Ajankohtaista matemaattisten aineiden opetuksen ja oppimisen

Teoksessa tarkastellaan ajankohtaisia
matemaattisten aineiden opetuksen ja
oppimisen tutkimuksia.
Artikkelit pohjautuvat Matematiikan
ja luonnontieteiden opetuksen
tutkimuspäivillä Joensuussa
22.-23.10.2009 pidettyihin esitelmiin.
Publications of the University of Eastern Finland
Reports and Studies in Education, Humanities, and Theology
issn 1798-5641
isbn 978-952-61-0265-8
reports and studies | No 1 | Asikainen et al. (toim.) | Ajankohtaista matemaattisten aineiden opetuksen ja oppimisen tutkimuksessa
Mervi Asikainen,
Pekka E. Hirvonen ja
Kari Sormunen (toim.)
Ajankohtaista
matemaattisten aineiden
opetuksen ja oppimisen
tutkimuksessa
Mervi Asikainen, Pekka E. Hirvonen ja
Kari Sormunen (toim.)
Ajankohtaista matemaattisten
aineiden opetuksen ja oppimisen
tutkimuksessa
Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen
tutkimuspäivät Joensuussa 22.-23.10.2009
Publications of the University of Eastern Finland
Reports and Studies in Education, Humanities, and Theology
MERVI ASIKAINEN, PEKKA E. HIRVONEN JA KARI SORMUNEN (TOIM.)
Ajankohtaista
matemaattistenaineiden
opetuksenjaoppimisen
tutkimuksessa
Matematiikanjaluonnontieteidenopetuksen
tutkimuspäivätJoensuussa
22.23.10.2009
PublicationsoftheUniversityofEasternFinland
ReportsandStudiesinEducation,Humanities,andTheology
1
UniversityofEasternFinland
Joensuu
2010
Kopijyvä
Joensuu,2010
Sarjanvastaavatoimittaja:JopiNyman
Myynti:ItäSuomenyliopistonkirjasto
ISSN17985641(sid.)
ISSNL:17985641
ISBN9789526102658(sid.)
Esipuhe
MatematiikanjaluonnontieteidenopetuksentutkimuspäivätjärjestettiinJoensuussa22.–
23.10.2009. Päiville osallistui 60 alan tutkijaa ja opettajaa. Tutkimuspäivien kutsupuhu
jiksi saatiin nimekkäitä tutkimusmetodologian ja opetuksen ja oppimisen tutkimuksen
uranuurtajia. Professori emeritus FerenceMarton Göteborgin yliopistosta kertoi monivi
vahteisesti, kuinka hänestä tuli oppimisen ja opetuksen tutkija ja millaiset taustatekijät
vaikuttivat fenomenografian muotoutumiseen. Vastaavasti professori David Meltzer
Arizonanyliopistostaesittikonkreettisenesimerkintutkimuksenhyödyntämisestäuusi
en fysiikan opetuskäytänteiden ja materiaalien kehittämissä. Dosentti George Malaty
Joensuun yliopistosta puolestaan tarkasteli matematiikan opetuksen sisältöjä eri vuosi
kymmeninäjasuhteuttioppilaidenosaamistajaosaamisenmittaamistaajatuksiaherät
tävällätavallatoisiinsa.Yhteensäteemaryhmissäkuultiin34korkeatasoistaesitelmää.
Päivilleosallistuneitaesitelmöitsijöitäpyydettiinkirjoittamaanartikkelitutkimuspäi
vienkokoomateokseen,jamääräaikaanmennessäsaimmekaikkiaankymmenenkäsikir
joitusta. Olemme ryhmitelleet käsikirjoitukset tieteellisen vertaisarvioinnin jälkeen nel
jäänosaan.Kirjanensimmäinenosatarkasteleematematiikanyleissivistävääopetusta,ja
toisenosanmuodostavatmatematiikanaineenopettajaopiskelijoidenjaluokanopettajien
matematiikan osaamista käsittelevät artikkelit. Kirjan kolmas osa keskittyy luonnontie
teiden ja fysiikanopettajan opettajan tiedon tutkimukseen, ja neljäs eli viimeinen osa
käsitteleeteknologiankäyttöäyliopistoopetuksessa.
Osan I ensimmäisessä artikkelissa JormaJoutsenlahti tarkastelee matematiikan kirjal
lista kielentämistä lukiomatematiikassa. Joutsenlahti esittelee lukiossa toteutetun ope
tuskokeilunsiihenliittyvinetutkimuksineen.Tulostenmukaankirjallinenkielentäminen
auttoi opiskelijoita oman ajattelun jäsentämisessä, selkeytti ratkaisun esittämistä muille
jahelpottiopettajanarviointityötä.
Syitä lukiolaisten negatiivisten matematiikkaasenteiden taustalla selvittää AnnSofi
RöjLindberg. Artikkelissaan hän kuvailee sellaisia lukion matematiikan opetuksen käy
tänteitä, jotka voivat saada hyvin opinnoissaan menestyvät lukiolaisten suhtautumaan
kielteisestimatematiikkaan.ArtikkelinlopussaRöjLindbergraportoieräästämatematii
kan lukioopetuksen uudistustyöstä ja sen positiivisesta vaikutuksesta kolmen tutki
mukseenosallistuneenlukiolaisenmatematiikkanäkemystenkautta.
Matematiikan opetusta yleissivistävässä opetuksessa tarkastelevan osan päättää
Salme Sulosen peruskoulun geometrian opetusta käsittelevä artikkeli. Artikkelissaan
Sulonenkuvaakuinkageometrianoppisisältöonvaihdellutmatematiikanoppikirjoissa
tutkittuinavuosikymmeninäjamillaisiapainotuksiaharjoitustehtävissäonnähtävissä.
Matematiikan opettajaopiskelijoiden ja luokanopettajien osaamista käsittelevän toi
senosanaluksiMarkusHähkiöniemijaHenryLeppäahoesittelevättutkimuksensaopettaja
opiskelijoidenvalmiuksistaohjatalukiolaisiaGeoGebraavusteisissatutkimustehtävissä.
Aineisto kerättiin testillä, joka sisälsi hypoteettisia tilanteita, joissa lukiolainen esittää
vastauksensa opettajalle. Tulosten mukaan opettajaopiskelijat huomasivat hyvin ratkai
iii
sujenepäkohdat,muttalukiolaistenaktivointitehtäväntutkimisessajasyvällisemmässä
tarkastelussatuottiopiskelijoillevaikeuksia.
VariaatioteoriaajaLearningStudymallinsoveltamistaylempienkouluasteidenma
tematiikan opetuksessa tarkastelevat Iiris Attorps, Kjell Björk, Mirco Radic ja Timo
Tossavainen. Artikkelissaan he esittelevät ruotsalaisessa yliopistossa toteutetun opetus
kokeilun,jossamäärättyäintegraaliaopetettiintulevilleinsinööreillejaopettajille.Tulos
ten mukaan tiettyjä määrätyn integraalin aspekteja voidaan opettaa Learning Study mallinavulla.ToisenosanpäättääAnttiViholainentarkastelemallasuomalaistenmatema
tiikanopettajaopiskelijoiden kykyä tuottaa informaaleja ja formaaleja argumentteja sekä
opiskelijoidentaipumustavalitainformaalinjaformaalinpäättelynvälilläongelmanrat
kaisutilanteissa. Tulokset osoittavat muun muassa, että opiskelijoiden informaalin ja
formaalinargumentoinninosaamineneivätriiputoisistaan.
OpettajantietoatarkastelevanOsanIIIaloittaaPavineeSothayapetchjaJariLavonenku
vaamallathaimaalaistenluonnontieteidenopettajienyleistäpedagogistatietoatarkaste
levan tutkimuksen. Tutkimuksessa haastateltiin kahta vuosiluokkien 5 ja 6 opettajaa.
Tulosten mukaan opettajien luonnontieteiden opetukseen liittyvät näkökulmat olivat
hyvin samankaltaisia. JohannaJauhiainen,JariLavonenjaIsmoT.Koponen puolestaan ker
tovatlukionfysiikanopettajienkokeellisuuteenliittyvistäuskomuksista.Tutkimustoteu
tettiintäydennyskoulutukseenosallistuvienopettajienparissa,jasenfysiikankonteksti
na oli Newtonin mekaniikka. Tulosten mukaan koulutus muutti joidenkin opettajien
näkemystäkokeellisestafysiikanopetuksestamyönteisemmäksi,muttaosaopettajistaei
nähnytkokeellistaopetustahyödylliseksiNewtoninmekaniikanyhteydessä.
Kirjan neljännessä eli viimeisessä osassa käsitellään teknologian käyttöä yliopisto
opetuksessa. Veijo Meisalo, Jari Lavonen, Kari Sormunen ja Mikko Vesisenaho esittelevät
tutkimuksen, jossa selvitettiin tieto ja viestintäteknologian käyttöä opettajankoulutuk
sessa.TähänOECD/CERItutkimukseenosallistuivatSuomestaItäSuomenjaHelsingin
yliopistot. Tutkijat suosittelevat tieto ja viestintätekniikan opetuskäytön tavoitteiden
uudelleenmäärittelyä aiempaa konkreettisemmiksi ja tavoitteiden toteutumisen seuraa
mista systemaattisesti. Osan IV päättää Doris Dubrovskayan artikkeli, jossa kuvaillaan
fysiikan ja matematiikan opiskelijoille suunnattua numeeristen menetelmien kurssia
varten laaditun tietokonepohjaisen opiskelijanoppaan kehitystyötä Karjalan tasavallan
pedagogisessayliopistossa.
Haluamme kiittää seuraavia tutkimuspäiviä tukeneita tahoja: Opetus ja kulttuuri
ministeriö (pääesiintyjien matkakustannukset ja kokoomateoksen painatus), Joensuun
normaalikoulu(tilat),fysiikanjamatematiikanlaitosjasoveltavankasvatustieteenoppi
aine (kahvitarjoilut) ja ISVet Oy (iltatilaisuuden tukeminen). Suuret kiitokset kuuluvat
myös tutkimuspäivien järjestelytyöryhmän jäsenille Pekka E. Hirvoselle (pj.), Martti
Pesoselle, Heikki Saarelle, Kari Sormuselle ja Pertti Väisäselle sekä kaikille vertaisarvi
ointiinosallistuneilleasiantuntijoille.
Joensuussa29.11.2010
MerviAsikainen,PekkaE.HirvonenjaKariSormunen
iv
Kirjoittajat
IirisAttorps1,KjellBjörk1,MirkoRadic1andTimoTossavainen2
1
DepartmentofElectronics,MathematicsandNaturalSciences,UniversityofGävle,Sweden
2
SchoolofAppliedEducationalScienceandTeacherEducation,UniversityofEasternFinland,
Finland
DorisDubrovskaya
KarelianStatePedagogicalAcademy,Russia
MarkusHähkiöniemijaHenryLeppäaho
Opettajankoulutuslaitos,Jyväskylänyliopisto
JohannaJauhiainen1,JariLavonen1jaIsmoT.Koponen2
¹Opettajankoulutuslaitos,Helsinginyliopisto
²Fysiikanlaitos,Helsinginyliopisto
JormaJoutsenlahti
Tampereenyliopistonopettajankoulutuslaitos,Hämeenlinna
VeijoMeisalo1,JariLavonen1,KariSormunen2jaMikkoVesisenaho2
1
Opettajankoulutuslaitos, Helsingin yliopisto
2
Soveltavankasvatustieteenjaopettajankoulutuksenosasto,ItäSuomenyliopisto
AnnSofiRöjLindberg
Pedagogiskafakulteten,ÅboAkademiiVasa
PavineeSothayapetchjaJariLavonen
Opettajankoulutuslaitos,Helsinginyliopisto
SalmeSulonen
Jyväskylänyliopisto
AnttiViholainen
UmeåMathematicsEducationResearchCenter,UmeåUniversity,Sweden
v
Sisältö
Esipuhe................................................................................................................................................iii
Kirjoittajat..........................................................................................................................................v
OSAI
JormaJoutsenlahti
Matematiikankirjallinenkielentäminenlukiomatematiikassa....................................................3
AnnSofiRöjLindberg
Varförvänderframgångsrikahögstadieeleverryggen
tillmatematiskapraktiker?...............................................................................................................17
SalmeSulonen
Peruskoulungeometrianopetus1970luvulta2000luvulle
Geometriansisältöjentarkasteluaoppikirjoissa............................................................................39
OSAII
MarkusHähkiöniemijaHenryLeppäaho
Matematiikanaineenopettajaksiopiskelevienvalmiudetohjataopiskelijoita
GeoGebraavusteisissatutkimustehtävissä....................................................................................59
IirisAttorps,KjellBjörk,MirkoRadicandTimoTossavainen
Thelearningstudymodelandtheteachingofthedefiniteintegralconcept.............................77
AnttiViholainen
Finnishmathematicsteacherstudentsskillsandtendenciestouseinfromal
andformalreasoninginthecaseofderivative..............................................................................87
OSAIII
PavineeSothayapetchjaJariLavonen
InvestigatingThaiteachersgeneralpedagogicalknowledge
inscienceteaching.............................................................................................................................105
JohannaJauhiainen,JariLavonenjaIsmoT.Koponen
Uppersecondaryschoolteachers’beliefsaboutexperimentsinteaching
Newtonianmechanics:Qualitativeanalysisoftheeffectsof
alongterminservicetrainingprogram.........................................................................................121
vii
OSAIV
VeijoMeisalo,JariLavonen,KariSormunenandMikkoVesisenaho
FinnishcontributiontoaglobalsurveyonICT
ininitialteachertraining...................................................................................................................137
DorisDubrovskaya
ComputerstudentsmanualtoNumericalMethodscourse:
designing,development,application..............................................................................................157
viii
OsaI
Matematiikankirjallinenkielentäminen
lukiomatematiikassa
JormaJoutsenlahti
TIIVISTELMÄ
Kuvaan tässä artikkelissa keväällä 2009 kahdessa lukiossa tehdyn opetuskokeilun ja
siihen liittyvän tutkimuksen tuloksia. Lukion 1. vuosikurssin opiskelijoille opetettiin
tehtävän ratkaisun esittäminen neljän kirjallisen kielentämisen mallin avulla: ”standar
di”,”kertomus”,”tiekartta”ja”päiväkirja”mallinavulla.Kyselylomakkeella,jossaon
väittämiä ja avoimia kysymyksiä tutkittiin miten opiskelijat kokivat opetuskokeilun ja
erityisestikirjallisenkielentämisen.Lisäksiaineistoonkuuluvatopiskelijoidenkirjallisia
tehtävien kielennyksiä ja kurssiarvosanat. Väitteet ryhmiteltiin sisällön perusteella ja
niitätarkasteltiinsenmukaan,olivatkoopiskelijatsamaavaierimieltä.Erikseentarkas
teltiintyttöjenjapoikienvastausjakaumia.Avoimienkysymystenvastauksetluokiteltiin
viiteenluokkaanvastaustensisällönperusteella.Portfolioontehtyjenkielennystehtävien
pistejakaumatjakurssiarvosanatmuodostavatarvioinnintuomannäkökulman.Opiske
lijoidenvastauksistanouseeesille,ettäkirjallinenkielentäminenauttaaopiskelijanoman
ajattelunjäsentymistä,selkeyttääratkaisunmuilleesittämistäjahelpottaaopettajanarvi
ointityötä. Opiskelijoiden tekemistä tehtävistä löytyi uusi kielentämismalli, joka nimet
tiin ”kommentti”malliksi. Opiskelijoiden mielestä kirjallisen kielentämisen malleja pi
täisiopettaasystemaattisestikoulussa.
Avainsanat:matematiikka,kielentäminen,matemaattinenajattelu,sanallisettehtävät
1 JOHDANTO
Matematiikan ylioppilaskirjoituksissa abiturienttien toivotaan esittävän ratkaisunsa
tehtäviinsiten,ettälukijaymmärtääratkaisijanajatteluprosessin.Tämäsaattaaedellyttää
ratkaisussa matematiikan kielen lisäksi kuvioiden ja luonnollisen kielen tarkoituksen
mukaista käyttöä. Ylioppilastutkintolautakunta ohjeistaa kokelaita seuraa
vasti: ”…suositeltavia ovat standardoidut ja oppikirjoissa esiintyvät loogiset merkit, samoin
ainakin muutaman sanan mittaiset selitykset tai perustelut sekä piirrokset ja näihin perustuvat
huomautukset.”(Ylioppilastutkintolautakunta2006,4).Kokelaallaoletetaanolevanriittä
vät valmiudet itsensä monipuoliseen ilmaisemiseen myös matematiikan kokeessa. Ma
tematiikan lukioopiskelussa voidaan pitää tavoitteena, että opiskelijat osaavat ilmaista
matemaattista ajatteluaan monipuolisesti ja selkeästi myös kirjallisessa työskentelyssä
3
(vrt. Lukion opetussuunnitelman perusteet 2003, 107). Mutta miten hän saa nämä val
miudetopinnoissaan?
Peruskoulunmatematiikanoppikirjatohjaavatoppilaitayhdenmukaiseensanallisten
tehtävien ratkaisumalliin (ks. lisää oppikirjatutkimuksesta Joutsenlahti & Vainionpää
2007).Tehtävienratkaisumuodostuulausekkeesta,laskutoimituksista,tuloksenmielek
kyyden pohtimisesta ja lopuksi vastauksen kirjoittamisesta (Joutsenlahti 2009). Perus
opetuksen matematiikan oppikirjat eivät näytä malleja muunlaisista tavoista ratkaista
sanallisia tehtäviä eivätkä rohkaise käyttämään kuvioita eivätkä luonnollista kieltä rat
kaisujenesittämisessä(mt.).Sensijaanlukionmatematiikankirjoissatehtäväesimerkeis
säonkäytettymonipuolisestikieliä(matematiikankieltä,luonnollistakieltäjakuviokiel
tä) (mt.). Lukion opiskelijan pitäisi oppia nopeasti uusia tapoja ilmaista ratkaisunsa sa
nallisiintehtäviinjasevaatisimielestäniohjattuaopetustavartavastenkyseisentaidon
oppimistavarten.
Useissatutkimuksissa(mm.Niemi2008,Kupari&Törnroos2005,Joutsenlahti2005)
on todettu tytöillä olevan uskomus itsestään huonona matematiikan taitajana, vaikka
heidänsuorituksensamatematiikantesteissäeivätolisihuonoja.Tutkimustulosten(Kor
keakoski2001,Lappalainen2008)perusteellavoiolettaa,ettäuseilletytöilleluonnollisen
kielen käyttö olisi mieluisa tapa ilmaista matemaattista ajattelua myös matematiikan
sanallisten tehtävien ratkaisuissa. Taitavien luonnollisen kielen käyttäjien mielenkiinto
matematiikan opiskeluun voisi saada uuden innostavan ulottuvuuden, kun he voivat
ilmaistaajatteluaanheilleluontevimmallatavallajasaadasitenratkaisuistaanpersoonal
lisempia. Tämä voi tuoda parhaimmillaan onnistumisen elämyksiä ja muokata myös
oppilaankuvaamatematiikastatieteenä.
Edellä kerrottujen syiden perusteella aloitettiin opetuskokeilu sanallisten tehtävien
ratkaisumallienopettamisestakahdessalukiossalukion1.vuosikurssilla.Tutkimuksessa
opetettiin sanallisten tehtävien ratkaisujen kielentämismalleja (ks. Joutsenlahti 2009).
Tutkimus kuuluu osana Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitoksen Hämeenlin
nanyksikössävuoden2008lopullaalkanutta”Sananlasku”tutkimusprojektia(Joutsen
lahti & Kulju 2010). Tutkimusprojektissa tarkastellaan äidinkielen käyttämistä matema
tiikan opiskelussa suullisessa ja kirjallisessa työskentelyssä sekä ongelman ratkaisuun
perustuvaalähestymistapaakieliopinopiskelussaäidinkielessä
2 MATEMATIIKAN KIELENTÄMINEN KIRJALLISESSA TYÖSKENTELYSSÄ
Matematiikankielentämisellätarkoitetaantässäartikkelissamatemaattisenajattelunilmai
semista kielen avulla pääsääntöisesti suullisesti tai kirjallisesti (Joutsenlahti 2003, 2005,
2009; vrt. Høines 2000). Matemaattisella ajattelulla tarkoitetaan tässä yhteydessä mate
maattisen tiedon (konseptuaalisen, proseduraalisen tai strategisen) prosessointia, jota
ohjaavatajattelijanmetakognitiot(Joutsenlahti2005,Sternberg1996).
Matematiikan näkeminen kielenä on perusteltua, sillä matemaattisia ideoita on voi
tava esittää ja keskustella niistä myös luonnollisen kielen (esimerkiksi suomi, englanti
jne.)avulla(Pimm1987,77).Matematiikankieleenkuuluvatmatematiikanneluonnolli
sen kielen ilmaukset, joilla on oma erityinen merkityksensä matematiikassa ja lisäksi
4
matemaattiset symbolit sekä lausekkeet (Meaney 2005, 118). Ilmaisun monimuotoisuus
on luontevaa myös matematiikassa, sillä matemaatikoillakaan ei ole yhtenäistä tapaa
toimiamatematiikankielellä,vaansiinäonyksilöllisiäerojajakulttuurieroja(ks.Chro
naki&Christiansen2005,27).
Koulumatematiikan kielentäminen sanallisten tehtävien kirjallisissa ratkaisuissa
koostuu pääsääntöisesti matematiikan symbolikielestä, matematiikkaan liittyvästä ja
mahdollisestimuustaluonnollisestakielestäsekämatemaattisistakuvioista.Tarkastelen
näitä kolmena kirjoitetun kielenä: matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli
(Joutsenlahti & Kulju 2010). Kuviokieli on erityisesti geometrian tehtävien ratkaisuissa
keskeinen. Toisaalta osa opiskelijoista hahmottaa ongelmia yleisestikin visuaalisesti,
jolloinkuviotovatheilleajattelunapunamonentyyppistentehtävienratkaisuprosessissa.
Kieltensuhdettatoisiinsaonesitettykuvassa1.Tässäartikkelissaeihyödynnetäkielitie
teellistänäkökulmaakirjalliseenkielentämiseen(ks.Joutsenlahti&Kulju2010).
Matematiikankielentäminenjäsentääjaselkeyttääoppijanajatteluasekäauttaaver
taisryhmää (esimerkiksi luokan muita oppilaita) reflektoimaan omaa ajatteluaan sekä
kehittää oppijan argumentointitaitoja ryhmän vuorovaikutustilanteissa. Oppijan mate
maattisenajattelunkielentäminenluonnollisenkielenavullahelpottaaopettajanopetus
tilanteidensuunnitteluajaoppimisenarviointia.(Joutsenlahti2003,2005,2009).
CandiaMorganinmukaan(2001,233–235)monipuolinenkirjoittaminenmatemaattis
ten tehtävien ratkaisuissa edistää matematiikan oppimista, kehittää matemaattista ym
märtämistä,parantaaoppilaidenasenteitamatematiikkaakohtaanjahelpottaaopettajan
arviointityötä. Opiskelijan matematiikan oppimista ratkaisujen kirjoittaminen edistää
muunmuassasiksi,ettäkirjoitusprosessijättäänäkyviinomanratkaisunvaiheita,joihin
voipalatayhäuudelleenjajoitavoitarvittaessamuuttaa.Kirjoitettuaratkaisuaopiskelija
joutuu pohtimaan syvällisemmin ennen kirjoittamista kuin vain puhuttua ratkaisua ja
siksikirjoittamisprosessisaattaaselkeyttääjakehittääedelleenopiskelijanmatemaattista
ajattelua (vrt. Joutsenlahti 2003, 2009). Kirjoittamisprosessi ja matemaattinen ongelman
ratkaisuprosessi ovat samankaltaisia, sillä molemmissa pyritään selkeään ongelman
muotoiluunjasenratkaisuun.Opiskelijakirjoittaessaanluonnollisellakielelläjamatema
tiikankielelläratkaisujaantekeesenitselleenluontevimmallatavallajasitenratkaisusta
tuleetekijänsänäköinen(vrt.Selter2009).Tämäsaattaamuuttaaopiskelijankuvaama
tematiikasta positiivisemmaksi ja ylipäätänsä vahvistaa kuvaa itsestään matematiikan
osaajana.
Opettajannäkökulmastakirjallisetperustelutovatarvioinninkannaltahelpompiar
vioida miten oppilas on ymmärtänyt tehtävän ja sen ratkaisuun liittyvät elementit, jos
ratkaisussa on esitetty perusteluita muillakin tavoin kuin vain matemaattisina lausek
keina(Morgan2001,233–234).
Matemaattisen ajattelun näkyväksi tekeminen kirjoittamalla saattaa olla oppilaille
vaativasuoritus(ks.Triandafillidis&Potari2005).Opiskelijanluonnollisenkielenkäyttö
ongelmien pohdinnassa ja ratkaisujen hahmottamisessa niin puhuttuna kuin kirjoitet
tunakin auttaa häntä jäsentämään ajatteluaan itselleen ja toisaalta muille opiskelijoille
(Joutsenlahti 2003, Fuson, Kalchman & Bransford 2005). Peruskoulun oppimateriaali
ohjaa opiskelijoita käyttämään ainoastaan kuvan 1 matematiikan symbolikielen (MSK)
aluetta,vaikkausealleopiskelijallevoiollaluontevampaatoimiamainitunalueenlisäksi
5
luonnollisenkielenjakuviokielenalueilla(ks.kuva1).Olenkonstruoinutneljäkirjalli
senkielentämisenmallia,joitavoisoveltaamatematiikantehtävienratkaisujenesittämi
seen. Nämä mallit ovat: ”standardi”, ”kertomus”, ”tiekartta” ja ”päiväkirja”malli
(Joutsenlahti2009).
”Standardi”malli on peruskoulun oppikirjoissa tyypillinen, erityisesti aritmetiikan
tehtävissä pelkkään matematiikan symbolikielen käyttöön perustuva malli. Mainitussa
mallissaratkaisijaaohjataankäyttämäännormimaisestivainyhdenlaistaesittämistapaa:
lauseke,laskutjalopuksivastausyksikköineen.Ratkaisijapyrkiitoistamaansamaaedel
läkuvattuarakennettaeikäratkaisijanomaymmärtämisenprosessieikämuilleymmär
rettävästiesittämisentärkeyssaatukea.
Kuva 1: Matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli, kun rekisterinä on matematiikan
sanallisten tehtävien ratkaisun esittäminen. Lyhentein merkityt alueet ovat matematiikan luon
nollinen kieli (MLK), matematiikan symbolikieli (MSK) ja matematiikan kuviokieli (MKK)
(Joutsenlahti&Kulju2010)
”Kertomus”mallissaratkaisunperusteetjaeteneminenkuvataanvaiheittainsanalli
sestija(tai)kuvioilla.Mallissaonominaistakuvataesimerkiksiväliotsikoinmitäjamiksi
seuraavaksi ollaan tehtävän ratkaisussa tekemässä tai esitellään käytetyt merkinnät sa
nallisesti tai kuvioiden ohessa. Ratkaisussa käytetään tarkoituksenmukaisesti eri kieliä
tukemassajajäsentämässäomaaratkaisuprosessiajatoisaaltasetehdäänlukijallemah
dollisimman ymmärrettäväksi ja vaivattomaksi seurata. Näin lukija voi vakuuttua rat
kaisijanymmärtäneenkaikkitekemänsäratkaisunvaiheettaitoisaaltalukijanonhelppo
osoittaa missä kohdissa on mahdollisesti puutteita. Lukion matematiikan oppikirjoissa
on sanallisten tehtävien esimerkit usein ratkaistu kyseisen mallin mukaisesti. (Joutsen
lahti2009).
”Tiekartta”mallissaratkaisuprosessikuvataanaluksikokonaansanoinjamahdolli
sestikuvioin.Tällöinlukijasaakäsityksenratkaisun”punaisestalangasta”janäkeetar
vittavat perustelut ratkaisulle. Ratkaisun esittäminen tapahtuu ensin luonnollisen ja
6
kuviokielenavullajasenjälkeenmatematiikanavulla.Tämänmallintoinenvaihevas
taa ”standardi”mallia eli voitaneen ajatella, että ”tiekartta”mallissa kirjataan näkyviin
se ajatustyö, mikä ”standardi”mallissa jää latentiksi ja jäljitettäväksi matemaattisten
lausekkeidenjalaskutoimitustenperusteella.(mt.).
”Päiväkirja”mallissaratkaisunesittämiseenkäytetäänsanallistaesitystätaikuvioita
sellaisissa tilanteissa, joissa ratkaisija pääsääntöisesti etenee ”standardi”mallin mukai
sesti,muttakohdatessaanongelmiaratkaisuprosessissahänjäsentääjaselkeyttääomaa
matemaattistaajatteluaankirjoittamallaja(tai)piirtämällälähinnäitselleeneikäensisijai
sesti lukijalle. Esitetyn mallin kirjoittamisprosessin tarkoitus on usein omien ajatusten
selkeyttäminenvuorovaikutuksessaomantekstinsäkanssa.(mt.).
Kaikissamainituissamalleissaodotetaan,ettävastausannetaanerillisenäjapääsään
töisesti kokonaisena virkkeenä. Antamalla vastaus kokonaisena virkkeenä opiskelija
laittaa yksiköt luontevasti mukaan ja hän tulee tarkistaneeksi mikä on alkuperäinen
kysymys ja arvioi luontevasti vastauksen mielekkyyden annetussa tehtäväkontekstissa.
(mt.).
3 TUTKIMUSONGELMAT JA TUTKIMUKSEN TOTEUTUS
Tutkimuksen tarkoitus on selvittää edellä esitettyjen kielentämismallien käyttökelpoi
suutta lukion lyhyen matematiikan opetuksessa. Kokeiluryhmissä opettajat esittelevät
neljä.Kyseisistämalleistaharjoitellaanerityisestikertomusjatiekarttamallia.Tutkimuk
sessaetsitäänvastauksiaseuraaviinkysymyksiin:
1. Miten opiskelijat kokevat kielentämismallien käyttökelpoisuuden sanallisten tehtävien
ratkaisuissa?
2. Minkälaisiakielentämismallejaopiskelijatkäyttävät?
Kysymystä1tarkastellaanlisäksisukupuoltenjaopintomenestyksennäkökulmasta.
Tutkimukseen osallistuivat Tervakosken lukion ja Helsingin luonnontiedelukion
(Käpylänlukio)1.vuosikurssinlyhyenmatematiikanryhmät.Tervakoskenlukionlyhy
en matematiikan ryhmässä oli 13 opiskelijaa (4 tyttöä) ja Helsingin luonnontiedelukion
ryhmässä 34 opiskelijaa, joista tutkimukseen tuli lopulta 27 opiskelijaa (20 tyttöä). Mo
lemmissalukioissakurssinaoliMatemaattisiamalleja1,jossakäsitelläänmuunmuassa
lineaarisia ja eksponentiaalisia malleja. Tervakosken lukiossa kurssia opetti lehtori Kari
KontiokoskijaHelsingissälehtoriMarjaLeenaViljanen.Kurssitopetettiinkeväällä2009.
Tutkimusaineisto kerättiin kyselykaavakkeella, jossa on 23 väitettä (viisiportainen
Likertasteikko:”Täysinsamaamieltä”–”Täysinerimieltä”)jakaksiavointakysymystä,
joissakysytäänmitähyötyäasianomaiselleonollutkielentämisestäjatoisessamitähuo
noja puolia hän näkee ratkaisujen kielentämisessä. Lisäksi kysyttiin onko hyvä, että
erilaisia kielentämismalleja opetetaan koulussa ja mitä esitellyistä kielentämismalleista
(lukuunottamattaStandardimallia)opiskelijamieluitenkäyttää.Tutkijallesaattoiantaa
lopuksivapaatapalautetta.Kriittistäpalautettaeitullut.Kyselykaavaketäytettiinkurs
sinloppuvaiheessa.Lisäksiopiskelijatsaattoivattehdäheilleerikseenannettujasanallis
ten tehtävien kielennettyjä ratkaisuja portfolioonsa, jonka arviointi otettiin huomioon
7
kurssikokeen arvioinnin yhteydessä. Opettajat valitsivat otoksen sanallisten tehtävien
ratkaisuja jokaiselta kielentämistä käyttäneeltä opiskelijalta. Mukana saattoi olla myös
opiskelijankoesuorituksia.Tutkimusaineistoonkuuluvatmyösjokaisenopiskelijanport
folionarvostelu(pisteet06)jakurssikokeenarvosana(lisäksitehtäväkohtaisetpisteet).
4 TULOKSET
Esittelen aluksi kyselylomakkeen keskeiset tulokset, jotka liittyvät edellä esitettyihin
tutkimuskysymyksiin. Tarkastelen taustatietoina teemaa ”Suhtautuminen oppiainee
seen”, jossa tulee esille tyttöjen ja poikien erilaiset mieltymykset matematiikan oppiai
neeseen ja toisaalta äidinkieleen kuuluvaan kirjoittamiseen. Tämä on merkityksellistä,
koskamatematiikantehtävienkirjallisessakielentämisessäannetaanmahdollisuusitsen
sä ilmaisemiseen luonnollisen kielen avulla ja tämä on tutkimusten (Korkeakoski 2001,
Lappalainen 2008) mukaan useilla tytöillä vahva osaamisen alue. Teeman ”Kirjallinen
kielentäminen”väitteidenvastauksetantavatosaltaanvastauksiatutkimuskysymyksiin.
Hieman ongelmallista kyselylomakkeen vastausjakaumassa on suuri ”En osaa sanoa” valintojen osuus (35 % kaikista vastauksista), mikä osaltaan on ohjannut väittämien
valintaa.
Taulukon1ensimmäisessäteemassa”Suhtautuminenoppiaineeseen”näkyyerosuh
tautumisessa matematiikkaan sukupuolten välillä (vrt. Niemi 2008, Kupari & Törnroos
2005, Joutsenlahti 2005): tytöistä yli puolet eivät ole mielestään hyviä matematiikassa
(väiteT1)jaläheskolmeneljäsosaaeiolekiinnostunutmatemaattisistaongelmista(väite
T2),kuntaasenpojistakokeenäinvainneljäsosamolempienväitteidenT1jaT2kohdalla.
Hyviä matematiikassa kokee olevansa puolet pojista mutta vain neljäsosa tutkimuksen
tytöistä(väiteT1).Sensijaankokemushyvänääidinkielentaitajanaolemisesta(väiteT3)
jaerityisestikirjoittamisenmieluisuudesta(väiteT4)onvahvamolemmillasukupuolilla
jajopanoinkolmeviidesosaakaikistavastaajistakokinäin.Tulosonodotettu,sillälyhy
en matematiikan kurssit valinneille usein kielet ja reaaliaineet ovat mielenkiinnon koh
teinaenemmänkuinmatemaattisetaineet.
Teeman “kirjallinen kielentäminen” (taulukko 1) väitteiden vastausjakaumat eivät
poikenneet merkittävästi sukupuolten suhteen. Huomion arvoista väitteiden vastausja
kaumissaonvaihtoehdon”Enosaasanoa”suuriosuus,mikävoidaantulkitaesimerkiksi
niin, että opiskelijat eivät ole muodostaneet kantaansa asiaan vaan pohtivat edelleen.
Kielentämisen näkökulmasta (Joutsenlahti 2003) suurin osa opiskelijoista kokee kirjalli
sen kielentämisen auttavan heitä ajattelunsa jäsentämisessä itselleen (väite V2) ja siten
tukevanymmärtämistä.EhdottomastiväitteenV2kanssaolierimieltävain13prosenttia
vastaajista. Väite V5 korostaa kirjallisen kielentämisen merkitystä muille esittämisen
näkökulmasta, joka koettiin myös tärkeäksi (noin puolet vastaajista oli samaa mieltä,
vain viidennes oli eri mieltä). Väitteen V6 arvioinnin näkökulmasta noin kaksi kolmas
osaavastaajistaolisamaamieltäeliominsanoinkertominenpaljastaanopeastiratkaisi
jan ymmärryksen omasta ratkaisuprosessistaan. Kuvan piirtäminen (väite V3) koetaan
useimpia auttavaksi apukeinoksi tehtävien ratkaisussa, mikä on ymmärrettävää, sillä
kuviotonperinteisestikoettutärkeäksihavainnollistamiskeinoksikoulumatematiikassa.
8
Kielentämismallejaeivarauksettailmoittanutkäyttävänsäjatkossakuinkolmasosavas
taajista,muttaepäröivienosuusonmelkeinpuoletvastaajista.
Taulukko 1: Taulukkoon on merkitty niiden opiskelijoiden (eroteltuna tytöt ja pojat) prosent
tiosuudet, jotka ovat olleet täysin samaa tai jokseenkin samaa mieltä annetun väitteen suhteen.
Suluissaonniidenopiskelijoidenprosenttiosuudet,jotkaovatolleettäysintaijokseenkinerimiel
täannetunväitteensuhteen.VäiteT1onkäännettymyönteiseenmuotoon
SUHTAUTUMINEN OPPIAINEESEEN
Tytöt
Pojat
Yhteensä
n=24
n=16
n=40
T1 Minä olen hyvä matematiikassa.*
25%(54%)
50%(25%)
35%(43%)
T2 Olen kiinnostunut matemaattisista ongel-
13%(71%)
44%(25%)
25%(53%)
57%(15%)
69%(13%)
62%(21%)
58%(29%)
63%(19%)
60%(25%)
42%(29%)
56%(13%)
48%(23%)
54%(8%)
50%(19%)
53%(13%)
75%(0%)
75%(6%)
75%(3%)
38%(13%)
25%(25%)
33%(18%)
47%(20%)
46%(18%)
mista.
T3 Minä olen hyvä äidinkielessä.
1)
T4 Kirjoittaminen on minulle mieluisaa puuhaa.
KIRJALLINEN KIELENTÄMINEN
V1
Minun
mielestäni
sanallisten
tehtävien
ratkaisemisessa kannattaisi kirjoittaa perusteluja näkyviin laskutoimitusten oheen.
V2
Matemaattisen
ongelman
selittäminen
omin sanoin auttaa minua tehtävän ymmärtämisessä ja ratkaisemisessa.
V3 Kuvan piirtäminen auttaa minua tehtävän
ratkaisemisessa.
V4 Aion jatkossakin käyttää kielentämismalleja apunani.
V5 Sanallisen tehtävän ratkaisemisessa itse
46%(17%)
2)
kirjoittamani väliotsikot jäsentävät ratkaisuprosessin toisille helposti seurattavaan muotoon.
V6
Tehtävän
sanoin
ratkaisun
paljastaa
selittäminen
nopeasti
onko
omin
67%(4%)
60%(0%)2)
64%(3%)
ratkaisija
ymmärtänyt tehtävän ratkaisuprosessin perin
pohjin.
1)
* Käännetty myönteiseen muotoon.
n=23
9
Taulukko 2: Avoimen kysymyksen ”Mitä hyötyä Sinulle on ollut matematiikan kielentämisestä
sanallisten tehtävien ratkaisuissasi?” vastauksien lukumäärät luokiteltuna viiteen vastausluok
kaan.Suluissavastaustenprosenttiosuuskaikistavastauksista(n=40)
VASTAUSLUOKAT
TYTÖT (N=24)
POJAT (N=16)
YHTEENSÄ
Jäsentää omaa ajattelua itsel-
13 (54%)
11 (69%)
24 (60%)
leen
Ei mitään
4 (17%)
3 (19%)
7 (18%)
Muistin tukena
5 (21%)
1 (6%)
6 (15%)
Muuta
1 (4%)
1 (6%)
2 (5%)
Jäsentää esitystä lukijalle
1 (4%)
0 (0%)
1 (3%)
Taulukkoon2onkoottuavoimenkysymyksen,jossaopiskelijanpitikertoamitähyö
tyähänelleonollutkielentämisestätehtävienratkaisuissa,vastauksetluokiteltunasisäl
lön perusteella viiteen luokkaan. Vastauksissa korostui vain yksi näkökohta, mikä hel
potti luokittelua. Kielentämisen keskeinen idea oman ajattelun jäsentämisestä itselleen
nousi selkeästi tärkeimmäksi opiskelijoiden vastauksista (vrt. väitteet V1 ja V2). Noin
viidennes vastaajista ei kokenut saavansa mitään hyötyä, mikä on sama osuus väitteen
V4 vastaajista, jotka eivät aio käyttää kielentämistä jatkossa. Edellä Morganin (2001)
esittämä tulkinta kirjoittamisen merkityksestä muistin tukena koettiin myös tärkeäksi.
Muilleesittämisennäkökulmaeinoussutesillejuurikaannäissävastauksissa,mikäselit
tyneemuunmuassakotitehtävientarkistuskulttuurilla,jossamatematiikankielelläesite
tytratkaisutkielennetäänkorkeintaansuullisesti.
Taulukko3:Avoimenkysymyksen”Mitähuonojapuolianäetmatematiikantehtävienkielentämi
sessä?” vastauksien lukumäärät luokiteltuna viiteen vastausluokkaan. Suluissa vastausten pro
senttiosuuskaikistavastauksista(n=40)
VASTAUSLUOKAT
Vie paljon aikaa
TYTÖT
POJAT
(N=24)
(N=16)
10 (42%)
4 (25%)
YHTEENSÄ
14 (35%)
Tekstin tuottaminen työlästä
5 (21%)
5 (31%)
10 (25%)
Ei mitään
5 (21%)
2 (13%)
7 (18%)
Ratkaisusta tulee pitkä
1 (4%)
4 (25%)
5 (13%)
Muuta
3 (13%)
1 (6%)
4 (10%)
Taulukossa3onavoimenkysymyksen,jossakysyttiinkielentämisenhuonojapuolia,
vastausten luokitellut vastaukset. Vastaukset jakautuivat melko tasaisesti useaan luok
kaan. Kirjallisen kielentämisen koettiin vievän paljon aikaa verrattuna ratkaisun esittä
miseen vain matematiikan kielellä. Tämä turhauttaa etenkin opiskelijoita, joilla ei ole
mitäänvaikeuksialöytääoikeitaratkaisujatehtäviin.Osallaopiskelijoitaolivaikeakek
10
siä miten ilmaisisi ajatteluaan kirjoittamalla ja tekstin tuottaminen koettiin työlääksi.
Mielenkiintoista oli havaita, että seitsemän opiskelijaa (enemmistö tyttöjä) ei löytänyt
mitään huonoja puolia kirjallisesta kielentämisestä. Ratkaisujen pituus koettiin myös
huonoksipuoleksi.Vastauksestaonnähtävissämatematiikanihanteisiinkuuluvalyhyen
jatäsmällisenvastauksentavoite.
Taulukko4:Opiskelijoidenpalauttamienkielennettyjenportfoliotehtävienpistejakaumat
PISTEET X
TYTÖT (N=24)
POJAT (N=16)
YHTEENSÄ (N=40)
x< 2
6 (25%)
9 (56%)
15 (38%)
2<x<4
11 (49%)
5 (31%)
16 (40%)
4<x<6
7 (29%)
2 (13%)
9 (23%)
Opiskelijat palauttivat vapaaehtoisia portfoliotehtäviä, jotka opettajat arvostelivat ja
portfoliotehtävistä saattoi opiskelija saada kokeeseen luettavia pisteitä maksimissaan
kuusipistettä.Taulukossa4onkoottuportfoliotehtävienpistejakauma.Taulukosta4on
luettavissa,ettätytötovatsaaneetenemmänkorkeitapistemääriäkuinpojat.Useatpojat
eivätolleetnähneettarpeelliseksipalauttaaportfolioonvaadittujatehtäviätaipalauttivat
vainmuutamia.Voidaanmyösolettaa,ettätytötovatkokeneetkirjallisenkielentämisen
tehtävätmielekkääksiharjoitteluksikoettavartenjavarmistaapisteitäkurssikokeeseen.
Taulukko 5: Tutkimukseen osallistuneiden opiskelijoiden kurssikokeen arvosanajakauma, joka
sisältäämahdollisestipalautetunportfolionkielennetyttehtävät.Lisäksikussakinarvosanaluokas
saopiskelijoidenkeskimäärinsaamatportfoliotehtävienpisteet(maksimissaan6pistettä)
ARVOSANA-
TYTÖT
POJAT
YHTEENSÄ
KESKIARVO
LUOKAT
(N=24)
(N=16)
(N=40)
PORTFOLIOTEHTÄVISTÄ
4
1 (4%)
0 (0%)
1 (3%)
2,5
5
1 (4%)
2 (13%)
3 (8%)
0,8
6
2 (8%)
1 (6%)
3 (8%)
2,3
7
4 (17%)
1 (6%)
5 (13%)
1,6
8
6 (25%)
6 (38%)
12 (30%)
3,0
9
5 (21%)
1 (6%)
6 (15%)
3,8
10
5 (21%)
5 (31%)
10 (25%)
3,6
Taulukkoon 5 on koottu kurssiarvosanojen jakaantuminen opiskelijoille ja lisäksi
kuinka monta pistettä keskimäärin kussakin arvosanaluokassa opiskelijat saivat vapaa
ehtoisesta portfoliotehtävistä. Arvosanajakauma on selkeästi vino hyvien arvosanojen
suuntaan,sillä70prosenttiaopiskelijoistasaikurssistavähintäänarvosanankahdeksan.
Kolmessa ylimmässä arvosanaluokassa portfoliotehtävien keskiarvo oli korkein eli ky
11
seisiätehtäviätehneetmenestyivätmyöshyvinkokeessa.Portfoliotehtävientuomapiste
lisäys ei ollut syynä arvosanajakauman vinouteen, vaan opiskelijat hallitsivat hyvin
kokeentehtävät.Kielentämistäopiskelijatkäyttivätsatunnaisestikoevastauksissaan.
Opiskelijoilta kysyttiin ”Onko mielestäsi hyvä asia matematiikan opiskelussa, että
erilaisia kielentämismalleja harjoitellaan?”. Kielentämismallien harjoittelua piti hyvänä
93prosenttiavastaajista(n=40);vainkolmeopiskelijaaeipitänytharjoitteluatarpeellise
na. Kielentämismallien systemaattista opettamista pidetään ilmeisesti osana matematii
kanopetustakaikilleopiskelijoille,vaikkaopiskelijaeimyöhemminkokisikaansitäitsel
leentarpeelliseksi.
Viimeisenäkysymyksenäoli”Mitäkielentämismalliakäytätmieluiten?”.Vaihtoeh
toinaoli”kertomus”,”tiekartta”ja”päiväkirja”malli.Opiskelijoidensuosituinvalinta
oli”kertomus”malli(83%vastaajista,n=35)ja”tiekartta”sekä”päiväkirja”malliapiti
mieluisimpananoin9prosenttiavastaajistakumpaakin.”Kertomus”mallialöytyyluki
onoppikirjojenesimerkeistä,jotenseolitutuin.
Yhteenvetona kysymykseen ”Miten opiskelijat kokevat kielentämismallien käyttö
kelpoisuudensanallistentehtävienratkaisuissa?”voitodetaensiksi,ettäsuurinosatut
kimuksen opiskelijoista kokee kirjallisen kielentämisen auttavan oman ajattelun jäsen
tämisessä (taulukon 1 väitteet V1 ja V2, taulukko 2) ja näkevät sen käytön helpottavan
muun muassa opettajan arviointityötä (väite V6). Äidinkieli ja erityisesti kirjoittaminen
ovat suurimmalle osalle tutkimukseen osallistuneista mieluisia (väitteet T3 ja T4), niin
opiskelijoidentämänvahvuusalueenhyödyntäminenmyösmatematiikassalieneeuseal
le tutkimukseen osallistuneelle ainakin ajatuksia herättävä mahdollisuus (vrt. väitteen
V4kanssaerimieltäolleet18%vastaajista).Toisaaltayhdentehtävänratkaisunesittämi
seen kuluu paljon aikaa ja tilaa sekä lisäksi tekstin muotoileminen saattaa olla työlästä
(taulukko 3) verrattuna vain matematiikan kielellä esitettyihin tehtäviin. Opiskelijat
saattavatkokeakirjallisenkielentämisenturhanajatehottomanaeritoten,jostarkoituson
löytäävainoikearatkaisueikäesittääratkaisuamuille(vrt.ylioppilaskirjoitukset).Kui
tenkin,vaikkaopiskelijaeikoekielentämismallienkäyttöäitselleentärkeäksi(väiteV4),
niin lähes kaikki opiskelijat kokivat tärkeäksi, että kielentämismalleja opetetaan ja niitä
harjoitellaan (93 % vastaajista). Opiskelijat ymmärtävät, että niistä voi olla apua muille
opiskelijoille.
Kysymykseen”Minkälaisiakielentämismallejaopiskelijatkäyttävät?”voivastata,et
täedelläesitelty”kertomus”mallionsuosituin(83%vastaajista,n=35).Senkäyttäminen
jakaasuorituksenosiin,jotkasamallajäsentävätesityksen.Kyseinenkielentämismallion
prosessimalli (Joutsenlahti 2009), jonka käyttö tukee ratkaisuprosessin etenemistä ja
jäsentääratkaisijanmatemaattistaajattelua.”Tiekartta”mallivaatiikäyttäjältäänvalmiin
mentaalimallin ratkaisusta, joka esitetään luonnollisen kielen ja mahdollisesti kuviokie
lenavullaennensiirtymistämatematiikankieleen.Mallinkäytönvaativuusselittääsen
vähäisen käytön. ”Päiväkirja”malli on kohtuullisen hyvien ratkaisijoiden malli, joka
otetaankäyttöönvaintarvittaessaviimeisenäkeinonalöytääratkaisu.Senkäyttöäeisiis
yleensäetukäteensuunnitella.Kokeilussatuliesilleuusimalli,jotaeräsopiskelijakäytti
systemaattisesti kaikissa kielennystehtävissä (kuva 2). Nimesin mallin ”kommentti”
malliksi,silläsiinämatematiikankielionvasemmassasarakkeessajaoikeassasarakkees
sa ratkaisija kommentoi jokaista matematiikan kielellä kirjoitettua vaihetta luonnollisen
12
kielenavulla.Tällainenmallitoisaaltaperinteinenpedagoginenmalli,silläopettajatovat
käyttäneetsitätaulutyöskentelyssäopettaessaanesimerkiksiuuttalaskualgoritmiaopis
kelijoille.Kuitenkinopiskelijanratkaisunesittämismallinatämäonhyvälisäviidenneksi
malliksiedellämainittujenmallienlisäksi.
Kuva2:Opiskelijankäyttämäomakielentämismalli,jokasainimen”Kommentti”malli
5 POHDINTAA
Olen tässä artikkelissa kuvannut opetuskokeilua pienelle opiskelijajoukolle (n=40) ja
kokeiluun liittyvää tutkimusta, jossa on selvitetty miten opiskelijat kokevat kirjallisen
kielentämisen mallit matematiikan tehtävien ratkaisemisessa. Tuloksia ei voi suoraan
yleistääpienestälukumäärästäjohtuen,muttatuloksetovatsopusoinnussaaikaisempien
tutkimustenkanssa(muunmuassaMorgan2001;Joutsenlahti2003,2005)jasitensuun
taa antavia. Tutkimusaineistosta ei ole tässä yhteydessä vielä analysoitu opiskelijoiden
kielennettyjäratkaisujajaniistänouseviahuomioita.Aineistoavoikäsitellämuunmuas
sakielitieteellisestänäkökulmasta(Joutsenlahti&Kulju2010).
Selkeästiopiskelijoidenvastauksistanouseeesillekolmekeskeistänäkökulmaamiksi
kielentäminen(suullinenjakirjallinen)onhyödyllistä:opiskelijanomanajattelunjäsen
tymisen,muilleesittämisenjaarvioinninnäkökulmat(taulukot1ja2).Muilleesittämisen
näkökulmaa vahvistaa ulkopuolelta tulevat ylioppilaslautakunnan ohjeistus ja lukion
opetussuunnitelman perusteet. Matemaattisen ajattelun esittäminen ja jalostaminen
äidinkielen avulla on mielestäni tärkeä avaus kyseisten oppiaineiden integroinnille (ks.
Joutsenlahti&Kulju2010).
Opiskelijatpitivättärkeänäkokeilunjälkeen,ettäkirjallisenkielentämisenmallejapi
täisi opettaa systemaattisesti matematiikan tunneilla. Mielestäni tämä opetus pitäisi
aloittaajoperuskoulunalaluokillaelisilloin,kunoppilaataloittavatsanallisiintehtäviin
ratkaisujenesittämisenharjoittelun.Eioletarkoituksenmukaista,ettäoppilaillaonvain
13
yksi ratkaisumalli (”standardi”malli) koko peruskoulun ajan. Erityisesti peruskoulun
oppilaille,jotkaovatkiinnostuneitaajattelunsailmaisemisestaluonnollisenkielenavulla,
olisi annettava mahdollisuus käyttää tätä vahvuuttaan myös koulumatematiikassa. Us
koisin tämän olevan tärkeää erityisesti tytöille, joilla on poikia useammin vahvuutena
luonnollisenkielenmonipuolinenhallinta(vrt.Korkeakoski2001).
Uskomuksetmatematiikanopetuksestajatoimintakulttuuristamatematiikantunneil
laovathyvinvakiintuneita.Uusienajattelujatoimintatapojentuominenmatematiikan
oppitunneille on äärimmäisen haastava tavoite, mutta kokeiluun osallistuneiden lehto
reiden kokeiluinto ja rohkaiseva palaute sekä useissa opettajien koulutustilaisuuksissa
käydytmyötämielisetkeskustelutantavatsyynjatkaakokeilujakehittämistoimintaa.
6 LÄHTEET
Chronaki, A. & Christiansen I. (2005). Challenging perspectives on mathematics class
room communication: from representations to context, interactions, and politics.
Teoksessa A. Chronaki & I. Christiansen (toim.) Challenging perspectives on
mathematics classroom communication. Greenwich, Connecticut: IAP
InformationAge,3–48.
Fuson, K., Kalchman, M. & Bandsford J. (2005). Mathematical understanding: an intro
duction. Teoksessa S. Donovan (toim.) How students learn: mathematics in the
classroom.WashingtonDC,USA:NationalAcademicPress,217–255.
Høines,M.(2000).Matematiksomspråk.Verksamhetsteoretiskaperspektiv.Kristianstad:
LiberAB.
Joutsenlahti,J.(2003).Kielentäminenmatematiikanopiskelussa.TeoksessaA.Virta&O.
Marttila(toim.)Opettaja,asiantuntijuusjayhteiskunta.Ainedidaktinensymposi
um 7.2.2003. Turun yliopisto. Kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisusarja B:72,
188–196.
Joutsenlahti,J.(2005).Lukiolaisentehtäväorientoituneenmatemaattisenajattelunpiirtei
tä: 1990luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja
uskomustenilmentämänä.ActaUniversitatisTamperensis1061.
Joutsenlahti, J. (2009). Matematiikan kielentäminen kirjallisessa työssä. Teoksessa R.
Kaasila (toim.) Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimuspäivät Ro
vaniemellä 7.8.11.2008. Lapin yliopiston kasvatustieteellisiä raportteja
9.Rovaniemi:Lapinyliopisto,71–86.
Joutsenlahti, J. & Kulju, P. (2010). Kieliteoreettinen lähestymistapa koulumatematiikan
sanallisiintehtäviinjaniidenkielennettyihinratkaisuihin.TeoksessaE.Ropo&
H. Silfverberg & T. Soini (toim.) Toisensa kohtaavat ainedidaktiikat. Ainedidak
tiikansymposiumiTampereella13.2.2009.Tampereenyliopistonopettajankoulu
tuslaitoksenjulkaisujaA31.Tampere:Tampereenyliopisto,77–90.
Joutsenlahti,J.&Vainionpää,J.(2007).Minkälaiseenmatemaattiseenosaamiseenperus
koulussa käytetty oppimateriaali ohjaa? Teoksessa K. Merenluoto, A. Virta & P.
Carpelan (toim.) Opettajankoulutuksen muuttuvat rakenteet. Ainedidaktinen
symposium 9.2.2007. Turun yliopisto. Kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisuja
B:77,184–191.
14
Korkeakoski,E.(2001).Perusopetuksenäidinkielenoppimistulostenkansallinenarvioin
ti6.vuosiluokallakeväällä2000.Kirjoituskokeidentulokset,asenteenäidinkieltä
kohtaanjayhteydentaustamuuttujiin.Oppimistulostenarviointi1/2008.Opetus
hallitus.
Kupari,P.&Törnroos,J.(2004).Matematiikanopiskeluatukevatasenteetjaoppimisstra
tegiat. Teoksessa P. Kupari & J. Välijärvi (toim.) Osaaminen kestävällä pohjalla.
PISA2003Suomessa.Koulutuksentutkimuslaitos,Jyväskylänyliopisto.Gumme
rus:Jyväskylä,151–172.
Lappalainen, HP. (2008). On annettu hyviä numeroita. Perusopetuksen 6. vuosiluokan
suorittaneiden äidinkielen ja kirjallisuuden oppimistulosten arviointi 2007. Op
pimistulostenarviointi3/2008.Opetushallitus.
Meaney,T.(2005).Mathematicsastext.TeoksessaA.Chronaki&I.Christiansen(toim.)
Challengingperspectivesonmathematicsclassroomcommunication.Greenwich,
Connecticut:IAPInformationAge,109–141.
Morgan, C. (2001). The place of pupil writing in learning, teaching and assessing ma
thematics. Teoksessa P. Gates (toim.) Issues in mathematics teaching. London:
RoutledgeFalmer,232–244.
Niemi,E.K.(2008).Matematiikanoppimistulostenkansallinenarviointi6.vuosiluokalla
vuonna2007.Oppimistulostenarviointi1/2008.Opetushallitus.
Opetushallitus
(2003).
