Föreläsning 27

Sidor i boken
Repetition inför kontrollskrivning 3
Ekvationssystem
Läxa 1. Lös ekvationssystemet
31x + 45y
14x − 23y
=
=
Läxa 2. Lös ekvationssystemet
x − 3(x + 2y) − 2(5y − 3x) =
3(x − y) − 6(y − x) + 5y − 3 =
−188
305
2(3x − 6y) − (5x − y) + 8
3x − 3 + 5(x − y)
Läxa 3. Lös ekvationssystemet




a
a+b
a+b+c



a+b+c+d
=
=
=
=
1
3
6
10
Läxa 4. Ett gammal problem. 2 kg kaffe och 5 kg socker kostar tillsammans 29.00 kr. Om priset på
kaffe sjunker med 2% och priset på socker stiger med 5%, blir kostnaden för samma mängder 28.84
kr. Beräkna priset per kg på kaffe och socker innan prisändringen.
Olikheter
Läxa 5. y − 3x − 6 = 0 och y + 2x + 8 = 0 är två räta linjer. I vilket intervall på x-axeln har båda
linjerna y-värden < 0?
Läxa 6. Lös olikheten
3x − 2(x + 3) − (2x + 1) > 4(x − 1) − 2(2 − x)
Läxa 7. Lös olikheten
−x2 + x + 2 > 0
Håkan Strömberg
1
KTH STH
Formelhantering
Läxa 8. Lös ut c ur formeln
c(a + b) − a(c − b) = b
Läxa 9. Lös ut c ur
a
Läxa 10. Lös ut c ur
p
b2 + b2 c = b2
1
1 1
1
+ + =
a b c
ab
Vektorer
Läxa 11. Dela upp kraften i figuren i komposanter, en x-komposant och en y-komposant.
Läxa 12. Givet de två vektorerna i figuren. Bestäm deras resultant.
Läxa 13. Bestäm y-komposanten i v~1 = (3, ?), så att den får samma längd som v~2 = (1, 9)
Läxa 14. Vi har två vektorer ~v = (v1 , v2 ) och ~u = (u1 , u2 ). Vi utför följande beräkning
~v ◦ ~
u = (v1 , v2 ) ◦ (u1 , u2 ) = v1 · u1 + v2 · u2
Vi har bestämt vektorernas skalärprodukt. Då denna produkt = 0 betyder det att vektorerna är
vinkelräta mot varandra.
Nedan får du sex vektorer. Para ihop dem så att paren av vektorer är vinkelräta.
~r = (3, 2), ~s = (−2, 3), ~t = (3, 6), ~u = (4, −6), ~v = (−4, 2), w
~ = (6, 4)
Håkan Strömberg
2
KTH STH
Läxa 15. I figuren ser du tre vektorer (alla med heltalskoordinater). Bestäm en fjärde vektor så att
resultanten av dessa fyra vektorer blir (0, 0).
Andragradsfunktionen
Läxa 16. Funktionen f(x) = x2 + bx + c går genom punkterna (4, 24) och (2, 6). Bestäm b och c
Läxa 17. I vilka punkter skär linjen y = 6x + 2 andragradskurvan y = 2x2 + 2x − 68 ?
Läxa 18. Andragradskurvan y = ax2 + bx + c har maximum för x = 1. x = −1 är ett nollställe
och punkten (0, 1) ligger på kurvan. Bestäm värdet på konstanterna a, b och c. (Använd inte
derivatabegreppet även om du skulle kunna)
Läxa 19. För en andragradsfunktion f(x) gäller: f(−5) = 0, f(2) = 0 och f(0) = 10. Bestäm a, b
och c i f(x) = ax2 + bx + c.
Läxa 20. Funktionen f(x) = 2x2 − 8x + 6 har en minpunkt. Beräkna analytiskt denna minpunkts
koordinater. (I nästa kurs kommer du att kunna lösa detta problem med hjälp av derivata, men det
behövs inte här)
Läxa Lösning 1. Vi använder additionsmetoden
23(31x + 45y) = 23 · (−188)
45(14x − 23y) = 45 · 305
713x + 1035y = −4324
630x − 1035y = 13725

