsnit være
grundlaget for den efterfølgende beregningsmetode til dimensioneringen af bjælkerne og søjlerne, som er
beskrevet i case materialet. Afsnittene i teorien vil tage udgangspunkt i bogen ”Structures theory and analysis”,
som er skrevet af M S Williams & J D Todd.
5.1 TEORIEN BAG LASTER
LASTER PÅ OG I KONSTRUKTIO
KONSTRUKTIONER
IONER
Når der nævnes laster i bygninger så er der forskellige typer for laster, der er egenlast, variabel last, dynamisk
last, den sidste nævnte vil blive gennemgået meget overfladisk, hvor specialet vil koncentrere sig mere om
egenlaster og variable laster.
Hvad forstås ved en egenlast? Det er en last, som udelukkende er pålagt bygningen igennem vægten af selve
konstruktion og kan i mange tilfælde estimeres meget præcist i forhold til variable laster.
En variable last, er som navnet hentyder variabel, det er en sum af alle andre laster som har indflydelse på
strukturen, den kan opstå igennem mange forskellige kilder, det er ofte en last som der kun kan gættes på. Et
eksempel på en variable last vil f.eks. være vægten af biler, som passere en bro, vind lasten der påvirker siden
af en bygning eller vægten af sne på bygningstaget. Der er mange af disse variable laster, som altså kan komme
og gå samt svinge i størrelse. Det er derfor vigtigt, at undersøge mange forskellige situationer eller
lastkombinationer for, at finde frem til det mest kritiske last design. For at det kan sikres igennem beregninger,
er det nødvendigt, at tilføre en sikkerhed på lastberegningerne, derfor er lastkombinationer ofte ganget med
en sikkerhedsfaktor, på grund af den usikkerhed der findes ved variable laster vil sikkerhedsfaktoren være
større her end ved egenlaster. (Todd, 2000)
Dynamiske laster, bliver gennemgået kort, hvad forstås ved en dynamisk last? Det er en last som påvirker en
konstruktion meget kortvarigt, mange læsere vil nok være bekendt med eksemplet med en hær der marchere
over en bro, hvis denne march er tæt på broens naturlige vibrations frekvens kan der forekomme meget
kraftige bevægelser i brodækket, derfor er soldater beordret til, at forlade rytmen når der skal krydses en let
bro. (Todd, 2000).
En last kan altså defineres, som en størrelse, som har en retning den påvirker, retningen kan både være op, ned
til siden osv. samt et areal der påvirkes. Det er nu fastlagt, at der findes forskellige typer for laster, men der er
også forskellige måder og kombinationer lasterne påvirker en konstruktion. En last kan f.eks. være en
koncentreret last, en koncentreret last er kaldt ”Punklast, hvor symbolerne W og P ofte er brugt. Punktlasten
påvirker en konstruktion i et punkt, det er selvfølgelig ikke muligt for punktlasten at reagere i et enkelt punkt,
det vil altid være over et areal, men for analytiske årsager er det en fordel, at beregningerne på punktlaster kun
reagere i et enkelt punkt. Se Figure 5-1 Eksempel på et lasttilfælde.
S i d e 10 | 40
Udført af
Mads Foldager
Figure 5-1 Eksempel på et lasttilfælde
Som det kan ses på figuren overover så er der placeret en bil på en bjælke, denne bil virker som en vertikal last
på bjælke, men bilen påvirker kun bjælken der, hvor hjulene er placeret, i praktisk vil hjule røre i et lille areal af
bjælken, men som en analyse af lasten, vil hjulene fungere som en punktlast, dette er vist med pile i
lastensretning og er vist på Figure 5-2 Punktlast.
Figure 5-2 Punktlast
En anden definition på last er en linjelast ofte benævnt w, linjelasten er, som navnet antyder en last, der er
fordelt over en længde eller pr. kvadratmeter. Det kunne for eksempel være konstruktionens egenlast der vil
være en linjelast og på Figure 5-3 Linjelast, vil der være et eksempel på en linjelast.
S i d e 11 | 40
Udført af
Mads Foldager
Figure 5-3 Linjelast
Det er selvfølgelig muligt, at der forekommer flere laster af forskellige størrelser end laster der er vist i
figurerne i dette afsnit, derfor skal det også kun tages som et eksempel. (Todd, 2000)
5.2 UNDERSTØTTELSER I KONSTRUKTIONER
KONSTRUKTIONER
Hvis der i en bygning skal være en bjælke til at holde en last, er det ydervigtigt at undersøge, hvordan denne
bjælke er placeret i konstruktionen, mere specifikt hvordan denne bjælke hviler af på en underliggen
konstruktion, hvor den kan viderefører lasterne til f.eks. et fundament. Kontaktpunkterne hvor bjælken hviler
bliver kaldt understøtninger og det spiller en vigtig rolle i beregningerne, hvordan understøtningerne er udført.
Der findes forskellige typer understøtninger, som anvendes i praktisk og specialet vil gennemgå en simple
understøtning samt en indspændt.
En simple understøtning vil sige, at der er en bjælke, som har to understøttende punkter, f.eks. som bjælken
der er anvendt, som eksempel i Teorien bag laster på og i konstruktioner. Når der påbegyndesen beregning af
S i d e 12 | 40
Udført af
Mads Foldager
bjælken vil det være en fordel at skitsere et mere overskueligt afbildning af konstruktionen, et diagram, som
kun viser det allermest nødvendige. Der kan ses et eksempel på sådan et diagram på
Figure 5-4 Bjælkediagram.
Figure 5-4 Bjælkediagram
Den understøtning som er vist på figuren herover til venstre viser en bjælke, som ligger på en trekant med stå
steger under, dette betyder at konstruktionen her er fastholdt og derved forhindre understøtningen bjælken i
at flytte sig i nogen retning, men den giver ikke modstand mod rotationer. For at se en illustration af en
fastholdt understøtning se Figure 5-5 Linjediagram for fastholdt understøtning.
Figure 5-5 Linjediagram for fastholdt understøtning
Hvis blikket rettes mod Figure 5-4 Bjælkediagrammet igen, men denne gang er det understøtningen til højre
der tages i betragtning, så kan det her ses at understøtningen minder meget om den der er på Figure 5-5
Linjediagram for fastholdt understøtning, men nu er der hjul under understøtningen, hvilket betyder, at
understøtningen har mulighed for, at bevæge sig i horisontal retning, der påpeges at bjælken er fastholdt i
vertikal retning. Se Figure 5-6 Rullenden understøtning.
Figure 5-6 Rullenden understøtning
S i d e 13 | 40
Udført af
Mads Foldager
Den sidste understøtning dette speciale vil dække er en indspændt, hvis en bjælke er indspændt betyder dette
at denne understøtning forhindre alle bevægelser i konstruktionen, hvor understøtningen er, det er altså både
horisontalt men også rotationer. Der kan opnås en indspændt understøtning ved f.eks. at støbe en søjle ned i
armeret beton. Hvis blikket rettes mod Figure 5-7 Indspændt bjælke, kan det ses at denne figur symbolisere et
eksempel på en indspændt bjælke, det er også muligt, at se hvordan bjælke opføre sig hvis der kommer en
nedbøjning i den, ud fra linjediagrammet.