Lukion
opetussuunnitelman
perusteet
2003.
http://www.oph.fi/SubPage.asp?path=1,17627,1560(28.1.2009)
Pimm,D.(1987).Speakingmathematically:communicationinmathematicsclassrooms.
London:Routledge&KeganPaul.
Selter, C. (2009). Stimulating reflection on word problems by means of students’ own
productions.TeoksessaL.Verschaffel,B.Greer,W.VanDoore&A.Mukhopad
hyay (toim.) Words and worlds – modeling verbal descriptions of situations.
Mahwah(NJ):Erlbaum,303–318.
Sternberg,R.(1996).Whatismathematicalthinking?TeoksessaR.Sternberg&T.Ben
Zeev (toim.) The nature of mathematical thinking. Rotterdam: Sense Publishers,
315–332.
Triandafillidis T. A. & Potari D. (2005). Integrating different representational media in
geometryclassrooms.TeoksessaA.Chronaki&I.Christiansen(toim.)Challeng
ingperspectivesonmathematicsclassroomcommunication.Greenwich,Connec
ticut.IAPInformationAge,79–108.
Ylioppilastutkintolautakunta(2006).Matematiikankokeensuoritusohjeet.
http://www.ylioppilastutkinto.fi/fi/files/documents/matematiikka/matematiikka.p
df(luettu26.1.2010)
15
Varförvänder’framgångsrika’högstadieelever
ryggentillmatematiskapraktiker?
AnnSofiRöjLindberg
ABSTRACT
Den finländska grundläggande matematikutbildningen tillskrivs idag metaforen fram
gångssaga på internationella arenor. Det oaktat utvecklar finländska skolelever inom
sina lärandebanor större negativitet gentemot skolmatematik än elever i många andra
länder vilket i värsta fall riskerar innebära att de utesluter matematik ur sina liv som
vuxna. De kritiska frågorna är hurudana särdrag i skolmatematisk praktik som konsti
tuerardessaskeendenieleversverksamhetochhurfenomenetskullekunnamotverkas.
Iartikelnindikerasaspekteravskolmatematiskpraktiksomkanvarakonstitutivaföratt
framgångsrika högstadieelever i vuxen ålder uttrycker sina relationer till matematiska
praktikeriformavavståndstagandensåsom’jagtyckteommatematik,mendetärinte
förmig’och’matematikärförandra,jagsaknarmatematikhuvud’,medanandraknyter
antillmatematiskapraktikerimerinkluderandetermer.Artikelnanslutersigtillbuds
kapfråntreelevervarshögstadielärareimatematikdeltogiettlokaltreformarbete.Det
lokalareformarbetetbildarfallstudiensinstitutionellaforskningskontext1.
Nyckelord: fallstudie, lokalt reformarbete, socialt lärande, elevperspektiv på skol
matematik
1 INTRODUKTION
Påsöndagenbrannenhektarundervegetation.Två13årigapojkarmisstänkshaför
orsakatbranden.Denenapojkenuppgavtillpolisenatteldenficksinbörjandåhan
handskatsovarsamtmedettmatematikhäfte,somhantäntpå.Orsakentillsittförfa
randeförklaradepojkenipolisförhörenmedatthanhatadematematiksåinnerligtatt
hantändeeldpåskolhäftet2.
Dramatiken i tidningsnotisen ovan illustrerar påtagligt den negativitet i relation till
matematikämnetsomkanutvecklashoseleverunderderasskoltid.Ävenförelevermed
Fallstudienärförfattarensforskningfördoktorsexamenimatematikdidakttik.Artikelnharbearbe
tatsutifrånkommentareravenanonymgranskaresamtavdoktorandfil.lic.TeresiaJakobssonÅhl.
SpecielltTeresiasrelevantakommentarerbeträffandeartikelnsstruktureringochspråkdräktvartill
storhjälp.Tacktillerbåda!
1
2
NotiseningickidenfinlandssvenskadagstidningenVästraNylandden15maj2002.
17
godabetygiämnetkanmatematikfåkaraktärenavnödvändigtontihögregradänav
ettlustfylltskolämne.DenhärtrendenärtydligiFinlandochsynsiforskningslitteratu
ren. Ju högre upp i årskurserna forskningen går desto negativare förhållningssätt ut
trycker många elever till skolmatematik. Min egen erfarenhet som lärare är att många
eleverlämnarskolsystemetmedenövertygelseattdeinteriktigtärskaptaförmedver
kanimatematiskaaktiviteter.
Utifrån en enkätstudie konstateradePekkaKupari (1993)att de flesta fjärdeklassare
och sjätteklassare (90 %) förhöllsig positiva till matematikämnet. Pirjo Tikkanen (2008)
undersökte finländska fjärdeklassares föreställningar om matematikundervisningen.
Hon kunde notera att eleverna beskrev skolmatematik som ett lätt och viktigt ämne.
Detta gällde oberoende av den undervisningsansats som förverkligades i klassrummet.
Hennes studie visade också att de flesta elevers matematikrelaterade självuppfattning
vargod.
Enkätdata från PISAundersökningen 2003, som omfattade elever i slutet av den
grundläggande utbildningen,visar däremotupp en dystrare bild. Ett exempel på detta
ärdetfaktumatthögstvartredjefinlandssvensk15åringhöllmedomatthanellerhon
serframemotmatematiklektionernaochvilllärasigmatematikförattdetärroligt(Bru
nell, 2007). Varannan 15åring tycktes inte ha något intresse överhuvudtaget för mate
matikämnet.Ändårankadesfinländska15åringarsmedeltalimatematikprestationerpå
internationelltoppnivåiPISA2003.Dennatoppnivånåddeslikasåavfinländskaeleveri
PISA2000,ochpånyttiPISA2006(OECD,2007;Välijärvi,m.fl.,2007).
Isamband med analysen avPISA 2003definierade Viking Brunell (2007) ”mönster
skolor” som skolor där elever allmänt taget uppvisar goda matematikprestationer och
där elevers generella attityd till skolan, deras samhörighetskänsla och förhållande till
lärarnadessutomförefallervarabra.Av50högstadieskoloriSvenskfinlandföllmajorite
ten,35skolor,utanfördennadefinitionochkundeinteklassificerassommönsterskolor.
DatafrånPISA2003pekarsåledespådetparadoxalaattgodamatematikprestationer,så
som finländska elever i gemen uppvisar, inte alls behöver innebära att enskilda elever,
trots att de betygsätts som kunskapsmässigt framgångsrika, anknyter positivt till sina
skolmatematiskaerfarenheter.
Finländska elevers förhållningssätt till matematikämnet förefaller bli allt negativare
över åren. Den matematikdidaktiska forskningen borde därför ställa frågan: Hurudana
särdragiskolmatematiskapraktikerkonstituerarexkluderande/inkluderandeprocesseri
enskilda elevers, även ’framgångsrika’ elevers, skolmatematiska verksamhet?. Vad kan
till exempel vara avgörande i den elevs skolmatematiska verksamhet som i likhet med
13åringen i tidningsnotisen ovan uppger ”hat” som skäl till en så destruktiv handling
somatttändaeldpåsittmatematikhäfte?Manbordeävendiskuterahurdessaexklude
randefenomenskullekunnamotverkas.
I artikeln presenteras erfarenheteranknutnatillskolmatematiskpraktiksomtreeleverut
tryckteiintervjuerunderhögstadietochsomvuxna.Detrebetygsattessomkunskapsmässigt
framgångsrikaundersingrundskoletid.Devaldeallaattfortsättastuderamatematikpå
gymnasial nivå, men redovisar för mycket divergerande lärandebanor. Därför erbjuder
derasrösterettvisstunderlagförattresonerakringovanståendefrågor.
18
2 SKOLMATEMATISK PRAKTIK
Skolmatematiskpraktikavserhärsådanahandlingsmönster;socialaochkognitivaprak
tiker,somenskildapersoneruppleversomkonstituerandeförmatematikiallmänhetoch
förskolmatematikisynnerhet.Urenpersonselevperspektivkandeerfarnahandlings
mönstren antas vara relaterade främst till de fenomen av social och kognitiv karaktär
personen upplevt i skolmiljön och som gett en framväxande struktur och betydelse åt
handlingarövertid.
Läroboks 3 och utvärderingskulturen, som inom matematikämnet traditionellt är
stark,förefallervarakonstituerandeföreleversmöjlighetertillframgånginommatema
tikämnetochförderasföreställningarrelateradetillskolmatematiskpraktik.
Diane Reay och Dylan Wiliam (1997) fokuserade på hur en grupp brittiska 11
åringarsuppfattningaravmatematikprovinverkarpåderasupplevelseravmatematiken
iskolan.Forskarnakundeblandannatstyrkaattdeflestaintervjuadeeleveransågdelta
gandeimatematikprovsomnågotsomgördetmöjligtförlärarenattseiniderasinre
och blottlägger dem som lärande. För en del av eleverna uttryckte de känslomässiga
utsagornamycketstarknegativitetiformavorogentemotutvärderingsprocessen.Elev
erna uttryckte ”strong currents of fear and anxiety” (a.a., s. 349). Ett så starkt negativt
förhållningssättgälldedockinteallsallaelever.
Genom intervjuer med elever som avbrutit sin skolgång kunde Bronwyn Ewing
(2004)bekräftaatt”shapingofanidentityofparticipationforsomestudentsisinfluenced
bythepracticeofusingtextbooksinclassroomstoteachandlearnmathematics”(a.a.,s.
234, betoning inte i original). Deltagande i läroboks/uppgiftsstyrda aktiviteter i mate
matik tycks således kunna fungera starkt exkluderande och bidra till att elever tar av
ståndfrånmatematikämnet.
Medenetnografiskforskningsansatsochsocialtkonstruktivistisksynpålärandeut
forskadeRosalynDance(1997)underettårmiljöniettamerikansktmatematikklassrum
på gymnasial nivå. Just denna klassrumskultur hade varit anmärkningsvärt fram
gångsrikräknatielevernasintresseförattfortsättastuderamatematik,ävenpåuniver
sitetsnivå. Dance bekräftade etableringen av en stark känsla av gemenskap (sense of
community)somsignifikantinommiljöndär”anatmosphereofchallengewastheessen
tialcompanion”(a.a.,s.207);blandannattillsammansmedöppenhetidensocialainter
aktionen.Insiktenomattandramedlemmariklassrummetvärdesätterochvisarrespekt
inför,menävenutmanarensmatematiskatänkandevaridenundersöktaklassrumskul
turentydligtpositivtrelaterattillbidragsgivarenskänslaavansvarförkvalitetenpåsina
matematiskabidrag.
I en annan, mer välkänd, etnografisk fallstudie av två brittiska skolors klassrums
anknutna matematikundervisning använde Jo Boaler (1997) sig av elevers erfarenheter
undertreår(årskurserna9,10och11)somverifikationförattskolkulturentillsammans
med matematikklassrummens sociala atmosfär och arbetsformer är förmedlande då
3EnligtJukkaTörnroos(2005),varsstudiebaserarsigpådatafrånTIMSS1999,undervisades99%
avsjundeklassarnaavlärare”employingtextbooks,andtextbookswereinuseduringmostofthe
lessons”(s.319).Sammatrendsyntesienenkätstuderiktadtillfinlandssvenskahögstadielärare
(RöjLindberg,1999).
19
elevers matematikrelaterade kunskaper och förhållningssätt utvecklas. Enligt Boaler
erbjudselevernaientillåtandemiljömedöppna,projektbaserade,diskussionsorientera
deochtankeuppmuntrandearbetssätttillgångtillettkvalitativtannorlunda,ochpoten
tiellt relevantare, matematiskt kunnande, än genom en sluten, läroboks och utvärde
ringsstyrdtypavundervisningdärfokusliggerpåöverföringavformaliseradläroboks
kunskaptilleleverna.Enväsentligslutsatsavhennesstudie,ochcentralfördennaarti
kelstema,ärattdetvar
/…/thetransmissionofclosedpiecesofknowledgethatformedthebasisofthestu
dents’disaffection,misunderstandingandunderachievement”(Boaler,1997,s.145).
Boalernoterarvidareattpressenavettsnabbtundervisningstempoochtävlanhade
ennegativeffektpåelevernasommissförstodochblevhatiskagentemotdetmatematis
ka innehållet. Boaler beskriver hur “speed, pressure and competition encouraged mis
understandingsandhatredofmathematics”(s.147).EnligtBoalerkandettaharesulterat
ienlägrebetygsättningänsomkundeha varitmöjligtföreleverinomandraslagsun
dervisningsomständigheter. Boalers studie indikerar att enskilda elevers situations
baserade känsla av tillhörighet eller mer vardagligt, deras vikänsla, kan vara av avgö
randebetydelseförhurelevensmatematiskaverksamhetutformas.
Utifrånenintervjustudieomeleverssjälvtillit(confidence)kundeJoBoalerochJames
Greeno (2000) hävda det sannolika i att många elever på gymnasial nivå som annars
“would become worldclassmathematicians” vänder ryggen till en matematisk praktik
där handlingsmönstret stöder en passiv, kunskapsmottagande lärandeidentitet. Enligt
BoalerochGreenoavståreleverfrånmatematikdärförattdeintevill”authortheiriden
titiesaspassivereceiversofknowledge”(Boaler&Greeno,2000,s.189).EnslutsatsBoa
lerochGreenodrarfrånsinstudieärattmatematiklärandeochklassrummetsmänskliga
relationerärnäraförbundnamedvarandra.
/…/therelationshipsstudentsform[betweenpeople]intheirclassesarecentraltothe
[mathematical]learningthattakesplace(Boaler&Greeno,2000.,s.182).
DennaslutsatsstöderCorinneAngierochHilaryPovey(1999)iderasargumentation
för en rymligare skolmatematik (spacious pedagogy). Rymligheten innebär omständig
hetersomerbjuderdedeltagandetidochutrymmefördelaktighet,kreativitetochtolk
ningochsomärsocialtinkluderande;allaeleverdeltarpåettdemokratisktsätt.IAngi
ersochPoveysstudieföljdesengruppbrittiskahögpresterande(topset)eleverspåhög
stadienivåochderasläraresskolmatematiskaerfarenheterundertreår.
Elena Nardi och Susan Steward (2003) var inspirerade av Boaler (1997) i sin studie
om ’tyst avoghet’ (quiet disaffection) bland medelpresterande (middleability) nionde
klassareitreklassrum.Tystavoghetkan,enligtNardiochSteward,varaettteckenpåatt
den så kallade matematiska potentialen (mathematical potential) hosdessa tystaelever
riskerar förbli ouppväckt (defunct). De tysta och avoga eleverna är samtidigt relativt
osynligaförandradeltagareiklassen.Kriterietförtystavoghetuppfylldesistudienav
eleversomiklassrummetuppvisade”lowengagementwithlearningtasks”,somföreföll
betrakta lärandeuppgifter som irrelevanta i relation till ”the world outside school and
theirownneeds,interestsandexperiences”ochsomföreföllrutinmässigtgöravadsom
förväntadesutanatt”getsubstantiallyinvolvedwiththetasks”.Utifrånklassrumsobser
20
vationerochkonsultationermedlärarenidentifieradeförfattarnanyckeleleversompas
sadeinomdenbeskrivnaprofilen,samtformuleradehypoteseromorsakertillattvissa
eleveruppvisartystavoghet.DessutomvaldeNardiochStewardutochbeskrevklass
rumsepisoder, ”specific disengagement incidents/episodes of ’invisibility’”, som sedan
varorienterandeförintervjuermedallaelever,såledesintebaradeeleversomidentifie
rats som ’tysta och avoga’. Nardis och Stewards studie resulterade i formuleringen av
femmöjligakällortilltystavoghetimatematikklassrummet:
(1)skolmatematikäretttråkigtskolämne;
(2)detärettämnemedfåmöjlighetertillsamverkanmedandra;
(3)skolmatematikärbundet tillreglerochinnefattarpraktikerdärdetärviktigtatt
minnasledtrådar;
(4) det är ett krävande ämne där endast riktigt intelligenta personer kan lyckas på
riktigt,och,slutligen,
(5)detärettopersonligtämne.
Med Etienne Wengers (1998, 2006) övergripande sociala praxisteori som analytisk
ramtillämpadeYvetteSolomon(2007)teorinstillhörighetsmodell4vidsinkategorisering
och fördjupade analys av utsagor om matematikrelaterade erfarenheter från en grupp
universitetsstuderande. Solomon ville med modellens hjälp granska varför de flesta av
dessamatematikstuderande,varsidentiteterutifrånbetraktatkundebeskrivasiinklude
randetermersom’duktiga’och’potentiellamatematiker’,inteföreföllbetraktasigsom
medverkande i lärandet så som tillhörighetsmodellen postulerar. Hon antog, i likhet
medBoaler(1997),attmatematiskapraktikerformardenlärandesmatematiskakunskap
och att matematikrelaterade identiteter utvecklas genom deltagande i dessa praktiker.
Hennesanalysvisadeattdeflestastuderandeidentifieradematematikmedregelföljande,
menattdettavarenkällatillalltfrånfrustrationtillacceptansberoendepåandraidenti
tetsaspekter, främst synen på den egna förmågan och på förväntade framgångar. Vissa
studerande tog avstånd från inordning i regelföljande aktiviteter med argumenten att
aktiviteterna var ”confusing och pointless”. Andras sätt att höra till var starkare och
uttrycktessomensträvanefter”rightanswersoverandaboveunderstanding”ochsom
en obekymrad acceptans av regler skapade av andra. Andra igen föreställde sig kom
mandeframgångochuttryckteacceptansochtillittillsinmöjlighetattbörjaförståoklara
reglersåsmåningom.
Solomonfördjupadesinstudiegenomattgöraenholistiskanalysavalltsomdestu
derandesagtommatematikämnetsförverkligande.Hennesslutsatsblevattmatematik
ämnetgenomsyrasavvanliga,ochinstitutionelltrotade,myteristilmedatt
a)matematiskförmågaärmedfödd,att
b)matematikerärensammaindivider,snabbapåattgöradeträttaochalltidförstår,
ochatt
c)matematikärettkunskapsområdemanvaresigkanbidratillochgöratillsitteget
ellervarakreativinom.
Sådana myter reproduceras och förs vidare i praxis och förefaller, enligt Solomon,
underminera utvidgningen av många, speciellt kvinnliga, studerandes matematiska
4
Tillhörighetsmodellenutgårifråntillhörighetsominordning(alignment),somföreställning(ima
gination)ochsomengagemang(engagement).
21
kunnande. Dessa studerande tvivlar på sin förmåga och upplever sina matematik
relateradeidentitetersommarginaliserade.
LiksomBoaler(1997)ochDance(1997)förefallerBoalerochGreeno(2000)baserasig
påtvåtydligapremisserisinforskning.Delsattklassrumsmatematiskapraktikerprä
glasavenapriorihomogenitet,enideologisksamstämmighet,somtillåterforskarenatt
beskrivadessaklassrumspraktikeriförtingligande,typifierande,termersomtypiskaför
traditionella, konstruktivistiska, undersökande, etc., klassrum. Dels att de matematiska
praktikersomkarakteriserarmatematikämnetunderförståttkanexisteraförallaelevdel
tagarepålikavillkormedsinakaraktäristiskabegränsningarocherbjudanden.Detföre
fallerävensomomargumentationenidessastudier,liksomiNardisochStewards(2003)
studie, skulle vara baserad på antaganden om matematikrelaterad förmåga och mate
matiskidentitetsomförnuftsenligatillsinnatur.
Gemensamt för studierna ovan är fokus på det generellt gynnsamma/ogynnsamma
förenlärandesepistemologier/matematiskaverksamheturforskarensutanförperspektiv.
EndastSolomons(2007)studiefördjupadeansatsenmotinifrånperspektivetskonstituti
vakomplexitet,motdetsomärdenenskildasmatematiskaverksamhet.Solomons(a.a)
studie indikerade även att Wengers socialapraxisteoriinte är tillräckligtflexibel för att
begreppsliggörakomplexitetenilärandeturenenskilddeltagaressynvinkel.Solomons
(a.a) studie styrkte dessutom det otillräckliga i att betrakta ’matematisk potential’
och ’att vara matematiskt framgångsrik’ som främst förnuftsmässiga och individrelate
radefenomen.Ingenavovanrelateradestudierbelystefenomenetattprestationsmässigt
framgångsrika lärandes relationer till matematik utvecklas åt olika hållöver tid genom
deltagandei’samma’slagsmatematiskapraktiker.
3 METODOLOGI
I artikeln presenteras resultat från en fallstudie inom vilken ett team matematiklära
re/lärarutbildare arbetade för förändringar i högstadiets matematikundervisning i en
finlandssvenskskolaundertreår,1994–1997.Detlokalareformarbetetbildarfallstudiens
institutionellaforskningskontext och presenteras (se avsnitt 4) för att knyta an berättel
serna över elevernas på intervjuer baserade lärandebanor (se avsnitt 5) till situationen
utöver intervjuerna. Den linjära och vetenskapligt traditionella form somartikeln följer
är en efterhandskonstruktion som inte alls gör rättvisa åt den komplexitet som ligger
bakom.Fallstudien,somliggertillgrundförartikeln,äravettberättande,beskrivande
ochlångsiktigtslag(Bassey,1999).
Utanattsjälvundervisavarartikelförfattarenlikväldjuptinvolveradidetlokalare
formarbetet. Den positivistiska premissen att forskaren skall stå utanför det studerade
förattgaranteraobjektivitet,generaliserbarhetochvaliditetupplevdesdärförsometiskt
ochkunskapsteoretisktomöjlig.Pågrundavdettaärfallstudienlokaliseradinometttol
kandeforskningsparadigmdärnärhetenmellanforskarenochdetstuderadekanbetrak
tassomenstyrkaiforskningsprocessen(Ernest,1998;LeCompte,1993).Forskningsmäs
sigt kan ett distanserat förhållningssätt, förutom att deltagarna objektiveras, som Le
Compte(1993)påpekarnedan,dessutominnebäraattforskarenmissarsådantsomverk
ligenärväsentligturdeltagarnassynvinkel.
22
/…/ positivistic science impose a false distance between researchers and the re
searchedbymandatingthattheresearchersmaintainanartificialimpersonalstance
toward the people studied. As a consequence, research informants are treated as
mere objects of investigation. This type of relationship not only impedes the devel
opmentofcathexisbetweenparticipantsintheresearchact,butalsoresultsindata
that present apartial and therefore false, and an elitist and therefore biased, reality
(LeCompte,1993,p.11).
Ytterligarekanfallstudienbeskrivassomreflexiv,medenemergentdesign,vilketin
nebär att emiska aspekter tillåtits växa fram och finnas i förgrunden under forsknings
processen. Robert E. Stake (2000) beskriver ‘det emiska’ som “evolving issues of the
actors,thepeoplewhobelongtothecase”(s.20).’Reflexivitet’ärensociologiskprocess
sominteskallsammanblandasmeddenepistemiskaprocesssomavsesmed’reflektion’.
Reflexivitet som forskningspremiss betyder att det individuella och det sociala antas
varaömsesidigtkonstituerande.Fallstudienhartillåtitsväxaframiettkreativtsamspel
mellanforskningsdeltagarnas(elevernasochreformteamets)budskapochartikelförfatta
rens teoretiska föreställningar (Säljö, 1994). Social konstruktivism tolkad som normativ
undervisningsepistemologi var, som framkommer i avsnitt 4, en teoretisk inspirations
källa för reformteamet, och därmed även för artikelförfattaren. Jag strävade därför i
fallstudiens inledande skede till att använda reformteamets teoretiska gestaltning av
en ”konstruktivistisk” klassrumspraktik och ”konstruktivistiska” pedagogiska åtgärder
(seavsnitt4)somtolkningsram.Acceptansenavenemergentdesigngjordedetmöjligt
att i det fortsatta arbetet undvika en sådan förminskning/förstumning av deltagarnas
röster som en sådan förhandsdefinierad tolkningsram, enligt LeCompte (1993) riskerar
utgöra.
Ifdefinitionsareimposedinadvanceoffieldworkresearchersmayfailtolistenade
quately to feedback from the field, especially to stories that contradict their defini
tions(LeCompte,1993,s.11,betoningioriginal)
Fallstudiencentralastedatakällorär
a) reformteamets aktionsforskningsprocess och dess texter såsom mötesprotokoll,
elevprestationer,läraresbetygsättningar,elevenkäter,lärarenkäter
b) klassrumsobservationer,informellasamtalsamtintervjuermedteametslärare
c) intervjuermedetturvalavderaselever.
Från tre av reformklasserna intervjuades fyra eller fem elever per klassindividuellt
femgångerunderhögstadiet.Högstadieintervjuergenomfördesiseptemberochdecem
ber årskurs 7, i maj årskurs 8, samt i december och maj årskurs 9. Vid högstadieinter
vjuerna,varsstruktureringsgradminskadeövertid,avhandladeselevernaserfarenheter
och förväntningar i relation till typiska matematiklektioner och aktuella pedagogiska
åtgärder.
Idenhärartikelnhörstreelevinformantersröster:Joakims,KristinasochNettes.De
tre var klasskamrater under högstadiet. Klassen undervisades av samma mate
matiklärare,Per,framtilldecemberårskurs9.Viddennatidpunktdifferentieradesma
tematikämnet enligt elevernas studieplaner i ’yrkesmatematik’, ’lång lärokurs i gym
23
nasiematematik’(valdesavJoakim)och’kortlärokursigymnasiematematik’5(valdesav
Kristina och Nette). Per, som efter differentieringen undervisade i gruppen för lång
lärokurs,varenavinitiativtagarnatillreformarbetetochenstöttepelareireformteamets
kollegiala samverkan. Kristinas och Nettes val av kort lärokurs i gymnasiematematik
betyddesamtidigtbyteavmatematiklärare.
Resultaten nedan har ytterligare präglats av Joakims Kristinas och Nettes budskap
vidtillbakablickandevuxensamtal.Minapreliminära,holistiskaochteorigrundadetolk
ningar av högstadieintervjuerna förhandlades vid och fungerade konstituerande för
vuxensamtalen. Liksom vid högstadieintervjuerna var jag i vuxensamtalens tolkningar
känsliginförattexaktsammaordalydelsekunderefereratillvarierandebetydelser.Min
preliminäraanalysavhögstadieintervjuernavisadeattsvarpåenintervjufrågadelskan
påvisa att skolmatematiska praktikers mening för deltagarna bildas av osynligheter
(värderingar,intentioner,etc.)somheltenkelttagitsförgivna,delsattdeltagandetkan
haenheltannaninnebördfördenintervjuadeänvadjagsomintervjuarekundeförestäl
lamigjustdåfråganställdes.
Jagvarävenkänsliginföröverraskandevändningarielevernasbudskap.Tillexem
pel beskrev Joakim vid vuxensamtalet spontant sin novisrelation till universitetets ma
tematiskapraktikersomen”identitetskris”.DettablevenbekräftelseförmigattEtienne
Wengers (1998, 2006) ståndpunkt beträffande identitetsarbete kunde vara en fruktbar,
generativ,metaforfördetfortsattaanalysarbetet.EnligtWenger,somhävdaratt
/.../vivetvemviär,genomdetkändaochgenomdetvikanförhandlaochanvända,
ochvivetvemviinteär,genomdetokända,genomdetbesvärligaochdetsomligger
utanförvårhorisont/.../ickedeltagandeärilikahöggradenkällatillidentitetsom
deltagande(Wenger,2006,s.191,betoningioriginal)kanidentitetsarbetebetraktasi
relationtillenständigtpågåendemeningsförhandling(negotiationofmeaning)inom
ramen för de praxisgemenskaper (communities of practice) vi engagerar eller inte
engagerarossi.Praxisproducerasständigtavdessmedlemmargenommeningsför
handlingar(Wenger,a.a.s.117).
Blandannattolkadejagnuelevenssättattanvändapersonligapronomenibeskriv
ningar av lektionsaktiviteter som ett budskap från elevens plats i dessa aktiviteter och
från hur eleven genom sitt deltagande identifierar kriterier för legitim och potentiellt
framgångsrikskolmatematiskverksamhet.TaJoakimssättattanvändavisomettexem
pel. Hansäger bland annat ”vikommerframtillenregelhur man skall göra”, ”vitarpro
blempåtavlan”,”viförstårhurmanskaräkna”.Sådanautsagorkundetolkassomtecken
på hans medlemskap i en skolmatematisk gemenskap för kvalificerade och kunniga
personer. Kristinas budskap antydde däremot ett annat slag av socialt identitetsarbete
redan vid intervjun i december årskurs 7. Å ena sidan återgav Kristina i accepterande
ordalag, precis som Joakim, en social förväntan om att alla (hon säger: man själv, man
skall)iklassenskallmedverkaiochutvecklaförståelseinomaktiviteterdärteorihäftets
5Pågymnasialnivåerbjudsmatematikundervisningenligtkortochlånglärokurs.Gymnasiets
långalärokursomfattar10ochdenkortalärokursen6obligatoriskastudiehelhetera’24h,såkalla
de”gymnasiekurser”.Inombådalärokursernakanenelevytterligareväljafrivilligastudiehelheter.
Bådalärokursernaavslutasmedettnationelltstudentexamensprov.Provetärobligatorisktendast
inomdenlångalärokursen.
24
regler förhandlas fram. Å andra sidan beskrev hon, var medveten om och accepterade
sittdeltagandeidenna’visomidentifierarregler’–gemenskapsomettmarginelltdel
tagande(honsäger:deformarregeln,manskallförstå,viskriverav).
Teorihäftetärungefärsomenmindreboksomharenmassareglerochexempelsom
mansjälvharskrivitner.Ochdedärreglernasåförsökermanliksomförstsjälvkom
mapåellerliksomklassendå.Jagbrukarintekommapåsåmycket,detärmestpoj
karnatyckerjag.Ochsedansåsägerlärarenomdeträttellerfel,sedanformardeom
regelnsåattmanskallförstådådeskriverupppåtavlanochsåskriverviav.(Kristina,
decemberåk7)
Eftersomjagkändetillhurhögtreformteametslärarevärdesatteeleverssjälvständiga
tänkandeocheleversegetansvarföridentifieringavlegitimtkunnande(seavsnitt4)så
blevtolkningaravovanståendeslagävensignifikantaförminförståelseavhurdiverge
rande betydelser av statusen ”att vara framgångsrik” formades i de tre elevernas skol
matematiskaverksamhet.
4 FÖRÄNDRING GENOM LOKALT REFORMARBETE
Idettaavsnittbelyserjagviktigaaspekteravdetlokalareformarbetet.
Inom ramen för reformarbetet sammankom ett team matematiklärare och lärar
utbildareregelbundetundertreår,1994–1997,förerfarenhetsutbyte,planeringavpeda
gogiska åtgärder och reflekterande återblickar. Teamets arbete var inspirerat av social
konstruktivism som normativ undervisningsepistemologi (se Björkqvist, 1993a; Haapa
salo, 1994), avproblemlösning som undervisningsansats och som ett utvärderingsverk
tyg(seBjörkqvist,1993b;Carpenter,1989;Kilpatrick,1993;Stephens,1994)ochavlära
rensomliktenaktionsforskarelärsigviaforskningisinegenundervisningisyfteattbli
bättrerustadattläggaomdennaförökadmeningsfullhetocheffektivarelärande(Craw
ford, & Adler, 1996; Elliot, 1991; Fennema & Nelson Scott, 1997). Intentionen var, kort
sagt, att bryta invanda handlingsmönster och erbjuda ett större utrymme för lärande
framgångar (RöjLindberg, 2006). Härnäst exemplifieras i korthet några väsentliga pe
dagogiskaåtgärdersomvidtogs.
De mest centrala frågorna för teamet var hur undervisningen, i enlighet med kon
struktivistiska lärandeteorier, skulle kunna stöda bildandet av alltmer kraftfulla mate
matiskakunskapsstrukturerhoseleverna,utvecklaelevernasmatematiskatänkandeoch
förståelseavmatematiksamtelevernasansvarstagandeförsittlärande.
Reformarbetetsfrämstasyftevarattskördastörrelärandeframgångariformavsjälv
ständigt, matematiskt tänkande och ansvarsfulla elever än med en ”traditionell” mate
matikundervisning,menäveniformavattelevernanårenhögrenivåpåsittmatema
tiskakunnandeänförr.
LärarenPer: Efter att eleverna gått ut högstadiet så har de varit alltför passiva. Med
traditionellmatematikundervisningsåhardeintelärtsigatttaansvarförvaddekan
såhemsktbra.
AnnSofi: Tror du att [reform]eleverna då de går ut årskurs 9 står sig lika bra vad
gäller[matematik]kunskapersomeleversomgåttigenomtraditionellundervisning?
25
LärarenPer:Dettrorjagabsolut,omviharlyckats,förattiochmedattdehartilläg
natsigmerakunskapochpratarmeraomkunskapenpåegenhand,såbördehamer
aktivkunskap.Åtminstoneärdetsomärmålet.Såegentligenärdetettmisslyckande
omvikommertillsammanivåsomtidigare.
Teamet var även påverkat av den starka optimism som uttrycktes inom den veten
skapligadiskurseninförmöjlighetenattförändraskolmatematiskpraktik,ochattskörda
störrelärandeframgångar,viaenförändradutvärderingspolicy(Björkqvist,1993b).Iden
naskulleutvärderingsbasenbreddasfrånskriftligaprestationersåattäveneleverstan
keprocesserochsocialasamverkanvidlösningenavmatematiskaproblemskulleliggai
förgrunden.Medandraordaccepteradereformteametfulltutatt
[S]uccessfullearnersbuildtheirownunderstandingofmathematicsandneedbothtoreflecton
theirexperienceandtocommunicatewithothersaboutit/…/Whatisassessediswhatreally
counts.(Kilpatrick,1993)
Avdennaanledningintroduceradestvåsärskildatyperavuppgifter,klassproblemoch
projektarbeten, i syfte att kombinera matematisk problemlösning med formell utvärde
ring. Klassproblemen(se ett exempel i Appendix) löstes vanligen under lektionstid och
som elevens enskilda arbete. Vid en tillbakablickande diskussion under det tredje re
formåret noterade en lärare att klassproblem gett honom ”en bra bild av hur eleverna
tänker”.Projektarbeten,varettåterkommandeinslagunderhögstadiet,totaltnio,ochvar
mer omfattande än de uppgifter eleverna mötte i läroboken. Men de var inte en inte
grerad del av matematiklektionerna utan löstes på sidan om, som hemarbete under en
tilltvåveckor,förattsedan,ilikhetmedlösningarpåklassproblem,lämnasintilllära
renförutvärdering.
Teorihäftet var ytterligare en väsentlig pedagogisk åtgärd. I teorihäftet förväntades
eleverna skriva ner regler och generella strategier som formulerades och förklarades i
samband med gemensamma, lärarledda, genomgångar i klassrummet. I anslutning till
teorihäftet blev explicita, tankeväckande frågor viktiga undervisnings/utvärderings
verktyg för lärarna, under lektionerna exempelvis med formen ”hur tänkte du då du
komframtilldetdärsvaret”eller”kanduformuleraregeln/förklararegeln”.Imatema
tikprov tog de tankeväckande frågorna formen av så kallade förklaringsuppgifter (se ett
exempeliAppendix).
Reformteametantogattfrågor/uppgifteravovanståendeslagskullefrämjaenfram
växandemedvetenhethoselevernaomeffektivatankeochlösningsprocesser.Enökad
kognitiv medvetenhet skulle i sin tur stöda elevernas identifiering av legitima begrepp
ochkunskapsstrukturer.Lärarnaiteametsadesigeftersträva”merainduktion,meraatt
elevernaskallfåhittapåochmeraavattelevernapratarochförklararförvarandra”och
ville erbjuda eleverna möjlighet att ”skapa matematiken och dess betydelser själva, få
upptäckastrukturer”.Elevernabordeinte”påtvingaslösningsmodeller”.Vidareantog
lärarnaattderasegenväxandemedvetenhetomeleversmatematiskatänkandeskullefå
enspridningseffektochkunnahjälpademattisinlärarrollkommalossurgamlavanor,
ursådanafastrotadekognitivaochsocialahandlingsmönstersomJeffGregg(1995)besk
riveritermerav”beliefsandpracticesofthetradition”.Lärarnatänktesig,kortsagt,att
reformarbetet på lång sikt skulle kunna stöda en sådan meningsförhandlande process
inom matematikämnet där förändrade handlingsmönster och förändrade, ur läran
26
desynpunkt mer fördelaktiga, normer för skolmatematisk praktik växer fram (Röj
Lindberg,2006;Yackel&Rasmussen,2002).
5 TRE DIVERGERANDE LÄRANDEBANOR
UtifrånsettpekartillgängligadataöverläraresbetygsättningentydigtpåattJoakim,Kris
tinaochNettevarframgångsrikaeleverunderdengrundläggandeutbildningen.Allatrenådde
utmärktaellergodaresultatisinamatematikstudierundersåvällågstadietsomhögsta
diet.Detrevarframgångsrikaäveniandragrundskoleämnenänmatematik.Dettaindi
kerasavattallatrefortsattemedstudierpågymnasialnivåochsedanpåuniversitet.För
gymnasiematematikens del, där de studieval som de tre hade träffat redan i december
årskurs9fullföljdes,synsdäremottydligdivergens.Setabellen1nedan.
MAKEKO 6/7
Joakim
Kristina
Nette
98 %
77 %
84 %
6
(% rätta svar)
September åk 7
Lågstadiet
10
8
8
Högstadiet
10
8
8
Gymnasiet
9
7
7
Gymnasiekurser
11 (lång lk)
8 (kort lk)
6 (kort lk)
Studentexamen7
E (47/60 p)
M (31/60 p)
---
Slutbetyg
FörJoakimsdelöppnadesedanhansutmärktaresultatigymnasietslångalärokursi
matematik porten till studier i byggnadsteknik vid en teknisk högskola. Kristina och
Nettefortsattemedstudieriteoretiskpedagogik(Kristina)respektiveutvecklingspsyko
logi(Nette).Vidvuxensamtalenvardei,ellerpåvägini,yrkeslivetmedframgångsrika
universitetsstudierbakomsig.
Genomtrekortaberättelserillustrerashärnäst,iformavframväxandelärandebanor,
Joakims,KristinasochNetteserfarenheterochhurderasrelationertillskolmatematiska
praktikerförändradesfrånårskurs7tilltidpunktenförvuxensamtalet.
5.1Joakimslärandebana
Joakim arbetar vid vuxensamtalet med byggnadsrelaterad planering och fattar därmed
dagligenbeslutbaseradepåmatematiskaöverväganden.Dåhansertillbakapåskolma
tematiskpraktikärdetmotbakgrundavatthan”alltidhartycktommatematik,detblev
aldrigblevettproblematisktämne”ochmedengrundmuradochstrategiskacceptansav
matematikämnet som viktigt och relevant för utvecklingen av hans matematiska kun
MAKEKOtestutnyttjadesavspeciallärarnaireformskolanförattidentifieraelevermedspecifika
bristerikännedomommatematikensolikadelområden.MAKEKOtestenärbaseradepågrund
skolanscentralalärostoffimatematik.
7Istudentexamenfördelarsigbetygsvitsordenblanddedeltagandepåungefärföljandesättiett
ämne:L5%,E15%,M20%,C24%,B20%,A11%,I(=ickegodkänd)5%.Semeraomdenfin
ländskastudentexamenpåadressenhttp://www.ylioppilastutkinto.fi/sv/studentexamen/
6
27
nande.Förhansdelhademedlemskapidesspraktikeröverårenförenatstillstarktposi
tivaminnenochtillatthanidentifieradesigsomdelaktigiengemenskapav”viskickli
ga,somkansådanthär”.Hanhademedverkatigemenskaperavdemsomdelsförhand
lade regler och deras mening och dels accepterade dessa regler som konstitutiva för
alltmergenerellasättatttänkainommatematikämnet,dvs.justprecisdetslagsmatema
tisktkunnandesomreformteametisinutvärderingsdiskursrankadesomhögst.Följande
utdrag är ur intervjun med Joakim i december årskurs 7. Joakim beskriver i utdraget
en”typiskmatematiklektion”.
Joakim: [Läraren] frågar hur ska man räkna och sedan markerar de som vet. Ibland
kommerviframtillenregelhurmanskagöra.Såskrivervineddenihäftet.
AnnSofi:Vemformulerarregeln?
Joakim: Vi brukar gör det tillsammans. Eleverna får förstsäga hur det ska vara men
sedankanskeviintekommerpåriktigträttuttrycksåhjälper[läraren]oss.
Gemenskaperna upprätthölls under högstadiet såväl av deltagarnas acceptans och
tillittilllärarenochreformprojektetspedagogiskaåtgärdersomavenbelönandelekfull
hetochextraordinäramatematiskautmaningar.TackvarereformprojektetkändeJoakim
sigsomenprivilegieradelev.
Vihade[eformprojektet]medbättrematematikundervisning,klassproblem,projekt,
kändemigprivilegierad.Vihadeteorihäfteochövningshäfte,faktisktbraochklart.
[Joakimciterarläraren]”härärdagensteori,dethärärviktigt,teorihäftetkannibära
meder,övningshäftetomdetbrinneruppfårninogettnytt”.Vissadagarvardeten
lektionmedbarateoriochvissadagarvardetbaraövning.Kläcktemanennivåsvå
rare,dendärlaudaturnivån,såhadevialltidvårt[tecken]somvarlärarensbelöning
dåmanvarextraskärpt8.Vihadenågotandraklasserintehade/.../manförstodatt
vificklitesvårareänenligtläroplanen/.../någotattvarastoltöver,liksomklassens
image/.../manblevsom,åhå,nogärviganskaskickligasomkansådanthär.
Bortsett från den krisartade förvirring och otrygghet han upplevde, men övervann,
som novis i högskolans matematikundervisning delvis för att hans matematiska kun
nandeintelängrebetraktadessomlegitimt,
Man kom som nybakad student med goda papper i lång matematik och trodde att
matematikeninteskulleblidetstörstaproblemetvidstudiestarten.Frånatthakom
mitfrånensådanhärhyfsatstyrdundervisningsåfannsdetplötsligtingenstyrning
alls.Detvarsomattmankastadesutpåenhelttomspelplanochmanskulledärdå
börja försöka hitta rätt. Det var som väldigt abstrakt till en början, med att försöka
förklara matematikens grundbegrepp som man själv, de fyra räknesätten som man
själv hade tagit som för givna, att börja ifrågasätta sådant. Om man gårriktigt som
tillgrundensåmankändesigintesomtrygg,matematisktsetttrygg.
8LärarenPeranvändeiklassenettsärskiltfingerteckensomenbelönandesymboldåeleversindu
ceringavettviktigtmatematisktsammanhanglyckatsväl.Persövertygelsevaratt”elevernaskafå
hittapåsaker”.Joakimbeskriverivuxensamtalethur”[läraren]visademedfingret,attnuvarklon
frammeochkrafsadepånågot(somvarsomcentraltförmatten?)jo,ellerjustsådärattmanom
mandåförstodattxikvadratärniesådåskamantakvadratrotenurnieförattfåx”.
28
så fortsatte Joakims matematiska verksamhet över åren att vara kantad av prestations
mässigframgångochprägladavpositiva,pådelaktighetbaserade,upplevelser.
5.2Kristinaslärandebana
Kristinaberättarvidvuxensamtaletatthonnysssattpunktförsinavhandlingprogradu
om mångkulturell undervisning. För hennes del hade deltagandet i skolmatematiska
praktiker över åren format sådana erfarenheter av skolmatematik som en marginell
praktiksomkansammanfattasmed”jagtyckteommatematik,mendetvarinteförmig”.
Kristinasmatematiskaverksamhet,ävenomdenomfattadesporrandeochinkluderande
element,hadesåledesintevaritentydigtkantadavframgångar.Honvaldesjälvmantatt
ta första gymnasieårets matematikkurser i repris för att hon föreställde sig behovet av
matematikkunnandeförenbanasombiolog.Honvaldeattavläggadetfrivilligamate
matikprovet i studentexamen (se fotnot 3). Framträdande i alla intervjuer, och speciellt
somniondeklassare,ärhennestillittillochlojalitetgentemotmatematiklärarnaochhen
nesinordningiochansvarsfullaacceptansavmatematikämnetskravpåförståelse.
Lärarensomundervisarhanförsökerfaktisktläraossnågonting.Mankanjuintelära
sigmatteutantillutanmanmåstejulärasigattförståmatte.
UnderhögstadieintervjuernatarKristinaiblandavståndfrånmatematiksometttrå
kigtämne,”jagtyckerattmatteärganskatråkigt,detmåstejagsäga”,menkonstaterar
ocksådesssocialastatusochföreställersigmatematikkunnandetsframtidanytta,”man
kanjuintebaratänkapådetsomärroligthellerutandetärjuviktigt”.Bådeunderhög
stadiet och som vuxen beskriver hon läroboken i positiva ordalag och med hänvisning
till den säkerhetskänsla som lärobokens och övningshäftets påtagliga uppgiftsstyrda
aktivitetsstrukturhadeerbjudit.
Dendärvitatjockabokenfrånhögstadiet,enordentligmatematikbok(...)jagtyckte
omdenävenomdetvarväldigtsådäruppräknatmeddedäruppgifterna.
I vuxensamtalet förklarar Kristina hur matematiska ämnen kan vara ”de roligaste
ämnen som finns då man lyckas, hinner med och kan räkna”. Likväl såg hon det som
omöjligt att inkludera sådana ämnen i studier och yrkesliv för att de, och matematik
ämnetisynnerhet,apriorierbjuderenalltför,somhonsäger,”snävram”förkreativitet
och social rymlighet. För henne betydde skolmatematik ett utmattande arbete. Arbetet
konstitueradesavsökandeefterreglerochmodellerförattproduceraderättasvarenpå
väldefinieradeproblem,”atthittavilkenlösningsmodellsomhörihopmedvilketprob
lem”. Arbetet gjordes i praxisgemenskaper av dem som accepterade dessa regler och
modellersomgivnaavandra.
[Matematik]harnoginteallssammamöjligheterförkreativitet[somnågonprojekt
uppgiftimodersmål]tyckerjag.Matematikärjustattdärfinnsrättasvarochdeär
derätta.Detfinnsliksometträttsvar.Duharintemöjlighetattdiskuteradigframtill
någotungefär.Därfinnsetträttsvar.Jagtrorattdettasistochslutligenvargrunden
till att det sedan blev pedagogik i stället för biologi. För biologi är också ett sådant
ämneatthärfinnsderättasvaren,medanpedagogikärmerasådärattmanfårdis
kutera sig fram till och se vad som kan ligga bakom vissa svar och så vidare /.../ I
mattesåharduenganskasnävramförattdärfinnsdegivnareglerna,ochdegivna
29
typerna av problem och de givna lösningsmodellerna. Men för att hitta vilken lös
ningsmodell som hör ihop med vilket problem så behövs ju en viss typ av kreativt
tänkande.
5.3Netteslärandebana
Då vi möts i vuxensamtalet är Nette assisterande lärare för elever i årskurserna sju till
nio.Vissaavhenneseleverhar,somhonsäger,”diagnosendyskalkyli”.Honförefaller
speglasinaegnaskolmatematiskaminnenviasinaeleverserfarenheter.Gradenavfru
stration i dessa minnen kan anas då sjundeklassarens tillitsfulla och framåtblickande
budskap jämförs med den vuxna Nettes alienerande självvärdering som uttrycker en
kognitivbrist,”jagharnogaldrighaftnågotmattehuvud”ellermeddenvuxnaNettes
tydliga missnöje med oinspirerande läroböcker och med ett legitimt kunskapsinnehåll
av ”bara siffror och formler” som förefallit onyttigt och som, projektarbeten till trots,
förblivitobegripligt.VidvuxensamtaletberjagNettedlgesinaerfarenheterfrånhögsta
dietsprojektarbeten.
DådusägerordetTangram9såförmigärdetbarabollarochstreck,jaghartydligen
uppenbarligenintehaftnågonnyttaavdetimittvuxnaliv,tillexempel.Sådärhar
jag nog i så fall bara satsat på att göra ett fint projektarbete på papper, medan den
där matematiken nog har varit en bisak. Kan jag tänka mig. Men jag kommer inte
ihågattjagskullehagjortettsådantdärprojekt.
Förstnusomvuxenharhon,genomattsjälvundervisamatematik,identifieratlogi
kenbakomdereglerochmodellerhontidigareföljtutanattförståvarför.
Dehärekvationerna,ellerdåminusochminusblirplus,detdärförstodjagaldrigi
högstadiet,nuhadevidetjust,ochnuklickadedetförmighurmanskallförstå.
Somsjundeklassaredeklarerarhonmedövertygelse,precissomJoakimochKristina,
att”matematikärettviktigtämne”.Hennessättattanvända”vi”,tillexempeli”vihar
teori”, är en indikation på att hon då förefaller betrakta sig själv om delaktig i den ge
menskapdärreglerochmodellerformuleras.Hontänkersigenlärandebanamedlång
lärokursigymnasiematematikochharenyrkesbanasomveterinärisikte.Hennestillits
fullabudskap”detbrukarintevarnågotjaginteförstår”uttryckerentydligövertygelse
omattmatematikintekommerattblietthinderpåvägen.Honärävenmedvetenomatt
detfinnsensocialförväntanomatteleverskallsåväl”tänkasjälv”som”räknarätt”.
Pålågstadietvardetmerasådärattdebaragavsidoråtossochsåsadeatträknadet
härochsedanomdetblevproblemsåkanskevigickigenomnågonuppgiftpåtav
lan.Nuärdetmerasådäratt[läraren]frågarsådantsåattmanmåsteriktigttänka
självochtänkautsvaren.(...)
Varkenkorrekträknandeellersjälvständigttänkandeinomramenförskolmatematik
ärhandlingarhontaravståndifrånunderhögstadiet,utantvärtom,aktiviteterhonan
svarsfulltaccepterar.
9Benämningen”Tangram”syftarhärpåettprojektarbetesomelevernaireformklassernautförde
undervårtermineniårskurs7.Nettesarbetehadebetygsattsmeddetberömligavitsordet9.
30
Jag tycker detär kul att få jobba som mednånting en längre tid att riktigt som för
djupa sig (...) Man får fram sina egna åsikter (i projektarbeten) men om du har ett
vanligtmatteproblemsåärdetjusomattdetfinnsetträttsvarochettsomärfelatt
dåärdetjuintesåstorskillnadegentligenbaramanräknarrätt.
Nettessträvaneftersammanhangsbundenförståelseisittlärandeärettframträdande
budskap i alla intervjuer. Även den röst förblir stark som uttrycker det självklara i att
lärarens förklaringar behövsför att hon skall uppnå eftersträvad förståelse för den nya
matematiska teori som hon förväntas tillägna sig, också i situationer där hennes eget
engagemang beskrivs som marginellt. ”[Läraren] visar exempel på tavlan eller skriver
några regler (...) Jag ifrågasätter nog tills jag får en förklaring”. Kritiken från en skol
matematisk verksamhet som berövas möjligheten till engagemang växer sig dock allt
starkare. Den kulminerar i maj årskurs 9 i ett desillusionerat budskap som konstaterar
matematikämnetstypiskabristpåvariation,”detärbaraatträknahelatiden”,ochsom
ifrågasätterenundervisningdärhonavkrävsinordningutanförståelseunderregleroch
modellerskapadeavandra.
Jagorkarintekoncentreramejpådetdärsomhangårigenom,jagbarasitterdär,det
hansägerdetgårutgenomandraörat,detblirintetillnåntingochsedansågårju
provendåligtförattjaginteharorkathängamedidetsomhanharundervisat.Jag
behövertidpåmejförattförståolikagrejorliksomsådär.(...)Jagharaldrigtycktom
matte,haralltidtycktattdetärlångtråkigtsåinteärdetnågonskillnad.Detharing
etmedlärarenattgöra.Detärjustdetattjagintetyckerattdetärintressant.Matteär
sådantattfastdetärolikasakermangårigenomsåärdetändåatträknabarahela
tiden, det är inte någon skillnad, det är som så långtråkigt, det är som samma sak
hela tiden. Lektionen skulle vara outhärdlig om man inte skulle ha någon att prata
med.
5.4Sammanfattning
Ovanstående berättelser har illustrerat tre elevers framväxande och olikartade lärande
banorirelationtillskolmatematiskapraktiker.Berättelsernavisarattlärandeäreniden
titetsformande process där delaktighet och engagemang i de praxisgemenskaper där
legitimtkunnandeförhandlasäravcentralbetydelse.
Över tid förblir Joakim positionerad i kärnan och Kristina i marginalen till dessa
praxisgemenskaper medan Nette ger allt tydligare uttryck för en utifrån position och
medverkan i praxisgemenskaper där tillhörigheten i växande grad formas av ’osssom
aldrigtycktommatte’änavmatematisktengagemang.
31
Joakim
Nette
Nette
Kristina
Kristina
6 DE(T) GÅR JU BARA VIDARE EFTER LÄROBOKEN
Då Nette som niondeklassare i maj tillbaka på sina erfarenheter av matematikämnets
förändring under högstadiet komprimerar hon två av de institutionella särdrag som
förefaller ha bidragit till att en anmärkningsvärt bestående, potentiellt exkluderande,
struktur upprätthölls genom högstadiets skolmatematiska praktiker under de tre år
reformarbetetpågick.
Intevetjagomdetpådetsättetharförändrats.Utandetgårnubaravidarefrånsjuan
sedantillåttanochsedantillnian.Detgårjueftermatematikboken,intetyckerjagatt
det har förändrats någonting. Det har nog varit ganska lika. De går ju efter lärobo
ken.
Fördetförstapekarkonstaterandet”degårjuefterläroboken”pådenframträdande
bok/uppgiftsstyrningen av matematikämnet. Lärobokens medierande roll för Nettes och
andraeleversföreställningaromframgångochlegitimtmatematisktkunnandekansåle
desantashavaritstarkt.Fördetandraindikerarhonmatematikämnetslinjära,förutsäg
bara,stegförstegkaraktärdärallt”baragårvidare”påsedvanligtmanér.Ytterligaresär
drag har identifierats inom fallstudien, men berörs inte i den här artikeln (se Röj
Lindberg,2009).
Det legitima kunnandets natur fortsatte under de tre elevernas högstadietid i första
hand att förmedlas genom uppgiftsstyrda aktiviteter; via exempel i teorigenererande
syfte,viabokuppgifter,menävenviauppgifterinomramenförolikaslagsutvärderingar,
inklusive klassproblem och projektarbeten. För lärarna i reformteamet var det heller
aldrigaktuelltattslutaförlitasigpåelevernaslösningav(bok)uppgiftersomdenvikti
gaste källan till framgångsrik skolmatematisk verksamhet10. Lärarna ville inte att refor
marbetetspedagogiskaåtgärder,avnågonkallat”alltdethärandra”,skulle”brytasön
der, spjälka, splittra” de undervisningstraditioner de var vana vid. Deras intention var
att ”orientera om sig utan att kasta bort sådant som har varit bra i det tidigare” (Röj
Lindberg, 2006). Tillgängliga data tyder på att skolmatematiska praktiker förblev inom
Attreformteametslärarevarlärarutbildareochattvissaävenvarförfattaretilldenläroboksserie
somanvändeskaninteuteslutassombetydelsefullaförattlärobokensstarkaochstyranderollinte
nämnvärtifrågasattesinomreformteamet.
10
32
ramen för det Ole Skovsmose (2000) beskriver som ett exempel/ övningsparadigm. Det
matematiskakunskapsinnehållethanteradesspråkligtinomramenförenuppgiftsdiskurs
(MellinOlsen,1990)ochfördeladesavlärarentillelevernaenligtläroböckernasavsnitti
räckor av uppgifter som, enligt niondeklassaren Joakim nedan, ”har med avsnittet att
göra”.
Intetyckerjagnudetharförändratssåmycket.Nuhärnärviharbyttinidendär
långamattegruppensåharvifåttlitemeraläxa.Förrsåvarläxornaintesåviktiga,de
kanske inte ens gicks igenom på timmen sedan. Men nu brukar vi först gå igenom
läxornaochkanskenågonannanuppgiftfrånboken.Vibrukarräknaganskamycket
på timmen, sedan tar vi någon sådan här teori med nya exempel. Så är det för det
mesta.Iblandärdetklassproblemochsåislutetavtimmensåfårvienläxasomhar
meddetnyaavsnittetattgöraochsåfårmanbörjaräknapåden.
Redan den första intervjun med Joakim innehåller budskap om bokuppgifternas
självklara acceptans och status i hans skolmatematiska verksamhet. Via framgångsrik
uppgiftslösningbekräftadeshanstillhörighetigemenskapenav”osssomkommitunder
fund med hur vi ska räkna och kan hjälpa andra”, eller, som han säger i vuxensamta
let,”viskärpta”.
Joakim:Förstbrukarvigåigenomnågotpåtavlanochsedannärviharkommitun
derfundmedhurviskaräknadetsomvihargåttigenompåtavlansådåfårviarbeta
iboken.Jaggillardetattmanförstfårsittaochtadetlugntochföljamedochsedan
såfårmanarbetadå,desista20,25minuterna.Fördetmestajobbarmanenskilt,kan
skemanfrågarellerhjälperbänkkamraterna,mansamarbetarlitet.
AnnSofi.Vadtyckerduärallrabästmedmatematiklektionerna?
Joakim:Detärnogattfåjobbasjälviboken.