 (630 + 713)x + (1035 − 1035)y = −4324 + 13725
1343x = 9401

x = 7

31 · 7 + 45y = −188




 217 + 45y = −188
45y = −188 − 217


45y = −405



y = −9
Svar: x = 7 och y = −9
Håkan Strömberg
3
KTH STH
Läxa Lösning 2. Vi startar med att förenkla
x − 3x − 6y − 10y + 6x =
3x − 3y − 6y + 6x + 5y − 3 =
4x − 16y =
9x − 4y − 3 =
x − 11y + 8
8x − 3 − 5y
3x − 5y =
x+y =
3x − 5y
5(x + y)
6x − 12y − 5x + y + 8
3x − 3 + 5x − 5y
8x
x
8
0
=
=
=
=
1+y =
y =
8
5·0
8
1
0
−1
Svar: x = 1 och y = −1
Läxa Lösning 3. Ett triangulerat system med 4 obekanta som man kan klara i huvudet. Tekniken
kallas bakåtsubstitution. a = 1 är givet. 1 + b = 3 ger då b = 2. I tredje ekvationen får vi så
1 + 2 + c = 6, som ger c = 3. Till sist 1 + 2 + 3 + d = 10 ger d = 4.
Svar: a = 1, b = 2, c = 3, d = 4.
Läxa Lösning 4. Antag att kaffet från början kostade k kr/kg och sockret s kr/kg.
2k + 5s = 29.00
2k · 0.98 + 5s · 1.05 = 28.84
Substitutionsmetoden ger
k =
29.00−5s
2
som sätts in i den andra ekvationen
2 · 0.98 · 29.00−5s
+ 5s · 1.05
2
0.98(29.00 − 5s) + 5.25s
−4.9s + 5.25s
0.35s
s
k
k
=
=
=
=
=
28.84
28.84
28.84 − 28.42
0.42
1.20
= 29.00−5·1.20
2
= 11.50
Svar: Kaffet kostade 11.50 kr/kg och sockret 1.20 kr/kg
Läxa Lösning 5.
Håkan Strömberg
4
KTH STH
Vi löser en olikhet i taget
och
y − 3x − 6
y
y < 0 då 3x + 6 < 0
3x + 6 < 0
x < −2
=
=
0
3x + 6
y + 2x + 8
y
y < 0 då −2x − 8 < 0
−2x − 8
−8
x
=
=
0
−2x − 8
<
<
>
0
2x
−4
Vi får så intervallet −4 < x < −2
Svar: −4 < x < −2
Läxa Lösning 6.
3x − 2(x + 3) − (2x + 1)
3x − 2x − 6 − 2x − 1
−x − 7
1
x
Svar: x <
>
>
>
>
<
4(x − 1) − 2(2 − x)
4x − 4 − 4 + 2x
6x − 8
7x
1
7
1
7
Läxa Lösning 7. Först tar vi reda på nollställena
−x2 + x + 2 =
x2 − x − 2 =
0
0
=
=
=
=
1
2
1
2
x
x
x1
x2
±
±
2
−1
q
1
4
+
8
4
3
2
Eftersom koefficienten framför x2 -termen vet vi att funktionen f(x) = −x2 + x + 2 har ett maximum.
Detta maximum ligger mellan nollställena, vilket i sin tur betyder att −1 < x < 2.
Svar: −1 < x < 2
Läxa Lösning 8.
c(a + b) − a(c − b)
ac + bc − ac + ab
bc + ab
bc
c
c
=
=
=
=
=
=
b
b
b
b − ab
b(1−a)
b
1−a
Svar: c = 1 − a
Håkan Strömberg
5
KTH STH
Läxa Lösning 9.
Svar: c =
b2
a2
− 1 eller c =
√
=
ap b2 + b2 c
a b2√
(1 + c)
=
=
ab√1 + c
1+c
=
√
2
b 2
1+c
= a
1+c
=
c
=
b2
b2
b2
b
a
b2
2
a2
b
a2
−1
b2 −a2
a2
Läxa Lösning 10.
1
a
abc
abc
a
1
a
+
+
+
1
b
1
b
abc
b
1
c
=
1
ab
1
c
=
abc
c
abc ·
=
+
+
+
bc + ac + ab =
ab =
c(1 − b − a) =