Figure 5-7 Indspændt bjælke
Det skal selvfølgelig nævnes, at alle ovenstående tilfælde for understøtninger er alle ideale og teoretiske
tilfælde, men det er muligt, at få en konstruktion til, at opføre sig meget tæt på tilfældene, som er beskrevet
ovenover.
5.3 ELEMENTER, SAMLINGER OG KONSTRUKTIONEN
KONSTRUKTIONEN
Eftersom det er blevet undersøgt, hvordan lasterne og understøtningerne opfører sig, er det nu muligt, at tage
selve konstruktionen i øjesyn. Hvis en konstruktion undersøge nøje vil det blive klart, at konstruktionen bestå
af en eller flere elementer, det kan også siges at en konstruktion bestå af flere medlemmer, altså bjælker og
søjler. Disse elementer vil være sammensat, via forbindelser, som boltesamlinger og svejsesamlinger og
elementerne vil være placeret på understøtninger. Det kan siges, at formen for elementerne, samlingerne og
understøtningerne vil være af forskellige typer alt efter hvilken last konstruktionen skal bære.
Når konstruktionen skal bære en last, f.eks. hvis en bjælke skal bære et etagedæk, så vil lasten fra dækket have
en effekt på bjælken, som får bjælken til at bøje, men efterhånden som bjælken bøjer vil der kommer
ligevægt. ”the basic principle of how a member carries a load is very similar to that of a simple spring. The force
in the spring is related to its extension by the spring constant k. When a load is hung from the spring, it extends
by an amount x such that the spring force kx exactly balances the load, so that the system is in equilibrium. So it
is with structural elements – for each possible mode of deformation it is possible to determine a ‘spring
constant’ or stiffness coefficient relating the amount of deformation to the force within the member. (Todd,
2000).
Det vil altså sige, at hvis der tilføjes en last på konstruktionen og der sker en forandring I nedbøjning så vil
deformationen samt stivhedskoefficient balancere lasterne og derved skabe en ligevægt.
5.4 MATERIALEEGENSKABER
Når der arbejdes med bærende elementer i byggeriet er det vigtigt, at tage højde for hvad der skal bæres og
hvordan. Efter det er faststået, er det muligt, at finde et materiale, som kan opfylde kravene der bliver stillet.
S i d e 14 | 40
Udført af
Mads Foldager
Lad os igen sige, at en bjælke skal aflaste et bjælkelag, herved fås en egenlast samt en variable last, som skal
bæres af bjælken. Det er åbenlyst, at hvis denne last bliver for stor så vil der ske et brud i bjælken, dette kan
vises på en graf, Figure 5-8 Brudkurve.
Figure 5-8 Brudkurve
Når der arbejdes med en stålbjælke så vil grafen være indledningsvis være lineær til punktet ”yield” eller det
punkt som hedder flydespændingen [fy] (flydespændingen er den kræft stålet kan optage inden den går over i
en plastisk tilstand), herop til vil bjælken have en meget høj stivhed og bjælke betegnes, som elastisk, hvorefter
denne stivhed reduceres kraftigt, som gør at stålet vil opnå en meget stor forlængelse ved en lille lastforøgelse,
indtil der sker et brud, dette er kendt som plastisk opførelse. Ved at stål har denne plastiske evne, så er det
også muligt, at reducere risikoen for katastrofisk kollaps af bygninger, fordi stål giver en advarsel inden
kollapset sker, ved det meget kraftige deformation. Forskellen på elastisk og plastisk tilstand er at hvis en last
tilføjes ved elastisk tilstand og derefter fjernes igen, så vil bjælken deformation vende tilbage til sin oprindelige
form, hvor ved plastisk tilstand vil bjælke ikke vende tilbage til sin oprindelige from, det er derfor en
vedblivende deformation.
Alle materialer har en værdi, som betegnes Elasticitetsmodulet ”E” og det er et tal for hvor stort et tryk et
materiale kan holde, stål kan f.eks. holde til et tryk på 0,21 10
. Hertil kommer også at alle materialer
har et inertimoment ”I” men denne værdi afhænger af materialets form og størrelse, det beskriver et
roterende legemes modstand mod at få ændret sin rotationsbevægelse. (Hugh D. Young, 2008)
5.5
TEORI TIL SIMPLE UNDERSTØTTEDE
UNDERSTØTTEDE BJÆLKEBEREGNINGER
BJÆLKEBEREGNINGER
Som tidligere nævnt så skal lasterne, der findes på og i konstruktionen medtages i beregningen for bjælker, det
er også slået fast, at lasterne kan stamme fra mange forskellige kilder, egenlast og variable laster. Lasterne
anses, som værende en kraft der har både en størrelse men også en retning. En kraft vil have enheden Newton
[N] og består altså af en størrelse [kg] samt en retning f.eks. vil retningen være bestemt af tyngdekraften, som i
Danmark er 9.81 m/s2, det giver altså, at =
∗ / .
S i d e 15 | 40
Udført af
Mads Foldager
Som det tidligere er nævnt i dette speciale så vil et statisk system, som er pålagt en last, så vil alle reaktionerne,
som virker i systemet være i ligevægt, det vil altså sige, at alle kræfter og momenter, der virker i det statiske
system vil være lig med nul, ellers vil der ikke være ligevægt og reaktionerne vil danne en acceleration,
systemet vil ikke længere opføre sig statisk. Men eftersom der skal være ligevægt så kan det antages at
reaktionerne, Σ = 0, Σ = 0 og Σ
= 0.
Det er også tidligere nævnt at det er vigtigt at lave en illustration over det problem, som ønskes løst, denne
illustration skal være et diagram, en simple tegning, hvor alle elementer, reaktioner, laster er vist med
retningsbestemte pile. ”It is extremely important always to draw a free body diagram prior to commencing an
analysis, and to ensure that all the forces acting on the structure are shown on the diagram.” (Todd, 2000) et
eksempel på sådan et diagram kan ses på Figure 5-9 Reaktionsdiagram.
Figure 5-9 Reaktionsdiagram
Der er ofte ønske om, at fastsætte et moment omkring et punkt eller akse og for en punktlast er dette meget
simplet, et moment er givet ved størrelsen af den kraft, som påvirker konstruktionen, kraften ganges med
distancen fra punktet til momentet, det sted hvor kraften påvirker konstruktionen.
For at gøre det meget tydeligt hvad der menes, så vil der blive gennemgået et eksempel på
reaktionsberegninger.
Eksempel 5.5 a
Find reaktionerne i bjælken, som er vist på Figure 5-10 Eksempel til at finde reaktioner.
