Document

∆t
F
E B R U A R
2 0 1 5
7.
R e d a k s j o n e n
p r e s e n t e r e r :
EKSPEDISJON
ÅRE
med
B r a g e
i
u t l a n d e t
·
T U R T L E S
·–·
b i t c o i n
·–·–·
DAHLS
P Å
KJELLEREN
·–·–·–·
GOING
LOCO
T
A
O G
M Y E
C
WITH
O
M E R !
U
T G A V E
HEI, DELTA!
D
U holder nå første utgaven av ∆t for året 2015! Vi begynner vårsemesteret, oppladede og friske, etter en vellykket tur
til Åre, og en forhåpentligvis god juleferie før det. Det beste semesteret, med godvær og god tid, står i vente.
Denne utgaven av ∆t har innhold innen et bredt spekter av forskjellige tema. Vi har selvfølgelig fått med en rapport fra vår
tur til Åre, da fra vår egen redaksjon, men også fra en av våre gode venner, nemlig Bragemedlem Brage Sæth. Han har i denne
utgaven strukket seg adskillig lenger enn det hendelsens leserbrev, og laget to artikler til vår avis, og lesernes fornøyelse. I
tillegg til det nå selvfølgelige leserbrev.
Vi har også innslag av faglig stoff, et matematisk teorem med bevis, skrevet av Ulrik Enstad, nok en midtsidegraf, som er å
finne på midterste side, men også for første gang en artikkel innen fysikk, skrevet av undertegnede selv. I tillegg kan man finne
en svært grundig artikkel om Bitcoin, for alle som er nysgjerrige på hvordan maskineriet bak valutaen faktisk fungerer.
Kort sagt finner man her innhold som kan beskrives som “Studentpolitisk”, “Festligheter”, “Matematikk og fysikk”,
“Kulinarisk”, og den gode gamle redaktør-redderen “Diverse”. Som man sier, noe for en hver smak.
Håper du setter pris på hva redaksjonen og dens venner har prestert å produsere denne gangen også!
– DERES REDAKTØR, FRODE BØRSETH
Utgave Nr. 7
∆t - Februar 2015
LINJEFORENINGEN
DELTA
Laget i LATEX, siden Utgave Nr. 1
Org. nr: 996510352
ANERKJENNELSER
Fotografering
Bakside-oppgave
Forside og
Redaktør
HANNE MALMIN BRULEITE
JOAKIM GÅSØY
FRODE BØRSETH
Føler du for å si noe?
Jeg får nesten aldri post, så alt er velkomment!
Kontakt
[email protected]
Postkassen på Delta-kontoret
POLARBEAR
7. U TG .
I NNLEDENDE
3
INNHOLD
.
.
.
.
.
Side
1
2
2
2
3
1
STUDENTPOLITISK
Generalforsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20. februar 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tillitsvalgtspalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
6
2
FESTLIGHETER
Ekspedisjon Åre . . . . . . . . .
Knall og fall i bakken . . . . .
Lars og (h)Åre . . . . . . . .
Mitt møte med Delta - I utlandet
Det er Duket for Jubileum . . . .
Forsiden . . . . . . .
Kolofon . . . . . . .
Hei, Delta! . . . .
Anerkjennelser . .
Innhold . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
9
11
12
.
.
.
.
.
.
13
13
14
18
18
19
20
4
KULINARISK
Dahls på kjelleren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Going loco with taco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
22
5
DIVERSE
Studforsk: Program for studentaktive forskningsprosjekter
Bitcoin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hva er bitcoin og hvordan fungerer det? . . . . . . . . . . .
Praktisk bruk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Protokollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fordeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kritikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angrepsvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bitcoins historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Delta FK, del 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leserbrev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Renskriving av flaskepost . . . . . . . . . . . . . . . . .
Et slags farvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
24
24
24
25
25
25
26
28
29
29
31
Baksiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3
MATEMATIKK OG FYSIKK
Teorem/Bevis . . . . . . . . . .
Midtsidegraf . . . . . . . . . . .
Turtles, all the way down . . . .
Første forsøk . . . . . . . . .
Andre forsøk . . . . . . . . .
Konklusjon . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
STUDENTPOLITISK
STUDENTPOLITISK
GENERALFORSAMLING
20. FEBRUAR 2015
Av PER-DIMITRI B. SØNDERLAND
2. året Bachelor fysikk, Leder
Styret jobber om dagen med endringsforslag til blant annet statutter og
vitenskapelig konsensus. Noen smakebiter:
G EOSENTRISKE VERDENSBILDE .
Styret har vedtatt ved allminning flertall at
den heliosentriske modellen av solsystemet
frafaller til fordel for den geosentriske
modellen. Statuttforslaget ønskes vedtatt og
underlagt §42.
Bakgrunn:
Den geosentriske modellen ble utviklet i
antikkens Hellas, og som vi alle vet er
grekere best.
En modell av det geosentriske verPI
densbildet
Styret har vedtatt ved allminning flertall at
pi ikke lenger skal defineres som forholdet
mellom omkretsen til en sirkel og dens diameter. Styret ønsker en definisjon
bestemt ved kvadraturen til en sirkel. Det er fortsatt uenigheter innad i styret
hvorvidt den eksakte verdien skal defineres som 3 eller 3,2. Statuttforslaget
ønskes vedtatt og underlagt §32.
Bakgrunn: Det blir for dumt og ulogiske med et uendelig antall desimaler.
Ingen kan skrive et uendelig antall desimaler.
A LKOHOL
Styret har vedtatt ved allminning flertall at pils på kontoret forbys og erstattes
med kald kaffe. Statuttforslaget ønskes vedtatt, erstatter §1
Bakgrunn: Eirik er lei av å være den eneste.
ENIG?
Møt opp på generalforsamling og stem det inn.
∆t
7. U TG .
STUDENTPOLITISK
5
6
STUDENTPOLITISK
∆t
TILLITSVALGTSPALTEN
Karoline (1. biologi) og Ole Martin (Delta) sitter som fakultetstillitsvalgte for realfag
NT. Vala og Brynjar sitter som ITV for fysikk. I denne spalten vil det bli skrevet om
saker som tas opp i studentrådene, i ledergruppen på institutter og på fakultetet. Dette
har skjedd den siste tiden:
• Det fra hovedstyret vedtatt at NTNU skal sammenslås med HiST, HiG (Gjøvik) og
HiÅ (Ålesund). Dette er en avgjørelse NT-fakultetet har vært imot.
• Det skal velges ny instituttleder på fysikk. Tillitsvalgt på instituttet fra realfag,
Vala Marie Valsdòttir, sitter i utvalget som gir innstilling til styret på fakultetet. I
dag har vi en konstituert instituttleder Erik Wahlstöm.
Studentrådet NT har vedtatt en handlingsplan for våren, der vi blant annet har satt som
mål at de tillitsvalgte på instituttene skal lese igjennom referansegrupperapporter fra alle
fag på sine institutt. På den måten kan vi bidra til kvalitetssikringen av foreleserne på NT.
Hver fredag serveres det deilig kake på kontorene våre i 3. etasje på Gamle Fysikk. Kom
innom for en hyggelig prat! Våre kontorer er for øvrig oppe fra 10-14 hver dag, så er
det noe du lurer på er du alltid velkommen! Har du en sak til oss kan du sende mail til
[email protected]!
Kristine
Ole Martin
Vala
Brynjar
7. U TG .
STUDENTPOLITISK
7
8
FESTLIGHETER
∆t
FESTLIGHETER
EKSPEDISJON ÅRE
Av MARTIN MADSEN
1. året Årsstudium matematikk
og
JOHANNE HAUGLAND
1. året Bachelor matematikk
og
THOMAS KALLEVIK
1. året Årsstudium matematikk
D
ET var mange sløve blikk på bussen til Åre, og flere skulle
det bli i løpet av turen. Endelig var det tid for årets første
lokale maksimum for de glade deltaere og deltinner; vi skulle
invadere Åre. På grunn av dårlig planlegging ankom vi Åre
på en søndag og Systembolaget var stengt, men Delta er alltid
beredt. Vel framme på hyttene ble badstuen fyrt i gang og
alkohol ble hentet fram fra bagger, sekker, kofferter og skisko.
Vi fant oss fort til rette og ble gode venner med de ansatte på
Systembolaget allerede på mandagen.
For de av oss som ikke ville trosse snøstormen i Åre, tok
hyttene imot oss med åpne armer. Der var alt vi kunne ønske
oss; kjøleskapene var fulle med øl og gin, badstuen var god
og varm, vi hadde kremen av svensk tv, og bacon ble stekt
til alle døgnets tider. Den spektakulære hovedattraksjonen i
Åre, nemlig utestedet Bygget, hadde også sitt å by på. På
Bygget fantes alt en bedugget deltaer behøver: alkohol til stive
priser, en bankterminal der man ikke trengte å taste pinkode,
blackjack og poker. Ja, til og med gratis pølse fikk man!
Vi i Delta vet å sette spor etter oss. Noen glass ble knust,
sko ble mistet, og nøkler var på villspor. Gjestmilde er vi
også! Til og med Securitas ble invitert inn på nachspiel.
Konklusjonen er vel at det var en tur fylt med mange minner,
både minner som fremdeles blir husket, og noen som aldri ble
med hjem til Norge.
KNALL OG FALL I BAKKEN
Å
P åstå
at flertallet av Deltas Åre-deltakere hadde det å
innta skibakkene som hovedmål med turen, vil nok være
en liten overdrivelse. Likevel var det en ganske respektabel
haug med skiutstyr som ble stablet inn i busstilhengeren og
gjort klart for å krysse svenskegrensa. Hvor mange skipar
som vendte ubrukte tilbake til Norge finnes det ingen fullgod
statistikk over, men det kan i hvert fall slås fast at opptil flere
deltaere faktisk var å observere med ski under beina i løpet av
turen.