c =
Svar: c =
1
ab
abc
ab
c
c − bc − ac
ab
ab
1−b−a
ab
1−b−a
Läxa Lösning 11. Endast två beräkningar behövs. Först x-komposanten
100 cos 42◦ ≈ 74.31
så y-komposanten
100 sin 42◦ ≈ 66.91
Nu kan vi skriva vektorn på formen (74, 67).
Svar: (74, 67).
Läxa Lösning 12. Vi delar upp vektorerna i x och y-komposanter. Därefter kan vi addera dem.
x1 = 34 cos 62◦ ≈ 15.96
y1 = 34 sin 62◦ ≈ 30.02
x2 = 28 cos 21◦ ≈ 26.14
y2 = 28 sin 21◦ ≈ 10.03
x1 + x2 = 15.96 + 26.14 = 42.10
y1 + y2 = 30.02 + 10.03 = 40.05
Resultanten ~r = (42.10, 40.05). Dess storlek eller längd får vi genom
p
|~r| = 42.102 + 40.052 ≈ 58.11
Vi kan, om vi vill också bestämma vinkeln
arctan
42.10
≈ 46.43◦
40.05
Svar: Antingen (42.10, 40.05) eller 58.11∠46.43.
Håkan Strömberg
6
KTH STH
Läxa Lösning 13.
√
12 + 92
2
√
12 + 92
82
y
=
=
=
=
p
32 + y2
2
p
32 + y2
2
9+
√y
± 73 ≈ ±8.54
Det finns alltså två lösningar!
√
Svar: ± 73 ≈ ±8.54
Läxa Lösning 14.
~r ◦ ~
u = (3 · 4 + 2 · (−6)) = 0
~s ◦ w
~ = (−2 · 6 + 3 · 4) = 0
~t ◦ ~v = (3 · (−4) + 6 · 2) = 0
Rita gärna de tre paren i ett koordinatsystem.
Läxa Lösning 15.
Vi startar med att läsa av de tre vektorerna
v~1 = (5, 2), v~2 = (−3, −4), v~3 = (2, 2)
Genom att summera dem få vi dessa tre vektorers resultant
~r = v~1 + v~2 + v~3 = (5, 2) + (−3, −4) + (2, 2) = (4, 0)
För att resultanten ska bli (0, 0) måste vi lägga till en vektor v~4 = (x, y) sådan att ~r + v~4 = 0, 0.
Alltså är v~4 = (−4, 0). Se figuren
Svar: (−4, 0)
Läxa Lösning 16. Problemet leder till ett ekvationssystem
2
4 + 4b + c = 24
4b + c = 8
4b + c =
2b + c = 2
−2(2b + c) =
22 + 2b + c = 6
8
−2 · 2
4b + c =
−4b − 2c =
8
−2 · 2
Vi löser så först ut c = −4, insatt i andra ekvationen
22 + 2b − 4
b
=
=
6
3
Svar: f(x) = x2 + 3x − 4
Håkan Strömberg
7
KTH STH
Läxa Lösning 17. Vi har att lösa ekvationen
2x2 + 2x − 68
2x2 − 4x − 70
x2 − 2x − 35
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
=
=
6x + 2
0
0 √
1 ± 1 + 35
1±6
7
−5
Med x-värdena kan vi enkelt ta reda på motsvarande y-koordinater
x = 7 6 · 7 + 2 ≡ 44 (7, 44)
x − 5 6 · (−5) + 2 ≡ (−5, −28)
Svar: (7, 44) och (−5, −28)
Läxa Lösning 18. Symmetrilinjen är x = 1. Det andra nollstället ligger lika långt från symmetrilinjen
som x1 . Alltså är x2 = 3. Eftersom (0, 1) ligger på kurvan innebär f(0) = 1 att a·02 +b·0+c = 1 och
att c = 1. Vi har nu f(x) = ax2 + bx + 1 och två punkter (−1, 0) och (3, 0). Vi får ekvationssystemet

