Visst kan man faktorisera x4 +1

Per-Eskil Persson
Visst kan man faktorisera x 4 +1
Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en
väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och
senare på gymnasiet. Vi får här ta del av hur man med hjälp av lättillgängliga
datoralgebrasystem, appar och nätresurser kan erbjuda elever vägar till
förståelse och färdigheter i polynomfaktorisering.
F
aktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran. Redan i slutet av grundskolan möter elever i regel denna omvändning till multiplikation med hjälp av distributiva lagen och de speciella
regler man kan härleda ur den, som konjugatregeln och kvadreringsregeln. Att
förstå och tillämpa faktorisering innebär en betydande ansträngning, både av
de elever som ska lära sig den och av läraren som ska göra detta möjligt.
Distributiva lagen:
Konjugatregeln: Kvadreringsregeln:
a · (b + c) = ab + ac
(a + b) · (a – b) = a 2 – b 2
(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2
I gymnasiekurserna framträder faktorisering i de första kurserna i samband
med ekvationslösning och för att exempelvis finna nollställen till funktioner.
Oftast gäller det uttryck, ekvationer och funktioner av grad två.
◊
Faktorisera uttrycket 12x 2 – 9x.
Den största gemensamma faktorn i termerna är 3x. När den bryts ut
(divideras) ur dessa får man det faktoriserade uttrycket 3x · (4x – 3).
◊
Lös ekvationen x 2 – 5x + 6 = 0. Kvadratkomplettering av vänsterledet ger
✓ ◆ 2 ! ✓ ◆2
✓
◆2 ✓ ◆ 2
5
5
5
1
2
. Med
+ 6 och sedan x
x
5x +
2
2
2
2
✓
◆✓
◆
5 1
5 1
och ekvationen blir
konjugatregeln fås x
+
x
2 2
2 2
(x – 3)(x – 2) = 0 som sedan lätt löses.
◊
Vilka nollställen och vilken symmetrilinje har grafen till funktionen
f (x) = x 2 – 2x – 3 ? Liknande metoder som i de två föregående exempel kan
användas.
Nämnaren nr 2 • 2013
53
Här har både konjugat- och kvadreringsregeln använts. Vi kan som i exemplet kvadratkomplettera, eller så kan vi utnyttja en färdig formel. Båda tillvägagångssätten bygger i grunden på kunskaper om dessa specialregler. En bra
generell metod är att finna nollställen till polynomet och utifrån dem konstruera förstagradspolynom som detta kan divideras med. Att det är möjligt anges i
faktorsatsen och metoden som används är polynomdivision.
För att bli riktigt drivna i att faktorisera måste elever träna på mer komplicerade polynom, av tredje graden och högre. Inom analysen i gymnasiets
senare kurser måste de också kunna finna nollställen till derivatan av exempelvis fjärdegradsfunktioner för att bestämma maxima och minima. Ett paradexempel som brukar finnas med i läroböckerna är faktorisering av uttrycket
x 4 – 16 eller liknande:
◊
Konjugatregeln utnyttjas två gånger och vi får
x 4 – 16 = (x 2 – 4) (x 2 + 4) =(x – 2) (x + 2) (x 2 + 4).
Det kan också tänkas att eleven lär sig faktoriseringsformeln
x 3 – 1 = (x – 1)(x 2 + x + 1).
Men hur är det med uttryck av liknande slag med den allmänna formeln x n – 1,
där n är vilket positivt heltal som helst? Att göra en undersökning av vad som
händer när n blir tämligen stort är ganska jobbigt och till slut nästan omöjligt. Vi
kan utföra delar av faktoriseringen men kan kanske inte klara den fullständigt.
Med hjälp av datoralgebrasystem (CAS) kan detta enkelt göras av elever i gymnasiekurser. I didaktisk litteratur har exempel på sådan undersökande aktivitet beskrivits av Drijvers, Boon och van Reeuwijk vid Freudenthalinstitutet i
Nederländerna.
Det går bra att utnyttja vilket CAS-verktyg som helst, datorprogramvara,
applikationer etc. Kommandot är nästan alltid factor, men ibland (som i
Geogebra) Faktorisera. Om vi provar att faktorisera x n – 1 för heltal n från
1 till 12 får vi:
factor(x 1 – 1)
factor(x 2 – 1)
factor(x 3 – 1)
factor(x 4 – 1)
factor(x 5 – 1)
factor(x 6 – 1)
factor(x 7 – 1)
factor(x 8 – 1)
factor(x 9 – 1)
factor(x 10 – 1)
factor(x 11 – 1)
factor(x 12 – 1)
(x – 1)
(x – 1)(x + 1)
(x – 1)(x 2 + x + 1)
(x – 1)(x + 1)(x 2 + 1)
(x – 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)
(x – 1)(x + 1)(x 2 + x + 1)(x 2 – x + 1)
(x – 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)
(x – 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1)
(x – 1)(x 2 + x + 1)(x 6 + x 3 + 1)
(x – 1)(x + 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)(x 4 – x 3 + x 2 – x + 1)
(x – 1)(x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)
(x – 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 2 + x + 1)(x 2 – x + 1)(x 4 – x 2 + 1)
Ett mönster börjar framträda, och det ger upphov till en rad intressanta frågor som är utmärkta att diskutera i klassen, antingen gruppvis eller i helklass.