IKristinasskolmatematiskaverksamhetstöddearbetetmed”vanligauppgifteribo
ken där det redan är bestämt hur man måste räkna” memoreringen av ”givna regler,
givna typer av problem och givna lösningsmodeller”. Uppgiftsstyrda aktiviteter erbjöd
henne eftersträvad säkerhet och trygghet i det matematiska kunnandet. ”Då jag fick
räknamedboktycktejagattjagförstod”,konstaterarKristinaivuxensamtalet.FörNet
te, däremot, blev läroboken ett allt tydligare fönster mot de praktiker hon kände sig
alltmerfrämmandeinför.Honföreställdesigutrymmeförattutforskadetmatematiska
kunnandets sociala nytta; attmed matematiskt kunnande fördjupa sig iområden utan
för ”matte [som] bara siffror och formler”; att uttrycka egna åsikter via matematiskt
kunnande. Detta slags utrymme förblev dock starkt begränsat i en skolmatematik där
eleverförväntas”sittaochräknauppgifterhitochditimatteböckerdärallauppgifterser
likadanaut”.
Joakim,KristinaochNetteframföriintervjuernaettenigtbudskapomattprojektar
betekanerbjudautrymmeförettmervarierat,självständigtochfördjupat,ävensocialt,
engagemangänvadskolmatematikenshandlingsmönsteröverlagerbjöddem.Projektar
betens legitimitet i elevernas skolmatematiska verksamhet förblev dock främst baserad
påinommatematiskaaspekterochenskilttänkande.Ettfenomensomkanhänförasdels
tillattprojektarbetenintroduceradessomendelavutvärderingspolicynenelevsstatus
som ’framgångsrik’ bekräftades via projektarbetet som förmåga att ”upptäcka mönster
33
och formulera regler” (ur Bedömningskriterier uppsatta av teamets lärare). Dels till att
projektarbetenunderställdesuppgiftsdiskursenshegemoni”egnaåsikter”erbjödssyn
lighetiprojektarbeten,menförblev’påsidanom’ideklassrumsbaseradegemenskaper
där naturen hos legitimt kunnande förhandlades. Utdragen nedan ur intervjuer med
Kristinaärillustrativaidettahänseende.Gradenavlegitimitetikunnandetbedömsav
Kristinairelationtill”sådantsomvihållerpåmediteorihäftet”.Denutvidgningisocialt
hänseendesomhondefactoävenhänvisartillbetraktarhonsomsekundärt,detär”in
tressant”,”roligt”,”omväxlande”,men”intesomsåviktigt”,ochframförallthadedetta
socialakunnande”ingentingmedmatteattgöra”.Idecemberårskurs8frågadejag
Lärmansignågontingviaprojektarbetesommanintekanlärasigvidvanligmate
matikundervisning?
ochKristinasvarade”jo”,men....
Jo,mendetharinteegentligensåmycketmedmatteattgörasådantsommanlärsig
där.Manfickjuseliksomvadarbetslöshetenär,hurmycketarbetslösadetärhäri
Finlandegentligen.Mendetharjuingenting medmatteattgöra.Intetyckerjagatt
jagharlärtmignågontingsomharsommedmatteattgöra.Sådantsomvihållerpå
mediteorihäfte.Inteärdetsompådetsättetsomjaglärmigdåjaggörettprojekt.
Ettårsenare,idecemberårskurs9,ställdejagfråganånyoochKristinasvaradeigen
”jo”,men...”detjaglärdemig,detvarintematte”
Intevetjagnuomjagkansägaattjaglärdemignågontingavdet.Menjagtyckeratt
detvarsomroligtbarasomomväxlingfrånsådanthärvanligt.Inteharjagförrgjort
någongallupundersökning,såjagtycktedetvarroligtattgåomkringochknackapå
vidolikaklasserochbedemattfyllai[undersökningen].Intekanjagsäganågonting
somjagdirektlärdemigattdethärharjagintevetatförr.Förståsdåmansedansåg
detdär projektet då det var färdigt så fickman ju veta liksom vilket djur som man
harmestavochvaddetkostarungefärochhureleverspenderartidpådethärdjuret
och varför dehar djur och sådant. Men det är som mest för eget intresse. Det är ju
intesomsåviktigt.Mendetärnogheltroligttyckerjag.
7 FRAMGÅNGSSAGA OCH PYRRHUSSEGER
Artikelns tema har vuxit fram ur holistiska granskningar av intervjuer och samtal med
reformlärareochderaselever,varavtreeleverfrånsammaklassrumvaldessomnycke
linformanter. Fem elevintervjuer genomfördes under högstadiet och ett retrospektivt
samtalivuxenålder.Iartikelnanknytsdessaeleverserfarenheteravförverkligadema
tematiskapraktikertillderasmatematiklärarespedagogiskareformintentioner.
Blandlärarnaireformteametuttrycktesenexplicitförhoppningombättreakademis
ka prestationer som ett resultat av den aktiva kunskap mer ansvarsfulla elever skulle
erbjudas förvärva. Bättre akademiska prestationer förväntades s.a.s. ’komma på köpet’
somföljdavdepedagogiskaåtgärdersomvidtogs.Rubrikenovanskallförståsmotden
bakgrunden.Reformarbetetkandefactobetraktassomen”framgångssaga”irelationtill
dessavsikter.
34
DetreelevernaJoakim,KristinaochNettenåddeutmärktaellergodaresultatisina
matematikstudier under grundskolan. Intervjuerna visade även att de alla tre under
högstadietfortsatteattvarasynnerligeninställdapåattaxlaansvarförsittkunnandeoch
försittlärandeavlegitimskolmatematik,samtatttänkasjälvständigt.Devar,kortsagt,
attbetraktasomframgångsrikaelever.
Mendådetreelevernaslärandebetraktasöverettlängretidsspannframträderkon
turerna av en Pyrrhusseger. Lärandebanorna uppvisar förluster längre fram vilket syns
speciellttydligtförNetteochKristinasompåolikagrundervänderyggentillmatema
tiskapraktiker.
Kristinastillitochansvarfullhetsynsihennesbudskapomenutmattandekampför
att ”hänga med” för att lära sig regler och modeller och kunna lösa matematiska pro
blem,somgettsavandra,på’rättsätt’.Enkampsombidrogtillatthonbeslötutesluta
matematikursittyrkesliv.
Nette accepterade vid övergången till högstadiet ansvarsfullt lärande och självstän
digttänkandesomsjälvklarheter.Motivetföratttadelidegemenskaperdärregleroch
modellerformuleradesförsvinnerdocköveråren,främstförattdessagemenskaperinte
samtidigterbjödutrymmeförattutforskadetmatematiskakunnandetssocialanytta.
Joakim då? Mot bakgrund av de budskap som artikeln presenterar förefaller Pyrr
husseger i hans fall vara olämplig som metafor. Fallstudien innehåller dock även för
hansdelbudskapommarginaliserandeaspekter,såsomkänslanavskam(Bibby,2000)
han uttrycker vid vuxensamtalet inför svårigheten att omsätta teoretiskt matematiskt
kunnande”pårättsätt”ipraktiskhandling.
8 REFERENSER
Bassey, M. (1999). Case study research in educational settings. Maidenhead: Open
UniversityPress.
Bibby,T.(2002).Shame:anemotionalresponsetodoingmathematicsasanadultanda
teacher.BritishEducationalResearchJournal,28(5),705–721.
Björkqvist, O. (1993a). Social konstruktivism som grund för matematikundervisning.
NordiskMatematikkdidaktikk,1(1),8–17.
Björkqvist, O.(1993b). Socialconstructivism and assessment. P. Kupari& L.Haapasalo
(red.), Constructivist and curriculum issues in school mathematics education.
Mathematics Education Research in Finland: Yearbook 1992–1993 (ss. 23–34).
Jyväskylä:UniversityofJyväskylä.
Boaler, J. (1997). Experiencing school mathematics. Teaching styles, sex and setting.
Buckingham:OpenUniversityPress.
Boaler,J.&Greeno,J.G.(2000).Identity,agencyandknowinginmathematicsworlds.I
J.Boaler(red.),Multipleperspectivesonmathematicsteachingandlearning(ss.
171–200).London:AblexPublishing.
Brunell,V.(2007).Klimatochresultatidenfinlandssvenskagrundskolanenfördjupad
analysavPISA2003.Helsingfors:Svenskakulturfonden.
35
Carpenter,T.P.(1989).Teachingasproblemsolving.IR.I.Charles&E.A.Silver(red.),
The teaching and assessing of mathematical problem solving (ss. 187–202).
Reston:NCTM.
CookSather, A. (2002). Authorizing students perspectives: Toward trust,dialogue and
changeineducation.EducationalResearcher,31(4),3–14.
Crawford,K.&Adler,J.(1996).Teachersasresearchersinmathematicseducation.IA.J.
Bishop(red.),Internationalhandbookofmathematicseducation(ss.1187–1205).
Amsterdam:Kluwer.
Dance,R.(1997).Acharacterizationofaspectsofthecultureofasuccessfulmathematics
classroominaninnercityschool.Michigan:UMIDissertationServices.
Elliott,J.(1991).Actionresearchforeducationalchange.MiltonKeynes:OpenUniversity
Press.
Ernest, P. (1998). The epistemological basis of qualitative research in mathematics
education:Apostmodernprespective.IA.R.Teppo(Ed.),QualitativeResearch
MethodsinMathematicsEducation.MonographNumber9(ss.22–39).Reston:
NCTM.
Ewing,B.(2004).“Openyourtextbookstopageblah,blah,blah”:“SoIjustblockedoff!”.
I I.Putt, R. Faragher & M. McLean (red.), MERGA 27: Mathematics education
forthethirdmillennium:Towards2010.(Vol.1,ss.231–238).
Fennema, E., & Nelson Scott, B. (Eds.). (1997). Mathematics teachers in transition.
Mahwah:LawrenceErlbaum.
Gregg, J. (1995). The tensions and contradictions of the school mathematics tradition.
JournalforResearchinMathematicsEducation,26(5),442–465.
Haapasalo, L. (1994). Konstruktivistiska riktlinjer för utvecklandet av matematik
undervisningeniFinland.IO.Björkqvist&L.Finne(red.),Matematikdidaktiki
Norden(ss.69–101).Vasa:Pedagogiskafakulteten.
Kilpatrick, J. (1993). New perspectives in assessment. Seminarium vid Pedagogiska
fakulteteniVasa22.9.1993.
Kupari, P. (1993). Matematiken i den finska grundskolan. Attityder och kunskaper.
NordiskmatematikkdidaktikNOMAD,1(2),30–58.
LeCompte, M. D. (1993). A framework for hearing silence: What does telling stories
mean when we are supposed to be doing science? In D. McLaughlin & W. G.
Tierney (red.), Naming silenced lives: personal narratives and the process of
educationalchange(ss.9–27).London:Routledge.
MellinOlsen,S.(1990).Oppgavediskursen.IG.Nissen&J.Björneboe(red.),Matematik
undervisning og demokrati (ss. 47–64). Roskilde: IMFUFA Roskilde
Universitetscenter.
Nardi,E.&Steward,S.(2003).IsmathematicsT.I.R.E.D?Aprofileofquietdisaffectionin
the secondary mathematics classroom. British Educational Research Journal,
29(3),345–367.
OECD.(2007).PISA2006,sciencecompetenciesfortomorrowsworld.Åtkomst12.1.2010,
www.oecd.org
36
Reay,D.&Wiliam,D.(1999).Illbeanothing:Structure,agencyandtheconstruction
of identity through assessment. British Educational Research Journal, 25(3),
343–354.
RöjLindberg, A.S. (1999). Läromedel och undervisning i matematik på högstadiet. En
kartläggningavlägetiSvenskfinland.Vasa:Svenskfinlandsläromedelscenter.
RöjLindberg, A.S. (2006). Jag satt fast i mönster – Metaforer i lärares berättelser om
matematikundervisning i förändring. I L. Häggblom, L. Burman & A.S. Röj
Lindberg (red.), Perspektiv på kunskapens och lärandets villkor (ss. 113–124).
Vasa:PedagogiskafakultetenvidÅboAkademi.
RöjLindberg, A.S. (2009). Emerging traces of school mathematical practices in the
voices of three student participants. Åtkomst från www.eeraecer.eu/
fileadmin/user_upload/Publication_fulltext/ECER2009_1667_RojLindberg.doc
Skovsmose,O.(2000).Landscapesofinvestigation(No.20).Roskilde,Denmark:Centre
forResearchinLearningMathematics.
Solomon, Y. (2007). Not belonging: what makes a functional learner identity in the
undergraduate mathematics community of practice? Studies in Higher
Education,32(1),79–96.
Stake,R.E.(1995).Theartofcasestudyresearch.London:SAGE
Stephens,M.(1994).Undersökandearbetesomutvärdering.Nämnaren,21(4),16–25.
Säljö,R.(1994).Mindingaction.Conceivingoftheworldversusparticipatingincultural
practices.NordiskPedagogik,2,71–80.
Tikkanen, P. (2008). Helpompaa ja hauskempaa kuin luulin Matematiikka
suomalaisten ja unkarilaisten perusopetuksen neljäsluokkalaisten kokemana.
Jyväskylä:JyväskylänYliopisto.
Törnroos, J. (2005). Mathematics textbooks, opportunity to learn and student
achievement.StudiesinEducationalEvaluation,31(4),315–327.
Wenger,E.(1998).Communitiesofpractice.Learning,meaningandidentity.Cambridge:
CambridgeUniversityPress.
Wenger,E.(2006).Praksisfaelleskaber.Laering,meningogidentitet.Köpenhamn:Hans
ReitzelsForlag.
Välijärvi, J., Kupari, P., Linnakylä, P., Reinikainen, P., Sulkunen, S., Törnroos, J., et al.
(2007). The Finnish success in PISA and some reasons behind it 2. PISA 2003.
Jyväskylä:InstituteforEducationalResearch,UniversityofJyväskylä.
Yackel,E.&Rasmussen,C.(2002).Beliefsandnormsinthemathematicsclassroom.IG.
Leder, E. Pehkonen & G. Törner (red.), Beliefs: A hidden variable in
mathematicseducation?London:Kluwer.
37
APPENDIX
Exempelpåettklassproblem(slutetavvårtermineniårskurs8):
Fårmanmerapizzaförpengarnaommanköperenfamiljepizzameddiametern38cmtill
priset63mkellertvåvanligapizzormeddiametern28cmtillpriset27mkperstyck?Vi
utgårifrånattdenvalutamanfårförpengarnaståridirektproportiontillpizzansstorlek
(=area).(Glöminteattskrivanerdelresultatsomkangedelpoäng!)
Exempelpåförklaringsuppgiftursummativtprovvårterminenårskurs7:
Skrivenuppgiftdärmanskallsubtraheratvåblandadetalsomharolikanämnare.Beskriv
sedanhurmanskallgåtillvägaförattlösaensådanuppgift.Beskrivningenbörinnehålla
38
Peruskoulungeometrianopetus1970luvulta
2000luvulle:geometriansisältöjentarkastelua
matematiikanoppikirjoissa
SalmeSulonen
TIIVISTELMÄ
Tutkimuksen perustana olivat opetussuunnitelmat ja niiden tavoitteiden mukaiset op
pimisvalmiudet. Tutkimuksessa selvitettiin peruskoulun oppikirjojen sisältöjen lisäksi
harjoitustehtävien sisältämien perusvalmiuksien määrää. Oppikirjaanalyysissä oli mu
kanaoppikirjoja1970,1980ja1990luvulta.Geometriansisältöjenmuutoksiinpaneu
duttiinharjoitustehtävienvälityksellä.Harjoitustehtävienvaatimienvalmiuksientarkas
telussa käytettiin prosenttitaulukointia. Sisällön muutokset tulivat esille oppikirjojen
analyysissä. Peruskoulun alkuvaiheessa matematiikassa käsitelty geometrian oppiaines
oliyhtälaajakuinrinnakkaiskoulujärjestelmänkeskikoulussa.Voimassaolivattasokurs
sit, joten oppikirjoista tuli löytää harjoitustehtäviä suppea, keski ja laajalle kurssille.
Oppikirjat,jotkapohjautuivatvuoden1985opetussuunnitelmaan,käsittelivätgeometri
anoppimääränkaikkeinsuppeimmin.Käsittelytapamuuttui1980luvuntaitteessa,kun
tasokursseista siirryttiin pedagogiseen eriyttämiseen. Oppikirjojen geometrian sisältöai
nestapyrittiinuudistamaanvuoden1994opetussuunnitelmanmuutoksessa,muttamuu
toksetovatolleetvähäisiä.Tutkimuksessatarkasteltiin,olikogeometrianoppiaineksen
muutoksilla vaikutusta harjoitustehtävien ratkaisemisessa tarvittavien taitojen ja val
miuksien esiintymiseen. Geometrian harjoitustehtävät varsinkin piirtämis ja päättely
tehtävät olivat ensimmäisenvuosikymmenen oppikirjoissa erittäin monipuolisia. Oppi
kirjat, jotka noudattivat vuoden 1985 opetussuunnitelmaa, sisälsivät runsaasti käytän
töönsoveltamista.Päättelytehtävienosuusolivaatimatonta.Peruskoulunopetussuunni
telman perusteita 1994 noudattavien oppikirjojen harjoitustehtävät vaativat monipuo
lisiakintaitojamuttaeivätpyrkineetkehittämäänoppilaidenpäättelyjajohtopäätösten
tekotaitoja.
Asiasanat: opetussuunnitelmat, geometrian opetus, oppikirjat, oppiaines, harjoitus
tehtävät
39
1 JOHDANTO
Peruskoulunopetussuunnitelmakomiteaselvitti1970luvuntaitteessaperuskoulunope
tussuunnitelmanperusteitasekäsiirtymävaiheenerityiskysymyksiäjalaatiyksityiskoh
taisen opetussuunnitelman. Tässä opetussuunnitelmassa esiteltiin erilaisia oppilaskes
keisiä työtapoja korvaamaan perinteistä opettajajohtoista opetusta. Behavioristisen tie
donomaksumisen tilalle tuli 1980luvulla konstruktivistinen oppimiskäsitys. Opetus ei
ollutenäämääritelmien,operaatioidentaikäsitteidenesittämistävaanoppilaidenomiin
käsityksiin ja tulkintoihin vaikuttamista. Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa
1994 haluttiin opettaja nähdä oppimisympäristön luojana sekä opiskelun ohjaajana ja
oppilaspuolestaanaktiivisenatiedonkäsittelijänä.
Opetussuunnitelman perusteissa on lueteltu, mutta ei ole määritelty, niitä taitoja ja
valmiuksia, joita oppilas tarvitsee matematiikan harjoitustehtävien ratkaisemisessa ja
jotkaauttavatoppilastasaavuttamaanmatematiikassaasetetuttavoitteet.Matematiikan
opetussuunnitelmassapainottuitavoitteidenosalta1970luvullalaskutaidonosaaminen.
Opetuksen painopiste pyrittiin siirtämään 1980luvulla ajattelun kehittämiseen. Perus
koulunopetussuunnitelman(1985)sisällönvalinnanperusteissasanotaan:”Matematiikan
opetuksentavoitteitaovatlaskutaidonlisäksiluovanajattelunkehittäminen,ongelmanratkaisuun
liittyvien taitojen harjoittaminen ja matematiikan soveltaminen jokapäiväiseen elämään.” Näin
haluttiinpanostaaongelmanratkaisutaidonoppimiseen.Konstruktivismion1990luvulla
vaikuttanut matematiikan opetukseen ja sen kehittämiseen. Oppilaiden osuus tiedon
muodostamisessakatsottiintärkeäksi.Jokaisenoppilaantulisaadakonstruoidamatema
tiikanesilletuomiakäsitteitä,operaatioitajarakenteitakäyttääkseenniitämatemaattisis
sa ongelmissa. Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa (1994) sanottiin: ”Matema
tiikanopiskelussaoppilasnähdäänaktiivisenatiedonhankkijana,käsittelijänäjatallentajana,jolle
oppiminenonopittavienasioidenliittämistähänenaiempiintietoihinsasekähänenaikaisempien
ajatusjatoimintamalliensauudelleenrakentamistajatäydentämistä.”
Opetukselle määriteltiin 1970 ja 1980luvulla perustavoitteita, kartoitettiin oppiai
nesta,esitettiinopetuksenpainotuksiajaajoituksia.Oppikirjantulivastatanäihinvaati
muksiin.Sisällönkäsittelyedellyttioikeitaopetusmenetelmiä,oikeinmitoitettuaopetus
aikaajaoikeidenasioidenpainotuksia.Oppikirjassaolihuomioitavatehtävienmonipuo
lisuussiten,ettäjokaisellaoppilaallaolimahdollisuuskehittyäyksilöllisestiomanoppi
miskykynsä pohjalta. Oppimisprosessin erilaisuus oli pyrittävä huomioimaan matema
tiikan oppikirjojen tekstissä ja laskuharjoituksissa. Oppikirjan tuli sisältää ne tiedot ja
taidot, jotka tarvitaan jatkoopintojen pohjaksi. Oppikirjoissa pyrittiin toteuttamaan
opetussuunnitelmaasenperiaatteidenmukaisesti.(Kouluhallitus1976,1982.)Oppikirjat
tarkistettiinvuoteen1992saakka.Nykyisinkustantajatjaoppikirjojenkirjoittajatvoisivat
Suomessa esittää oppikirjoissaan myös uusia ajatuksia ja opetuksen suuntia opetus
suunnitelmanlaatijoille.
Peruskouluunsiirryttäessäalettiintuottaaoppimateriaalipaketteja,joihinkuuluiop
pikirjan lisäksi mm. lisätehtävävihkosia. Alkuaikoina oppikirjan sisältö noudatti ns.
spiraaliperiaatetta. Asiat esitettiin siten, että ne käsiteltiin syventäen useaan kertaan eri
vuosiluokillahuomioidenlapsenkehitysvaiheen,matematiikansisäisenloogisenraken
teensekäoppimistatukevankäsittelyjärjestyksen(Silfverberg1986).Myöhemminspiraa
40
limainenopetustyylialkoiväistyä(Seppänen1982).Geometriaaalettiinopettaayhtenäi
sinäkokonaisuuksina.Oppikirjoihinpyrittiinlöytämäänoppilaitaaktivoiviaharjoituksia.
(Pehkonen 1982.)Käytännön sovellutukset ja ongelmanratkaisutehtävät tulivat oppikir
joihin 1980luvulla. Geometrian aineksen tarkastelussa lähdettiin kokonaisuudesta siir
tyenyksityiskohtiin.Myöhemminteemasivuillaharjoiteltiinmatematiikansovellutuksia
japulmasivujentehtävätsisälsivätpohdintaasekämatemaattistaajanvietettä.
Monet tutkimukset, joita tehtiin 1980luvulla, sivusivat oppikirjaa ja matematiikan
opiskelua.Näissätutkimuksissakäsiteltiinesimerkiksiopetussuunnitelmantoteutumista,
opettajien kirjasidonnaisuutta, peruskoululaisten ajattelua ja matematiikan osaamista
(Kansanen & Uusikylä 1982; Kari 1988; Hautamäki 1984; Kupari 1983). Uusimmissa
matematiikan oppikirjatutkimuksissa on tarkasteltu mm. konstruktivistista oppimisnä
kemystä,sekämatematiikanoppimissisältöjäjaoppimistuloksia(Perkkilä1998;Törnroos
2004). Perkkilän lisensiaattitutkimus jakautui oppikirjojen tehtävärakenteeseen sekä
käsitteenmuodostusprosessienrakenteentutkimiseensisällönanalyysinavulla.Törnroos
puolestaantarkastelioppimismahdollisuuksiasoveltamallaTIMSS1995–tutkimuksessa
käytettyä oppikirjaanalyysimenetelmää ja etsi oppilaiden matematiikan osaamiseen
vastaustaTIMSS1999tutkimuksentulostenpohjalta.
Peruskoulun alkuaikoina matematiikan kaikkia osaalueita opetettiin joukkoopin
välityksellä. Opettajien käsitysten mukaan joukkoopin käyttö matemaattisen ajattelun
pohjanaeihyödyntänytkouluopetusta.Tosingeometrianopetuksessajoukkoopinkäyt
tö oli vähäistä. Julkisuudessa esitettiin ihmettelyjä tätä ns. ”uutta matematiikkaa” koh
taan.KeskustelufooruminaolipääasiallisestiMatemaattistenAineidenAikakauskirja.Moit
teita saivat opetussuunnitelma ja oppikirjat. Geometrian osuus ja sen opetusmuodot
kouluopetuksessa saivat voimakasta ja asiantuntevaa kritiikkiä osakseen. Perinteistä
deduktiivistaEukleideengeometriaaalettiinpitäähyödyttömänä,muttasystemaattisella
geometriallaolimyösomatpuolustajansa.Kukaanarvostelijoistaeiasettanutgeometri
an opettamisen tärkeyttä kyseenalaiseksi, mutta kirjoittajien mielipiteet jakaantuivat
kahtiaperinteisenjauudistetunopetustavansuhteen.
Oppikirjallaoli1970luvullaopetuksessakeskeinenosuus.Väitetään,ettäoppikirjan
merkityseiolevähentynytnykyisinkään.Opetussuunnitelmatjakouluhallituksenanta
mat lisäohjeet määrittelivät tarkkaan oppikirjan sisällön 1990luvun alkuun asti, minkä
jälkeenvastuuonsiirtynytkirjojentekijöille,kustantajillejaopettajille.Muutosonollut
suuri siirryttäessä valtakunnallisesta opetussuunnitelmasta ensin kunnalliseen ja sitten
koulukohtaiseen opetussuunnitelmaan. Mielestäni opettajien on voitava luottaa siihen,
ettäoppikirjatnoudattavatgeometrianvaltakunnallisiatavoitteita.Kuitenkin1990luvun
erioppikirjoissanäyttäisiolevansuuriakineroavaisuuksia.Mielenkiintoistaonmyösse,
mitägeometrianoppiainestaoppikirjatovaterivuosikymmenilläsisältäneet.
Kansallisillakokeillaonkerättytietoamatematiikanoppimistuloksista.Geometrialla
on ollut näissä kokeissa vähäinen osuus, jakyseiset koetehtävät ovatolleet yleensä las
kennallisia. Esimerkiksi kevään 2004 valtakunnallisessa kuudennen luokan useam
pisivuisessa kokeessa oli geometriasta yksi tehtävä, jossa laskettiin neliön pintaala ja
suorakulmaisensärmiöntilavuus.Tämäonmielestäniliianvähän,sillägeometriaaope
tetaankuitenkinsuhteellisestienemmän.Suomionviimevuosikymmenienaikanaosal
listunutmyöskansainvälisiinarviointeihin.Kansainvälisessätutkimuksessa,jokatehtiin
41
vuosina 1980–1982, suomalaiset koululaiset olivat geometrian ja mittaamisen taidoissa
hiukan keskimääräistä parempia (Soro, Pehkonen 1998). Kasselprojektissa tutkittiin
vuosina 1993–1996 koululaisten matematiikan osaamisen tasoa 16 eri maassa. Kassel
projektissatehtiinlaajajamonipuolinengeometriatesti.Suomalaisetperuskoulunyläas
teikäisetolivattämäntutkimuksenmukaanyhdenlukuvuodenjäljessäkansainvälisestä
keskiarvosta (Soro, Pehkonen 1998). Myös Timss 1999 tutkimuksessa suomalaisten
koululaisten geometrian osaaminen oli heikkoa, vaikka muuten matematiikan ja luon
nontieteidenosaaminenoliylikansainvälisenkeskitason.(Kupari,Reinikainen,Nevan
pää & Törnroos 2001). Herää kysymys, tarvitaanko oppikirjojen harjoitustehtävien rat
kaisemiseksi niitä taitoja ja valmiuksia, joita opetussuunnitelmat ovat esittäneet mate
maattistentavoitteidensaavuttamiseksi.
Toteuttamaani oppikirjatutkimusta varten olen analysoinut opetussuunnitelmia ja
opetushallituksenantamialisäohjeita1970,1980ja1990luvuilta.Itsetyössäonoppikir
jojen harjoitustehtävistä etsitty näitä opetussuunnitelmien analyysissä löytyneitä taitoja
javalmiuksia,joitaontarvittugeometristenkäsitteidenharjoittelussajajoidenavullaon
pyrittysaavuttamaanmatematiikalleasetetuttavoitteet.Tässäkäsilläolevassatutkimuk
sessa tarkasteltiin, kuinka geometrian opetussuunnitelmissa tapahtuneet muutokset
näkyivät oppikirjojen sisältöaineksessa ja erityisesti harjoitustehtävissä. Oppiaineksen
käsittelytavat jäivät tutkimuksessa pienelle huomiolle. Analysointi tapahtui pääasialli
sestioppikirjojensisältämienharjoitustehtävienvälityksellä.
2 TUTKIMUKSEN TOTEUTUS
Tutkimus oli kunkin vuosikymmenen osalta kaksivaiheinen, käsittäen oppikirjoista
sisällön tarkastelun ja harjoitustehtävien analysoinnin. Oppikirjojen tarkastelussa oli
mukana 1970, 1980 ja 1990luvulta yläasteen matematiikan oppikirjojen geometrian
osiot.Tämäntutkimuksenoppikirjaanalyysissätarkasteltiin,mitägeometriansisältöai
nesta oppikirjat sisälsivät eri opetussuunnitelmien aikajaksoilla. Oppikirjojen sisältöai
neksen esittelyssä pyrittiin hahmottamaan keskeisissä tärkeissä oppisisällöissä tapahtu
neitamuutoksia.Tässäartikkelissaesittelentutkimuksessatoteutetunharjoitustehtäviin
liittyvänanalyysin.
Opetussuunnitelmien perusteissa (1970, 1985, 1994) on esitetty taitoja ja valmiuksia,
jotkamahdollistavatmatematiikankeskeistensisältöjenoppimisen.Opetussuunnitelmat
asettavat oppilaille suoritusodotuksia, jotka pohjautuvat oppimisen tavoitteisiin. Tässä
tutkimuksessa kehitettiin opetussuunnitelmien perusteiden pohjalta harjoitustehtävien
sisällön analyysiin painottuva analyysimenetelmä. Harjoitustehtävistä haettiin esille
valmiuksia,joitako.opetussuunnitelmatedellyttivätniissäolevan.
Luettelona esitettynä olivat esillä seuraavat vaatimukset aakkosjärjestyksessä: arvi
oiminen, hahmottaminen, havainnoiminen, käytäntöön soveltaminen, laskeminen, mit
taaminen,piirtäminen,päätteleminen,selittäminenja yksikönmuuntaminen.Oheisessa
taulukossa (Taulukko 1) esitetään näiden valmiuksien kuvaus tiivistetyssä muodossa
esimerkein. Lisäksi tarkasteltiin vain sanallista informaatiota sisältävien harjoitustehtä
vienjaavoimientehtävienratkaisemistenosuutta.Tehtävätulkitaanavoimeksi,josjoko
42
senalkutailopputilannetaimolemmateivätoletarkastimääriteltyjä(Pehkonen1989).
Avoimillatehtävilläonyleensäuseampiaoikeitavastauksia.Avoimiintehtäviinkuulu
vatesimerkiksiarkielämänongelmat,projektityötjatoimintatehtävät.Näistätaidoistaja
valmiuksista hahmottaminen ja avoimien tehtävien ratkaiseminen tulivat esille opetus
suunnitelmienperusteissavuodesta1985lähtien.
Taulukko1:Esimerkkejäopetussuunnitelmissaesitetyistäperusvalmiuksista
VALMIUS
KUVAUS
Arvioiminen
Annetun
Hahmottaminen
ESIMERKKI
suureen
oikean
"Piirrä
silmämääräisesti
kulma.
Tarkista
järkevyyden arvioiminen.
tarkka arvioimaan." 7lk
Ympäröivän
"Jaa kuvion metsikkö kolmella suoralla
kuvioiden
avaruuden
ja
kappaleiden
kulma
70º
suuruusuokan ja vastauksen
mittaamalla.
Olitko
osiin, joissa on kaksi kuusta." 7lk
hahmottaminen
Havainnoiminen
Havainnot kuvioista
"Piirrä ympyrä O. Sille jänne KL ja
jänteelle keskinormaali. Minkä pisteen
kautta piirtämäsi normaali kulkee." 7lk
Käytäntöön
Koulugeometrian liittäminen
soveltaminen
arkielämään.
"Pyöreän pöydän halkaisija on 2,50m.
Laske pöydän pinta-ala." 8lk
Laskeminen
Pituuksien ym. laskeminen.
"Akvaarion
pituus
on
50cm,
leveys
30cm ja korkeus 40cm. Kuinka monta
litraa vettä akvaarioon sopii." 8lk
Mittaaminen
Suureiden
tutkimista
mit-
taamalla.
Piirtäminen
"Mittaa tarvittavat osat ja laske matematiikan kirjasi tilavuus." 8lk
Geometrisillä
apuvälineillä
"Piirrä geometrisesti 60º kulma." 7lk
piirtäminen.
Päätteleminen
Selittäminen
Päättelyä ongelmien ratkai-
Kysymys: "Mitkä keskuskulmat ovat
semiseksi.
yhtä suuret? Miksi?" 9lk
Kirjallinen
tai
suullinen
perustelu.
"Piirrä puoliympyrää vastaava kehäkulma. Ilmoita toteamuksesi lauseena."
9lk
Yksikön
Mm. pituusyksikköjen muun-
"Muunna sulkeissa mainituksi yksikök-
muuntaminen
taminen.
si850mm² (cm²)." 7lk
JokaisenluokittelurungonyksiköstäonTaulukossa1yläasteengeometrianoppikurs
sin esimerkkitehtävä. Ensimmäinen esimerkkitehtävä kuuluu luokkiin arvioiminen ja
mittaaminen.Seonlisäksisanallinen.Arvioimistehtävävoiesiintyämyösilmanmittaa
mistakutenseuraavaharjoitustehtävä:
”Arvioi,kumpijanoistaonpitempi,
pystysuoravaivaakasuorajana
43
Tässä tehtävässä on mukana piirros, joten se ei ole sanallinen. Oppilas oletettavasti
suorittaatässätehtävässämittauksen,vaikkasitäeitehtävässäpyydetä.Tehtäväntarkoi
tusonvainarviointi.
Hahmottamistehtävässä(Taulukko1)eitarvitamuitataulukonluokittelutaitoja.Har
joitussisältääpiirroksenmetsiköstä,jotenkyseessäeiolesanallinentehtävä.Hahmotta
mistavaativiksieitässätutkimuksessaluetapiirtämistehtäviä,joissapiirtäminentapah
tuu mallin mukaan. Seuraavat kaksi esimerkkitehtävää ovat tyypillisiä hahmotustehtä
viä:
”Kuinkamontatasakylkistäkolmiotalöydätkuviosta?Entäkuinkamonta
suunnikasta?”
Jälkimmäisessätehtävässäoliviereisellesivullepiirrettyerilaisiamonikulmioita,sek
torijamurtoviiva,jatasokuviotpyydettiinluokittelemaan.
Seuraavanluokitusluokantehtävässäontärkeäähavainnoiminen(Taulukko1).Ensin
on kuitenkin osattava piirtää kuva tilanteesta. Taulukon käytäntöön soveltamistehtävä
onsanallinenjasesisältäälaskemista.
Laskutehtävässä(Taulukko1)onlaskettavaakvaarionelisuorakulmaisensärmiönti
lavuus.Tehtäväonlaskennallisuudenlisäksisanallinenjasiinäonmyösyksikönmuun
tamista.Tilavuusyksikkö(cm³)onmuutettavavetomitaksi(l).Lukumäärienilmoittamis
taeiluetakuuluvaksilaskemisenluokkaan.
Mittaamista sisältävässä esimerkissä, joka on käytännön sovellustehtävä, on laske
mista. Lisäksi se on sanallinen. Sanallinen piirtämistehtävä on samalla päättelytehtävä.
Varsinaisessa(Taulukko1)päättelyävaativassatehtävässäonmukanamyöshavainnoi
minen. Harjoituksen sanamuodosta näkyy, että se ei kuulu sanallisiin tehtäviin vaan
siihentäytyykuuluapiirustus.Selittämistä(Taulukko1)onvaadittuyhdeksännenluo
kan tehtävässä. Harjoitustehtävä edellyttää havainnoimista kuviosta. Havainnoinnin
jälkeenoppilasvoimuodostaailmoituksenlauseenmuodossa.
ViimeisenäTaulukossa1onyksikönmuuntaminen.Harjoitustehtävässäonpelkistet
typintaalayksikönmuunnos.Tehtäväonsanallinen.
Hahmottaminen, havainnoiminen ja päätteleminen ovat geometrian harjoitustehtä
vissä vaikeimmin toisistaan eroteltavia taitoja. Esimerkkinä on Pythagoraan lauseen
yhteydessäkäsiteltävistäPythagoraanluvuista.
”Piirräsuorakulmainenkolmio,jonkakateettienpituudetovat3cmja4cmsekähypotenuusan
pituus on 5cm. Miten muut sivut muuttuvat, jos lyhempi kateetti pitenee kaksin, kolmin,
jnekertaiseksi?Mitenkäy,joslyhinkateettipieneneepuoleen,kolmanteenosaan,jnealkupe
räisestäpituudesta?MuodostaviisikolmikkoaPythagoraanlukuja.”
44
Tässä tapauksessa tehtävä sisältää piirtämistä, mittaamista, havainnoimista, päätte
lyä,laskemistajalisäksitehtäväonsanallinen.Oppilaspiirtääkolmionjokomitatentai
ruutujen avulla oikeassa suhteessa. Hän jatkaa yhden sivun pituuden terävän kulman
kärjen yli kaksinkertaiseksi ja piirtää terävän kulman siirron avulla uuden kolmion.
Ensimmäisenkysymyksenvastauslöytyyhavaintonakuviosta.Toisenvastauksenoppi
las päättelee edellisestä havainnosta. Pythagoraan luvut, jotka oppilas ensin päättelee,
hänlaskeeyhtälönä.Henkilötvoivattarkastellatätäharjoitustehtävääeritavalla.Piirtä
misessä ei välttämättä ole mittausta eikä Pythagoraan lukujen vahvistamista suoriteta
laskemalla.Havainnoiminen,jokaontehtytässätehtävässä,onkinjonkuntoisenhenki
lönmielestäpäättelyä.Lisäksihenkilövoinähdätoisenkolmionpiirtämisessähahmotte
lua.
KansainvälisessäTIMSS1995tutkimuksessa(McKnightym.1992)käytettyynoppi
kirjaanalyysimenetelmäänverrattunatämätutkimuspitäytyiyhteenanalyysiyksikköön,
käsittäen geometrian opetuskokonaisuuden. Kansainvälisessä tutkimuksessa ana
lyysiyksikön aihealue jaettiin pienempiin osiin nk. blokkeihin, joilla voitiin kuvailla
analyysiyksikönosiajarakennetta.Blokkityypeistätämätutkimuskohdistuiharjoittelu
jaliittymätönharjoittelublokkeihin.Näistäedellinentarkoittiharjoitustaikysymysko
konaisuutta ja jälkimmäinen muihin analyysiyksikön blokkeihin liittymätöntä harjoitte
lua kuten esimerkiksi kertaustehtäviä. Näiden luokittelu tapahtui suoritusodotusten
mukaan.Tässäluokituksessahahmottaminen,havainnoiminenjayksikönmuuntaminen
sisältyivät TIMSStutkimuksen tietäminenluokkaan. Laskeminen, mittaaminen ja piir
täminen kuuluivat rutiinilaskutoimitusten luokkaan. Arvioiminen, käytäntöön sovelta
minenjapäätteleminensoveltuivattutkiminenjaongelmanratkaiseminenluokansisäl
töön. Selittäminen, joka voi olla esimerkiksi perustelua, keskustelua tai kritiikin esittä
mistä,olimatemaattistenperustelujaviestintäluokkienosaaluetta.Mukaanonotettu
myössanallistenjaavointentehtävienratkaisemiset,jotkajäivättämänluokittelunulko
puolellejakuvaavatlähinnäopetussuunnitelmienaiheuttamaatehtävärakenteidenmuu
tosta. Sanallisilla tehtävillä harjoitetaan oppilasta löytämään itse oikea malli tehtävän
ratkaisemiseksi. Luovuuden ja motivaation kehittymiseksi oppilaalla voidaan teettää
toiminnallisiatehtäviäjuuriavoimientehtävienmuodossa.
Havainnoitujentaitojenjavalmiuksienesiintyminentaulukoitiinprosentteina.Koska
tehtävissätarvittiinmoniataitojasamanaikaisesti,onnäinollentaulukoidensarakkeiden
prosenttien summa suurempi kuin 100. Jokaisella vuosiluokalla tehtävien kokonaislu
kumääräolierilainen,mistäjohtuenkokoyläasteenprosenttilukueiolevuosiluokittais
tenprosenttilukujenkeskiarvo.YlläesitettyPythagoraanlukujakoskevaharjoitustehtä
väosoittaa,kuinkamonipuolisiaoppikirjojenharjoitustehtävätsaattoivatolla.
3 TULOKSET
3.1Oppikirjat1970ja1980luvulla
Oppikirjojensisältöjentarkastelua
Ensimmäinenanalysoitavistaoppikirjoistasovelsipohjoismaistageometrianoppiainesta
suomalaisiin olosuhteisiin. Tämä Geometriaoppikirja (ks. kirjallisuus) toimi koulugeo
45
metriankoosteenaaikana,jolloinmaassammeolivielävoimassakeskikoulu.Siinäpyrit
tiin vähentämään todistettavien lauseiden ja väittämien lukumäärää. Oppikirjassa pa
neuduttiin huolellisesti yhtenevyys ja yhdenmuotoisuuskuvauksiin sekä symmetriaan,
koska lauseiden todistukset perustuivat suurelta osin näihin. Oppikirja oli monessa
kohdassaluettelomainen,sillävaikkakaikkienkuvioidenjakappaleidenominaisuuksia
eitodistettukaan,niinniitäesiteltiinlauseinajaväittäminä.
Samaan aikaan käytössä olleessa Koululaisen matematiikka oppikirjasarjassa näkyi
selvästimateriaalinväliaikaisuus.Oppikirjasarjaneriluokkaasteenkirjoissaolierilainen
geometrinen merkintätapa. Seitsemännen luokan oppikirjassa merkittiin joukkoopin
mukaisesti piste pienellä ja pistejoukko isolla kirjaimella, kun taas kahdeksannella ja
yhdeksännellä luokalla oppikirjassa käytettiin perinteistä merkitsemistapaa, piste isolla
jajanapienelläkirjaimellajne.Nämäoppikirjatolivatkäsittelynsäpuolestahyvinerilai
set. Geometriaoppikirjassa kuvioiden ominaisuuksia todistettiin runsaasti symmet
riakeskuksen avulla, mutta Koululaisen matematiikka oppikirjat käsittelivät niitä yh
teneväisyyden pohjalta. Ensin mainitussa oppikirjassa tehtäviä lähdettiin ratkaisemaan
mallikuvion avulla, kun taas jälkimmäisessä oppikirjassa käytettiin oletuksena paljon
valmiitapiirroksia.
Peruskoulunmatematiikkaoppikirjatsoveltuivat1980luvunvaihteessakaikkientaso
kurssien käyttöön. Tämä oli positiivinen uudistus sekä oppilaille että opettajille. Mate
matiikassa oli määritelty perusoppiaines ja lisäoppiainekset eri tasokursseja varten
vuonna 1976. Oppikirjasarja rakentui tälle pohjalle. Täissä oppikirjoissa geometriset
merkintätavatoliyhtenäistetty.Oppiaineksenkäsittelynlaajuuttaolisupistettu.Opetus
suunnitelmallisten ohjeiden mukaan oppikirjasarjasta oli jätetty lauseet, väittämät ja
todistaminenpois.TodistamisestaeienääollutesimerkkejäkutenGeometriaoppikirjassa
jaKoululaisenmatematiikkaoppikirjasarjassa.Teoriakerrontaoliharjoitusjaksojenvälissä.
Seuraavan opetussuunnitelman (1985) mukaan siirryttiin pedagogiseen eriyttämi
seen.Matematiikkaansaatiinuusituntijakotasokurssienpoistonyhteydessä.Viikkotun
tienvähennyksenkerapoistettiingeometriastavektoritjakarsittiinlisäoppiainesta.Vuo
sikymmenenloppupuolenAHAAmatematiikkaaoppikirjoissageometristakäsitteistöäoli
karsittu kautta linjan. Jos verrataan Peruskoulun matematiikka ja AHAA matematiikkaa oppikirjasarjojen geometrian sisältöä keskenään, näytti siltä, että sivumäärältään geo
metrianosuusolikasvanut,vaikkajätetäisiinkinAHAAmatematiikkaaoppikirjojenlisä
jakotitehtävätsekäteemajaksothuomiotta.Karsitunoppiaineksentilalleolitullutsuori
tusta toistavia ja rutiinilaskutaitoa vaativia tehtäviä. Erikoisesti tämä oli havaittavissa
yhdeksännenluokanoppikirjassa.
Harjoitustehtävientaitojenjavalmiuksienanalysointi
Edellä olevien oppikirjojen harjoituksiin tarvittavien taitojen ja valmiuksien prosentti
määrien muuttuminen opetussuunnitelmien perusteiden uudistumistapahtumissa nä
kyy jäljempänä olevista taulukoista. Taulukkoihin on otettu vain viisi eniten esiintyvää
taitoa. Harjoitustehtävien sanallisuus on myös mukana tehtävärakenteeseen kohdistu
vanmielenkiinnonvuoksi.Kahtaperuskoulunalkuvaiheenkirjaa,GeometriajaKoululai
senmatematiikka, toisiinsa verrattaessa nähdään (Taulukot 2 ja 3), että suurin ero näkyy
46
harjoitustehtävien sanallisuudessa (Koko yläaste: 94 % ja 44 %). Tästä seurasi päättely
tehtävienväheneminen(51%ja28%).Mittaaminenolijälkimmäisessäkirjassavähäistä.
Taulukko2:Geometriaoppikirjan(1968)harjoitustehtävissäuseinesiintulleitaasioitajatarvit
taviataitoja
Oppikirjasarja
GE 6-7
GE 8-9
GE
%
%
Yht. %
Havainnoiminen
33
12
21
Laskeminen
11
62
40
Mittaaminen
34
2
16
Piirtäminen
66
26
43
Päätteleminen
41
58
51
Sanallisten tehtävien ratkaiseminen
90
97
94
Tehtäviä yht/kpl
166
219
385
Taulukko 3: Koululaisen matematiikka oppikirjasarjan (1972) oppikirjoissa usein esille tulleita
asioitajatarvittaviataitoja
Oppikirjasarja
KM 7
KM 8-9
KM
Havainnoiminen
%
25
%
14
18
Laskeminen
19
61
45
Mittaaminen
4
7
6
Yht. %
Piirtäminen
76
26
44
Päätteleminen
17
34
28
Sanallisten tehtävien ratkaiseminen
17
60
44
Tehtäviä yht/kpl
198
332
530
Sanallisten,laskennallistenjapiirtämistäedellyttävienharjoitustehtävienmäärätoli
vat vakiintuneet kahdessa seuraavassa esillä olevassa oppikirjasarjassa lähes samalle
prosentuaaliselletasolle(60%;58–61%ja25–29%;Taulukot4ja5).AHAAmatematiikkaa
oppikirjoissa oli paneuduttu enemmän perustavoitteiden, mittaamisen ja yksikön
muunnosten,harjoitteluunkuinPeruskoulunmatematiikkaoppikirjoissa.Päättelytehtävi
en määrä väheni Geometria oppikirjan 51 %:sta AHAA matematiikkaa oppikirjasarjan
17 %:iin. Peruskoulun 1970 ja 1980lukujen opetussuunnitelmissa ei vielä huomioitu
toiminnallisia harjoitustehtäviä. Erisuuntaisten janojen pituuksia arvioitiin ja mitattiin.
Käytännön esimerkkejä ja sovellutuksia ei vielä käytetty näissä oppikirjoissa. Opettajaa
kehotettiin vaatimaan oppilailta lyhyitä selostuksia. Yksikön muunnokset kuuluivat
lähinnä alaasteella opetettavaan aritmetiikkaan. AHAAmatematiikkaa oppikirjasarjassa
47
oli kolmasosa harjoitustehtävistä käytännön soveltamistehtäviä opetussuunnitelman
painotuksenmukaisesti.
Taulukko4:Harjoitustehtävissäuseinesiintyvientaitojenjavalmiuksienprosentuaalinenjakau
tuminenPeruskoulunmatematiikkaoppikirjoissa(1981)
Koululuokka
7
8
9
7-9
%
%
%
%
Havainnoiminen
34
22
26
26
Laskeminen
39
63
78
61
Mittaaminen
15
5
0,8
6
Piirtäminen
42
19
21
25
Päätteleminen
23
23
44
29
Sanalliset tehtävien ratkaiseminen
72
54
60
60
Tehtäviä yht/kpl
211
342
238
791
Taulukko5:HarjoitustehtävienvaatimienasioidenjataitojenjakaantuminenAHAAmatematiik
kaaoppikirjasarjassa(1988)
Koululuokka
7
8
9
7-9
%
%
%
%
Havainnoiminen
21
11
8
12
Laskeminen
37
43
77
58
Mittaaminen
24
33
3
17
Piirtäminen
43
48
10
29
Päätteleminen
15
16
18
17
Sanallisten tehtävien ratkaiseminen
58
71
53
60
Tehtäviä yht/kpl
268
381
577
1226
3.2Oppikirjatvuodesta1994vuoteen2003
Oppikirjojensisältöjentarkastelua
Koskaluokkakohtaisiageometrianasiasisältöjäeiopetussuunnitelmanperusteissa(1994)
annettu, tulivat oppikirjat todennäköisesti suuresti vaikuttamaan siihen, mitä sisältöjä
koulukohtaisiin opetussuunnitelmiin otettiin kullekin vuosiluokalle. Seitsemännen luo
kan geometrian kurssien sisältöalueetolivat opetussuunnitelman perusteiden 1994 mu
kaisissaoppikirjoissalaajojaverrattunamuidenyläasteenluokkienkursseihin.Jokaisessa
kirjasarjassakäytiintäydentäenläpialaasteengeometrianaineistoa.Matematiikanmaail
maoppikirjassa(ks.kirjallisuus)esiteltiinkolmioidenyhteneväisyysjakolmeyhteneväi
syyslausetta.Kolmiooppikirjassatarkasteltiinkehäjatangenttikulmaa.Kahdeksannenja
48
yhdeksännen luokan oppimäärät olivat oppikirjoissa hyvin erilaiset. Vain Kerroin
oppikirjasarjasisälsiläheskaikkineainekset,joitaaikaisemminolinäilläluokillaopetet
tu.Missäänyläasteenoppikirjassaeitodistettulauseitaeikälaskukaavoja.Kolmionkul
miensummajaPythagoraanlauseperusteltiinaskartelutehtävinä.Kaikissaoppikirjasar
joissa kerrottiin opetussuunnitelman mukaisesti yhtenevyyden, yhdenmuotoisuuden ja
symmetrisyyden käsitteet, mutta matemaattisten lauseiden käyttämistä perusteluissa ja
päättelyn merkitystä matematiikassa oli vaikea harjoitella näiden oppikirjasarjojen geo
metrianaineistolla.
Harjoitustehtävientaitojenjavalmiuksienanalysointi
Peruskoululuokkien 7–9 oppikirjoissa korostui laskennallisten harjoitustehtävien osuus
(Taulukot6,7ja8).Kahdeksannellajayhdeksännelläluokallalaskeminenolirunsainta
Kolmiooppikirjassa (90 % ja 82 %; Taulukot 7 ja 8). Seitsemännellä luokalla puolestaan
laskutehtäviä sisälsi eniten Kerroinoppikirja (36 %; Taulukko 6). Piirtäminen keskittyi
lähinnä seitsemännelle luokalle. Kolmiooppikirjan harjoitustehtävissä oli havaittavissa
selkeä ero piirtämisen ja laskemisen suhteen (61 % ja 24 %; Taulukko 6). Käytäntöön
sovellettujen tehtävien määrä oli lisääntynyt etenkin kahdeksannen ja yhdeksännen
luokan oppikirjoissa verrattuna 1980luvun AHAA matematiikkaa oppikirjan harjoituk
siin(28%,30%ja56%;28%,55%ja39%;Taulukot7ja8).Näitätehtäviäsisältyirun
saimmin kahdeksannen vuosiluokan Matematiikan maailma oppikirjaan. Käytäntöön
soveltaminen syrjäytti päättelemisen näissäkolmessa oppikirjasarjassa. Päättelytehtäviä
oli kaikkein vähiten seitsemännen luokan Matematiikan maailma oppikirjassa (4 %) ja
enitenyhdeksännenluokanKerroinoppikirjassa(39%).Sovellustenkatsottiinsisältävän
riittävästiongelmienselvittelyä.
Taulukko6:Peruskoulunseitsemännenluokanoppikirjojenharjoituksissauseinesiintyvienasioi
denprosentuaalinenesiintymä(94opetussuunnitelmanmukaisetoppikirjat).Kerroin=Kerroin,
yläasteen matematiikka, Geometria, Kolmio = Kolmio, matematiikan tietokirja ja harjoituskirjat,
MatMaa=Matematiikanmaailma,GeometriaI
Oppikirjasarja
Kerroin
Kolmio
MatMaa
%
%
%
Hahmottaminen
14
21
17
Havainnoiminen
28
38
28
Laskeminen
36
24
26
Mittaaminen
25
24
23
Piirtäminen
40
61
52
Päätteleminen
21
17
4
Sanallisten tehtävien ratkaiseminen
68
56
50
Tehtäviä yht/kpl
468
302
583
49
Taulukko7:Peruskoulunkahdeksannenluokanoppikirjojenharjoituksissauseinesiintyviäasioita
(1994opetussuunnitelmanmukaisetoppikirjat).Lyhenteet:Kerroin=Kerroin,yläasteenmatema
tiikka, Kolmio = Kolmio, matematiikan tietokirja ja harjoituskirjat, MatMaa = Matematiikan
maailma,Geometria2
Oppikirjasarja
Kerroin
Kolmio
MatMaa
%
%
%
Hahmottaminen
15
8
14
Havainnoiminen
21
32
19
Käytäntöön soveltaminen
28
30
56
Laskeminen
53
90
81
Piirtäminen
25
5
11
Päätteleminen
25
17
7
Sanallisten tehtävien ratkaiseminen
54
55
24
Tehtäviä yht/kpl
471
306
550
Taulukko 8: Peruskoulun yhdeksännen luokan oppikirjojen harjoitustehtävissä usein esiintyviä
asioita (1994 opetussuunnitelman mukaiset oppikirjat. Lyhenteet: Kerroin = Kerroin, yläasteen
matematiikka,Geometria,Kolmio=Kolmio,matematiikantietokirjajaharjoituskirjat,MatMaa=
Matematiikanmaailma,Geometria
Oppikirjasarja
Kerroin
Kolmio
MatMaa
Havainnoiminen
%
%
%
Käytäntöön soveltaminen
16
30
37
Laskeminen
28
55
39
Mittaaminen
71
82
74
Piirtäminen
11
2
14
Päätteleminen
13
6
12
Sanallisten tehtävien ratkaiseminen
39
20
11
Yksikön muuntaminen
54
41
22
Tehtäviä yht/kpl
3
23
2
253
374
510
Käytäntöön soveltaminen jäi seitsemännellä luokalla harvoin esiintyvien taitojen ja
valmiuksienjoukkoon.Käytäntöönsoveltaminentuliesillelähinnäjoissakinlaskutehtä
vissä. Arvioimista, avoimien tehtävien ratkaisemista ja yksiköiden muuntamista tämän
vuosiluokanoppikirjoissaolihyvinvähän.KahdeksannenluokanoppikirjoistaMatema
tiikanmaailmasisälsi jonkin verran mittaamista ja yksikön muuntamista.Yhdeksännellä
luokallaoppikirjatvaativatmuutamissaharjoitustehtävissähahmottamisentaitoa.
50
3.3Yhteenvetoharjoitustehtävientarkastelusta
Peruskoulunkahdenensimmäisenvuosikymmenenoppikirjoistapoimittujenpäättelyteh
tävienprosentuaalinen keskiarvo oli yli 30 % (Taulukko 9).Peruskoulun opetussuunni
telmanperusteiden1994mukaisistaoppikirjasarjoistayhteenlaskettujenpäättelytehtävi
en prosentuaalinen keskiarvo jäi alle viidesosaan kaikista harjoituksista (Taulukko 10).
Tämä oli osoitus siitä, että harjoitustehtävät olivat tällä vuosikymmenellä sisällöltään
köyhiä. Päättelemisketju vaatii enemmän kuin yhden käsitteen ja sen ominaisuuksien
osaamista.Päättely,todistamisjaongelmanratkaisutaitojenkehittämiseksitulisiyläas
teenoppikirjoissaollaenemmännäihinryhmiinkuuluviaharjoitustehtäviä.Geometristä
piirtämistä olisi lisättävä yläasteen harjoitustehtäviin. Valmiit piirrokset harjoitustehtä
vissäeivätkorvaaitsenäistäpiirtämisharjoittelua.Laskennallistenjakäytäntöönsovellet
tujenharjoitustehtävienyhteyteentaiosittainniidensijaantulisilisätägeometristapiir
tämistä.Oppikirjatkeskittyivätlaskennallisiintehtäviin,jotenpiirtämineneienääkehit
tynytperuskoulunviimeisilläluokilla.
Havainnoimista tarvittiin jo peruskoulun alkuvaiheen kirjojen harjoitustehtävissä,
muttatämäntaidonosuuskasvoivuoden1994opetussuunnitelmanperusteidenmukai
sissaoppikirjoissa.Lisäksihahmottamisestatulitärkeätaitoharjoitustehtävienratkaise
misessa(Taulukko10).