Skianlegget i Åre levde på mange måter opp til forventningene.
De som trakk vinnerloddet og ville teste bakkene allerede
første dag, fikk god trening i å prøve å dekke til hver eneste
kvadratcentimeter med bar hud – for så i hver eneste heistur å
få bekreftet at man ikke hadde klart det denne gangen heller.
Godt å kjenne at man lever.
Heldigvis viste både været og føret seg fra en bedre side
etter hvert, og det er ingen tvil om at de ski-glade hadde
(nesten) like gode muligheter til å boltre seg ute som det de
øl-glade hadde innendørs.
Øl og ski trenger forøvrig langt fra være noen motsetning.
Selv etter søvnløse netter var det slett ikke alle som hadde tid
til å sove. Enkelte måtte for eksempel ut for å vise fram den
flotte nye sveisen sin. Helt forståelig i grunn.
7. U TG .
FESTLIGHETER
9
formodning (klokken var kvart over dritafull) husket dette
øyeblikket, og hadde satt av midler fra april-budsjettet til dette
formålet.
Dette har jo ført til god underholdning for alle deltaere, og vi
er i ekstase når Lars uttaler: ”Håret mitt har ennå ikke sluttet å
vokse, så klippevors blir det nok flere av. Neste blir nok rundt
LARS OG (H)ÅRE
påske etter en runde pengeinnsamling.”
U har nok lagt merke til det du også, den moteriktige
Ønsker du en gratis klipp som du stolt kan bære på
og stilige sveisen til Lars. Han har nå virkelig satt Bodegaen? Ikke nøl med å bli med på neste klippevors. Her er
standarden for framtidige hårklipper. Likevel sitter du kanskje det get laid garanti!
og klør deg selv i hodet og lurer på: ”Hvorfor i svarte gjør folk
noe slikt?”. Vi tok en prat med Lars for å høre om hvordan
dette håret kom til, og ikke minst: Hvorfor går han fortsatt med
det?
Når vi spør Lars om vi kan stille han noen spørsmål om
sveisen, lyser han opp. Han er stolt som en hane (kam) når
han finner ut at den skal i ∆t. På spørsmål om hva som var
bakgrunnen for klippen, svarer han at det hele begynte på
et fuktig nash en kald kveld i oktober. Da ble han enig med
Mona-Lena og Johanne om å arrangere et såkalt ”klippevors”
hvor de skulle bestemme frisyre. Noen husker kanskje Lars
sin munkesveis fra den gangen. Her må man ikke glemme at
Ylvis fulgte opp uken etter med helt lik frisyre. Vi så tidlig at
Lars virkelig var en trendsetter og en inspirator for folk flest.
Etter den store suksessen med munkesveisen ble det
bestemt at han skulle gjøre det samme i Åre. Lars understreker
at det er en gratis klipp, noe som er en fantastisk mulighet for
en student. Som alle fikk med seg, ble klippen gjennomført
i Åre, med det redaksjonen mener er et fantastisk resultat.
Mange sitter dog igjen med noen spørsmål, for har man sett
Lars i det siste, har man kunnet observere at den omvendte
hanekammen faktisk ikke er fjernet. Dette er det en enkel
forklaring på: ”Senere samme kveld kom jeg i prat med Fride
om klippen. På en høflig måte forklarte hun hvor stygg jeg
var, men at hun gjerne ville gi meg en tusing om jeg lot
være å klippe meg før påske. Håndtrykk ble utvekslet med
påfølgende bildebevis, og det er nå for sent å trekke seg”,
forklarer Lars. Vi tok også en prat med Fride, som mot all
D
10
FESTLIGHETER
∆t
7. U TG .
FESTLIGHETER
11
MITT MØTE MED DELTA - I UTLANDET
Av BRAGE SÆTH
Bragemedlem
Nytt år, nye muligheter. Mange velger å benytte det nye
året til å legge om livsstilen, for så angre seg etter en uke eller
to. Slik var det også for undertegnede. Jeg fant ut at jeg i forrige
semester kanskje hadde benyttet vel mye tid på kontoret, så
mye at jeg ofte opplevde faretruende lave nivåer på kjøleskapet.
Derfor bestemte jeg meg for å prøve å gå en hel uke uten å
være innom kontoret, hvilket hadde vært veldig vanskelig om
jeg ikke ble med på Spanskrøret sin Åretur.
Vel fremme i Sverige med nok morovann til å bli
stoppet tullen begynte prosjekt holde meg borte fra kontoret.
Problemet med å skulle sysselsette seg selv er at man ofte
ønsker å gjøre det vanlige, men så vidt jeg vet har ikke Delta
kontor i Sverige. Men så har det seg slik at selv om man ikke
er på kontoret er faren fremdeles stor for å finne folk fra Delta.
Hvis en har store mengder alkohol er delta alltid like rundt
hjørnet1 . Og det er grunnen til at jeg klokken nach på natten
plutselig sto ansikt til ansikt med noen jeg hadde møtt før. Jeg
ble geleidet inn på et rom hvor folk ikke brydde seg om hva
klokken var, døgnrytmen var stilt etter hvorvidt man var trøtt
eller tørst. Jeg visste at hvis jeg måtte flytte i eksil, var dette et
lovende sted. Vinduene var dekorert med et stort utvalg bokser,
som i tillegg til å holde solen ute, skapte en hjemlig atmosfære.
Dagen derpå viser det seg at Delta er våken i samme
tidsrom som bygget er åpent. Kanskje ikke helt den store
bragden å skrive hjem om, men med gårsdagens minner om
blendingsgardiner av ølbokser blir det litt imponerende igjen.
Her har den indre klokken2 fortalt kulturtørste studenter at
Sveriges severdigheter åpne for besøk. Her kunne man friste
1 Jone’s
Lemma
med digital hjelp
3 heldigvis ikke tuborg
4 som vi vet fra kjelleren at er en hyggelig yrkesgruppe
2 muligens
ganen med med svensk korv, dansk carlsberg3 og små glass
som rommet andre nasjonaliteters smaksprøver. I tilegg til slike
kulinariske opplevelser tilbydde de også et rart drikkespill hvor
fokuset var mer rettet mot lekepenger framfor alkoholkonsum.
Ulempen med slike steder er at det lang kø for å møte
bartenderene4 , så i likhet med mine venner i delta fant vi ut at
det kunne være en ide å returnere til leilighetene hvor køen til
gode alkoholmengder var ikke-eksisterende. Uheldigvis hadde
de også dørvakter i form av polis, som mente på at vi burde
benytte en av de andre leilighetene også. Jeg tror ikke de tenkte
på problemene som oppsto ved en slik forflytting. Nemlig det
at andre leiligheter blir så intime at det ikke er nok sitteplasser
i høyden og folk ble forvist til gulvet. Fordelen med dette er
at man ikke slår seg for mye dersom man slukner og mister
balansen.
Den siste kvelden i Åre, var det godt for en erfaren
Gløshaugenstudent å se at folk i Delta også var menneskelig.
Etter nesten en uke med morsomheter er det godt å ta det rolig
en kveld. For å unngå sjokkskader i levra er det godt å ha en
kveld med moderate mengder alkohol. Det er i alle fall det jeg
husker. Da blir det ikke like ille når man skal reparere og ta
igjen tapt søvn på torsdagen.
Resultatet av turen er at jeg klarte meg helt til torsdag uten
å ta en eneste pause på kontoret. Så dersom du føler at du
bruker for mye tid på kontoret, er en åretur en lett måte å kutte
ned på. Men selv om jeg har funnet en feilfri måte å holde meg
unna kontoret på, er det viktig å huske på at det er ingenting
som heter for mye tid på kontoret. Vi sees der.
12
FESTLIGHETER
DET ER DUKET FOR JUBILEUM
Av ARRKOM
F
REDAG 13. MARS er den store kvelden! Linjeforeningen fyller 41 år og når det er
primtallsjubileum spares det ikke på noe. Vi inviterer til en spektakulær fest på Prinsen Hotell!
Alle gjester vil bli møtt med en herlig velkomstdrink før vi setter oss til bords. Til middag byr vi på
en meny som gir deg vann i munnen:
Marinert ørretmedaljong lagt på ruccola,
basilikumpesto og smaksatt linguini.
Ytrefilet av okse med pannestekte grønnsaker
med frisk asparges og cherrytomat.
Sjokoladepanacotta med bringebærcoulis.
Og mens du fortærer denne herlige maten kan vi love deg et forrykende show, uten å røpe for mye!
Kanskje du til og med får en dalje, hvem vet?
Men ikke våg å tro at dette er alt! Når linjeforeningen feires gjøres det med stil. Vi har nemlig opplegg
hele uken. Vi starter med at foreningens mange komiteer inviterer til begivenheter for alle medlemmer.
Er du ikke Delta-medlem og vil være med på mer av festen? Ikke fortvil! 12. mars inviterer vi alle
som vil til bandkveld med Deltas eget jubileumsband. Verdt å få med seg! Og 14. mars skal vi feire
den store Pi-dagen, og også det kommer til å bli et event du ikke vil gå glipp av!
Vil du vite mer? Lik “Deltas 41-årsjubileum” på Facebook! Eller følg med på Deltas Facebook-gruppe!
∆t
7. U TG .
MATEMATIKK OG FYSIKK
13
MATEMATIKK OG FYSIKK
TEOREM/BEVIS
Av ULRIK ENSTAD
1. året master matematikk
Teorem. La f : R → R være en kontinuerlig, injektiv funksjon
Da er f enten strengt voksende eller strengt avtagende.
