Föreläsning 11, Matematisk statistik +E
Transcription
Föreläsning 11, Matematisk statistik +E
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 1/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Stickprov & Skattning Ett stickprov, x1 , x2 , . . . , xn , är observationer av s.v. X1 , . . . , Xn från någon fördelning Xi ∈ F(θ) där θ är en okänd parameter. En skattning av θ, θ∗ (x1 , . . . , xn ) är en observation av den s.v. θ∗ (X1 , . . . , Xn ). Båda betecknas oftast bara med θ∗ . θ∗ Tal S.V. x1 x2 X1 X2 θ∗ (x1 , . . . , xn ) θ∗ (X) θ∗ Xi ∈ F(θ) Funktion Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 2/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Minsta kvadrat-metoden, MK Om E(Xi ) = μi (θ) så fås MK-skattningen av θ genom att minimera förlustfunktionen Q(θ) = n X xi − μi (θ) 2 i=1 m.a.p. θ. Maximum likelihood-metoden, ML ML-skattningen av θ fås genom att maximera likelihood-funktionen L(θ; x1 , . . . , xn ) m.a.p. θ. L(θ) = pX (x1 ) · . . . · pX (xn ) (diskr.) L(θ) = fX (x1 ) · . . . · fX (xn ) (kont.) Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 3/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall RepetitionII N(μ, σ) Konfidensintervall Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt värde på θ med sannolikheten 1 − α. 1 − α kallas konfidensgrad. Vanliga värden är 0.95, 0.99 och 0.999. Ett tvåsidigt konfidensintervall är alltså två skattningar a∗1 , a∗2 så att P a∗1 (X1 , . . . , Xn ) < θ < a∗2 (X1 , . . . , Xn ) = 1 − α Ett ensidigt konfidensintervall är en skattning a∗1 eller a∗2 så att P a∗1 (X1 , . . . , Xn ) < θ < ∞ = 1 − α eller P −∞ < θ < a∗2 (X1 , . . . , Xn ) = 1 − α Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 4/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall RepetitionII N(μ, σ) Andelen 1 − α av intervallen täcker rätt värde i långa loppet 100 st 95% konfidensint. för µ i N(µ,σ) 100 90 90 80 80 70 70 60 60 Intervall nr Intervall nr 100 st 95% konfidensint. för µ i N(µ,2) 100 50 40 50 40 30 30 20 20 10 10 0 0 0.5 1 1.5 2 Johan Lindström - [email protected] 0 0 0.5 FMS012 F11 1 1.5 2 5/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall RepetitionII N(μ, σ) α-kvantil, xα En kvantil, xα , till en s.v. X är en gräns som överskrids med slh α. Den fås som lösning till någon av följande ekvationer. Z xα FX (xα ) = 1 − α ⇐⇒ Z ∞ fX (x) dx = 1 − α ⇐⇒ −∞ fX (x) dx = α xα Sats 6.1 — Standardiserad normalfördelning Om X ∈ N(μ, σ), E(X) = μ, V(X) = σ2 så är X−μ ∈ N(0, 1) σ Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 6/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall RepetitionII N(μ, σ) Konfidensintervall för μ då Xi ∈ N (μ, σ), σ känd 1. En skattning av μ är: μ∗ = n X Xi i=1 2. Med E(μ∗ ) = μ och D(μ∗ ) = √σ . n 3. Enligt Sats 6.1 är μ∗ − μ ∈ N (0, 1) . D(μ∗ ) 4. Vi söker nu tal så att: μ∗ − μ P ?< <? = 1 − α D(μ∗ ) 5. Konfidensintervallet för μ är: Iμ = μ∗ ± λα/2 D(μ∗ ). Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 7/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall RepetitionII N(μ, σ) Konfidensintervall för μ då Xi ∈ N (μ, σ), σ okänd Om σ är okänd ersätts D(μ∗ ) med medelfelet: v u n u 1 X s ∗ t d(μ ) = √ s= (xi − x̄)2 n−1 n i=1 Men, nu är μ∗ − μ inte N (0, 1). d(μ∗ ) Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 8/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall χ2 t II χ2 -fördelning (chi-två) I Y ∈ χ2 (f). f kallas antal frihetsgrader. I α-kvantil: χ2α (f). Tabell 4. Om X1 , . . . , Xn ∈ N(μ, σ) och oberoende så gäller χ2 − fördelning med f = 1, 3, 5, 15 0.6 0.4 ←f=1 n 1 X (Xi − μ)2 ∈ χ2 (n) σ2 0.2 ←f=3 i=1 n 1 X (Xi − X̄)2 ∈ χ2 (n − 1) σ2 0 0 2 4 6 8 10 12 i=1 Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 9/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall χ2 t II Student’s t-fördelning I X ∈ t(f). f kallas antal frihetsgrader. I α-kvantil: tα (f). Tabell 3. t − fördelning med f = 1, 2, 4, 8, ∞ 0.4 Om X ∈ N(0, 1) och Y ∈ χ2 (f) är oberoende gäller X p ∈ t(f) Y/f ←f=∞ 0.2 f=1→ och speciellt för Xi ∈ N(μ, σ) 0 −4 X̄ − μ √ ∈ t(n − 1) S/ n −2 0 2 4 där n 1X X̄ = Xi n i=1 n 1 X och S = (Xi − X̄)2 n−1 Johan Lindström - [email protected] 2 i=1 FMS012 F11 10/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall χ2 t II Student — William Sealy Gosset Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 11/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall N(μ, σ) Ex