Diskret matematikk – høsten 2015 – 1. obligatoriske oppgave

Comments

Transcription

Diskret matematikk – høsten 2015 – 1. obligatoriske oppgave
Diskret matematikk – høsten 2015 – 1. obligatoriske oppgave
Innleveringsfrist mandag 12. oktober kl. 15
Oppgaven kan løses enkeltvis eller i grupper på inntil fire studenter. Dere leverer da en
felles besvarelse. Oppgaven er en del av arbeidskravene i kurset og må bestås for å
kunne gå opp til eksamen. Navnene på de som står bak løsningen må stå ØVERST på
første side. Skriv fullt navnet og studentnummer. Besvarelsene blir rettet og
kommentert.
Løsningen kan enten sendes på mail, merket «1. Obligatoriske oppgave i DM», til
[email protected] eller leveres på papir til faglærer i pausen på en forelesning, eventuelt på
faglærers kontor PS433 (det vil stå en eske ved siden av kontordøren). Dere kan gjerne skrive
med penn eller blyant. Skriv slik at det er godt lesbart. Alle svarene skal begrunnes!
Oppgave 1.
a) Er ( (p q) p ) q en selvmotsigelse eller en tautologi eller ingen av delene?
b) Er ( p q) ( p r ) og p ( q r ) er logisk ekvivalente?
Bruk sannhetsverditabell eller en vis det på en annen måte.
Oppgave 2
La p og q være to utsagn:
p: « Det snør »
q: « Det er kaldt»
Skriv følgende utsagn ved hjelp av p, q og logiske operatorer:
a) Det snør bare hvis det er kaldt.
b) Det både snør og er kaldt.
c) Det verken snør eller er kaldt.
d) Det er kaldt hvis det ikke snør.
e) Det er oppholdsvær og varmt.
f) Det at det er kaldt er tilstrekkelig for at det snør.
g) Det er nødvendig at det er kaldt for at det skal snø.
Oppgave 3.
La P(x) og Q(x) være to utsagn der variabelen x står for en student i faget diskret matematikk:
P(x): « x har en Mac »
Q(x): « x har en iPad »
Skriv følgende utsagn ved hjelp av P(x), Q(x), kvantorer og logiske operatorer:
a) Det finnes en student som har både en Mac og en iPad.
b) Alle studenter har en Mac eller en iPad.
c) Det finnes en student som har en Mac, men ikke en iPad.
d) Hvis en student har en iPad, så har studenten også en Mac.
e) Det er ingen studenter som verken har Mac eller iPad.
Oppgave 4.
La m og n være hele tall. Avgjør for hvert av flg. utsagn om det er sant eller usant:
a) mn ( n2 m)
b) mn ( mn n)
c) nm ( n2 m )
d) mn ( n2 m < 100 )
Oppgave 5.
La m og n være hele tall med m 0 og la
P(m,n) stå for utsagnet «m går opp i n » .
Det at m går opp i n betyr at vi ikke får noen rest når n deles med m.
Avgjør for hvert av følgende utsagn om det er sant eller usant. Gi en begrunnelse i hvert
tilfelle.
a) P(4,5)
b) P(2,4)
c) mnP(m,n)
d) mnP(m,n)
e) nmP(m,n)
Oppgave 6.
La A, B og C være vilkårlige mengder.
a) Bestem følgende mengder ved hjelp av venndiagram:
i)
(A B) C
ii)
(A B) C
iii)
(A B) C
b) Bruk venndiagram til å avgjøre om (A B) C er det samme som A(B C) .
Oppgave 7.
La universalmengden U bestå av heltallene fra 1 til 8.
La så delmengdene A og B av U være gitt ved A = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7}.
Finn mengdene
Er noen av disse mengdene like?
Oppgave 8.
I en gruppe på 220 studenter er det 180 stykker som tar emnet Diskret matematikk, 166 som
tar Programmering og 178 som tar Webprosjekt. Det er 156 som tar både Diskret matematikk
og Programmering, 160 som tar både Diskret matematikk og Webprosjekt og 152 som tar
både Programmering og Webprosjekt. Det er 150 stykker som tar alle tre emnene.
a) Hvor mange er det som ikke tar noen av de tre emnene?
b) Hvor mange tar både Diskret matematikk og Programmering, men ikke Webprosjekt?
c) Hvor mange tar kun to emner?
d) Hvor mange tar kun ett emne?
Oppgave 9.
La A { 1 , 2 , 3 , 4 }, B { a , b , c , d } og C { x , y , z }.
La funksjonene f og g være gitt ved:
 f : AB der f (1) b f (2) a, f (3) d, f (4) c
 g : BC der g(a) y, g(b) x, g(c) z, g(d) x .
For hver av funksjonene skal følgende avgjøres:
1) Er funksjonen en-til-en?
2) Er funksjonen på?
Finn sammensetningen h g ○ f, dvs. finn h(1), h(2), h(3) og h(4) .
Har h en invers funksjon?
Oppgave 10
For følgende rekker skal du
 Avgjøre hva slags type rekke det er
 Finne det første leddet og generelle leddet


Finne indeksen N til siste ledd slik at rekken blir lik ∑𝑁
𝑛=0 an (det betyr at rekken har
N + 1 ledd)
Finne summen av rekken ved hjelp av en formel.