S i d e 16 | 40
Udført af
Mads Foldager
Figure 5-10 Eksempel til at finde reaktioner
På figuren kan det ses, at bjælken har to understøtninger, og kan betegnes som simplet understøttet, der er en
fastholdt og rullende understøtning.
Der er på denne konstruktion tre ukendte reaktioner, som er nødvendige, at finde frem til, hvis der startes
med, at finde reaktionerne i det horisontale plan, hvor der ikke er nogle kræfter som virker, derfor vil
reaktionen være
= 0.
Herefter vil det være momentet i punkt A, som ønskes fundet og som tidligere beskrevet er moment en
størrelse ganget med afstanden, det giver at Σ
= 5 − 40 5 2,5 − 60 7,5 = 0 ⟶
= 190
, det
er altså en størrelse, som reagere i en nedadgående retning i form af linjelasten og denne last har en længde,
men yderligere er der en punktlast som reagere i modsat retning og derfor skal denne trækkes fra, det
afhænger af, hvordan momentetsretning er defineret.
Vedhjælp af simple regneregler for ligninger er det nu muligt, at finde frem til det sidste reaktion, som er
− 40 5 − 60 = 0 →
= 70
(Todd, 2000).
+
Eksemplet fortæller altså, at understøtningerne til denne bjælker skal bære en vægt af 190 kN i punkt b og 70
kN i punkt a.
Ud fra det overstående er det muligt, at finde reaktionerne i et statisk system, men der er også nogle interne
kræfter i elementerne (bjælken), som skal afklares. Igen tages der udgangspunkt i et eksempel.
Eksempel 5.5 b
Find reaktionerne i bjælken, som er vist på Figure 5-11 Eksempel til at finde interne reaktioner.
S i d e 17 | 40
Udført af
Mads Foldager
Figure 5-11 Eksempel til at finde interne reaktioner
I eksemplet er reaktionerne fundet på forhånd ved hjælp af principperne fra Figure 5-10 Eksempel til at finde
reaktioner, og kan aflæses på figuren herover.
Denne gang er der en horisontal kræft som påvirker bjælken derfor fås en normalkraft der hedder & + 30 =
0 → & = −30 .
Kræfterne i bjælkens vertikale retning forskydningskraften ( − 20 6 7,3 + 186.0 = 0 → ( = −73,3
Momentet i bjælken bliver herefter
+ *20
+
, − 7,3 6 − 186,0 1 →
= −130,2
, grunden til,
at der bliver et negativt resultalt er at kræfterne virker i nedadgående retning.
For at gøre det nemmere for fremtidige Ingeniører og Konstruktører, at beregne en bjælke, er der i Teknisk
Ståbi en række metoder til, at regne forskellige tilfælde for et statisk system og det er derfor ikke nødvendigt at
gennemgå beregningerne, som det er blevet gjort i eksemplerne herover, det er bare vigtigt, at have en
forståelse for hvad det er, der sker inden der påbegyndes beregninger af statiske systemer. Ligningen for det
interne moment er grundlag for, at finde frem til en bjælkes nedbøjning, men det vil ikke blive gennemgået i
specialet her, fordi det høre til på et ingeniørs matematiske niveau og er derfor ikke til målrettet
konstruktøren, her anvendes i stedet formlerne, som er angivet i Teknisk Ståbi.
5.6 TEORIEN BAG VED VINDBEREGNINGER
VINDBEREGNINGER PÅ BYGNINGER
BYGNINGER
Alle basale ting ved bjælke dimensionering er blevet dækket nu, og det er faktisk muligt, at dimensionere en
bjælke ud fra det information, der findes allerede i specialet, men det bliver stadig ikke 100 % men det er fint til
et parcelhus, hvis det derimod er et større byggeri er det altså også nødvendigt, at tage vindtryk med i
beregningerne og den kloge læser er allerede opmærksom på at vindlasten også er variable, fordi den kommer
og går samt variere i størrelse.
S i d e 18 | 40
Udført af
Mads Foldager
Vind er dertil også den mest besværlige last at beregne, her er rigtig mange faktorer, som spiller ind,
terrænkategori, form på bygningen osv. Til at bestemme vind anvendes Teknisk Ståbi, som grundlag, derfor vil
der forekomme mange henvisninger til bogen i det følgende.
Inden der begyndes på noget med hensyn til vind skal det først afgøres hvilken terrænklasse byggeriet befinder
sig i, værdierne findes i Teknisk ståbi s. 169 Tabel 4.9.
Vindlasten er defineret ud fra formlen - = . ∗ / ∗ 0. Hvor A er arealet af facaden, som vinden påvirker, c vil
være formfaktoren og q er Peakhastigheden.
Peakhastigheden eller q aflæses i grafen på side 169 i teknisk ståbi Fig 4.2 eller i grafen herunder Figure 5-12
illustration til aflæsning af q for fladt terræn. Grafen aflæses så z [m] er højden på bygningen og herefter føres
en linie vandret ind til den terrænkategori, som er valgt, tallet der fremkommer af x-aksen lodret ned, vil være
peakhastigheden.
Figure 5-12 illustration til aflæsning af q for fladt terræn
Herefter skal c fra formlen overover findes, altså formfaktoren, her kan Teknisk ståbi også anvendes, hvor der
på side 170, er angivet forskellige typer bygninger, som udgangspunkt er der en grundplan, hvor længde og
bredde er defineret som d og b.
Igen aflæses værdierne, som skal anvendes, denne gang er det Tabel 4.10 i Teknisk Ståbi, værdierne som skal
anvendes vil være C, D, og E i det tilfælde, der regnes på efterfølgende. For at komme frem til den rigtige
aflæsning, skal værdien for Zone findes, dette gøres ved, at tage bygningshøjden divideret med d.
Resterende for, at kunne regne vindtrykket er, at finde arealet af den facade, som er påvirket af vinden,
herefter er alle faktorerne kendt for, at gå videre med beregningen.
S i d e 19 | 40
Udført af
Mads Foldager
Der er hertil også en formfaktorer for sadeltage, igen henvises der til Teknisk Ståbi denne gang på side 171.
men princippet er det samme, det skal dog huskes, at vindtryk vil være en vinkelret last på taget, som derfor
kræves opløst i komposanter til en videre beregning.
5.7 SØJLEDIMENSIONERING
Dette speciale vil tage hånd om en tværbelastet søjle.
Når der regnes på en søjle, er det først og fremmest nødvendigt, at finde den kritiske søjlekraft, som benævnes
Ncr og findes ved hjælp af følgende formel
12
=
3+ ∗4∗5
67+
hvor ls er den frie søjlelængde og kan findes ved, at
anvende formelen for det gældende tilfælde, som vist i Teknisk Ståbi side 134. For at forklarer principper bag
en søjle dimensionering vil specialet tage udgangspunkt i Figure 5-13 Eksempel på søjleberegning fra Teknisk
Ståbi s. 290.
