Föreläsning 17

Sidor i boken
KB 6, 66
Funktioner
Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras
ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en matematisk formel, där
invärdet representeras med en (eller flera variabler,) alternativt med en tabell eller grafiskt med en
graf, ett sambandsdiagram eller ett pildiagram.
En viktig egenskap hos funktioner är att de är deterministiska (det vill säga konsekventa, så att varje
invärde alltid ger samma utvärde). Detta gör att funktionen kan ses som en mekanism, en maskin,
som systematiskt levererar rätt utvärde så fort man stoppar in ett invärde.
Definition 1. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett
x-värde motsvaras av högst ett y-värde. (Detta gäller för den här kursen).
6
1
1
5
0.5
0.5
4
3
-2
-1
1
2
-1
2
1
-0.5
-2
-1
-1
0.5
1
-0.5
1
-1
-0.5
2
-1
Definition 2. Mängden av tillåtna x-värden kallas definitionsmängd Df . Mängden av möjliga yvärden kallas värdemängd Vf
Exempel 1. Funktionen y = f(x) = x2 + 1 har definitionsmängden Df = R, mängden av alla reella
tal. och värdemängden Vf = {y ≥ 1}
√
Exempel 2. Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen g(x) = 1 − x2 .
√
a är bara definierad om a ≥ 0, vilket ger Dg = {|x| ≤ 1} och Vg = {0 ≤ y ≤ 1}
Elementär funktion
Funktion av en variabel som kan byggas upp medelst aritmetiska operationer och potenser och
deras inversa funktioner
Med termen avses vanligen
• Polynomfunktioner, f(x) = x3 − 2x2 − 13
• Rationella funktioner, f(x) =
x2 +3
x3
x
• Exponentialfunktionen, f(x) = 2
√
• Potensfunktioner, f(x) = 3 x
• Logaritmfunktionen, f(x) = log x
• Trigonometriska funktioner, f(x) = sin x + cos x
• Arcusfunktioner f(x) = arctan 2x
Håkan Strömberg
1
KTH STH
I den här kursen ska vi bara syssla med polynomfunktioner och då enbart av första och andra
graden.
f(x) = 3x − 4
är en polynomfunktion av första graden, som vi oftast skriver y = 3x − 4 och kalla för rät linje.
f(x) = x2 − 4x + 3
är en polynomfunktion av andra graden och kallar för andragradsfunktion. Som vi tar upp inför
KS3.
Läxa 1. Bestäm k och m till linjerna
a) 7x + y + 4 = 0
b) 2x − y = 9
c) 5y − l5x − 10 = 0
d) 6x − 2y = −36
Läxa 2. Rita linjerna i samma koordinatsystem.
a) y = −3 c)
b) x = 1
d)
y=x
2y − 4x = 2
Läxa 3. Ligger punkten (4, −2) på linjen?
a) y = 3x − 14
c) y = −2x + 10
b) 2x − 4y = 0
d) −x − y = 6
Läxa 4.
a) Vilket värde har x i den punkt där en linje skär y-axeln?
b) Vilket värde har y i den punkt där en linje skär x-axeln?
c) I vilken punkt skär grafen till 2y + 3x = 1 y-axeln?
Läxa 5. Ekvationen för en linje är y = −4x + b Vilket är talet b, om linjen går genom punkten
a) (1, 3)
b) (−2, 6)
Läxa 6. Skriv linjerna y + 3x + 4 = 0 och 2y + 6x = −8 i k-form.
Läxa 7. Bestäm koordinaterna för linjernas skärningspunkter med koordinataxlarna.
a) 3x − 2y + 6 = 0 c)
b) 4x + 3y − l2 = 0 d)
Håkan Strömberg
2
7x + 2y + l4 = 0
6y − 3 = 0
KTH STH
Läxa 8. Nadja påstår att graferna till
y=7−
och
y−
x
2
x
+3=0
2
är parallella. Är detta sant?
Läxa 9. Undersök vilka linjer som är inbördes a) parallella b)vinkelräta?
L1 :
L2 :
L3 :
y = 4x − 3
L4 :
4x + y − 5 = 0 L5 :
5.2x − 1.3y = 0 L6 :
4y − x = 0
y = 3 − 0.25x
4x + y = 8
Läxa 10. Finn talet a, om punkten P3 : (3, a) ligger på en linje genom punkterna P1 : (0, 32 ) och
P2 : ( 49 , 0).
Läxa 11. Linjen 3x
2 + by − 6 = 0 avgränsar tillsammans med koordinataxlarna en triangel i första
kvadranten. Bestäm talet b, om triangeln har arean 6 areaenheter.
Läxa 12. Var skär linjen
x y
+ =1
a b
koordinataxlarna?
Läxa 13. För vilket värde på talet a är linjen ax + 2y = 12 vinkelrät mot linjen x + 3y = 6
Läxa 14. Kan man bestämma talet t så att både linjen y = t2 x − 5 och linjen y = 7x + t går genom
punkten (1, 4)?
Läxa 15. Visa att linjerna ax + by = c och bx − ay = d, där a och b är tal skilda från noll, är
vinkelräta mot varandra.