1.
2. F(A) ⊆ (0, ∞). Dette gir f (s) − f (t) > 0 for alle s < t,
altså f (s) > f (t), som betyr at f er strengt avtagende.
Bevis. La mengden A ⊆ R2 være gitt ved
A = {(s,t) ∈ R2 : s < t}
Dette fullfører beviset.
Definer funksjonen F : A → R ved
F(s,t) = f (s) − f (t)
Kommentar. Teoremet er geometrisk intuitivt, men her
Siden A er sammenhengende og F er kontinuerlig, er bildet ser vi et rigorøst bevis for det. Det finnes flere bevis for
F(A) en sammenhengende delmengde av R. 2
dette teoremet, og her har vi presentert et bevis som er mer
topologisk enn folk kanskje er vant til. Et vanligere og mer
Vi påstår nå at 0 ∈
/ F(A): Hadde vi hatt 0 ∈ F(A), ville det analytisk bevis tar bruk av skjæringssetningen.
eksistert s,t ∈ R med s < t slik at f (s) − f (t) = 0, altså
f (s) = f (t). Siden f er injektiv, gir dette at s = t som
Et tips for å få en dypere forståelse for beviset er å
motstrider s < t.
finne ut hva som kan gå gærent dersom en eller flere av
forutsetningene ikke er tilfredsstilt. Hva kan skje dersom f
Siden 0 ∈
/ F(A) og F(A) er en sammenhengende ikke er kontinuerlig? Dersom f ikke er injektiv? Dersom
delmengde av R, må nøyaktig én av de to følgende holde:
f er definert på en usammenhengende delmengde som for
1. F(A) ⊆ (−∞, 0). I så fall får vi at f (s) − f (t) < 0 for eksempel (−∞, 1) ∪ (2, ∞)? Merk også at teoremet holder
alle s < t, altså f (s) < f (t), som betyr at f er strengt dersom vi bytter domenet R med en hvilken som helst
voksende.
sammenhengende delmengde av R.
En ikke-injektiv funksjon.
1 Injektiv
En injektiv funksjon.
betyr det samme som én-til-én, altså at f (s) = f (t) impliserer s = t for alle s,t ∈ R
bruker vi et grunnleggende resultat innen generell topologi: Dersom X og Y er topologiske rom der X er sammenhengende, og f : X → Y er en
kontinuerlig funksjon, så må bildet f (X) også være sammenhengende. Dette er sikkert terminologi de fleste ikke kjenner til, men resultatet kan likevel
forklares intuitivt: En kontinuerlig funksjon kan ikke ta noe som er sammenhengende og transformere det til noe som ikke er sammenhengende.
2 Her
14
MATEMATIKK OG FYSIKK
∆t
MIDTSIDEGRAF
Av FRODE BØRSETH
3. året Bachelor Fysikk
M
IN siste midtsidegraf som redaktør tenkte jeg godt
kunne være noe spesielt. Det har stort sett gått
i midtsidedamer til nå, med det eneste unntaket av
motorsykkelen i forrige semesters første utgave. Motivet denne
gangen har jeg valgt til å være en hyllest til en av vår kjære
linjeforenings viktigste ikoner.
Det kan ikke herske tvil rundt det faktum at motivet er
verdig denne utgaven. Derfor er det heller ikke så mye mer å si,
s
δ (x, a, b) =
enn de nå velkjente matematiske definisjonene, før ligningen
som graflegges blir presentert, nok en gang. Jeg går altså rett i
gang med det.
Under defineres funksjonene f1 (x) til f48 (x). Det vil si,
aller først defineres δ (x, a, b), som brukes for å definere f -ene
Til slutt legger vi ligningen frem som midtsidegrafen oppfyller,
som bruker alle de 48 funksjonene i sin definisjon.
|(x − a)(b − x)|
(x − a)(b − x)
f1 (x) = − 0.82(x − 1.0)2 + 1.88(x − 1.0) + 3.7 · δ (x, 0, 2)
f2 (x) = 0.374(x − 1.5)2 + 0.027(x − 1.5) + 4.8 · δ (x, 0.0, 2.5)
f3 (x) = 0.494(x − 2.0)2 − 0.592(x − 2.0) + 5.5 · δ (x, 0.5, 3.2)
f4 (x) = 1.39(x − 2.8)2 − 1.66(x − 2.8) + 6.0 · δ (x, 2.2, 3.4)
f5 (x) = − 0.454(x − 4.5)2 − 0.772(x − 4.5) + 5.2 · δ (x, 3.4, 5.0)
f6 (x) = 0.042(x − 8.25)3 + 0.2201(x − 8.25)2 − 0.756(x − 8.25) + 1.127 · δ (x, 5.5, 10.0)
f7 (x) = 0.004(x − 8.25)3 + 0.18(x − 8.25)2 − 0.868(x − 8.25) + 1.749 · δ (x, 6.5, 10.0)
f8 (x) = 0.0095(x − 8.8)3 + 0.0684(x − 8.8)2 − 0.5136(x − 8.8) + 3.602 · δ (x, 5.5, 11.5)
δ (x, 9.53, 9.64)
f9 (x) = − 0.91(x − 9.7)2 − 2.05(x − 9.7) + 2.5 · δ (x, 9.2, 10.0)
δ (x, 9.84, 9.91)
f10 (x) = 0.0115(x − 7.4)3 + 0.014(x − 7.4)2 − 0.67(x − 7.4) + 5.096 · δ (x, 5.4, 9.4)
f11 (x) = − 0.85(x − 4.7)2 − 0.61(x − 4.7) + 7.25 · δ (x, 3.9, 5.4)
f12 (x) = − 1.478(x − 8.25) + 5.601 · δ (x, 7.1, 9.4)
f13 (x) = − 0.0205(x − 5.65)3 − 0.217(x − 5.65)2 − 0.222(x − 5.65) + 8.142 · δ (x, 3.7, 7.1)
f14 (x) = − 0.1172(x − 2.7)2 − 0.693(x − 2.7) + 10.3 · δ (x, 0.2, 4.1)
f15 (x) = − 0.0571(x − 4.1)2 − 0.5964(x − 4.1) + 10.0 · δ (x, 1.0, 8.1)
f16 (x) = 0.189(x − 10.0)2 − 0.642(x − 10.0) + 4.801 · δ (x, 8.1, 11.2)
f17 (x) = − 0.065(x − 2.5)2 − 0.3025(x − 2.5) + 11.25 · δ (x, 0.0, 6.5)
f18 (x) = 0.0456(x − 8.35)3 + 0.0228(x − 8.35)2 − 1.173(x − 8.35) + 7.041 · δ (x, 6.5, 10.7)
f19 (x) = − 0.26(x − 6.9)2 − 0.364(x − 6.9) + 10.001 · δ (x, 5.5, 8.7)
f20 (x) = 0.105(x − 8.0)2 − 0.291(x − 8.0) + 8.2 · δ (x, 6.8, 9.2)
f21 (x) = − 0.24(x − 5.0)2 − 0.45(x − 5.0) + 10.81 · δ (x, 4.3, 6.0)
f22 (x) = − 0.01(x − 7.1)3 − 0.1213(x − 7.1)2 − 0.547(x − 7.1) + 10.399 · δ (x, 4.3, 9.3)
f23 (x) = − 0.294(x − 10.5)2 − 1.77(x − 10.5) + 6.8 · δ (x, 9.3, 11.8)
f24 (x) = 0.54(x − 5.9)2 − 1.17(x − 5.9) + 4.8 · δ (x, 5.3, 6.7)
f25 (x) = − 1.2(x − 2.9)2 + 1.51(x − 2.9) + 9.4 · δ (x, 2.5, 3.3)
f26 (x) = − 1.23(x − 2.1)3 − 0(x − 2.1)2 + 1.78(x − 2.1) + 9.51 · δ (x, 1.5, 2.7)
7. U TG .
MATEMATIKK OG FYSIKK
15
f27 (x) = − 0.97(x − 1.6)2 + 1.26(x − 1.6) + 10.3 · δ (x, 1.0, 2.2)
f28 (x) = 0.071(x − 0.55)3 − 0.992(x − 0.55)2 + 1.563(x − 0.55) + 9.672 · δ (x, 0.0, 1.6)
f29 (x) = − 0.55(x − 0.4)2 + 0.28(x − 0.4) + 10.1 · δ (x, 0.0, 0.9)
f30 (x) = 2.0(x − 6.75) + 6.7 · δ (x, 6.6, 6.9)
f31 (x) = 3.0(x − 7.5)2 + 1.6(x − 7.5) + 3.41 · δ (x, 7.3, 7.65)
f32 (x) = 3.0(x − 8.0)2 + 1.6(x − 8.0) + 2.61 · δ (x, 7.8, 8.15)
f33 (x) = 3.0(x − 8.7)2 + 1.6(x − 8.7) + 2.0 · δ (x, 8.5, 8.85)
f34 (x) = 3.0(x − 9.5)2 + 1.6(x − 9.5) + 1.4 · δ (x, 9.3, 9.65)
f35 (x) = 3.0(x − 10.1)2 + 1.6(x − 10.1) + 1.4 · δ (x, 9.9, 10.25)
f36 (x) = 3.0(x − 9.9)2 + 1.6(x − 9.9) + 2.0 · δ (x, 9.7, 10.05)
f37 (x) = 3.0(x − 9.7)2 + 1.6(x − 9.7) + 2.7 · δ (x, 9.5, 9.85)
f38 (x) = 0.6(x − 7.4) + 3.56 · δ (x, 7.15, 7.65)
f39 (x) = 0.6(x − 7.9) + 2.76 · δ (x, 7.65, 8.15)
f40 (x) = 0.6(x − 8.6) + 2.16 · δ (x, 8.35, 8.85)
f41 (x) = 0.6(x − 9.4) + 1.56 · δ (x, 9.15, 9.65)
f42 (x) = 0.6(x − 9.6) + 2.86 · δ (x, 9.35, 9.85)
f43 (x) = 0.6(x − 9.8) + 2.16 · δ (x, 9.55, 10.05)
f44 (x) = 0.6(x − 10.0) + 1.56 · δ (x, 9.75, 10.25)
q
f45 (x) = 6.3 + 0.64 + 2.56(x − 4.2)2
q
f46 (x) = 6.3 − 0.64 + 2.56(x − 4.2)2
q
f47 (x) = 6.7 + 0.16 + 1.5(x − 6.8)2
q
f48 (x) = 6.7 − 0.16 + 1.5(x − 6.8)2
På neste side finner du grafen for alle reelle x og y verdier som oppfyller
ligning (3.1) med hensyn på de 48 fi (x) definert over.