Eksempel Momentpåvirket trykstang.
Figure 5-13 Eksempel på søjleberegning
For at dimensionere søjlen er det nødvendigt, at finde snitkræfterne der findes i søjlen.
Last
Regningsmæssige normalkraft NEd = 360 kN
Regningsmæssige tværlast r = 12 kN/m
S i d e 20 | 40
Udført af
Mads Foldager
Eftersom lasterne nu er defineret kan momentkræfterne findes, som.
8
<
=
49
∗
= 360 ∗ 0,35 = 12
1
1
=− ∗:∗; −
8
2
49
∗
1
1
→ − ∗ 12 ∗ 10 − ∗ 12 ∗ 0,35 = −213
8
2
1
1
= : ∗ ; → 12 ∗ 10 = 150
8
8
3
3
3
3 126
8
=8 = : ∗ ; − ∗
→ 12 ∗ 10 − ∗
= 26,1
8
2 ;
8
2 10
I snittet hvor momentet er max, vil være hvor V = 0 kN, dvs. i afstanden x fra toppen af søjlen.
: = =8
Ved simple regneregler kan x findes som
@AB
= =8 ∗
+
49
∗
=
>?
2
→
8
,8
= 2,175 , hvilket giver mulighed for at finde Mmax.
→ 26,1 ∗ 2,175 + 360 ∗ 0,35 −
12 ∗ 2,175
= 154
2
Sikkerheden eller partialkoefficienten for søjler er CD8 = 1,2 og findes i teknisk ståbi tabel 6.1.
Bestemmelse af tværsnitsklasse
søjlen som anvendes i eksemplet er en HE300B i styrkeklasse S235 og heraf kan det ses i tabel 6.25 at bjælken
er i tværsnitsklasse 1.
Konstanterne for tværsnitskonstanter.
0 = 11,2 ∗ 10E
FG = 1260 ∗ 10E
FH6 = 1384 ∗ 10E
E
E
IG = 127
Herefter kan den frie søjlehøjde findes ved ;J = 0,7 ∗ 10000 = 7000
.
Ved at anvende den fri søjlehøjde kan normalkraften i bjælken findes.
CG =
K7
L
ME,M∗N
tilfælde b.
=
OPPP
?+O
ME,M∗8
= 0,587 det kan nu findes i tabel 6.32 hvilket tilfælde der skal benyttes, her vil det være
Q er den relative materialeparameter og findes i tabel 6.31 teknisk ståbi.
Fra tabel 6.30 fås RG = 0,844.
Heraf fås trykstangens bæreevne
E <
S,>9
=
TU ∗V∗WU
XY?
→
<,Z[[∗88 <<∗ E\∗8<]^
8, <
= 1851
Herefter kendes _G = 8Z\8 = 0,194
S i d e 21 | 40
Udført af
Mads Foldager
Bestemmelse af momentudnyttelse my.
G
49
213 ∗ 10
FH6 ∗ `G
1384
∗ 10E ∗ 235 = 0,786
=
=
CD8
1,20
Bestemmelse af faktor for konstant ækvivalent moment af tabel 6.47 fås værdierne.
a
J
=
=
b=
= −213
@AB
= 154
126
= −0,592
−213
cJ =
J
a
=
154
= 0,723
−213
d@G = 0,1 1 − b − 0,8cJ = 0,1e1 − −0,592 f + 0,8 ∗ 0,723 = 0,738 > 0,4
Bestemmelse af kyy, som er interaktionsfaktorer fra tabel 6.46.
GG
= d@G e1 + ehG − 0,2f ∗ _G f = 0,738 1 + 0,587 − 0,2 ∗ 0,194 = 0,793
Herefter kan bæreevnen eftervises ved formlen på side 288, fordi bjælken er fastholdt mod udknækning om
den svage akse og kipningsfastholdt, kan formlen simplificeres til.
49
RG ∗ >i
CD8
+
GG
∗
G,49
G,>i
CD8
= _G +
GG
∗
G
≤1
0,194 + 0,793 ∗ 0,738 = 0,78 ≤ 1,0
Eftersom der i dette eksempel er en kyy værdi, som er mindre end 1 er det nødvendigt med en supplerende
spændingseftervisning for tværsnittene.
S i d e 22 | 40
Udført af
Mads Foldager
6 TEORI ANVENDT I PRAKSIS
6.1 LASTBEREGNINGER
Lastberegningerne bliver udført ud fra detaljerne omkring bygningsdelene, som er angivet i afsnittet ”Case
Beskrivelse”. For at lette arbejdsgangen vil beregningerne være udført i matematik programmet ”Mathcad”,
som er et program, der gør det muligt, at definere lasterne og formler på forhånd. Programmet er som
Microsoft Excel bare mere avanceret, at give sig i kast med, men dertil også mere effektiv efter noget øvelse.
For at det er muligt, at definere lasterne fra bygningsdelene er det nødvendigt, at finde frem til hvad alle
komponenterne i konstruktionen vejer, her anvendes bilag 2, ”Uddrag af Eurocode 1 last på bærende
konstruktioner samt DS 410 Last på konstruktioner”, som indeholder tabeloversigter over hvad forskellige
byggematerialer vejer pr. kubikmeter, f.eks. vejer teglsten 14 – 20 kN/m3.
Der vil i dette speciale bliver gennemgået en enkel lastberegning, hvor alle resterende beregninger vil være at
finde i bilag 3 ”Lastberegninger”. For at lastberegningen kan anvendes i den videre bjælkedimensionering er
det nødvendigt, at regne alle laster om fra kN/m3 til fladelaster som er i kN/m2.
Hvis der eksempelvis regnes på lasterne til et etagedæk så vil beregning kunne se sådan ud.
6.1.1
Etagedæk
: kl m;n = 5
∗ 0,013
E
om;nI p;k:I_ = 0,3
(qå_sq; sk = 7,5
tuæ; k;
=
yp:
;;I_ = 5
oIq = 9
Σzl
E
E
0,031
x p;k:I_ = 0,3
E
E
∗ 0,050
∗ 0,25
∗ 0,025
= 0,015
∗ 0,022
w
0,6
E
= 0,065
∗ 0,038
= 0,165
= 0,052
= 0,075
= 0,19
= 0,225
ksæ = 0,787
Etagedækket har altså en samlet lastpåvirkning på stålkonstruktionen med en Egenlast på 0,787 kN/m2. Denne
last kan anvendes i den videre beregning af stålkonstruktionen, hvor der skal beregnes nedbøjninger osv., for
at der kan blive en relevant dimensionering af konstruktionen.
S i d e 23 | 40
Udført af
Mads Foldager
6.2 BEREGNING
EREGNING AF NEDBØJNING I STÅLKONSTRUKTIONEN
Når det kommer til selve dimensioneringen af det statiske system, er det først og fremmest at få visualiseret,
hvordan det statiske system er opbygget, her til kan bilag 1 tegningsmateriale anvendes. Det er muligt
herigennem, at optegne alle elementerne i konstruktionen, det vil sige, søjler og bjælker, denne illustration kan
ses på Figure 6-1 Optegning af det statiske system.