Verrattaessataulukoita9ja10nähdään,ettäpäättelyäsisältävienharjoitustehtävien
määräonpudonnut.Peruskoulunensimmäisenopetussuunnitelmanmukaisetoppikirjat
sisälsivätpäättelytehtäviä51%,28%ja29%kaikistatehtävistä(Taulukko9).Onmuis
tettava, että matematiikassa oli tällöin käytössä tasokurssit. Seuraavaan opetussuunni
telmaan (1985) perustuvassakirjassa vastaava prosentti oli 16 % (Taulukko 9). Opetuk
sessaolisiirryttypedagogiseeneriyttämiseen,kuntasokurssitolivatpoistuneet.Opetus
suunnitelman perusteet 1994 määrittelivät myös johtopäätösten teon ja päättelemisen
tärkeäksi geometrian osaalueeksi. Kuitenkin kirjakohtaiset määrät vaihtelivat (26 %,
18%ja7%,Taulukko10).Geometrisetkonstruktiotehtävätovatvähentyneet.Oppikir
joissaonsiirryttyyhäenemmänlaskennallisiinperusteluihin.Nykyiset,päättelyävaati
vat tehtävät, joissa osoitetaan geometrisia ominaisuuksia oikeiksi, vaativat yleensä al
gebrallista osaamista. Kaikista peruskoululuokkien 7–9 oppikirjoista löytyi tasokkaita
päättelytehtäviä mutta valitettavan vähän. Näillä luokilla harjoitukset, joissa tarvittiin
lisäpiirtämistä hahmottamaan tehtävän ratkaisua, olivat jääneet oppikirjoissa vähälle
huomiolle. Mallikuvioiden piirtämisharjoittelun vuoksi sanallisten harjoitustehtävien
ratkaiseminenontärkeää.
51
Taulukko 9: Eri kirjasarjojen yhteisprosenttimäärät harjoitustehtäviin liittyvistä, usein esiinty
vistäasioista1970ja1980luvuilla.Lyhenteet:GE=Geometria,KM=Koululaisenmatematiik
ka,PM=Peruskoulunmatematiikka,AHAA=AHAAmatematiikkaa
Oppikirjasarja
GE (1968)
KM (1972)
PM (1981)
AHAA
(1988)
%
%
%
%
Havainnoiminen
21
18
26
12
Laskeminen
40
45
61
58
Mittaaminen
16
6
6
17
Piirtäminen
43
44
25
29
Päätteleminen
51
28
29
16
Sanallisten tehtävien ratkai- 94
44
60
60
seminen
Taulukko 10: Koonta peruskoululuokkien 7–9 oppikirjojen harjoitustehtävissä esiin tulevista
asioista1990luvulla.Lyhenteet:Kerroin=Kerroin,yläasteenmatematiikka,geometria,Kolmio=
Kolmio,matematiikantietokirjajaharjoituskirjat,MatMaa=Matematiikanmaailma,geometria
Oppikirjasarja
Kerroin (2001)
Kolmio (1995)
MatMaa (1999)
%
%
%
Hahmottaminen
13
11
12
Havainnoiminen
23
33
28
Käytäntöön soveltaminen
21
34
36
Laskeminen
50
67
59
Mittaaminen
14
8
16
Piirtäminen
29
23
26
Päätteleminen
26
18
7
Sanallisten tehtävien ratkai- 59
50
32
982
1643
seminen
Tehtäviä yht/kpl
1192
4 PÄÄTELMIÄ
Ensimmäinen analysoiduista oppikirjoista sovelsi pohjoismaista geometrian oppiainesi
sältöäsuomalaisiinolosuhteisiin.SisältöjaharjoitustehtävätnoudattivattässäGeometria
oppikirjassa(1968)rinnakkaiskoulujärjestelmänkeskikoulunoppiainesta.Samaanaikaan
käytössä ollut Koululaisen matematiikka oppikirjasarja (1972) toteutti paremmin opetus
suunnitelmaa. Se pyrki pois opettajajohtoisesta opetuksesta. Harjoitustehtäviä muokat
tiin paremmin itsenäiseen työskentelyyn sopiviksi. Sanallisten tehtävien ratkaisemista
52
vähennettiin siten, että lisättiin tehtävien oletukset piirroksina. Täten ratkaisemisen al
kuunpääseminenhelpottui.Seitsemännelläluokallapiirrettiinjahavainnoitiin.Seuraa
villaluokillatehtiinenemmänjohtopäätöksiäjapäätelmiä.Vuosikymmenenloppupuo
lella Peruskoulun matematiikka oppikirjasarjassa (1981), jota käytettiin kaikilla kolmella
tasokurssilla, pyrittiin huomioimaan suppean ja keskikurssin tarpeita. Seitsemännellä
luokalla harjoitustehtävissä esiintyi runsaimmin havainnoimista, piirtämistä ja mittaa
mista. Yhdeksännellä luokalla oli suurin päättelytehtävien määrä (44 %, Taulukko 4).
Oppikirja painotti laskennallisia harjoitustehtäviä erikoisesti kahdeksannella ja yhdek
sännelläluokalla(63%ja78%,Taulukko4).
Seuraavan opetussuunnitelman (1985) mukana tuli kaksi muutosta: pedagoginen
eriyttäminen ja geometrian opetuksen aloittaminen kolmiulotteisesta ympäristöstä. Tä
mä opetussuunnitelma painotti soveltavaa matematiikkaa. Geometrian osalta sanot
tiin:”Yläasteellakäsitelläänedelleentasojaavaruusgeometriaanliittyviäpiirtämis,mittaamis,
päättelysekälaskutehtäviäjaopetetaantrigonometriaa.”Uutenaoppikirjaantulikäytäntöön
soveltamisentaito.AHAAmatematiikkaaoppikirjasarja(1988)sisälsimittaamisjapäätte
lytehtäviäsamansuuntaisesti(17%ja16%,Taulukko9).Piirtämistehtäviäolirunsaasti
seitsemännelläjakahdeksannellaluokalla(43%ja48%,Taulukko5).Laskeminenkoros
tui yhdeksännellä luokalla (77 %, Taulukko 5). Kolmasosassa tämän oppikirjasarjan
harjoitustehtävistä oli käytäntöön soveltamista. Nämä harjoitustehtävät olivat tasoltaan
helppojaeivätkävaatineetjohtopäätöstentekoataipäättelyä.Hahmottamistehtäviätässä
oppikirjasarjassa ei ollut, vaikka geometriassa oli siirrytty opettamaan alkaen kokonai
suuksistajasiirtyenyksityiskohtiin.
Seuraavanopetussuunnitelmanperusteiden(1994)mukaisiaoppikirjasarjojaoliana
lyysissä mukana kolme. Näihin oppikirjoihin oli tullut uudenlaisia hahmotustehtäviä.
Havainnoiminenolilisääntynyt(23%,33%ja28%,Taulukko10).Käytäntöönsovelta
via tehtäviä oli samansuuntaisesti kuin AHAA matematiikkaa oppikirjasarjassa (1988).
Piirtämistehtäviäolinäissäkolmessakirjassanoinneljäsosakaikistaharjoitustehtävistä.
Päättelytehtävienmääräeiyltänytsamalletasollekaikissaoppikirjasarjoissa(26%,18%
ja7%;Taulukko10).Toiminnallisuusnäkyivainmuutamissaharrastustehtävissä.Arvi
oiminen, avoimien tehtävien ratkaiseminen ja selostaminen esiintyivät vain 0–5 %:ssa
harjoitustehtävistä.Mittaamisenjayksikönmuuntamisenharjoittelutjäivätharjoitusteh
tävistäalle10%:ntasolle.Näitätaitojaolisitullutharjoittaa,silläopetussuunnitelmassa
kerrottiin seuraavasti: ”Kaikenikäistenjatasoistenoppilaidentulisisaadarakennellajatehdä
käsilläänmallejakyetäkseenluomaanoikeitamielikuviajamuodostamaankäsitteitä.”
Tutkimusosoitti,ettäperuskoulunensimmäistenns.välivaiheengeometrianoppikir
jojen(GeometriajaKoululaisenmatematiikka,1970luku)harjoituksetsisälsivätsamansuun
taisesti laskemista, piirtämistä ja havainnoimista. Peruskoulun matematiikka oppikirja
sarjassa (1981), joka oli käytössä 1970luvun puolenvälin jälkeen, laskemista sisältävien
harjoitustehtävienosuuslisääntyijapiirtämistäsisältävienosuuspieneniedellisiinoppi
kirjoihin verrattuna. Päättelemistä vaadittiin runsaimmin Geometriaoppikirjassa. Mah
dollisesti kirjantekijä huomioi geometrian aineksen uudistamisessa pohjoismaisen op
piaineksen lisäksi keskikoulun opetussuunnitelman ja pyrki vähäiseen muutokseen.
Koululaisen matematiikka oppikirjasarjassa (1972) puolestaan pyrittiin muuttamaan
enemmängeometriankäsittelyntyyliä.LuovuttiindeduktiivisestaEukleideengeometri
53
anopetuksestaselvemminkuinGeometriaoppikirjassa(1968).Tämänäkyisanallistenja
päättelyä vaativien tehtävien vähenemisenä. Oppikirjojen harjoitustehtävissä oletukset
tai mallikuviot olivat valmiiksi piirrettyjä. Piirrosten avulla pyrittiin myös auttamaan
oppilastayksilölliseentyöskentelyynopettajajohtoisenopetuksensijasta.
Opetussuunnitelmanperusteiden1985mukainenoppilaidenopiskelutähtäsikaikille
yhteisten tavoitteiden saavuttamiseen. Tasokursseista oli luovuttu. Geometrian harjoi
tustehtävien olisi tämän johdosta suonut monipuolistuvan ja käsittelevän perusop
piaineksenlisäksisyventäviäjalaajentaviaaihealueita.Tutkimuksenanalyysissäkuiten
kin osoittautui, että tämän vaiheen oppikirjasarja, AHAA matematiikkaa (1988), sisälsi
suoritusta toistavia ja rutiinilaskutaitoa vaativia tehtäviä. Tämän oppikirjan mukaan
avaruusgeometriahuomioitiinuudellatavalla.Kappaleitaaskarreltiinjaniidenrakentei
tatunnistettiinsekälaskettiinniidenpintaalojajatilavuuksiaerilaisissateematehtävissä.
Oppiaineseisisältänytsellaistamateriaalia,ettäjokaisellaoppilaallaolisiollutmahdolli
suus kehittää luovuuttaan, ongelmanratkaisukykyään ja muita ajattelutoimintojaan.
Oppikirjantehtävienkäsittelykoordinaatistossaheikensihavainnoimisenjapäättelemi
sen tasoa. Sanallisuudella, laskennallisuudella ja käytäntöön soveltamisella pyrittiin
monipuolistamaanjaterävöittämääntarjottuaharjoitusaineistoa.
Kunvuonna1994siirryttiinvaltakunnallisestaopetussuunnitelmastakoulukohtaisiin
opetussuunnitelmiin, oli pyrkimyksenä päästä opettajakeskeisestä opetuksesta oppilas
keskeiseen toimintaan. Opetussuunnitelman perusteissa 1994 esiteltiin matematiikasta
sen tavoitteet ja keskeiset sisällöt sekä tarkasteltiin opiskelun luonnetta ja opetuksen
lähtökohtia. Koska perusteet oli kirjattu suppeassa muodossa, oli opettajien etsittävä
muutakintukeakoulukohtaistenopetussuunnitelmienkirjoittamiseksi.Oppikirjastatuli
opetuksellinenrunko,johonopettajattukeutuivat.Opettajanvelvollisuusoliluodahyvä
oppimisympäristö ja toimia opiskelun ohjaajana. Oppiaineen sisällön tuliedistää jäsen
tyneen tietorakenteen kehittymistä. Oppilaiden haluttiin osallistuvan oppitunnin kul
kuunlisäämällätoiminnallisuuttajavalitsemallaesimerkitnuorillesopivistaaihepiireis
tä. Geometrian osalta opetussuunnitelman perusteissa 1994 ei annettu luokkakohtaisia
oppimääriä.Oppilaantuliymmärtääyhtenevyyden,yhdenmuotoisuudenjasymmetrian
käsitteet, saada käsitys matemaattisista lauseista ja tutustua päättelyn merkitykseen.
Nämä asiat olivat lisäystä edellisen opetussuunnitelman oppiainekseen.Harjoitustehtä
viin lisättiin hahmottamisen ja havainnoimisen lisäksi askartelua ja tutkimista. Tähän
opetussuunnitelmaanpohjautuvien,kolmenoppikirjasarjananalysoinninperusteellavoi
päätellä, että harjoitustehtävissä olivat hahmottaminen ja havainnoiminen korostuneet
muidengeometristenvalmiuksienensisijaisestipäättelemisenjapiirtämisenkustannuk
sella.Numeeristentehtävienosuusolisuurinnäissäkinoppikirjoissa.
Kouluissaonajettusisäänuuttaopetussuunnitelmaavuodesta2004.Tämänopetus
suunnitelmanperusteissaonmatematiikantavoitteisiinpaneuduttupositiivisellatavalla.
Geometriankeskeistensisältöjenlisäksionmääriteltyajattelunjatyöskentelyntaidoteri
ikäryhmittäin. Vuosiluokilla 6–9 vaaditaan loogista ajattelua vaativia toimintoja mm.
sääntöjenjariippuvuuksienetsimistäsekäniidenesittämistä.Perustelujenlisäksipuhu
taantaasmatemaattistentekstientulkinnastajatuottamisestasekätodistamisesta.
54
5 KIRJALLISUUS
Analysoidutoppikirjat
Alho, K., Hiltunen, H., Luoma, M., Pulli, A, (2001). Kerroin, yläasteen matematiikka,
kurssi3,Geometria,Keuruu:Otava.
Alho, K., Hiltunen, H., Luoma, M., Pulli, A. (2002). Kerroin, yläasteen matematiikka,
kurssit6ja7,Geometria.Keuruu:Otava.
Asikainen,V.,Koponen,R.,Kupiainen,A.(1982).Peruskoulunmatematiikka7,Keuruu:
Otava.
Jaakkola, E., Latva, O., Nieminen, H., Tolvanen, A., Tuomaala, T. (1995). Kolmio,
matematiikantietokirja,Helsinki:Kirjayhtymä.
Jaakkola, E., Latva, O., Nieminen, H., Tolvanen, A., Tuomaala, T. (2001). Kolmio,
harjoituskirja1,kurssi3,Geometria,Helsinki:Tammi.
Jaakkola, E., Latva, O., Nieminen, H., Tolvanen, A., Tuomaala, T. (2002). Kolmio,
harjoituskirja2,kurssi6,Geometria,Helsinki:Tammi.
Jaakkola, E., Latva, O., Nieminen, H., Tolvanen, A., Tuomaala, T. (2003). Kolmio,
harjoituskirja3,kurssi9,Geometria,Helsinki:Tammi.
Koponen,R.,Kupiainen,A.,(1981).Peruskoulunmatematiikka8ja9,Keuruu:Otava.
Metiäinen,A.,Paasonen,J.,Voutilainen,E.(2003).Matematiikanmaailma,Geometria1
ja2,Porvoo:WSOY.
Metiäinen,A.,Paasonen,J.,Voutilainen,E.(1999).Matematiikanmaailma,Geometria3,
Porvoo:WSOY.
Paasonen,J.,Voutilainen,E.,Kalla,H.(1990).AHAA7,matematiikkaa,Porvoo:WSOY.
Paasonen,J.,Voutilainen,E.,Kalla,H.(1989).AHAA8,matematiikkaa,Porvoo:WSOY.
Paasonen,J.,Voutilainen,E.,Kalla,H.(1988).AHAA9,matematiikkaa,Porvoo:WSOY.
Ranta,E.,Leikkonen,S.L.(1968).Geometria.Helsinki:WSOY.
Vilenius,S.(1972).Koululaisenmatematiikka,Laajajakeskikurssi,Geometriantehtäviä
89,Helsinki:Otava.
Yrjönsuuri,R.(1973).Koululaisenmatematiikka,Laajempikurssi7,Keuruu:Otava.
Lähteet
Hautamäki, J. (1984). Peruskoululaisten loogisen ajattelun mittaamista ja esiintymistä.
Joensuunyliopistonyhteiskunnallisiajulkaisuja1.
Kansanen, P. & Uusikylä, K. (1982). Opetussuunnitelman toteutuminen: tulokset ja
johtopäätökset,Tutkimusselosteita.Kokeilujatutkimustoimisto.Kouluhallitus.
Kari, J. (1988). Luokanopettajan kirjasidonnaisuus. Tutkimus ympäristöopin ja
maantiedon opetuksesta peruskoulun alaasteella, Jyväskylän Yliopisto:
KasvatustieteidenjulkaisusarjaA1.
Kouluhallitus (1976). Peruskoulun opetussuunnitelmakomitean mietintö II, 1970: A5,
Opas 6a, Matematiikka, Ehdotus perustavoitteiksi ja perusoppiainekseksi
peruskoulussa,Helsinki.
55
Kouluhallitus (1982). Peruskoulun matematiikan oppimäärä ja oppimääräsuunnitelma,
Helsinki.
Kouluhallitus(1970ja1985).Peruskoulunopetussuunnitelmanperusteet,Helsinki.
Kupari, P. (1983). Millaista matematiikkaa peruskoulun päättyessä osataan? Jyväskylän
yliopisto,Kasvatustieteidentutkimuslaitoksenjulkaisuja342.
Kupari,P.,Reinikainen,P.,Nevanperä,T.&Törnroos,J.(2001).Mitenmatematiikkaaja
luonnontieteitä osataan suomalaisessa peruskoulussa? Jyväskylän yliopisto.
Koulutuksentutkimuslaitos.
McKnight,C.,Britton,E.D.,Valverle,G.A.&Schmidt,W.H.(1992).Documentanalysis
manual.SyofMathematicsandScienceOpportunitiesResearchReportSeriesN:o
42.
Opetushallitus,(1994).Peruskoulunopetussuunnitelmanperusteet,Helsinki.
Pehkonen,E.(1982).GeometrianopettaminenyläasteellaII,Yläasteengeometriankurssi.
MatemaattistenAineidenAikakauskirja,2,181–186.
Pehkonen,E.(1989).Oppilaskvaliteetteja peruskoulungeometriaan.Käsikirjaopettajille
toiminnallisestageometriasta.Porvoo:WSOY.
Perkkilä, P.(1998). Kahden alkuopetuksen matematiikan oppikirjasarjan didaktinen
analyysi.Jyväskylänyliopisto.Opettajankoulutuslaitos.Lisensiaattitutkimus.
Seppänen, R. (1982). Matematiikan opetussuunnitelman uudistus peruskoulussa,
MatemaattistenAineidenAikakauskirja,3,254–255.
Silfverberg, H. (1986). Van Hielen teoria geometrian oppimisessa ilmenevistä tasoista:
tasojen teoreettinen tarkastelu ja mittausmenetelmien kokeilu. Tampereen
yliopistonkasvatustieteenlaitos,JulkaisusarjaA:TutkimusraporttiN:o39.
Soro, R. & Pehkonen, E. (1998). Kassel tutkimus. Helsingin yliopiston tutkimuksia n:o
197.
Törnroos, J. (2004). Opetussuunnitelma, oppikirjat ja oppimistulokset – seitsemännen
luokan matematiikan osaaminen arvioitavana. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto,
Koulutuksentutkimuslaitos.
56
OsaII
Matematiikanaineenopettajaksiopiskelevien
valmiudetohjataopiskelijoitaGeoGebra
avusteisissatutkimustehtävissä
MarkusHähkiöniemijaHenryLeppäaho
TIIVISTELMÄ
Tutkimuksessa matematiikan aineenopettajaksi opiskeleville (N=20) teetettiin testi, jolla
selvitettiin, miten he ohjaisivat lukiolaisia GeoGebraavusteisissa tutkimustehtävissä.
Testi sisälsi hypoteettisia tilanteita, joissa lukiolainen esittää opettajalle ratkaisunsa tut
kimustehtävään.Aineenopettajaopiskelijoitapyydettiinvastaamaan,mitenheopettajana
reagoisivatkyseisiintilanteisiin.Tavoitteenaolimuodostaatietoaheidänvalmiuksistaan
käyttää GeoGebraa tutkimustehtävissä. Opiskelijoiden kirjalliset vastaukset luokiteltiin
sen mukaan, kuinka he ohjaisivat lukiolaisen huomion olennaisiin kohtiin ratkaisussa.
Tällaisia kohtia olivat mm. perusteleminen, teknologian rajoitteiden ymmärtäminen,
siirtyminen kokeilemisesta päättelemiseen, ratkaisun syventäminen, yhteyksien raken
taminen ja yllättäen avautuvien tutkimusmahdollisuuksien hyödyntäminen. Tulosten
mukaan aineenopettajaopiskelijat huomasivat hyvin lukiolaisten tekemien ratkaisujen
epäkohdat,muttaheilläolivaikeuksiaaktivoidalukiolaisiatutkimaanjatarkastelemaan
tehtävää syvällisemmin. Sen sijaan aineenopettajaopiskelijat käyttivät usein lukiolaista
passivoiviaopetuksellisiaratkaisujajättämällähuomioimattaratkaisunsyventämismah
dollisuudet tai paljastaen suoraan tutkittavan asian. Muodostimme aineenopettajaopis
kelijoiden reaktioista kolme luokkaa, jotka nimesimme aktivoivaksi, passivoivaksi ja
itsekeskeiseksiopettajuudeksi.
Avainsanat: GeoGebra, matematiikan aineenopettajankoulutus, tutkimustehtävät,
tutkivaoppiminen.
1 JOHDANTO
Tutkivan lähestymistavan käyttämisen ja teknologian integroimisen matematiikan ope
tukseenontodettuedistävänmatematiikanoppimista(esim.Fennemaym.1996).Opet
tajankouluttajat yrittävät edistää tällaisen opetuksen leviämistä. Kuitenkin teknologian
hyödyntäminenjatutkivanmatematiikantoteuttaminenasettavatopettajalleuusiavaa
timuksia. Opettajilla onkin todettu olevan vaikeuksia toteuttaa tällaista opetusta (Stein
59
ym. 2008). Tutkimuksemme tarkoitus onselvittää matematiikan aineenopettajaksiopis
kelevien valmiuksia teknologiaavusteiseen tutkivan matematiikan opettamiseen. Uu
dentyyppisenkyselyn avulla tutkitaan, miten aineenopettajaopiskelijat ohjaisivat kuvit
teellista lukiolaista hänen ratkaistessaan tutkimustehtävää GeoGebraohjelman avulla.
Näin muodostetaan tietoa siitä, millaisiin asioihin aineenopettajaopiskelijat tarvitsisivat
tukeatoteuttaakseentutkivaamatematiikkaateknologianavulla.
1.1Tutkivamatematiikka
Tutkivalla lähestymistavalla matematiikan opettamiseen tai lyhyemmin tutkivalla ma
tematiikalla tarkoitetaan tässä tutkimuksessa opetusta, jossa opiskelijat oppivat ratkais
tessaan eistandardeja tehtäviä. Heidän oletetaan myös kehittävän opetettavaan aihee
seen liittyviä ideoita luovasti. Tutkiva matematiikka sisältää monia Hakkaraisen ym.
(2005) esittämien tutkivan oppimisen piirteitä. Pehkonen (2003) tarkastelee tutkivaa
matematiikanoppimistaavoimientehtävienkautta,jollointehtäväänvoiollauseampia
oikeita ratkaisuja. Tällaisia tehtäviä ratkottaessa luokkatilanteessa oppilaan luovalle
ajattelulleannettaisiinmahdollisuuskehittyä.
Steininym.(2008)mukaantutkivanmatematiikantunnitrakentuvatyleensäkolmes
ta vaiheesta: alustus, tutkimus ja koontivaiheesta. Alustusvaiheessa opettaja esittelee
tehtävänjaalustaasitätarvittaessa,muttaeikuitenkaanesitävalmiitaratkaisumenetel
miä tai anna esimerkkejä. Tutkimusvaiheessa opiskelijat ratkaisevat ryhmissä tehtäviä
opettajan kierrellessä ryhmien luona ohjaten heidän työskentelyään. Koontivaiheessa
opiskelijat esittävät ratkaisumenetelmiään koko luokan yhteisessä keskustelussa, jossa
opettajahuolehtiitärkeidenmatemaattistenideoidenesilletulemisestajaniidenviimeis
telemisestä. Tehtäviin on yleensä monia erilaisia ratkaisumenetelmiä, jotka saattavat
sisältää erilaisia matemaattisia ideoita. Siten tutkiva matematiikka hyödyntää avointa
ongelmanratkaisua, jonka sanotaan edistävän matematiikan oppimista (Nohda 2000;
Pehkonen 1997, 2003). Tutkivassa matematiikassa korostetaan myös perustelemisen
merkitystä. Tarkoituksena on, että opiskelijat itse perustelevat oman ratkaisumenetel
mänsäjaarvioivatmuidenopiskelijoidenratkaisumenetelmientoimivuutta(ks.Francis
co&Maher2005).
Tässä tutkimuksessa keskitymme opettajan toimintaan edellä mainitussa tutkivan
matematiikantoisessavaiheessa.Tässätutkimusvaiheessaopettajanhaasteisiinkuuluvat
mm.opiskelijoidenaktivoiminen,heidänhuomionsakiinnittäminenmatematiikankan
nalta olennaisiin asioihin, opiskelijoiden ohjaaminen perustelemiseen, keskustelujen
aloittaminen opiskelijoiden välille ja opiskelijoiden auttaminen yhteyksien luomisessa
matemaattisten ideoiden välille. Näin ollen opettajan pyrkimys opiskelijoiden kuunte
lemiseen sekäopettajan vuorovaikutustaidot nousevat keskeisiksi. (Son& Crespo 2009;
Pehkonen&Ahtee2005;Viiri&Saari2006).Opettajatoimiieräänlaisenaorkesterinjoh
tajana, joka organisoi työskentelyä ja huolehtii,että tutkimustehtävien parissa kehitetyt
ideatsuppenevatkohtistandardiamatematiikkaa(vrt.Ball1993).
1.2GeoGebra
Teknologia tukee tutkivan matematiikan toteuttamista. Tässä tutkimuksessa käytettiin
dynaamista matematiikkaohjelma GeoGebraa (www.geogebra.org). GeoGebra valittiin,
60
koska se on ilmainen, helppokäyttöinen ja jokaisen kotitietokoneelleen asennettavissa.
GeoGebra mahdollistaa esimerkiksi kuvaajien ja vastaavien yhtälöiden yhteyksien tut
kimisen.Ohjelmanavullavoiesimerkiksiraahatajotainkuvaajanpistettäjanähdävas
taavanyhtälönmuuttuvandynaamisesti(ks.esim.kuvio3).GeoGebraantaaopettajalle
mahdollisuuden tehtävien alustamiseen. Opettaja voi etukäteen laatia GeoGebra
tiedoston,johononesimerkiksivalmiiksitehtymuutettavatparametrit(ks.esim.kuvio
2).Alustaminenhelpottaamyösopiskelijoidentoimintaaohjelmanparissa,koskaheidän
ei tarvitse hallita ohjelman kaikkia ominaisuuksia. GeoGebra antaa opiskelijoille mah
dollisuudenerilaistenratkaisumahdollisuuksienkokeilemiseen,jokakynälläjapaperilla
kestäisi kauan ja olisi työlästä. Siten GeoGebra rohkaisee opiskelijoita kokeilemaan eri
laisia ideoita, joita he kynällä ja paperilla eivät uskaltaisi kokeilla. Opiskelijat voivat
ohjelmanavullatehdähypoteesejajatestataniitä.Kunopiskelijatkeksivätjonkinuuden
säännönmukaisuuden ja vakuuttuvat GeoGebran avulla sen paikkansapitävyydestä,
heidän on myös mielekkäämpää ryhtyä etsimään syytä sille, mistä heidän keksimänsä
säännönmukaisuus johtuu (tämä on todistamista). Ohjelma tekee siis todistamisesta
mielekkäämpää. Teknologian integroimisen matematiikan opetukseen on useissa tutki
muksissaosoitettutehostavanoppimista,muttasiltiteknologiaavusteisenongelmanrat
kaisun tukeminen tuottaa opettajille vaikeuksia (esim. Goos ym. 2003; Stohl Lee 2005).
Mainituissa tutkimuksissa on käytetty muita ohjelmia kuin GeoGebraa, jota on tähän
mennessä tutkittu vähän. Opettajat ovat kuitenkin ottaneet GeoGebran innostuneesti
vastaan,jaseonollutheidänmielestäänhelppokäyttöisempikuinuseatmuutohjelmat
(Hohenwarter&Lavicza2007).Tästäosoituksenaonopettajienlaatimarunsasmateriaali
GeoGebraninternetsivustolle(www.geogebra.org/en/wiki).
1.3Teknologispedagogisetsisältötiedot
Opettajan toimintaan vaikuttavat hänen pedagogiset sisältötietonsa (Shulman 1986).
Näillätarkoitetaanmatematiikanjapedagogistentietojenyhteensulautunuttatietoa,joka
mahdollistaaopettajantoiminnantietyssämatematiikanaihealueessa.Pedagogisetsisäl
tötiedotvoivatollatietoaesimerkiksioppimisenkannaltatehokkaistarepresentaatioista,
virhekäsityksistätaisiitä,mikämuutenhelpottaataivaikeuttaatietynkäsitteenoppimis
ta.MishrajaKoehler(2006)ovatesittäneet,ettätähänyhteensulautumaantulisiyhdistää
sisältötietojenjapedagogistentietojenlisäksivieläteknologisettiedot(kuvio1).
PCK
Sisältötiedot
TPCK
Teknologiset
tiedot
Pedagogiset
tiedot
Kuvio 1: Teknologispedagogisten sisältötietojen (TPCK) muodostuminen (Mishra & Koehler
2006)
61
Mishran ja Koehlerin (2006) mukaan teknologispedagogiset sisältötiedot sisältävät
tietoa mm. siitä, millaisia representaatioita teknologia mahdollistaa, miten teknologia
auttaakäsitteenoppimista,millaisillevirhekäsityksilleteknologiankäyttösaattaaaltistaa
jamillaisiauusiaoppimismahdollisuuksiateknologiaavaatietynkäsitteenoppimisessa.
Akkocym.(2008)analysoivatopettajaksiopiskelevantoimintaakäyttäentätäviitekehys
tä. Heidän tutkimuksensa mukaan opettajan vaikeudet teknologian integroimisessa
opetukseen eivät johtuneet ainoastaan teknologisista tiedoista. Sen sijaan puutteita ha
vaittiin kaikilla osaalueilla, jotka yhdessä muodostavat teknologispedagogiset sisältö
tiedot.
1.4Hypoteettisettehtävätilanteetopetusjatutkimuskäytössä
Opettajienpedagogisiasisältötietojataimuitaopetukseenvaikuttaviatekijöitäonaiem
minkintutkittukyselyillä,joissaopettajiapyydetäänreagoimaanhypoteettiseenopiske
lijan ratkaisuun. Son ja Crespo (2009) tutkivat kyselyllään, miten luokanopettajaksi
(N=17) ja matematiikan aineenopettajaksi (N=17) opiskelevat reagoivat hypoteettisten
oppilaiden ratkaisuihin murtolukujen jakolaskua käsittelevässä tehtävässä. Eräs hypo
teettinen ratkaisu oli epästandardi ja odottamaton mutta matemaattisesti kuitenkin pe
rusteltavissa. Luokanopettajaksi opiskelevista 11 reagoi pinnallisesti tai puutteellisesti
oppilaidenratkaisuihinpitäenoikeaaratkaisuavääränätaijättäenratkaisumenetelmien
yleistettävyydentaitehokkuudentarkastelematta.Näistä11opiskelijastaneljäpitioike
aa ratkaisua virheellisenä. Sen sijaan aineenopettajaksi opiskelevista kukaan ei pitänyt
oikeaaratkaisuavääränäjavainkuudenluokiteltiinreagoivanpinnallisestitaipuutteel
lisesti. Tämän lisäksi Son ja Crespo luokittelivat opettajaopiskelijoiden reagoinnit oppi
laskeskeisiksijaopettajakeskeisiksi.Opettajakeskeisiksiheluokittelivatreagoinnit,joissa
opettajakertoooppilaallesuoraantietoaratkaisumenetelmistä.OppilaskeskeisiksiSonja
Crespoluokittelivatreagoinnit,joissaopettajaluooppilaallemahdollisuudenselittäätai
perustellaratkaisumenetelmäänsätaiohjaaoppilastamenetelmäntarkasteluun.Soninja
Crespon luokittelun mukaan oppilaskeskeisesti reagoi vain kolme aineenopettajaksi
opiskelevaajaseitsemänluokanopettajaksiopiskelevaa.SoninjaCresponmielestätulok
setovatyllättäviä,sillätutkimukseenosallistuneetopettajaksiopiskelevatolivatparhail
laan koulutuksessa, jossa painotetaan oppilaslähtöistä opetusta ja oppilaiden rohkaise
mista selittämään ja perustelemaan ajatteluaan. Erityisen huolestuttavaaheidän mieles
täänonse,ettäkaikkiopettajat,jotkatarkastelivatsyvällisemminhypoteettistenratkai
sumenetelmienyleistettävyyttäjatehokkuutta,reagoivatpääsääntöisestiopettajakeskei
sesti. Toisaalta opiskelijalähtöisen opetuksen perusajatuksena on, että opettaja ohjaa
opiskelijaakohtitärkeitämatemaattisiaideoita.Sitenopiskelijalähtöisyyseivoionnistua,
josopettajaeikykenetarkastelemaanopiskelijoidenratkaisumenetelmiä.
MyösBizanym.(2008)tutkimuksenmukaanopettajillaolivaikeuksiaarvioidapäte
västierilaisiahypoteettisiaratkaisujajaantaaopiskelijoillepalautettaolennaisistaasiois
ta.Heidänmukaansaopettajienuskomuksetesimerkiksivisuaalisenajattelunmerkityk
sestämatematiikassavaikuttivatheidänreagointiin.Bingolbalinym.(2008)tutkimuksen
mukaan opettajilla oli vaikeuksia arvostella mielekkäästi opiskelijoiden hypoteettisia
ratkaisujaavoimiinongelmiin.
62
Crespon(2000)tutkimuksenmukaanopettajaksiopiskelevienvalmiuksiatulkitaop
pilaidenratkaisujavoidaankuitenkinkehittää.Hänentutkimuksessaanluokanopettaja
opiskelijatkävivätkirjeenvaihtoa4.luokanoppilaidenkanssajapitivätsamallahavain
noistaan henkilökohtaista päiväkirjaa. Kirjeenvaihdon ja päiväkirjamerkintöjen ana
lysoinnin perusteella opiskelijoiden havainnoinnin painopisteet muuttuivat 11 viikon
aikana seuraavasti: Koejakson alussa he kiinnittivät oppilaiden vastauksissa huomiota
lähinnävainvastaustenoikeellisuuteen,kuntaasjaksonloppupuolellahavainnotkeskit
tyivät vastausten sisällön tutkimiseen ja matemaattisten merkitysten havaitsemiseen.
Samoin koejakson alkuvaiheessa tehdyt nopeat johtopäätökset ja ”tuomitsevat” arviot
oppilaidenmatemaattisistataidoistamuuttuivatharkitseviksijapohdiskeleviksihavain
noksioppilaidensenhetkisestäosaamisesta.Crespo(2000)havaitsimyös,ettäkoejakson
loppuakohdenedettäessäluokanopettajaopiskelijoidenpäiväkirjamerkinnätkeskittyivät
selkeästi oppilaan työskentelyyn sekä muuttuivat yksityiskohtaisemmiksi ja arvioivem
miksi.
1.5Opettajuudenerimuodot
Pedagogisten sisältötietojen lisäksi opettajan toimintaan vaikuttavat myös hänen usko
muksensa matematiikasta, opettamisesta ja oppimisesta (Leder, Pehkonen & Törner
2003). Esimerkiksi Son ja Crespon (2009) luokittelun opettaja tai oppilaskeskeisyyteen
taustallaoliKuhsinjaBallin(1986)luokitteluerilaisistalähestymistavoistamatematiikan
opettamiseen. Luokittelu pohjautuu tutkimuksiin opettajan uskomuksista. Yleisellä ta
solla opettajuutta on luokitellut esimerkiksi Patrikainen (1999). Hän määrittelee neljä
opettajuudenprofiilia:1)opetuksensuorittaja,2)tiedonsiirtäjäjaoppimisenkontrolloija,
3)oppimaanjakasvamaansaattajasekä4)kasvujaoppimisprosessinohjaaja.
Aiempientutkimustenperusteellavoidaansiisolettaasekätutkivanmatematiikanet
täteknologianhyödyntämisentehostavanmatematiikanoppimistamuttatoisaaltatuot
tavan opettajille vaikeuksia. Tämän tutkimuksen tarkoitus on muodostaa tietoa siitä,
millaisia vaikeuksia opettajat kohtaavat. Edellä mainittuja näkökohtia tarkastellaan uu
denjalupaavanohjelmanGeoGebranparissa.Tarkemminsanottunatutkimuksentavoit
teena on selvittää matematiikan aineenopettajaksi opiskelevien valmiuksia tutkivaan
lähestymistapaanGeoGebraahyödyntäen.Tutkimuskysymyksemmemuotoutuiseuraa
vanlaiseksi: miten aineenopettajaopiskelijat toteuttavat opiskelijalähtöisyyttä ja tutkivaa lähes
tymistapaaohjatessaanlukiolaistaGeoGebraavusteistentutkimustehtävienratkaisemisessa?
2 MENETELMÄT
Tutkimuksen koeryhmänä toimivat Jyväskylän yliopistossa opiskelevat matematiikan
aineenopettajaopiskelijat(N=20),joillaolisuoritettunamatematiikanopintojavähintään
50opintopistettäja15opintopisteenlaajuisetpedagogisetperusopinnot.Ryhmäolijuuri
aloittamassa ainepedagogisia opintoja, joten heillä ei ollut vielä kokemusta ohjatusta
opetusharjoittelusta.
Syyskuussa2008elipedagogistenaineopintojenalkaessakoeryhmätutustuitietoko
neluokassa yhden luennon ajan (90 min) ohjatusti vain ohjelman teknisiin ominaisuuk
siin. Jokaisella oli käytössään tietokone ja verkkoosoitteen www.geogebra.org kautta
63
GeoGebraohjelma. Ohjelman ja sen käyttöoppaan (http://www.geogebra.org/help/
docufi/index.html) avulla käytiin läpi ohjelman toimintoja. Yhdessä kokeillen harjoitel
tiin esimerkiksi ohjelman webversion käynnistys ja pisteiden, kolmioiden ja ympyrän
sekäfunktionkuvaajienpiirtäminen(suora,paraabeli).
Viisi päivää tutustumiskerran jälkeen koeryhmälle pidettiin tietokoneluokassa 90
minuutinmittainentesti.Testilomakkeessaaineenopettajaopiskelijoilleesitettiinkahdek
san hypoteettista tehtävätilannetta, jotka kuvasivatlukiolaisen ratkaisuja kolmeen Geo
Gebraavusteiseen tutkimustehtävään. Aineenopettajaopiskelijat arvioivat jokaisen hy
poteettisen ratkaisun asteikolla: Erittäin heikko, Heikko, Hyvä, Lähes täydellinen. Tämän
jälkeenheitäpyydettiinvastaamaankirjallisesti,kuinkaheopettajanareagoisivatlukio
laisen esittämiin ratkaisuihin. Jokaisella aineenopettajaopiskelijalla oli käytössä oma
tietokone. Koeryhmälle luodussa Optimaympäristössä oli testiä varten suunniteltu
sähköinen tiedosto, jonka avulla opiskelijoilla oli mahdollisuus tutkia tehtävätilannetta
itsenäisestiGeoGebraohjelmanavulla.Hesaivattutkittavakseenesimerkiksikuvioissa2
ja 3 esitetyt lukiolaisten hypoteettiset ratkaisut. Aineenopettajaopiskelijaa pyydettiin
kiinnittämäänhuomiotakirjallisessavastauksessaanseuraaviinkohtiin:
1) Miten reagoisit opettajana kyseiseen tilanteeseen ja miten kommentoisit lukio
laisellehänenratkaisuaan?(Ilmaiseajatuksesikirjallisestiniinselkeästi,ettälu
kiolainenymmärtääohjeistuksesijaajatuksesi.)
2) Mihinpyritreagoinnillasi?
3) Mitäkyseinenlukiolainenvoisimielestäsioppiatilanteessa?
4) Mitenmuuttaisittehtävääjamiksi?
Testin jälkeen analysoimme ensin kumpikin itsenäisesti aineenopettajaopiskelijoi
denvastaukset.Analyysissaarvioitiin,millätavoinaineenopettajaopiskelijapyrkiikirjal
lisessavastauksessaankiinnittämäänlukiolaisenhuomiontehtävässäolennaiseenasiaan.
Tutkimuksen luotettavuuden parantamiseksi vertasimme erikseen tekemiämme ana
lyyseja. Ne tehtäväkohdat, joissa tulkintamme erosivat, tarkastimme vielä uudestaan
yhdessä. Tämän jälkeen päädyimme yksimielisesti lopulliseen vastausten luokitteluun
kaikkientehtäväkohtienosalta.
3 TULOKSET
Aluksitodettakoon,ettätutkimukseenosallistuneetmatematiikanaineenopettajaopiske
lijatovatsoveltuvuuskokeidenkauttavalikoitunutryhmä,jokaonmenestynytopinnois
saan hyvin. Tässä artikkelissa esitettävät tulokset pyrkivät opettajankoulutuksen kehit
tämiseen. Niitä ei pidä tulkita opetusharjoittelijoiden yksittäisinä suorituksina, vaan
tuloksetviestivätheidänsaamastaankoulutuksestajasenantamistavalmiuksista.
Kyselylomakkeenlopullisenanalyysinjälkeenhavaitsimme,ettäaineenopettajaopiskeli
joidenvastauksetvoitiinluokitellapääsääntöisestikolmeenryhmään0,1ja2:
0. Aineenopettajaopiskelija ei kiinnitä huomiota olennaiseen asiaan tehtäväkoh
dassa.
1. Aineenopettajaopiskelija kiinnittää huomiota olennaiseen asiaan tehtäväkoh
dassa,muttahänmyöspaljastaasuoraanolennaisenasiantaipyytäämuitarat
kaisutapojailmanmotivointia.
64
2.
Aineenopettajaopiskelija kiinnittää huomiota olennaiseen asiaan tehtäväkoh
dassajajohdatteleelukiolaisentarkastelemaanolennaistaasiaa.
Esimerkkinämatematiikanaineenopettajaopiskelijoidenvastauksistajatulostenana
lyysistäesittelemmetehtävistä1c,2aja3btehdytluokittelut1c(1),1c(2),2a(1),2a(2)ja3b.
Tehdyistäluokitteluistakäsittelemmetarkemminluokittelut1c(1)ja3b.Luokittelut1c(2),
2a(1)ja2a(2)esitämmelyhyemmin.
3.1Tehtävä1c
Tehtävänantotehtävään1c:”Paraabelinmuoto”oliseuraava:
KurssillaPolynomifunktiotopiskelijoilleonannettuseuraavatehtävä:”TutkiGeoGe
bralla,mitenvakiota,bjacvaikuttavatparaabelinmuotoon.”Eräslukiolainenesittäärat
kaisuksi, että paraabelin yakselin leikkauskohta on vakio c, koska kuten suorankin
tapauksessa,vakiotermikertooyakselinleikkauspisteen.Samallahännäyttääkuvaa
(kuvio2),jossaparaabelileikkaayakselinkohdassac.
Kuvio2:Kyselyssäesitettylukiolaisenratkaisutehtävään1c
Tehtävän 1c(1) kirjallisten vastausten luokitteluperusteena (taulukko 1) oli aineen
opettajaopiskelijanpyrkimyskiinnittäälukiolaisenhuomiosiihen,mistäsyystäyakselin
leikkauskohtaonc.
Taulukko1:Aineenopettajaopiskelijoidentehtävän1cvastaustenluokittelukohta1c(1)
1c(1) Pyrkiikö aineenopettajaopiskelija kiinnittämään lukiolaisen huomion siihen, mistä syystä y-akselin leikkauskohta on c?
f
0 = Ei.
15
1 = Kyllä. Opettaja kertoo syyn lukiolaiselle.
2
2 = Kyllä. Opettaja johdattelee lukiolaisen tarkastelemaan syytä.
3
65
Huomiota herättävää oli,että 20 aineenopettajaopiskelijasta 15 ei pyrkinyt kiinnittä
mään lukiolaisen huomiota hänen havaintonsa perustelemiseen. Kaksi kiinnitti asiaan
huomiota ja paljasti samalla suoraan syyn, miksi vakio c on yakselin leikkauskohta.
Kolme aineenopettajaopiskelijaa johdatteli lukiolaista tarkastelemaan itse syytä leikka
uskohdan määräytymiseen jatkokysymyksen avulla. Seuraavassa on esitelty esimerkit
luokkiin1ja2jaetuistavastauksista:
1:”Vastaustukeehavaintoa,muttahelpomminasiannäkisisijoittamallayhtälöönx:npaikalle
arvox=0,jolloinsaataisiinsuoraanarvoy=c”
2:”Aivan.Osaatkoparaabelinyhtälönavullaperustellatämän?(Sijoittamallax=0:f(0)=c)”
Luokan 0 vastauksetkaan eivät olleet tyhjiä, vaan niissä oli kommentoitu opetuksen
kannalta epäoleellisia asioita. 1luokan esimerkkivastauksessa ohjeistetaan paljastavan
selkeästi sijoittamaan yhtälöön x:n paikalle 0, joten lukiolaiselle ei jää muuta tehtävää
kuinrutiinilaskunsuorittaminen.2luokanesimerkkivastauksessaaineenopettajaopiske
lija johdattelee lukiolaista perustelemaan vastauksensa paraabelin yhtälön avulla. Huo
mattakoon,ettävakioidenajabhuomioiminensivuutetaanedelläesitetyissäesimerkki
vastauksissakokonaan.
Tehtävässä 1c opettajalla oli myös mahdollisuus kiinnittää lukiolaisen huomiota sii
hen, miksi sekä paraabelilla että suoralla vakiotermi kertoo yakselin leikkauskohdan.
Taulukossa 2 on esitetty tulokset siitä, miten aineenopettajaopiskelijat tarttuivat tähän
ideaan.
Taulukko2:Aineenopettajaopiskelijoidentehtävän1cvastaustenluokittelukohta1c(2)
1c(2) Pyrkiikö aineenopettajaopiskelija kiinnittämään lukiolaisen
huomion siihen, miksi sekä suoralla että paraabelilla vakiotermi f
kertoo y-akselin leikkauskohdan?
0 = Ei.
16
0.1 = Ei, mutta opettaja kehuu suoran ja paraabelin yhdistämistä.
2
0.2 = Ei, mutta opettaja pyytää tarkastelemaan muitakin polynomifunktioita.
0.3 = Opettaja mainitsee muuten suoran ja paraabelin yhteyden
1
1
Aineenopettajaopiskelijoista kukaan ei siis pyrkinyt kiinnittämään lukiolaisen huo
miota tämän havainnon syvempään tarkastelemiseen, eli luokkiin 1 ja 2 ei tullut vasta
uksia. Joissakin vastauksissa oli kuitenkin mainittu jollain muulla tavoin tämä yhteys,
esim.kehuttulukiolaistahavainnosta.Siksierottelimmevieläluokitteluunluokat0.1,0.2
ja0.3.
66
3.2Tehtävä2a
Tehtävänantotehtävään2a:”Paraabelinnollakohdat”oliseuraava:Analyyttisengeomet
riankurssillaopiskelijoilleonannettuseuraavatehtävä:”PiirräGeoGebrallaparaabeli,jolla
onnollakohtina2ja1.”
Eräslukiolainenesittääkuviossa3esitetynratkaisun.
”Piirrän ensin jonkin
paraabelin.”
”Sitten käytän
leikkauspiste -toimintoa.”
”Raahaan hiirellä paraabelia
kunnes nollakohdat ovat -2 ja 1.”
Kuvio3:Kyselyssäesitettylukiolaisenratkaisutehtävään2a
Taulukossa 3 on esitetty, millaisiksi aineenopettajaopiskelijat arvioivat lukiolaisen
ratkaisun. Huomattavaa on, että 15 heistä piti ratkaisua hyvänä tai lähes täydellisenä,
vaikkaratkaisuonsaatuvainkokeilemalla.
Taulukko3:Aineenopettajaopiskelijoidenarviotehtävästä2a
Arvio
f
Erittäin heikko
0
Heikko
4
Hyvä
11
Lähes täydellinen
4
Kokeilemallasaaturatkaisueivälttämättäoleedesoikeinpyöristysvirheenvuoksi.Tau
lukossa4onesitetty,mitenaineenopettajaopiskelijathuomioivatpyöristysvirheen.Heis
tä14eihuomioinuttätälainkaan.Kukaaneimyöskäännäyttänytitseesimerkinomaisesti
virheellistäratkaisua,jossavastauspyöristyisioikeaksi.
67
Taulukko4:Vastaustenluokitteluperusteettehtävässä2a(1)
2a(1) Pyrkiikö aineenopettajaopiskelija kiinnittämään lukiolaisen
huomion siihen, että nollakohdat eivät ole välttämättä vaaditut f
nollakohdat (ohjelman pyöristysvirhe)?
0 = Ei.
1 = Kyllä. Opettaja kertoo, että ratkaisu on mahdollisesti väärin tai kehottaa tarkistamaan.
14
5
2 = Kyllä. Opettaja johdattelee lukiolaisen tarkastelemaan, onko ratkaisu
varmasti oikein (esim. näyttämällä itse virheellisen ratkaisun, joka pyöris- 0
tyy oikeaksi).
Vaikkaaineenopettajaopiskelijateiväthuomioineettehtävässäpyöristysvirheenmahdol
lisuutta,useimmatheistä(13)olisivatkuitenkinvaatineetlukiolaiseltatoisenlaistaratkai
sua(taulukko5).
Taulukko5:Vastaustenluokitteluperusteettehtävässä2a(2)
2a(2) Pyrkiikö aineenopettajaopiskelija kiinnittämään lukiolaisen
huomion muihin (matemaattisempiin) ratkaisuihin?
0 = Ei.
1 = Kyllä. Opettaja ilmaisee, että ratkaisu ei ole hyväksyttävä tai kehottaa
ratkaisemaan toisin (esimerkiksi ilman raahaamista).
f
6
10
2 = Kyllä. Opettaja johdattelee ja motivoi lukiolaisen tarkastelemaan
tehokkaampia ratkaisuja (esimerkiksi kysyy toista paraabelia, jolla on 3
samat nollakohdat).
3.3Tehtävä3b
Seuraavaksi tarkastelemme ympyrän yhtälöön liittyvää tehtävää. Tehtävänanto tehtä
vään3b:”Ympyränyhtälö”oliseuraava:
Analyyttisengeometriankurssillaopiskelijoilleonennenympyränyhtälönkäsittelyä
annettuseuraavatehtävä:”Kuvassaonympyrä(xa)2+(yb)2=c.Voitmuuttaavakioiden
a,bjacarvojanuolinäppäimillätaiantaatarkempiaarvojakaksoisklikkaamalla.Muutaym
pyrääniin,ettäsenkeskipisteon(3,2)jasekulkeepisteen(1,½)kautta.”
Eräsopiskelijaesittääseuraavanratkaisun:”MuunnanensinGeoGebranavullaym
pyränkeskipisteeksi(3,2).SittenmerkitsenpisteenP=(1,½)jamuutanympyrääkunnes
se näyttää kulkevan pisteen P kautta. Näin saan vakioksi c = 6,3. Varmistan tuloksen
vielä ’kahden objektin välinen suhde’ toiminnolla, jolloin havaitsen, että P ei olekaan
ympyrällä(kuvio4).Kokeilen6,2jatilanneonsama.Koskatuloksentäytyyollakuvan
mukaan 6,2 ja 6,3 välissä, lisään tuloksen tarkkuutta. Kokeilen c=6,25, jolloin ’kahden
objektinvälinensuhde’kertoo,ettäPonympyrällä.”
68
Kuvio4:Testissäesitettylukiolaisenratkaisunosatehtävään3b
Taulukossa6onesitetty,kuinkaaineenopettajaopiskelijatarvioivatlukiolaisenesittämän
ratkaisun.Kukaan19:staarviontehneestäaineenopettajaopiskelijastaeipitänytratkaisua
erittäin heikkona, mutta 10 arvioi lukiolaisen esittämän ratkaisun heikoksi. Kuuden
mielestäratkaisuolihyvä,jakolmeaineenopettajaopiskelijaapitisitälähestäydellisenä.
Kun verrataan tehtävän 2a arvioiden jakaumaan (ks. taulukko 3), huomataan, että ai
neenopettajaopiskelijat pitävät tässä 3b tehtävässä kokeilemalla saatua ratkaisua hei
kompanakuinkohdassa2a.
Taulukko6:Aineenopettajaopiskelijoidenarviotehtävästä3b
Arvio
f
Erittäin heikko
0
Heikko
10
Hyvä
6
Lähes täydellinen
3
Tehtävän3bkirjallistenvastaustenluokitteluperusteena(taulukko7)oliaineenopet
tajaopiskelijan pyrkimys kiinnittää lukiolaisen huomio muihin (matemaattisempiin)
ratkaisuihin.
69
Taulukko7:Vastaustenluokitteluperusteettehtävässä3b
3b
Pyrkiikö
aineenopettajaopiskelija
kiinnittämään
lukiolaisen
huomion muihin (matemaattisempiin) ratkaisuihin?
0 = Ei. Opettaja hyväksyy ratkaisun.
1 = Kyllä. Opettaja ei hyväksy ratkaisua tai pyytää muita ratkaisutapoja ilman
motivointia.
2 = Kyllä. Opettaja johdattelee lukiolaisen tarkastelemaan muita ratkaisutapoja (esimerkiksi tilanteessa, jossa kokeilu ei onnistu).
f
3
13
4
Kolmeaineenopettajaopiskelijaahyväksyilukiolaisenratkaisun.Positiivistaolitämän
tehtävänkohdallase,ettäne17aineenopettajaopiskelijaa,jotkaeiväthyväksyneetlukio
laisen vastausta, eivät myöskään kertoneet lukiolaiselle suoraa ratkaisua. Neljä heistä
johdatteli lukiolaista taitavasti tarkastelemaan matemaattisempia ratkaisutapoja. Tosin
13eikyennyttarjoamaantilanteeseensopivaaesimerkkitilannetta,jokaolisimotivoinut
jatkamaantarkasteluatutkivanoppimisenmukaisesti.Seuraavassaonesiteltyesimerkit
luokkiin0,1ja2jaetuistaaineenopettajaopiskelijoidenvastauksista:
0:”Hyvä,ettäoppilasonlöytänytensiksimelkeinoikeanratkaisun.Javieläkokeilemallatar
kempaaarvoalöytyyoikearatkaisu.”
1: ”Tehtävä on aloitettu hyvin lähtemällä keskipisteestä. Oppilaan kannattaisi yrittää miet
tiä/kerrata,mitenmikäkinsymbolionmääriteltyympyränkaavassajatätäkauttalähteärat
kaisemaantehtävää.Mitätietojaonjoannettujamitäeivielätiedetä.”
2: ”Olisiko varmempaa tapaa saada piste ympyrälle. Voihan säteen arvo olla vaikka
6,2443…jossain tapauksessa. Tällöin ratkaisusi ei oikein onnistuisi. Mutta tässä tilanteessa
saittehtävänoikeinjatarkastitkahdenobjektinväliselläsuhteella.Hyvä!...Muttamitenc:n
voisimäärittäämuuten?”
Edellä esitetyssä 0luokan esimerkkivastauksessa kokeilemalla saatua vastausta ei
kyseenalaistetalainkaan.Tässäreagoinnissatuleeesiinteknologistenohjelmienjateknis
ten laitteiden käyttöön usein liittyvä ”vaara”: niiden antamiin vastauksiin luotetaan
lähessokeasti,ilmanmatemaattisiaperusteluja.Tällaisessa”sokeassa”teknologiankäy
tössä ei opita matematiikkaa. 1luokan vastauksessa aineenopettajaopiskelija ei kritisoi
kokeellisesti saatua vastausta mutta pyytää lukiolaista suoraan, ilman motivointia, liit
tämään ratkaisunsa ympyrän kaavaan. 2luokan vastauksessa johdatellaan lukiolaista
tutkivaan oppimiseen esittämällä tilanne, jossa kokeilu GeoGebraohjelman avulla ei
onnistukaan.Tällöinlukiolaisellaolisisyykehittäätehtävääntoisenlainenratkaisumene
telmä.
4 JOHTOPÄÄTÖKSET JA POHDINTA
Kyselyntulostenperusteellanäyttääsiltä,ettämatematiikanaineenopettajaopiskelijoilla
onvaikeuksiatoteuttaatutkivaalähestymistapaareagoidessaanhypoteettisiintehtäväti
lanteisiin. Lisäksi heillä oli useissa tehtävätilanteissa vaikeuksia hahmottaa teknologian
70
rooli matematiikan oppimisessa. Myös aineenopettajaopiskelijoiden arviot hypoteettis
tenopiskelijoidenratkaisuistaeivätolleettutkivanmatematiikanmukaisia.Tätentulok
set tukevat aiempia tutkimuksia (Stein ym. 2008; Son & Crespo 2009; Biza ym. 2008;
Bingolbaliym.2008;StohlLee2005;Goosym.2003).