48
∏ ( fi (x) − y) = 0
i=1
(3.1)
18
MATEMATIKK OG FYSIKK
∆t
TURTLES, ALL THE WAY DOWN
Av FRODE BØRSETH
3. året Bachelor fysikk
N
YLIG hørte jeg om et svært interessant verdensbilde, sentrum i skilpaddens massesenter ville hatt. Siden vi bare vil
som i beste fall kan beskrives som kontroversielt. Vi vite tyngdekraften ved overflaten holder denne antakelsen.
er vel alle vandte med bildet av jorden som en sfærisk-ish
klode som går i en elliptisk bane rundt solen (en stilling Delta
kommer til å stå bak, med mindre styrets foreslåtte endringer
går gjennom til generalforsamlingen). Idéen her var ganske
annerledes.
Jeg hørte om dette verdensbildet fra tv-programmet QI,
hvor den eminente programleder Stephen Fry siterte en av
William James’ historier fra hans møte med en kvinne ved et
av hans foredrag:
En skilpadde.
“Mr James”, she said, “we don”t live on a ball
rotating around the sun, we live on a crust of earth
on the back of a giant turtle.”
“If your theory”s correct, madam,” replied
James politely, “what does this turtle stand on?”
“A second far larger turtle, of course!” she
snorted back.
“But what does that stand on?” pressed the
philosopher.
“It”s no use, Mr James”, snorted the old lady
triumphantly, “it”s turtles all the way down!”
Så latterlig som vi i dag vet dette bildet er, så fikk det meg
til å tenke. Hva hvis det faktisk var sant? Det burde jo følge
med seg en hel del fysiske konsekvenser. Hva kunne vi sagt
om planetbanene i et slikt univers, om stjernehimmelen, eller
bare om tyngdekraften vi opplever her på jorden?
Den siste, tyngdekraften på “Jord”-overflaten, var noe jeg
også så for meg det kunne være forholdsvis enkelt å regne
ut. Om vi bare gjør noen fornuftige antakelser om form og
massetetthet til skilpaddene for hvert trinn nedover, burde det
være fullt mulig.
Så det er hva denne artikkelen forsøker å gjøre, å svare på
spørsmålet “Hvilke tyngdekrefter ville verden være utsatt for
under ‘World-turtle’-modellen?”
Videre, om vi tenker i sfærer, vil det være fornuftig å tenke
seg at forholdet mellom radiusen til to nabo-sfærer(skilpadder)
er den samme for alle par nedover. Altså at én skilpadde er
til sin understående som den er til sin, og så videre. Om vi
kaller radiusen til vår næreste skilpadde, vår jordskorpe, for
R0 , og radiusen til skilpadde nummer i fra denne for Ri , kan vi
uttrykke dette matematisk som
Ri
=
αRi−1
=
α i R0 ,
=
α 2 Ri−2
hvor α > 1 er proporsjonalitetskonstanten mellom to
naboskilpadder.
Til slutt trenger vi bare anta at massetettheten ρ forblir den
samme for alle skilpaddene. Dette kommer jeg til å diskutere
senere, men jeg synes her og nå at det er en fornuftig antakelse.
FØRSTE FORSØK
Det første vi kan gjøre er å annta at skilpaddene er sfæriske
i form.
Dette høres kanskje ut som en idiotisk forenkling, og
minner oss kanskje på alle vitsene om hvordan fysikere
skilpadder oppå hverandre.
bare tenker i modeller og glemmer virkeligheten, men la
meg forklare et lite øyeblikk. Alle skilpaddene vil påføre
Nå har vi alt vi trenger for å finne gravitasjonskrafta. Fra
en gravitasjonskraft på et punkt ved joroverflaten som er skilpadde nummer i vil en person med masse m kjenne en kraft
ekvivalent med tyngdekraften som en eller annen sfære med gitt ved Fi :
7. U TG .
MATEMATIKK OG FYSIKK
19
Med resultatet fra over, og det faktum at
Fi
=
G
Mi m
ri2
4
πR3 ρm
G 3 i−1i
2
Ri + ∑ 2R j
=
αi
=
4
πα 3i R3 ρm
G 3 i−1 0
2
α i R0 + ∑ 2α j R0
=
4
πα 3i R0 ρm
G 3 i−1
2
α i + ∑ 2α j
j=0
F
hvor Mi var massen til skilpadde i, ri avstanden til dens
massesenter, og G er den kjente, kjære gravitasjonskonstanten.
Fra dette kan vi lett sette opp en sum av bidragene fra alle
skilpaddene, for i lik 0 til ∞:
∞
=
∑ Fi
∞
4
πα 3i R0 ρm
2
i−1
α i + ∑ 2α j
∑ G 3
=
i=0
j=0
i=0
1
αj
< 1, får vi
=
αi
−2
4 1 − α1
=
1 i
1 2
α 1−
4
α
Vi kan dermed, endelig, si at tyngdekraften vi ville kjent
på toppen av den øverste skilpadden faktisk divergerer:
j=0
F
∞
4 ∑
j=0
2
1
α
j=0
=
∞
4
α 3i
πGρR0 m ∑ 2
i−1
3
i=0 α i +
∑ 2α j
j=0
>
=
→
∞
4
1 1 2
πGρR0 m ∑ α i 1 −
3
α
i=0 4
∞
1
1 2
πGρR0 m 1 −
∑ αi
3
α i=0
∞
∞
4
α 3i
= πGρR0 m ∑ 2
i−1
3
i=0 α i +
∑ 2α j
Uendelig tyngdekraft på jordoverflaten? Uffda. Dette er
kanskje et tegn på at noe ikke helt stemmer med “World-turtle”modellen. Men det kan hende noe er feil i utregningene! Det
j=0
ble tross alt ganske hårete mot slutten. Så kanskje vi skal se på
Dette ser ganske så stygt ut, så jeg skal ikke engang forsøke det hele fra et litt annet ståsted?
å summere dette opp ordentlig. Det vi likevel kan gjøre er å
finne en fornuftig nedre grense! For å gjøre det trenger vi først
et resultat som en hver matematiker så vel som fysiker burde
ANDRE FORSØK
kjenne igjen. For |x| < 1 har vi
La oss nå se for oss skilpadder av en litt annen form enn
∞
sfæriske.
Om vi istedet hadde hatt kjegle-lignende skilpadder
1
∑ xi = 1 − x
stablet oppå hverandre, med vinkel β , kunne vi sett for oss
i=0
alle skilpaddene som en stor kjegle. Dette er en så grei form at
Det er etter det klart at
vi likegreit kan integrere over alle bidrag til tyngdekraften.
α 3i
2
i−1
α i + ∑ 2α j
>
α 3i
2
i−1
2α i + ∑ 2α j
j=0
j=0
=
α 3i
i
2
4 ∑ αj
j=0
Enda en skilpadde.
Husk, vi ser her etter en nedre grense, så vi kan ta ulikheter
Med litt godvilje kan man da bli enige om at det her er mest
om vi gjør uttrykket mindre. Det siste uttrykket tar vi så og
2i
hensikstmessig å bruke kulekoordinater ved integrasjonen,
deler med α over og under brøkstreken, og får
altså med volumelement dV = r2 sin(θ ) dr dθ dφ . Et masseα 3i
αi
element dM vil med dette uttrykkes ved
i
2 =
i
2
4 ∑ αj
4 ∑ α1j
dM = ρdV = ρr2 sin(θ ) dr dθ dφ
j=0
j=0
>
αi
∞
2
4 ∑ α1j
j=0
Den resulterende infinitesimale gravitasjonskraften i zretning (x- og y-retningene kanseleres av symmetrigrunner)
dFz = dF cos(θ ) på en masse m oppe på toppen er da gitt ved
formelen
20
MATEMATIKK OG FYSIKK
∆t
Tidligere antok jeg at massetettheten ρ var konstant. Dette
høres
fornuftig nok ut, men la oss si det ikke var tilfellet. Den
m · dM
dFz = dF cos(θ ) = G 2 cos(θ )
kan da enten avta eller øke etter hvert som skilpaddene blir
r
større. Det høres kanskje mest fornuftig ut at massetettheten
2
m · ρr sin(θ ) cos(θ )
dr
dθ
dφ
= G
skulle øke, for at styrken i beina til skilpaddene ble sterkere
r2
og sterkere etter hvert som de fikk mer å bære på ryggen. Men
= Gmρ sin(θ ) cos(θ ) dr dθ dφ
dette ville igjen ført til divergering i integralet over, ganske
åpenbart.