3(a − b) = 3 · (−1)



9a + 3b = −1
a(−1)2 + b(−1) + 1 = 0
12a = −4
a · 32 + b · 3 + 1 = 0



a = − 31
Återstår att bestämma b.
2
Svar: − x3 +
2x
3
− 13 · (−1)2 + b · (−1) + 1 =
b =
0
2
3
+1
Läxa Lösning 19. Eftersom f(0) = 10 är f(0) = a · 02 + b · 0 + c = 10 ger c = 10 Vi har
nu f(x) = ax2 + bx + 10. Genom att utnyttja de två givna punkterna (−5, 0) och (2, 0) får vi
ekvationssystemet
a(−5)2 + (−5)b + 10 = 0
25a − 5b = −10
4a + 2b = −10
a · 22 + 2b + 10 = 0
2(25a − 5b)
5(4a + 2b)
=
=
2 · (−10)
5 · (−10)
50a − 10b
20a + 10b
=
=
−20
−50
Efter addition har vi ekvationen 70a = −70 ger a = −1. Vi sätter in a = −1 i
(−1)(−5)2 + (−5)b + 10
−25 − 5b
5b
b
Håkan Strömberg
8
=
=
=
=
0
−10
−15
−3
KTH STH
Ger oss svaret
Svar: f(x) = −x2 − 3x + 10
Läxa Lösning 20. Vi startar med att lösa f(x) = 0
2x2 − 8x + 6
x2 − 4x + 3
x
x
x1
x2
=
=
=
=
=
=
0
0 √
2 ± 22 − 3
2±1
3
1
Vi vet att symmetrilinjen går mitt emellan nollställena, vilket betyder att linjen har ekvationen x = 2.
Vi vet också att funktionen har ett minimum eftersom koefficienten framför x2 är > 0 och att detta
minimum ligger på symmetrilinjen. Vi får
f(2) = 2 · 22 − 8 · 2 + 6 ≡ −2
Svar: Minimipunkten har koordinaterna (2, −2)
Håkan Strömberg
9
KTH STH
Övnings-KS 1
Läxa 21. Bestäm olikheten
|x + 3| < 9
Lösning: När det handlar om olikheter är svaret oftast (alltid) ett intervall. Första frågan vi ställer
oss: När är uttrycket innanför absolutbeloppstecknen = 0 ? Svar det får vi genom att lösa ekvationen
x + 3 = 0, med roten x = −3. Det betyder att vi ska dela upp uppgiften i två uppgifter. En då
x < −3 och en då x ≥ −3. Allt för att vi ska kunna plocka bort absolutbeloppstecknen. Vi får
Då
x < −3
x ≥ −3
Olikhet
−(x + 3) < 9
x+3<9
Lösning
x > −12
x<6
Intervall
−12 < x < −3
−3 ≤ x < 6
Viktigt. Det gäller alltså att förstå att då x < −3 kan absolutbeloppstecknen ersättas med ett
minustecken och att då x ≥ −3, så påverkar inte absolutbeloppet över huvud taget uttrycket.
De två olikheterna är här enkla att lösa, kanske rent av huvudräkning. Vi får först två intervall som
svar, men inser att de tillsammans bildar ett intervall −12 < x < 6.
I det första intervallet har vi bestämt att x < −3. Under denna förutsättning räknar vi så fram att
x > −12. Vi har fått ett intervall i vilket olikheten är sann. I det andra intervallet har vi bestämt att
x ≥ −3. Sedan räknar vi fram att x < 6 och vi har ett intervall igen. Dessa två intervall täcker så
tillsammans intervallet −12 < x < 6, som är lösningen
Olikheten kan förstås också skrivas |x + 3| − 9 < 0. Vi har en funktion f(x) = |x + 3| − 9 som vi kan
plotta och avläsa då det är < 0
Läxa 22. Tre vektorer har resultanten ~r = (0, 0). Två av vektorerna är v~1 = (4, 7) och v~2 = (−3, 8).
Bestäm den tredje.
Lösning: Antag att den tredje vektorn är v~3 = (x, y). Vi får då att
~ 8) + (x,~y) = (0,~ 0)
(4,~ 7) + (−3,
Vi får två ekvationer
4 + (−3) + x
x
7+8+y
y
=
=
=
=
0
−1
0
−15
Svar v~3 = (−1, −15)
Håkan Strömberg
10
KTH STH
Läxa 23. Bestäm olikheten
3(x − 4) − 2(5 − x) > 4(1 − 2x)
Lösning: Vi löser uppgiften precis som om det vore en förstagradsekvation. Vi kommer inte att
behöva multiplicera båda leden med negativa tal, så det är lugnt.
3(x − 4) − 2(5 − x)
3x − 12 − 10 + 2x
3x + 2x + 8x
13x
x
>
>
>
>
>
4(1 − 2x)
4 − 8x
4 + 12 + 10
26
2
Svar: x > 2
Läxa 24. En andragradsfunktion har en extrempunkt i (−2, −6). Dessutom vet man att motsvarande
kurva skär y-axeln i punkten (0, 6). Bestäm funktionen.
Lösning: Vi antar att funktionen är f(x) = ax2 + bx + c. Vår uppgift är då att bestämma a, b och
c. Vi har tidigare lärt oss att extrempunkten (vertex) är
b2
b
+c
− ,−
2a 4a
Med hjälp av det vi vet, kan vi så ställa upp följande ekvationssystem, då f(0) = 6 ger att c = 6