Lisäksi tämän tutkimuksen perusteella voidaan eritellä joitakin vaikeuksia, joita ai
neenopettajaopiskelijoilla on tutkivan matematiikan toteuttamisessa. Aineenopettaja
opiskelijalla oli vaikeuksia ohjata lukiolaisia perustelemaan tekemänsä havainnot [luo
kittelukohdat1c(1),1c(2),2a(1),2a(2)].Sensijaanheuseintyytyivätkehumaan”oikeaa”
havaintoa ja hyväksyivät sen ilman perustelua. Tutkivassa matematiikassa pitäisi kui
tenkin nimenomaan luoda perustelemisen kulttuuria (ks. Staples 2007).Perusteleminen
ja todistaminen ovat olennainen osa matematiikkaa. Teknologiaavusteisten tutkimus
tehtävienmyötäonmahdollista,ettäperustelemisestajatodistamisestatuleeopiskelijoil
le mielekkäämpää, kun he itse ensin keksivät perusteltavan ominaisuuden sen sijaan,
että opettaja määräisi jonkin lauseen todistettavaksi. Siten teknologian käyttökään ei
suinkaan vähennä opiskelijoiden tarvetta todistamiseen – opettajan pitää vain muuttaa
suhtautumistaansiihen.Todistamineneioleniinkääntotuudenvarmistamistakuinsyyn
etsimistä havaitulle ominaisuudelle (ks. Arzarello ym. 2002). Aineenopettajaopiskelijat
eivätkysyneetperusteluitaedestilanteessa,jossahypoteettinenratkaisuolisivoinutolla
virheellinenkin (luokittelukohta 2a1). Tässä tilanteessa aineenopettajaopiskelijoiden
toimintaa rajoittivat heidän heikot teknologispedagogiset tietonsa, sillä tilanteet, joissa
dynaaminen matematiikkaohjelma pyöristää tuloksen ja näin antaa virheellistä infor
maatiota,ovatyleisiä(ks.Olivero&Robutti2007).
Aineenopettajaopiskelijoilla oli vaikeuksia myös reagoida mielekkäästi teknologian
mahdollistamaankokeellisuuteen.Luokittelukohdissa2a(2)ja3bsuurinosaaineenopet
tajaopiskelijoista huomasi, että kokeellisesti saatu ratkaisu ei ole mielekäs, mutta he
vaativattoisenlaistaratkaisumenetelmääkuitenkaanmotivoimattalukiolaista.Tällaises
sa tilanteessa eli lukiolaisen jo saatua ratkaisun omalla menetelmällään hänelle ei ehkä
oleenäämielekästäetsiäsamaaratkaisuaopettajanmenetelmällä.Dynaamistenmatema
tiikkaohjelmien mahdollistama kokeellisuus on oikein käytettynä voimavara, mutta
opettajan pitää ohjata opiskelijoita hyödyntämään kokeellisuutta oikein (vrt. Olivero &
Robutti2007).
Tutkiva matematiikka on hyvin hedelmällistä matemaattisen ajattelun kehittymisen
kannalta, koska siinä lukiolaiset kehittävät omia ideoitaan. Toisinaan lukiolaiset voivat
kehitelläodottamattomiakinideoita,joidenkäsittelyvoiollaopettajallehaastavaa(Son&
Crespo 2009). Kyselyyn [luokittelukohta 1c(2)] oli sisällytetty eräs tällainen tilanne. Ai
neenopettajaopiskelijoistakukaaneikuitenkaantarttunuttähänyllättäenavautuneeseen
tutkimusmahdollisuuteen, joka olisi mahdollisesti kehittänyt olennaisia matemaattisia
ideoitapolynomifunktioidenkuvaajienjayhtälöidenyhteydestä.
Edellä on käsitelty joitakin erityisiä vaikeuksia, joita tutkivan matematiikan toteut
tamiseen liittyy. Huolestuttavin piirre kyselyn tuloksissa on kuitenkin se, että silloin,
kunmatematiikanaineenopettajaopiskelijathuomasivatolennaisenkohteen,jossalukio
lainentarvitsisiohjausta,heuseinesittivätitseratkaisuntilanteeseen.Tutkivanmatema
tiikan kannalta taas olisi toivottavaa, että opettaja aktivoisi lukiolaisen itse tutkimaan
asiaasyvällisemmin.SoninjaCrespon(2009)tutkimuksessasaatiinsamankaltainentulos.
71
SoninjaCrespontutkimuksessaopettajat,jotkakertomisensijastaaktivoivatlukiolaiset
itse tarkastelemaan asiaa, olivat ymmärtäneet kyseisen tehtävän heikoimmin. Tällaiset
opettajat eivät luultavasti kuitenkaan toteuta tutkivan matematiikan perusideaa, joten
tarkastelimme tässä kyselyssä opettajan ohjaamista tehtävästä avautuvan sisällöllisen
ominaisuudensuhteen.Tällöinyhdeksivaihtoehdoksimuodostui,ettäopettajaeiollen
kaankiinnitähuomiotaohjauskohteeseen.
Tutkimusaineistostamme perusteella pystyimme muodostamaan luokittelun mate
matiikan aineenopettajaopiskelijoiden valmiuksista ohjata lukiolaista. Yhteenvetona
tästä luokittelusta toteamme, että valmiuksista voidaan laatia kolme kategoriaa, jotka
ovatseuraavat:a)Itsekeskeinenopettajuus,jossaopettajaeikiinnitähuomiotaolennaiseen
asiaan tehtäväkohdassa tai esittää opiskelijan ratkaisuun liittymättömiä kommentteja
omista lähtökohdistaan käsin (ks. esim. 3b, 0luokan vastaus). Tällaisessa tilanteessa
opettajanhuomiokiinnittyylähinnäomaantoiminnanjasuorittamisenkontrollointiin.b)
Passivoiva opettajuus, jossa opettaja kiinnittää huomiota olennaiseen asiaan lukiolaisen
ratkaisussa,muttahänmyösesittääitseoppijallesuoraanratkaisumenetelmäntaipyytää
oppijaltamuitaratkaisutapojailmanmotivointia(ks.esim.1(c1),1luokanvastaus).Tällä
tavoin opettaja ”passivoi” opiskelijan ratkaisutilanteessa ja vie opiskelijalta mahdolli
suuden ongelmanratkaisuun. c) Aktivoiva opettajuus, jossa opettaja kiinnittää huomiota
lukiolaisenratkaisussaolennaiseenasiaanjajohdatteleeoppijaatarkastelemaansitä(ks.
esim.3b,2luokanvastaus).Tällaisiaolennaisiaasioitaovatesimerkiksiperusteleminen,
teknologian rajoitteiden ymmärtäminen, siirtyminen kokeilemisesta päättelemiseen,
ratkaisun syventäminen, yhteyksien rakentaminen ja yllättäen avautuvien tutkimus
mahdollisuuksienhyödyntäminen.
Tämän tutkimuksen, samoin kuin Sonin ja Crespon (2009) tutkimuksen, opettajiksi
opiskelevat olivat opettajankoulutuksessa, jonka tarkoituksena oli opettaa tutkivaa ma
tematiikanoppimista.Molemmissatutkimuksissatuloksetosoittivat,ettäkoulutuksessa
onvieläpaljonkehitettävää.Tutkimustuloksemmeantavatviitteitäsiitä,millaisiavaike
uksia aineenopettajaopiskelijoilla on teknologiaavusteisen tutkivan matematiikan to
teuttamisessaKunnämävaikeudettunnistetaan,voidaanpohtia,mitenopettajankoulu
tusta täytyisi kehittää, jotta se tukisi paremmin tutkivan matematiikan periaatteiden
sisäistämistä ja niiden toteuttamista. Esitämme seuraavassa tämän tutkimuksen perus
teella löytyneitä kehitysideoita tutkivan matematiikan periaatteidenopetukseen opetta
jankoulutuksessa.
Matematiikan aineenopettajaopiskelijaa tulisi ohjata vaatimaan opetettaviltaan hei
dän ratkaisujensa perusteluita. Hänelle tulisi myös opettaa, miten ja missä tilanteissa
kokeellistenratkaisumenetelmienkäyttöonmielekästäjamitenneedistävätmatematii
kan oppimista. Aineenopettajaopiskelija tarvitsee ohjausta opetettavan omien ratkai
suideoidenhuomioimiseenjaniidenedelleenkehittelyyntutkivanoppimisenhengessä.
Opiskelijan aktivointi on haaste kaikessa opettamisessa, ja niinpä oppimista edistävän
palautteen antamista tulee tietoisesti harjoitella. Palautteen pitäisi pureutua oppijan
kannalta keskeisiin ongelmakohtiin säästäen kuitenkin oppijalle itselleen oivaltamisen
mahdollisuus. Opettajakoulutuksessa teknologia tulisi myös integroida tehokkaasti
osaksipedagogistensisältötietojenoppimista.Eiriitä,ettäopiskellaantutkivaaoppimis
ta yhdellä kurssilla, teknologian opetuskäyttöä toisella kurssilla ja matematiikkaa kol
72
mannellakurssilla.Mielestämmenämäkaikkiosaalueetpitäisiintegroida,jottatulevat
opettajatsaisivatkäytännönläheisenkuvantutkivanmatematiikanopettamisestatekno
logiaahyödyntäen.Edellämainitunlaisessaopetuksessatuotetaanintegroituatietoa,joka
onnimenomaanteknologispedagogistensisältötietojensyvinolemus(Mishra&Koehler,
2006).
Toteuttamamme kysely toimii myös oppimateriaalina, joka osaltaan auttaa kehittä
mään opettajankoulutusta edellä mainittuun suuntaan. Kysely on helppo järjestää ja se
valmentaaaineenopettajaopiskelijoitatutkivanlähestymistavanmukaiseenopettamiseen
sekä varsinaiseen opetusharjoitteluun. Opetusharjoittelijoille on eduksi koulutuksen
tässävaiheessa,ettäheilläonreilustiaikaapohtiapedagogisiaratkaisujasiihen,mitenhe
opettajanareagoisivathypoteettisissaopetustilanteissa.MyösCrespon(2000)tutkimuk
senmukaansisällyttämälläopettajankoulutukseenoppilaidenratkaisujentarkastelemis
tavoidaanharjaannuttaatuleviaopettajiatutkivanmatematiikanmukaiseenlähestymis
tapaan.
Tutkimuksessakerätytopiskelijoidenkirjallisetvastauksetantavatopettajankoulutta
jalletietoaopetusharjoittelijantiedoistajataidoistasekävalmiuksistatoimiaopetustilan
teissa.MyösCrespo(2000)käyttiopiskelijoidenharjoitteluistalaatimiapäiväkirjamerkin
töjäopetusharjoittelijoidenajattelunjaoppimisensystemaattiseenseuraamiseen.Crespo
pitääensisijaisentärkeänä,ettäopettajankoulutuksessaselvitetäänkeskustelujenjahar
joituksien avulla, millaisin esitiedoin ja valmiuksin opetusharjoittelija tulee opetushar
joitteluun.Tähäntavoitteeseenonmahdollistapäästä,jostoteuttamammekyselysuorite
taanopettajaopintojenalkuvaiheessaennenopetusharjoittelujenalkuajatuloksetanaly
soidaan yhdessä ainepedagogiikan opetuskerroilla. Samalla tiedostettaisiin opetushar
joittelijoidenpuutteetniilläkolmellaeriosaalueella,joistateknologispedagogisetsisältö
tiedotMishranjaKoehlerin(2006)mukaanmuodostuvat(kuvio1).
Opetusharjoittelussa harjoittelijan kannalta ongelmallistaon kuitenkin se, ettäluok
katilanteessahänkohtaalukuisiatilanteita,joitaeivoiennakoida(esim.oppilaankysy
mykset). Näihin harjoittelijan on kuitenkin reagoitava nopeasti, eikä oppilaiden kysy
mysten pohtimiseen jää juurikaan aikaa. Oppitunnin jälkeen opetuksen puutteet pure
taan ohjauspalaverissa didaktikon ja ohjaavan opettajan kanssa. Näin opettamisen op
piminen tapahtuu usein ”kantapään kautta”. Tässä tutkimuksessa käytettyä kyselyä
voidaan käyttää ainepedagogiikassa opetusharjoitteluun valmistauduttaessa. Opiskeli
joidenratkaisuehdotustenläpikäyminentarjoaakonkreettisenmahdollisuudentutustua
opetustilanteiden ainedidaktisiin kysymyksiin kaikessa rauhassa. Opetuksellisiin on
gelmatilanteisiin valmistautuminen hypoteettisissa tilanteissa onkin opettajuuden kas
vuatukevaatoimintaa.Tämänjälkeenopetusharjoittelunaloittaminenluokkatilanteessa
onkehittävämpää.
5 LÄHTEET
Akkoc, H., Bingolbali, E., & Ozmantar, F. (2008). Investigating the technological
pedagogicalcontentknowledge:acaseofderivativeatapoint.Proceedingsofthe
jointmeetingofPME32andPMENAXXX,Meksiko:CinvestavUMSNH,Vol.2,
17–24.
73
Arzarello,F.,Olivero,F.,Paola,D.,&Robutti,O.(2002).Acognitiveanalysisofdragging
practices in Cabri environments. ZDM – International Reviews on Mathematics
Education,34(3),66–72.
Ball, D. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching
elementaryschoolmathematics.TheElementarySchoolJournal,93(4),373–397.
Bingolbali, E., Ozmantar, F., & Akkoc, H. (2008). Curriculum reform in primary
mathematics education: teacher difficulties and dilemmas. Proceedings of the
jointmeetingofPME32andPMENAXXX,Meksiko:CinvestavUMSNH,Vol.2,
169–176.
Biza, I., Nardi, E. & Zachariades, T. (2008). Persistent images and teacher beliefs about
visualization:thetangentataninflectionpoint.Proceedingsofthejointmeeting
ofPME32andPMENAXXX,Meksiko:CinvestavUMSNH,Vol.2,177–184.
Crespo, S. (2000). Seeing more than right and wrong answers: Prospective teachers
interpretationsofstudentsmathematicalwork.JournalofMathematicsTeacher
Education,3(2),155–181.
Fennema, E., Carpenter, T., Franke, M., Levi, L., Jacobs, V., & Empson, S. (1996). A
longnitudinal study of learning to use children’s thinking in mathematics
instruction.JournalforResearchinMathematicsEducation,27(4),403–434.
Francisco,J.&Maher,C.(2005).Conditionsforpromotingreasoninginproblemsolving:
Insights from a longitudinal study. Journal of Mathematical Behavior, 24(34),
361–372.
Goos, M., Galbraith, P., Renshaw, P. & Geiger, V. (2003). Perspectives on technology
mediated learning in secondary school mathematics classrooms. The Journal of
MathematicalBehavior,22(1),73–89
Hakkarainen, K., Lonka, K. & Lipponen, L. (2005). Tutkiva oppiminen: Järki, tunteet ja
kulttuurioppimisensytyttäjinä.6.painos.Porvoo:WSOY
Hohenwarter, M. & Lavicza, Z. (2007). Mathematics teacher development with ICT:
towards an international GeoGebra Institute. Proceedings of British Society of
ResearchintoLearningMathematics,26(3),Northampton,UK.
Kuhs,T.&Ball,D.(1986).Approachestoteachingmathematics:Mappingthedomainsof
knowledge, skills, and dispositions. Michigan State University, National Center
forResearchonTeacherEducation,35sivua.
Leder, G., Pehkonen, E. & Törner, G. (Eds.) (2003). Beliefs: a hidden variable in
mathematicseducation?Secaucus,NJ:Kluwer.
Mishra, P. & Koehler, M. (2006). Technological pedagogical content knowledge: A
frameworkforteacherknowledge.TeachersCollegeRecord,108(6),1017–1054.
Nohda, N. (2000). Teaching by openapproach method in Japanese mathematics
classroom. Proceedings of the 24th conference of the international group for the
psychologyofmathematicseducation(PME),Hiroshima,Vol.1,39–53.
Olivero,F.&Robutti,O.(2007).Measuringindynamicgeometryenvironmentasatool
for conjecturing and proving. International Journal of Computers for
MathematicalLearning,12,135–156.
Patrikainen,R.(1999).Opettajuudenlaatu.Ihmiskäsitys,tiedonkäsitysjaoppimiskäsitys
opettajanpedagogisessaajattelussajatoiminnassa.Jyväskylä:PSkustannus.
74
Pehkonen,E.(1997).Introductiontotheconcept”openendedproblem”.InE.Pehkonen
(Ed.), Use of openended problems on mathematics classroom (pp. 7–11).
UniversityofHelsinki.Departmentofteachereducation.Researchreport176.
Pehkonen, E. (2003). Tutkiva matematiikan oppiminen peruskoulussa. Tieteessä
tapahtuu,6,35–38.
Pehkonen, E. & Ahtee, M. (2005). Communication in class – the core of teaching?
Proceedings of the 27th annual meeting of the North American Chapter of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education (PMENA),
Roanoke.
Shulman,L.(1986).Thosewhounderstand:Knowledgegrowthinteaching.Educational
Researcher,15(2),4–14.
Son, J. & Crespo, S. (2009). Prospective teachers’ reasoning and response to a student’s
nontraditionalstrategywhendividingfractions.JournalofMathematicsTeacher
Education,12,235–26.
Staples, M. (2007). Supporting wholeclass collaborative inquiry in a secondary
mathematicsclassroom.CognitionandInstruction,25(2),161–217.
Stein, M., Engle, R., Smith, M., & Hughes, E. (2008). Orchestrating productive
mathematicaldiscussions:fivepracticesforhelpingteachersmovebeyondshow
andtell.MathematicalThinkingandLearning,10,313–340.
Stohl Lee, H. (2005). Facilitating students’ problem solving in a technological context:
Prospective teachers’ learning trajectory. Journal of Mathematics Teacher
Education,8,223–254.
Viiri, J. & Saari, H. (2006). Teacher talk patterns in science lessons: use in teacher
education.JournalofScienceTeacherEducation,17,347–365.
75
TheLearningStudymodelandtheteachingof
thedefiniteintegralconcept
IirisAttorps,KjellBjörk,MirkoRadic,andTimoTossavainen
ABSTRACT
Inrecentyears,therehavebeenseveralstudiesinmathematicseducationbasingonthe
variation theory and the model of Learning Study that involves cooperation between
teachers and researchers in an iterative process. Most of these studies have focused on
theteachingandlearningofelementaryschoolmathematicsratherthantopicsinadvan
cedmathematics.Inthispaper,wediscusssomechallengesandpossibilitiesoftheLear
ningStudymodelandthevariationtheorywhendevelopingtheteachingofmathema
ticsatadvancedlevels.Moreprecisely,wereportonaseriesofteachingexperimentson
thedefiniteintegralconcept.TheexperimentswerecarriedoutataSwedishuniversity.
Thedataofthisstudyconsistsofthedocumentsontheobservationofthreelecturesand
thestudents’answerstopreandposttests.Bothengineeringandteacherstudentsparti
cipated.In the analysis of the data, we applied statisticalmethods. Although the series
consisted onlyof three lectures, it revealedthat the students’ understanding about cer
tain–butnotnecessarilyall–aspectsofthedefiniteintegralconceptcanbeenhancedby
usingtheLearningStudymodel.
Keywords:definiteintegral,learningstudy,undergraduatestudents,variationtheory.
1 INTRODUCTION
Thevariationtheoryisatheoryoflearning thatisbasedonthephenomenographicre
search tradition and described thoroughly in Marton & Booth (1997). The main idea in
the phenomenography is to identify and describe qualitatively in which ways people
experiencecertainphenomenaintheworld.Therearetwofundamentalsinthevariation
theory. The first one is that learning always has an object. The second one is that the
object of learning is usually experienced and conceptualized by learners in different
ways(Marton,Runesson&Tsui2004).
Centraltothevariationtheoryisthatwelearnthroughexperiencingdifferences,in
contrasttomostothertheoriesinwhichlearningisconsideredprimarilyinthelightof
addingnewknowledgetothepreviousknowledgeorconstructingituponthat.Afun
damentalconsequencefromthevariationtheoryisthatthemostpowerfulfactorrelated
toteachingishowtheobjectoflearningishandledinateachingsituation;whichaspects
77
oftheobjectaretakenintofocus,whichaspectsarevariedandwhicharekeptinvariant
(ibid).
Inresearchbasedonthevariationtheory,theobjectoflearningcanbeseenatleast
from three different perspectives: that of teacher, student and researcher. The intended
objectoflearningistheobjectasseenfromtheteacher’sperspective.Itincludeswhatthe
teachersaysandwhatshewantsherstudentstolearnduringthelecture.Thestudents
experiencethisgoalintheirownwayandtheoutcomeoftheirlearningprocessesduring
the lecture is called the lived object of learning. Obviously, students’ learning does not
alwayscorrespondtowhattheteacher’sintentionwaswiththelecture.Theenactedob
jectoflearningisseenfromtheresearcher’sperspective.Itdepictswhatwaspossibleto
learnduringthelecture;towhatextent,andinwhichwaysthenecessaryconditionsfor
learningappearedintheteachingsituation.Theenactedobjectoflearningdescribesthe
spaceoflearningthatstudentsandteachercreatedtogether(ibid).
Studentsaresupposedtodiscernthecriticalaspectsoftheobjectoflearning.Todis
cernanaspectistodifferentiatebetweenthevariousaspectsandfocusonthemostrele
vantonetothesituation.BowdenandMarton(1998,7)saythat“withoutvariationthere
isnodiscernment...Learningintermsofchangesinorwideninginourwaysofseeing
the world can be understood in terms of discernment, simultaneity and variation”. Si
multaneity means awareness of the varying aspects of the same object simultaneously.
Variationsarefacetsoftheobjectoflearningrisingintherelationtoandfromthecontext.
1.1Thepurposeofthestudy
The aim of this study is to discuss challenges and possibilities related to the variation
theory and the Learning Study model (see below) when enhancing the teaching and
learning of mathematics at advanced levels. We do so by reflecting a series of three
teaching experiments on thedefiniteintegral that was realizedin a Swedish university
and seek an answer to the following question: What kind of differences do we observe in
students’learningofthedefiniteintegralaswevarythetreatmentoftheobjectoflearningduring
threelectures?
1.2Previousresearchrelatedtothedefiniteintegralconcept
Theconceptofthedefiniteintegralbelongstotheheartofcalculusofarealvariable.In
Sweden,likeinmanyothercountries,theconceptisintroducedtostudentsattheirage
of17–18,duringthelasttwoyearsoftheuppersecondaryschool.Severalstudieshave
highlighted difficulties that students encounter with the integral concept. In an early
studybyOrton(1980)itwasobservedthatstudentsoftenhavedifficultiesinexamining
theintegral b
³ f ( x)dx
a
whenever f (x) isnegativeorbislessthana.Inanotherstudy,Orton(1983)noticedthat
somestudentsarenotabletosolveproblemsthatarerelatedtotheunderstandingofthe
definiteintegralasalimitofsums.
Calvo(1997)pointsoutthatitishazardoustoassociatethedefiniteintegralasanarea
tootightly;thedefiniteintegralofafunctionhavingnegativevaluesisnottheareaofthe
78
corresponding region between the graph and the xaxis. Also Rasslan and Tall (2002)
verifiedthatamajorityofthestudentscannotwritemeaningfullyaboutthedefinitionof
the definite integral. Students generally have difficulties with interpreting problems
relatedtocalculatingareasandthedefiniteintegralinwidercontexts.Ontheotherhand,
there are also reports telling that students’ learning of the definite integral can be sup
ported in classroom, e.g., using graphing calculators (Touval, 1997). Another study,
Machín & Rivero (2003) points out that ICT generates progress merely in the use of
graphicandunderstandingaboutthenumericalaspectsofthedefiniteintegral.
2 METHOD AND DESIGN OF THE STUDY
The empirical part of the study took place in three mathematics classes at a Swedish
university.Morethan60universitystudents,bothengineeringandteacherstudents,and
four university teachers were involved. The data was gathered by doing observations
during three lectures and by using questionnaires. The whole manoeuvre was realized
usingtheLearningStudymodelwhichisportrayedbelow.
2.1LearningStudy
The concept of Learning Study is inspired by the Japanese Lesson study (Lewis, 2002)
andtheideaofdesignexperiment(Cobb&al.,2003).TheLearningStudymodel(Marton
&al.,2004)makesupacyclicprocessasfollows:
x
A learning study group of teachers (in our case, four university teachers) de
termines a common object of learning (the definite integral concept). Previous
teachingexperimentsandresearchconcerningtheobjectaretakenasadepartu
repointfordesigningapretest.
x
Basingontheanalysisofthestudents’resultsinthepretest,thelearningstudy
groupofteachersplansthefirstlecture.Variationtheoryisusedasatheoretical
frameworkfordesigningthelecture.
x
One of the teachers conducts the first lecture. This is videorecorded orobser
vedbytheotherteachersofthegroup(inourcase,theteachergroupmadeob
servations).Thestudents’learningistestedinaposttest.
x
Boththetestresultsandthevideorecordingsorthedocumentedobservations
areanalyzedbytheteachers.Ifthestudents’learningoutcomeswithrespectto
thegoalsarenotsatisfactory,thegrouprevisestheplanforthelecture.
x
Ateacherofthegroupimplementsthenewplaninherclass.Inanidealsetting,
thecyclicprocesscontinuesuntilthestudentslearningoutcomesaresatisfacto
ry.
2.2Thepreandposttests
The test for gaining information about students’ knowledge about the definite integral
consistedofsixproblems.Themaximumpointineachproblemwasthree.Togetthree
points, the answer needed to be correct and mathematically well motivated; for minor
miscalculationswedeductedonepoint;forcorrectbutnotsatisfactorymotivatedanswer,
we awarded one point.Students were given 25 minutes to dothe test. In both pre and
79
postteststhesamequestionnairewasusedinordertominimizetheeffectofthosefac
torsthatareoutofthefocusofthisstudy.Itwasnotallowedtouseanytechnicalfacili
tieslikegraphingcalculators.
Problem 1.Ifyouwanttocalculatetheareabetweenthecurveandxaxiswhenxisin
theinterval[0,5](seethepicturesherebelow),youcangetanapproximatevalueofthis
areabycalculatingtheareaofthecolumnsandbyaddingthem.
Graph1.
Graph2.
Graph3.
a)Whichofthefollowingpicturesshouldyouchooseinordertomaketheerrorassmall
aspossible?(1p)
b)Explainwhy.(2p)
The aim of the first problem was to test the student’s intuitive conceptions about the
definiteintegralconceptasalimitingprocessoftheupperRiemannsums.
b
Problem2.Whatis f ( x)dx
a
(thedefiniteintegralofthefunctionf(x)intheinterval[a,b])accordingtoyouropinion?
(3p)
Theaimofthesecondproblemwastotestwhatkindof(geometricorother)conceptions
ofthedefiniteintegralthestudentshave.
Problem3.YouknowaboutthefunctionF(x)thefollowingapproximatevaluesgivenin
thetablebelow:
x
1
2
3
4
5
³
F(x)
1
0.61
0.30
1.55
YoualsoknowthatF´(x)=lnx.
5
Determine with help of the table an approximate value to ln xdx
3
³
80
3.05
(3p)
TheaimofthethirdproblemwastotesthowwellthestudentscanapplytheFundamen
tal Theorem of Calculus when the integral function is given implicitly using a table of
approximatevalues.
Problem4.Youknowaboutthefunctionfthefollowingfacts:
7
5
f (x)dx 2 and f (x)dx 1
1
1
7
Determine f ( x)dx (3p)
5
Theaimofthefourthproblemwastotesttheunderstandingoftheadditivepropertiesof
thedefiniteintegral.
Problem5.Canyoufindanyerrorinthefollowingreasoning?(3p)
³
³
³
1
dx
³1 x 2
1
2
³ x dx
1
1
ª x 1 º
« 1 »
¬ ¼ 1
1 1
1 1
2. Theaimofthefifthproblemwastotesttowhatextentthestudentstakeintoaccountthe
conditionsforapplyingtheFundamentalTheoremofCalculus.
Problem 6. Findtheareaoftheregionwhichislimitedbythefunctions
and g ( x )
f ( x)
0,5 x 2 x 3 .Determinetheexactvalue.(3p)
Theaimofthelastproblemwastotesthowthestudentscansolveanordinaryexercise
related to the definite integral. Another aim was to see whether the students master
calculationswithfractions.
3 RESULTS
Duetosomedifficultiesofpracticalnature,thefirstlecturetotheengineeringstudents
was not planned together in the research group. Instead of that, one of the teachers
plannedalonethefirstlessonandwithouttakingintoaccounttheresultsofthepretest
atall.Thisisthereforetobeconsideredasareferencegroup.Thelecturestartedwitha
discussionabouttheconceptofareaandhowitispossibletocalculateareasforfamiliar
thingslikerectanglesandtriangles.Thediscussioncontinuedthentoadebateonhowto
calculateanareaforirregularregionslikeanareabetweenacontinuousfunctionandthe
xaxis. In this connection, the concepts sigma, lower and upper Riemann sums were
introduced. The last part of the lecture was spent on calculating the area of the plane
region lying between the xaxis, the lines x
0 and x 1 , and the curve y
e x , i.e.,
1
³e
x
dx . This example was treated by using the Lower and Upper Riemann sums and
0
the limiting process. After that, the problem was solved referring to the Fundamental
TheoremofCalculus.
81
Thesecondlecturewascarriedoutbyanotherteacheroftheresearchgrouptoanew
groupofengineeringstudents.Beforethesecondlectureweanalysedcarefullyboththe
resultsofthepreandposttestsmadeafterthefirstlectureandobservationsinournote
books. Eventually, we were able to identify three critical issues that seem to be crucial
regardingthesuccessfullearningofthetopic.
First,wenoticedthatmostoftheengineeringstudentsinthefirstgroupwhoanswe
redthesecondquestionhadconsideredtheintegralconceptmainlyasanareaandhad
not developed a deeper understanding about the definite integral concept (Problem 2).
Therefore,westartedthesecondlecturebydescribingtheconceptofareaintheplaneby
varyingthenotionsoftheregular(polygonal)andtheirregularregionsintheplaneand
describinghowtheareacanbecalculatedinthesecases.Thiseventuallyledtodefining
the fundamental area problem and then discussing how to solve it. This was done by
usingtheconceptsofapproximationandlimitingprocess.Finally,wedefinedthenotion
ofthedefiniteintegralbyintroducingtheconceptofUpperandLowerRiemannsums.
By varying the integrand and keeping the integration interval fixed, we showed that a
definiteintegralcannotalwaysbeinterpretedasanarea.
Second,theresultsofboththepreandposttestsrevealedthestudents’difficultiesin
discerning the correct conditions for applying the Fundamental Theorem of Calculus,
especiallyinthecasewhenitisnotpossible(Problem5).
Duringthefirstlection,itwasnotexplicitlydiscussedhowandwhenitispossibleto
apply the Fundamental Theorem of Calculus. Therefore, in the next lecture,
2
³ (2 x x
2
)dx wassolvedandboththeFundamentalTheoremofCalculusandthegeo
0
metricinterpretationoftheproblemwerediscussed.
Third, since the large majority of students failed in solving the ordinary routine
example(Problem6),anothervariantofthesameproblemwasillustratedgraphicallyby
using the functions f ( x )
2 x and g ( x)
x 2 . In this connection, we also introduced
thenotionsofupperandlowerfunction.Thepurposeofemphasizingthisissuewasto
strengthenthestudents’skillstorunthenecessarycalculationsproperly.
Thethirdlecturewascarriedoutbythesameteacherwhocarriedoutthesecondlec
ture,nowtoagroupofstudentteachers.Itwasplannedbytakingintoaccountthere
sultsfromthepreandposttestsforthesecondgroup.Thetestresultsfortheenginee
ringstudentshadstillshowedpoorunderstandingaboutthecontentoftheFundamental
Theorem of Calculus. Therefore, the third lecture started with a discussion about the
prerequisitesofapplyingthetheoremespeciallyfocusingontheassumptionsaboutthe
integrand.Byvaryingtheintegrand,weshowedwhyitispossibletoapplythetheorem
inthecaseof
2
3
0
0
2
³ (2 x x )dx butnotinthecaseof ³
1
dx .
x 1
ThestudentsofthesecondgrouphadalsogainedlowscoresinProblem6.Wetried
2
³
toimproveourteachinginthisissuebyconsideringthesameexample ( 2 x x 2 )dx as
0
inthesecondlectureeveninmoredetails.Weexplainednowcarefullyeachstepofthe
82
solving process. For example, we first determined arithmetically the points where
f ( x)
2 x and g ( x)
x 2 havethesamevalues,andthenweplottedthegraphsofthe
functions. During the lecture, it was also discussed whether the assumptions for ap
plyingtheFundamentalTheoremofCalculusaresatisfiedornotandfinallysolvedthe
problem.
Ingeneral,theanalysisofthedatafromthepreandposttestswasdonebyusinga
statistic program, the Minitab package. Using the significance level of 95 % and one
tailedttest,wecomparedthemeansofthetestresultsforeverygroupandeachproblem.
Thenumberofparticipantsinthetests1,2and3were,respectively,28/24,21/21,12/11
(pre/posttest).
Table1:Theresultsinthettestsregardingthemeansofthepreandposttests
Problem no.
1a
1b
2
3
4
5
6
Learning
Pre test
Post test
study no.
mean
mean
p
1
0.93
1.00
--
2
0.91
0.95
0.28
3
0.83
1.00
0.08
1
1.07
1.00
0.66
2
0.62
0.81
0.18
3
0.92
1.09
0.24
1
0.43
0.46
0.44
2
0.05
0.67
0.00*
3
0.25
0.82
0.02*
1
0.68
0.88
0.29
2
0.14
0.81
0.02*
3
0.00
1.09
0.02*
1
1.54
1.75
0.30
2
0.29
2.05
0.00*
3
0.92
1.91
0.06
1
0.00
0.00
0.46
2
0.00
0.14
--
3
0.00
0.36
0.11
1
0.04
0.25
0.09
2
0.00
0.10
--
3
0.17
1.45
0.01*
Maximum
scores
1
2
3
3
3
3
3
-- = p-value could not be calculated (Minitab: all values in column are identical), * p < 0.05.
Table1showsnostatisticallysignificantimprovementinProblem1.However,thisis
only natural since the students’intuitiveconception about the definiteintegral concept
83
asalimitingprocessoftheupperRiemannsumswasalreadysatisfactoryinthebegin
ningofthestudyalthoughtheirabilitytoexplainthephenomenonremainedsomewhat
insufficient.
After the second Learning Study, there are statistically significant improvements in
Problems2–4.Afterthelastcycle,thesameistruealsoforProblem6(excludingProblem
4onlywithp<0.06).InProblem5,thereoccursnosignificantimprovementinanystage
ofthestudy.
Ingeneral,thestudents’scoresinProblem1showthatthestudents’intuitiveunder
standingofthedefiniteintegralconceptwasquitegood.Ontheotherhand,theirscores
inProblems2,3,5and6remainedlowinbothpreandposttests.Moreover,allofthe
studentsfailedtogiveanadequateresponseinquestion5.Mostofthemcouldnotfind
anyerrorsatallinthegivenreasoning.
4 DISCUSSION AND CONCLUSIONS
The aim of this study was to discuss some challenges and possibilities related to the
variationtheoryandtheLearningStudymodelwhenenhancingtheteachingandlear
ningofmathematicsatadvancedlevels.Tothatend,wehavedescribedhowthedefinite
integral concept was handled during three lectures on the same topic and how the
changes of teaching are related to the learning outcomes.In studies like this, the tests
andhowtheyareusedturnouttobecritical.Thepreandposttestshadtwomainfunc
tions:tomeasurethestudents’preliminaryknowledgeandthechangeinthatafterthe
lecture.
Itis,however,problematictochoosethetestproblemsbecauseonedoesnotnecessa
rilyknoworidentifythecriticalaspectsoftheobjectofleaningand,consequently,what
thetestshouldcontainuntilthewholestudyiscompleted.Beingawareofthisweaimed
atguaranteeing,atleast,thatthechosenquestionstestedboththestudents’conceptual
and procedural knowledge about the definite integral concept. Procedural knowledge
referstocomputationalskillsandtheknowledgeofprocedures,whileconceptualknow
ledge is characterized as understanding about mathematical concepts, definitions and
therelatedfacts(Hiebert&Lefevre,1986).Boththeproceduralandconceptualknowled
ge are fundamental to the understanding of (almost) any mathematical phenomenon
(ibid).
Alreadythefirstlectureforthereferencegrouprevealedthatthestudents’intuitive
conceptionaboutthedefiniteintegralconceptasalimitingprocessoftheupperRiemann
sumsis,ingeneral,quitegood.Thetestresultsalsoraisedthreecriticalaspectsconcer
ning the object of learning: the lack of wider conception of the concept (it was taken
merely as a substitute to that of area), the poor understanding of the prerequisites of
applyingtheFundamentalTheoremofCalculusandtheinsufficientcapacityofrelevant
calculating procedures. Having available this information about the students’ lived ob
jectoflearning,weplannedtogethernewlearningopportunitiesforthenextlectures.
In order to overcome the first challenge, we tried to encourage students to discern
otheraspectsoftheobjectoflearningbydiscussingthefundamentalareaproblemand
by using the concepts of approximation and limiting process. Further, by varying the
84
integrandwithintheintegrationintervalweemphasizedthatthedefiniteintegralcannot
alwaysbeinterpretedasanarea.
SincetheFundamentalTheoremofCalculuswasnotexplicitlydiscussedduringthe
firstlecture,intherevisionofthispart,wetookatypicalproblemfromuppersecondary
schoolasthestartingpointandsolveditbyusingthetheorem.Thelecturecontinuedby
focusing on procedural skills needed for solving a typical area problem. The post test
results from the second learning study circle showed statistically significant improve
mentconcerningthetwocriticalaspects:areaconceptionandknowledgeofprocedures.
So,theseneworrevisedactionsclearlyenlargedthespaceoflearning,i.e.,thelearning
opportunitiesthestudentsaregivenduringthelecture,and,similarly,theenactedobject
oflearning.However,thelearningoutcomeswerestillbelowsatisfactoryinsomedetails.
Therefore,ourintentionofthethirdlecturewasotherwisethesameasforthesecond
onebutnowwestressedtheunderstandingabouttheassumptionsfortheFundamental
TheoremofCalculusevenharderthaninthepreviouslesson.Byvaryingtheintegrand
weshowedthatitisnotpossibletoapplytheFundamentalTheoremforeveryfunction.
Perhaps,thiswasthereasonwhythelearningoutcomesshowedstatisticallysignificant
improvement also in Problem 6 after the third lecture. However, the very low mean
valuesinProblems5and6foreverygroupindicatethatthestudents’comprehensionof
applyingthetheoremandalsotheircalculatingskillsremainedquitepoor.
Explainingthisoutcome,itseemsthattheissueitselfdoesnotallowsuchfundamen
tally different approaches to the topic that would help learners easily to discern every
essentialaspectofthephenomenon.Weconcludethatthisisduetothefactthat,e.g.,the
Fundamental Theorem of Calculus unavoidably requires that a learner must simul
taneouslyfocusonquitemanyseparateelementsofknowledge,manyofwhichareeven
given in a symbolic or implicit form that assume actions from a learner. For example,
perceivingtheintegrationintervalalreadyrequiresacapacitytoreadacomplexsymbol
in which the topical knowledge can be given in several different ways. Moreover, one
has to take into account the potential points of discontinuity of the integrand between
the endpointsof the interval, to consider also the sign and, possibly, todivide a single
integrationtaskoveranintervalintoseveralintegrationsoverthecorrespondingsubin
tervals etc. In other words, applying the Learning Study model does not provide an
escapefromthosechallengesthatareintrinsicallyinvolvedintheteachingofmathema
ticsatadvancedlevels.
Werealizedonlyafterwardsthatinordertoimprovetheprecisionofourstatistical
evaluation, it would have been better to be able to compare the results of the pre and
posttestsattheindividualparticipant’slevelinsteadofgrouplevel.Therefore,weshall
continue our experiment so that the pre and post tests are going to be analyzed at an
individual level. It may also be useful to study the variance between the participating
student groups, especially as regards the pretest. Moreover, we shall investigate how
the relevant computing and graphing software can be applied when supporting the
teachingofthedefiniteintegral(cf.Touval,1997;Machín&Rivero,2003).
On the basis of this experiment the Learning Study model seems to be a promising
waytoincreasetheteachers’awarenessofthecriticalaspectsofstudents’learningandto
enhancecertainaspectsinthelearningofmathematicsinhighereducationinspiteofthe
85
factthatwemetsomeobstacleswewerenotabletoovercome.Moreover,thestudygave
usapositiveexperiencefromfollowingacolleagueteachingjointlyplannedlecturesand
anopportunitytoreflectandanalyzestudents’learningtogether.
5 REFERENCES
Bowden,J.,&Marton,F.(1998).TheUniversityofLearning.London:KoganPage.
Calvo, C. (1997). Bases para una Propuesta Didáctica sorbe Integrales. Unpublished
MasterThesis.
Cobb,P.,Confrey,J.,diSessa,A.,Lehrer,R.,&Scauble,L.(2003).Designexperimentsin
educationalresearch.EducationalResearcher,32(1),9–13.
Hiebert,J.,&Lefevre,P.(1986).Conceptualandproceduralknowledgeinmathematics:
An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed). Conceptual and procedural
knowledge: the case of mathematics (pp. 1–27). Hillsdale, N.J.: Lawrence
Erlbaum.
Lewis, C. (2002). Lesson study: A handbook of teacherled instructional change:
Philadelphia:ResearchforbetterschoolsInc.
Machín, M. C., & Rivero, R. D. (2003). Using DERIVE to understand the concept of
definiteintegral.InternationalJournalforMathematicsTeachingandLearning,
4(December5th),1–16.
Marton, F., & Booth, S. (1997). Learning and Awareness. Mahwah, N.J.: Lawrence
Earlbaum.
Marton,F.,Runesson,U.&Tsui,A.(2004).Thespaceoflearning.InF.Marton&A.Tsui
(Eds.),Classroomdiscourseandthespaceoflearning.(pp.3–40)Mahwah,N.J.:
LawrenceErlbaum.
Orton,A.(1980).Analysisoferrorsoffirstyearcalculusstudents.InA.Bell,BLove&J.
Kilpatrick (Eds.), Theory, Research and Practice in Mathematics Education –
ProceedingsofICME5(pp.170–172).UK.
Orton, A. (1983). Student’s understanding of integration. Educational Studies in
Mathematics,14(1),1–18.
Rasslan,S.,&Tall,D.(2002).Definitionsandimagesforthedefiniteintegralconcept.In
CockburnA.&Nardi,E.(Eds.),Proceedingsofthe26thPME,4(pp.89–96).
Touval,A.(1997).Investigatingadefiniteintegral–fromgraphingcalculatortorigorous
proof.MathematicsTeacher,90(3),230–232.
86
Finnishmathematicsteacherstudents’skillsand
tendenciestouseinformalandformalreasoning
inthecaseofderivative
AnttiViholainen
ABSTRACT
Theargumentsconstructedinmathematicalreasoningmaybeeitherformalorinformal:
Theymaybebasedeitherondefinitions,axiomsandpreviouslyproventheoremsoron
concreteinterpretationsofmathematicalconceptsandsituations.Inaddition,arguments
maybesuperficialordeep.Resultssharedinthispaperarefromthreedifferentstudies
inwhichbothstudents’skillstoproduceinformalandformalargumentsandtheirten
denciestochoosebetweeninformalandformalreasoninginproblemsolvingsituations
were studied. The students in all these studies were Finnish high school preservice
mathematicsteachers,andthedatawascollectedbyusingawrittentestandvideotaped
interviews. The tasks used were about the concept of derivative. Results of the studies
indicated that the students’ skills to produce informal and formal arguments were de
pendentoneachother.Thedifferencebetweenthelevelsoftheseskillswasnotsignifi
cant, but several students had a tendency to avoid the use of the formal definition of
derivative,whichledtodifficultiesinproblemsolvingsituations.However,thistenden
cycouldnotbeexplainedbythestudents’inadequateskillstohandlethedefinitionof
derivative.
Key words: argumentation, definition, derivative, informal and formal, mathematical
reasoning,problemsolving
1 INTRODUCTION
Veryoftentheoreticalmathematicalknowledgedoesnotappeartohaveanyconnection
to the empirical world in which we live. The definitions of the concepts and theorems
withtheirproofsmaybefullyabstract,atleastintheforminwhichtheyarepresentedin
textbooks,inlecturesorinresearchpapers.Itmaybedifficult,evenforanexperienced
mathematician,torecognizehowthesedefinitionsandtheoremscouldbeconnectedto
anyphenomenainreallife.Fromthispointofview,itiswellunderstandablethatmany
students feel mathematics to be odd and difficult. However, in order to preserve the
87
unambiguousnessofmathematics,itsscientificnaturehastoberetainedexact,detailed
andabstract.
Ontheotherhand,mathematicsiswidelyappliedinothersubjectareassuchasphy
sics,technologyandeconomy.So,withoutanydoubt,ithasanimportantroleinsociety.
Therefore,mathematicscannotbeconsideredasanisolatedabstractconstruction.When
mathematicsisapplied,itiscrucialtounderstandtheconnectionsbetweenthetheoryof
mathematics and the field in which mathematics is needed. Usually this requires that
mathematical concepts and results have to be interpreted by using visual, physical or
otherrepresentations.Differentrepresentationshavealsoaveryimportantroleinmat
hematical thinking in general (Goldin, 1998; 2008; Goldin& Kaput, 1996; Hähkiöniemi,
2006a;2006b).
In this paper mathematics is viewed from two perspectives. According to the first
view, mathematics is a formal axiomatic system with definitions, axioms and theorems
withtheirproofs.Ifwelookfromthispointofview,workingwithmathematicsmeans
applyingdifferentrulesandtechniques,checkingdetailsandusingmathematicalnota
tions. According to the second view, working with mathematics is creative problem
solving, in which different kind of interpretations based on more or less concrete rep
resentationalsystems(Goldin, 1998) are used. In the first view, mathematics is seen as a
system,whereasinthesecondviewitisseenratherasaprocess.
InthispaperwewillreportonFinnishmathematicsteacherstudents’skillsandpre
ferenceswithrespecttoboththeseviewsintheconnectionoftheconceptofderivative.
We will discuss how well the students are able to produce informal and formal argu
ments and how they use informal and formal reasoning in problem solving situations
whenthewayofreasoningisnotdetermined.Resultssharedinthispaperarefromthree
differentstudies.Thefirstoneisaquantitativestudyconcerningstudents’skillstopro
duceinformalandformalarguments.Itisbasedontheanalysisoftheresultsofawrit
ten test. In two other studies students’ reasoning processes are analyzed more deeply.
Thesestudiesarebasedoninterviewsofsomeparticipantsofthetest.Intheinterviews
students had a freedom tochoose between informal andformal approaches when they
solvedproblems.Allthesethreestudiesarereportedelsewhere(Viholainen,2006:Viho
lainen,2007:Viholainen,2008a:Viholainen,2008b),but,inthispaper,thegoalistocol
lectthemalltogetheranddiscussthesignificanceofthem.
Thesubjectsinthesestudiesareconsideredasstudentsofmathematicsononehand,
andasprospectivesubjectteachersontheother.Thefindingsofthisstudyconcernfea
tures of university students’ mathematical reasoning, but, because the subjects were
studyingaccordingtoteachereducationprograms,and,mostofthemwereinthemid
dle or in the final phase of their studies, they tell also about prospective mathematics
teachers’subjectmatterknowledge.Inaddition,theknowledgeaboutdifferentinterpreta
tionsandrepresentationsandabouttheirpotentialinmathematicalthinkingcanalsobe
seenasafactorofpedagogicalcontentknowledge(Shulman,1986:1987).
88
2 THEORETICAL FRAMEWORK
2.1Definitionsforinformalandformalarguments
AccordingtoToulmin’s(2003)modelofargumentation(accordingtoitssimplestversi
on), an argument includes three main elements: The data is the information concerning
the initialstate (assumptions), the conclusion is the claim which is argued, andthe war
rant is an explanation for why the data necessitates the conclusion. By applying this
model,Ihaveclassifiedargumentstoinformalandformalonesaccordingtothefounda
tionsoftheirwarrants.Thedefinitionsarethefollowing:
– Anargumentisformal,ifitswarrantsarebasedondefinitions,axioms,previously
proven theorems and the given data, i.e. warrants are based on elements of the
formalaxiomaticsystemofmathematics.
– Anargumentisinformal,ifitswarrantsarebasedontheuseofinformalinterpreta
tionsofmathematicalconceptsandsituationstheargumentisconcernedwith.By
informalinterpretationsImean(moreorless)concretecounterpartsformathema
tical concepts which are based on different representational systems and which
helpanindividualtointerpretandunderstandtheabstractmathematicalproblem
field.
An argument can be superficial or deep independently from it being formal or in
formal.Thelevelofdeepnessdependsonthelevelinwhichtheargumentisconnected
totheformalaxiomaticsystemofmathematics.Aformalargumentisdeep,ifitisbased
on definitions, axioms and previously proven results so that all the details, like condi
tions of definitions and theorems, are taken into account. The level of deepness of an
informalargument,forone,isdependentonhowtheusedinformalinterpretationsare
evaluatedwithrespecttotheirformaldefinitions.Inadeepinformalargumentationthe
warrantsarebasedoninformalinterpretations,buttheusedinterpretationsarejustified
onthebasisoftheelementsoftheformalaxiomaticsystem.Inthisway,adeepinformal
argumentisconnectedalsototheformalsideofmathematics.
Arguments are essential elements in reasoning. On the basis of the classification of
arguments presented above, it is possible to define that formal reasoning is reasoning
whoseargumentsareformal,andthatinformalreasoningisreasoningwhosearguments
are informal. Correspondingly, the reasoning can be said to be superficial or deep de
pendingonwhatkindofargumentsareusedinit.
2.2Othermoreorlesscorrespondingclassifications
Theclassificationofargumentsdefinedaboveisbasedonthetwoviewsofmathematics
presentedinSection1.Intheliteratureofmathematicseducation,severalsimilarclassifi
cationshavebeenpresented.Nextsomeofthemareshortlyreviewed.
Tall and Vinner (1981) have separated reasoning based on a concept definition from
reasoningbasedonaconceptimage.Tosomeextent,thisclassificationissimilartomine.
However, according to Tall and Vinner, a concept image consists on an individual’s
personalconceptionsaboutaconcept,whereastheelementsusedininformalreasoning
are quite often based on generally shared interpretations. On the other hand, formal
reasoningconsiststheuseofalltheformalelementsofmathematics,notonlythedefini
89
tions. Tall and Vinner were especially interested in the contrast between the definition
andstudents’inadequateorerroneousconceptions,whereasthegoalofmyclassification
istoseparatetwodifferentwaysofarguing,whichbothhavetheirownpurposesinthe
learningofmathematicsandinmathematicalreasoning.
Whenstudyingtheprocessofaproofproduction,Raman(2003)hasusedtermsapri
vateargumentandapublicargument.Aprivateargumentisbasedonheuristicideas,which
give“asenseofunderstanding,butnotconviction”(p.322).Apublicargument,forone,
is based on procedural ideas (logic and formal manipulations), which leads to a formal
proof.Ithastobesufficientlyrigorousforaparticularmathematicalcommunity.Aswell,
in the connection of a proof production, Weber and Alcock (2004) have distinguished
syntacticandsemanticknowledge.Thesyntacticknowledgereferstoskillsneededindra
winginferencesbymanipulatingsymbolicformulaeinalogicallypermissibleway,and
the semantic knowledge means knowledge about the potentials of different instan
tiations11ofmathematicalconcepts,whichcanbeusedasaguideforthesyntacticproof
production.Byusingsemanticknowledge,anindividualcaninameaningfulwaymake
sense of the claim to be proven, get suggestions about inferences that could be drawn
andbecomeconvincedatanintuitivelevelaboutthetruthoftheclaim.
Rodd (2000) has presented a classificationbased on theeffect that an argument has
on an individual. According to her, ajustification is an argument that gives a reason to
believe that a claim ought to be true, that is to say, it has an effect on intuitive beliefs.
Instead, awarrant is an argument, which exhibits a logical inference chain showing the
truthoftheclaimandthusconvincesanindividualthattheclaimisundoubtedlytrue12.
Bothprivatearguments,whicharebasedonheuristicideasinRaman’sterminology,
semanticknowledge,whichisneededinproofproductioninWeber’sandAlcock’sclas
sification,andjustifications,whichaccordingtoRoddinfluencepersonalbeliefs,areall
connectedtointuitiveandholisticargumentation.Theyallbringouttheimportanceof
different representations in mathematical reasoning and the view of mathematics as a
creativeprocess.Therefore,theyareessentialfactorsininformalreasoning.Incontrast,
publicarguments,syntacticknowledgeandwarrantsrefertogeneralandrigorous,but
yetproceduralargumentation.Theybringouttheimportanceofrulesandrigorandthe
viewofmathematicsasasystem.Theyarethusimportantinformalreasoning.
In addition, Davis and Hersh (1981) and Hanna (1990), among others, have distin
guished between argumentswhichexplain(help to understand) and argumentswhichcon
vince(removealldoubtaboutthetruthofaclaim).Alsothisdivisionisanalogicalwith
the abovementioned categorizations. Furthermore, Weber and Alcock draw an analogy
betweentheirownclassificationandSkemp’s(1976)classification,inwhichadistinction
between instrumentalunderstanding(understanding what to do) and relationalunderstan
11
AccordingtoWeberandAlcock,theterm‘instantiation’means“asystematicallyrepeatableway
thatanindividualthinksaboutamathematicalobject,whichisinternallymeaningfultothatindivi
dual”(WeberandAlcock,2004;p.210).Theinstantiationsmaybeconsideredeitherthroughtheir
physicalrepresentationsorthroughmentalimages.
12
Notethattheterm‘warrant’hasadifferentmeaninginRodd’sterminologyandinToulmin’s
modelofargumentation.InToulmin’smodel,ajustificationdefinedaccordingtoRoddcouldalso
betreatedasawarrant.
90
ding(understandingwhytodo)ismade.Thisclassification,forone,isanalogoustothe
classification of mathematical knowledge into procedural and conceptualknowledge (Hie
bertandLefevre,1986:HaapasaloandKadijevich,2000),and,atleasttosomeextent,to
theclassificationofmathematicalreasoningintoimitativeandcreativereasoning(Lithner,
2008).
Each of the mentioned classifications has been created for their own purpose, and
thustheclassificationsarenotidenticalatall.However,eachofthemcontraststwodiffe
rent sides of mathematics. Most of the earlier classifications have been applied when
differentelementsoftheprocessofmathematicalreasoninghavebeenstudied.However,
in this study, the purpose was to classify different arguments on the basis of their pro
ducts, independently of the process they have been constructed. For that reason, the
explicit warrants of the arguments (according to Toulmin’s model) were used as the
main criterion in the classification. On the basis of this classification, it was possible to
studystudents’abilitiestoconstructdifferentarguments.
2.3 Connections between informal and formal arguments – a challenge for
students
It is important to notice that very often the final products of proofs and explanations
includebothinformalandformalelements.Inaddition,inmathematicalthinkinginfor
mal and formal arguments often underpin each other. Informal interpretations and in
formalargumentsmaybeusedinexplainingmathematicalknowledgeexpressedinthe
formal form, and, informal ideas are also needed when formal proofs are constructed.
However, it is very challenging especially for students to see connections between in
formalandformalsidesofmathematics.
AccordingtoRaman(2003),professionalmathematiciansareabletoseeconnections
between informal and formal arguments so that when a mathematician recognizes a
heuristicideabasedoninformalarguments,he/sheusuallyhasnoproblemstotranslate
it into a formal proof. Respectively, a mathematician often easily recognizes informal
ideasthroughformalproofs.Thus,itispossibleforamathematiciantoutilizeinformal
and formal argumentation simultaneously in their work. According to Raman, proof
productions of mathematicians are essentially based on key ideas, which are links bet
weenheuristicideasandformalarguments13.Whencomparingreasoningofmathemati
ciansandcollegestudents,Ramannoticedthatstudentsusuallyconsideredinformaland
formalargumentsseparatelysothatitseemedthattheywerenotabletoutilizeinformal
argumentsinproducingformalproofs.
Correspondingly,WeberandAlcock(2004)foundthatdoctoralstudentsutilizedva
riousinformalinterpretations14intheirreasoningwhereasundergraduatesmainlyused
only formal definitions. Stylianou and Dubinsky (1999) found that many students had
difficulties in analyzing visual representations, and, therefore, they could not utilize
13
AccordingtoRaman,akeyideais“anheuristicideawhichonecanmaptoaformalproofwith
appropriatesenseofrigor.Itlinkstogetherthepublicandprivatedomains,andindoingsogivesa
senseofunderstandingandconviction.”(Raman,2003;p.323)
14
WeberandAlcockusetheterm‘instantiation’.Seefootnote1.
91
visualizationinproblemsolving.Instead,mathematicianstendtousevisualizationina
very systematic way, so that in their reasoning the visual and analytic steps are very
closely connected and they interact with each other (Stylianou, 2002). Stylianou and
Silver’s (2004) study revealed that students considered visual representations useful
mostlyingeometricproblems,whereasmathematicianssawawidervarietyofproblems
where visualization could be used. As well, Eisenberg and Dreyfus (1991) and Vinner
(1989), have reported students’ tendencies to avoid the use of visualization in problem
solving.
Ontheotherhand,Vinner(1991)andPinto(1998)havereportedaboutstudents’ten
dencies to avoid the use of definitions. Juter (2005) and Tsamir, Rasslan and Dreyfus
(2006)havereportedoncasesinwhichuniversitystudentsusedargumentsandmethods,
whichwerenotconnectedtotheoreticalknowledge,andsuchreasoningledtoerroneous
conclusions.However,inanothercontextithadturnedoutthatthestudentspossessed
allthenecessarytheoreticalknowledge.Thesestudiesconcernedtheareaofanalysis:the
conceptoflimit(thestudiesbyPintoandJuter)andtheconceptofderivative(thestudies
byVinnerandTsamiretal.).