Den eneste mulighet dette verdensbildet har for å gi
mening, fra denne vinklingen, er om massetettheten synker for
hver skilpadde. Den trenger ikke gå mot 0, det hadde holdt om
den på fornuftig vis nærmet seg gjennomsnittlig massetetthet
til universet, hva enn den måtte være i dette verdensbildet.
Det er lett å se for seg at vi etter hvert da kunne gjort en
skilpadder oppå hverandre.
symmetribetraktning, og kansellert skilpaddenes bidrag med
Vi kan da integrere over hele kjegla, som vil si rundt hele resten av universet. Men om vi skal bruke vårt eget univers
sirkelen 0 ≤ φ ≤ 2π, for vinkler 0 ≤ θ ≤ β , og til uendelig som en indikasjon på hva denne gjennomsnittlige tettheten
langt ned, ved r0 ≤ r → ∞:
kunne vært, vil det være snakk om omtrent 5 partikler per
Z
kubikkmeter.3 Så spørsmålet blir til slutt om en skilpadde
Fz =
dFz
bestående av essensielt vakuum egentlig er en skilpadde.
Z2πZβ Z∞
=
Gmρ sin(θ ) cos(θ ) dr dθ dφ
KONKLUSJON
0 0 r0
Z2π
=
Z∞
sin(θ ) cos(θ ) dθ
dφ
0
=
Zβ
r0
0
Gmρπ sin2 (β )
Gmρ dr
Z∞
dr
r0
→∞
som vi igjen ser divergerer. Dette er jo pinlig for den snøftende
frøkenen i William James sin historie. Uansett hvordan vi
ser på det virker det som om hun umulig kan ha rett, for
tyngdekraften i hennes univers blir uansett uendelig. Men det
er en ting jeg ikke har drøftet enda.
3 Wolfram|Alpha:
“Average mass of universe” ⇒ 9.9 · 10−27 kg m−3
“Hydrogen molecules in 9.9 · 10−27 kg” ⇒ 5.915
Umiddelbart virker dette verdensbildet å falle sammen
under granskning av dets fysiske egenskaper. Vi kan umulig
ha uendelige tyngdekrefter, og skilpadder består ikke av
omtrentlig vakuum. Av alle mulige forslag til hvordan vårt
univers er bygd opp, kan vi med dette si at “turtles all the way
down” ikke er mulig, ifølge Newtons gravitasjonslov.
Dette er egentlig noe skuffende, da jeg hadde håp om
å kunne komme frem til faktiske tallsvar, brukt forskjellige
metoder for så å sammenligne resultatene opp mot hverandre.
Men så bare divergerer alt sammen. likevel, uendelig er vel
fortsatt et resultat, og i den forstand fikk vi jo samme svar
med begge fremgangsmåtene. Det er i det minste noe å være
fonøyd med.
7. U TG .
KULINARISK
21
KULINARISK
DAHLS PÅ KJELLEREN
Av BRAGE SÆTH
Bragemedlem
Produksjonssted: E.C.Dahls her i Trondheim
Alkoholprosent: 4,6 %
Flaskestørrelse: 31 L
Pris: 25 NOK ved kontanter, men har du med deg studentkortet
ditt vil cirka hver 9. være gratis (22 NOK)
Smak: Den til høyre var veldig god, men vi må ha noen å
sammenligne med.
Duft: Den samme som før jeg hentet ølen, mulig aromaen
skyldes lokalet.
Smak: Den til venstre var litt varmere, men den var god den
også.
Farge: Gyllenbrun, slik bare Dahls kan være.
Advarsel: Se opp for billige etterligninger!
Smak: De påfølgende ølene smakte himmelsk, men kameraet
sluttet å ta klare bilder så dere må bare stole på meg når jeg
sier de var av samme type som de på bildet over.
Kommentarer: Denne herligheten kan du nyte på alle
kjellerens rom, de har også rom, men det får bli en annen
anmeldelse.
TERNINGKAST: 6
22
KULINARISK
∆t
GOING LOCO WITH TACO
Av OLE STEINAR LILLESTØL SKREDE
23. året Livets harde skole
T
HOU shall have pride in your tacos, or not have tacos at det er bare tull. Blander du alt i én bolle, får du konsistent
all. Dette er altså er artikkel som skal gi deg noen tips og blandingsforhold i tacoen, og du slipper å gå tom for noen
triks for å lage en taco som smaker el fantástico. La oss ikke ingredienser før andre. Dessuten gir det mindre oppvask.
sløse bort mer tid, her kommer tipsene!
Cuatro - Salaten 2. Finhakk salaten, enten i tynne strimler,
eller skikkelig finhakket. Da blir salaten mer som en salsa enn
en salat. Dette ser bra ut og er bedre å spise fordi du får litt av
alt i hver munnfull.
Cinco - Piff opp maisen. Mais er mais, og billig mais er
absolutt godt nok. Green Giant sin mais er hakket bedre, men
koster også mer. Uansett så anbefaler jeg å lage maiskrem.
Dette smaker ekstremt godt, og passer som tilbehør til det
meste. Oppskrift finner du her: bit.ly/16e1r4B. Jeg anbefaler å
tilsette litt salt, pepper og muskat i tillegg.
Seis - Guacamole. Guacamole hører selvfølgelig til som
tacotilbehør. Den beste guacamolen lager du selv. Pass på at
avokadoen er moden, eller så kommer guacamolen til å smake
ugress. Oppskrift:
2 stk avokado
1/2 chili (1 hel om du liker det sterkt)
2 fedd hvitløk
3 ss grovhakket koriander
2 ss olivenolje (fortrinnsvis extra virgin)
Saften av én lime
1 ts salt
Uno - Velg riktig merke. Denne er ganske enkel. Old El
Miks alt sammen med en mikser. Du kan bruke
Paso er et trygt, smart og godt valg. Eneste grunn til å velge
korianderkrydder i stedet for koriander, bruk i så fall mindre
Santa Maria, er for et par produkt som Old El Paso ikke tilbyr.
enn 3 ss. Det kan også bli litt mye med en hel lime, så start
Hold deg langt unna alt av First Price og den slags. Om du har
med en halv og smak til.
First Price tacokrydder og lignende liggende i skapet, kast det
Siete - Kjøtt. Her kan man eksperimentere med mye rart.
sporenstreks. Ikke send det til de fattige barna i Afrika, kast
Kjøttdeig er klassikeren, eventuelt kan du bruke karbonadedeig
det rett i nærmeste søppelbøtte. Fysj og fy! Når du fra nå av
om du har noen kroner til overs. Pass på at det ikke blir for mye
kjøper tacosaus, lefser og krydder, velg Old El Paso.
væske i pannen. Kjøttdeig skal stekes, ikke kokes. Uansett, her
Dos - Velg riktig krydder. Kanskje det viktigste av alt er å kommer det virkelige tipset: BACON!. Stek ferdig kjøttdeigen
bruke godt krydder på kjøttet. Og når jeg sier godt krydder, så og flytt den over i en skål, så steker du finhakket bacon. Til
mener jeg fajitas-krydder (fra Old El Paso selvsagt). Om du slutt blander du alt og serverer. Bonus tips: Dersom du spør
kun skal bruke ett tips fra denne artikkelen, så bruk dette. Selv fint og betaler litt ekstra, så kan du få bacon på Sesam-kebaben
var jeg deprimert og led av tvangslidelser i et halvt år, før jeg din en sen fredagskveld.
innså at jeg brukte feil krydder. Straks jeg hadde fått fajitasOcho - Rømme. Rømme hever virkelig smaken til en taco.
krydder på kjøttdeigen min, forduftet alle mine problemer.
Selv bruker jeg lettrømme eller crème fraîche. Rømmen kan
Tres - Salaten. Salaten trenger ikke å være så veldig piffes opp med et av Santa Maria sine sjeldne bidrag: Ranch
komplisert, selv bruker jeg rød paprika, agurk, mais, sjalottløk Dressing. Får du dressing til overs kan denne brukes som dipp
og crispisalat. Når man skal spise taco i godt lag (og det til potetgull og annen snacks.
skal man), så er det alltid noen som ikke liker tomat, ananas
Nueve - Andre tips. Et par andre tilbehør som jeg anbefaler
eller noe annet. Da kan det være greit å holde salaten enkel. å teste ut er mangosaus og jalapeño relish. Dette er litt uvanlige
Om du like vel vil ha i noe ekstra, så kan jeg blant annet produkt som ikke selges over alt, men Meny på Solsiden pleier
anbefale røde druer. Men nå prater jeg meg bort, det jeg ville å ha de. Undertegnede har ennå ikke prøvd å lage krydder og
frem til er å blande alle salatingrediensene i én bolle. Enkelte lefser fra bunnen av (og må leve i skam inntil videre), men i
personer insisterer på å ha hver salatingrediens i en egen skål, følge ryktene skal dette være verdt å teste ut.
7. U TG .
DIVERSE
23
DIVERSE
STUDFORSK: PROGRAM FOR STUDENTAKTIVE
FORSKNINGSPROSJEKTER
Av JOAKIM GÅSØY
3. År Bachelor matematikk
R du interessert i å prøve deg på matematisk forsking?
I så fall fall anbefaler vi deg å lese videre! Institutt for
matematiske fag (IMF) starter nå opp prosjektet “Studforsk:
Program for studentaktive forskningsprosjekter”, et tilbud
til studenter som er interesserte i å drive med matematisk
forskning på siden av studiene. Prosjektet er foreløpig under
planlegging, men vi har fått tak i informasjon om hvordan
prosjektet muligens kommer til å se ut.