b
= −2
− 2a

b
= −2
− 2a
a = b4
2
b
2
− 4a + c = −6
b
b2 = −4a · (−12)

− 4a + 6 = −6
c = 6
Den första ekvationen insatt i den andra ger
b2
b2
b(b − 12)
b1
b2
=
=
=
=
=
−4 · b4 · (−12)
12b
0
0 ger a = 0
12 ger a = 3
Den första roten ger f(x) = 0x2 + 0x + 6, som inte är en andragradsfunktion. Den andra däremot
ger f(x) = 3x2 + 12x + 6, som har grafen:
Svar: f(x) = 3x2 + 12x + 6
Håkan Strömberg
11
KTH STH
Läxa 25. En vektor ~v kan återges med hjälp av två komponenter ~v = (x, y). Men den kan också
framställas med storlek (längd) och riktning (vinkel med positiva x-axeln). Översätt vektorn ~v =
(3, 4) till storlek och riktning.
Dela upp vektorn med storleken 10 och riktningen 30◦ i två komposanter parallella med x- och
y-axeln.
√
Lösning: Storleken är densamma som vektorns längd |~v|, alltså |~v| = 32 + 42 = 5 Riktningen får
vi med hjälp av trigonometri.
4
arctan ≈ 53.1◦
3
y-komposanten får vi genom
sin 30◦ =
x-komposanten får vi genom
cos 30◦ =
y
som ger y = 5
10
x
som ger x ≈ 8.7
10
Svar: 5 ∠53.1◦ och (8.7, 5)
Läxa 26. Bestäm skärningspunkterna mellan f(x) = 3x2 − 4x + 30 och g(x) = 2x2 − 3x + 50
Lösning: Skärningspunkterna får vi genom att först lösa ekvationen
3x2 − 4x + 30
x2 − x − 20
x1
x2
=
=
=
=
2x2 − 3x + 50
0
−4
5
y-koordinaterna får vi genom antingen g(−4) = 94 och g(5) = 85 eller f(−4) = 94 och f(5) = 85.
Vi får skärningspunkterna (−4, 94) och (5, 85). Kom ihåg att då det frågas efter en punkt, så ska
både x- och y-koordinat finnas med.
Svar: (−4, 94) och (5, 85)
Håkan Strömberg
12
KTH STH
Övnings-KS 2
Läxa 27. Lös ekvationen
|x + 2| + x = 8
Lösning: En ekvation med absolutbelopp. Vi startar med att ta reda på när uttrycket inom absolutbeloppstecknet är = 0. Vi får ekvationen x + 2 = 0, som ger x = −2. Vi kan kalla x = −2 för
”brytpunkten”. Då x < −2 gäller en ekvation och då x ≥ 2 gäller en annan. Här en tabell som reder
ut det hela
Ekvation
Rot
OK
Då
x < −2 −(x + 2) + x = 8 Ingen rot Nej
x ≥ −2 x + 2 + x = 8
x=3
Ja
Återigen är det viktigt att förstå varför man kan ersätta absolutbeloppstecknen med ett minustecken i den första ekvationen och varför absolutbeloppstecken inte gör någon skillnad i den andra
ekvationen.
När vi försöker lösa den första ekvationen får vi till slut 0 = 10 vilket betyder att ekvationen saknar
lösning. Den andra ekvationen ger roten x = 3. Men innan vi godkänner den måste vi se om den
ligger i det tillåtna intervallet. Eftersom 3 > −2 är roten äkta.
