Oppgave 1 - Universitetet i Bergen

UNIVERSITETET I BERGEN
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
Innleveringsfrist: Mandag 21. november 2016, kl. 14,
i Infosenterskranken i inngangsetasjen på Realfagbygget.
Husk obligatorisk forside!
Oppgavesettet er på 6 sider (med oppgavene 1-8) og består av 30 deloppgaver som
alle teller likt ved sensurering.
Les nøye gjennom oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal
være korte. Det må være med nok mellomregning til at fremgangsmåten fremgår
tydelig av besvarelsen.
Direkte avskrift fra hverandre er ikke tillatt. Men det er fullt mulig og
sterkt anbefalt å diskutere oppgavene.
Oppgave 1
(a) En speilprodusent planlegger å starte produksjonen av en ny serie. De nye
speilene skal ha et areal på 1m2 og være formet som et rektangel med en
halvsirkel i høyre og venstre ende (se figur). Rundt hele speilet skal det være
en ramme, og den krumme delen av rammen er dobbelt så dyr per centimeter
som den rette delen. Hvor stor må radius i halvsirklene være for at rammen
skal bli så billig som mulig å produsere?
(b) Et fly beveger seg i rettlinjet bevegelse fra kontrolltårnet. Ved et visst tidspunkt er flyet 200 km fra tårnet og flyr med hastighet 800 km/h fra tårnet
og med positiv akselerasjon 20 km/h2 . Flytypen er dessuten slik at den maksimale endringen i akselerasjon som kan oppnås til enhver tid er ±120 km/h3 .
La f (t) være avstanden fra kontrolltårnet, målt i kilometer, ved tid t etter
dette tidspunktet. Forklar hvorfor
200 + 800t + 10t2 − 20t3 ≤ f (t) ≤ 200 + 800t + 10t2 + 20t3 .
(Hint: Taylor)
1
2
Oppgave
2
√
(a) Bruk Taylorpolynomet
√ til f (x) = x av grad 2 om punktet 100 til å finne en
tilnærmet verdi for 101. Skriv svaret som en brøk.
(b) Gi et overslag over nøyaktigheten av verdien du fant i (a). Skriv svaret igjen
som en brøk.
(c) Begrunn spesielt – uten bruk av kalkulator– om den tilnærmede verdien
√ du
fant i (a) er for stor eller for liten i forhold til den virkelige verdien
til 101.
√
(d) Finn en formel for den n’te deriverte til funksjonen f (x) = x. Formelen
skal bevises, f.eks. ved induksjon.
(e) Hvor stor bør n være√for at Taylorpolynomet av orden n om 100 skal gi en
tilnærmet verdi for 101 med en feil som er mindre (i absoluttverdi) enn
10−10 ?
(f) En gammel metode (fra tiden før man hadde kalkulatorer) for å finne en
tilnærmet verdi for kvadratroten til et tall x, er som følger: Finn det største
hele tallet y slik at y 2 ≤ x. Da er
√
y
x
x≈ + .
2 2y
Forklar denne tilnærmingen ved hjelp av Taylorpolynomer og vis at feilen F
i denne tilnærmingen tilfredsstiller:
(x − y 2 )2
−
≤ F ≤ 0.
8y 3
Oppgave 3
La f være definert ved
Z
f (x) =
x2
e− sin t dt, x ∈ R.
1
(a) Avgjør hvor f er voksende og hvor f er avtagende.
(b) Finn grensen
f (x)
lim
,
x→1 ln x
eventuelt begrunn at den ikke eksisterer eller er ∞ eller −∞.
3
Oppgave 4
Finn de ubestemte integralene i (a)-(c)√nedendunder ved å bruke passende substitusjoner (f.eks. på formen u = 1/x, u = x, u = ln x i en eller annen rekkefølge).
(a)
Z
dx
√
x+ x
(b)
Z
1
dx.
x(1 + (ln x)2 )
(c)
Z
1
1
cos
dx.
x2
x
Oppgave 5
(a) Bestem arealet avgrenset av kurvene x = −y, x = 2 − y 2 og x-aksen, som vist
i figuren nedendunder.
(b) Beregn det bestemte integralet
Z 1
x5 − 6x9 +
−1
sin x dx
(1 + x4 )2
på (under) ti sekunder.
