Konfidensintervall

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Konfidensintervall
KONFIDENSINTERVALL
Konfidensintervall för väntevärdet μ för en normalfördelad s.v. ξ ∈ N ( μ , σ ) med
konfidensgraden 1 − α .
x1 + x2 + L + x n
. Vid bestämning av
n
konfidensintervall för μ av typen [a,b], där a och b är symmetrisk belägna runt x , betraktar
vi två fall, är känt och är okänt:
Låt x1 , x2 ,....xn vara n st. mätningar och x =
Fall 1 ( σ är känt).
Om är känt bestämmer vi λα / 2 från normalfördelningens tabell (sidan 15, inversen till
Φ(x ) ) genom att bestämma x så att Φ( x ) = 1 −
α
2
.
Konfidensintervall för μ med konfidensgraden 1 − α är
[ x − λα / 2
σ
n
, x + λα / 2
σ
n
]
(om σ är känt)
Längden av konfidensintervallet är
d = 2 ⋅ λα / 2
σ
n
=======================================================
Fall 2 ( σ är okänt).
Om är okänt använder vi t-fördelning (sidan 16 i formelsamling).
1 n
x + x2 + L + xn
, därefter variansen = σ 2 =
Först bestämmer vi x = 1
∑ ( xi − x ) 2 och
n − 1 i =1
n
slutligen standardavvikelsen σ = Variansen .
Kvantilen tα / 2 (n − 1) bestämmer vi från t-fördelningens tabell (sidan 16 i formelsamling)
där vi väljer rad = − 1. Man säger att fördelningen har (n-1) frihetsgrader.
Konfidensintervall för μ med konfidensgraden 1 − α är
1 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
σ
[ x − tα / 2 (n − 1)
n
Konfidensintervall
, x + tα / 2 (n − 1)
σ
n
]
(om
σ är okänt)
=======================================================
Om vi söker ett "ensidigt" konfidensintervall för μ , dvs ett intervall av typ
( −∞, b] eller [a,+∞)
med konfidensgrad 1 − α , då gäller följande formler
[−∞, x + λα
σ
n
]
eller
[ x − λα
σ
n
, + ∞]
om σ är känt
och
[−∞, x + tα ( n − 1)
σ*
n
] eller [ x − tα ( n − 1)
σ*
n
, + ∞] om σ är okänt.
ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1.
En forskare gjorde 8 mätningar av syrekoncentrationen och fick följande resultat (enhet:
mg/l):
0.6,
0.4,
1.6, 1.8,
1.2, 2.4, 1.7,
1.3
N
(
μ
,
σ
)
kan
antas
vars
standardavvikelse
är känd, σ=1.
Normalfördelningen
a) Bestäm ett 95 % konfidensintervall för μ .
b) Hur många mätningar behövs för att få ett konfidensintervall som har 98 %
konfidensgrad och som är hälften så brett?
Lösning:
a)
2 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
x=
Konfidensintervall
x1 + x2 + L + x n
=1.375
n
(λα / 2 = λ0.025 = 1.96)
Konfidensintervall (standardavvikelsen är känd, σ=1 ):
( x − λα / 2
σ
, x + λα / 2
σ
) = (1.38 − 1.96
n
n
(1.375 − 0.693, 1.375 + 0.693)
1
1
,1.38 + 1.96
) ≈
8
8
≈ (0.682, 2.068)
Svar a) (0.682, 2.068)
b) Intervallets längd= d/2= 0.693
(λα / 2 = 2,326)
Från formeln för konfidensintervall (med konfidensgrad 98%) får vi
2λα / 2
σ
n
= 0.693 ⇒ 2 ⋅ 2.326 ⋅
1
2 ⋅ 2.326
= 0,693 ⇒ n =
⇒
0.693
n
2
⎛ 2 ⋅ 2.326 ⎞
n=⎜
⎟ ⇒
⎝ 0.693 ⎠
n ≈ 45
Svar b) : Det behövs 45 mätningar
Uppgift 2.
En student gjorde 5 mätningar för en normalfördelade stokastisk variabel ξ ∈ N ( μ , σ ) och
fick följande resultat ( σ okänt):
51,
52,
50.5, 49,
48
Bestäm ett 95 % konfidensintervall för medelvärdet μ .