Therefore,itseemsthatstudents’reasoningisusuallyconfinedeithertoformalorin
formalreasoning.Itisdifficultforstudentstochangefrominformaltoformalreasoning
orviceversainaproblemsolvingsituation.
2 METHOD
Thedatausedinthestudiespresentedinthispaperconsistsofwrittentestanswersand
videotaped interviews. The written test was conducted at six Finnish universities bet
weenOctober2004andMarch2005.Atfiveuniversitiesthetestwasconductedatalec
ture,whichbelongedtoteachereducationstudies.Attheseuniversities,allthestudents
whowerestudyingthecoursewereexpectedtoattendthelecturesandtakethetest.At
one university, the test was given during a lecture of a mathematics education course,
butparticipationwasvoluntary.Thetotalnumberofparticipantsofthetestwas146.All
theparticipantswerestudyinginateachereducationprogram,andmajority(about60%)
ofthemweremajoringinmathematics.Thesampleasawholeisquiteextensive,because
in Finland about 150250 subject teacher students, who have mathematics either as a
major or minor, graduate yearly. All the participants had completed at least 35 ECTS15
creditsinmathematics.Infact,mostoftheparticipantswereinthemiddleorfinalphase
in their studies. The interviewees were selected among the participantsof the test. The
main criterion in the selection was the goal to select students with different levels of
success in the test, but students’ possibilities and willingness to take part in the inter
viewswerealsotakenintoaccount.Together21studentswereinterviewed.
Themathematicalcontextconsistedmainlyoftheconceptsofderivativeanddifferen
tiability. The concept of continuity was also in some tasks considered. The written test
includedtogethersixtasks,butinthispaperwewillconsideronlytwoofthem.Inthese
15
ECTSreferstoEuropeanCreditTransferandAccumulationSystem.
92
two tasks, a claim was given, and the students were asked to construct both informal
(visual)andformalargumenttoit.Thetaskswerethefollowing:
1. a)Howwouldyouexplain,byusinggraphicalinterpretations,whythederiva
tiveofaconstantfunctionisequaltozeroeverywhere?
b)Provethesamebyusingtheformaldefinitionofderivative.
2. Claim:Letf:RoRbeadifferentiablefunctionandx0Rbegiven.Then
lim
h o0
a)
b)
f (x 0 ) f (x 0 3h)
3h
f '(x 0 ).
Howwouldyouvisuallyarguethisclaim,byusingadiagram?
Provetheclaimformallybyusingthedefinitionofderivative.
In the interviews the meaning of derivative and some informal interpretations con
nected to it were discussed. In addition, students were asked to study if some given
functions were continuous/differentiable or not. In Sections 4.2 and 4.3 some of these
tasksarepresented.Interviewee’stestanswerswerealsodiscussed.Becausethetimein
the interviews was limited, and the students’ performances were different, it was not
possible to consider all the tasks with all the students. Both in the written test and the
interviews the definitions of derivative and differentiability were given to students.
Therefore,thestudentsdidnothavetorememberthem.
3 RESULTS
3.1Students’skillstoconstructinformalandformalarguments
Theanswerstoallthetaskspresentedabove(1a,1b,2aand2b)weregradedbyusingan
integerscale02.Themainprincipleinthegradingwasthattwopointswasgivenifthe
answerwasfullyacceptableandonepointwasgivenifthemainideaintheanswerwas
correct. More detailed criteria for the grading are presented in Viholainen (2008b). Be
causeinthetasks1aand2ainformalargumentswereaskedtoconstruct,thescoresfrom
these tasks were added together resulting in a variable which indicated the ability to
produce informal arguments concerning the concept of derivative. Respectively, the
scoresfromthetasks1band2bproducedavariable,whichindicatedtheabilitytoprove
claimsformally.Thevaluesofthesetwovariablesvariedthenbetween04.
TheproportionaldistributionspresentedinTable1showsthatthetask2wasclearly
moredifficultthanthetask1.AccordingtoWilcoxon’ssignedrankstest(twotailed),the
differences were very significant both between the tasks 1a and 2a (Z= 8.31, p <.001),
betweenthetasks1band2b(Z=8.19,p<.001)andbetweenthecombinedscores1a+1b
and2a+2b(Z=9.41,p<.001.Almostthreefourths(74,6%)ofthestudentsreceivedat
leastonepointfromboththetasks1aand1b,thatistosay,studentswereabletopresent
bothaninformalandaformalargumentforthisclaimatleastinapartiallyacceptable
way. Instead, almost half (48,6 %) of the students received zero points from both the
tasks2aand2b.
93
Table1:Distributions(%),meansandstandarddeviationsofthereceivedscores
Points
0
1
2
Mean
St. dev.
1a
11.6
46.6
41.8
1,30
.67
1b
21.2
13.0
65.8
1.45
.82
2a
66.4
19.2
14.4
.48
.74
2b
61.0
23.3
15.8
.55
.75
1a+2a
1.78
1.14
1b+2b
1.99
1.29
Thedifferenceinsuccessbetweentheinformalandtheformaltasksshowedtobenot
significant.Thiswasstudiedbycomparingresultsofthetasks1aand1b,2aand2b,and
1a+2aand1b+2bwithWilcoxon’ssignedrankstest.Noneofthesedifferencescouldbe
consideredstatisticallysignificant.
Itwasfoundthatthesuccessintheinformaltasksandthesuccessintheformaltasks
weredependent.Thecorrelations(Spearman’srho)wereverysignificantbothbetween
scoresfromthetasks1aand1b(r(144)=.30,p<.001),betweenscoresfromthetasks2a
and2b(r(144)=.34,p<.001)andbetweenthetotalinformalscores1a+2aandthetotal
formalscores1b+2b(r(144)=.42,p<.001).Moredetailedanalysisalsorevealedthatalto
gether 14 students received at least three points from the formal tasks but at most one
pointfromtheinformaltasks.Thisindicatesthatitwaspossibletohaveagoodsuccess
intheformaltaskseventhoughthesuccessintheinformaltaskswaspoor.Ontheother
hand, none of students whoreceived at most one point from the formal tasks received
four points from the informal tasks, and only three of them received three points. In
Viholainen(2008b)thisresulthasbeeninterpretedinthefollowingway:“Apoorsuccess
intheformaltasksseemedtoimplyapoorsuccessalsointheinformaltasks,butagood
successintheformaltasksdidnotindicateagoodsuccessintheinformaltasks”(p.79).
3.2Students’preferencestochoosebetweeninformalandformalapproaches
Intheinterviews,studentsweregiventhefollowingquestion:
­x 4 cos(1/ x 3 ), x z 0,
f : R o R : f (x) ®
x 0.
¯0,
Let
Isthefunctionfdifferentiable?
AsmentionedinSection3,allthequestionswerenotpresentedinalltheinterviews.
Thistaskwasconductedwith18students.
In the case of this problem, no introduction was given beforehand to the students,
buttheywerefreetochooseanymethodstosolvetheproblem.Infact,thegoalwasto
studytowhatextentdothestudentsuseinformalandtowhatextentdotheyuseformal
methodswhentheytrytosolvethisproblem.Thefindingswerethefollowing:
94
– Threestudentsappliedonlyaformalmethodbasedonthedefinitionofderivati
ve.Theyallmanagedtosolvetheproblem.
– Threestudentsappliedonlyaninformalmethodbasedonthegraphofthefunc
tion.Oneofthemmanagedtosolvetheproblem.
– Sixstudentsstartedbyaninformalmethod,butwhentheydidnotmanagetoget
aconvincingsolution,theyswitchedtoaformalmethod.Byusingaformalmethod,
twoofthemmanagedtosolvetheproblem.
– Therestsixstudentstriedtoapplysomeincorrectmethod.Forexample,threeof
themstudiedonlycontinuityofthefunctionandoneofthemtriedtofindoutifthe
derivativeofthefunctionx4cos(1/x3)hadalimitatzero.
Inalltheinformalattempts,thestudentfirsttriedtosketchthegraphofthefunction
andthentodrawconclusionsonthebasisofit.Thestudentstriedtostudytheshapeof
the graph near origin: For example, they triedto find outif the graph had a jump or a
cornerinoriginorhowitoscillatednearorigin.Mostofthestudentspresentednocon
clusion,ortheypresentedconclusionswithveryweakarguments.Forexample,twoof
the students concluded thatthe function was notdifferentiable, because itoscillated so
much near zero. The definition of derivative had no role in the unsuccessful solving
attempts.
Theonlysuccessfulinformalreasoningwasthefollowing:Byanalyzinggraphs,the
studentunderstoodthatthefunctionfoscillatedbetweenthefunctions–x4andx4.Becau
sethesefunctionsintersectedatzero,thefunctionfhadtobecontinuous.Thenthestu
dentanalyzedsecantlinesgoingthroughthepoints(0,0)and(h,f(h)).Hereasonedthat
thesecantlinewasinitssteepestpositionwhenittouchedeitherthegraphofthefuncti
on–x4orthegraphofthefunctionx4.Therefore,whenhapproachedzero,thesecantline
pivotedtoahorizontalposition.Thus,thegraphofthefunctionfhadatangentlineat
thepointx=0.Inthisreasoning,thelimitingprocessinthedefinitionofderivativewas
interpretedvisually.Theusedvisualinterpretationwasthenjustifiedbythedefinition.
Thus,thisreasoningcanbeconsideredasanexampleofadeepinformalreasoning(see
Section2.1).
Altogether,ninestudentsattemptedtosolvethisproblembyapplyingaformalmet
hodandfiveofthemsucceeded.Likewise,ninestudentsattemptedtosolveitinformally,
butonlyoneofthemsucceeded.Itisalsonotablethatnoneofthestudentsstartedbya
formalmethodandswitchedfromittoaninformalapproach.
Thosethreestudentswhoappliedonlyformalmethod(anddiditsuccessfully)had
completed a lot of credits in university mathematics (60, 119 and 130 Finnish credits)
withgoodgrades.Inaddition,theirtestsuccessbothintheinformalandintheformal
taskswasgood(atleastthreepointsbothfromtheinformalandfromtheformaltasks).
Theanalysisoftestresultsgivesnoreasontoconcludethatamongtheninestudents
whostartedbyaninformalmethodthetestsuccesswouldhavebeenbetterintheinfor
maltasksthanintheformaltasks.Infact,fiveofthesestudentsreceivedfullpointsfrom
theformaltasksinthetest.
Inordertosummarizethisstudy,thefollowingconclusioncouldbemade:Thegiven
taskprovedtobeeasiertosolveformallythaninformally.Despiteofthat,manystudents
seemedtohaveatendencyforaninformalapproachwhentheytriedtosolveit.Onthe
95
basis of students test success, this tendency cannot be explained by students’ potential
skillstohandletheconceptofderivativeinformallyandformally.
MoredetailedanalysisofthisstudyispresentedinViholainen(2007).
3.3Twoexamplesofincorrectreasoningmethods
Inthissectionwewillsummarizetheanalysisofthereasoningoftwostudents,whichis
discussed with more details in Viholainen (2006) and Viholainen (2008a). These case
studies illustrate that reasoning may be logical and internally coherent but, despite of
that,tooconfinedsothatitleadstoerroneousconclusions.
Intheinterviewswiththesetwostudents,MarkandTheresa(pseudonyms),thedif
ferentiabilityofthefollowingfunctionswasconsidered:
­x 2 4 x 3, x z 4,
­x 1,
x 1,
f1 (x) ®
f 3 (x) ®
x 4.
¯2x 6, x t 1.
¯1,
­x 2,
x 1,
f 2 (x) ®
2x
5,
x t 1.
¯
­x,
f 4 (x) ®
¯x 1,
x 1,
x t 1.
Thegraphofthefunctionf1hasajump,andthegraphofthefunctionf2hasacorner
but no jump. The graph of the function f3 is a parabola with a hole. The graph of the
functionf4hasajumplikethegraphofthefunctionf1,buttheslopeissameintheboth
partsofthegraph.Boththeformulasandthegraphsofthesefunctionsweregiventothe
students,andthestudentswereaskedtostudy,ifthesefunctionsweredifferentiableor
not.
Mark’smethodtosolvetheseproblemswastodifferentiateboththeexpressionsby
using differentiation rules and then to check if the differentiated expressions obtained
equal values at the point in which the expression was changed in the definition of the
function.Forinstance,inthecaseofthefunctionf1,Mark’sreasoningwas:Thederivati
vesofthegivenexpressionwere1and2.Theywereunequalatthepointx=1inwhich
theexpressionwaschanged,and,therefore,thefunctionf1wasnotdifferentiable.Inthe
casesofthefunctionsf1,f2andf3thismethodseemedtoworkverywell.Markalsohada
strong confidence that his method was correct and compatible with the definition of
derivative.
Inthecaseofthefunctionf4theuseofthismethodleadedtoanerroneousconclusion:
Markreasonedthatbecausethederivatesofboththeexpressionswereequal,thefuncti
onwasdifferentiable.However,thisconclusionwasnoteasyforMark,becausehehada
conceptionthatadifferentiablefunctionhadtobecontinuous,andhesawthatthefunc
tionf4wasdiscontinuous.Thisconflict,yet,didnotbreakMark’sconfidenceinhismet
hod,buthebegantodoubthismemoryabouttherelationshipbetweencontinuityand
differentiability.Thus,hebegantosearchforanotherexampleofadiscontinuousdiffe
rentiable function. Finally, he decided to apply explicitly the definition of derivative.
However,hecalculatedthelimitsofthedifferencequotientfortheexpressionsxandx+1
separately in the way presented in Figure 1. After that he concluded that his memory
hadtobewrongandadifferentiablefunctiondidnotneedtobecontinuous.
96
Figure1:Mark’scalculationwhenheexploredthedifferentiabilityofthefunctionf4atthepoint
x=1byapplyingthedefinitionofderivative
Theresa’smethodwastostudyonthebasisofthegraphofthefunction,ifitwaspos
sibletodrawatangentlineatallthepointsinthegraph.Aswell,thismethodseemedto
work very well, and Theresahad a strongconfidence in her method.Inthe case of the
functions f1 and f4, she reasoned that it was not possible to draw a tangent line to the
graphatthepointwherethejumphappened.Correspondingly,shereasonedthatitwas
notpossibletodrawatangentlinetothecornerinthegraphofthefunctionf2.However,
inthecaseofthefunctionf3,shereasonedthatitwaspossibletodrawatangentlinealso
atthepointx=4:Shedrewatangentlinetotheparabolaasiftherewasnotahole.
AtthebeginningoftheinterviewTheresathoughtthatsometheoremconcerningthe
relationshipbetweencontinuityanddifferentiabilityexisted,butshedidnotremember
whatitsaid.However,shethoughtitsaideitherthatcontinuitypresumeddifferentiabi
lity or that differentiability presumed continuity. In the interview session she, yet,
thought she had found both a continuous nondifferentiable function (the function f1)
andadiscontinuousdifferentiablefunction(thefunctionf3),and,therefore,sheconclu
ded her memory had to be wrong: There could be no theorem concerning the rela
tionshipbetweencontinuityanddifferentiability.
Mark’s method can be considered formal, because warrants of the arguments were
based on differentiation rules, that is to say, on previously proven results (see Section
2.1).However,theconditionsoftheseruleswerenotchecked,andtheywereinnoway
related to the definition of derivative. Therefore, perhaps excluding the moment when
Marktriedtoarguedifferentiabilityofthefunctionf4onthebasisthedefinitionofderi
vative,hisreasoningcanbeconsideredsuperficial.Theresa’smethodwasbasedonthe
visualinterpretationforthedifferentiabilityasapossibilitytodrawatangentline.Thus,
it was clearly informal. However, Theresa took for granted the concept of tangent. She
did not try to define it or to connect it to the definition of derivative. Thus, Theresa’s
reasoning,also,wassuperficial.
BothMarkandTheresapreferredothermethodsthantheexplicituseofthedefiniti
onofderivative.Theresadidnotusethedefinitionatall,andMarkuseditonlyasalast
resort to solve the conflict in the case of the function f4. However, in other situations
during the interviews both students performed several calculations in which they ap
pliedthedefinitionofderivative.Eventhoughinthesesituationsthesuggestiontouse
thedefinitioncamefromtheinterviewer,thisshowsthatthestudentswereabletohan
97
dlethedefinitionofderivative.16Therefore,itisnotpossibletoreasonthatpoorskillsto
usedefinitionwouldhavebeareasonforthetendencytopreferothermethods.
4 DISCUSSION
If the students are seen as learners of mathematics, the most important finding is the
students’ tendency to avoid the use of the definition of derivative. This tendency was
observed in the last two studies presented above. The study presented in Section 4.2
showed that nine of twelve students who applied some correct method preferred an
informalapproachinsteadofusingthedefinitionofderivative.Thistendencyhindered
the problem solving process, because this task was easier to solve formally than infor
mally. In the study presented in Section 4.3 Mark and Theresa applied their own met
hodswhentheystudieddifferentiabilityofpiecewisedefinedfunctions,buttheydidnot
evaluate these methods with respect to the definition of derivative. They had a strong
confidence on their methods, and they assumed them to be valid in all cases. This led
themtoerroneousconclusions:Firsttheygainedanerroneousresultaboutdifferentiabi
lityofonefunction,but,onthebasisofthisresult,theymadealsoanerroneousconclu
sionabouttherelationshipbetweencontinuityanddifferentiability.
A tendency to avoid the use of definitions or the use of theoretical knowledge has
beenobservedalsoinsomeotherpreviousstudiesconcerningtheanalysisconcepts(see
Section2.3).Neitheranyofthesestudiesnoranyofthestudiespresentedinthispaper
revealproperreasonsforthistendency.Theonlythingwhichhasbeenshownisthatthis
tendencycannotbeexplainedbyinadequateskillstousedefinitions.InViholainen(2006)
itwasfoundthatTheresahadalowconfidenceinherskillstohandlethedefinitionof
derivative.Itisverywellpossiblethat,ingeneral,affectivefactorshadastrongeffecton
students’ choices of methods. In addition, it has to be noted that the definitions of the
conceptsofanalysishasaminorroleinmathematicsatuppersecondaryschool.Mostof
thetasksconcerningtheseconceptsdonotrequiretheexplicituseofthedefinitions.This
mayhaveaneffectonstudents’choicesofmethodsstillatthefinalphaseoftheiruniver
sitystudies,despiteofthatthedefinitionshasprobablybeenemphasizedintheuniversi
ty studies. However, more research about the roles of different factors influencing stu
dents’choicesofmethodswouldbeneeded.
Theobservationspresentedinthispaperalsounderpintheconclusionpresentedin
Section 2.3, according to which students’ reasoning is confined so that it is difficult for
themtoswitchfromonerepresentationalsystemtoanotherinaproblemsolvingsituati
on. Particularly, it is difficult for them to observe and utilize the connections between
informalandformalsystems.
Withrespecttothedesignofteachingpractices,teachingmaterialsorcurricula,the
most important conclusion of this study could be that the connections between defini
tionsandinformalinterpretationsandbetweendefinitionsandusedmethodsshouldbe
emphasizedmoreinteaching.Atfirst,studentsshouldunderstandthefundamentalrole
16
MarkmadeasimilarerroraspresentedinFigure1alsowhenhewasaskedtocalculatetheleft
handlimitofthedifferencequotientforthefunctionf2atthepointx=1.Otherwise,itwasnoticed
thatMarkwasabletohandlethedefinitionofderivativecorrectly(Viholainen,2006).
98
ofdefinitionsinmathematics:Theyshouldbecomeawarethatallinterpretations,quali
ties, results and methodsconcerning mathematical concepts are dependent on how the
conceptsaredefined.Theyshouldalsolearntoevaluatecriticallyalltheseonthebasisof
definitions.Itisimportantthatthedefinitionshaveacentralrolealsoinpracticalactivi
tiesinteaching,likeinexercises.
Thedifferencesinstudents’learningstylesshouldbetakenintoaccount,also,inthe
caseofdefinitions.PintoandTall(1999:2001:2002)andPinto(1998)observedtwodiffe
rent thinking styles among the first year mathematics students at university. Formal
thinkersattempted to base their reasoning on the formal theory and to extract meaning
fortheconceptsonthebasisoftheformaldefinitions.Naturalthinkers,forone,attempted
to give meaning to the formal theory by using their existing informal imagery. Accor
dingtoPintoandTall,neitherofthesestylesisbetterthantheother,butboththinking
styles may be successful or unsuccessful. Therefore, the teaching should support both
thinkingstyles.
Ifweconsidertheparticipantsofthisstudyasprospectivesubjectmatterteachersin
mathematics being (at least almost) in the final phase of their studies, the observations
arequiteworrying.Alltheusedtaskspresentedinthispaperconcernrealvaluedfunc
tions of a single variable. No peculiar tricks are needed in solving them, but, in fact, a
thoroughunderstandingoftheknowledgeincludedinthecurriculumofmathematicsat
theuppersecondaryschoolshouldbeenoughtosolvethem.Despiteofthat,itwasob
servedthatmanystudentshadseriousproblemswiththesetasks.Eventhoughithasto
betakenintoaccountthatthestudentsdidnotprepareinanywayforthetestorforthe
interviews and that the intensity of answering in the test is not known, the findings of
the study raise concern about the subject matter skills of prospective mathematics
teachers. Certainly, the test results proved that almost three fourths of the participants
managed to present both an informal and a formal argument for the claim saying that
thederivativeofaconstantfunctioniszerosothatatleastthemainideaoftheargument
wascorrect(seeSection4.1).However,thisresultdoesnotyetimplythatthereasoning
skillswouldbeinahighlevel,becausethisclaimwasoneofthesimplesttheoremscon
cerningtheconceptofderivative.
Thefindingthatthestudentshadatendencytoavoidusingdefinitionsisinteresting,
also,ifthestudentsareseenasprospectivesubjectteachers.Itraisesaquestion:Dothe
prospective teachers in mathematics really understand the fundamental role of defini
tionsinmathematics?Iftheanswertothisquestionis‘no’,itimpliesthattheyhavenot
internalizedtherealnatureofthe(formal)mathematics.Itwouldbeinterestingtostudy
whatkindofeffectsthiswouldhaveontheirteachingpractices.
5 REFERENCES
Davis,P.J.&Hersh,R.(1981).Themathematicalexperience.NewYork:VikingPenguin
Inc.
Eisenberg,T.&Dreyfus,T.(1991).Onthereluctancetovisualizeinmathematics.InW.
Zimmermann & S. Cunningham (Eds.), Visualization in teaching and learning
99
mathematics (pp. 25–37). Washington, DC: Mathematical Association of
America.
Goldin, G. A. (1998). Representational systems, learning and problem solving in
mathematics.JournalofMathematicalBehavior,17(2),137–165.
Goldin, G. A. (2008). Perspectives on representation in mathematical learning and
problemsolving.InL.D.English(Ed.),Handbookofinternationalresearchin
mathematicseducation,secondedition(pp.178–203).NewYork:Routledge.
Goldin, G. A. & Kaput, J. J. (1996). A joint perspective on the idea of representation in
learning and doing mathematics. In L. Steffe & P. Nesher (Eds.), Theories of
mathematicallearning(pp.397–430).Mahwah,NJ:LawrenceErlbaum.
Haapasalo,L.&Kadijevich,D.(2000).Twotypesofmathematicalknowledgeandtheir
relation,JournalfürMathematikDidaktik,21(2),139–157.
Hanna,G.(1990).Somepedagogicalaspectsofproof,Interchange,21(1),6–13.
Hiebert,J.&Lefevre,P.(1986).Conceptualandproceduralknowledgeinmathematics:
an introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural
knowledge: the case of mathematics (pp. 1–27). Hillsdale, NJ: Lawrence
Erlbaum.
Hähkiöniemi,M.(2006a).Associativeandreflectiveconnectionsbetweenthelimitofthe
difference quotient and limiting process. Journal of Mathematical Behavior,
25(2),170–184.
Hähkiöniemi,M.(2006b).Perceivingthederivative:thecaseofSusanna.NordicStudies
inMathematicsEducation,11(1),51–73.
Juter,K.(2005).Limitsoffunctions:tracesofstudents’conceptimages.NordicStudiesin
MathematicsEducation,34,65–82.
Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning.
EducationalStudiesinMathematics,67(3),255–276.
Pinto,M.M.F.(1998).Students’understandingofrealanalysis.UniversityofWarwick,
UK.
Pinto, M. M. F. & Tall, D. (1999). Students’ constructions of formal theory: giving and
extractingmeaning.InO.Zaslavsky(Ed.),ProceedingsofThe23rdConference
of the International Group for the Psychology of Mathematics Education
(Volume4,pp.65–73).Haifa,Israel.
Pinto, M. M. F. & Tall, D. (2001). Following students’ development in a traditional
universityanalysiscourse.InM.vandenHeuvelPanhuizen(Ed.),Proceedings
of the 25th Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education (Volume 5, pp. 57–64). Utrecht, The Netherlands:
FreudenthalInstitute,UtrechtUniversity.
Pinto,M.M.F.&Tall,D.(2002).Buildingformalmathematicsonvisualimagery:acase
studyandatheory.FortheLearningofMathematics,22(1),2–10.
Raman,M.(2003).Keyideas:whataretheyandhowcantheyhelpusunderstandhow
peopleviewproof?EducationalStudiesinMathematics,52,319–325.
Rodd, M. M. (2000). On mathematical warrants: proof does not always warrant, and a
warrantmaybeotherthanaproof,MathematicalThinkingandLearning,2(3),
221–244.
100
Shulman, L. S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching.
EducationalResearcher,15(2),4–14.
Shulman,L.S.(1987).Knowledgeandteaching:foundationsofthenewreform.Harward
EducationalReview,57(1),1–22.
Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding.
Mathematics Teaching, 77, 20–26. (reprinted version published in 2006,
MathematicsTeachingintheMiddleSchool,12(2),88–95.)
Stylianou,D.A.(2002).Ontheinteractionofvisualizationandanalysis:thenegotiation
of a visual representation in expert problem solving. Journal of Mathematical
Behavior,21,303–317.
Stylianou,D.A.&Dubinsky,E.(1999).Determininglinearity:theuseofvisualimagery
inproblemsolving.InF.Hitt&M.Santos(Eds.),ProceedingsofTheTwenty
firstAnnualMeetingoftheNorthAmericanChapteroftheInternationalGroup
for the Psychology of Mathematics Education (pp. 245–252). Columbus, OH:
ERICClearinghouseforScience,Mathematics,andEnvironmentalEducation.
Stylianou, D. A. & Silver, E. A. (2004). The role of visual representations in advanced
mathematicalproblemsolving:anexaminationofexpertnovicesimilaritiesand
differences.MathematicalThinkingandLearning,6(4),353–387.
Tall,D.&Vinner,S.(1981).Conceptimageandconceptdefinitioninmathematicswith
particular reference to limits and continuity. Educational Studies in
Mathematics,12,151–169.
Toulmin, S. E. (2003). The uses of argument. Cambridge, U.K : Cambridge University
PressNewYork.
Tsamir, P., Rasslan, S. & Dreyfus, T. (2006). Prospective teachers’ reactions to Rightor
Wrong tasks: the case of derivatives of absolute value functions. Journal of
MathematicalBehavior,25,240–251.
Viholainen,A.(2006).Whyisadiscontinuousfunctiondifferentiable?InJ.Novotná,H.
Moraová,M.Krátká&N.Stehliková(Eds.),ProceedingsofThe30thConference
of the International Group for the Psychology of Mathematics Education
(Volume5,pp.329–336).Prague,CzechRepublic:CharlesUniversity,Facultyof
Education.
Viholainen,A.(2007).Students’choicesbetweeninformalandformalreasoninginatask
concerning differentiability. In D. PittaPantazi & G. Philippou (Eds.),
Proceedings of The Fifth Congress of the European Society for Research in
Mathematics Education (pp. 2369–2378). Nikosia, Cyprus: Department of
education,UniversityofCyprus.
Viholainen,A.(2008a).Incoherenceofaconceptimageanderroneousconclusionsinthe
case of differentiability. The Montana Mathematics Enthusiastic, 5(2&3), 231–
248.
Viholainen, A. (2008b). Finnish mathematics teacher students’ informal and formal
arguing skills in the case of derivative. Nordic Studies in Mathematics
Education,13(2),71–92.
Vinner,S.(1989).Theavoidanceofvisualconsiderationsincalculusstudents.Focuson
LearningProblemsinMathematics,11(2),149–156.
101
Vinner, S. (1991). The role of definitions in teaching and learning. In D. Tall (Ed.),
Advanced mathematical thinking (pp. 65–81). Dordrecht, The Netherlands:
Kluwer.
Weber, K. & Alcock, L. (2004). Semantic and syntactic proof productions. Educational
StudiesinMathematics,56,209–234.
102
OsaIII
InvestigatingThaiteachers’generalpedagogical
knowledgeinscienceteaching
PavineeSothayapetchandJariLavonen
ABSTRACT
This research intended to analyse the general pedagogical knowledge (GPK) from the
scienceeducationpointofviewofThaiscienceteachersattheelementarylevelasapre
liminary study. Two Thai science teachers of grades 5 and 6 were interviewed about
personal information and GPK over a period of their current classroom teaching. The
results were analysed using content analysis technique. The results showed that both
ThaiscienceteachersexpressedtheirattitudestowardtheGPKaspectsinthesameway.
There are not many different viewpoints on sciencecurriculum, teaching method, lear
ningmaterials,classroomcommunication,etc.TheGPKofThaiscienceteacherscanbe
reflected on in order to develop science teaching and science teacher education in the
future.
1 INTRODUCTION
1.1Importanceofateacher
Scienceisoneofthemostdifficultsubjectsinelementaryschoolthatteachersstruggleto
teach(Musikul,2007).Scienceteachersattempttoteachandhelpthestudentstounders
tandthescientificconceptsthroughexplainingthemeaningoftheconceptsforexample
by giving examples or applications in the domain of the concept. Elluch (2006) stated
that teachers should be able to introduce scientific phenomena and concepts by using
sciencelearningmaterials,performingscienceexperimentsandusingvariousresources
(movies,pictures,etc.)withtheaimtoenrichtheirteaching.Toattainlearninggoalsin
accordancewiththenationalcurriculum,teachersareimportantinleadingthestudents’
learning processes. Brandsford, Brown, and Cocking (2000) suggested that teachers are
thekeytoenhancinglearninginschools.
Joyce, Calhoun, and Hopkins (2002) mentioned that teachers are always working
withwholeclasses,tryingtoreachalltheirstudentswithrespecttowhattheyaretrying
toteach.Theyaretryingtoteachthestudentshowtolearn;helpingthemusethemodels
oflearningthatwillgeneratethebestacademic,social,andpersonalgrowth.Theknow
ledge and skills of teachers are the main factors at play when the teacher teaches stu
dentsintheclassroom.Teachersthemselvesshouldhavemanydifferentkindsofknow
ledge,notonlysubjectmatterknowledge,butalsoknowledgetosupportstudents’lear
105
ning. GessNewsome and Lederman (1999) argue for using subject matter knowledge,
pedagogicalknowledge,andpedagogicalcontentknowledgeasprimarydivisionsinthe
knowledge base for teaching. This is partly similar to what Williams (2003) stated: a
teacher’sknowledgemustbeanchoredinteachinganditmustbeblendedinimaginati
on,creativityandinspirationand,moreover,intotheteachinglearningprocesstoignite
apassionforlearninginthestudent.
1.2Scienceteachingatelementarylevel
Theschoolsciencesyllabusisfullofscientificconceptsandscientificprinciplesinorder
to enrich students’ scientific literacy. Therefore, teachers are fully engaged in teaching
these.Tobinetal.(1990)mentionedthatteachingandlearningintheelementaryscience
classroomoftenfocusesonrecitationandcontentcoverageandthatteachersoftenhave
limited pedagogical content knowledge (PCK), especially prospective and novice
teachers.Theteachersareafraidofunexpectedproblemswhentheyteachscience(Zem
bleSaul,Krajcik,andBlumenfeld,2002).Inaddition,thereport,ScienceEducationinEuro
pe:CriticalReflections(2008)suggestedthatthelimitedrangeofpedagogyisonereason
why students disengage with science. The main challenge for the teacher is to develop
the students’ understanding of this body of concepts. At the primary level, ways of
constructing meanings for concepts that rely on a specialist vocabulary of words, sym
bols,mathematics,diagramsandgraphsisdifficultforstudents.
Even though science teaching is difficult, especially for primary school teachers in
terms of transmitting the content so as the students understand, the science teachers
themselves are challenged by this main task, especially novice and beginning teachers.
Ginns and Watters (1999) described the experiences of three beginning teachers who
worked their way through the first year of teaching. Their conclusion suggested that
novice teachers could improve the effectiveness of their teaching by recognising, and
reflecting and drawing upon successful experiences and interactions with students in
serioussituationsintheclassroom.AppletonandKindt(2002)investigatedtheinfluence
of aspects of beginning elementary school teachers’ development into fulltime profes
sional teachers on their teaching of science by using a variant of interpretivism. The
findings showed that beginning teachers developed their teaching abilities in science
teachingthroughtheirselfperceptionsandwereabletoprogresstothinkingabouttheir
studentsandthelearninginwhichtheywereengaging.Thatmeansteachers’ownper
sonalexperiencesinscienceareveryimportant:teachersimprovethemselvesautomati
callyineverydayscienceteachingsituations.
1.3Generalpedagogicalknowledge(GPK)
ThispaperexplorestheGeneralPedagogicalKnowledge(GPK)ofThaiscienceteachers
attheelementarygradeintermsofthreemainaspectsofGPK—classroommanagement,
classroom communication, and teaching method. MorineDeshimer and Kent’s (1999)
conceptofGPKisusedsignificantlythroughoutthisstudytofindoutscienceteachers’
pointofview.
106
Theydividedgeneralpedagogicalknowledgeinto3maincategoriesasfollows:inst
ructionalmodel(teachingmethod),classroommanagement,andclassroomcommunica
tion.
(i)Classroommanagementisconsistentinnotinggeneralprinciplesofteacherbeha
viourthatpromotestudentachievement.Classroommanagementfocusesonthreemajor
components: Contentmanagementdoesnotrefertoskillspeculiartoteachingaparticularsubject
butrathertothoseskillsthatcutacrosssubjectsandactivities(Froyen&Iverson,1999).
Doyle stressed that the core of instructional management is gaining and maintaining
student cooperation in learning activities (as cited in Froyen & Iverson, 1999). Content
managementoccurswhenteachersmanagespace,materials,equipment,themovement
ofpeople,andlessonsthatarepartofacurriculumorprogrammeofstudies.
According to Iverson and Froyen (1999), conduct management refers to the set of
proceduralskillsthatteachersemployintheirattempttoaddressandresolvediscipline
problemsintheclassroom.Forexample,whenstudentsaredisobedientintheclassroom
ateacheruseswaystoreinforcethestudentsbygivingareward,admiration,orblaming,
etc.Incaseastudenthasasevereproblemtheteachermaycontactthestudent’sparents
or guardians so as to cooperate between home and school in solving the problem.
Covenantmanagementstressestheclassroomgroupasasocialsystem.Covenant
focusesontheclassroomgroupasasocialsystemthathasitsownfeaturesthatteachers
havetotakeintoaccountwhenmanaginginterpersonalrelationshipsintheclassroom.
Thethreeaspectsofclassroommanagementasmentionedabovearethemainproto
colsforinterviewingteachers.
(ii) Instructional methods and teaching methods or models mean the same thing.
JoyceandWeil(1996)havedefinedteachingmodelsasfollows:
A teaching model is a pattern or plan which can be used to shape a curriculum or
course,orselectinstructionalmaterialsandtoguideateacher’sactions.Modelsarede
signedtoattainspecificgoals.Whenateacheridentifiesagoal,selectsaparticularstra
tegydesignedtoattainthatgoal.
AccordingtoJoyceandWeil(1996),themodelsofteachinghavebeengroupedinto
four families that share orientations toward human beings and how they learn. They
emphasisedifferentgoalsoflearningandtypesofsocialinteraction.Thesearethesocial
family, the informationprocessing family, the personal family, and the behavioural
systems family along with the teaching method concept of Joyce, Calhoun & Hopkins
(2002).
Thesocialfamilyofmodels:theseteachingmodelsareconstructedtotakeadvantage
of this phenomenon by building learning communities. Classroom management is a
mainfactorindevelopingcooperativerelationshipsintheclassroom.Theexamplemet
hodsaresocialinquiry,laboratorymethod,roleplaying,andgroupinvestigation,etc.
The information processing family of models: these models emphasise the way of
enhancing human beings’ innate drive to make sense of the world by acquiring and
organising data, generating solutions and developing concepts. Some models focus on
providingthelearnertheinformation,whereassomeemphasiseconceptformationand
107
some generate creative thinking such as scientific inquiry, concept attainment, inquiry
training,etc.
The personal family of models: these aspects focus on the unique character of each
personandthestruggletodevelopasanintegrated,confidentandcompetentpersonali
ty. Human beings are able to develop and achieve a sense of selfworth and personal
harmonye.g.nondirectiveteaching,selfactualisation,etc.
The behavioural systems family of models: These models emphasise modifying the
behaviour of human beings in order to respond to information about how successfully
tasksarenavigatede.g.sociallearning,simulation,directteaching.
Theoverallpicturesoftheteachingmodelwhicharementionedabovemakeupthe
outlineofthisstudyintermsofhowtheteacherteachesthestudentsintheclassroomby
analysingtheclassroomphenomenonwiththeconceptofteachingmodels.Whencollec
tingdataaboutteachers’teachingthisoutlinehelpstoeasilyconcludeandgroupalldata.
The last aspect of general pedagogical knowledge is classroom communication. In
this research the principle of the classroom communicative approach by Mortimer and
Scott(2003)isemployed.Therearetwomajordimensionsofclassroomcommunication
e.g.dialogicandauthoritativedimensionandinteractivenoninteractivedimension.The
dimension of dialogue demonstrates the using of words when the teacher teaches and
answers questions for students in the classroom. The dimension of interaction
emphasisesinteractionbetweenteacherandstudentsthroughusingwords,discoursing,
explaining,andaskingduringteachingtime.Moreover,interactionalsofocusesoninter
action between students through small group work activities, discussions inlaboratory
work, and group project presentations. In combining the two dimensions, there are 4
classesofcommunicativeapproachasthefigurebelowillustrates.
DIALOGIC
INTERACTIVE
NON-INTERACTIVE
A. Interactive dialogic
B. Non-interactive dialogic
C. Interactive authoritative
D. Non-interactive authoritative
AUTHORITATIVE
A.Interactive/dialogiccommunicativeapproach:theteacherandstudentscooperate
together in teaching and learning by exploring the ideas, generating new meanings,
workingandlisteningtothedifferentviewpoints.
B.Noninteractive/dialogiccommunicativeapproach:theteacheristhemaincharac
ter in the classroom. The teacher considers the various points of view, setting out, and
workingwithdifferentperspectives.
108
C. Interactive/authoritative: the teacher takes students through a sequence of ques
tionsandanswerswiththeaimofreachingonespecificpointofview.
D.Noninteractive/authoritative:theteacherpresentsonespecificpointofviewwit
houtstudents’interaction.
All of these characteristics of the communicative approach are the framework by
whichtohandleresearchdataeasilywhenanalysingit.
1.4Theoreticalframework
The explanation of the diagram (Figure 1) above is the main theoretical framework for
my doctoral dissertation. The harmony of two theories shows the important role of a
teacherintheclassroomteaching.Forthepurposesofthisresearch,theorybasedonthe
conceptofpedagogicalcontentknowledge(PCK)byShulman(1987)andgeneralpeda
gogicalknowledge(GPK)byMorineDeshimerandKent(1999)isused.
Students’
Learning
Subject
Knowledge
matter
about how
Knowledge
students learn
Interaction
Teacher
Class
Classroom
Teachingroom
mana= Pedagogical ReamethodcomGPK
t
soning
= Supporting stu
dents’ learning
Figure1:Theoreticalframeworkshowsthetwoconceptsofteachers’knowledge(PCK&GPK)
Accordingtothediagram,ateacherhassubjectmatterknowledge(contentknowled
ge)andknowledgeofpedagogyforteachingintheclassroom.Shulman’sPCKconcept
introduced how a teacher conducts subject matter knowledge and knowledge of peda
gogy by interacting with an understanding of how particular topics are taught to the
diverseinterestsandabilitiesoflearners.Inthisdiagram,theresearcherdefinedtheterm
ofknowledgeabouthowstudentslearnsubjectmatterinsteadoftheinstructionalmodel
owingtothepedagogy,whichisoneofthesubcategoriesintheconceptofGPKcovers
the aspect of instructional model totally. Therefore, two kinds of knowledge interact
109
togetherandsupportthestudents’learninginthedirectway.Fromthepointofviewof
a teacher the question is as follows: how does a teacher transform his or her personal
understandingsofsubjectmatterknowledgeintoformsthatareunderstandabletostu
dents?Thisthinkingiscalled“Pedagogicalreasoning”.Inclassroomsituations,theteacher
isnotalwaysabletouseonlyPCKas(s)hehastohandleunexpectedproblems;therefore,
generalpedagogicalknowledge(GPK)supportstheteacherintheclassroomthroughe.g.
classroomcommunicationandconductmanagement(underclassroommanagement).
Inaddition,thispaperfocusedontheGPKphaseonlyasshownbytheshadedpictu
res in the diagram, with science teachers expressing their thinking about GPK during
theirownscienceteachingthroughtheinterviewmethod.
1.5Researchesongeneralpedagogicalknowledge
TheGPKconceptofMorineDeshimerandKent(1999)isdividedintothreemainfeatu
res: classroom management, teaching method, and classroom communication. Even
thoughthereisnoresearchonGPKasawhole,therehasbeenresearchperformedonthe
individualfeaturesofGPK.
Baker,Lang,andLawson(2002)investigatedteachersencounteringclassroommana
gementproblemsininquiryteaching.Theydescribesomeoftheseproblemsandsuggest
somewaysforavoidingthemorreducingtheirseverity.Itisextremelyimportantthata
teacher develops techniques that allow the effective implementation of inquirybased
activities. Theconclusion part of this research indicates that the inquiryclassroom pre
sentstheexperiencedteacherwithauniquechallengethatoftenrequiresthemtomodify
activities to meet individualstudent needs. Handsoninquiry activitieshave proven to
effectively assist students in understanding content and acquiring process skills. Class
roomsaremoresuccessfulwhenteachersareabletodifferentiateinstruction.
SoutherlandandGessNewsome(1999)detailedpreserviceteachers’understandings
of teaching, learning, and knowledge and described how these pedagogical understan
dingsinfluencedtheirapproachtoinclusivescienceteaching.Theyprovidedtheimpli
cation for science teacher education focusing on firstly, a fixed and defined body of
scientific knowledge accessible to all students in classrooms within the confines of the
students’ fixed abilities. Secondly, preservice science teachers must become aware of
theirownracialandculturalrootsinordertobepreparedtounderstandtheculturesof
thestudentsintheirclassrooms.Lastly,theimageoflearnerswithfixedabilitiesmaybe
bestaddressedthroughmakingexplicitthisimagewhenitemergesinclassdiscussions
andclasswork.Furthermore,Tosun(2000)examinedthebeliefsofpreserviceelementa
ry teachers toward science and science teaching by examining prior experiences in
science courses, as well as achievement in such courses. The conclusion suggested that
teachers’teachingwillbeeffectiveandmoremeaningfulwhentheybelievethemselves
in selfefficacy and also are able to use a variety of instructional strategies, including
teamteachinganddifferentiatedinstruction.
Kamen (1996) studied the implementation of authentic assessment strategies in one
female elementary school teacher’s science classes with a phenomenological approach.
Thefindingsfoundthatwhenworkingwithteachersitisimportantforstudentstohelp
themfindauthenticwaystoshareandexpandtheirviewsoflearningandteaching,just
110
asteachersmustfindauthenticwaystohelpchildrenexpandandsharewhattheyknow.
Thiswasapowerfulforceinthesechildren’sdevelopmentassciencestudents.
SheandFisher(2002)investigatedtheassessmentofstudentsandteacherspercep
tions of science teachers interpersonal communication behaviours in their classroom
learning environments in Taiwan by employing The Teacher Communication Behavior
Questionnaire(TCBQ).Theresultsindicatedthatgirlsperceivedtheirteachersasmore
understandingandfriendlythandidboys,andteachersinbiologicalscienceclassrooms
exhibited more favourable behaviour toward their students than did those in physical
science classrooms. Positive relationships were found between students perceptions of
their teachers communication behaviours and their attitudes toward science. Students
cognitive achievement scores were higher when students perceived their teacher as
usingmorechallengingquestions,asgivingmorenonverbalsupport,andasbeingmore
understandingandfriendly.
AlthoughitisratherdifficulttofindresearchintheareaofGPKtheresearchesde
monstratedaboveprovideafewstudiesundertheGPKcategories.Thisisduetothefact
thatGPKisoneoftheteacherknowledgedomainsreferringtohowtheteacherconducts
allthefactorsintheclassroomthataffectstudents’learninginclusively.Therefore,every
factorintheclassroomisorganisedformeaningfulteachinge.g.time,learningmaterials,
classroomequipments,classroomenvironment,teachingmethod,etc.Theteacherneeds
torealiseallthoseeffectivefactorsandseekanappropriatewaytoutilisethemvaluably
forteachingandlearning.Moreover,ingeneral,theteacherhim/herselfhasGPKintuiti
vely, at least, when s(he) teaches in the classroom. Simultaneously, either GPK or PCK
canbeusedduringtheteachingbytheteacher.AnoutstandingcharacteristicofGPKis
thenonspecifictimewhentheteachermayutiliseit.Itcanbeusedallthetimesolong
astheteacherstillhasateachingroleandspendstimeattheschool.
Asaforementioned,thepurposeofthisresearchistoinvestigatescienceteachers’ge
neralpedagogicalknowledge(GPK)overaperiodoftheircurrentteachinginthescience
classroom at the elementary grade in Thailand. The research question that guided my
inquiryisasfollows:
How do science teachers express their viewpoints about the three main aspects of
GPKintermsofteachingmethod,classroommanagement,andclassroomcommuni
cationintheircurrentscienceteaching?
2 RESEARCH METHODOLOGY
In order to answer the research question, the participants in this study were two Thai
scienceteachersofgrades5and6inBangkok.Theywereinterviewedandrecordedby
taperecorder.Beforeperformingtheinterviewtheresearcherbroughtapermissionletter
frommysupervisortotheprincipalaskingtobeallowedtointerviewthetwoteachers.
Thenthetwointerviewedteachersspecifiedthetimefordoingtheinterview.According
toqualitativeresearch,theresearcherutilisedasemistructuredinterview.Theinterview
was an openended question asking about personal information and GPK in science
teaching(seeAppendixA).
111
The interview results were analysed using the content analysis technique. Content
analysisisamethodologyinthesocialscienceforstudyingthecontentofcommunicati
on. This technique is always used in qualitative research to reduce and analyse large
amounts of textual information e.g. written text, interviews, speech, etc. According to
Smith & Taffler (2000); Weber (1990) cited that content analysis refers to a method of
transformingthesymboliccontentofadocument,suchaswords,orotherimages,froma
qualitative,unsystematicformintoaquantitative,systematicform.Inthisstudy,Iana
lysed the extracts of the science teachers’ interview following the concept of Smith &
Taffler(2000);Weber(1990).Although,inthispaper,theresultsoftheanalysiscannotbe
transformed into a quantitative form (systematic form) owing to the small number of
participants,theoriginalextractscanbereducedandorganisedintocategoriesandsub
categoriessystematically.
Table1:Themeaningsoftheabbreviationsintheresultstable
Main Categories
Sub-categories
Teacher
T1 = Teacher no 1.
Sub of sub-categories
T2 = Teacher no 2.
General pedagogical
Cl.M. = Classroom
Cont.M. = Content management
knowledge (GPK)
management
- Curr = Curriculum
- Val = Value
- Sci.Ski = Science Skills
- Sci.Con = Science content
- TP. = Teaching preparation
- LM. = Learning materials
- Asse = Assessment
Cond.M. = Conduct management
Cov.M. = Covenant management
Rel = Relationship
Cl.Com. = Classroom
In.Di. = Interactive dialogic
communication
Non-in.Di.= Non-interactive dialogic
In.Au. = Interactive authoritative
Non-in.Au. = Non-interactive authoritative
TM. = Teaching
So.M. = Social family models
method
In.M. = Information processing family models
Per.M. = Personal family models
Be.M. = Behavioural system family
models
Extractsfromtheteachers’interviewwerecategorisedintothreemaincategoriesof
GPK theory (see the theoretical framework) by MorineDeshimer and Kent (1999). Ac
cording to the theory of GPK, there are still plenty of subcategories under either the
main category or subcategory. Therefore, the extracts which are grouped into main
112
categorieswillbespecifiedbyanabbreviationinbracketsalongwiththeGPKconceptin
the theoreticalframework part. The abbreviations are demonstratedin the table results
reflectingtheteachers’GPKconcept.
3 RESULTS
Thepreliminarystudyincludedtheinterviewoftwoscienceteachersteachingscienceto
grades5and6inThailand.Theaimofthepreliminaryinterviewwastoguidethemto
analyse their ideas toward the concept of GPK from their science teaching viewpoints.
Theteacherinterviewprotocolconsistedoftwopartsi.e.personalinformationandGPK.
Theresultsofthepersonalinformationpartweredescribedbynarrationasfollows:The
first interviewed teacher is female and has 6yearsexperience in science teaching to
grade5.Sheusedtobeaviceheadofasciencesubjectgroup.Herhighesteducationisa
master’sdegreeineducation.Thesecondteacherisafemaleteacherwhohas12years
experienceinscienceteachingtograde6.Sheusedtoworkinanadministrationdivision.
She used to be a head of asciencesubject group. Her highest education is a bachelor’s
degreeingeneralscienceeducation.
ThefindingsoftheGPKpartwereanalysedbycontentanalysistechniquebasedon
theGPKtheoryshowninTable2.Theitalicfontsinthereducedoriginalextractscolumn
meankeywordswhichspecifythetypeofcategories;forexample,studentsshouldlearn
sciencewiththeirfondindicatingthevalueofscienceinthecontentmanagementaspect
undertheclassroommanagementconcept.
Accordingtotheresultsthetwoscienceteachersexpressedtheirattitudesinasimilar
way toward the GPK concept through their teaching experience. Even though one of
them has more teaching experience than the other, theydefinitely responded to thein
terviewquestionsinthesameway.Forexample,bothofthemprovidedtheiropinions
relating to the science curriculum by saying that the content in the lessons was rather
difficult for the students. The students can study science better if they study with the
affection. The participants reflected on their teaching by saying that they had always
instructedthestudentsbydoingactivitiesingroupwork,givingthemexperimentstodo
inthelaboratory(themainteachingmethodinscience),questioningthestudentsduring
class, and asking them to search and inquire about the given topics. In addition, the
studentsareabletoconstructknowledgethemselvesvialearningbyhandsonactivities
and making their own projects. Therefore, the interviewed teachers’ ideas in terms of
teachingmethodcanbeseentoberelatedtospecificteachingmodels;namelythesocial
family of models and the information processing family of models. It can be seen that
these two teaching models have been utilised in the classroom after reflecting on the
information given in the teachers’ interview. Some keywords of teachingmodel theory
were shown in the extracts and represent the way they teach science e.g. group work,
inquiry,laboratory,scientificinquiry,makingproject.Theothertwomodelsofteaching,the
personalfamilymodelandthebehaviouralsystemsfamilymodel,werenotmentioned
intheinterview.
113
Table2:Examplesofthecontentanalysisoftheextracts
GPK Categories
Teacher
T1
Reduced original extracts
-Content in science is difficult.
Main cate-
Sub-
gories
categories
Cl.M.
Cont.M./Cur
-Lessons in the curriculum are skipped.
Cont.M./
-Students should learn science with their fond.
Sci. Con
-Students know how to set questions; but not
Cont.M ./Val
100% of students as students vary. About
Cont.M./
experimental ability, it’s OK. Most are able to
Sci.Ski
achieve the standard.
-I do not teach but I give them advice, sug-
TM.
gestions, and construct the knowledge toget-
Cl.Com.
So.M. & In.M.
In.Di.
her, let them do activities. I help them to get
the right concept by inducing.
-When the students study well and are obe-
Cl.M.
Cond.M.
Cl.M.
Cont.M./Asse
Cl.M.
Cont.M./LM
Cl.M.
Cont.M./TP
Cl.M.
Cov.M./Rel
Cl.Com.
In.Di.
dient I will give them admiration, a small
reward, and a behavioural score.
T2
-Besides paper tests I assess the students by
authentic assessment. I will note on the recording paper about how today’s students are
and what flaws there were in teaching.
-The textbook is the main thing which the
teacher cannot overlook. I add PowerPoint,
use the overhead projector and internet to
teach students as well.
-My knowledge is vital for teaching. It has to
be clear, distinct, and precise.
-Students are able to talk to me. Outside of
the classroom they always greet me and I
make myself approachable.
-Another ways to communicate to students is
through touch. Students like this way of communication. They like it when the teacher asks
them for help.
Interestingly,theinterplayofteachingmethodandclassroomcommunicationleaned
inthesamedirection.Theinterviewedteachershavealwaysinstructedthestudentsby
performingactivitiesandexperiments;hencetheinteractionbetweentheteacherandthe
studentswasbasedontwowaycommunicationorwhatcanbecalledinteractivedialo
giccommunication.Asthestudentsneedsomesuggestionsfromtheteacherwhendoing
certain activities, dialogues and reactions between the teacher and the students also
emerge simultaneously during teaching and learning. The teachers interacted with the
114
studentsdirectlyandviceversa.Theotherthreecommunicationapproachesthatfollow
theconceptofMortimerandScott(2003)werenotbeenusedintheclassroom.
Furthermore, especially the interviewed teachers expressed similar ideas relating to
teaching preparation in that they consider having properly prepared knowledge and
learningmaterialsasbeingveryimportanttothem.Bothofthemhaveemployedava
rietyoftechniquestoassessthestudents;notonlythroughpapertests,butalsobyusing
authentic assessment, students’ ability assessment and work assessment. With regard
learning materials, they have usually used lab equipment, textbooks, PowerPoint, an
overheadprojector,instantprogramme,andtheinternet.Byfocusingontherelationship
betweentheteacherandthestudents,itremainsatasatisfactorylevel.Theteachershave
providedthestudentsopportunitytoconsultthemincaseofprivateproblemsorstudy
problemsbothinsideandoutsideoftheclassroom.
4 DISCUSSION
The GPK theory led many teachers and educators to recognise the importance of
teachingandlearninginschool.TheGPKofateacheristhemostimportantfactorwith
regardtomakingtheclassroommeaningful.Thestudentswilllearnbetterifeveryele
ment of teaching—teacher, students, teacher knowledge, classroom environment, relationship,
learning materials, etc. is organised completely. The preliminary teacher interview re
vealed that most of the two participants’ viewpoints are similar in many issues with
regard to GPK. This includes, for example, the following: science curriculum, teaching
methods,learningmaterials,problemssolvinginclassroom,cooperationwithstudents
andcommunicativesocialinteraction.However,therewasonedifferenceconcerningthe
ease and difficulty of the science content. Furthermore, the background of the two
teachersisverysimilarandhencetheresultsaresimilar.Onethingtonoticeaboutthe
teachers’opinionsonthesciencecurriculumistheirlevelofeducationandage.Onthe
one hand, one of the teachers is older than the other; in this case the older has more
teaching experience than the younger so she should handle some classroom situations
betterduetofamiliarity.Ontheotherhand,theyoungerteachergraduatedwithamas
ter’sdegreeandisuptodatewithcurrenteventsandmethodsintheperiodofeduca
tionalreformation.Hence,shewillhaveotherperspectivesonsciencesubjectsandcurri
culum due to her postgraduate study. Moreover, the results suggest that with regard
some issues the teachers were unable to give indepth information. For example, they
did not know much about the curriculum because they do not participate in its deve
lopment.Theyareonlyrepresentativeofthosewhoutilisethiscurriculumandcanonly
provide information about how the curriculum is workable or unworkable. From this
pointofview,itisimportanttoreflectonthedevelopmentofthesciencecurriculumin
Thailand.Althoughtheteachersaretheusersofthecurriculumintheschoolingprocess,
theyarestillunabletomakethemselvesheardinitsdevelopmentprocess.
However,themostinterestingpointfromtheresultsregardsclassroomcommunica
tionandteachingmethod.Astheextractsoftheinterviewedteachersshow,theyreplied
inasimilarwaytoquestionsconcerningclassroomcommunication.Theinteractivedia
logiccommunicationapproach(asaclassroomcommunication),thesocialfamilyofmodels
115
andtheinformationprocessingfamilyofmodels(asateachingmethod)wereusedinthe
twoteachers’teaching.Fromthispointofview,itreflectstheteachers’indepthknow
ledgeofthesciencecurriculumandtheimportanceofthestudentcenteredclassroomin
thesciencecurriculum.Sincethestudentcenteredclassroomisthemostimportantcon
cept of the practical framework for a teacher in Thailand after the reformation of the
educationsystemin2002,teachingshouldallowstudentstolearnwithhappiness,const
ruct knowledge by themselves, and learn by doing under the teacher’s guidance. The
teacheroughttobuildtheclassroomsoitislivelyformotivatingthestudents.
