Det gylne snitt og Fibonacci

Det gylne snitt
og
Fibonacci-tallene
Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard
for Vitenfabrikken i Sandnes
Hvilket rektangel synes du er det peneste
og mest harmoniske?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nr
h/g
1
1,00
2
1,11
3
1,22
4
1, 41
5
1, 61
6
1,74
7
1, 86
8
2,00
9
2,12
10
2,32
Definisjon på det gylne snitt:
Dersom et linjestykke deles i to
slik at forholdet mellom
hele linjestykket og den lengste delen
er lik forholdet mellom
den lengste delen og den korteste delen,
da kalles delingen av linjestykket for
det gylne snitt.
a
b
a b

b c
c
Beregning av forholdstallet  :
b
a b b  c c 1

 
b
b
b c
c
 1



b
Vi setter  
c
   1  0
2
1 5

2
Dette gir til slutt:
eller

og får
som har to løsninger:
1 5
2
b 1 5
( 1,618)
 
c
2
Konstruksjon av det gylne snitt:
5
2
1
2
5 1

2 2
5 1

2 2
1
3
5

2 2
1
2
Hele stykket delt på den lengste delen:
1

5 1

2 2
2

5 1



2  5 1

5 1  5 1


2


5 1

5 1
5 1
2
Den lengste delen delt på den korteste delen:
5 1
2  5 1  5 1  3  5  3 5  3  5  5  2 5  2  5  1
4
2
95
3 5  3 5
3 5 3 5
2






Rundt oss er det mange forhold som
er tilnærmet lik det gylne snitt.
For et bankkort og for det svenske flagget er
forholdet mellom lengde og bredde tilnærmet
lik det gylne snitt:
Forholdet mellom lengde og bredde i
det norske flagget er 22/16 = 1,375
6
1 2 1
12
6
1
2
1
6
Her er forholdet altså ikke lik det gylne snitt.
Rundt oss er det mange forhold som
er tilnærmet lik det gylne snitt.
For en voksen person deler navlen tilnærmet
kroppshøyden i et forhold lik det gylne snitt:
Rundt oss er det mange forhold som
er tilnærmet lik det gylne snitt.
Det gylne snitt har ofte vært benyttet av
malere når de skal komponere bilder:
"Brudeferd i
Hardanger"
Hans Gude
"Nattverden"
Leonardo da Vinci
I eldre arkitekturfinner vi mange
eksempler på bruk av det gylne snitt:
Cheopspyramiden i Egypt:
 1,618
I eldre arkitekturfinner vi mange
eksempler på bruk av det gylne snitt:
Parthenon på Akropolis i Athen:
b
g
 1,618
h
a
 1,618
b
h
a
g
I eldre arkitekturfinner vi mange
eksempler på bruk av det gylne snitt:
Notre-Dame i Paris:
Å finne det gylne snitt kalles også ofte for
høydeling.
Forholdet
a b