När vi plottar mostavarande f(x) = |x + 2| + x − 8 får vi
Återstår att förstå (utanför problemet) att funktionen är konstant, −10, då x < −2.
Svar: x = 3.
Håkan Strömberg
13
KTH STH
Läxa 28. En andragradsfunktion har sin symmetrilinje x = 7. Det ena nollstället är (−12, 0) vilket
är det andra? Kan man helt bestämma funktionen med hjälp av dessa data?
Lösning: Huvudräkning. Avståndet från symmetrilinjens skärning med x-axeln och det givna nollstället är 7 − (−12) = 19. Eftersom det andra nollstället ligger lika långt från symmetrilijen, men på
andra sidan, så måste det andra nollstället ha x-koordinaten 7 + 19 = 26 och nollstället (26, 0). Detta
stämmer ju också med den formel vi lärt oss för symmetrilinjen
x=
−12 + 26
x1 + x2
=
=7
2
2
Nej vi har inte tillräckligt med information för att bestämma en specifik andragradsfunktion. Det
finns oändligt många. Här är tre
Svar: (26, 0) och nej
Läxa 29. När är samtidigt både f(x) = 6x − 9 ≥ 0 och g(x) = 5 − x ≥ 0
Lösning: Först tar vi reda på när f(x) ≥ 0. Vi får 6x − 9 ≥ 0 då x ≥ 23 . Sedan g(x) ≥ 0 då 5 − x ≥ 0,
eller x ≤ 5. Vi väver sedan ihop det hela till
3
≤x≤5
2
Svar:
3
2
≤x≤5
Läxa 30. Lös ut x ur formeln
y=
ax 2bx
+
6
3
Lösning:
y
6y
6y
6y
x
Svar: x =
=
=
=
=
=
ax
6
+
ax
6
2bx
3
+ 2bx
3
6
ax + 4bx
x(a + 4b)
6y
a+4b
6y
a+4b
Håkan Strömberg
14
KTH STH
Läxa 31. Bestäm k så att k|~v| = |~
u|, då ~v = (18, 24) och ~u = (12, 16)
√
√
Lösning: |~v| = 182 + 242 = 30 och |~
u| = 122 + 162 = 20. Vi får ekvationen k · 30 = 20, k =
Svar: k = 23
2
3
Läxa 32. Bestäm extrempunkten hos funktionen f(x) = ax2 + bx där a < 0.
Lösning: Eftersom a < 0 är extrempunkten en maxpunkt. Vi använder inte de ”snabba formlerna”
denna gång. Tänk på att a och b är godtyckliga konstanter. Först bestämmer vi nollställena genom
ax2 + bx = 0.
ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
x1 = 0
b
x2 = − a
Symmetrilinjen får vi genom
b
0 + (− a
)
b
=−
2
2a
Därmed har vi x-koordinaten. y-koordinaten får vi genom
x=
2
b
b
ab2
b
b2
2b2
b2
b2
f −
≡a −
≡
+b −
−
≡ 2 − 2 ≡−
2
2a
2a
2a
4a
2a
4a
4a
4a
b2
b
Svar: − , −
2a 4a
Övnings-KS 3
Läxa 33. Givet de två sambanden a + 3b = c och bc + a = 2b. Uttryck a och b, enbart med hjälp
av c.
Lösning: Formler i kombination med ekvationssystem. Vi har
a + 3b = c
a = c − 3b
bc + a = 2b
a = 2b − bc
Sätter vi den första ekvationen lika med den andra, där vi ska lösa ut b, får vi
c − 3b
c
c
b
= 2b − bc