Figure 6-1 Optegning af det statiske system
Igennem granskning af tegningsmaterialet fra bilag 1, kan det fastslås, at der er tale om bolte samlinger og
derfor kan det antages at samlingerne ikke er momentfaste, altså bjælkerne er ikke indspændt, det efterlader
så bjælkerne til, at være simplet understøttet (understøtningerne er gennemgået i teoriafsnittet), det næste
skridt vil herefter være, at få optegnet reaktionsdiagrammerne over det statiske tilfælde, som der skal regnes
på Figure 6-2 reaktionsdiagram over bjælken Sb1.
S i d e 24 | 40
Udført af
Mads Foldager
Figure 6-2 reaktionsdiagram over bjælken Sb1
Ud fra diagrammet er det muligt at se, hvordan alle reaktionerne samt lasterne, som påvirker bjælken er. Det
gør det nu mere overskueligt, at skulle påbegynde en beregning. Til beregningen anvendes Teknisk Ståbi, som
grundlag for formler og materiale værdier.
Udregning af bjælken Sb1.
For at dimensionere bjælken er det nødvendigt, at finde frem til bjælken nedbøjning, fordi det vil være
nedbøjningen der er dimensionsgivende, efter Eurocode standarterne. Eftersom det er et tag der reagere som
last på (Sb1), er det fastslået, at bjælken maksimum må have en nedbøjning, som svare til 1/700 af bjælkens
længde.
En måde at starte beregningen på er at nedskrive alt som er kendt på forhånd.
1) Materialeklasse
Konsekvensklasse
Anvendelsesklasse
Materialekvalitet
Flydespænding
Elasticitetsmodul
Sikkerhedsfaktor
Regningsmæssige flydespænding
dd2
1
(235
` = 275
z = 0,21 ∗ 10
C 0 = 1,1
`
` s = {C 0 = 250
2) Belastning
Her anvendes lasten, som er fundet under lastberegningen og fordi det er taget som giver en last til
bjælken (Sb1) vil den last, som skal anvendes være 0,986kN/m2, det er her vigtigt at huske, at denne
beregning ikke indeholder egenlasten af (Sb1), denne skal selvfølgelig også med i beregning.
S i d e 25 | 40
Udført af
Bjælkens egenlast
Mads Foldager
z100t = 35
i|
@
∗ 9,82
@
J+
= 0,343
/
Det er her vigtigt, at der lægges mærke til bjælkens enhed, fordi den er i meter hvor alle resterende
laster er i kvadratmeter, derfor er det ikke muligt at summere værdierne sammen i første omgang.
Tagets egenlast
0,986
/
3) Variable laster
Fordi det er en tagkonstruktion der arbejdes med, så vil der naturligvis være en variable last bestående
af sne, fordi sne kommer og går, sne er også kendt som en naturlast.
Snelasten er beregnet ud fra formlen i Teknisk Ståbi 21. udgave formel (4.1), som lyder,
= }~ ∗ d• ∗ d€ ∗ i , værdierne findes ligeledes i Teknisk Ståbi.
Formfaktor
}~ = 0,8 ∗ 60 − 35° {30 = 1,584
Eksponeringsfaktoren
d• = 1
Termiske faktor
d€ = 1
Karakteristiske terrænværdi
i =1
= 1,584 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1
i‚
= 1,584 @+
Ud fra formlen fås værdien 1,584kN/m2 dette vil være den snelast, som påvirker bygningens tag, fordi
det er et tag, hvor der ikke er direkte adgang til, så vil der ikke skulle være en nyttelast på taget,
derimod har taget en last fra vindens påvirkning.
Vindlast
Når der skal findes en vindlast, så vil det første skidt på vejen være, at bestemme hvilken
terrænkategori byggeriet befinder sig i. I dette tilfælde vil det være kategori 3, definitionen på
kategorierne kan findes på side 169 Teknisk Ståbi. Herefter kan peakhastighedstrykket qp(z) findes ved,
at en simpel aflæsning af grafen på side 169 i Teknisk Ståbi. Figure 6-3 graf til aflæsning af q for fladt
terræn
S i d e 26 | 40
Udført af
Mads Foldager
Figure 6-3 graf til aflæsning af q for fladt terræn
I denne opgave er bygningen 12,5 meter høj og deraf fås en qp(z)=0,69 kN/m2.
Næste skridt vil være at finde bygningensformfaktor på facaden, hertil anvendes metoden på side 170
Teknisk Ståbi. Men først optegnes en grundplan af bygningen, som der ønskes at regne på Figure 6-4
Grundplan til vindlast.
Figure 6-4 Grundplan til vindlast
Formfaktoren kan findes i tabel 4.10 på samme side, for at finde frem til den rigtige formfaktor er det
a
9
nødvendigt at finde en Zone = h / d, =
8 ,\
[,Z
= 2,6.
Nu er det muligt at aflæse formfaktorværdierne, D = +0,8 og E = -0,55 eftersom at der er et minus foran
betyder det, at der her er et sug på bygningen.
S i d e 27 | 40
Udført af
Mads Foldager
Det var formfaktoren for facaden, så mangler formfaktoren for sadeltaget.
Figure 6-5 Zoner for sadeltag
Hvis blikket rettes mod Figure 6-5 Zoner for sadeltag så er det nødvendigt at tage stilling til alle
fladerne, F, G, H, I og J. Igen anvendes Teknisk Ståbi, på side 171 tabel 4.11.
k
k
+
= 0,7 p − 0,5
4 10
o = 0,7 p − 0,5
= 0,4 p − 0,2
ƒ = 0,0 p − 0,5
x = 0,0 p − 0,4
y=
Formfaktoren benævnes cpe.10
Tilbage til beregningen, fordi alle formfaktore er kendte, det er nu nødvendigt, at tage højde for den
forskel der er på vind og læ side af bygningen, derfor foretages en korrektion ved hjælp af en
korrektionsfaktor so er 0,87.
Formfaktorene på facaden bliver herefter
0,87 ∗ 0,8 = 0,69
0,87 ∗ − + 0,55 = −0,47
Nu er det muligt at finde vindtrykket på bygningen ved hjælp af formlen - = . ∗ / ∗ 0,
q = Peakhastighedstrykket
c = Formfaktor
A = arealet af facaden 12,5 * 2 = 25m2
Ud fra overstående formel, fås en punktlast på bygningen, men for den fortsatte beregning, skal der
anvendes en fladelast og derfor multipliceres der ikke med arealet.