E
O M PROSJEKTET
Studforsk-prosjektet har fått innvilget 1,5 millioner kroner
av Olav Thon-stiftelsen til å bedrive matematisk forskning
med studenter, et beløp som skal brukes opp i løpet av en
treårsperiode. Pengene vil hovedsaklig bli gitt som stipend
til studenter og ansatte som er en del av prosjektet, men
deler av pengene vil også gå til linjeforeningene Delta og
Nabla for å skape interesse rundt prosjektet. Prosjektet er
fullstendig uavhengig av studentenes studier, altså vil det
ikke bli gitt studiepoeng eller liknende, men i stedet vil det
bli gitt stipender. Målet med prosjektet er å skape interesse
rundt forskningsarbeid og å skape bedre grunnlag for å skrive
masteroppgave og liknende.
H VEM KAN SØKE ?
Ideen er at alle ansatte ved IMF skal kunne tilby
forskjellige forskningsprosjekter, og at alle studenter ved
NTNU som ennå ikke har påbegynt en masteroppgave
(altså ikke bare matematikkstudenter) vil få muligheten
til å søke om å få jobbe med et forskningsprosjekt. Det
er antatt at 20 studenter hvert år vil få muligheten til
å jobbe med forskningsprosjekter. Studentene jobber med
forskningsprosjektet sitt individuelt eller sammen med sin
veileder, og vil få i oppgave om å skrive en rapport om
forskningsprosjektet. Det vil bli innvilget et stipend på fem
til femten tusen kroner til studenter som leverer en godkjent
rapport. Siden det er få plasser, vil kun de beste studentene
valgt ut. Dette kan være et godt alternativ til studenter som tar
fem, seks, syv eller åtte fag hvert semester. Det er også en god
mulighet for studenter som har tenkt til å ta en mastergrad til å
få et innblikk i hvordan det er å jobbe med et slikt prosjekt.
O PPSTART I HØST
Som nevnt er prosjektet under utvikling, så det er mange
detaljer som ennå ikke er på plass. I utgangspunktet er planen
at dette prosjektet vil starte opp til høsten, med mulighet for
at noen potensielle forskningsprosjekter vil bli publisert før
sommeren. Delta vil bli involvert i rekruttering til prosjektet,
så det vil definitivt komme mer informasjon senere. For de
som er interesserte anbefales det å følge med fremover, for
dette er en unik mulighet du ikke bør gå glipp av!
24
DIVERSE
∆t
HVA ER BITCOIN OG HVORDAN FUNGERER DET?
Av JOAKIM FREMSTAD
1. år Bachelor matematikk
Bitcoin er et elektronisk betalingssystem oppfunnet i 2008.
Det som skiller bitcoin fra andre elektroniske betalingssystem
(nettbank) er at bitcoin ikke har et sentralt kontrollorgan,
slik som sentralbanken. Det vil si at bitcoin ikke krever
en tredjepart (bedrift eller regjering) for å godkjenne
transaksjoner. Det er også umulig at bitcoinvalutaen vil
oppleve inflasjon, siden det kun finnes en begrenset mengde
bitcoins (21 millioner). Hittil er det kun funnet 13,8 millioner
bitcoins, og de siste 24 timene har det blitt sendt rundt 1,3
millioner bitcoins. Bitcoin er også den første digitale og
desentraliserte kryptovalutaen, det vil si at bitcoinprotokollen
er den første som bruker asymmetrisk kryptografi samtidig
som man verifiserer transaksjoner uten en sentral tredjepart.
Bitcoin løser også Double-Spending-problemet (også kjent
som 51% angrepet).
PRAKTISK BRUK
transaksjoner, og det er derfor dette organet klarer å finne
falske transaksjoner. Bitcoin løser dette ved å lagre alle
transaksjoner offentlig i en distribuert database (også kjent som
blokkjeden). På denne måten har alle som ønsker muligheten
til å verifisere transaksjoner.
Siden bitcoins kun er “filer”, er det nærliggende å tenke
at det er lett å kopiere pengene og bruke samme bitcoins
flere ganger samtidig, dette er kjent som et Double-Spendingangrep. Det er heldigvis ikke mulig, siden protokollen
tidsstempler alle transaksjoner. Når alle har en kopi av
blokkjeden (alle transaksjoner hittil) er det lett å oppdage
om noen prøver å betale flere personer med de samme bitcoins
(Double-Spending). Dermed kan nettverket kun validere den
første transaksjonen, slik at den andre falske transaksjonen
ikke blir godkjent.
For å kunne forstå hvordan bitcoin fungerer må vi først
se på hva en kryptografisk hash er. Det er en enveisfunksjon
(praktisk umulig å finne en inversfunksjon) som tar inn data av
variabel lengde og gir ut en tekststreng på konstant lengde. Et
eksempel på en slik funksjon er sha256, som er hashen bitcoin
bruker. Grunnen til at bitcoin bruker dette er at man ønsker å
representere blokker (grupper av transaksjoner) ved hjelp av
en unik id, samtidig som den skal gi økt sikkerhet. Denne id-en
kalles hashen av blokken. Det er veldig enkelt å sjekke om
man får ut riktig hash når man hasher en streng. Det er nesten
umulig å si hvilken streng som ble hashet hvis man bare har
hashen. Det datamaskinene gjør for å sjekke dette er å teste så
mange forskjellige strenger som den klarer (bruteforce). Hvis
hashen datamaskinen finner er lik hashen den letet etter, har
den klart å finne inversen.
Når en person A skal overføre bitcoins til en person B, så
vil person A legge til person B sin offentlige nøkkel på sin
egen bitcoinadresse. Deretter signerer person A denne med sin
private nøkkel, og dette er nok for å garantere at de bitcoins
som var person A sine, nå tilhører person B. Transaksjonen
vil så offentliggjøres for resten av nettverket, hvor “minere1 ”
vil validere transaksjonene ved å sjekke signaturen fra A
sin private nøkkel opp mot A sin offentlige nøkkel. Det er
elliptisk kurve kryptografi (ECDSA) som blir brukt for å
signere transaksjoner.
Det er den private nøkkelen som beviser at man eier
bitcoins. Dersom man mister denne nøkkelen, vil ikke de
bitcoins som hører til nøkkelen være brukbar lengre. På
For å gjøre dette litt mer konkret skal vi se på hashen til et
grunn av dette vil vi nok aldri oppnå 21 millioner bitcoins
par
forskjellige
input, men jeg skal forkorte hashen av hensyn
i sirkulasjon, siden noen allerede har mistet en del bitcoins.
på plass:
PROTOKOLLEN
Protokollen definerer hvordan bitcoinnettverket skal fungere.
Jeg skal gi en litt forenklet versjon av hvordan systemet
fungerer. Hvis man ønsker å lese en mer detaljert forklaring,
anbefaler jeg å lese den originale bitcoinartikkelen[2].
Det første problemet bitcoin prøver å løse er hvordan
man skal unngå en sentralbank (som trykker penger, og
sjekker transaksjoner). Et slikt organ har oversikt over alle
1 Personer
som kjører et miningprogram
sha256(1)
sha256(k)
sha256(1k)
=
=
=
6b86b273ff34fce19d6b804. . . ,
8254c329a92850f6d539dd3. . . ,
79439000eb8508c74911062. . . .
En SHA-256-hash har egentlig en lengde på 65 tegn. Idéen
er at hvis man får oppgitt “1”, så vil man finne hashen på et
øyeblikk, men hvis man får oppgitt hashen “6b86b273. . . ”,
kan man bare drømme om å finne inputen som er “1”. Den
raskeste måten er faktisk å tippe forskjellig input til man treffer
7. U TG .
DIVERSE
med “1”.
Som nevnt har ikke bitcoin en sentralbank, så hvem skal
da “trykke” opp bitcoins, og hvordan skal de komme ut i
sirkulasjon? Det er minere som finner bitcoins ved å verifisere
blokker på nettverket, og disse bitcoins er på en måte en
belønning for at minere har verifisert transaksjoner og holdt
nettverket sikkert. Hver blokk skal være kryptografisk bundet
til den forrige blokken, ved at hver blokk inneholder hashen
fra den forrige blokken. Tidsstemplene på blokkene forteller
nettverket rekkefølgen på blokkene, og dermed får vi en en
lang kjede med blokker, altså blokkjeden.
Vi skal nå se hvordan selve miningprosessen (leting etter
bitcoin) fungerer. Hver blokk og transaksjon har hasher, altså
en unik id. Disse blir konkatenert2 til en lang id. Til denne
id-en konkateneres det også en nonce (tilfeldig engangsstreng)
på slutten. Når man hasher alt dette med SHA-256 to ganger,
altså sha256(sha256(id_med_nonce)), håper man at man får
en ny hash som starter med x antall nuller. Hvis dette ikke
stemmer, må man prøve samme operasjon igjen med en ny
nonce. Man må kanskje prøve flere milliarder nonce før man
får en hash som stemmer. Vanskelighetsgraden, x, bestemmes
automatisk av protokollen. Hvis bitcoins blir funnet for raskt,
øker x. Hvis det tar for lang tid å finne bitcoins blir, x senket.
Protokollen prøver å sette vanskelighetsgraden slik at kun 125
bitcoins blir funnet per time, slik det er nå. Senere vil man
finne færre bitcoins per time.
Dersom man er så heldig å ha funnet en nonce som er slik
at hashen starter med x nuller, vil man annonsere noncen til
resten av nettverket. De trenger kun brøkdelen av et sekund
for å verifisere at din nonce stemmer, og dersom den gjør det
blir nettverket enig om at du får 25 nye bitcoins på din bitcoin
adresse. Dette er ikke det som vanligvis skjer, siden det er så
liten sjanse for å løse blokken alene. Folk går derfor sammen i
grupper kalt “mining pools” og legger sammen sin datakraft,
og hvis gruppen finner 25 bitcoins, blir disse fordelt innad
i nettverket, basert på hvor mye datakraft hvert medlem har
bidratt med.