Läxa Lösning 1. Man måste lösa ut y för att kunna läsa av k och m-värden.
a)
7x + y + 4 =
y =
k = −7
0
−7x − 4
m = −4
b)
2x − y =
y =
k=2
9
2x − 9
m = −9
c)
Håkan Strömberg
3
KTH STH
5y − l5x − 10
5y
y
k=3
= 0
= 15x + 10
= 3x + 2
m=2
d)
6x − 2y
2y
y
k=3
=
=
=
−36
6x + 36
3x + 18
m = 18
Läxa Lösning 2.
Läxa Lösning 3.
a)
b)
c)
d)
Läxa Lösning 4.
V.L.
−2
2 · 4 − 4 · (−2) = 16
−2
−4 − (−2) = −2
H.L
3 · 4 − 14 = −2
0
−2 · 4 + 10 = 2
6
Svar
J
N
N
N
a) 0
b) 0
c) 2y + 3 · 0 = 1 ger y = 21 , (0, 21 ).
Läxa Lösning 5. När vi sätter in aktuell punkt får vi en ekvation i b.
a)
3 = −4 · 1 + b ger b = 7
b)
6 = −4 · (−2) + b ger b = −2
Läxa Lösning 6. Vi löser ut y ur de båda ekvationerna
y + 3x + 4 =
y =
och
2y + 6x =
2y =
y =
0
−3x − 4
−8
−6x − 8
−3x − 4
Svar: Samma linje i två skepnader.
Läxa Lösning 7.
a)
b)
c)
d)
x=0
x=0
x=0
x=0
Håkan Strömberg
3 · 0 − 2y + 6 = 0
4 · 0 + 3y − 12 = 0
7 · 0 + 2y + 14 = 0
6y − 3 = 0
y=3
y=4
y = −7
y = 21
4
y=0
y=0
y=0
y=0
3x − 2 · 0 + 6 = 0
4x + 3 · 0 − 12 = 0
7x + 2 · 0 + 14 = 0
6y − 3 = 0
x = −2
x=3
x = −2
Ingen
KTH STH
Läxa Lösning 8. Vi löser ut y i den andra ekvationen
x
−3
2
y=
1
2.
och ser att den första har k = − 21 och den andra k =
k-värdena är lika.
För att de ska vara parallella krävs att
Läxa Lösning 9. Linjerna har följande k-värden
L1
L2
L3
L4
L5
L6
y = 4x − 3
y = −4x + 5
y = 4x
y = x4
y = − x4 + 3
y = −4x + 8
k=4
k = −4
k=4
k = 14
k = − 41
k = −4
L1kL3, L2kL6, L2⊥L4, L6⊥L4, L1⊥L5, L3⊥L5
Läxa Lösning 10. Först bestämmer vi ekvationen genom punkterna P1 och P2.
k=
3
2
−0
0−
Vi har nu
y=−
9
4
≡−
2
3
2x
+m
3
Vi bestämmer m genom att sätta in P1
0
3
=− +m
2
3
ger m = 23 . Vi har nu linjen
2x 3
+
3
2
y=−
Vi sätter in P3
a=−
2·3 3
+
3
2
som ger a = − 12
Läxa Lösning 11. Linjen skär y-axeln då x = 0 ger y =
Linjen skär x-axeln då y = 0 ger
Vi får med hjälp av A =
3x
2
6
b,
som också är höjden i triangeln.
+ b · 0 − 6 = 0. Ger x = 4, som också är triangelns bas.
b·h
2
6
=
12
=
12
4
=
3
=
b
=
6
b
·4
2
6
·4
b
6
b
6
b
2
Svar: b = 2
Läxa Lösning 12. a 6= 0 och b 6= 0 antas vara konstanter.
Då x = 0 skär linjen y-axeln. Detta sker då
y
b
= 1 eller då y = b.
Då y = 0 skär linjen x-axeln. Detta sker då
x
a
= 1 eller då x = a.
Svar: Linjen skär y-axeln då y = b och x-axeln då x = a
Håkan Strömberg
5
KTH STH
Läxa Lösning 13. Vi måste börja med att lösa ut y i de båda ekvationerna
ax + 2y
2y
y
y
och den andra
x + 3y
3y
= 12
= −ax + 12
−ax 12
=
+
2
2
−ax
+6
=
2
=
=
6
−x + 6
−x 6
+
3
2
−x
+3
3
y =
y =
Den senare linjen har k = − 31 . I den förra linjen, som har k = − a2 , ska vi välja a så att
− 31 · − a2
1·a
3·2
a
= −1
= −1
= −6
Svar: Då a = −6 är linjerna vinkelräta.
Läxa Lösning 14. Vilket värde måste t ha för att punkten (1, 4) ska ligga på y = 7x + t? Vi får
ekvationen
4=7·1+t
t = −3
Det betyder att linjen får ekvationen y = (−3)2 x − 5 ≡ 9x − 5, Vi tar nu reda på vilket värde y får
då x = 1 y = 9 − 5 ≡ 4. Ja, det funkar!
Svar: Då t = −3 ligger punkten på båda linjerna.
Läxa Lösning 15. Vi löser ut y i de två ekvationerna
ax + by =
by =
y =
y =
c
c − ax
−ax + c
b
−ax c
+
b
b
k-värdet är − a
b och
bx − ay = d
ay = bx − d
bx − d
y =
a
bx d
y =
−
a
a
k-värdet är
b
a.
Vi multiplicerar så de två k-värdena
−
a b
a·b
· ≡−
≡ −1
b a
b·a
V.S.B.
Håkan Strömberg
6
KTH STH