2
(c) Et areal er begrenset av grafen til funksjonen f (x) = e−x , x-aksen og de to
rette linjene x = a og x = 3a, hvor a > 0. Finn et uttrykk for arealet uttrykt ved a
og bestem verdien av a som gjør arealet størst mulig. (Hint: ikke forsøk å finne en
antiderivert til f )
(d) Arbeidet A en konstant kraft K utfører over en avstand s er definert i fysikk til
å være A = K · s (“arbeid er lik kraft ganger vei”), når kraften peker i samme retning
som bevegelsen. Dersom kraften varierer som funksjon av s, skriver vi kraften som
4
funksjon K(s), og arbeidet utført av kraften mellom punktene s = a og s = b er
definert til å være
Z b
K(s) ds.
A=
a
En kloss dras bortover gulvet ved hjelp av et tau som går gjennom en trinse 1m over
bakken (se figur). Kraften K fra tauet på klossen er konstant lik 10N (kraft måles i
enheten N , som står for “Newton”), men det er bare den horisontale komponenten
av kraften som utfører arbeid.
Vis at den horisontale komponenten av kraften når klossen er som på figuren har
størrelse
10x
√
1 + x2
og bruk dette til å beregne arbeidet som må til for å flytte klossen fra punktet x = 10
til punktet x = 2.
Oppgave 6
(a) Finn det ubestemte integralet
Z
√
arctan x dx
(b) Løs startverdiproblemet
y 0 = yx3 cos(x2 ), y(0) = 1
(c) Løs differensialligningen
xy 0 = √
x2
+y
1 − x2
og angi for hvilke x løsningen gjelder. Finn deretter løsningen som oppfyller y(1) = π.
5
(d) Finn alle funksjonene f som for x > 0 oppfyller
Z
1 x
2
f (t) dt.
[f (x)] =
x 1
Oppgave 7
Newtons avkjølingslov, som vi allerede møtte på i obligatorisk innlevering 2, sier
at en gjenstand avkjøles eller oppvarmes med en hastighet som er proporsjonal med
differansen mellom omgivelsenes temperatur og gjenstandens temperatur.
Ved tiden t = 0 er temperaturen i et rom 0◦ C. Rommet varmes opp med en jevn
rate av 3◦ C i timen. La T (t) være temperaturen til en gjenstand i rommet etter t
timer.
(a) Forklar kort hvorfor
T 0 (t) + kT (t) = 3kt
for en konstant k > 0.
(b) Anta at T (0) = 0. Finn temperaturen til gjenstanden T (t), uttrykt ved k.
(c) Etter én time er temperaturen til gjenstanden nøyaktig 2◦ C. Begrunn at dette
entydig bestemmer konstanten k.
(d) Bruk Netwons metode eller fikspunktiterasjon med en passende valgt funksjon
og et passende valgt startpunkt tilå bestemme k med to desimalers nøyaktighet.
Det er ikke nødvendig å føre inn alle beregninger, men besvarelsen må inneholde:
– hvilken metode som er valgt, hvilken funksjon den brukes på, og den resulterende iterasjonsformelen, hvor det klart kommer frem hvilken startverdi
x0 som er brukt, og hvordan x1 er beregnet;
– en matematisk begrunnelse på at to desimalers nøyaktighet er oppnådd.
Oppgave 8
(a) En kjegleformet vanntank (med spissen vendt oppover) med radius 1 meter
og høyde 3 meter tømmes for vann. Vis at når vannhøyden er h meter, der
0 ≤ h ≤ 3, er volumet av vann i tanken gitt ved
h2 h3
V (h) = π h −
+
.
3
27
(b) Når vannhøyden i tanken er 2 meter, tømmes tanken med en fart på 12 kubikkmeter i minuttet. Hvor fort avtar vanndybden ved dette tidspunktet?
6
(c) Tømmingen av beholderen skjer gjennom en åpning i bunnen. Torricellis
lov impliserer at volumendringen av vann per tidsenhet til enhver tid er proporsjonal med kvadratroten av vanndybden i tanken. Bruk (a) og (b) til å
vise at vanndybden h tilfredsstiller differensialligningen
√
1
2√
1 3/2 dh
−2 2π √ −
= 1.
h+ h
9
dt
h 3
(d) Finn den generelle løsningen til differensialligningen i (c) uttrykt implisitt ved
h og t.
(e) Hvis tanken er full idet tømmingen starter, hvor lang tid tar det før tanken
er tom?
LYKKE TIL!
Andreas Leopold Knutsen