Vindtryk på facaden
S i d e 28 | 40
Udført af
Mads Foldager
-€2Gi = 0,69 ∗ 0,69 = 0,476
/
-€2Gi = 0,69 ∗ −0,47 = −0,324
/
Vindtryk på taget
Der er til beregningen anvendt den samme formfaktor på taget, her er der taget den største værdi som
er gældende i denne udregning. Normalt ville beregningen bestå af alle fundne formfaktor, og anvendt
på deres respektive områder af taget.
/
l„€2Gi = 0,69 ∗ 0,7 = 0,48
l„J…| = 0,69 ∗ −0,5 = −0,35
/
Det er yderstvigtigt at huske, når der beregnes vindtryk på taget, så vil det være en last, som er
vinkelret på taget, så derfor skal lasten opdeles i komposanter til dimensioneringen af eventuelle
bjælker og søjler. Dette gøres ved, at dividere værdierne med sinus og cosinus til taget hældning for, at
få lasterne over i horisontale og vertikale laster.
For at finde horisontale laster anvendes sinus.
l„€2Gi
= 0,84
/
sin c
l„J…|
l„J…| =
= −0,60
/
sin c
Herefter findes alle vertikale laster, som kommer af lasten på taget.
l„€2Gi =
l„€2Gi
= −0,42
cos c
l„€2Gi
=
= 0,59
cos c
l„€2Gi =
l„€2Gi
/
/
4) Linjelaster
Næste skridt mod en dimension af bjælken (Sb1) er, at finde frem til linjelasterne bjælken påvirkes af.
Det er kendt fra tidligere i opgaven, at bjælken bære taget og ved at undersøge tegningsmaterialet fra
bilag 1, er det muligt, at definere et lastopland. Lastopland er den længden af lasten som bjælken skal
bære.
Lastopland
‹Œ€A| = 2,4
Højden af facaden hf = 12,5meter
‹•€A| = 0,3
Herefter kan lastoplandet ganges med egenlasten af taget.
S i d e 29 | 40
Udført af
Mads Foldager
q€A| = ΣŽA| ∗ ‹Œ€A| + ΣŽA| ∗ ‹•€A| + ΣŒ48<<•
q€A| = 2,61
i‚
@
Det er vigtigt at det ikke kun er egenlasten der tages med her, men også den variable last, fordi det er
taget der arbejdes med i denne beregning vil variable laster være Sne og Vind.
.J = ‹Œ€A| ∗ + ‹•€A| ∗
.
.
„
„
= ‹Œ€A| ∗
= ‹Œ€A| ∗
€„€2Gi
+ ‹•€A| ∗
€„€2Gi
+ ‹•€A| ∗
i‚
@
i‚
„ = 2,90 @
i‚
„ = 2,51 @
.J = 4,28
€„€2Gi
+ ‹Œ€A| ∗ l-€2Gi + ‹•€A| ∗ l-€2Gi .
€„€2Gi
∗
a•
+ -€2Gi ∗ ℎW
.
Det giver altså en egenlast på 2,61 kN/m samt en variable last sne på 4,28 kN/m og vind 2,90 samt
2,51, som har en indvirkning på taget.
5) Lastfigur
Efter at linjelasterne er fundne, er det en god idé at optegne en figur hvor alle lasterne er indtegnet på,
herved kan det hurtigt afgøres hvilke laster der skal anvendes for at finde frem til dimensioneringen af
en bestemt bjælke. Dette gøres også fordi det næste skridt i beregningen vil være at opstille
lastkombinationerne og her er det vigtigt at lastkombinationerne ikke summeres sammen.
Lastkombinationerne må ikke summeres, fordi de indeholder en sikkerhedsfaktor, partialkoefficienten.
S i d e 30 | 40
Udført af
Mads Foldager
6) Lastkombinationer
Hvorfor regnes der en lastkombination, det er fordi det er nødvendigt, at samle lasterne fra punkt 4,
det er også ifølge Eurocode standarterne nødvendigt at multiplicere lasterne med en sikkerhedsfaktor,
S i d e 31 | 40
Udført af
Mads Foldager
herved bliver lastkombinationen det der kaldes en regningsmæssig værdi, der er simpelthen kommet
en sikkerhed faktor med i udregningen og herved kan lasten anvendes i det videre
dimensioneringsprincip.
Sikkerhedsfaktoren som også hedder partialkoefficienten er C = 1,0 for egenlast og C = 1,5 for
variable laster, hertil skal det siges, at partialkoefficienten kun multipliceres med den variable last. I
bygninger vil der mange gange være flere variable laster og det er derfor nødvendigt at undersøge alle
tilfældene for, at finde frem til den største og dermed det dimensionsgivende tilfælde. Når der
undersøges flere tilfælde skal der påregnes en reduktionsfaktor på værdierne som i tilfældet ikke
ønskes værende dimensionsgivende. Reduktionsfaktoren findes i Teknisk Ståbi.
Sne som dominerende
zsJS8 = q€A| + C ∗ .J + C ∗ .
„
∗b
zsJS8 = 2,61 + 1,5 ∗ 4,28 + 1,5 ∗ 2,90 ∗ 0,3
Vind som dominerende
zsJS8 = q€A| + C ∗ .J ∗ b + C ∗ .
„
zsJS8 = 2,61 + 1,5 ∗ 4,28 ∗ 0,5 + 1,5 ∗ 2,90
zsJS8 = 10,33
i‚
@
zsJS8 = 10,16
i‚
@
Der bliver to lastkombination, fordi der er sne og vind med i udregningen, havde nyttelasten også
været en del af udregningen ville der skulle laves tre tilfælde. Men som det kan ses ud fra beregningen
af lastkombinationerne så vil sne være den dominerende og derfor også være den værdi, som skal
anvendes i det videre forløb.
7) Snitkræfter
Inden snitkræfterne kan bestemmes skal længden af bjælken defineres som spændviden, (Sb1) er 2,4
meter lang. Når der skrives, at snitkræfterne skal findes så er det alle interne kræfter, som er beskrevet
i teori til simple understøttede bjælkeberegninger. Her anvendes Teknisk Ståbi.
Her anvendes formlen til forskydningskræfterne
8
=V = =• = ∗ . ∗ ;
@AB
og formlen for momentkræfter
8
=Z∗.∗;
Ved anvendelse af disse to formler findes værdierne for forskydning og moment.
Forskydningskræften
@ABJS8
@ABJS8
Moement
@ABJS8
@ABJS8
8
= ∗ zsJS8 ∗ ;JS8
8
= ∗ 10,33 ∗ 2,4
@ABJS8
= 12,39
8
= Z ∗ zsJS8 ∗ ;
8
= Z ∗ 10,33 ∗ 2,4
@ABJS8
= 7,44
S i d e 32 | 40
Udført af
Mads Foldager
8) Nødvendigt modstandsmoment
For at finde det nødvendige modstandsmoment anvendes formlen F’ø9 ≥
For bjælken Sb1 vil det nødvendige modstandsmoment blive F’ø9 ≥
™,[[
\<
D•–—
WU˜
= 29,77 ∗ 10E ∗
E
Nu kan der ved opslag i Teknisk Ståbi findes en bjælke, som har et større modstandsmoment end det
nødvendige. For HEB bjælker se side 240.
