EXTREMVÄRDEN FÖR FUNKTIONER AV TVÅ VARIABLER. Lokala

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Extremvärden för funktioner av två variabler
EXTREMVÄRDEN FÖR FUNKTIONER AV TVÅ VARIABLER.
Lokala extremvärden för funktioner av två variabler
Låt = ( , )vara en funktion från ett område D i
D. Vi säger att punkten ( a, b) är stationär om
till R. Låt ( , )vara en inre punkt av
f x′( a, b) = 0 och f y′( a, b) = 0 .
Låt ( a, b) vara en stationär punkt och
=
( , ),
=
( , ) ℎ =
( , )
Punktens karaktär bestäms då med hjälp av följande tabell:
−
>0
>0
<0
0
>0
<0
Punktens karaktär
minimum
maximum
sadelpunkt
annan metod måste tillämpas
****************************************************************
Förklaring: Låt A= ( a, b) vara en stationär punkt dvs f x′( a, b) = 0 och f y′( a, b) = 0 . Låt P=(x,y)
vara en punkt i närheten av A. Beteckna Δx = x − a och Δy = y − a .
Enligt Taylors formel av andra ordningen kring punkten (a,b) har vi (eftersom f x′ = 0 , f y′ = 0 )
f ( x, y ) − f ( a, b) =
1
∂2 f
∂2 f
∂2 f
[ Δ x 2 2 ( a , b ) + 2 Δx Δ y
( a, b) + Δy 2 2 ( a, b)] + R
2!
∂x
∂x∂y
∂y
1
1
= [ AΔx 2 + 2 BΔyΔy + CΔy 2 ] + R =
[ A2 Δx 2 + 2 ABΔxΔy + ACΔy 2 ] + R
2
2A
Kvadratkomplettering ger
f ( x, y ) − f ( a, b) =
1
[( AΔx + BΔy ) 2 + ( AC − B 2 )Δy 2 ] + R
2A
Resttermen R kan skrivas som R =
(h
2
)
3
+ k 2 B (h, k ) där B ( h, k ) är begränsad nära (0,0)
är i allmänt försumbar jämfört med den kvadratiska formen
K=
1
[( AΔx + BΔy ) 2 + ( AC − B 2 )Δy 2 ] .
2A
Sida 1 av 3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Extremvärden för funktioner av två variabler
i) Om ( AC − B 2 ) > 0 och A> 0 blir K>0 ( i parentesen är summan av två kvadrater) för alla
( Δx, Δy ) ≠ (0,0) dvs
f ( x, y ) − f ( a, b) > 0 för alla ( x, y ) ≠ ( a, b) . Därmed är ( a, b) minimipunkten i detta fall .
ii) Om ( AC − B 2 ) > 0 och A<0 blir K<0 för alla ( Δx, Δy ) ≠ (0,0) dvs
f ( x, y ) − f ( a, b) < 0 för alla ( x, y ) ≠ ( a, b) . Därmed är ( a, b) maximipunkten i detta fall .
iii) Om ( AC − B 2 ) < 0 (i parentesen är differensen av två kvadrater) då antar f ( x, y ) − f ( a, b)
både positiva och negativa värden i närheten av punkten ( a, b) . Därmed är ( a, b) inte någon
extrempunkt.
iv ) Om ( AC − B 2 ) = 0 då är f ( x, y ) − f ( a, b) =
1
[( AΔx + BΔy ) 2 ] + R . Utrycket
2A
( AΔx + BΔy ) 2 kan bli 0 även om ( Δx, Δy ) ≠ (0,0) t ex om AΔx = − BΔy . Därför tecknet av
f ( x, y ) − f ( a, b) påverkas av resttermen R. I detta fall måste vi använda Taylorutveckling av högre
ordning för att undersöka punkten A.
================================================================
ÖVNINGAR
Uppgift 1.
Bestäm alla stationära punkter till funktionen
f ( x, y ) = 10 + x 3 + y 3 − 3xy
och avgör deras karaktär ( max, min sadel, ..)
g) Lösning:
f x′ = 3x 2 − 3 y
f y′ = 3 y 2 − 3 x
För att bestämma eventuella stationära punkter löser vi systemet: f x′ = 0 , f y′ = 0 .
⎧ f x′ = 0
⇒
⎨ ′
⎩ fy = 0
⎧3 x 2 − 3 y = 0
⎧ x 2 − y = 0 ( ekv1)
⇒⎨ 2
⎨ 2
⎩3 y − 3x = 0
⎩ y − x = 0 ( ekv 2)
Från ekv 1 får vi
y = x2
(*)
som vi substituerar i ekv2 :
Sida 2 av 3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Extremvärden för funktioner av två variabler
x 4 − x = 0 ⇒ x( x 3 − 1) = 0 ⇒
x1 = 0,
x2 = 1
Från (*)
y1 = 0,
y2 = 1
Alltså har vi två stationära punkter: P1(0,0) och P2(0,0)
A = f xx′′ = 6 x ,
B = f xy′′ = −3 ,
C = f yy′′ = 6 y
Vi avgör punkternas karaktär med hjälp av följande tabell
AC − B 2
0 -3 0 -9
6 -3 6 27
Punkt A B
(0,0)
(1,1)
C
typ
f(x,y)
sadelpunkt
10
minimum (A>0) 9
Svar: Punkten (0,0) är en sadelpunkt. Funktionen har minimum i punkten (1,1) ; fmin
=f(1,1)=9.
Uppgift 2. Bestäm alla stationära punkter och avgör deras karaktär (max, min sadel, ..) för
nedanstående funktioner:
a) f ( x, y ) = 4 x 2 + y 2 + 4
b) f ( x, y ) = − x 2 − 2 x − y 2 + 4 y + 11
c) f ( x, y ) = e
x 2 + y 2 + 2 y +5
d) f ( x, y ) = 2 x 3 + 2 y 2 − 12 xy + 10
e) f ( x, y ) = 2 x 3 + 2 y 3 − 6 xy + 10
f) f ( x, y ) = xy − x 3 − y 2 + 20
Svar:
a) Minimum
f min = 4
i punkten (0,0)
b) Maximum f max = 16 i punkten (−1,2)
c) Minimum
f min = e 4
i punkten (0,−1)
d) Sadelpunkt i (0,0) ,
f (0,0) = 10 och minimum
f min = −208
e) Sadelpunkt i (0,0) ,
f (0,0) = 10 och minimum
f min = 8
f) ( 0,0) sadelpunkt, (1/6, 1/12) maximum
Sida 3 av 3
i punkten (6,18)
i punkten (1,1)