Eksamensoppgave i MA0301 Elementær Diskret Matematikk

Comments

Transcription

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær Diskret Matematikk
Institutt for matematiske fag
Eksamensoppgave i MA0301 Elementær Diskret Matematikk
Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand
Tlf: 73596682/97027848
Eksamensdato: 8. august 2015
Eksamenstid (fra–til): 9.00-13.00
Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: D: Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Enkel kalkulator tillatt.
Annen informasjon:
Alle svar må begrunnes.
Målform/språk: bokmål
Antall sider: 3
Antall sider vedlegg: 0
Kontrollert av:
Dato
Sign
Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt.
Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
MA0301 Elementær Diskret Matematikk
2015
Side 1 av 3
Oppgave 1
[100 + 50 ] Betrakt passord som består av strenger av symboler 1,
2, 3 og 4, f.eks. 23442 (lengde 5) eller 3322142 (lengde 7).
a) Hvor mange slike passord finnes av lengde 5?
b) Hvor mange slike passord finnes av lengde 5, der hvert av symbolene 1, 2, 3,
4 er i passordet?
Oppgave 2
[100 ] La R være mengden av reelle tall. Følgende logiske uttrykk
definerer at en mengde U ⊂ R er åpen
∀x ∈ U, ∃δ > 0
(|y − x| < δ → y ∈ U ) .
Skriv ned et logisk uttrykk som definerer at en mengde U ⊂ R ikke er åpen.
Oppgave 3
[100 ]
Bruk matematisk induksjon for å vise at
n
X
i=1
3
i =
n(n + 1)
2
!2
for ethvert positivt heltall n.
Merk: Du må bruke matematisk induksjon for å få uttelling på denne
oppgaven.
Oppgave 4
[100 + 100 ]
a) Konstruer en surjektiv (på) funksjon f fra mengden av reelle tall R til mengden av rasjonale tall Q.
b) Konstruer en funksjon g : Q → R slik at f ◦ g er en bijeksjon, der f er den
surjektive funksjonen konstruert i første del av oppgaven.
Oppgave 5
[100 ] Lag en endelig tilstandsmaskin med input og output i {0, 1}∗ ,
og som gjenkjenner strenger i 00{101}∗ 00 ∪ {00}∗ 11 (altså slik at siste output er
1 hvis og bare hvis input er en slik streng).
Side 2 av 3
MA0301 Elementær Diskret Matematikk
2
•
•
4
1
3
•
•
1
2
4
•
4
•
2
3
3
2015
•
1
4
3
•
1
3
2
A•
1
•
2
•
2
1
4
•
3
•
4
Figur 1: Graf G
Oppgave 6
[100 + 50 ]
a) Betrakt den ikke-orienterte vektede grafen G. Finn hjørnet som har størst
avstand fra A.
b) Vis at EG ikke er en planar graf.
3
7
2
1
9
5
8
6
4
Figur 2: Graf EG
10
MA0301 Elementær Diskret Matematikk
2015
Side 3 av 3
Oppgave 7
[100 + 50 ] Vi har 30 par spisepinner av samme type. 10 av parene
er svarte, 10 er hvite og 10 er blå.
a) Vi trekker pinner tilfeldig. Hvor mange pinner av disse 60 må vi trekke for
å være sikker på å ha minst to par spisepinner. (Her betyr et par to pinner
med samme farge.)
b) Vi trekker igjen pinner tilfeldig. Hvor mange pinner av disse 60 må trekkes
for å være sikker på å ha minst to par spisepinner med forskjellig farge.
Hint: Prøv med 5 eller 6 for a).
Oppgave 8
[50 ] La S være en konveks n-kant, med n ≥ 4, dvs. et polygon med
n kanter slik at enhver diagonal (et rett linjestykke mellom to hjørner som ikke er
naboer) ligger inne i n-kanten, se eksempel i figur 3. En triangulering av S er en
samling av diagonaler som deler S i trekanter. Vis at det i enhver triangulering
av S finnes minst to trekanter med egenskapen at to av sidene er kanter i S. (For
eksempel er trekantene A og B i figur 4 slike trekanter.)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Figur 3: En konveks 5-kant til venstre, en ikke-konveks 5-kant til høyre
•
•
•
B
A
•
•
•
Figur 4: En triangulering av en 6-kant.