Inadditiontherelationshipbetweenstudentsintheclassroomwillremainatahigh
levelafterthestudentshavebeentaughtbythesocialfamilyofmodelsandtheinforma
tionprocessingfamilyofmodels.Theyareabletoexpresstheirideasanddiscusswith
friends in groups. Reasonable discussions and talks can occur under the guidance of
classroom teaching; therefore, this complete communication cycle is a useful tool not
onlyforengagingthestudentsinactivelearning,butalsoforenhancingtherelationship
betweentheteacherandstudentswithintheclassroom.TheresearchofDufresne,Gerace,
Leonard, Mestre and Wenk (1996) described experiences teaching physics with a class
roomcommunicationsystemcalledClasstalk.TheconclusionindicatedthatusingClass
talk greatly enhances communication among students and between students and the
teacher by increasing active engagement during class and affecting both learning and
instruction. Studentteacher interactions will be improved, for example, if teachers can
meetabroaderrangeofstudentneeds.
This research focuses on general pedagogical knowledgeunder the three maincha
racteristicsofclassroommanagement,teachingmethod,andclassroomcommunication.
The GPK, even though it always happensin thesmall community of theclassroom for
bothteachersandstudents,canbeechoedthroughthequalityoftheteacherintermsof
bothteachingandthequalityofthecurriculumasawhole.Forinstance,theteacheris
thepersonwholeadsthestudentstoreachthegoalsofthecurriculumands(he)hasto
managemanydifferentfactors.Thesefactorsincludeconcretefactors(textbooks,learning
materials,etc.)andabstractfactors(teachingmethod,atmosphere,communication,relationship,
assessment) which help make learning meaningful for the students. On the whole, the
aforementioned factors are obtrusive with regard to the teacher’s role. The teacher
should know how to build a good atmosphere, how to build a congenial relationship
with students, how to teach students well (and in what way), and how best to assess
students’learning.Thetotaloftheseminordetailsofeachfactorcanbeshapedgradually
into the general pedagogical knowledge of the teacher. The highest quality of teaching
will appear when the students study withhappiness and curiosity. Onthe other hand,
theteacherimproveslittlebylittlehis/herteachingbylearningfromthestudentsinthe
everyday classroom context. As MorineDeshimer and Kent (1999) suggested, students
learnmorewhenteachersusetimeefficiently,implementgroupandinstructionalstrate
gies with high levels of involvement, communicate rules and expectations clearly, and
prevent problems by introducing a management system at the beginning of the school
year.
Thecurriculumwillbemoreeffectivetoboththelearnersandtheinstructorsifthe
development of it includes the opinions of teachers. For example, in this study, the
116
teachers reflect their viewpoints through the curriculum in a negative way. Therefore,
thedevelopersofthecurriculumshouldtakethisimportantpointintoaccountbecause
theteachersunderstandexactlywhatthestrengthsandweaknessesofthecurriculumare
throughtheirteachingexperience.Accordingtothisview,itisnotonlybeneficialtothe
teachersbutalsototeachereducation,principals,teachers,educators,professors,parents,
guardians, educational policy makers and educational curriculum makers. They all
should cooperate with one another in developing and finding the commitment to en
couragestudents’learninginschoolandeducationasawhole.
The approach outlined in this study should be investigated in other educational
fieldsbyemployingothermethodologiestofindouttheGPK.Notonlyshouldstudybe
performedinthisteacherknowledgedomainbutshouldalsobeappliedtootherstudy
based on GPK such as pedagogical content knowledge, teacher professional develop
ment,preservicesteachereducation,developmentofteachingandlearninginclassroom,
etc.
5 CONCLUSION
AtpresenttheresultsofthepreliminaryinterviewfromThailandaretheprimarydata
whichwillhelpimprovetheinterviewprotocolsforthenextinterviewstobeconducted
in Thailand. The next stepis tocollect data by the video stimulated recall techniquein
electriccircuitteaching.Theresultsfromthisstudyprovoketheresearchertorecognise
thenextstepofdatacollection;forexample,whichquestion(s)shouldbeadded,which
question(s)canprovidemoreindepthinformation,andwhichquestion(s)shouldnotbe
askedtotheteacher.
ThispaperinvestigatedtheareaofscienceteachingbyemphasisingtheGPKconcept
where the process of teaching different subjects involves three aspects of GPK. Due to
thefactthatintheteachingandlearningprocessintheclassroomitisnecessarytohave
aresponsebetweentheteacherandthestudents,especiallyinthestudentcenteredclass
room nowadays, the teachers role is to facilitate growth by utilising the interests and
uniqueneedsofstudentsasaguideformeaningfulinstruction.AccordingtoChin(2006)
who studied classroom interaction in science, communication and interaction is really
important to both teaching and learning. She mentioned that when students learn
scienceinaclassroomsetting,aprimarysourceofinformationinputcomesfromteacher
talk and teacher–student interactions, as the processes and transactions involved in the
constructionofmeaningsaremediatedthroughlanguage.Consequently,thesignificance
ofinteractionandcommunicationplaysanimportantroleinthestudentcenteredclass
roomatthepresenttime.
The GPK concept will encourage the teacher to manage all affected factors in the
classroomtidily.Thisisdonethroughmakingalessonplan,preparingthelearningma
terials,organisingtheclassroom,checkingthestudents’readiness,teachingandperfor
ming the activities and assessing the students. Overall, the actions of both the teacher
andthestudents,whichoccurintheclassroom,reflecttheGPKcorrelatively.
Theresearchcurrentlyavailableprovidesmanyinterestingpointsaboutgeneralpe
dagogicalknowledgethatcouldbeusefulfortheimprovementofscienceteachingand
117
scienceteachereducation.However,theteachingprocessisacomplicatedareaandthe
other facets of teacher knowledge must still be investigated constantly. My upcoming
research focuses on science teachers’ pedagogicalcontentknowledge (PCK) in order to
attainmoredetailontheschoolingprocess.Indoingso,itwillusethefundamentaldata
fromthisstudytoshapeitbetter.
6 REFERENCES
Appleton,K.,&Kindt,I.(2002).Beginningelementaryteachersdevelopmentasteachers
ofscience.JournalofScienceTeacherEducation,13(1),43–61.
Baker, P. W., Lang, M., & Lawson, E. A. (2002). Classroom management for successful
studentinquiry.ClearingHouse,75,249–252.
Bloom B. S. (1956). Taxonomy of educational objectives, Handbook I: The cognitive
domain.NewYork:DavidMcKayCoInc.
Bransford, J. D., Brown, A. L., & Cocking, R. R. (2000). How people learn: Brain, mind
experience,andschool.WashingtonDC:NationalAcademyPress.
Chin, C. (2006). Classroom interaction in science: Teacher questioning and feedback to
students’responses.InternationalJournalofScienceEducation,28(11),1315–1346.
Dufresne,R.J.,Gerace,J.W.,Leonard,J.W.,Mestre,P.J.,&Wenk,L.(1996).Classtalk:A
classroom communication system for active learning. Journal of Computing in
HigherEducation,7,3–47.
Elleuch, N., BellamineBensaoud. N., & Ben Ahmed. M. (2006). Designing educational
systems for use: Case study of Tunisian primary schools. Information and
Communication Technologies: From theory to applications (pp. 66–71). Jurong
East:InternationalConferenceonTelecomTechnologyandApplications.
Froyen, L. A., & Iverson, A. M. (1999). Schoolwide and classroom management: The
reflectiveeducatorleader(3rded.).UpperSaddleRiver,NJ:PrenticeHall.
GessNewsome,J.&Lederman,N.G.(1999).Examiningpedagogicalcontentknowledge.
(Eds.)Dordrecht:KluwerAcademicPublishers.
Ginns,I.S.&Watters,J.J.(1999).Beginningelementaryschoolteachersandtheeffective
teachingofscience.JournalofScienceTeacherEducation,10(4),287–313.
Goodnough, K. & Hung, W. (2009). Enhancing pedagogical content knowledge in
elementaryscience.TeachingEducation,20(3),229–242.
Hennessy, J. Wishart, D. Whitelock, R. Deaney, R. Brawn, & L. la Velle et al. (2007).
Pedagogical approaches for technologyintegrated science teaching, Computers
andEducation48(1),137–152.
Jones, A., & Moreland, J. (2004). Enhancing practicing primary school teachers’
pedagogical content knowledge in technology. International Journal of
TechnologyandDesignEducation,14,121–140.
Joyce, B. R., Calhoun, E. & Hopkins, D. (2002). Models of learning: Tools for teaching
(2nded.).Buckingham,UK:OpenUniversityPress.
Kamen,M.(1996).ATeacher’simplementationofauthenticassessmentinanelementary
scienceclassroom.JournalofResearchinScienceTeaching,33,859–877.
118
Loughran,J.,Mulhall,P.&Berry,A.(2008).Exploringpedagogicalcontentknowledgein
science teacher education. International Journal of Science Education, 30 (10),
1301–1320.
MorineDeshimer, G. & Kent, T. (1999). The complex nature and sources of teachers’
pedagogicalknowledge.InJ.GessNewsome&N.G.Lederman(Eds.),Examining
pedagogicalcontentknowledge.Dordrecht:KluwerAcademicPublishers.
Mortimer,E.F.&Scott,P.H.(2003).MeaningMakinginSecondaryScienceClassrooms.
UK:OpenUniversityPress.
Musikul,K.,(2007).ProfessionaldevelopmentforprimaryscienceteachinginThailand:
knowledge, orientations, and practices of professional developers and
professional development participants. Dissertation. Columbia: University of
Missouri.
Osborne, J. & Dillon. J., (2008). Science Education in Europe: Critical: Reflections.
London:KingsCollegeLondon.
She, HsiaoChing. & Fisher, D. (2002). Teacher communication behavior and its
associationwithstudentscognitiveandattitudinaloutcomesinscienceinTaiwan.
JournalofResearchinScienceTeaching,39,63–78.
Smith, M. & Taffler, R.J. (2000). “The chairmans statement: A content analysis of
discretionary narrative disclosures”, Accounting, Auditing and Accountability
Journal,13(5),624–647.
Southerland, A. S. & GessNewsome, J. (1999). Preservice teachers’ views of inclusive
science teaching as shaped by images of teaching, learning, and knowledge.
ScienceEducation,83,131–150.
Tobin, K., Briscoe, C., & Holman, J. R. (1990). Overcoming constraints to effective
elementaryscienceteaching.ScienceEducation,74,409–420.
Tosun, T. (2000). The beliefs of preservice elementary teachers toward science and
scienceteaching.SchoolScienceandMathematics,100,374–379.
Weber,R.(1990).Basiccontentanalysis(2nded.).NewburyPark,CA:Sage.
ZembalSaul, C., Krajcik, J., & Blumenfeld, P. (2002). Elementary student teachers
science content representation. Journal of ResearchinScience Teaching, 39, 443–
463.
Appendix A
TeacherInterviewProtocol
Iappreciateyourlettingmeobserveyourclass.IhavesomequestionsI’dliketoaskyou
relatedtotheclassroomlessonandinadditionsomegeneralquestions.Wouldyoumind
if I taped the interview? It will help me stay focused on our conversation and it will
ensureIhaveanaccuraterecordofwhatwediscussed.
A.PersonalInformation
1.CanIhaveyournameandyourage?
119
2.Howlonghaveyoutaughtinthisschool?
3.Whatisyourresponsibleworksbesideateachingrole?
4. Have you ever participated in inservice training, workshop and symposium about
sciencesubject?Whatwasthetopic?
5.Inyourviewpointwhatshouldteachersorrelatingpersondoaboutsciencelearning
inthefuture?
B.GeneralPedagogicalKnowledge
Classroommanagement
Pleasedescribethebriefprocedurehowyoupreparetoteachforeachlesson.
Please describe how do you manage the time, learning materials, equipment, lessons,
andarrangethestudents.
I know that discipline problems of students always happen in the classroom along the
teachingprocess,haveyouevermetthatsituationinyourteaching?
(Ifapplicable,ask)Couldyoudescribeaboutyourmanagingthisproblemintermof
theseissues?
Settingoftheprincipleinclassroom
Classroomroutinesforstudents(theirroleinclass)
Environmentinclassroom(arrangingthedesksandchairs,cautionsignabout
disciplinary)
In your opinion what is the effective way to support students’ discipline consistently?
Canyouexplainmoreaboutyourthought?
(Ifapplicable,ask)Inyourviewpointdisciplineandstudents’behaviorwillinfluenceon
teachingandlearning?Wouldyoupleasesaymoreyourthought?
Howdoyousupportinterpersonalrelationshipsamongstudents,pleasegivemorede
tail?
Whenstudentshaveaproblemaboutfriends,howyoumanageitandstudentsalways
tellyoutheproblem(notonlystudybutalsootherproblems)?
Instructionalmanagement
Whatareyourprioritiesinpreparationtoteach?
Whataboutyourteachingstyleconstructtheknowledgebythemselvesortellthem
directly?
Wouldyoumindifexplainingyourteachingsteps?
Howdoyouexplainthemajorconceptofscientifictermsineverylessontostudents?
Classroomcommunication
Whatistheeffectivewayforcommunicationintheclassroominyouropinion?
How can you enhance the students’ communication in class not only teacher but also
classmate?
Whatdoyoudoforfacilitatingteacherstudentinteraction?
120
Uppersecondaryschoolteachers’beliefsabout
experimentsinteachingNewtonianmechanics:
Qualitativeanalysisoftheeffectsofalongterm
inservicetrainingprogram
JohannaJauhiainen,JariLavonen,andIsmoT.Koponen
ABSTRACT
One goal of an intensive long term, inservice training program for physics teachers,
organized between the years 1998–1999, was to promote physics teachers’ pedagogical
content knowledge. The present study explores the effect of the training program on
teachers’ beliefs about experiments in teaching Newtonian mechanics and especially
regarding the role of them in the concept formation process. The convenient sample
consisted of seven teachers who had taken part in the training program. The teachers
wereinterviewedinordertoinvestigatetheirbeliefsandtheinterviewswereanalyzed
according to qualitative content analysis. The information obtained from the teacher
interviewswassupportedbystudentsurveyaboutteachingmethods.Theresultsshow,
that after the inservice training program some of the teachers hold the belief that ex
periments have an important role in teaching Newtonian mechanics. These teachers
systematicallyuseexperimentsinordertosupporttheconstructionofmeaningstocon
cepts,whichwassupportedinthetrainingprogram.However,therewereteacherswho
mostlyholdtheirpreviousbeliefsconcerningtheuseofexperimentsandwerenotcon
vincedabouttheusefulnessofexperimentsintheroleofsupportingthestudents’con
ceptformationprocess.Theseteachersfocusedmoreonthemathematicalskillsinlearn
ingofphysics.
Keywords:teacherbeliefs,experiments,Newtonianmechanics,inservicetraining
1 INTRODUCTION
Anintensivelongterm,40ECTS(EuropeanCreditTransferSystem)credits,professional
development project Inservice Training for Physics Teachers (ITPT), was organized in
Finlandbetweentheyears1998–1999,inordertopromotephysicsteachers’pedagogical
content knowledge. The role of practical work was addressed and discussed from the
121
concept formation point of view in the program. Especially, it was analysed how ex
perimentscouldsupportthedevelopmentofmeaningstoconceptsindifferentdomains
ofPhysics.Inthisstudy,weareinterestedinteachers’beliefsafterthetrainingandespe
ciallyconcerningtheroleofexperimentsinteachingNewtonianmechanicsandparticu
larlyregardingtheroleofexperimentsintheconceptformationprocess.Consequently,
thisstudydealswiththeevaluationoftheinservicetraining.
Teachers’beliefsaboutscienceandteachingofsciencehavegainedincreasingimpor
tanceinscienceeducationresearch.Itisarguedthatteachers’beliefsinfluenceteachers’
actions in the classroom, how the teachers plan and organize their lessons, and they
indicatewhyteachersmakecertaineducationaldecisions(e.g.,Haneyetal.,1996;Veal,
2004).
Severalstudieshavenotedtheimportanceofexperimentsforstudentsindiscovering
the limitations and inadequacies of their conceptions, and thus producing conceptual
change(e.g.,Kalmanetal.,1999;Macbeth,2000;Wellington,1998).Inaddition,itisar
gued that experimental working methods in physics education enhance better under
standingoftheempiricalnatureofnaturalsciences,anddevelopdifferentworkingand
processskills(e.g.,Hodson,1996;Millaretal.,1999).Moreover,students’attitudesand
motivations to study science will become more positive (Gott & Duggan, 1996). The
importanceofpracticalworkisalsosupportedbythecontextualityoflearning(Wilkin
son,1999),andbythepossibilitiestostrengthentheroleofsocialinteractionasacatalyst
forlearning(Ford,1999).
Opposite views have also been presented. For example, Watson et al. (1995) found
outthatadditionaltimedevotedonpracticalworkhadlittleimpactonstudents’under
standing.Hodson(1990)alsohastakenacriticallookatpracticalworkinschoolscience,
andattheoftenextravagantclaimsmadeforit.Achievingunderstandinganddifferent
skillsorproficiencyinlaboratory,oftenprovestobedifficultforstudents.Ontheother
hand,themeagreresultshavebeensuspectedtobeduetothewaytheexperimentshave
been designed and conducted. Especially, the cognitive demand of the experiments
tendstobelow,andteachersusethemmainlyjustasawaytoconfirmwhathasalready
beentaughtandlearned(Lazarowitz&Tamir,1994).
Inthepresentstudy,experimentsarereferringtostudents’practicalworkordemon
strations conducted by the physics teacher. An experiment is performed in a physics
classroom in order to support discussion (social interaction) and to help studentslearn
conceptsofphysics,skillsneededintheexperimentsandunderstandthenatureofsci
ence. The learning process created through an experiment includes planning of experi
ments,observingphenomena,measuringanddrawingofconclusions,etc.
Therearedifferentkindsofviewsabouttheroleofexperimentsinteachingphysics.
IntheinservicetrainingprogramITPT,discussedinthisstudy,theroleofexperiments
focusedoncreatingmeaningstoconcepts.Theimportanceofthestudent’sperceptionof
empiricalmeaningsasthestartingpointforlearningwasaddressed.Itwasarguedthat
perceptionplaysafundamentalroleinalllearningandthatthemeaningsmustfirstbe
perceivedbeforetheycanbeconceptualised.Itwasalsopointedoutthatmeaningsare
foremost empirical. These ideas guide a physics teaching strategy called perceptional
approach.TheapproachwasdevelopedattheDepartmentofPhysicsattheUniversityof
122
HelsinkiandtheITPTwasdesignedaccordingtothisapproach.Theprinciplesandideas
behindtheperceptionalapproacharedescribedindetailbyKurkiSuonio(2010).Theupper
secondaryschooltextbookseriesGalilei,whichwaswrittenaccordingtotheprinciplesof
thisapproach,wasusedasstudymaterialintheprogram.
Inthetrainingprogram,theideasofperceptionalapproacharediscussedinfourclosely
connected full semester Open and Distance Learning (ODL) courses. The courses were
named:‘PrinciplesofConceptFormation;‘ExperimentsinSchoolLaboratory’;‘TheConceptual
and Processual Structures of School Physics’ and ‘History of Physics’. The first of these
courses addressed the philosophical framework of perceptional approach, whereas the
second one served more for practical purposes by guiding the teachers to learn how
experiments can be used in order to promote students’ conceptual understanding of
physicalconcepts.Thecourseencouragedteacherstouseexperimentsforsupportingthe
developmentofmeaningstoscientificconceptsanddemonstratingthenatureofphysics
as an empirical science. In this course, teachers had to plan and implement 10 sets of
schoolphysicsexperimentsingroupsoftwoorthreeteachers.Thesetsofexperiments
concerneddifferentsubjectareasofschoolphysicsincluding,forinstance,thefollowing
sets of Newtonian mechanics: Interaction as a phenomena; How Newtonian laws could be
demonstrated?; How meaningsto different Forces could be given?; Rigid bodydynamics. (Jau
hiainenetal.,2002;Lavonenetal.,2004)
AquantitativeanalysisconcerningtheeffectsoftheITPTprojectonteachers’beliefs
abouttheroleofexperimentsinphysicseducationwasreportedbyLavonenetal.(2004).
Accordingtotheresultsofthestudyinvolving98teachersintheexperimentgroupand
53 teachers in the control group there was no difference in the amount of experiments
usedbetweenthegroups.Neithertherewasanystatisticallysignificantdifferenceinthe
answers between the groups concerning reasons for experiments. In both groups the
teachers stated that the main reason for performing experiments in school physics is
studentslearning concepts of physics. However, there are some evidences in the study
thattheprojecthadeffectonteachers’awarenessofthegoalsofexperimentsaswellas
consciousnessofhowexperimentscanhelpstudentsconstructmeaningstoconcepts.In
addition,thestudyrevealedthatafterthetrainingtheteachersconsideredtheirdemon
strationskillstobegood,whilethecontrolgroupthoughttheirskillsweresatisfactory.
Thusthetraininghadapositiveeffectontheteachers’confidenceofperformingexperi
ments. The present study was designed to supplement the results of the quantitative
analysis.
1.1Framework
Beliefs have been referred toindividuals’ personal knowledge which anindividual has
constructed based on his or hers experiences (Green, 1971; Kagan, 1990; Tobin et al.,
1994). Beliefs and knowledge are closely related, but often it is argued that beliefs are
more personal, unlike knowledge, which is considered to be based more on objective
facts (Richardson, 2003). Haney et al. (1996) have pointed out the resistance to change
beliefs.Teachers’educationalbeliefsinfluenceteachers’decisionsandthusaffecteduca
tionalpracticeandwhathappensintheclassroom(Pajares,1992).Consequently,teach
ers’beliefshavebecomeimportantinscienceeducationresearch.Ithasbeenargued,that
123
inordertoimproveteachereducation,wehavetounderstandteachers’knowledgeand
beliefstructures(Pajares,1992).
Feldman (2000) has considered science teaching by examining practical theories
teachers have developed based on experience. These theories are conceptual structures
and visions, and teachers use them when making decisions concerning the methods of
teaching.Inaddition,thepracticaltheoriesareshapedandchangedbyteachers’ownlife
experience,aswellasprofessionalexperience,andbyreflectionontheseboth.Feldman
(2000) has constructed a framework, the practical conceptual change model, for under
standinghowandwhyteacherschangetheirpracticaltheories.AccordingtoFeldman
teacherschangetheirpracticaltheories,iftheyarediscontentedwiththeirexistingprac
ticaltheoryandanewtheoryleadstobetterresultsaswellasprovidesnewunderstand
ing of practice situations. Feldman argues that like students enter the classroom with
conceptionsaboutphysicalphenomenatheyhaveconstructedbasedonexperience;also
everyteacherenterstheclassroomwithpracticaltheoriesbasedonexperienceasastu
dent, as a prospective teacher and as a teacher. And as it is very difficult to produce a
changeinstudents’conceptions,itisalsodifficulttochangeteachers’practicaltheories.
Inhisarticle,Feldmandoesnotdescribetherelationbetweenpracticaltheoriesandbe
liefs. However, for example Pajares (1992) and Fairbanks et al. (2010) have stated that
beliefs,personalpracticaltheoriesandknowledgeareallcloselyrelatedtoeachother.
Pedagogicalcontentknowledge(PCK)isatheoryoramodelofthenatureandchar
acteristicsofteachers’knowledge.AccordingtoGessNewsome(1999)PCKincludesall
knowledgeneededinordertobeaneffectiveteacher.PCKincludesknowledgeofset
tingteachinggoals,organisinglessonsintoacoherentcourse,designingandconducting
lessons.Itcomprisesknowledgeofrepresentationsofsubjectmatter(i.e.,knowledgeof
teachingparticulartopicsandinstructionalstrategies,howtointroduceparticulartopics
and relate them to what students already know) as well as understanding of common
learningdifficultiesandstudents’conceptions.
For the purpose of this research, teachers’ beliefs or teachers’ practical theories are
used as a framework and these are used both referring to the individual’s personal
knowledge.Inthisstudy,weareinterestedinteachers’beliefsaboutexperimentsinthe
role of supporting the concept formation process, after an intensive inservice training
program.
1.2Researchquestion
Thepresentstudyexplorestheeffectofthetrainingprogramonuppersecondaryphys
ics teachers’ beliefs about the use of experiments in teaching Newtonian mechanics.
Specifically, this research addresses the following question: What are the beliefs of the
teachersafterparticipatinginanextensiveinservicetrainingprogramregardingtheuse
of experiments (practical work and demonstrations) in teaching Newtonian mechanics
and particularly concerning the role of experiments in supporting students’ process of
constructingmeaningstoconcepts?
124
2 METHOD
Inthisstudyteachers’beliefsareexaminedusinginterviews.Theinformationobtained
fromtheinterviewsissupportedbyastudentsurveyconcerningtheteachingmethods
theteachersusedinteachingNewtonianmechanics.Accordinglyweobtaininformation
aboutteachers’beliefsthroughtheirstatementsaswellaswhattheydointheclassroom.
Theconvenientsampleconsistedofsevenuppersecondaryschoolphysicsteachers(six
malesandonefemale)whohadtakenpartinthetrainingprogram.Theteacherspartici
patedasvolunteersintheresearch.Informationabouttheresearchwasspreadthrough
anemaillistrelatedtothetrainingprogram.Becauseparticipationinthistypeofstudy
isvoluntary,theteacherswerenotselectedbyarandomsampling.Thus,theresultsto
be obtained here can only cautiously be generalised. The teachers were interviewed in
ordertoinvestigatetheirbeliefsandtheinterviewswereanalyzedaccordingtoqualita
tivecontentanalysis.Theinterviewstookplaceduringthesemester19992000.Typically
theinterviewslastedsomethirtyminutes.
Toensureconditionsofminimalguidingitwasdecidedtousesemistructuredinter
views. The interviewers did not have a questionnaire drawn up in advance, but four
researchers prepared a list of key issues that were raised in the interviews. Thus, the
interviews were informal and flexible. The interviewer tried to keep the atmosphere
relaxedandfriendly,andmaketherespondentfeelatease.Since,asCohenandManion
(1994) suggested, the purpose of the questions should not be obvious, the interviewer
tried to avoid direct questions of the role of experiments for instance, but by talking
general aspects of teaching mechanics, teachers’ practices, practical work, students etc.
getanswerstotheessentialquestionsofthepresentstudy.Itwashopedthatthistypeof
discussionpromotesmorereflectivity,andleadstheteacherstoexpresstheirbeliefs.
These points were taken into account in planning and conducting the interviews.
Thus, the interviewer did not have a questionnaire drawn up in advance, but four re
searchers prepared a list of key issues that were raised in the interviews. For instance,
thefollowingissueswereincludedinthelist:backgroundinformationabouttheschool
andtheteacher,themainthemesinthemechanicscourse,theintroductionofdifferent
quantitiesandlaws,typicallesson,materialsofinstruction(i.e.,equipmentforpractical
work, textbook, etc.). Because of schedule problems, two researchers conducted the in
terviewsbyturns.
Theinterviewswererecordedonaudiotapeandtranscribedaccordingtotheconven
tional procedures. That means that, only the literal statements were noted in the tran
scriptions. Because of the type of study, the nonverbal gestures and communication
were no taken into account. After transcribing the interviews, one researcher analyzed
theinterviews.Theresearcherreadthetranscriptedinterviewsseveraltimes.Firstly,the
data was categorised according to the purpose of this study, and on that grounds, the
answersassociatedwithissuesregardingroleofexperimentsweretobeexaminedmore
carefully. Secondly, reduced expressions were comprised after distinguishing the rele
vantissuesfromtheonesfocusingonsomethingelse,e.g.,fromcommentsonpractical
arrangementsoftheexperiments.Then,thesameresearchercodedandcategorizedthe
data.Theresearcherfocusedonsimilaritiesanddifferencesbetweenwaysinwhichthe
125
participants had responded. The categories which are the result of the analysis arose
fromthedata.Theprocessinvolvedcontinuedreadingsoftheinterviews,andtheanaly
siswentthroughseveralruns.
Sinceitwasnotpossibleintheframeworkofthisstudytoinvestigateifandhowthe
teachers actually use experiments in their instruction, the students were asked to list
teachingmethodstheyconsideredtobeusefulfortheirlearninginthemechanicscourse.
Forexample,ifstudentsoftenmentionedthatpracticalworkhadhelpedtheminlearn
ingphysics,itcanbeconcludedthattheteacherusedpracticalworkinteachingofme
chanics.However,ifthestudentsdidnotmentionpracticalwork,theteachereitherhas
not used it in his teaching or has used it so that the students have not considered it
meaningfulfortheirlearning.Thus,thestudentsurveygivesussomeadditionalinfor
mation about what the teachers actually did in the classroom during the mechanics
course.Theinformationobtainedfromthestudentsurveyisusedinordertosupportthe
teachers’statementsintheinterviews.
3 RESULTS
Basedontheanalysisoftheteacherinterviewsitwasfoundthatafteranintensivephys
icsteacherinservicetrainingprogramteachershaddifferentbeliefsaboutusingexperi
mentsinteachingNewtonianmechanics.Thesebeliefscanbesummarizedbytwomain
categories. In the first category, teachers do not consider experiments in an important
role in supporting the process of constructing meanings to concepts. They use experi
ments very little and the purpose of them is toverify physics laws. Three out ofseven
teachers are placed in this category. Inthesecond maincategory, experiments arecon
sidered to be in an important role in teaching Newtonian mechanics. The teachers use
both demonstrations as well as experiments done by students extensively in order to
supportstudentstocreateversatilemeaningstoconcepts.Fouroutofseventeachersare
placedinthiscategory.Thecategoriesaredescribedinmoredetailbelow.
3.1Category1:Experimentsdonothaveanimportantroleinsupportingthe
processofconstructingmeaningstoconceptsinteachingNewtonianmechan
ics
Inthefirstcategory,teachersdonotsystematicallyuseexperimentsinteachingNewto
nianmechanics.Theyusealotoflecturing,forexample,theywritethemainpointsand
explain problems on the black board. One teacher describes his teaching with the term
“chalkphysics”.Theteachersinthiscategoryaddressmathematicalandproblemsolving
skills in the learning of physics. They say that they like mathematics and consider it
important.Thefollowinginterviewexcerptsillustratethecategoryingeneral:
”Therehasbeennoexperimentalapproachtoconceptofforce.Itwasonlytalkbytheteacher.”
(TeacherB)
Interviewer:”Whatarethecentralthemesinthesecondcourse?”
TeacherE:”Welltherearemanythings,Iactuallydon’tknowwhatiscentral.Itinevitably
goestomathematicswithme.”
126
The teachers in this category often introduce quantities by defining them with
mathematicalrelationsandphysicallawsasaxioms,ascanbeseenfromthenextfrag
ments.
Interviewer:‘Whataboutmomentum,howdidyouintroducethequantity?’
TeacherD:‘Withadefinition…thattheproductofmassandvelocityismeantwithit.Itis
thewordwhatitmeansandthenIcalculatee.g.thelinearmomentumofBenJohnsonwhen
he’srunning.’
”SinceIamamathematician,IwillinglyintroducetheNewton’ssecondlawandtheconcept
offorceasaxioms.”(TeacherB)
However,theteachersinthiscategoryshowdemonstrationsandletsometimesstu
dentsdoexperiments. The demonstrations the teachers show are qualitative andshort.
TeacherBdescribeshisdemonstrationsinthefollowingway:
“Ofcoursetheremustalwaysbesomequalitativedemonstration,andineverylessonatleastI
breakachalkorhitwithorthrowapointer.”
Whenstudentsaredoingexperimentstheyaregivenprecisedescriptionsofwhatto
measureaswellasareadyforminwhichtofillinthemeasurementresults.
Theintervieweraskedtheteachersiftheyconsiderexperimentstohaveanimportant
roleinteachingNewtonianmechanics.Alltheteachersinthiscategorystatedthatthey
considerexperimentsimportantandtheyargueitwiththatstudentslikedoingexperi
ments. In addition, it was mentioned that students could notice that physics does not
onlyworkonpaper.
”Physicsisotherwiseonlyaplaywithabunchofformulas;youshouldbringitclosetothe
normalworldandeverydaylifeofthestudents.”(TeacherD)
Interviewer:”Howimportantdoyouthinkexperimentsareingeneral?”
Teacher D: “I consider it important and I wish I could have more time, don’t seem to have
enough.”
Interviewer:”Dothestudentsthenlearnmorethroughexperiments?”
TeacherD:“Well,Ican’tsay…Theytakemoretime.”
Despite the teachers statements that experiments are important we have reasons to
question whether the teachers also belief so. For example, the teachers gave various
reasonswhytheydonotuseexperimentsmore.Theyoftenblameforthelackoftime,as
canbeseeninthepreviousexcerpt.Thedurationsofcoursesareshort,andmanyteach
ersfeelthatinsidetheframeworkofthesecoursesinuppersecondaryschoolthereisnot
enoughtimefordoingexperiments.Accordingtotheinterviews,anotherreasonfornot
doingexperimentsistheadditionallaboratorycourse,whichmanyschoolshaveintheir
curriculumasanoptionalcourse,wherethestudentshavethepossibilitytodoexperi
mentsthemselves.Theteachersalsothoughtthatitisdifficulttofindgoodorimpressive
ideasfordemonstrationsorexperimentsinmechanics.Asisillustratedinthenexttwo
examples,someintervieweesreferredtolazinessoftheteacherwhengivingreasonsfor
notdoingexperiments.
127
Interviewer: ‘In this common course, have you done some experiments with pendulum, or
haveyoudeterminedthedensityofanobject?’
TeacherB:‘Nothing,wecalmlyjumpedoverthem.Iamlazy,andIguessthatIwillremainso.’
In addition, the responses show that these teachers have a quite pessimistic attitude
towards the students’ ability to conduct experiments as well as learn from them. They
claimthattheyarelazyindoingexperimentsandtheyarenotabletomakeanyobserva
tions if there are too many equipment on the table, for example an air track and MBL
(microcomputerbasedlaboratory)tools.Oneteacher,whohadexperiencesinusingMBL
tools,statedthat“Thetopicdisappearsbehindthecomputer.”Theothertwoteachersdidnot
haveanyMBLtoolsintheirschools.However,anotherteacheralsowasoftheopinion,
thatifexperimentsarecarriedoutthereistoomuchnoiseanddistractionthatitisdiffi
cultforthestudentstolearnanythingofthem.
When using experiments the teachers in this category use them in order to verify
laws and models which have earlier been introduced as definitions. The following ex
cerptsillustratethissubcategory.
“Idid,asfarasIcanrecall,theNewton’ssecondlaw.Iputaweightintheotherend,and
measuredthetimeinwhichitwentfromonephotogatetoanother,andweobservedhowwell
F=mawasworking.”(TeacherD)
”Wewouldliketoexaminedoesit(physicallaw)work.”(TeacherB)
Thisfragmentillustratesthattheteachersoftenviewtheoryandexperimentsasdis
tinctivepartsofphysics.Thisisalsosupportedbytheteachers’viewsthatexperiments
aresupposedtobedoneinaseparatelaboratorycourse.
Whenaskedabouttheinfluenceoftheinservicetrainingprogramontheirteaching,
theteacherstypicallydidnotknowwhattoanswer,ascanbeseeninthefollowingex
cerpt.
Interviewer:”Howhastheprograminfluencedyourteaching?”
TeacherE:“Whattosayaboutit?”
Interviewer:“Hasitstimulatedsomehoworchangedyourteachingsignificantlyandhow?”
TeacherE:“Wellithasstimulatedandbroughtexamples.”
“Thisapproach(experimentalapproachthatsupportsconceptformationprocess)hasalways
beenstrangetome.”(TeacherB)
Interviewer:”Doyounowregardthem(experiments)morepositive?”
TeacherE:“Alittlemorepositive,Iwouldstillratherapproachtheoretically.”
Theseexcerptsillustratethatthereisnotmuchinfluenceoftheinserviceprogramon
theteachers’beliefsconcerningtheuseofexperimentsinteachingNewtonianmechanics.
Theteachersholdtheirbeliefstheyusedtohave.
128
3.2Category2:Experimentshaveanimportantroleinsupportingtheprocess
ofconstructingmeaningstoconceptsinteachingNewtonianmechanics
Inthesecondmaincategory,teachersholdthebeliefthatpracticalworkhasanimpor
tantroleinteachingNewtonianmechanics.Theseteacherssystematicallyusebothdem
onstrationsandexperimentsdonebythestudents.
Alloftheteachersinthiscategoryaddressedtheactiveroleofthestudentindoing
experimentsandlearningthroughthem.Thesocialinteractionbetweenstudentsiscon
sidered as important. The teachers guide the students in doing project works, working
togetherandnegotiatingmeaningsofconcepts.Thefollowingfragmentfromoneinter
viewillustratesthis:
“Theydiscussedingroupsandexaminedhowthisworksandwhy.”(TeacherG)
This teacher used the term “confidentiallearningenvironment”when describing how
theteacherprovidesthestudentswithequipmentandmaterialinordertoleadthestu
dents themselves make observations and do experiments. From another interview a
teacherexpressedtheactiveroleofthestudentsinlearningasfollows:
“Thatthestudentcouldbringupwithsomething,thatyoushouldnotofferthingsreadyand
justbelieveitiscorrect.”(TeacherF)
This sentence reveals the active role of the student in his own concept formation
process. That is, by letting the students to participate in the planning and doing of ex
periments,theylearnabouttheoriginofknowledgeandhowthequantitiesandlawsin
physicsareconstructed.
The teachers consider the use of experiments important in physics instruction. Ac
cording to the teachers, the students learn physics by doing experiments. One teacher
wasenthusiasticabouthowthestudentsthemselveshavenoticedhowtheyhavelearned
fromexperiments.Anotherteacherexpressedhisorhersbeliefinthefollowingway:
“Things become subjectively familiar; and necessarily everybody must think and associate
theminsomeworldofexperience.”(TeacherF)
Inaddition,itwasmentionedthatstudentslearndifferenttypesofskills,thatishow
to make observations, research methods and analysing of results. The teachers in this
categorytypicallygivethestudentsmuchmorefreedomthaninthefirstcategorywhen
planningandconductingexperiments.Thestudentsareonlyprovidedwithshortguide
linesonhowtoperformtheexperiment.
AlloftheteachersinthiscategoryusedMBLtoolsinexperiments.Forexamplethey
exploredthetrackofthestudentswhentheywerewalking.Theyevenhadseveralcom
puters and MBL tools in the class room for students’ use. In addition they had an air
trackoracorrespondingcarttrack,withwhichtheyeasilycouldillustrateandexamine
differentphenomenaofmechanics.
Thelackoftimewasconsideredasaproblemalsointhiscategory.However,someof
the teachers then used shortcuts in the experiments. For example, some of them had
donethemeasurementsinadvance.
Inthiscategory,theteachersuseexperimentsasastartingpointfortheconceptfor
mation process, where the meaning to a concept is constructed. That is, experiments
129
have an important role in assisting students in constructing the meanings to scientific
concepts.Thefollowingexcerptillustratesthis:
“Measuring and experimental approach… that is we do some measurements, we collect the
results, then we draw a graph, and then we cautiously begin to model, and then from the
modelwe’llfindthelaw.”(TeacherC)
In many responses, teachers when discussing on experiments, referred to the text
book series Galilei. In this textbook, the role of experiments in the concept formation
processissupportedandmanyexperimentsteachersarereferringto,aretakenfromit.
In this second category the teachers spontaneously started talking about the in
service teacher training and how it had influenced their teaching. These teachers had
also been taking part in other seminars and education programs, which indicates that
they are active in developing their instruction. The teachers in this category were very
satisfiedwiththeinservicetrainingprogram,theywereenthusiasticaboutimplement
ingideasthattheyhadlearnedduringtheprogram.Theypointedouttheusefulnessof
whattheylearnedfromtheroleofpracticalworkinteachingphysicintheprogramand
evendescribedhowtheyfoundanewwayofteachingwhichisbasedonexperiments.
Oneteacherdescribestheinfluenceoftheprogramonhisteachinginthefollowingway:
”Itwouldhavebeendifficulttolearnandadoptthiskindofapproachbyworkingalone.It(the
inservicetrainingprogram)hasinfluencedthiskindofexperimentalapproachverymuch.”
(TeacherG)
Below is an excerpt from one interview where the teacher explained hisdiscontent
mentinhispreviouswayofteaching.
”Iwasinawaydiscontentedinmyskillsasaphysicsteacher;itwasmorelikechalkphysics
andemphasizingthemathematicalpartofit.Itookpartintheprogram,becauseIwantedto
see,findandperceivemyselfwhatistheteachingreallyabout.AndIadmitthatinthatway
thiscoursefilledtheexpectations.Iamreallycontendedwithit.”(TeacherF)
Therespondentsusedvocabularyusedinthetrainingprogramorinthetextbookse
rieswhichwaswrittenaccordingtothesameprinciplesastheinstructionintheprogram.
However, the interviews also revealed some uncertainty in understanding the role of
experiments in the concept formation process and it seems that few teachers had not
fully adopted the ideas presented in the program. This is supported by the following
quotation:
“IapprovetheapproachintheGalilei(textbook),thereissomethinginit...Ormaybeitisthat
Ihavenotadoptedallthedetailsinit.“(TeacherA)
In addition, the systematic use of experiments and particularly the role of experi
ments presented in the training program were new for most of the teachers. Thus, de
spite the fact that the teachers were using relevant vocabulary they have not fully
adopted the new role of experiments. This can also be noticed when the teachers state
thatalthoughtheyhavedonealotofexperiments,theyfeelthattheyhavenotachieved
their goals, and their students have not learned from the experiments, i.e. experiments
havenotsupportedthestudentsprocessofconstructingmeaningstoconcepts.
130
In addition to the teacher interviews, the students of all the participating teachers
wereaskedtowritedownthemostusefulteachingmethodstheirteachersusedduring
theinstructionofNewtonianmechanics.Alistofdifferentmethodswasgivenincluding
demonstration,experimentsdonebystudents,solvingofproblemsashomework,writ
ingexamplesattheblackboard,discussionwiththeteacher,discussionwithotherpu
pils,readingthetextbook,etc.Thestudentswereaskedtolistthefivemostusefulmeth
odsinorderofimportancefortheirlearning.Inthisstudytwomostimportantmethods
accordingtothestudentswereexamined.
Therewerealtogether104studentsinthestudy.Thestudentswerefromsevendif
ferentschoolsandthenumberofparticipantsfromeachschoolvariedfrom9to20.47of
the students were of those teachers who were placed in the first category according to
their statements in the interviews. Six of these students considered the demonstrations
the teacher used during mechanics instruction as useful for their learning and one stu
dentwasoftheopinionthatexperimentsdonebythestudentshadhelpedhimlearning
physics. The rest of the students considered other teaching methods for example prob
lem solving to be useful for their learning. Respectively, there were altogether 57 stu
dents of the teachers who were placed in the second category. 21 of these 57 students
were of the opinion that demonstrations their teachers showed were useful for their
learningand10studentsconsideredpracticalworkdonebystudentstohaveanimpor
tantroleinlearningphysics.TheanswersofthestudentsaresummarizedintheTable1.
Table1:Students’opinionsoftheusefulnessofexperiments
Category 1 (n= 47)
frequency
Demonstrations
Experiments
students
by
relative
frequency
Category 2 (n=57)
frequency
relative
frequency
6
12,8%
21
36,8%
1
2,1%
10
17,6%
Theresultsofthestudentsurveyshowthat13%ofthestudentsoftheteachersinthe
firstcategorylistdemonstrationsand2%experimentsdonebystudentsinthetwomost
useful teaching methods for their learning. In the second category 37% of the students
considerdemonstrationsand18%experimentsdonebystudentsasusefulfortheirlearn
ing.TheZtestwasusedtotestthedifferencesbetweenthetwogroups.Theresultsshow
that in the case of demonstrations (Z = 2,78) the difference between the two groups is
statisticallysignificant(p<.01)andinthecaseofexperimentsdonebystudents(Z=2,54)
the difference isstatistically almostsignificant (p < .05). Consequently, the student sur
veygivessupportforthecategorizationoftheteacheranswers.
In summary, the teachers that participated in the research can be divided into two
categories.Inthefirstcategorytheintensiveinservicetrainingprogram onlyhadlittle
influence on the teachers’ beliefs about the use of experiments in teaching Newtonian
mechanics. The teachers used experiments very little and restricted in a verifying role.
131
When asked the teachers state that experiments are important and they can give some
argumentsforit,buttheinterviewsrevealthattheyarenotentirelyoftheopinion.This
is also supported by the answers of the students. These teachers address mathematical
problem solving skills, they only have few equipments for performing experiments in
mechanicsandtheyclaimotherdifficulties,suchaslackoftime.Inthesecondcategory
the teachers considered the influence of the inservice program as significant for their
teaching.TheteacherssystematicallyuseexperimentsinteachingNewtonianmechanics.
Experiments have a supportive role in the students’ concept formation process. The
studentsareconsideredtobeactiveparticipantsintheplanningandperformingofex
periments. These teachers’ students also consider experimental teaching methods to be
usefulfortheirlearning.
4 DISCUSSION AND CONCLUSIONS
Animportantpartintheintensiveinservicephysicsteachertrainingprogramdescribed
inthisarticlewastheroleofexperimentsinphysicsinstructionandparticularlyinaway
thatsupportsstudent’sconceptformationprocess.Itwashopedthatthiswouldbecome
part of teachers’ beliefs and knowledge structures and thus translate into practice. The
resultsofourpreviousquantitativestudy(Lavonenetal.,2004)indicatethattherewas
littleeffectoftheintensiveinserviceteachereducationonteachers’beliefsaboutusing
experiments in physics instruction. In the present study we wanted to explore these
beliefs more closely in the context of teaching Newtonian mechanics. Seven teachers,
whotookpartintheinservicephysicsteacherODLcourses,wereinterviewedinorder
to explore their beliefs. Additional information concerning the teachers’ action in the
classroomwasreceivedfromthestudentsurvey.Thisinformationwasusedinsupport
ingteachers’statementsintheinterviews.Thiswasconsideredtoincreasethevalidityof
theresearch.
Theresultsofthestudysuggestthatdespitetheintensivenessoftheeducationpro
gramandtheattemptstopromotereflectionduringthetraining,someteachersstrongly
hold their previous beliefs concerning the use of experiments in physics instruction.
They agreed the importance of experiments when asked, but the interviews as well as
thestudentsurveyrevealedtheteachers’beliefsconcerningtheuseofexperimentsespe
cially in the role of supporting the concept formation to be somewhat contrary. This
outcomeisconsistentwithFeldman’s(2000)argumentsaboutdifficultiesininfluencing
teachers’ beliefs. It appears that the teachers’ previous beliefs about teaching are so
deeplyrootedthatitisverydifficulttochangethem.AccordingtoFeldman’smodelof
practicalconceptualchange,fortheteachertoaccommodateanewpracticaltheory,the
teacherhastobediscontentedwiththeexistingpracticaltheoryandunderstandhowa
newtheoryleadstobetterresults.
Theteachersinthesecondcategorywereinfluencedbytheprogram.Theinterviews
revealedthatsomeofthemwerediscontentedintheirteachingandthereforeappliedfor
the training program. In other words, they had been reflecting their practical theories
andwerepreparedtodeveloptheirPCK.Intheinterviewstheseteacherswereanalytical
132
and verbose,which is incontrast to the teachers in the first category.In the interviews
theseteacherswerequitelaconicandoftendidnotknowwhattoanswer.
An important challenge for inservice training is to encourage teachers to reflect on
their beliefs and experiences. Attention should be paid to the prior beliefs and percep
tionstheteachersbringwiththemastheyenteraninservicetrainingprogram.Asuc
cessful training program should provide opportunities for teachers to examine their
practicaltheorieswhenlearningtoteachphysics.Theinterviewsrevealedthatalthough
theteacherswhowereinfluencedbytheprogramandwerewillingtoadaptnewteach
ingmethodsstillhadsomedifficultiesinunderstandingthedifferentrolesofusingex
periments in physics instruction. Thus, it is important to build on to teachers’ prior
knowledge. When studying the challenges of organizing physics teacher laboratory
coursesNivalainenetal.(2010)havepointedouttheimportanceofprovidingasuppor
tiveenvironmentforlearningtheuseofdifferentdeviceinpractice.Thiscouldcontrib
utetochangeinbeliefsandpractice.
5 REFERENCES
Cohen, L. & Manion, L. (1994). Research methods in education. Fourth Edition. New
York:Routledge.
Fairbanks C. M., Duffy, G. G., Faircloth, B. S., He, Y., Levin. B., Rohr, J., & Stein C.
(2010).Beyondknowledge:Exploringwhysometeacheraremorethoughtfully
adaptivethanothers.JournalofTeacherEducation,61(12),161–171.
Feldman, A. (2000). Decision making in the practical domain: A model of a practical
conceptualchange.ScienceEducation,84(5),606–623.
Ford, C. E. (1999). Collaborative construction of task activity: Coordinating multiple
resources in a high school physics lab. Research on Language and Social
Interaction,32(4),369–408.
Gess Newsome, J. (1999). Pedagogical content knowledge: An introduction and and
orientation. In J. GessNewsome and N.G. Lederman (Eds.), Examining
Pedagogical Content Knowledge (pp. 3–17). Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers.
Gott,R.&Duggan,S.(1996).Practicalwork:itsroleintheunderstandingofevidencein
science.InternationalJournalofScienceEducation,18(7),791–806.
Green,T.F.(1971).Theactivitiesofteaching.Tokyo:McGrawHillKogakusha.
Haney, J. J, Czerniak, C. M., & Lumpe, A. T. (1996). Teacher beliefs and intensions
regarding the implementation of science education reform strands. Journal of
ResearchinScienceTeaching,33(9),971–993.
Hodson, D. (1990). A critical look at practical work in school science. School Science
Review,71(256),33–40.
Hodson,D.(1996).Laboratoryworkasscientificmethod:threedecadesofconfusionand
distortion.J.CurriculumStudies,28(2),115–135.
Jauhiainen, J., Lavonen, J., Koponen, I. T., & KurkiSuonio, K. (2002). Experiences from
longterminservicetrainingforphysicsteachersinFinland.PhysicsEducation,
37(2),128–134.
133
Kagan, D. M. (1990). Ways of evaluating teacher cognition: Inferences concerning the
GoldilocksPrinciple.ReviewofEducationalResearch,60(3),419–469.
Kalman,C.S.,Morris,S.,Cottin,C.,&Gordon,R.(1999).Promotingconceptualchange
using collaborative groups in quantitative gateway courses. American Journal
ofPhysics,67(7),S45–S51.
KurkiSuonio, K. (2010). Principles supporting the perceptional teaching of physics: A
“PracticalTeachingPhilosophy”.Science&Education,DOI10.1007/s11191010
922881.
Lavonen, J., Jauhiainen, J., Koponen, I. T., & KurkiSuonio, K. (2004). Effect of a long
term inservice training program on teachers’ beliefs about the role of
experiments in physics education. International Journal of Science Education,
26(3),309–328.
Lazarowitz,R.&Tamir,P.(1994).Researchonusinglaboratoryinstructioninscience.In
D.L. Gabel (Eds.), Handbook of Science Teaching and Learning (pp. 94–128).
NewYork:MacmillanPublishingCompany.
Macbeth, D. (2000). On an actual apparatus for conceptual change. Science Education,
84(2),228–260.
Millar, R. (1996). Towards a science curriculum for public understanding of science.
SchoolScienceReview,77(280),7–18.
Millar,R.,LeMaréchal.J.F.,&Tiberghien.A.(1999).Mappingthedomain:Varietiesof
practical work. In J. Leach and A. C. Paulsen (Eds), Practical Work in Science
Education(pp.33–59).Roskilde:RoskildeUniversityPress.
Nivalainen V., Asikainen, M., Sormunen, K., & Hirvonen, P. E. (2010). Preservice and
inservice teachers’ challenges in the planning of practical work in physics.
JournalofScienceTeacherEducation,21(4),393–409.
Pajares, M. F. (1992). Teachers’ beliefs and educational research: cleaning up a messy
construct.ReviewofEducationalresearch,62(3),307–332.
Richardson, V. (2003). Preservice teachers’ beliefs. in J. Raths & A. McAninch (Eds.),
Teacher beliefs and teacher education (pp.1–22). Greenwich, CT: Information
AgePublishers.
Tobin,K.,Tippins,D.J.,&Callard,A.J.(1994).Researchoninstructionalstrategiesfor
teaching science. In D. L. Gabel (Eds.), Handbook of Resarch on Science
Teaching and Learning (pp.45–93). New York: National Science Teacher
Association.
Veal, W. R. (2004). Beliefs and knowledge in chemistry teacher development.
InternationalJournalofScienceEducation,26(3),329–351.
Watson, J.R., Prieto, T., & Dillon. (1995). The effects of practical work on students’
understanding of combustion. Journal of Research in Science Teaching, 32(5),
487–502.
Wellington,J.(1998).Practicalworkinscience.InJ.Wellington(Eds.)Practicalworkin
schoolscience:Whichwaynow?(pp.3–15).London:Routledge.
Wilkinson,J.W.(1999).Thecontextualapproachtoteachingphysics.AustralianScience
TeachersJournal,45(4),43–51.
134
OsaIV
FinnishcontributiontoaglobalsurveyonICT
ininitialteachertraining
VeijoMeisalo,JariLavonen,KariSormunen,and
MikkoVesisenaho
ABSTRACT
TheUniversitiesofHelsinkiandEasternFinlandparticipatedinthisOECD/CERIsurvey
ontheuseofinformationandcommunicationtechnologies(ICT)inteachereducationfor
Finland. The goal of this study was to investigate the current status in Finland for the
internationalcomparativestudyandtopresentrecommendationsforfacilitatingfruitful
developmentinthisarea.About200studentteachers,30teachereducators,and30men
torteacherswereaskedtofillintherespectiveformsatbothuniversitiesinspringterm
2009,andabout500studentteachersandalltheteachingstaffinNovember.Representa
tive groups of teacher educators, mentors, and student teachers were also interviewed.
Thesurveydata,combinedwiththeinterview,observation,andotherdataindicatethat
the situation was altogether very dynamic. Student teachers gave generally positive
feedback,butsomesawaproblemintherealityofteachingpracticebeingmoreconser
vativethantheexpressedintentions.Thekeyproblemseemedtobethatactivestudent
teachers could reach high competence levels in ICT use, but it was also possible for a
reluctantstudenttoavoidmoderntechnologies.Theneedforuniversitydepartmentsto
redesign the ICTrelated goals of the programmes of teacher education and related
coursesonamoreconcretelevelandtocreateanefficientwayforsystematicfollowup
toreachthesegoalsisoneoftherecommendationsofthisstudy.
Keywords:Informationandcommunicationtechnologies,teachereducation
1 INTRODUCTION
In the context of the New Millennium Learners project, the Centre for Educational Re
searchandInnovationoftheOECDlaunchedaglobalsurveyofInformationandCom
munication Technologies (ICT) in (initial) teacher education in autumn 2008. Austria,
Chile,Denmark,Finland,France,Hungary,theNetherlands,Norway,Sweden,theUnit
ed Kingdom (England) and the United States have contributed empirical work to the
study. Apart from the United States, all the countries have used the same research in
struments translated into local languages, if needed. We present here a preliminary
reportdescribingtheoutcomeoftheFinnishcasestudy.
137
Severalparadoxescouldberecognisedintheresearchliteratureconsideringtheuse
of ICT at school as well as in teacher education (e.g., OECD, 2006; Younie, 2006), for
instance:
- studentshaverichexperiencesoftheuseoftechnologyoutsideschool,butdonot
usetechnologyforlearningatschool;
- teachers are skilled technology users, but they are unable to take advantage of
theircompetenceandtoapplyittothewaytheyteachinschool.
- ICTisavailableatschool,butteachers’beliefsaboutteachingandlearningarenot
supportiveoftheuseoftechnologyatschool;
- teachersarenotexperiencedinusingICTmaterialseffectivelywithinandoutside
regularclassroomactivities.
Fromresearchintopolicyimplementationandreformineducation,itiswellknown
thatchangeiseitherveryslowortendstofail.Implementationisacomplexprocedure,
notadirecttransferfromgovernmentpolicytopractice(Younie,2006).Itischallenging
tohelpstudentteachersorpracticingteacherstoadoptICTineducation.Wewillfocus
hereoninitialteachereducation(TE)accordingtotheproject’saims.
1.1ICTuseinteachereducationasaninnovation
TheconceptICTusecanbeconsideredhereasthecrucialinnovationtobeanalysedand
e.g.,theneededcompetencewillberelatedtoit.WecategoriseICTuseinto(A)toolappli
cationsortoolsoftwareand(B)ICTuseinstudyandlearning(learningthroughICT)(cf.Webb,
2002).Inthetoolcategory(A),ICTisasetofsoftwareenablingstudentsandteachersto
accomplish their tasks in more efficient ways. Typical examples of tool software are
relatedtoadministrationorofficeuse(textprocessing,spreadsheets,graphicprograms,
etc.).
Ateachercanusetoolapplicationsinseveralways.Inadditiontothosepreviously
mentioned, he or she can prepare assignments, tests, and other learning resources. A
videoordataprojectorcanbeusedasatoolinseveralwaysforclassroompresentations
and it can be connected, for example, to a document camera or a microscope. A new
interesting tool is the interactive whiteboard, it has proved popular although there have
beencontroversialopinionsamongtheresearchersparticipatinginthisprojectrelatedto
factors such as the large investments they require. Most interactive whiteboards have
speciallydesignedsoftwarethatincludeusefultools.Theadvantagesincludingtheposi
tive motivational effect of modern equipment have proved more important than the
associatedproblemswheninteractivewhiteboardshavebeenmadeavailable.