For en HE100B vil modstandsmomentet være 104 ∗ 10E ∗
statiske system.
E
og kan derfor roligt anvendes til dette
9) Nedbøjningen
Men som oftest vil det være nedbøjningen, som er dimensionsgivende, det er derfor også vigtigt at
beregne bjælkensnedbøjning.
\
For bjælkenedbøjningen anvendes formlen EZ[ ∗
š∗6 ›
4∗5
Elasticitetsmodulet er, som beskrevet i teoriafsnittet 0,21 ∗ 10
[
Inertimomentet for en HE100B er xG = 4,50 ∗ 10 ∗
, 8∗ ,\›
8∗8<• ∗[,\<∗8<•
\
[, Z∗ ,\›
∗
EZ[ <, 8∗8<• ∗[,\<∗8<•
\
,M<∗ ,\›
∗
EZ[ <, 8∗8<• ∗[,\<∗8<•
\
Sb1’s nedbøjning herefter œ@ABJS8H = EZ[ ∗ <,
Sb1’s nedbøjning herefter œ@ABJS8H =
Sb1’s nedbøjning herefter œ@ABJS8H =
= 1,19
= 1,96
= 1,32
Nedbøjningen for den dominerende variable laster bliver 1,96
nedbøjning for egenlast.
nedbøjning for snelast.
nedbøjning for snelast.
.
Fra teoriafsnittet kendes det, at en maksimal nedbøjning i taget må være længden / 700 det giver altså
,[
en tilladt nedbøjning på ™<< = 3,43
p sk__k k: ℎk: pnk:ℎp;sl.
Det kan være nødvendigt, at undersøge den samlede nedbøjning og konsekvenserne som kan opstå
heraf, men der er ikke nogen krav til den samlede nedbøjning.
1,19,
+ 1,96
= 3,15
, det er vigtigt at undersøge om der skulle være nogle elementer som
kan tage skade af denne nedbøjning.
10) Vurdering på nedbøjningen
Der er på bjælken Sb1 ikke nogle problemer i forhold til nedbøjningen
11) Bøjningsspænding
Bøjningsspændingen for bjælken bliver med formlem `G9 >
D•–—
žŸK
S i d e 33 | 40
Udført af
Mads Foldager
250 >
@ABJS8
FH6Œ48<<•
Bøjningsspændingen er her overholdt.
→
7,45
= 71,50
104 ∗ 10E
12) Forskydningsspænding
Forskydningsspændingen beregnes ved hjælp af formlen
1>9
=
0• ∗ `G9
√3
0• = 0 − 2 €W + l¢ + 2 ∗ : ∗ lW
0• = 2,60 ∗ 10E − 2 ∗ 100 + 6 + 2 ∗ 12 ∗ 10 = 900
≥
=
V ∗WU˜
√E
≥
49
49
900 ∗ 250
= 129,90
≥ 12,39
√3
Forskydningsspændingen er hermed også overholdt og dermed er bjælken dimensioneret til en
HE100B.
1>9
=
1>9
Forskydningsspændingen er den kraft, som skal til for at klippe bjælken ved understøtningen.
6.3 SØJLEDIMENSIONERING
Til søjledimensionering regnes der på søjle S2, som er vist i Figure 6-1 Optegning af det statiske system, og
teorien fra teoriafsnittet søjledimensionering anvendes.
Søjle længden for S2 er 2,8m
c = 8 som er parameteren svarende til krumningskurvens form
Til beregningen af søjler skal den frie søjlelængde defineres ud fra formlerne der er, at finde i Teknisk Ståbi s.
134. Det giver en værdi som hedder.
;J.£ = ;£ ∗ ¤
8¥<,ZZ∗¦
8,ZZ
= 5,83
Den regningsmæssige normalkraft
49
=
@A§JS8
= 12,39
Den regningsmæssige tværlast : = *`-€2Gi ∗ ;£ +
€„€2Gi
.
∗
6¨+
+
€„€2Gi
∗
6¨^
, = 5,37
/ .
Herefter findes snitkræfterne.
M0 er momentet fra tværbelastningen.
N er tryknormalkræften
NE er Eularkræften bestemt ved
4
=
3+ ∗4∗5U©ª+PP«
¬¨++
= 1,49 ∗ 10[
Dette giver muligheden for at anvende formlen for momentet i søjlen.
S i d e 34 | 40
Udført af
8
Z
= ∗ : ∗ ;£ ∗ *1 +
3+
¦
∗
‚
,
‚ª -‚
Mads Foldager
= 5,34
Partialkoefficienten ved beregning på søjler er CD8 = 1,2.
Tværsnitskonstanterne for en HE200B.
Bruttotværsnit
0 = 0Œ4 <<• − 2 ∗
Œ4 <<•
∗ lWŒ4
<<•
+ l¢Œ4
<<•
+ 2 ∗ :Œ4
Elastisk Modstandsmoment i y-aksen FG = 570 ∗ 10E
Plastisk Modstandsmoment FH6 = 642 ∗ 10E
E
<<•
∗ lWŒ4
<<•
= 2485
E
Inertiradius IG = 85,5
Knæklængden for søjlen er kendt som ls.S2 = 5,83m
Herefter kan søjlereduktionsfaktoren findes ved hjælp, af tabel 6.30 teknisk ståbi, hertil skal relative
slankhedsforhold findes.
hG =
67.¨+
LU
®^,®∗¯
= 0,73 hvor Q relativ materialeparameter findes ud fra tabel 6.31.
Ud fra den ovenover fundne værdi kan tabel 6.32 anvendes til at bestemme, hvilket søjletilfælde der skal
benyttes, her vil det være tilfælde d.
RG = 0,643 dette vil være søjlereduktionsfaktoren.
Derfor bliver trykstangens bæreevne
som søjlen skal bære
49
= 12,39
S>9
=
TU ∗V∗WU
XY?
= 366,18
, denne værdi er langt større en den kraft
, derfor er søjlen altså mere end stærk nok til at optage kræfterne.
S i d e 35 | 40
Udført af
Mads Foldager
7 KONKLUSION
Hvorledes dimensioneres en stålbjælke og stålsøjle igennem diverse beregninger?
For at komme med et svar på problemformuleringen, så er der igennem specialet blevet gennemgået meget
teori for bjælke- og søjleberegninger og dimensionering, denne teori var ikke blot for selve stålelementets
dimensioneringen, men også for at bestemme lasterne, som virker på bygningen. Lasterne som virker på en
bygning vil være egenlasten, som altid er gældende, snelast som virker på taget, nyttelast findes på etagedæk,
mens vindlasten virker på taget og facaderne.
Specialet dækker altså, hvordan disse laster findes, når der regnes på et tilfælde med tag.