Lösning:
3 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Konfidensintervall
x1 + x2 + L + x n
= 50.1,
n
1 n
variansen = σ 2 =
∑ ( xi − x ) 2
n − 1 i =1
1
= ((51 − 50.1) 2 + (52 − 50.1) 2 + (50.5 − 50.1) 2 + (49 − 50.1) 2 + ( 48 − 50.1) 2 ) = 2.55
4
σ = Variansen =1.6.
Från formelsamling (sidan 16 rad n-1= 5-1 =4 har vi
tα / 2 = t0.025 = 2.7764
Konfidensintervall:
x=
( x − tα / 2
σ
n
, x + tα / 2
σ
n
) = (50.1 − 2.7764
1 .6
1 .6
, 50.1 + 2.7764
)
5
5
=(48.1, 52.1)
Svar: (48.1, 52.1)
Uppgift 3. Vi gjorde 6 mätningar för en normalfördelad stokastisk variabel
X ∈N(μ,σ) och fick följande resultat (σ okänt):
X:
24
32
28
31
26
25
Bestäm ett 90 % konfidensintervall för medelvärdet μ.
Lösning:
x = 83/3=27.6667, σ =3.266
4 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Konfidensintervall
Vi har 6-1=5 frihetsgrader
(tα / 2 = t 0,05 =2.015
( t- inversen till 0.95)
Konfidensintervall:
( x − tα / 2
σ
n
, x + tα / 2
σ
n
) = ( 27.6667 − 2.015 3.266 , 27.6667 + 2.015 3.266 )
6
6
=(24.97, 30.36)
Svar: (24.97, 30.36)
Uppgift 4. Man har gjort 6 mätningar av en normalfördelade stokastisk variabel X och fått
följande resultat:
A
43
44
42
41
45
40
Ange ett 95% konfidensintervall för medelvärden E(X).
Lösning:
x = 42.5 ,
n=6, ⇒
stickprovets varians =3.5,
r= (n-1) = 5 frihetsgrader
α
2
σ * =1.8708
= 2.5%
Alltså, söker vi tα / 2 (5) i 5-te raden och kolumnen under 0.975 ( t- inversen till 0.975)
tα / 2 (5) = 2,5706
( x − tα / 2 (n − 1)
σ*
σ*
, x + tα / 2 (n − 1)
)
n
n
1.8708
1.8708
= (42.5 − 2,5706
, 42.5 + 2,5706
)
6
6
= ( 40.5, 44.5)
Svar:
( 40.5, 44.5)
Uppgift 5.
En student gjorde 8 mätningar av en lösnings fryspunkt och fick följande resultat:
0.5,
0.4,
1.6, 1.8,
2.2, 2.4, 2.5,
0.8
Normalfördelningen kan antas och standardavvikelse är känt, σ=2.
a) Bestäm ett 95 % konfidensintervall (ett tvåsidigt konfint. av typen [a,b] ) för
fryspunkten.
5 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Konfidensintervall
b) Hur många mätningar behövs för att få ett konfidensintervall (av typen [a,b] ) som har
98 % konfidensgrad och som är hälften så brett
c) Bestäm en ensidigt konfidensintervall för fryspunkten av typen (−∞, c ) med
konfidensgraden 90 %
Lösning:
a)
x =1.525
(λα / 2 = λ0.025 = 1.96)
Konfidensintervall:
( x − λα / 2
σ
n
, x + λα / 2
σ
n
) = (1.525 − 1.96
2
2
,1.525 + 1.96 )
8
8
=(0.139, 2.91)
Svar a) (0.139, 2.91)
b) Intervallets längd=d=2.77
d
Hälften = = 1.39 .
2
(λα / 2 = λ0.01 = 2.3263)
Från formeln för konfidensintervall får vi
2λα / 2
σ
n
= 1.39 ⇒ 2 ⋅ 2.3263 ⋅
2
2 ⋅ 2.3263 ⋅ 2
= 1.39 ⇒ n =
⇒
1.39
n
2
⎛ 2 ⋅ 2.3263 ⋅ 2 ⎞
n=⎜
⎟ ⇒
1.39
⎝
⎠
n ≈ 45
Svar b) : Det behövs 45 mätningar ( 8 +37).
c)
(λα = λ0.10 = 1.2816
6 av 7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Konfidensintervall
Konfidensintervall:
(−∞, x + λα
σ
n
) = (−∞, 1.525 + 1.2816
2
) = (−∞, 2.43)
8
Svar c) (−∞, 2.43)
7 av 7