FORDELER
Bitcoin har forsvinnende små transaksjonskostnader (ingenting eller noen få øre), sammenlignet med kredittkort som tar
opptil 5% av overføringsbeløpet som avgifter. Dette gjør at
bedrifter og selgere foretrekker bitcoin, fordi de da slipper
unna kredittkortselskapenes lange klør.
Man kan til og med overføre penger på lørdager og
søndager, fordi nettverket er på 24/7. Det er heller ingen
forskjell på transaksjoner innenlands eller utenlands, og alle
transaksjoner tar veldig kort tid, også de til utlandet.
Hvis man prøver å gjennomføre tusenvis av veldig
små transaksjoner i sekundet, for å spamme nettverket, vil
2 Eksempel:
25
transaksjonskostnadene øke eksponensielt. Spammeren blir
derfor stoppet tidlig og blir fattig samtidig, genialt!
KRITIKK
Bitcoin har fått en god del kritikk, siden mange er skeptiske
til at “spillpenger” kan ta over for mer håndfast valuta. Dette
er kanskje ikke så rart med tanke på at bitcoin er den første
desentraliserte og digitale valutaen.
Bitcoin har fortsatt veldig høy volatilitet (ustabil kurs
sammenlignet med fiat-penger3 ) Dette kommer av at det er
mange land som enda ikke har et lovverk som dekker bitcoin,
for eksempel hvordan det skal skattelegges, om banker skal ha
lov til å veksle bitcoins og så videre.
Bitcoinnettverket har i skrivende stund en samlet
prosessorkraft på 3811021 petaFLOPS4 , sammenlignet med
den raskeste superdatamaskinen som i dag ligger på 33,86
petaFLOPS. Superdatamaskinen har en effekt på rundt
24 megawatt (MW). Vi kan anslå at strømforbruket av
bitcoinnettverket ligger på over 2,7 gigawatt, dette er effekten
til et stort atomkraftverk. All denne energien brukes kun
til å lete etter nye bitcoins og verifisere transaksjoner for
å holde bitcoinnettverket sikkert. Dette mener mange er
sløsing av datakraft som kunne blitt brukt til å løse viktigere
oppgaver. Flere har forsøkt å løse dette problemet, for
eksempel “Primecoin”, som verifiserer ved å finne kjeder av
store primtall.
ANGREPSVEKTORER
Til tross for at bitcoin er en veldig sikker protokoll vet vi at
det finnes teoretiske angrep mot nettverket.
Et teoretisk angrep som har vært kjent siden protokollen
ble opprettet er 51% angrepet. Dersom mer enn en person
finner en nonce som passer og begge annonserer dette til
nettverket samtidig, vil vi få en gren på blokkjeden. Alle på
nettverket er enige om at det er den lengste blokkjeden som
er den riktige, siden den har brukt mest datakraft for å bli
laget. Når en slik gren blir laget kan det hende at noen minere
fortsetter på gren1 og resten på gren2. Dette går helt fint fordi
minerne på gren2 kan over tid se at gren1 har mer datakraft
og dermed løser blokker raskere, og da vil de hoppe over og
jobbe på gren1. Gren2 vil da bli forlatt og nettverket fortsetter
som vanlig på gren1 som blir til hovedgrenen.
“hei” konkatenert med “hade” blir “heihade”.
utstedt av en sentralbank og som ikke kan løses inn i noe verdifullt, som gull. Verdien kommer fra regjeringsregulering eller lover.
4 Peta er prefiks for 1015 . http://bitcoincharts.com/bitcoin/
3 Penger
26
DIVERSE
∆t
BITCOINS HISTORIE
Før bitcoin eksisterte, fantes det lignende protokoller som
for eksempel bmoney[1]. Bitcoinprotokollen ble introdusert i
2008 og ble publisert av en anonym person under pseudonymet
“Satoshi Nakamoto”[2]. Et år senere ble den første “Bitcoinwallet” publisert (bilde neste side), denne gjør at brukere kan
sende og motta bitcoins. Siden bitcoin har en åpen og offentlig
protokoll har det også blitt laget flere lignende valutaer, men
disse er ikke veldig populære og er relativt lite brukt. I 2013
og utover begynte store bedrifter å akseptere bitcoin som
Visualisering av blokkjeden. De lilla blokkene er grener som betalingsmiddel, blant disse er Wordpress, Microsoft, Dell,
er forlatt, den grønne blokka er startblokka, og de svarte
og Expedia. I slutten av 2013 ble det annonsert at USA
blokkene er hovedgrenen som nettverket er enig om at er den aksepterte virtuell valuta som en lovlig finansiell tjeneste, da
riktige kjeden.
økte verdien på bitcoin kraftig. Et eksempel på at verdien
kan synke var da Kinas folkebank annonserte at de forbøy
Hvis man har mer enn halvparten av datakraften på
kinesiske finansinstitusjoner å bruke bitcoin.
nettverket kan man i teorien gjøre at en falsk gren blir den
lengste, dermed kan man sende penger til en selger, mens
at man jobber mot nettverket slik at transaksjonen ikke skal
bli akseptert. For selgeren vil transaksjonen ha status som
ubekreftet når dette angrepet pågår. Den beste måten å beskytte
seg på et å vente noen ekstra minutter til at transaksjonen blir
godkjent. 51% angrepet er egentlig ikke lønnsomt siden man
ville tjent mer penger på å verifisere transaksjoner og letet etter
bitcoins.
I teorien kan man få så mye datakraft at man kan reversere
sine gamle transaksjoner ved å løse alle gamle blokker på
nytt før resten av nettverket løser neste blokk. Problemet er
at dette er så ufattelig dyrt, samtidig dersom dette skulle skje
på nettverket så undergraver man bitcoin sin verdi, altså de
Bitcoin wallet på Android
transaksjonene man har reversert blir verdt nesten ingenting.
Det er altså så lite lønnsomt at dette er veldig usannsynlig at
noen vil prøve.
Et annet angrep som er velkjent kalles “Finney-angrepet”.
En ond miner jobber på sin egen blokk som inneholder en
transaksjon til seg selv. Akkurat når mineren løser blokka
sender han penger til en selger, og rett etter den transaksjonen
annonserer han blokka til resten av nettverket. Siden det ikke
går an å bruke de samme bitcoins flere ganger og at nettverket
så den falske blokken først, vil den legitime transaksjonen
til selgeren bli forkastet. Resultatet er at det ser ut som om
selgeren har mottatt penger fra deg, men i realiteten har disse
Mange bedrifter tar i mot bitcoins5
aldri blitt sendt.
Dette angrepet er også lett å beskytte seg mot og ganske
Samme år var den japansk-baserte bedriften Mt. Gox
vanskelig å gjennomføre. For å gjennomføre dette må man (Magic: The Gathering Online Exchange) den største bitcoin
ha masse datakraft og perfekt timing, siden du må finne veksleren i verden, den vekslet mellom bitcoin og standard
løsningen på din falske blokk før resten av nettverket finner fiat-penger. På denne tiden kom nesten 70% av alle bitcoin
løsningen på den ekte blokken. I dette smale tidsrommet må transaksjoner fra brukere av Mt. Gox. Mt. Gox gjorde det
du betale en selger, slippe den falske blokken, og stikke av enkelt å bruke og bytte mellom bitcoin og dollar på samme
med varene før nettverket finner ut at din blokk ikke stemmer. sted. De hadde derfor tilgang til kundenes wallets. Grunnen til
For å beskytte seg trenger man kun vente et par minutter til priskrakket i 2014 var at Mt. Gox stengte ned systemet sitt, og
nettverket verifiserer transaksjonen.
senere kom det frem at selskapet hadde mistet rundt 800000
bitcoins (verdi på ca. 473 millioner amerikanske dollar). Dette
5 Av
Targaryen (Eget verk) CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons
7. U TG .
DIVERSE
27
gjorde at bitcoins fikk dårlig medieomtale, samt at mange
investorer trodde at bitcoin hadde fått sikkerhetsproblemer.
Det viste seg at det var Mt. Gox som hadde dårlig sikkerhet,
ikke bitcoinprotokollen. Hvis en bank blir ranet og noen stikker
av med mange grønne dollar, så er det ikke dollaren sin feil, det
er banken sin feil. I Mt. Gox sitt tilfelle ville de vært banken
og bitcoin vært dollar.
Den 29. november 2013 var en bitcoin verdt hele 1124
amerikanske dollar, dette var rett etter USA annonserte at
de aksepterte bitcoins. I dag er en bitcoin verdt cirka 225
amerikanske dollar, rundt 1800 norske kroner i dagens kurs.
Med denne prisen er det kanskje på tide å investere litt i
bitcoins?
Bitcoinverdi på logaritmisk akse
REFERANSER
[1]
Wei Dai. bmoney. 1998. URL: http://www.weidai.com/bmoney.txt.
[2] Satoshi Nakamoto. Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System. Okt. 2008. URL: https://bitcoin.org/bitcoin.
pdf.
28
DIVERSE
∆t
DELTA FK, DEL 3
Av OLE STEINAR LILLESTØL SKREDE
3. året Datateknikk
D
ELTA FK er Linjeforeningen Delta sin svært suksessrike
fotballklubb. Dette er del 3 i serien som prøver å holde
den interesserte leser oppdatert på lokal sport.