Exempel på sådana frågor är:
54
Nämnaren nr 2 • 2013
◊
Alla uttryck verkar ha faktorn (x – 1). Kan vi motivera detta eller rent av
finna ett bevis för att så måste vara fallet?
◊
Vad är gemensamt för de n där faktoriseringen också innehåller (x + 1)? Hur
motiverar eller bevisar vi det?
◊
Vissa uttryck innehåller bara två faktorer, (x – 1) och en obruten summa
av potenser av x. T ex x 7 – 1 =(x – 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1). Vad är
gemensamt för de n där detta inträffar?
◊
Det finns andra faktorer som är gemensamma. Exempelvis finns (x 2 + x + 1)
med när n är 3, 6, 9 och 12. Hur kan vi förklara det?
◊
Det verkar som om alla termer har koefficienterna +1 eller -1, alltså är av
typen ± x k . Gäller detta alltid när man faktoriserar x n – 1, oavsett n?
Här finns det möjlighet att ställa hypoteser och enkelt kontrollera dem. Som
lärare kan du också be eleverna att gissa nästa i raden. Vad tror de att faktoriseringen av x 13 – 1 kan ge? Faktoriseringen av x 14 – 1 ? etc. På samma sätt kan
eleverna försöka faktorisera polynomen där n är positivt heltal. Ett helt annat
mönster visar sig:
factor(x 1 + 1)
factor(x 2 + 1)
factor(x 3 + 1)
factor(x 4 + 1)
factor(x 5 + 1)
factor(x 6 + 1)
factor(x 7 + 1)
factor(x 8 + 1)
factor(x 9 + 1)
factor(x 10 + 1)
factor(x 11 + 1)
factor(x 12 + 1)
(x + 1)
(x 2 + 1)
(x + 1)(x 2– x + 1)
(x 4 + 1)
(x + 1)(x 4 – x 3 + x 2 – x + 1)
(x 2 + 1)(x 4 – x 2 + 1)
(x + 1)(x 6 – x 5 + x 4 – x 3 + x 2 – x + 1)
(x 8+ 1)
(x + 1)(x 2 – x + 1)(x 6 – x 3 + 1)
(x 2 + 1)(x 8 – x 6 + x 4 – x 2 + 1)(x 4 – x 3 + x 2 – x + 1)
(x + 1)(x 10 – x 9 + x 8 – x 7 + x 6 – x 5 + x 4 – x 3 + x 2 – x + 1)
(x 4 + 1)(x 8 – x 4 + 1)
Samma typ av frågeställningar kan göras som för det tidigare mönstret. Om
eleverna arbetat med detta, klarar de säkert att själva upptäcka de frågor de vill
ställa och även att formulera hypoteser och finna svar till dem.
Men vänta lite nu! Har inte Gauss för länge sedan fastslagit att man kan faktorisera alla polynom, så att faktorerna
bara är polynom av första och andra graden? Vi utgår från
faktoriseringen av x 4 + 1. Om det även hade funnits en term
2x 2 hade uttrycket följt en kvadreringsregel. Låt oss införa
en sådan och kompensera genom att dra ifrån samma term.
Nu ser vi att det går att använda konjugatregeln och vi får
�
�2 ⇣p ⌘2
x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = x2 + 1 −
2x
⇣�
⌘
⇣
⌘
⇣
⌘⇣
⌘
p
p
� 2
� p
� p
x2 + 1 − 2x
x + 1 + 2x = x2 − 2x + 1 x2 + 2x + 1
⌘⇣
⌘
p
p
� p ⌘ ⇣
+ 1 + 2x = x2 − 2x + 1 x2 + 2x + 1
Carl-Friedrich Gauss, 1777–1855
Nämnaren nr 2 • 2013
55
Jovisst går det att faktorisera! Men varför klarade inte CAS-verktygen av detta?
Problemet ligger i hur vi definierar ”faktorisera”. Ofta tänker vi bara på heltal,
precis som inom talteori, och då får vi resultat enligt tabellerna ovan. Om exempelvis talet 30 skapdelasp
upp i två faktorer så har vi kanske 3 · 10 eller 5 · 6 i tankarna
men sällan t ex 3 2 · 5 2 . Ger vi också möjlighet för koefficienter i polynomen
som är algebraiska tal, klarar vi att faktorisera enligt Gauss princip. Algebraiska
tal definieras som tal vilka kan vara rötter till polynomekvationer med heltalskoefficienter. Det rör sig då om rotuttryck av olika slag.
q
p
◊ Det algebraiska talet x =
2 − 1 är en rot till ekvationen x 4 + 2x 2– 1 = 0.