= 5b − bc
= b(5 − c)
c
= 5−c
Detta resultat insatt i a + 3b = c eller a = c − 3b ger
a
a
a
Svar: a =
2c−c2
5−c
Håkan Strömberg
och b =
=
=
=
c
5−c
c(5−c)−3c
5−c
2c−c2
5−c
c−3
c
5−c
15
KTH STH
Läxa 34. För resultanten ~r till vektorerna v~1 = (5, y) och v~2 = (−8, −2) gäller att |~r| = 5. Bestäm y
Lösning: Vi får ekvationen
p
(5 + (−8))2 + (y + (−2))2
9 + (y − 2)2
9 + y2 − 4y + 4
y2 − 4y − 12
y
y1
y2
=
=
=
=
=
=
=
5
25
25
0 √
2 ± 4 + 12
6
−2
Rita gärna upp de två lösningarna på rutat papper.
Svar: y1 = 6 eller y2 = −2
Läxa 35. Bestäm x2 + 4x + 5 > 0
Lösning: Vi har att lösa andragradsekvationen
x2 + 4x + 5
x1
x2
=
=
=
0
1
−5
Vi vet att f(x) = x2 + 4x + 5 har en minpunkt och att denna punkt har ett y-värde < 0 eftersom
funktionen har två reella nollställen. Det betyder att f(x) > 0 då x < −5 eller x > 1. Här är grafen.
Svar: x < −5 eller x > 1
Läxa 36. Funktionen f(x) = x2 + bx + c har nollställena x1 = −2 och x2 = 4. Bestäm vertex
(extrempunkten).
Lösning: Vi vet att f(x) = 0 då (x + 2)(x − 4) = 0, som ger f(x) = x2 − 2x − 8. Vi vet dessutom
2
som ger x = −2+4
= 1. Vi vet att vertex ligger på symmetrilinatt symmetrilinjen är x = x1 +x
2
2
jen, f(1) = 1 − 2 − 8 = −9 ger oss extrempunkten (1, −9). Kanske ska man tillägga att det är
en minpunkt, som vi vet därför att koefficienten framför x2 är positiv. Om funktionen givits som
f(x) = ax2 + bx + c, hade vi då kunna besvara frågan? Svaret är: nej, vi har då för få data om
funktionen för att bestämma den.
Svar: (1, −9)
Håkan Strömberg
16
KTH STH
Läxa 37. Bestäm
x + |1 − x| > 3
Lösning: Vi startar med att ta reda på ”brytpunkten” och löser 1 − x = 0 xom ger x = 1. Problemet
sönderfaller nu i två olikheter, en då x < 1 och en då x ≥ 1. I det första fallet kompenserar vi
absolutbeloppstecknen med ett minustecken
Då
x<1
x≥1
Olikhet
x + (1 − x) > 3
x − (1 − x) > 3
Lösning
0>2
x>2
Intervall
ingen lösning
x>2
När vi löser de två olikheterna får vi
x + (1 − x) >
0 >
x − (1 − x) >
2x >
x >
3
2
3
4
2
När x < 1 finns ingen lösning. I den andra olikheten är det enda kravet vi ställer på lösningen att
x ≥ 1 och det är ju sant för vår lösning. Här är grafen för f(x) = x + |1 − x| som vi kan avläsa när
den är > 3.
Läxa 38. Två vektorer v~1 = (5, 3) och v~2 = (1, 6) är givna. Bestäm |2v~1 + 5v~2 |
Lösning:
Svar: 39 l.e.
Håkan Strömberg
~ 6) + (5,~30) = (15,~36)
2v~1 + 5v~2 = 2(5,~ 3) + 5(1,~6) = (10,
p
|2v~1 + 5v~2 | = 152 + 362 = 39
17
KTH STH