Herefter er det muligt, at finde frem til linjelasterne, som opstår efter at et lastopland multipliceres med lasten,
linjelasterne anvendes til, at finde moment- samt forskydningskræften, der anvendes til at finde frem til det
nødvendige modstandsmoment. Ud fra det nødvendige modstands moment er det muligt, at finde en bjælke,
som har den styrke der er nødvendig for, at holde lasterne, f.eks. er der igennem specialet blevet anvendt en
HE100B til at holde taget.
Efter der er valgt en bjælke, som har en tilstrækkelig styrke skal det eftervises, at bjælken ikke har en for stor
nedbøjning, dette kan beregnes ved hjælp af formlerne i teknisk ståbi for max nedbøjning, hvor der regnes på
nedbøjningen for egenlasten og variable laster. Hertil findes der en regneregel for, hvad den maksimale
nedbøjning må være ved variable laster, f.eks. må nedbøjningen kun være 1/700 af bjælkens længde ved tag.
Den rådgivende skal huske, at tage stilling til den samlede nedbøjning, men denne er ikke dimensionsgivende.
Efterfølgende kan forskydningsspændingen og bøjningsspændingen eftervises og i dette tilfælde er det ikke
noget problem at overholde.
Til dimensioneringen af en søjle, er det nogle andre formler, som skal anvendes men lasterne går igen, her er
det selvfølgelig nemmest, at tage forskydningskræften fra bjælken og anvende denne som en
centralbelastning, men søjlen skal også kunne modstå det tryk, der kommer fra vindlasten, denne tages med i
betragtning når det regnes moment i søjlen, i dette projekt er der anvendt en HE200B og eftervisningen af
bæreevnen har vist, at søjlen uden problemer kan optage lasterne fra taget.
S i d e 36 | 40
Udført af
Mads Foldager
8 PERSPEKTIVERING
Den metode, som er anvendt i dette speciale til dimensioneringen af bjælke og søjle, er en meget manuel og
langsom metode, som selvfølgelig stadig er gældende. Grunden til, at det er denne metode, som anvendes er,
at det giver en meget god forståelse af principperne, som skal bruges til dimensioneringen. Men eftersom der
skrives 2014 og firmaerne går meget op i optimering, virker det ikke, som den mest ideelle metode, at
medbringe til arbejdsmarkedet. Men hvordan kan en dimensionering ellers foregå?
I denne tid, hvor computere er den store fremdrift, så er det klart, at der også findes programmer, som kan
dimensionere og regne på statiske systemer, det er altså ikke nødvendigt, at foretage beregningerne af det
statiske system i hånden længere. Programmerne, som er kendt fra konstruktøruddannelsen er f.eks.
Winbeam, der er et gammelt program, men stadig meget effektiv til den simple dimensioneringsopgave, ellers
er der også programmer som Autodesk Robot og Strusoft, der er målrettet mod større og mere komplekse
beregninger, her er der mange flere muligheder, blandt andet kan der direkte bygges et statisk system op
igennem en model.
Det er meget smart med disse programme, men det kunne sagtens være smartere, der findes i dag nogle
export metoder, hvor 3D tegninger fra f.eks. Revit kan exporters til Strusoft, men det kræver meget af
modellerne, som skal være koblet præcist sammen, ellers kan Strusoft ikke afgøre, hvordan modellen hænger
sammen statisk. Fordi bygningerne i dag skal være meget arkitektoniske med organiske former så bliver 3D
modellerne mere avancerede og besværlige, at optegne og ja derved bliver modellen svær, at få til at passe
statisk.
Men det vil helt sikkert være den fremtidige metode til dimensionering, Konstruktørerne tegner allerede 3D
modeller i Revit, så det er bare at få modellerne til at virke statisk rigtigt, så vil en dimensionering af bygningen
hurtigt være overstået, igennem et ekstra program.
S i d e 37 | 40
Udført af
Mads Foldager
9 BIBLIOGRAFI
Hugh D. Young, R. A. (2008). University Physics 12th Edition.
Larsen, B. (2014). Semesterplan for bygningskonstruktør 5. semester. Aalborg: UCN.
Todd, M. S. (2000). Structures theory and Analysis. Hampshire: Palgrave Macmillan.
S i d e 38 | 40
Udført af
Mads Foldager
10 FIGUR LISTE
Tabel 4-1 Opbygning af Ydervæg..............................................................................................................................8
Tabel 4-2 Opbygning af Etagedæk............................................................................................................................8
Tabel 4-3 Opbygning af Tag ......................................................................................................................................9
Tabel 4-4 Opbygning af Kælderdæk .........................................................................................................................9
Figure 5-1 Eksempel på et lasttilfælde .................................................................................................................. 11
Figure 5-2 Punktlast ............................................................................................................................................... 11
Figure 5-3 Linjelast................................................................................................................................................. 12
Figure 5-5 Linjediagram for fastholdt understøtning ............................................................................................ 13
Figure 5-6 Rullenden understøtning...................................................................................................................... 13
Figure 5-7 Indspændt bjælke ................................................................................................................................. 14
Figure 5-8 Brudkurve ............................................................................................................................................. 15
Figure 5-9 Reaktionsdiagram ................................................................................................................................. 16
Figure 5-10 Eksempel til at finde reaktioner ......................................................................................................... 17
Figure 5-11 Eksempel til at finde interne reaktioner ............................................................................................ 18
Figure 5-12 illustration til aflæsning af q for fladt terræn..................................................................................... 19
Figure 5-13 Eksempel på søjleberegning ............................................................................................................... 20
Figure 6-1 Optegning af det statiske system ......................................................................................................... 24
Figure 6-2 reaktionsdiagram over bjælken Sb1..................................................................................................... 25
Figure 6-3 graf til aflæsning af q for fladt terræn.................................................................................................. 27
Figure 6-4 Grundplan til vindlast ........................................................................................................................... 27
Figure 6-5 Zoner for sadeltag ................................................................................................................................ 28
S i d e 39 | 40
Udført af
Mads Foldager
11 BILAGSLISTE
Bilag 1 Tegningsmateriale.
Bilag 2 Uddrag af Eurocode 1 last på bærende konstruktioner samt DS 410 Last på konstruktioner.
Bilag 3 Lastberegninger.
Bilag 4 Bjælkedimensionering.
S i d e 40 | 40

Speciale i Stålkonstruktioner

Transcription

Similar documents

1/41E Jeep, 4x4, M 151A1, last

null

Se program og invitation for Forsknings

Svendekasse

CV for Jens Bay Clausen - Flensburg & Clausen Consulting

Hent mit CV (PDF-fil) - Kullegaard Arkitekter

Bygningskonstruktør /byggeleder

Velkommen til pædagoguddannelsen

BV 2015 04 maj 1 - Foreningen af Kommunale Beredskabschefer

Publikationsliste