Om vi alltså öppnar för faktorisering där algebraiska tal är tillåtna, blir mönstren för x n + 1 som vi studerat ovan ganska annorlunda. Dessvärre finns det för
flera CAS-verktyg ingen möjlighet att göra detta. Ett undantag är TI-Nspire
CAS, där vi med en liten ändring av kommandot kan uppnå detta. Vi provar
det på något som tidigare inte fått någon faktorisering, x 4 + x 3 + x 2 + x + 1:
◊
factor(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, x) ger
!
p
1− 5
2
x+1
x +
2
!
p
1+ 5
x+1
x +
2
2
Lägg märke till x:et som lagts till inom parentesen i kommandot. Denna lilla förändring ger alltså detta nya resultat. Det är ju också intressant att det är två tal
som vi förknippar med femhörningar och gyllene snittet som framträder som
koefficienter här. Vad kan det bero på? Gauss utnyttjade i själva verket denna
typ av faktoriseringar för att bevisa att regelbundna femhörningar, men även t ex
regelbundna sjuttonhörningar, inskrivna i cirklar kan konstrueras med passare
och linjal. Det lämnas åt läsaren att verifiera att faktoriseringen är korrekt och att
kanske även finna ett sätt att genomföra den med papper och penna.
Med detta tilläggskommando kan vi alltså bilda nya mönster av faktoriseringarna ovan, och även i detta fall diskutera i klassrummet vad som händer,
och varför. Frågorna blir delvis helt nya. Men på tal om Gauss, bevisade han
inte att alla polynom kan faktoriseras till enbart förstagradsuttryck i det komplexa talområdet? Jovisst, och datoralgebrasystemen ger också möjlighet till
detta. Exempelvis får vi att x 2 + 1 = (x – i)(x + i).
Vi provar detta på polynomet x 4 + 1. I exempelvis Maxima heter kommandot gfactor, och vi får x 4 + 1 = (x 2 – i)(x 2 + i).
I TI-Nspire blir kommandot cFactor(x 4 + 1,x) och uttrycket blir i och med
detta fullt faktoriserat i det komplexa talområdet
4
x +1=
✓
1+i
x− p
2
◆✓
◆✓
◆✓
◆
1+i
1−i
1−i
x+ p
x− p
x+ p
2
2
2
Nollställena till polynomet bildar i det komplexa talplanet hörnen i en kvadrat
som är inskriven i en cirkel med radien 1. Med papper och penna kan vi finna
dem genom att med lämplig metod lösa ekvationen x 4 + 1 = 0 i det komplexa
talområdet.
56
Nämnaren nr 2 • 2013
Vad vi menar med att faktorisera ett polynom är alltså inte helt entydigt. Det beror
på vilka förutsättningar vi ger i form av
vilka slags faktorer som är tillåtna och även
inom vilket talområde vi utför faktoriseringen. ”Vanlig” faktorisering bör vi kanske precisera som heltalsfaktorisering (det
finns också gaussiska heltal i det komplexa
talområdet). De mer ovanliga faktoriseringar som presenterats i artikeln är ofta
inte heller åtkomliga med hjälp av grafriz1 – z 4 är rötter till ekvationen
tande program, räknare eller applikatiox 4 + 1 = 0.
ner. Om vi i undervisningen vill studera
dem närmare, vilket är önskvärt åtminstone i de senare kurserna i gymnasiet, behövs någon form av datoralgebrasystem som verktyg. Några sådana presenteras nedan.
Till sist ett litet tips för den som försökt lösa problemet om alla termer i heltalsfaktoriseringen av x n –1 alltid är av typen ± x k : Prova att faktorisera x 105 –1.
EXEMPEL PÅ CAS-VERKTYG
Datorprogramvara:
Applikationer:
Nätet:
Geogebra
Maxima
TI-Nspire (även räknare)
Symbolic Calculator HD
PocketCAS
CAS Calc P11
WolframAlpha
TI-Nspire
www.wolframalpha.com
LITTERATUR
Drijvers, P., Boon, P. & van Reeuwijk, M. (2011). Algebra and technology. I P.
Drijvers (red), Secondary algebra education – Revisiting topics and themes
and exploring the unknown, 179–202. Rotterdam: Sense Publishers.
Kieran, C. & Drijvers, P. (2006). The co-emergence of machine techniques,
paper-and-pencil techniques, and theoretical reflection: a study of CAS
use in secondary school algebra. International journal of computers for mathematics learning 11, 205–263.
NÄMNAREN NR 2 • 2013
57