b c
kan også skrives a:b=b:c
Derfor kalles b ofte for mellomproporsjonalen.
Konstruksjon av ti-kant og fem-kant
Dersom vi høydeler radien i
en sirkel, vil den lengste
delen være lik sidekanten i
den innskrevne 10-kanten.
R/2
R
Og ved å bruke annethvert
hjørne finner vi også den
innskrevne 5-kanten.
Gylne triangler
R
En likebeina trekant med
toppunkt i sentrum, og med
en av tikantsidene som
grunnlinje, kalles et
gyllent triangel
fordi forholdet mellom et av
beina og grunnlinjen blir lik
det gylne snitt.
Vinklene i et gyllent
triangel er 72o, 72o og 36o.
Med femkantsiden som grunnlinje kan vi også få et gyllent triangel.
Det pytagoreiske samfunn
Pentagrammet ble pytagoreernes
hemmelige tegn. Det består av
diagonalene i en regulær femkant.
Vi henter noen linjestykker
fra pentagrammet:
Dersom vi dividerer en av disse lengdene med
den påfølgende lengden, får vi det gylne snitt.
Gyllent rektangel
I et gyllent rektangel er forholdet mellom
den lengste og den korteste siden lik
det gylne snitt.
1
5
2
1
1
2
1
2
Fibonacci-tallene
Fibonacci-tallene er en tallrekke der hvert tall er lik
summen av de to foregående tallene:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 …
Leonardo av Pisa (1175-1250)
Kallenavnet Fibonacci kommer av
Figlio de Bonacci (sønn av Bonacci)
Forholdet mellom to påfølgende
Fibonacci-tall
(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...... )
2/1 = 2,00
3/2 = 1,50
5/3 = 1,67
8/5 = 1,60
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615
34/21 = 1,619
55/34 = 1,617
89/55 = 1,6182
144/89 = 1,6180
233/144 = 1,6181
Forholdet nærmer seg mot
det gylne snitt! (1,618)
Ved å sette sammen kvadrater med sider lik
Fibonacci-tallene, får vi rektangler som etter
hvert nærmer seg et gyllent rektangel:
3
3
2
2
1
1
5/3
8/5
13/8
21/13
34/21
3/2===1,60
1,67
=1,50
1,625
1,615
1,619
Ved hjelp av rutenettet kan vi tegne en
tilnærmet logaritmisk vekstspiral.
En matematisk
logaritmisk spiral
ville sett nesten
likedan ut:
Denne trappen på Abel-loftet er laget som en
spiral med Fibonacci-tall:
Det er mye
matematikk
i naturen ….
Nautilus-skjell
Kongle
Vi ser at konglens skjell danner spiraler:
8
13
Hos solsikken ser vi tydelige spiraler
55
21
34
Den gylne vinkelen
Den gylne vinkelen v finner vi når vi deler
360o i to, slik at forholdet mellom
eksplementvinkelen (360o – v) og v blir lik
det gylne snitt:
360  v 
v
v
 1,618
360  v  1,618v
360  2,618v
v = 137,5o
360o - v
Vinkelen mellom hvert nytt blad er ca 137o
Hos solsikken vil hvert nytt frø som vokser ut danne
en vinkel på ca 137,5o med det foregående frøet:
7
4
2
5
1
6
3
Modellforsøk der en datamaskin plasserer en stor
mengde ”frø” viser følgende:
Det er vinkelen 137,5o mellom hvert nytt ”frø” som
gir maksimal pakking av ”frøene” på solsikken.
Selv små avvik i vinkelen gir mindre tett pakking,
og medfører at spiralene bare går i en av retningene.
Bienes stamtavle
Dronningen er av hunkjønn ♀, og den eneste
som legger egg.
Dronen er en han ♂ som kommer fra et
ubefruktet egg, og har altså bare mor.
Arbeidere er hun-bier som kommer fra befruktede
egg. De har både mor og far.
Dronens stamtavle
♂
1 drone
1 mor
♀
2 besteforeldre
♂
3 oldeforeldre
♀
5
♂
♀
♂
♀
♀
♀
♂
♀
Dronens stamtavle
♂
1 drone
1 mor
♀
2 besteforeldre
♂
3 oldeforeldre
♀
5
8
♂
♀
♀
♂
♂
♀
♀
♂
♀
♀
♂
♀
♀
♀
♂
♀
Dronens stamtavle
♂
1 drone
1 mor
♀
2 besteforeldre
♂
3 oldeforeldre
♀
5
♂
8
13
osv...
♀
♂
♀
♂
♀
♂
♀
♀
♂
♀
♀
♀
♂
♀
♀
♂
♀
♀
♂
♀
♂ ♀
♂ ♀
♀
♀
♂
♀
Arbeiderens stamtavle
♂
1
1 arbeider
♀
2 foreldre
♂
3 besteforeldre
♀
5
♂
8
13
osv...
♀
♂
♀
♂
♀
♂
♀
♀
♂
♀
♀
♀
♂
♀
♀
♂
♀
♀
♂
♀
♂ ♀
♂ ♀
♀
♀
♂
♀
Fibonacci og biene sier takk for seg…
Slutt !