1.) Zusammenfassung: Reihen und formale Potenzreihen 2

1.) Zusammenfassung: Reihen und formale
Potenzreihen
Wiederhole die obigen Themen der letzten Worksheets. Wir stellen Fragen im
Testat!
2.) Anwendungen von Stetigkeit: Zwischenwertsatz,
Intervallschachtelung, Extrema
Aufbauend auf: "Stetigkeit: Definition und elementare Eigenschaften"
Aufgaben: 3
> restart;
Zwischenwertsatz
Viele Aussagen, die vorher schwierig zu beweisen waren, werden mit Hilfe der
folgenden Sätze zu einfachen Stetigkeitsverifikationen. In diesem Abschnitt
sind unsere Abbildungen meistens reellwertig mit einem abgeschlossenen
Intervall als Definitionsbereich.
M A T H: (Zwischenwertsatz) Sei
(oder
eine stetige Funktion mit
). Dann gibt es ein
mit
Zum numerischen Rechnen, wie auch als wesentlichen Beweisschritt für den
Zwischenwertsatz, hat man die -Version des Satzes:
Sei
eine -stetige Funktion mit
(oder
). Dann gibt es ein
mit
.
> plot(x^3-2,x=0..2);
.
Jetzt ist es ganz einfach, die Existenz der dritten Wurzel einer reellen Zahl
beweisen:
zu
ist stetig (in für festes ). Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass
gilt. Dann ist
und
mit
und
. Nach dem
Zwischenwertsatz existiert also ein
mit
. Da
streng
monoton ist, ist dieses eindeutig bestimmt.
Das selbe Argument zeigt:
MATH - Satz: Ist
so ist
stetig und streng monoton steigend (bzw. fallend),
(bzw.
und definiert eine Bijektion der beiden Intervalle.
)
Man beachte: Dass man eine Bijektion auf das Bild bekommt, folgt leicht aus
der strengen Monotonie, aber dass das Bild wieder ein abgeschlossenes Intervall
ist, bekommen wir erst aus der Stetigkeit mit Hilfe des Zwischenwertsatzes.
Man hat noch den folgenden Zusatz:
MATH - Satz: In der obigen Situation ist die inverse Abbildung
(Umkehrfunktion)
ebenfalls stetig.
Intervallschachtelung
Wir wollen noch sehen, wie gut unsere neuen Begriffsbildungen sind, um
wirklich eine dritte Wurzel auszurechnen, sagen wir für
.
> evalf((1/11)^(1/3));
0.4496443130
(2.2.1)
> f:=x->x^3-1/11;
(2.2.2)
Das folgende Programm approximiert eine Nullstelle von
durch Intervallschachtelung:
> Fo:=proc(f::procedure, l, r, epsilon)
local p,n,m,a;
p:=r;
n:=l;
m:=(p+n)/2;
a:=1;
while (abs(f(m)) >= epsilon) do
if f(m)>0 then
p:=m;
else
n:=m;
end if;
m:=(p+n)/2;
a:=a+1;
end do;
return m,a;
end proc:
> evalf(Fo(f, 0, max(1,1/11), 1/1000));
(2.2.3)
Wir besprechen ein paar leichte Anmerkungen zum Programm als Aufgabe.
ÜBUNG [01]:
1) Kritisiere das obige Programm der Intervallschachtelung. Begründe dabei,
warum das nicht so wichtig ist wie die Anzahl der Schritte oder - was dem
direkt entspricht - die Länge des relevanten Intervalls.
2) Gib ein Beispiel an, das das in 1) beschrieben Problem mit Hilfe von Fo
verdeutlicht.
3) Schreibe das Programm so um, dass man eine Fehlergenauigkeit vorgeben
kann, also ein
, sodass der errechnete Wert von dem tatsächlichen Wert
höchstens um
abweicht.
4) Ergänze das Programm indem du die Voraussetzungen (bis auf die Stetigkeit
von f ) des Zwischenwertsatzes prüfst.
>
M A T H: Das Verfahren der Intervallschachtelung entspricht also genau dem
Zwischenwertsatz. Man braucht lediglich Stetigkeit, jedoch keine Monotonie.
Dass der Funktionswert eines Punktes aus dem Definitionsbereich unter
Umständen sehr nahe bei Null liegt, besagt nicht, dass man nahe bei eine
Nullstelle hat.
