here

Avdelningen för Hållfasthetslära
Hållfasthetslära AK2 för M – Inlämningsuppgift 2 2015
Allmänt
Uppgiften skall utföras i grupp om två personer. Rapporten skall vara inlämnad senast tisdagen den 19
maj 2015. Rapporterna läggs i trälådan utanför sekreterarens kontor på våning 5 i M-huset. Granskade
rapporter hämtas hos avdelningssekreteraren fr.o.m. måndagen den 25/5. Inlämning av korrigerade
rapporter sker senast onsdagen den 27/5. De korrigerade rapporterna lämnas till Ylva Mellbin som sitter
på våning 5 i M-huset.
Uppgiften omfattar en formell strukturmekanisk hantering med en förskjutningsmetod tillämpad på ett
plant fackverk. Träningen i att ställa upp jämvikter och kompatibilitetsvillkor i matrisform är en viktig
del av denna inlämningsuppgift. Fackverket är uppbyggt av stänger, enligt figur. Alla stängerna har
samma tvärsnittsarea , elasticitetsmodul och längdutvidgningskoefficient .
4L
4L
Q
3L
F
Fackverket belastas med de yttre krafterna och . Det erhåller därvid en viss deformation. Hänsyn
ska tas till att fackverket dessutom värms upp. Problemet behandlas med fördel genom att strikt följa
kapitel 11 ”Matrisanalys av stångsystem” i läroboken, med tillägg för temperaturinverkan. Använd
samma beteckningar som i boken, men observera att boken inte behandlar temperaturinverkan. Det
ingår i inlämningsuppgiften att härleda denna.
Följande notation utnyttjas:

yttre lastvektor
1
Avdelningen för Hållfasthetslära




nodförskjutningsvektorn
stångkraftvektor
stångförlängningsvektorn
reaktionskraftvektorn
Given data:
200 GPa
1m
20 kN
100 kN
Δ
10 cm2
50 °C
10
1/°C
Använd dator för den numeriska behandlingen. Matlab är ett bra matrishanteringsprogram och finns
tillgängligt på datorerna i datorsalarna. Det kommer att vara nödvändigt att multiplicera, invertera och
addera matriser för att kunna lösa uppgiften.
Uppgifter
1. Identifiera strukturens frihetsgrader. Visa i en tydlig figur hur komponenterna i den yttre
lastvektorn och förskjutningsvektorn ska tolkas.
2. Visa i en figur den valda elementnumreringen. Hur många har strukturen ( = statisk
redundans)? Är strukturen statiskt bestämd eller obestämd?
3. Bestäm transformationsmatrisen .
4. Bestäm matrisen
.
5. Bestäm systemets styvhetsmatris .
6. Bestäm reaktionskraftmatrisen som ingår i relationen .
7. För
⋯ 0 erhålls sambandet mellan yttre lastvektorn och
förskjutningsvektorn som
. Härled sambandet mellan och när hänsyn dessutom
tas till temperaturändringar.
8. Beräkna förskjutningsvektorn , stångkraftvektorn och reaktionskraftvektorn för två fall:
a. Enbart p.g.a. temperaturändring då hela fackverket värms med
grader.
b. Vid den yttre belastningen som visas i figuren, utan temperaturinverkan.
I båda fallen ska det kontrolleras att reaktionskrafterna är i jämvikt med den yttre belastningen.
Både kraftjämvikt och momentjämvikt ska kontrolleras. Rita i båda fallen en principiell
deformationsfigur och kontrollera kvalitativt att dina resultat är rimliga.
Ledning
För enaxligt spänningstillstånd lyder Hookes lag (den konstitutiva lagen)
där är den elastiska töjningen. Om vi inte har någon temperaturhöjning gäller
totala töjningen, d.v.s. Hookes lag blir
Om vi har temperaturhöjning gäller
temperaturen. Hookes lag blir då
där
, där är den
är töjningstillskottet på grund av
2
Avdelningen för Hållfasthetslära
Modifiera den konstitutiva lagen på motsvarande sätt. Allt annat (kompatibilitet och
jämvikt) är oförändrat. Det visar sig lämpligt att införa ”temperaturlängdutvidgningsvektorn” enligt
∆
∆
⋮
där t.ex. ∆
och
är temperaturändringen och längden relaterade till stång nummer 2.
Delsvar
Betrakta den vertikala förskjutningen (räknat positivt uppåt) av den nodpunkt där krafterna
verkar. Svar till punkt 8 ovan blir då:
8a) 2.00 mm och 8b) 3.95 mm
Stångkraften i stången som hör till den översta vänstra nodpunkten:
8a) 4.4693 10 N och 8b) 6.2500 10 N
Horisontell reaktionskraft i översta vänstra nodpunkten (räknat positivt åt höger) blir:
8a) 2.6816 10 N och 8b) 3.75 10 N
och
Anvisningar för rapportskrivning
Observera att rapportens kvalitet måste vara god för att den skall bli godkänd. Några tips är:
 Alla steg och delberäkningar skall förklaras tydligt. Läsaren ska kunna följa era tankesätt och era
resultat ska kunna reproduceras enkelt.
 Det skall vara tydligt för läsaren vilka ekvationer som har använts. Om referenser anges så skall
dessa vara tydliga (t.ex. Se ekvation X i kursboken eller ekv. X på sida Y i formelsamlingen).
 Alla antaganden och approximationer som görs skall tydligt förklaras.
 Använd stora och tydliga bilder och figurer för att redovisa resultaten tydligt. Grafer skall vara
tydligt ritade med ordentliga namn och enheter på axlarna.
 Om Matlab används så skall koden bifogas i ett appendix. Tänk ändå på att resultatet skall
kunna reproduceras av läsaren utan att behöva titta på Matlabkoden.
3