II 1 Sammanfattning Ex 2 Special fall Konfidensintervall för μ i N(μ, σ) x1 , . . . , xn observationer av Xi ∈ N(μ, σ) σ känd: σ Iμ = x̄ ± λα/2 √ = μ∗ ± λα/2 D(μ∗ ) n σ okänd: s Iμ = x̄ ± tα/2 (n − 1) √ = μ∗ ± tα/2 (f)d(μ∗ ) n Där kvantilerna ges av: I λα/2 är N(0, 1)-fördelningens α/2-kvantil (Tabell 2) I tα/2 (n − 1) är t-fördelningens α/2-kvantil (Tabell 3) Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 12/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall N(μ, σ) Ex II 1 Sammanfattning Ex 2 Special fall Exempel: Sockerinnehåll i betor Sockerbetor har i regel ett sockerinnehåll på 16 − 18% (enligt Dansukkers hemsida). Anta att sockerinnehållet i en godtycklig beta beskrivas av Xi ∈ N (μ, σ) med σ okänd. I ett visst betlass undersökte man sockerhalten hos 25 slumpmässigt utvalda betor. 25 1 X xi = 16.8 25 i=1 25 X (xi − x̄)2 = 4.8 i=1 Gör ett 95%-konfidensintervall för den förväntade sockerhalten i betlasset. Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 13/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall N(μ, σ) Ex II 1 Sammanfattning Ex 2 Special fall Normalfördelad skattning, θ∗ ∈ N (θ, D(θ∗ )) D(θ∗ ) känd: Iθ = θ∗ ± λα/2 D(θ∗ ) D(θ∗ ) okänd: Iθ = θ∗ ± tα/2 (f)d(θ∗ ) Normalapproximation, θ∗ ∈ N (θ, D(θ∗ )) ∼ D(θ∗ ) känd: Iθ = θ∗ ± λα/2 D(θ∗ ) D(θ∗ ) okänd: Iθ = θ∗ ± λα/2 d(θ∗ ) Johan Lindström - [email protected] (alltid λ-kvantil) FMS012 F11 14/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall N(μ, σ) Ex II 1 Sammanfattning Ex 2 Special fall Ex: Konfidensintervall för p då X ∈ Bin(n, p) Vi vill uppskatta hur vanligt det är att det snöar i april i Målilla och konstaterar att under de 300 aprildagarna under perioden 1988–1997 så snöade det under 71 dagar. Antag att olika dagar är oberoende av varandra. Beräkna ett approximativt 95% konfidensintervall för sannolikheten att det snöar en slumpmässigt vald aprildag i Målilla. Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 15/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall N(μ, σ) Ex II 1 Sammanfattning Ex 2 Special fall Samanvägd variansskattning Om vi har x1 , . . . , xn x obs. av Xi ∈ N (μx , σ) y1 , . . . , yny obs. av Yi ∈ N (μy , σ) kan den gemensamma variansen σ2 skattas med s2p = (nx − 1)s2x + (ny − 1)s2y Q = , nx − 1 + ny − 1 f ( Q ∈ χ2 (f)) σ2 Ett konfidensintervall för μx − μy blir t.ex. s Iμx −μy = x̄ − ȳ ± tα/2 (f) sp 1 1 + nx ny q eftersom μ∗x − μ∗y = X̄ − Ȳ ∈ N(μx − μy , σ n1x + Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 1 ny ) 16/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall N(μ, σ) Ex II 1 Sammanfattning Ex 2 Special fall Stickprov i par Vid många mätsituationer är det vanligt att man mäter före och efter en behandling på n inbördes olika föremål. Modell: Före: Xi ∈ N (μi , σ1 ) Efter: Yi ∈ N (μi + Δ, σ2 ) Vi vill nu skatta effekten av behandlingen (Δ). Bilda Zi = Yi − Xi ∈ N (Δ, σ). Skatta Δ med z̄ gör konfidensintervall som vanligt för ett stickprov, dvs √ IΔ = z̄ ± tα/2 (n − 1)s/ n, där n 1 X s = (zi − z̄)2 . n−1 2 i=1 Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 17/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall N(μ, σ) Ex II 1 Sammanfattning Ex 2 Special fall Stickprov i par? I Blodtrycket hos ett antal patienter mäts förre och efter behandling med blodtryckssänkande medicin; konfidensintervall för sänkningen? I Luftkvaliteten mäts längs Hornsgatan i Stockholm vintern 2009 (dubbdäck fortfarande tillåtna) och 2010 (efter dubbdäcksförbud); konfidensintervall för skillnaden i luftkvalitet? I pH-värdet möts varje dag i Höjeå förre och efter Lunds reningsverk; konfidensintervall för skillnaden? Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 18/19 Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall N(μ, σ) Ex II 1 Sammanfattning Ex 2 Special fall Ensidiga konfidensintervall Konfidensintervall kan även vara uppåt- eller nedåt begränsade. De konstrueras allmänt genom att 1. Ta ena gränsen i ett tvåsidigt konfidensintervall 2. Byt ut α/2 −→ α för att få rätt konfidensgrad 3. Låt den andra gränsen bli så stor/liten som möjligt Ex. Om det tvåsidiga intervallet ges av x̄ ± λα/2 √σn fås följande ensidiga konfidensintervall I Nedåt begränsat intervall: (x̄ − λα √σn , ∞) I Uppåt begränsat intervall: (−∞, x̄ + λα √σn ) Ensidiga konfidensintervall är framförallt användbara vid ensidiga hypotestest. Johan Lindström - [email protected] FMS012 F11 19/19