Extrema
MATH - SATZ: Ist
eine stetige Funktion, so gibt es
mit
für alle
. Mit anderen Worten, ein stetiges nimmt sein Minimum und
Maximum auf einem abgeschlossenen Intervall an.
Es ist leicht einzusehen, dass die Situation bei offenen Intervallen anders ist.
ÜBUNG [02]:
Zeige an einem Beispiel, dass die obige Aussage für offene Intervalle
falsch ist.
MATH - Bemerkung: Eine Folgerung des obigen, sehr wichtigen Satzes ist, dass
bei stetigen Funktionen Bilder abgeschlossener Intervalle wieder
abgeschlossene Intervalle sind.
MATH - Bemerkung: Bilder beschränkter Intervalle brauchen unter stetigen
Abbildungen nicht beschränkt zu sein, sehr wohl aber unter gleichmäßig
stetigen Abbildungen.
Die -Version dieser Aussage zeigen wir mit Hilfe der folgenden Aufgabe,
welche sich durch ein
-Argument zeigen lässt.
ÜBUNG [03]:
Sei
gleichmäßig -stetig für
.
Zeige:
für alle
.
mit dem Stetigkeitsmodul
Hinweis: man kann nur um einen Wert kleiner als
"springen".
3.) Grenzwerte und Stetigkeit
Aufbauend auf: "Stetigkeit: Definition und elementare Eigenschaften"
Aufgaben: 2
> restart;
Grenzwerte und Stetigkeit
Bislang haben wir Stetigkeit meistens bei abgeschlossenen Intervallen studiert.
Was kann bei offenen oder unbeschränkten Intervallen passieren?
MATH: Ein Punkt
Intervall
mit
.
heißt Häufungspunkt von
mindestens ein Punkt
, falls für jedes offene
existiert mit
M A T H: Sei
und
ein Häufungspunkt von D. Eine Funktion
heißt konvergent gegen
für gegen
falls zu jedem
existiert mit
und
.
In Zeichen:
.
Man beachte: Ist
falls in x stetig ist.
und
ein
, so ist genau dann konvergent gegen y ,
> limit(sin(1/x),x=0);
(3.1.1)
> plot(sin(1/x),x=1/50..1);
Dieses interpretieren wir so:
ist auf
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig, da sonst der Grenzwert für
existierte, denn man hat den offensichtlichen Satz:
M A T H: Ist
gleichmäßig stetig, so existiert
sich zu einer (gleichmäßig) stetigen Funktion auf
und somit lässt
fortsetzen.
DENKANSTOSS: Man beweise diese Aussage. (Hinweis: Eine gegen
konvergente Folge
liefert eine Cauchyfolge
.)
Wir betrachten die Konzepte an einem leichten Beispiel.
ÜBUNG [01]:
1) Prüfe mit dem l i m i t-Befehl von Maple für
, ob
zu einer stetigen Funktion auf ganz fortgesetzt werden kann.
2) Gib allgemein an, für welche
diese Fortsetzung möglich ist und
beweise die Existenz der Fortsetzung für diese Fälle.
M A T H: Sei
, falls zu jedem
und
. Man sagt,
konvergiert gegen
ein
existiert mit
.
In diesem Fall schreibt man
.
Entsprechend definiert man Konvergenz für
.
DENKANSTOSS: Ist
stetig, sodass die Grenzwerte
existieren, so ist beschränkt.
> limit((x^2-x-1)/x^2,x=infinity);
1
> plot((x^2-x-1)/x^2,x=10..200);
für
und
(3.1.2)
Diese Aussage interpretieren wir so, dass
genauso schnell gegen
unendlich wächst wie . Man beachte, dass die Konvergenz des Quotienten
nicht die Konvergenz der Differenz impliziert.
MAPLE: Wenn wir früher mit dem l i m i t-Befehl von Maple Grenzwerte von
Folgen ausgerechnet haben, lag die folgende Situation vor: Unsere Folge kam
durch Einschränkung einer reellen Funktion auf die natürlichen Zahlen
zustande und Maple hat den Grenzwert der Funktion ausgerechnet.
M A T H: Die Gerade
heißt Asymptote von
für
, falls
,
d.h. falls zu jedem
ein
existiert mit
für
.