ThemainusesofICTinstudiesandlearninginteachereducation(B)canbedividedinto
three different uses: (i) Computerassisted learning (CAL) is any interaction between a
student and a computer system designed to help the student learn. CAL includes, for
example,simulationsandvirtualrealityenvironments.(ii)Computerassistedresearchis
the use of ICT as an aid for collecting information and data from various sources with
the emphasis on data analysis supporting scientific reasoning. ICT is often used as an
agent for interaction with information source, like the Internet or nature, or in Micro
computerBased Laboratories. (iii) Computerassisted interaction: Open and Distance
Learning has evolved as a natural way of using all available ICT services adjusted to
138
fullyfacilitatestudentlearning.ModernOpenandDistanceLearningsolutionsarebased
on a wide range of communication technologies, such as course management systems
(e.g.,Blackboard,WebCT,ormoodle),andtwowayaudio/videoteleconferencing.
Nowadays,allschoollifeinvolvesmoreandmoresocialmedia,ICTbasedinteracti
onchannelsincludingemail,chat,Facebook,wikis,etc.Indeed,theWeb2.0ideologyis
alsobeingimplementedinteachereducationthroughwikisandblogs.ICTuseandmo
bilemediaareintegralpartsofthelifeoftheNewMillenniumGenerationandteachers
must be prepared to use these tools. The above interpretation has been challenged by
severalresearchers(e.g.,OECD2009,p.34).However,wepredictaneedforsubsequent
generations of teachers to be able to utilize the versatile facilities offered by modern
schoollearningenvironments.
1.2DiffusionandadoptionofICTinnovations
In practice, diffusion of ICT use into teacher educators’ daily practice is difficult. It is
known that there may be many barriers to diffusion and adaptation of innovations (as
discussedindetailinthereferencesbelow):Inourcase,ICTusemightbetoocomplica
ted for beginners, staff may not easily collaborate or network with each other or with
experts,theymayfeelthattheydonothaveenoughtimeforexperimenting,theymight
havenegativeattitudestowardsinnovations,theremaybeneithercommunicationchan
nelsnorsupportavailable,andpeoplearenaturallyresistanttonewideasorinnovations.
Inourstudy,diffusionisaprocessbywhichtheversatileusesofICTinteachereducati
on (innovation), is communicated when implementing the ICT strategy, the staff deve
lopment programme and development of ICT facilities (communicationchannels) over a
periodofseveralyears(time)amongthestaffoftheteachereducationunit(socialsystem)
(cf.Rogers2003).Rogersdifferentiatedtheadoptionprocessfromthediffusionprocessand
defined the former as an individual’s mental process through which he or she passes
fromfirsthearingaboutaninnovationtoitsfinaladoption.
Fullan (2001) categorized the properties of educational innovations that affect their
acceptanceintotwogeneralclasses:Firstly,therearethepropertiesoftheinnovation;in
this case, the properties of the ‘ICT use in teacher education’ itself. Secondly, there are
bothlocalcharacteristics,suchasthepedagogicalorientationofthestaff,natureofcolla
boration,reflectionbetweenstaffmembers,andexternalfactorssuchasfunding,orstaff
development,aswellasthenatureofdevelopmentprojectsinICTuse(Matthew&al.,
2002).FurtherexternalfactorslikeanationalICTstrategyandotherdifferentstrategies
intheinstitutehaveaneffectontheadaptationoftheinnovation.
1.3Access
Access is usually associated with a few controversies. Access to good quality digital
learningresourcesisobviouslymostimportanttotheadvancementofICTuseinschools
aswellasinteachereducation.However,toooftenrelatedstudieshavebeeninterested
inthetechnicalaspectsofaccessonly,i.e.onthenumberofstudentspercomputeroron
thequalityoftheavailableInternetconnection,thisapproachisevidentinITU(2010)on
thesocietallevel.Inmostindustrializedcountries,schoolshavealreadyhadaccesstothe
Internetforalongtime(RussellandBradley,1997).Thisisanecessarybutnotsufficient
139
condition.Acrucialproblemofaccessisoftenthecostoflearningmaterialsase.g.,Fin
nish student teachers are not nowadays willing to invest in purchasing textbooks but
expectcoursematerialstobeavailableasopeneducationalresourcesovertheInternet.
There is great pedagogical value in having student teachers develop digital learning
resources themselves, but we do not find it feasible to expect to produce most of the
requiredcoursematerialsthisway.
1.4Competence,ICTskills
In many countries the development of mainstream initial teacher education has been
slowed down by the inadequate ICT skills of teacher educators and the fact that few
units providing teacher education have drafted a strategy for the educational uses of
ICT.Consequently,evenmanyyoungschoolteachershavefeltunpreparedtouseICTin
their classrooms. There has been a worldwide discussion about the challenges set by
teachereducationconcerninghowtohelpteachertrainersinusingICTinteachereduca
tion (e.g., Epper & Bates, 2001; Judge & O’Bannon, 2008). These challenges have been
approachedbydevelopingICTstrategiesforteachertrainingunitsandbyimplementing
thesestrategies.Thedevelopmentofteachertrainers’competencecouldbepromotedby
developinguptodateinformationandcommunicationstrategies,organizinganddeve
lopingpossibilitiesforstudyingindifferentenvironmentsincludingOpenandDistance
LearningandingeneralinnovativeapproachestoICTuseinteachereducation.Weshall
analyseFinnishICTstrategiesfromtheviewpointofteachereducationinalargercount
ryreporttobepublishedlater.
2 IMPLEMENTATION OF THE OECD/CERI STUDY IN FINLAND
2.1Selectionofthetargetgroups
In Finland, initial teacher education for primary and secondary school is presently
taught at eight universities, of these we decided to choose the University of Helsinki
(UH),theDepartmentofTeacherEducationandUniversityofEasternFinland(UEF),the
SchoolofAppliedEducationalScienceandTeacherEducation,Joensuucampus,forthis
study.Also,theteachertrainingschoolsassociatedwiththerespectivefacultiespartici
pated.UniversityofHelsinkiissituatedintheHelsinkimetropolitanarea.Atthismulti
disciplinary university the number of possible subject specialisations is larger than at
other universities. Joensuu is a smaller town in eastern Finland and at UEF there has
beenamajorefforttodevelopICTusesineducationandrelatedresearch.
Thetargetgroupofthisstudyrepresentsover40%ofallstudentteachersinFinland.
Thispercentagevaluehasbeenestimatedusingtheintakefiguresforteachereducation
(OPM, 2007, pp. 2223) and is rather high due to the large number of student teachers
enrolled insubject teacher education programmes at UH. It was not possible to extend
this study to all institutions active in teacher education in Finland due to the limited
resourcesallocatedtothisproject.
140
3 DATA ACQUISITION
3.1Questionnaires
Herewereportthedatafromthreedifferentquestionnaires,oneforstudentteachers,the
secondforteachereducatorsandthethirdformentorteachers.Therewasafourthques
tionnaire for universities (teacher training institutions), which will be discussed in the
CountryReportlater.AllthequestionnairesweretranslatedfromtheEnglishoriginalto
Finnish. Some terms in the Finnish version differed from the original due to different
nationalusage.Thequestionnairesinthefinalversionweremadeaccessibletotheparti
cipantsofthestudyovertheInternetbyputtingthemontheOECDmainframecompu
terinParis.TheOECDwebquesttoolCheckboxSurveywasused,andthedistribution
wasmanagedfromtheOECD.
Therationalebehindthequestionnaireswastoinvestigatethecommonsituationin
theOECDcountries.Accordingtotheconductedliteraturereview(Rizza,2009)teacher
educatorsdonotpreparestudentteachersenoughinICTuse.Thereisalackofequip
ment,confidence,support,incentives,andtheknowledgeofhowtoworkwithICTina
pedagogicalway.Thisisquiteoppositetonationalstrategiesandtheirimplementation
plans. The questionnaires have items on these factors and also to what extent teacher
trainers use certain technologies in their teaching and what help could enable them to
increasetheuseofICTintheirteaching.Therearealsoquestionsabouttheimportance
theyattachtoICTinteaching.Theresearchquestionswere:
1. Towhatextentandinwhatwaysistechnologyusedininstitutionsofteachereducation
inOECDcountries?
2. Inwhatwaysarestudentteacherspreparedtointegratetechnologyinteachingininstitu
tionsofteachereducationinOECDcountries?
3. Ifstudentteachersarenotsatisfactorilyprepared,whatarethemainobstaclesaccording
tothestakeholders?
Inthefirstround,requeststofillinthequestionnairesweresentinApril2009bye
mailto118studentsenrolledinHelsinkiand111inJoensuu.Thesestudentsweretaken
by systematic sampling from those participating in the final teaching practice period.
Similarly, by early May a selected sample of 16 teacher educators working at both De
partmentsand16mentorteachersatassociatedteachertrainingschoolsinHelsinkiand
18inJoensuuwereaskedtofillintherespectivequestionnaires.Areminderwassentto
allthosewhohadnotrespondedbymidMay.
Due to the problem of low numbers of participation in this round the survey was
reopenedinNovember,2009foranewgroupofstudentteachersandalargernumberof
teacher educators and mentor teachers. Requests to fill inthe questionnaires on theIn
ternetweresentinNovemberbyemailto270studentteachersenrolledinHelsinkiand
136inJoensuu.Theywereallparticipatingintheirpenultimateteachingpracticeperiod.
It was also decided to call all teacher educators working at both Departments and all
mentorteachersatassociatedteachertrainingschools(31staffmembersand89mentor
teachers in Joensuu) to fill in the respective questionnaires. In Helsinki the mailing list
includedpersonswhowerenotinthetargetgroupandtheywereaskednottorespond.
Thosewhohadalreadyrespondedinthefirstroundwereaskedtoignoretheemail.A
141
reminderwassenttoalltheparticipantsbytheendNovember,againwiththerequestto
ignoretheemail,iftheyhadalreadyresponded.Thenumbersofrespondentswascon
sideredtobesatisfactoryafterthesecondround.
3.2Interviews
Representativegroupsofteachereducators,mentorteachers,andstudentteacherswere
interviewed(conveniencesampling)usingtherespectiveinterviewguides.Thesessions
were videorecorded and the recordings were analysed using a variant of the Critical
Incident Method (see e.g., http://www.usabilitynet.org/tools/criticalincidents.htm). This
methodisbasedonidentifyingcriticalfactorsinavarietyofprocessesandinthiscase
for identifying incidents having positive or negative influence on the use of ICT in
teacher education (cf. Cummings, Murray, & Martin, 1989; Lavonen, Meisalo, & Lattu,
2002).Someinformationonthethemesdiscussedduringtheinterviewsessionscouldbe
later confirmed or added to on the basis of informal discussions with the interviewed
persons.
AttheUEFJoensuucampus,threegroupsof24studentteacherswereinterviewed
usinganinterviewguidepreparedbytheOECD.Twogroupsofteachereducators(2+3
persons) and similar groups of mentor teachers were interviewed in May. All the
teachers in the group interviews were committed to honestly expressing their feelings
andfactsaboutICTuseinteachereducation.
At UH most interviews could be organised only somewhat later, i.e., by the end
May/earlyJune.Thistimingcausedmajordifficultiesespeciallywhentryingtopersuade
studentstoparticipate.Twogroupsofteachereducators(2+3persons)wereinterviewed
inearlyJune.Furthermore,bylateMaythereweretwogroupsofthreementorteachers
each, all training to be subject teachers. At another teacher training school there were
two groups of two mentors, one group from primary and the other from secondary
teachereducation.Aninterviewofagroupof34studentteacherswasorganisedatUH
inearlyMay,butthenwehadtobesatisfiedwithindividualinterviewsoffourstudent
teachers, one enrolled in primary and three in subject teacher education programmes.
There was a large variance in the backgrounds and in the study paths of the students
interviewed.
4 RESULTS
All questionnaire data below is based on combined data from the first and second
rounds. No advanced statistical analysis was considered advisable due to problems in
the sampling procedure. However, some descriptive graphics are presented below.
There were a few comments given as answers to openended questions, which did not
give too much significant information. The qualitative interview data are presented
throughquotationsandobservationswhiletheinsituobservationdataarenotpresented
separatelybutinthecontextoftriangulations.
142
4.1Interviewdata
4.1.1Studentteachers
The majority of students had clearly a positive attitude toICT use, butthere were also
differencesintheiropinions.AlltheinterviewedstudentteachersinJoensuuweresatis
fiedwiththeiracquisitionofICTskills.However,theICTcoursesindifferentyearsand
indifferenttrainingprogrammes,andevenfordifferentsubjectmajorsvariedquitealot.
Courses for attaining basic ICT skills were recommended, but they were not always
compulsory.Onestudentteachercommented:“ICTtrainingisesteemedbutitisnotcom
pulsory.”AstudentwhoreturnedtoM.Ed.studiesafterobtainingalowerdegreeafew
years earlier reported that there had been a huge positive development in ICT use du
ringtheseyears.AstudentwhohadtakentheICTcoursesomeyearsearlierwasquite
frustrated: “Iwasquiteanxiousandfeltthatteachersoverestimatedmyskills.” On the other
hand, student teachers appeared generally well motivated to use ICT and innovative
teachingmethods,andtheyreportedthathelpwasavailablewhentheyneededit.They
founditpositivethattheteachertrainingschoolshadbeenrenovatedrecentlyandthere
were the newest equipment available offering them interesting technologies for imple
mentation in their teaching. Peer support was regarded as very important when they
encounteredtechnicalproblems,butpeergroupswerealsoseenasvaluableforumsfor
discussingpedagogicalaspects.Studentteachersgenerallyfeltconfidentofpossiblehelp
by mentor teachers, but even “there was such a feeling that the pupils came and helped the
(student)teacher”.
There was, indeed, a general positive opinion on the possibilities of using modern
technologies in teachereducation,e.g., “Teachereducatorsandmentorteachersdotheirbest
and if you have an idea and if they ask to do some experiments, they are allowed.” However,
somestudentteacherssawaproblemintherealityofteachingpracticebeingmorecon
servativethantheorallyexpressedintentionsofmentorteachersandteachereducators.
Student teachers felt that modern equipment and a highquality Internet connection
weregenerallyeasilyavailableforall.Theproblemwasalackoftimetoconcentrateon
learningsomethingnew,astherewasalwaysthestressofcopingwiththeircoursesche
dules.
Theproblematicareashighlightedbythestudentteachersincludedinformationsear
ches over the Internet (computerassisted research), which is problematic due to the
dangersofunreliableinformationandplagiarism.Someoftheespeciallypositiveexam
ples that were mentioned included the availability of microcomputerbased laboratory
equipment for Science experiments (computerassisted research) and many simulations
based on Applets (CAL). Even the use of concept mapping with the aid of Freeware
programs(CMapTools)receivedpositivecomments.Thereweresomewishesregarding
the availability of interactive whiteboards in teacher training schools, but one student
teacher commented that “Perhaps the worst example of misuse of modern technologies I saw
wasassociatedwiththeuseofaSmartboard”.
143
4.1.2Teachereducators
The interviews disclosed a high motivation of teacher educators to use ICT in their
teachingandtoshowstudentteachershowtousemoderntechnologies.Altogether,the
interviewsindicatedtheirmostseriouseffortstopromoteICTuseinteachereducation.
TheintervieweesdidnotreportmajorproblemswiththeirICTskillsorthoseofstudent
teachers: “[Wecansaythat]atleasthere[attheDepartmentofTeacherEducation]ICTskills
havebeenexcellentlytakencareof;duringthecoursestherehasbeennoneedtotackleanyprob
lems.” “There is much that is in everyday use [for student teachers].” The common attitude
wasquitecriticalonmaximisingICTuseinteachereducation.Theyacceptedthatthere
are many benefits in using learning platforms for independence of time and site, etc.
However,“itisnotsocertainifthereismorelearning”.Theythoughtthatmoderntechno
logyoffersvaluabletools,but“onehastodecidewhetherthis[ICTuse]isacleverapproach”.
TheywerereluctanttoevaluatehowICTingeneralisintegratedintoteachereducation:
“IthinkthatitdependsmoreontheindividualteacherthanhowsystematicICTuseisintegrated
intoteachereducation.”
Allteachereducatorswerequitemodestwhenevaluatingtheirowncontributionsin
creativeresearchanddevelopmentwork.Researchorientationwasnotalwaysobvious,
butresearchbaseddesignwasapparentlyoftenusedforcreatingnewlearningmaterials.
There was a need for more time and resources for serious research. Both departments
wereactiveinresearchprogrammesfocussingoneducationalICTusesasisrequiredby
the idea of researchbased teacher education, but the research activities were rather
weaklycommunicatedduringtheinterviews.
ManystaffmemberswereveryactiveandtheyhadcreativeideasforICTuse.They
presentedexamplesofteachingmaterialstheyhaddevelopedforInternetuse(Compu
terassistedinteraction).Thereweredifferenttypesofideasoftenshowingoriginalthin
king,evenifsomewereatarathermodestlevelofcreativity.Collegialsupportwasseen
tobeimportantwhenencounteringtechnicalproblems,butpeergroupswereconsidered
valuableforumsalsofordiscussingthepedagogicalaspectsofICTuse,allthisevenfor
peergroupsatsubjectdepartments.Wishesforthecooperationofstaffmembersatall
theinstitutionsinvolvedwereexpressed.Altogether,amajorproblemseemedtobethe
needformorecooperationandteamwork,especiallyacrosssubjectboundariesorover
bureaucraticborderlines.Thisisanevidenceofthecommunicationchannelsbeinginef
fectiveinthediffusionprocessofthisinnovation.
AdministrativeuseofICTwasclaimedtomorecrucialbytheteachereducatorsthan
by the other groups. Their workload caused by implementation of different strategies
relatedtoICTuseortomoregeneralgoals,andbeingsubjectedtofrequentevaluations
of so many aspects of their work was felt to be a major problem. Some staff members
thoughtthattheimplementationoftheICTstrategyoftheUniversitycouldbelesstop
down in its nature. This can be interpreted as a wish for more open interaction with
centraladministrationandespeciallywiththeITDepartment.
4.1.3Mentorteachers
The interviewed mentor teachers were obviously highly motivated to use ICT in their
teachinginschoolandinsupervising,aswellastoguidestudentteachersintheuseof
144
modern technologies. They showed this motivation even if they felt they were overlo
aded with routine work. The teacher training schools at both Faculties had had their
premises renovated recently and they had been able to get a largely new set of ICT
equipment. Modern equipment and a wideband Internet connection were generally
easilyavailableforallattheteachertrainingschools.Morenewequipmentlikeinterac
tive whiteboards were installed shortly before or during our case study period, and a
fewmentorteachers(practicallynostudentteachers)werequitefamiliarwiththeirtech
nicalorpedagogicaluse.Mentorteacherspointedoutthattheyneededtimetolearnthe
necessarytechnicalandpedagogicalskills.(Aboutusingnewsoftware:”Itwaspossibleto
succeedwiththehelpofthesoftwareprovider,butittookmuchtime,indeed!”)
By the time the interviews took place the mentor teachers were looking forward to
moreeasyaccesstoclassroomsequippedwithinteractivewhiteboardsandtocomputer
laboratoryclassroomswhereeachstudent/pupilcouldhaveaccesstotheirowncompu
ter.Anotherquotedexampleofgradualchangeintechnologywasthatdocumentcame
raswerereplacingoverheadprojectors.Thementorteachersreportedthattechnicalhelp
was quickly available when needed, either from their peers or from the ICT technical
expertsoftheirschool.
ThementorteachersclaimedthattheyhadafacilitatorroleinpromotingICTintegra
tioninteachingpractice.Theysuggestedthatthebestapproachwassmallgroupdiscus
sionswheretheycouldtellstudentteachersabouttheirowngoalsforICTuseandsup
porteachstudentteacherinformingher/hisownpersonalgoals.“Whatismostneededis
encouragement.”Inthescaffoldingprocesstheyfeltthatmeetingfacetofacewithstudent
teachers is of primary importance with virtual communication channels playing a sup
portingrole.
MentorteacherswerequiteactiveusersofdifferenttypesofICTandtheyhadcreati
ve ideas for ICT use in their classes. The first comment on the benefits of ICT was the
powerofprocesswriting.Amentorteacher(MotherTongue)saidthat“Thewritingpro
cessissodifferentwiththeaidofacomputer”andanother(MathematicsandPhysicsteacher)
continued with the claim: “ThesameinPhysicswhenwritingreports.” Teaching materials
canoftenbefoundontheInternet,e.g.,“WenowadaysgetallourpicturesfromtheInternet.”
or “There[ontheInternet]onecanfindallkindsofmaterialsforPhysics:pictures,videoclips,
informationonplanets,…”Apparentlyallstudentteacherlessonplansweresubmittedin
digitalformandtheywereusuallyassessedbyemail,inrarecasesalearningplatform
wasused.SomementorteachersregularlyfollowedInternetsourcesforfindingdigital
learning materials and also helped student teachers to utilize them. One of mentor
teachers commented that: “One should be able to give positive experiences [on ICT use in
teaching] to them.” In general, the mentor teachers had confidence in the ICT skills of
studentteachers,butthereweresomeworriesaboutequality.
AllinterviewedmentorssubmittedtheirexamplesofICTusecoveringawiderange
oforiginalideasandquotedinterestingapplicationsdesignedbystudentteachers.These
includedthecreationofathreedimensionalvideoclippresentationforlearningspatial
vision (using red/green spectacles), videorecording and analysing creative lessons du
ring teaching practice, and collecting a library of Applets for science lessons or using
multiple original sources on the Internet for foreign language teaching. Some mentor
145
teachers complained, however, that most often student teachers mechanically prepare
PowerPointpresentationswithlittleornooriginality.
Ethical and moral aspects of ICT use were also discussed spontaneously in general
terms. “I do not like to control [the Internet access of students/pupils]. This [responsible beha
viour when using ICT] should be integrated in the whole curriculum.” Anyway, while no
majorproblemsinthisrespectwereindicatedinthediscussions,allthementorteachers
seemedtobealerttotheseissues.
Peergroupswereseenasvaluableinteractionchannelsfordiscussingthepedagogi
calaspectsofICTusebystudentteachers.Again,amajorproblemseemedtobethelack
of cooperation and teamwork, especially across subject area boundaries or over bure
aucratic borderlines. A younger mentor teacher suggested discussion forums on the
Intranet (computerassisted interaction) having had positive experiences during his
student teacher period at the Department. This has been in routine use for student
teachersonly,butcouldalsohaveimportantpotentialforteachereducatorsandmentor
teachers.
4.2Questionnairedata
Only teacher educators’ and student teachers’ questionnaire data are presented and
analysed below. The questionnaires for universities andmentors and their data willbe
discussedintheOECDpublication.Therewerealtogether149teachereducatorsand178
student teachers who answered the questionnaires. Background information ofthe res
pondentsispresentedinTable1.
Table1:Backgroundinformationofteachereducatorsandstudentteachers
Female
Male
Total
Age, mean
Teacher educators
92
57
149
48.0
Student teachers
60
36
178
27.1
Theteachereducatorshadbeenworkingasinteachereducationforanaverageof14
yearsandtheytaughtthefollowingsubjects:
x
Educationalscience64
x
Mathematics18
x
Nationallanguage24
x
Foreignlanguage9
x
Socialstudies14
x
Science24
x
ICT6
x
Other25
Thestudentteachersweremainlystudyinginsubjectteachereducationprogramme
(only31inprimaryteachereducationprogramme)andtheywerestudyingthefollowing
subjects:
x
Mathematics42
146
x
Nationallanguage16
x
Foreignlanguage28
x
Socialstudies:History10,Religion9,Philosophy4,Psychology8
x
Science:Biology9,Physics18,Chemistry22,Geography14
TeachereducatorswereaskedtodoselfevaluationoftheirexpertiseinICTuse.Al
together, 69% of the teacher educators felt that they are fairly or very comfortable in
usingICTathomeand77%feltthattheywerefairlyorverycomfortableusingtechnolo
gyintheirclassrooms.
Theteachereducatorsandstudentteacherswereaskedtoevaluatethetechnological
and pedagogical support in the institute. Altogether, 71% of the teacher educators
thought that their institute has a policy to foster and sustain ICTbased innovations in
course teaching and 58% of them had personally been engaged in a project aimed at
usingICTinnewandinnovativeways.Intheopenresponsestherewereseveraldescrip
tionsoftheprojectstheteachereducatorshadparticipatedin.Someoftheprojectshad
been financed by their own university, some by the Ministry of Education or the Na
tional Board of Education. There were also several EU financed projects and research
projects. Altogether, 96% of the teacher educators thought that there was technological
supportavailableforthemand77%ofthemthoughtthattherewasalsosupportavaila
bleforthepedagogicaluseofICT.Correspondingly,80%ofthestudentteachersthought
thatthereistechnologicalsupportand30%ofthemthoughthattherewaspedagogical
supportavailableforthemattheirinstitution.Altogether,63%oftheteachereducators
and 61% of the student teachers thought that the quality of the technological support
wasgoodorverygood.About60%oftherespondentsinbothgroupswhothoughtthat
pedagogicalsupportwasavailablethoughtthatthissupportwasgoodorverygood.
The teacher educators were asked in the questionnaire to evaluate what kinds of
technologicalequipmentareavailableintheclassroomstheyused.Thestudentteachers
were asked to evaluate what kinds of technical equipment were available to them as
studentteachersattheinstitution.TheresultsarepresentedinFigure1.
147
Figure1:Comparisonofteachereducators’andstudentteachers’evaluationsthroughmeanbars:
Teachereducator:Whatkindoftechnologicalequipmentisavailableintheclassroomsyouuse?N
=119…136,Scale:1=Innoclassroom…3=Inallclassrooms.Observemissingdataforthe
lastitem.
Studentteacher:Whatkindoftechnicalequipmentisaccessibleforyouasastudentteacheratthe
institution?N=103…106,Scale:1=Notaccessible…3=Freeaccess
Weseethatpersonalcomputersareavailabletoteachereducatorsaswellasstudent
teachers.Studentteachersdonotfeelprojectionsystemstobeequallyaccessible;wefeel
thatthistheremightbeduetoaproblemincommunication.Thesamecouldbetruefor
video conferencing systems. These data indicate that there is almost no accessibility to
mobile phones. As practically everybody has a personal mobile phone, this reaction
meansthatthereareseldomifeverschoolownedonesavailable(orrequired).Interacti
vewhiteboardswereintheprocessofbeinginstalledinpracticeschoolsandinthede
monstrationlaboratoriesofthedepartmentsduringthetimeofthesurvey,sothissitu
ationwouldhavebeenverydifferentalreadyinthefollowingyear.
Thestudentteacherswerealsoaskedtoevaluatewhattechnologicaldevicestheyhad
usedinthecoursestheyhadtaken.Onaveragetheyhadusedpersonalcomputers,pro
jectionsystemsandlearningmanagementsystemsinlessthanhalfoftheircourses.They
weretypicallyneverusingotherequipment.
Theteachereducatorswereaskedtoevaluatetowhatextenttheythoughttheuseof
technologyindifferentareasofeducationwasimportantforastudentteachertoacquire.
Respectively,thestudentteacherswereaskedtoevaluatetowhatextenttheyfeltconfi
denttointegratetechnologyineducationindifferentareas.Theresultsarepresentedin
148
Figure 2.Missingdata aredue to the teacher educator questionnaire having more items
thanthestudentteacherone.
Infuture,integrationoftechnologytofosterpupils’
abilitytousetechnologyintheirlearning
Infuture,integrationoftechnologytosupportvarious
learningstylesandtopersonaliselearning
Infuture,integrationoftechnologytofacilitate learning
specificconceptsorskills
Infuture,integrationoftechnologytofacilitate
teachingpupilswithdisabilities
Infuture,integrationoftechnologytosupportactivities
thatfacilitate higherorderthinking
Infuture,integrationoftechnologytosupport
creativity
Useoftechnologyasamanagement toolfororganising
workandkeeprecords
Useoftechnologyasamanagement toolforfinding
digitallearningresources
Useoftechnologyasamanagement toolforpreparing
lessons
Useoftechnologyasamanagement toolfordesigning
andproducingdigitallearningresources
Useoftechnologyforteachers'owndevelopmentand
learning
Teacher
educators
Useoftechnologyforcommunication withpupils
Useoftechnologyforcommunication withparents
Useoftechnologyforcommunication with
managementandadministration
Student
teachers
1
2
3
4
Figure2:Comparisonofteachereducators’andstudentteachers’evaluationsthroughmeanbars:
Teachereducators:Towhatextentdoyouthinktheuseoftechnologydescribedbelowisimpor
tantforastudentteachertoacquire?N=129…133,Scale:1=Notimportantatall,2=Alittle
important,3=Quiteimportant,4=Veryimportant
Studentteachers:Towhatextentdoyou(astudentteacher)feelconfidenttointegratetechnology
inthefollowingareas?N=88,Scale:1=Notconfidentatall,2=Somewhatconfident,3=Con
fident,4=Veryconfident.Observemissingdataforthreeitems
Here the differences in the evaluation of teacher educators and student teachers of
theimportanceofsupportingdifferentlearningstylesandinhelpingstudentswithdisa
bilitiesissomewhatastonishing.Tosomeextenteventheevaluationoftheimportanceof
ICTinpreparinglearningresourcesbeingmuchlowerbystudentteacherswasnotex
pected.Perhapsitcouldbespeculatedthatstudentteachershavenotlearnedaboutthe
149
powerofICTtoolsintheserespects.Thesamecouldbespeculatedaboutcontactswith
pupils,parents,andadministrationforbothteachereducatorsandstudentteachers.As
thewordingoftheitemswasdifferentforteachereducatorsandstudentteachersstatis
tical testing of the significance of the differences was not advisable and the differences
havetobeinterpretedcautiously.
The teacher educators were asked in the questionnaire to evaluate how much they
teachtheuseofthetechnologicaldevicestostudentteachers.Respectively,thestudent
teachers wereasked to evaluate how often they have used technological devices in the
coursestheyhavetaken.TheresultsarepresentedinFigure3.
Projectionsystem
Personalcomputers
LearningManagementSystems/VLE…
Audioequipment(includingsoftware)
Teachereducators
Digitalvideocameras(includingediting…
Studentteachers
Digitalphotocameras(includingediting…
Interactivewhiteboards
Videoconferencingsystems
Mobilephones
1
2
3
4
Figure3:Comparisonofteachereducators’andstudentteachers’evaluationsthroughmeanbars:
Teachereducator:Doyouteachtheuseofthetechnologicaldevicesbelowtostudentteachers?N=
129…132,Scale:1=Never…4=Ineveryclass
Student teacher: What technological devices have you used in the courses you have taken? N =
107 …112, Scale: 1 =Never … 4 = Almost always (The scale has been modified tofit with the
teachereducatorscale)
Herewedonotseeanymajordiscrepanciesbetweentheevaluationsofteacheredu
cators and student teachers. However, as the wording of the questions was somewhat
different, even here statistical testing of the significance of the differences was not ad
visable and the differences have to be interpreted with caution. Thelow frequencies of
the use of modern technologies in the evaluations are indications of a problem which
shouldbeinvestigated,thiscouldleadtoanidentificationofasubstantialproblem.We
musttryandfindaninterpretationbytriangulationinthecontextofthecombineddata.
150
4.3Generalobservations
The overall picture has to be based on multiple sources of information (triangulation
principle): questionnaires, interviews, informal discussions, observations, as well as
earlierresearchandreports.Thetimeoforganisingthesurveyandwhentheresearcher
was present at the teacher training institutions was very dynamic. The technical deve
lopmentwithinthisareahasbeenveryrapidandboththehardwareandthenecessary
softwarewerechangingallthetimesothatthestaffandmentorshadtobrushuptheir
knowhowcontinuously.Alsotransfertonewtechnicalstandardsapparentlytookquitea
lot of time and it was seen that even researcher staff was using a lot of time in
mechanicaltasks.Itwasalsoreportedthattherearedifficultiesinsimultaneouslyusing
different‘yearmodels’ofhardwareorsoftwareespeciallyinmultiusersituationslikea
videoworkshop.
There were many contradictory opinions identified in the interviews. Student
teachersseemtotakeamultitudeofdifferentstudypathsintheirstudies;thereisalsoa
largevariationintheinterestsandexpertiseprofilesoftheirteachereducatorsandmen
tor teachers. There are quite different cultures in relation to ICT use e.g., in different
subjectareas,butitcannotbesaidstereotypicallythattherelationwithICTisnegativein
humanities/artsandpositiveinmathematics/science.Asageneralfeaturewemayidenti
fyastrongmissionofICTuseofferingatoolforreachingvaluablegoalsandbeingon
theotherhandcautiousofthepossibleoverwhelminginfluenceoftechnologyinpeda
gogicalculture.
Thewidevariationsinopinionsdescribedaboveobviouslyreflectthetrueexperien
cesofthetargetgroup.Ontheotherhand,thecogentimpressionofactivityandcreativi
ty of teacher educators andmentor teachers as well as the majority ofstudent teachers
maybeduetothesekindsofspecialpersonsbeingmoreeasilyavailableforinterviews
than more passive individuals. However, it appears that a more comprehensive study
wouldhavebeenverydifficulttoperformwiththeavailableresources.
5 SUMMARY AND CONCLUSIONS
Our study in the context of the global OECD/CERI New Millennium Learners project
strives to analyse and provide suggestions for reaching the goals of ICT use in teacher
educationinFinland.Thisnationalcasestudywasperformedstartinginthespringterm
2009 with an extension of the collection of questionnaire data during the following au
tumntermwiththeparticipatinguniversitiesbeingUHandUEF.
The questionnaires,interview guides, anddata collecting forms were originally for
mulatedbytheOECDstaff,buttheyweremodifiedandrefinedonthebasisoffeedback
from participating countries. Due to the low numbers of student, mentor, and teacher
educator who participated in the questionnaire study in the first round (spring term
2009),asecondroundwasorganizedinautumn2009withmoreadequateparticipation.
However, no advanced statistical analysis could be considered advisable due to prob
lemsinsampling.Therespondentscouldbeabiasedgroupbecausethemajorityofthem
feelfairlycomfortableusingtechnologyintheirclassroomandmanyofthemhadbeen
personallyengagedinaprojectaimedatusingICTinnewandinnovativeways.Howe
151
ver,thedescriptiverepresentationofthesedatacomplementedtheinterviews,observa
tions,andotherinformation.Fromthesetriangulationdataitcanbeconcludedthatthe
situationinthisfieldisrapidlychangingandanycollecteddatawillsoonbemadeobso
lete.
Onthebasisofourcombineddatawecouldanalysethelocalcharacteristics,suchas
the pedagogical orientation of the staff, nature of collaboration and reflection between
staffmembers,staffmembersbeliefsabouttheusabilityofeducationaltechnology,ad
ministrativeleadership,technicalandpedagogicalsupportavailable,aswellasexternal
factorssuchasfunding,natureoftrainingorstaffdevelopment,andthenatureofdeve
lopmentprojectsinICTuse.
The combined data indicate that there are no major obstacles in the use of ICT in
teachereducation.Themostfrequentlyexpressedproblemwasalackoftimetoconcent
rateinlearningsomethingnew(reflectingalsothedifficultnatureofthisrapidlydeve
lopinginnovation)ordoingrelevantresearch.Thismaybeatleastpartlyduetothestaff
structureatthesedepartmentsasstaffmembersherehavemoreteachinghoursandless
timeallocatedforresearchthantheaverageatotherdepartments(OPM,2007,41).Any
way,wecanseealreadytruecommitmenttoresearchintointernationalstandardsinthe
research groups at teacher training institutions. As another valuable perspective active
teachingandlearninginteachereducationmeansthatstudentteachersareguidedand
involvedin(collaborative)learningprocessesandthestaffaremovingtheresponsibility
oflearningtothem.Theseapproacheswereobviouslyappreciatedandgavemanypos
sibilitiesforversatileICTuse.
There was, indeed, a general positive opinion on the possibilities to use modern
technologies when in teacher education. However, the actual use depended on indivi
dualinitiativeandtherewerenostrictrulestobeobeyed.Thus,somestudentteachers
identifiedaproblemintherealityofpracticeteachingbeingmoreconservativethanthe
orallyexpressedintentionsofmentorteachersandteachereducators.Thesedifferences
inopinionsmayalsobeduetointerviewedteachersbeingmoreadvancedintheirICT
skills than average teachers and perhaps the interviewed student teachers were rather
demanding in this respect as there was a convenience sampling of all of these groups.
Thetechnicaldevelopmentwithinthisareahasbeenveryrapidandboththehardware
andthenecessarysoftwarehavebeenchangingallthetimesothatthestaffandmentors
continuously had to brush up their knowhow. Also, transfer to new standards takes
quitealotoftimeanditwasseenthattheresearcherstaffspentalotoftimeresolving
problemsduetothemixedstandardsofoldandnewsoftwareandhardware.
Thedatashowedagenerallyexpressedneedformorecollegialcooperationwithin
teacher education staff and at practice schools reflecting the lack of adequate com
municationchannelsfornewdevelopmentsininnovations.Thisproblemmaybepartial
ly solved bythe expecteddevelopments instaff structure, but most of it may be better
solved by the leadership of directors of the departments and school rectors creating
communicationchannelsthataremoreeffectivethantheonespresentlyinuse.Theser
vices of the IT Department at the central administration were appreciated generally.
However,amoreeasyinteractionwasindicatedtobedesirableevenhere.Cooperative
approachesinimplementingtheICTstrategiesatthedepartmentallevelcouldalsorecti
152
fysomeproblems(cf.Lavonen,Lattu,Juuti,&Meisalo,2006).Therewereindicationsof
internationalcooperationbothinEuropeanprojectsandintheformofvisitingprofes
sorsandstudentsaswellasinparticipationininternationalconferences.However,there
iscertainlyaneedformoreactiveinternationalcooperation,whichwouldbemutually
beneficialinmanyrespects.Itishopedthatthepresentstudywouldbeusefulininterna
tionalcomparisonsofICTuseinteachereducation,eveniftherehavebeentheproblems
inthesurvey’sdataacquisitiondescribedabove.
Teacher educators’ ICT use was primarily the designing of learning sequences and
administrationalduties.InthedatatheconnectionbetweenICTuseandlearningisnot
obvious.However,theadvantagesofmodernequipmentincludingtheirpositivemoti
vationaleffectshaveappearedtodecisionmakerstobemoreimportantthantheirasso
ciatedproblemswhene.g.,interactivewhiteboardshavebeenmadeavailable.However,
itseemsthattoolittleefforthasoftenbeenputintoteachertraininginthesecontexts.For
NewMillenniumLearnersitisalsoimportantthatthereisproperbridgingofschooland
lifeinthesenseofobservingyouthculturewithitsaccesstosocialmediaetc.
Therearesomewhatcontradictoryresultsregardingtheconfidenceofstudentteach
ers for using ICT in classroom situations. It seems that the majority do not have any
problemsalthoughtheyneedencouragementtouseICTmorecomprehensively.Onthe
otherhand,therearesomestudentteacherswithproblemswithcriticalICTliteracyand
muchanxietyaboutICT.Eventhesurveyseemedidentifytheseindividualasthosewith
difficulties with theirstudies and delayed graduation, their ICT problems needspecifi
callyfocusedattention.However,wearenotrecommendingacompulsorydrivinglicen
ceforstudentteachersasitisalreadydoneintheUK,asthiswouldmostprobablyadd
tothefrustrationofalreadyanxiousstudentteachers(TTA,2002).
TeachereducationinFinlandismoreresearchorientedthaninmanyothercountries
withallteachersingeneraleducationneedingaMaster’sdegreetoqualifyasteachers.
ICT in computerassisted research is used in collecting and handling information and
datafromvarioussources,withtheemphasisontheuseofICTinsupportingscientific
reasoning (e.g., data analysis and search in the Internet), Open and Distance Learning
solutions and their use in teaching and learning, such as course management systems
(e.g., moodle), twoway audio/video teleconferencing, and Internet lectures. There are
materialproblems,e.g.,studentteachersneedingwideaccesstodigitallearningresour
ces and experiences in producing these. Learning materials accumulated over several
years under the supervision of professional experts and being updated systematically
maysolvequiteanumberofaccessproblemsinteachereducation.
ThiskindoftechnologyorientedapproachtoanalyseproblemsofICTuseinteacher
educationisnoteasyifthefocusofthediscussionisonhelpingstudentteachersbothto
learntheprinciplesofeducationandtodevelopthevariousskillsneededintheteacher
profession. Discussions about ICT use and its development have to be understood as
partofthedevelopmentofallofteachereducation.Successfuldiffusionofinnovations
dependsonanunderstandingthattherearefluid,nonlinear,reiterativeprocesseswhere
thekeyfactorsareinterrelated:ICTneedstobeimplementedbothmateriallyintermsof
anICTinfrastructureandculturallyintermsofgeneratinganethosthatvaluesICTfor
classroom practice. This approach allows for correctly interpreting the ways in which
153
teachersunderstandpolicyandengageintheimplementationofICT.Itismostimpor
tantthatbothteachereducatorsandstudentteachersgetpositiveexperiencesofICTuse
and a feeling of empowerment for using modern technologies in teaching. This can be
achieved using multiple approaches. However, it seems that the setting of ICTrelated
goals of the programmes of teacher education and related courses on a more concrete
levelandmoresystematicallyascertainingthatthesegoalsarereachedwouldbeneeded
infurtherdevelopmentofteachereducationinFinland.Also,waystoascertainthene
cessary resources for teacher education institutions should be identified and utilised.
WhileobservingthedynamicalnatureofthedevelopmentofICTuseinteachereducati
on, it would be interesting to have a further research project to follow the influence of
recenteffortstoimprovethesituationinFinland.
6 ACKNOWLEDGEMENTS
TheauthorsthanktheOECD/CERIstaffinParisforfruitfulcooperation.TheDeansof
theFacultiesandtheDirectorsoftheDepartments/Schoolsfacilitatedcarryingoutthis
study with their recommendations and encouragement. The longtime collaboration of
theresearchteamsoftheauthorshascontributedmuchofthematerialsutilisedforcom
piling this report. Teemu Valtonen at UEF assisted in the analysis of quantitative data.
The authors are grateful to all the student teachers, teacher educators and mentor
teachersaswellasotherpersonnelwhofilledinthequestionnaireforms,ortookpartin
interviewsessions,andotherdiscussionsandmeetings.Finallywewouldliketothank
theMinistryofEducationandCultureforthefundsthatmadethisstudypossible.
7 REFERENCES
Cummings, A.L., Murray, H.G., & Martin, J. (1989). Protocol analysis of the social
problemsolvingofteachers,AmericanEducationResearchJournal26(1),25–43.
Epper, R.M. & Bates, A.W.T. (2001). Teaching faculty how to use technology: Best
practicesfromleadinginstitutions.Westport,CT:OryxPress.
Fullan, M. (2001). The new meaning of educational change, 3rd ed. New York and
London:TeachersCollegePress.
Hakkarainen,K.,Ilomäki,L.,Lipponen,L.,Muukkonen,H.,Rahikainen,M.,Tuominen,
T.,Lakkala,M.&Lehtinen,E.(2000).Students’skillsandpracticesofusingICT:
resultsofanationalassessmentinFinland.Computers&Education34,103–117.
ITU (2010). Measuring the Information Society 2010. Geneva: http://www.itu.int/ITU
D/ict/publications/idi/2010/Material/MIS_2010_without%20annex%204e.pdf
(Accessed13.03.2010)
Judge,S.&O’Bannon,B.(2008).Facultyintegrationinteacherpreparation:outcomesof
adevelopmentalmodel.Technology,PedagogyandEducation17,1728.
Lavonen, J., Lattu, M., Juuti, K. & Meisalo, V. (2006). Strategybased development of
teacher educators’ ICT competence through a cooperative staff development
project.EuropeanJournalofTeacherEducation29(2)241–265.
154
Lavonen, J., Meisalo, V. & Lattu, M. (2002). Collaborative problem solving in a control
technology learning environment, a pilot study. International Journal of
TechnologyandDesignEducation,12(2),pp.139–160.
Matthew, K., Callaway, R., Letendre, C. KimbelLopez, K. & Stephens, E. (2002).
Adoptionofinformationcommunicationtechnologybyteachereducators:one
onone coaching, Journal of Information Technology for Teacher Education,
11(1).
OECD
(2006).
Education
at
glance.
http://www.oecd.org/document/52/
0,3343,en_2649_39263238_37328564_1_1_1_1,00.html(Accessed2.5.2010).
OECD(2009).Beyondtextbooks.Digitallearningresourcesassystemicinnovationinthe
NordicCountries.Paris:OECDPublishing.
OPM (2007). Opettajankoulutus 2020. [Teacher education 2020]. Opetusministeriön
työryhmämuistioitajaselvityksiä2007:44.InFinnish,abstractalsoinSwedish.
Pelgrum, J.W. & Anderson, (Eds.) (1999). ICT and the emerging paradigm for life long
learning: A worldwide educational assessment of infrastructure, goals, and
practices.Amsterdam:IEA.
Rizza,C.(2009).ICTandinitialteachertraining–Nationalpolicies.ReportfortheNew
MilleniumLearnerProjectofCERIOECD.
Rogers,E.M.2003.Diffusionofinnovations.NewYork:FreePress.
Russell, G. & Bradley, G. (1997). Teachers’ computer anxiety: implications for
professionaldevelopment.EducationandInformationTechnologies,2,17–30.
Sardone, N. & DevlinScherer, R. (2008). Teacher candidates’ views of a multiused
virtualenvironment(MUVE).Technology,PedagogyandEducation17,41–51.
TTA (2002).The new opportunities fund: Training for teachers and school librariansin
theuseofICT;progressreviewandlessonslearnedthroughthecentralquality
assuranceprocessinEngland.PortlandHouse,StagPlace,London,SW1E5TT.
Webb, M. (2002). Pedagogical reasoning: Issues and solutions for the teaching and
learning of ICT in secondary school. Education and Information Technologies
7(3),237–255.
Younie,S.(2006).ImplementinggovernmentpolicyonICTineducation:Lessonslearnt.
EducationandInformationtechnologies11(34),385–400.
155
Computerstudent’smanualtoNumerical
Methodscourse:designing,development,
application
DorisDubrovskaya
ABSTRACT
Thesignificantfeatureofsociety’sdevelopmentatpresentstageistheintensifyingcom
puterization of education process which implies the introduction of information and
communication technologies into all types and forms of educational activities. This in
turn results in broad and efficient use of digital educational resources in schools and
universities.
This paper presents the computerbased student’s manual to the NumericalMethods
coursedesignedundertheauthor’ssupervisionattheChairofInformationTechnology
at the Karelian State Pedagogical Academy for conducting practical lessons with the
second and third year students of the Physics and Mathematics Department. The com
puterbasedstudent’smanualconsistsofthreeparts.Thefirstonerepresentsthetheoret
ical basis of the course and three computer learning aids with practical assignments to
the course in different environments (depending on student’s choice): using Pascal’s
programminglanguage,ExcelmediumorMaplecomputermathematicsystem.
Learningaidshavebeentestedsuccessfullyinthelastthreeyears.Atthesametime
there has been noticeable intensification of student’s independent work, creative ap
proachtoproblemsolving.
Key words: numerical methods, computerbased student’s manual, computerbased
learningaid,iterationmethod
1 INTRODUCTION
The following paper presents the computerbased student’s manual to the Numerical
Methods course designed under the author’s supervision at the Chair of Information
TechnologyattheKarelianStatePedagogicalAcademyforconductingpracticallessons
withthesecondandthirdyearstudentsofthePhysicsandMathematicsDepartment.
Curriculums of all Physics and Mathematics majors include the Numerical Methods
course that considers the problems requiring largescale and laborious calculations.
Modernsoftwarehasmadeitpossibletochangeattitudetosolvingcalculationproblems,
157
providing an opportunity to automate the considerable part of calculations, exempting
studentsfromroutineworkandreplacingitwithcreativetasks.Thisstudent’smanual
containing practical tasks in the Numerical Methods course suggests using the Maple
MathsPackage,ExcelSpreadsheetWriterorTurboPascalprogramminglanguage.Also,
itshouldbestatedthatstudentsarefreetochoosethemediumforaccomplishingNumer
icalMethodscoursegoalsoftheirownaccord.
1.1BriefoutlineoftheNumericalMethodscourse
ThemainaimoftheNumericalMethodscourseistobuildupstudents’understandingof
numerical methods of solving applied tasks, with comprehending sources of possible
mistakesandapproachestotheevaluationofoutcomeaccuracy.Aslongastheneedfor
numericalproblemssolvingarisesmostfrequentlyincomputermathematicalmodeling
ofrealphenomenainvarioussubjectareas,theNumericalMethodscourseplaysanimpor
tantroleinthetrainingofIT,MathematicsandPhysicsteachers.AccordingtotheState
EducationStandard,theNumericalMethodscoursecontainsthefollowingchapters:eval
uation methods of calculation errors; algebraic and transcendental equations solving
methods; methods of numerical solving of linear and nonlinear combined equations;
different ways of functions approximation; numerical differentiation and integration
problems;methodsofnumericalsolvingofdifferentialequations.
Due to the fact that studying error evaluation methods is possible without applica
tionofcomputerfacilities,theauthorsthoughtitacceptablenottoincludethistopicin
theconsideredcomputerbasedstudent’smanual.
2 DESIGNING AND DEVELOPING THE COMPUTER STUDENT’S MANUAL
TO THE NUMERICAL METHODS COURSE
The present paper presents the computer student’s manual to the Numerical Methods
coursedesignedundertheauthor’ssupervisionattheChairofInformationTechnology
at the Karelian State Pedagogical Academy for conducting practical lessons with the
secondandthirdyearstudentsofthePhysicsandMathematicsDepartment;itmayalso
beusefulforthosewillingtomasterthiscourseontheirown.Thecomputermanualmay
be used with educational aims by people who possess sufficient knowledge of at least
one of the procedural programming languages and who have experience of working
withspreadsheetprocessorExcel.Undoubtedly,thecomputermanualonlysupplements
the process of studying the NumericalMethods course along with other (noncomputer)
learningandteachingmaterials.
At the first stage of designing the course we formed the idea and the image of the
createdlearningaid,specifieditsmainfunctions.Atthesametimeweusedthematerials
publishedin[1]and[2].Thenwedetermineditsstructure,contentandthelevelofedu
cational material, as well as made some decisions concerning didactics and software
development.Weusedthelearningaids[3]and[4]asresourcesduringtheselectionof
thematerial.ThegeneralstructureofthemanualisrepresentedintheFigure1.
Themanualconsistsofthreesections.
158
Computer manual to the
Numerical Methods course
Section 2 Accom-
Section 3 Accom-
plishing tasks using
Section 1 Accom-
plishing tasks using
plishing tasks using
Turbo Pascal
Excel
Maple
Figure1:Thegeneralstructureofthemanual
ThefirstsectionrepresentsthecomputerlearningaidtotheNumericalMethodscourse
with instructions on accomplishing practical tasks using Turbo Pascal programming
language. The second section gives instructions on accomplishing practical tasks using
Excel,thethirdoneinstructsonaccomplishingpracticaltasksinMaplemedium.
Eachsectionstartswithanintroductionthatcoversbasicinformationabouttheme
dium, designed for the application of numerical methods. Besides, it should be men
tionedthatinthedescriptionofthemediumwetrytotakeintoconsiderationtheschool
inglevelofpotentialusers.So,inthefirstsectiontheintroductioncontainsbasicinfor
mationrequiredforprogrammingwithTurboPascal(thestructureoftheprogram,main
language statements, working with arrays, using procedures and functions), the infor
mationisgivenintheformofareviewasthestudentsofPhysicsandMathematicsDe
partmentarealreadyfamiliarwiththisprogramminglanguage.
The introduction to the section 2 considers the issues of formatting data in Excel
medium, working with formulas, using builtin functions, plotting diagamms and
graphs,workingwithmacroandbasicsofprogramminginVBAmedium.
In the third section the introduction gives the brief description of programming in
Maplemedium.
At the second stage of designing the computerbased student’s manual there were
created templates (drafts) of standard data components and the user’s interface for the
created product, as well as the information database structure. The Figure 2
demonstrates the structure of each section of the computer student’s manual. The
structureofeachmanual’ssectionissimilartothestructureofthefirstsectiongivenin
Figure2.
Studyingofeachmethodincludes:
theoreticalgroundsofthemethod,
instructionstoaccomplishingpracticaltaskswiththismethodinthemediums
providedbythecomputermanual,
anexampleofaproblemsolving,
arangeofindivudualtasksforpracticalassigments.
159
Figure2:Anexampleofthestructure
It should be noted that the item “instructions to the practical assignment
accomplishing”containsthedescriptionofproblemsolvingwiththeapplicationofone
oranothermethoddependingonthemediumofthemethodapplied.
For example, let us consider the method of simple iteration in solving equations of
f(x)=0 type. The theoretical part of the method is represented in Figure 3 and can be
used in the same way in each section. Figure 4 shows the set of individual tasks for
practical assignments in this topic. Figure 5 contains the instructions to solving f(x)=0
equations using the method of simple iteration in Maple medium, and Figure 8 gives
detaileddescriptionoftheimplementationofthismethodinMSExcelmedium.
Figure6providesanexamplewhichconsidersthewholeprocessofproblemsolving
indetailtodemonstratetheimplementationofthesimpleiterationmethodtosolvingthe
equation of f(x) = 0 type. Figure 7 presents the block diagramm that considerably
facilitateswritingoftheprogramaimedatthesolutionofthetaskgiven.
All other sections in the computer student’s manual are designed according to the
samescheme.
160
Figure3:Thetheoreticalpartofthemethod
Figure4:Thesetofindividualtasksforpracticalassignmentsinthistopic
161
Figure5:Theinstructionstosolvingf(x)=0equationsusingthemethodofsimpleiterationin
Maplemedium
Figure6:Anexampleaboutthewholeprocessofproblemsolving
162
Figure 7: The block diagram that considerably facilitates writing of the program aimed at the
solutionofthetaskgiven
Thedevisedcomputermanualisacomputerbasedlearningaid.Itrepresentsasoft
ware application aimed at reaching specific teaching goals with subject content and
orientedoninteractionwithlearners.
Undoubtly it only supplements learning process while studying the Numerical
Methods course along with other (noncomputer) educational resources and assists in
reachingthefollowingteachinggoals:
providesinitialoutlineofthesubjectarea,andmasteringitsbasicnotionsand
concepts;
facilitates the formation of standard practical problems solving skills in this
subjectarea;
facilitates the formation of analysis and decision making skills in nontypical
problemsolvingsituationsthatariseparticularlywhileimplementingthetasks
fromtheNumericalMethodscoursebymeansofMapleMathsPackageandExcel
SpreadsheetWriter.
163
Figure8:AdetaileddescriptionoftheimplementationofthismethodinMSExcelmedium
3 PRACTICAL APPLICATION OF THE COMPUTER-BASED STUDENT’S
MANUAL
At the final stage of the development of the created learning aid we coordinated and
editedthelearningmaterial,trainingtasks,artworkandthelayoutofitemsmentioned
aboveinthedatabaseofthedesignedlearningaid.
Intheprocessofcreatingthiscomputerlearningaidweusedhypertextmeans,par
ticularlytheHyperTextMarkupLanguage–HTML.Theprogramimplementationwas
carried out bymeans of the converter program htm2chm 3.0.9.3, that allows compiling
discretehtmlfilesintoasinglereferencefilewiththe.chmextension.
164
The result of that stage was the completed functionally and in terms of content
computermanual.Afterthatthedesignedcomputerlearningaidwaspreparedfordis
tribution. For example, the computer student’s manual was recorded on external data
storage devices (floppy disks and CD disks) in a limited number of copies as well as
beinguploadedontheKSPAlocalnetwork.
The developed computer learning aid has been tested at the KSPA Department of
PhysicsandMathematicsforthreeyears.Theundertakenanalysisofexamresultsshows
that in the groups that used the computer manual while studying numerical methods
87.4%oflearnerspassedtheexamontheirfirsttry,comparedwith72.9%inthegroups
wherethecomputermanualwasnotused.Thus,wemayassumethattheapplicationof
computerbasedlearningaidshasarangeofadvantagesincomparisonwiththeapplica
tionoftraditionalformsoforganizingpracticallessons.
4 REFERENCES
Bashmakov, .I. & Bashmakov, I.A. (2003). Development of computerbased manuals
andeducationsystems,Filin,oscow.
Lapchik,M.P,Ragulina,M.I.,&Henner,E.K.(2005).Numericalmethods,ACADEMIA,
Moscow.
Tsavarykin,V.M.,Zhitomirsky,V.G.,&Lapchik,M.P.(1991).Numericalmethods,Pros
vetschenie,Moscow.
Vasilenko, N. V. (2004). Digital educational facilities. Textbook for advanced training
institutions and professional retraining, IPK SPO, Saint Petersburg.
165
Teoksessa tarkastellaan ajankohtaisia
matemaattisten aineiden opetuksen ja
oppimisen tutkimuksia.
Artikkelit pohjautuvat Matematiikan
ja luonnontieteiden opetuksen
tutkimuspäivillä Joensuussa
22.-23.10.2009 pidettyihin esitelmiin.
Publications of the University of Eastern Finland
Reports and Studies in Education, Humanities, and Theology
issn 1798-5641
isbn 978-952-61-0265-8
reports and studies | No 1 | Asikainen et al. (toim.) | Ajankohtaista matemaattisten aineiden opetuksen ja oppimisen tutkimuksessa
Mervi Asikainen,
Pekka E. Hirvonen ja
Kari Sormunen (toim.)
Ajankohtaista
matemaattisten aineiden
opetuksen ja oppimisen
tutkimuksessa
Mervi Asikainen, Pekka E. Hirvonen ja
Kari Sormunen (toim.)
Ajankohtaista matemaattisten
aineiden opetuksen ja oppimisen
tutkimuksessa
Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen
tutkimuspäivät Joensuussa 22.-23.10.2009
Publications of the University of Eastern Finland
Reports and Studies in Education, Humanities, and Theology