fasit

FYS-MEK 1110 / Vår 2016 / Ukesoppgaver #2 (1.-5.2.)
1. Diskusjonsspørsmål: En bil trekker en tilhenger med en viss kraft, og etter Newtons
tredje lov trekker tilhengeren tilbake på bilen med den samme kraften. Hvorfor
forblir tilhengeren ikke i ro?
Vi ser på tilhengeren: Hvis kraften fra bilen er større enn luftmotstand og
friksjonskrefter beveger tilhengeren seg fremover. Vi ser på bilen: Bilen trenger en
drivende kraft (friksjonskraft mellom drivhjulene og veien) som er større enn kraften
fra tilhengeren for å bevege seg fremover. Vi ser på bilen og tilhengeren sammen:
Krefter mellom bil og tilhenger er indre krefter som hever seg bort. Begge sammen
beveger seg fremover på grunn av drivkraften.
2. Tre legemer på en friksjonsfri flate er forbundet med vektløse snorer som vist i
figuren. Den fremste klossen dras med en kraft F slik at akselerasjonen blir
a = 2 m/s2. Massene til klossene er ma = 2 kg, mb = 1 kg, mc = 2 kg. Vi antar at all
friksjon kan neglisjeres. Finn kraften F og snordragene 𝑇𝑎𝑏 og 𝑇𝑏𝑐 snorene som
forbinder klossene.
Alle tre klosser beveger seg med samme akselerasjon. Først ser vi på systemet som
består av alle tre klosser. Snordragene er i så fall indre krefter og den eneste ytre
kraft er 𝐹.
𝐹 = (𝑚𝑎 + 𝑚𝑏 + 𝑚𝑐 )𝑎 = 5 kg ∙ 2 m/𝑠 2 = 10 N
Nå ser vi på systemet som består av klosser b og c. Den eneste ytre kraften som
virker på systemet er 𝑇𝑎𝑏 , snordraget 𝑇𝑏𝑐 er en indre kraft.
𝑇𝑎𝑏 = (𝑚𝑏 + 𝑚𝑐 )𝑎 = 3 kg ∙ 2 m/𝑠 2 = 6 N
Til slutt ser vi på kloss c. Den eneste kraft som virker er 𝑇𝑏𝑐 .
𝑇𝑏𝑐 = 𝑚𝑐 𝑎 = 2 kg ∙ 2 m/𝑠 2 = 4 N
3. Ole, som har masse 𝑚 = 70 kg, hopper fra taket i en haug med snø. Han starter fra
en høyde 𝑥0 = 5 m over snøen og han stopper 1m dypt ned i haugen. Hva er kraften
som virker på Ole? Du kan se bort fra luftmotstanden og anta at kraften fra snøen på
Ole er konstant.
I luften: ∑ 𝐹 = −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑎  𝑎𝑎 = −𝑔
I snøen: ∑ 𝐹 = −𝑚𝑔 + 𝑚𝑎snø = 𝑚𝑎𝑏
 𝑎𝑏 = 𝑎snø − 𝑔
I ukesoppgave #1/5 fant vi at for konstant akselerasjon:
2𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑣 2 − 𝑣02
Vi har 𝑣0 = 𝑣2 = 0
I luften: −2𝑔(𝑥1 − 𝑥0 ) = 2𝑔𝑥0 = 𝑣12
I snøen: 2(𝑎snø − 𝑔)(𝑥2 − 𝑥1 ) = 𝑣22 − 𝑣12
2(𝑎snø − 𝑔)𝑥2 = −𝑣12 = −2𝑔𝑥0
𝑥0
(𝑎snø − 𝑔) = −𝑔 = 5𝑔
𝑥2
𝑎snø = 6𝑔
Kraften fra snøen på Ole er: 𝐹snø = 6𝑚𝑔 = 4120 N
4. En mann på 70 kg står på en vekt i en heis som beveger seg oppover. Snordraget er
𝑇 = 8260 N. Den totale massen av heis, mann og vekt er 700 kg. Hvilken verdi
avleser mannen på vekten (i kg)?
Vi finner først akselerasjon til heisen ved bruk av Newtons andre lov:
∑ 𝐹 = 𝑇 − 𝑀𝑔 = 𝑀𝑎
𝑇
8260 N
−𝑔 =
− 9.8 m/s 2 = 2 m/s2
𝑀
700 kg
Nå ser vi på bevegelsen til mannen. Det virker gravitasjon og en normalkraft fra
vekten. N2L:
𝑎=
∑ 𝐹 = 𝑁 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎
𝑁 = 𝑚(𝑎 + 𝑔) = 70 kg ∙ 11.8 m/s2 = 826 N
Vekten er kalibrert for å vise massen uten akselerasjon, dvs. for 𝑁 = 𝑚𝑔
Vekten viser: 𝑚 =
𝑁
𝑔
826 N
= 9.8 m/𝑠2 = 84.2 kg
5. (noe vanskeligere). Loddene med masse
m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, og m3 = 3 kg kan
bevege seg friksjonsfritt ved vektløse
snorer og trinser som vist på figuren. Finn
snordragene og akselerasjonene til
loddene. Tipp: Bruk Newtons andre lov for
hver lodd og for den bevegelige trinsen. I
tillegg bruk at endene til snoren har
samme akselerasjon, men motsatt
fortegn, for begge trinser.
Vi har 6 ukjente størrelser: akselerasjonen til de tre massene, akselerasjonen til den
bevegelige trinsen og de to snordragene (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎𝑡 , 𝑆1 , 𝑆2). For å kunne bestemme disse 6
størrelsene trenger vi 6 likninger. De 3 første finner vi ved å skrive opp bevegelseslikningene
til de tre massene:
𝑆1 − 𝑚1 𝑔 = 𝑚1 𝑎1
𝑆2 − 𝑚2 𝑔 = 𝑚2 𝑎2
𝑆2 − 𝑚3 𝑔 = 𝑚3 𝑎3
Den masseløse trinsa sin bevegelseslikning er: 𝑆1 − 2𝑆2 = 0
Siden 𝑚1 og den bevegelige trinsen henger i samme tråd vil de ha like stor, men motsatt
rettet akselerasjon: 𝑎𝑡 = −𝑎1
Siden tråden som binder sammen 𝑚2 og 𝑚3 har en fast lengde, vil summen av (𝑦2 − 𝑦𝑡 ) og
(𝑦3 − 𝑦𝑡 ) være konstant: (𝑦2 − 𝑦𝑡 ) + (𝑦3 − 𝑦𝑡 ) = 𝑙
Deriverer vi likningen to ganger får vi: (𝑎2 − 𝑎𝑡 ) + (𝑎3 − 𝑎𝑡 ) = 0
Vi erstatter 𝑎𝑡 : 𝑎2 + 𝑎3 + 2𝑎1 = 0
Vi setter inn akselerasjonene fra N2L og får:
𝑆2
𝑆2
2𝑆2
−𝑔+
− 𝑔 + 2(
− 𝑔) = 0
𝑚2
𝑚3
𝑚1
𝑆2 =
4𝑔𝑚1 𝑚2 𝑚3
= 8.1 N
𝑚1 𝑚3 + 𝑚1 𝑚2 + 4𝑚2 𝑚3
𝑆1 = 2𝑆2 = 16.2 N
𝑎1 =
𝑎2 =
𝑆1
− 𝑔 = 6.4 m/s2
𝑚1
𝑆2
− 𝑔 = −5.75 m/s2
𝑚2
𝑎3 =
𝑆2
− 𝑔 = −7.1 m/s2
𝑚3