Fikk du ikke med deg første og andre del? Frykt ikke,
her kommer en kjapp oppsummering. I første del skjedde det
veldig lite. Delta FK ble startet opp, hadde treningskamper
og slo et dårlig lag (Ponduskameratene) i serieåpningen. I
andre del stod det mye interessant. Tabeller, statistikker og en
oppsummering av første sesong kom på trykk. Første sesong
spilte Delta FK i 6. divisjon, og vant denne overlegent. Som
fortjent fikk laget hoppe over 5. divisjon og starte rett i 4.
divisjon. Og det er her vi starter 3. del.
15. april startet sesongen, på andre banehalvdel stod
Åregutan. Åregutan har en egen hjemmeside (aaregutan.com),
hvor de legger ut kleine bilder og andre godbiter. De skriver
følgende om seg selv på siden sin:
"Vi har vært i åre hvert år siden 2001. Det startet med 4
personer, men i de siste 5 årene har vi i gjennomsnitt vært 18
glade gutter på tur. Vi har etterhvert blitt godt kjent både med
uteliv, restauranter, aktiviteter og overnatting. Mange velger å
reise langt og dyrt, men vi har funnet det perfekte reisemålet
kun 15 mil fra Trondheim."
En gjeng som setter like stor pris på en fest som Delta med
andre ord. Desverre var de ikke like gode i fotball som Delta,
selv om de spilte i 3. divisjon året før. Åregutan scoret kampens
første mål, men det endte til slutt med 4-2 til grønntrøyene.
Simen Lillehagen fikk æren av å score sesongens første mål
for Delta FK og Per Kristian Ørke fikk sin debut. En god start
på sesongen.
I neste kamp fikk laget bryne seg på Atletico Lade FK.
Delta FK startet kampen i forrykende tempo. Fotball som ville
gitt millioner av views på Youtube, om bare noen hadde filmet
det, gjorde at Delta FK tidlig ledet 4-0. På forunderlig vis
endte kampen 5-5. At Håvard Bakke Bjerkevik scoret hat-trick
hjalp lite når laget hadde rotet bort 2 poeng. Torstein Fjeldstad
sa tydelig ifra om hva han mente, og gjorde det tydelig at kun
seier var godt nok i neste kamp.
Og seier ble det! Nidaroskameratene fikk en oppvisning i
festfotball, og til pause var stillingen 4-0 i favør Delta FK. Klok
av skade, holdt laget oppe trøkket i resten av kampen og vant
til slutt 9-4. Som resultatet viser, var det mer motstand i andre
omgang, men med Håvard (4), Eskil N. Indregard (2), Anders
Kjelsbøl , Per Kristian og Markus Hop på scoringslisten, ble
det en grei seier. Markus noterte seg også for årets første gule.
Neste kamp var mot Møllenberg Cowboys. Desverre er det
ingen på laget som husker hvordan denne kampen gikk, så vi
går videre til oppgjøret mot Nylander. Her ble det nok et tap.
Hele 7-2 var stillingen da dommeren blåste i fløyten. Det mest
interessante med kampen var nok at Håvard ikke scoret.
Håvard gjorde opp for dette i neste kamp som ble en av
mange målorgier Delta FK har deltatt i. Han puttet hele seks
mål i en spennende 9-6 seier. Kanskje hjalp det at vår egen
Torstein tok ansvaret for fløyten når dommeren ikke møtte
opp. Han påpekte etter kampen at Håvard muligens skulle
hatt en scoring annullert, men at han ikke blir betalt nok til å
annullere.
Målfesten holdt frem i neste kamp. Håvard med nok et
hat-trick og straffespark til Athletic Bilbo Baggi var noen av
høydepunktene. Gunnar A. Sveinsson prøvde desperat å få
gult kort, men dommeren nektet. Anders, Eirik Holand (2),
Eskil, Simen og Kristian B. Myhre bidro med mål i en 9-5
seier til de grønne.
BN Bank ASA - Delta FK (6-11). Ikke så mye å si her,
men det kan nevnes at undertegnede hadde et vakkert mål.
Desverre for meg og mitt gode rykte, var det BN Bank som
jublet mest for dette målet. Den observante leser har kanskje
fått med seg at det ofte blir mange mål når grønntrøyene spiller
ball. Det er hovedsaklig tre grunner til dette. For det første
er laget glad i offensiv fotball. For det andre slipper laget inn
mange mål, og må dermed score enda mer for å vinne. For
det tredje så spiller det en målgarantist ved navn Håvard på
offensiv midtbane. Dersom du lurer på om dette er den mest
målrike kampen til Delta FK noensinne, så er svaret nei. Den
09.09.2012 vant Delta FK 20-5 mot Ew Glass og Plast, i en
kamp som ble blåst av før 60 minutter var gått.
De tre siste kampene i sesongen gikk som følger.
FC Vintervoll - Delta FK (3-8). Med kun syv kampklare,
hadde laget ingen innbyttere og dette ble tydelig utover i andre
omgang. En god seier, med få baklengsmål.
Laban FK - Delta FK (9-7). En jevn kamp som ikke bikket
i vår favør. Kristian med klubbens første røde kort. Hurra!
Sesongens siste kamp endte med et surt 6-7 tap mot
Hveita United. Alt i alt endte det med en 3. plass på tabellen.
En brukbar plassering, som kanskje ikke sto helt i stil med
ambisjonene.
7. U TG .
DIVERSE
29
LESERBREV
D
A Brage Sæth fortalte meg at han hadde flere ting han
ville skrive for avisa, som var noe annet enn leserbrev,
ble jeg henrykt og gledet meg til å se hva han kunne få frem.
Forrige utgave fikk vi anmeldelse av Dahls på Kontoret, som
slo an, og denne utgaven har vi fått enda mer. “Dahls på
Kjelleren” og “Mitt møte med Delta - I utlandet”. Til neste
utgave forventer jeg da at vi får tre bidrag fra den godeste
Brage. Og så fire, og så fem, og så videre.
Et av hans brev fra forrige utgave ble dessverre noe
utydelige i trykk, som gjorde at få klarte å lese alt som stod
skrevet. Brage har nå renskrevet det, og det trykkes nå på nytt
for dere leseres gode. Det er å finne like under her.
RENSKRIVING AV FLASKEPOST
Av BRAGE SÆTH
Bragemedlem
E
TTER lanseringen av fjorårets siste avis har jeg fått spørsmål om jeg
kan oversette hva som sto skrevet i flaskeposten, noe som burde være
overkommelig ettersom jeg selv skrev den. Med forbehold om at flaskeposten
ble skrevet mellom vors nr. 1 og 2, samt at det var skrevet rundt en vinflaske,
her er hva jeg tror jeg mente med den:
Kjære delta
Først og fremst hold godt i flaska, posten er ikke fast. For det
andre var det veldig koselig av dere å varsle oss om hvor og når
julebordet var. På denne måten kan vi jo komme og holde dere
med selskap. Vi i Bragekomitéen har jo en eldgammel tradisjon
fra tidene før vÅrgangsfesten om å ta med en flaskepost. Så
med ønske om å få oppleve flere vÅrgangsfester, fortsetter vi
med vår tradisjon. Håper på at flere av dere liker inneholdet i
posten. Selv om den muligens ikke er laget med kjærlighet, er
den i det minste kjøpt med det. Det er alltid kjekt å få det når
man uoppfordret viser legitimasjon på vinmonopolet. Denne får
dere desverre ikke, da de er litt ufine å dele. Men denne posten
kan jo deles, gjerne til en fin sang om Lambo.
Deres venner i Bragekomitéen.
ET SLAGS FARVEL
Av FRODE BØRSETH
Redaktør
D
ENNE utgaven av ∆t blir den siste jeg kommer til å stå bak som
redaktør. Styret vil førstkommende generalforsamling legge frem
diverse foreslåtte statuttendringer, hvor en av dem er at redaktørposisjonen
skal velges på våren. Jeg kommer da ikke til å stille til gjenvalg.
Det kommende skoleåret ønsker jeg å tilbringe i Spania, som
utvekslingsstudent, og det er derfra ganske vanskelig å fungere som redaktør.
Derfor er jeg tvunget å gi fra meg stillingen.
Dette betyr ikke at jeg kommer til å slutte å lage innhold for avisa. Det
kommer nok fortsatt en og annen midtsidegraf fremmover, og kanskje en
artikkel og to eller reisebrev, men jeg vil ikke lenger være mannen som sitter
med en plan og visjon, eller kontrollen over ∆t.
Jeg gjør dette ganske så vemodig, fordi ∆t har blitt mer enn bare et verv
eller hobby, etter halvannet år som dens ansvarlige. Jeg har også opplevd
mye gjennom å sitte i hovedstyret, og setter pris på alle de erfaringene jeg
tar med meg.
Jeg håper neste i rekken, etter meg, vil komme til å finne den samme
gleden i arbeidet som jeg har hatt, og at de vil ha samme respekten for det
privilegiet som det er å få oppmerksomheten, to ganger i semesteret, til en
hel linjeforening. I tillegg håper jeg at de vil fortsette arven, og bygge videre
på det som vår avis allerede har blitt.
Så til deg som har fulgt disse bladene, som har satt pris på arbeidet som
har gått inn i dem og innholdet som har blitt til, vil jeg med mine siste ord i
stillingen avslutte med å si:
Takk for at du leste, og takk for meg!
BAKSIDEN
en sammenhengende vei gjennom elleve ruter fra øverste rad til nederste rad
i denne figuren, slik at summen av tallene i rutene du går gjennom er 42, og slik
at du går gjennom fire røde, tre blå og fire grønne ruter.
F
INN
6
5
8
4
6
4
0
3
6
3
5
8
1
2
3
2
8
1
8
4
4
3
0
3
3
2
1
7
1
0
0
7
3
4
3
7
5
8
5
1
0