∫ ∫ ∫ ∫

HÅLLFASTHETSLÄRA - KTH
Exempel med lösning
Fast inspänd konsolbalk med jämnt utbredd last
P
Q
M
EI, L
w1, P1=R
w2, P2=P
qx = Q  L
2, M2=M
1, M1=MR
1
x
2
Figur 4. Konsolbalk med jämnt utbredd last q, punktlast, P, punktmoment M.
För en konsolbalk gäller randvillkoren
w  0  = w1 = 0
(1)
w  0  =  1 = 0
(2)
för utböjningen w(x). Observera att R och M R i figur 4 är generaliserade reaktionskrafter (både
kraft och moment). För de konsistenta nodlasterna fås med hjälp av ekvation (20)
L
 N1  x q  x  dx
Q
---2
N

x
q

x

d
x
QL
 2
-------0
= 12
fv =
L
Q
---2
N

x
q

x

d
x
 3
QL
0
– -------12
L
0
L
fb =
 N4  x q  x  dx
0
Ekvation (24) ger ekvationssystemet
1
R
MR
P
M
(3)
HÅLLFASTHETSLÄRA - KTH
12 6L – 12 6L
0
Q2+R
0
QL  12 + M R
EI
------ 6L 4L – 6L 2L

3
L – 12 – 6L 12 – 6L w 2
Q2+P
2
2
– QL  12 + M
6L 2L – 6L 4L  2
2
2
(4)
“Subsystemet” markerat med den streckade rektangeln ger w2 och 2. De två översta raderna i
ekvationssystemet ger därefter R och MR. Ekvationsystemets lösning är
3
w2
=
2
M- ----LQ
---- + P
--- + ---- 8 3 2L EI
2
.
(5)
P M LQ
---- --- ----- ---- 6 + 2 + L  EI
När nodförskjutningarna är kända erhålles balkens utböjning, w  x  med hjälp ekvationerna (8)(12). Resultatet blir
w(x) = N 3  x w 2 + N 4  x  2 =
3
3
2
QL
x 2
x 2
x 3
x 3
PL
ML x 2
= ----------  5  --- – 2  ---  + ---------  3  --- –  ---  + -----------  ---
 L  2EI  L
 L  6EI   L
24   L
(6)
Jämförelse med exakt lösning
Exakt lösning för en Euler-Bernoulli balk erhålls genom elastiska linjens ekvation som i vårt
fall är
4
EI
dw
dx
4
= QL
(7)
Genom att integrera fyra gånger erhålles
4
3
2
Q x
x
x
EIw = ---- ------- + C 1 ------- + C 2 ----- + C 3 x + C 4
L 24
6
2
(8)
Randvillkoren
w  0  = w  0  = 0
(Kinematiska)

– E Iw  L  = P 

– EIw  L  = – M 
(Dynamiska)
(9)
och
(10)
2
HÅLLFASTHETSLÄRA - KTH
ger
C3 = C4 = 0 ,
QL
C 2 = M + PL + -------2
C1 = – Q + P  ,
(11)
och utböjningen blir
3
3
2
PL
QL
x 2
x 3
x 4
x 2 x 3
ML x 2
w  x  = ------------  6  --- – 4  --- +  ---  + ---------  3  --- –  ---  + -----------  ---
 L
 L  6EI   L  L  2EI  L
24EI   L
(12)
Jämför den exakta lösningen (12) med FEM-lösningen (6). Det kan observeras att FEM-lösningen med det tvånodiga balkelementet (4 frihetsgrader) ger exakt lösning för punktkraft respektive punktmoment men endast en approximativ lösning med avseende på den jämnt utbredda
lasten Q!
3