ÜBUNG [02]:
1) Gib eine (nicht triviale) gebrochen rationale Funktion an, die
als
Asymptote für
hat.
2) Plotte die Funktion zusammen mit ihrer Asymptote.
3) Beachte, dass bei der Asymptote
einer Funktion die
Differenz
gegen konvergiert. Zeige, dass daraus die Konvergenz des
Quotienten
folgt (mit Ausnahme von
als Asymptote).
4.) Differentiation: Definition, Eigenschaften und
Beispiele
Aufbauend auf: "Stetigkeit: Definition und elementare Eigenschaften"
Aufgaben: 3
> restart;
Definition Differentiation
Differenzieren ist eines der zentralen Hilfsmittel zur Untersuchung der
Wachstumseigenschaften reeller Funktionen. Die meisten gängigen Funktionen
sind differenzierbar, aber leider nicht alle.
M A T H: Wir betrachten Funktionen
die in
stetig sind. Stetigkeit in
kann man auch so sehen, dass in der Nähe von x durch die konstante
Funktion
gut angenähert wird. Wenn dies eintritt, kann man mit etwas allgemeineren,
aber immer noch sehr eingeschränkten Funktionen
mit
vergleichen, denn diese sind auch stetig in x und haben dort auch
den Wert
.
BEISPIEL: Hier wird
bei
mit zwei verschiedenen
verglichen:
eine (grün) mit
und eine (rot) mit
. Warum ist
besser?
> plot(subs(x0=1,[(x0+h)^2, x0^2+2*x0*h, x0^2+h]),h=-1/2..1/2,
color=[black,green,red],thickness=2);
M A T H: Alle
sind stetig in
mit dem Wert , ebenso wie
. Also bietet es sich an, nach der Stetigkeit des Quotienten
zu fragen, der auf
definiert ist. Zwei Möglichkeiten ergeben sich:
ist stetig ergänzbar in x oder nicht. Im ersten Fall heißt
differenzierbar in x . Verlangt man noch in Analogie zur Stetigkeit, wo
gilt, dass der ergänzte Funktionswert gleich Null ist, so tritt
dies für genau einen Wert von ein und man sagt: ist differenzierbar in x m i t
Ableitung
.
Beachte: In diesem Fall ist
mit dieser Wahl von eine wesentlich bessere
Annäherung an in x als , d. h. f ü r gegen x konvergiert
schneller
gegen Null als
. Im zweiten Fall, wo
in x nicht stetig
ergänzbar ist, sagt man, ist nicht differenzierbar in x .
> limit(((x0+h)^2-x0^2)/h, h=0);
(4.1.1)
> limit((x^2-x0^2)/(x-x0), x=x0);
(4.1.2)
Also ist in diesem Fall
> (x^2-(x0^2+2*x0*(x-x0)))/(x-x0);
(4.1.3)
(4.1.3)
Diese lässt sich in der Tat stetig in x (als Funktion von ) ergänzen, denn
> simplify(%);
(4.1.4)
MAPLE: Maple geht zunächst einmal davon aus, dass eine beliebig vorgegebene
(unspezifizierte) Funktion differenzierbar ist und hat seine eigene Notation für
die Ableitung:
> limit((f(x)-f(x0))/(x-x0),x=x0);
(4.1.5)
MAPLE: Im Falle konkreter, nicht differenzierbarer Funktionen protestiert
Maple:
> limit((abs(x)-abs(0))/(x-0),x=0);
undefined
(4.1.6)
M A T H: Differenzierbarkeit in einem Punkt ist weniger interessant als
Differenzierbarkeit auf dem ganzen Definitionsbereich, z. B. auf oder auf
einem offenen Intervall in . Ist der Fall gegeben, so kann man die Ableitung
wieder als Funktion auf dem Definitionsbereich auffassen.
MAPLE: Für die gängigen Fälle kann MAPLE symbolisch differenzieren:
> diff(x^2,x);
(4.1.7)
Gemeint ist, die Ableitung der Funktion
.
> diff(exp(x),x);
ex
ist die Funktion
(4.1.8)
MAPLE: Interessant ist, wie Maple sich bei Funktionen verhält, die überall bis
auf wenige Ausnahmen differenzierbar sind:
> f:=x->piecewise(x<0,x+1,x<1,1,x):
> f(x);
(4.1.9)
> plot(f(x),x=-1..2,thickness=3);
> diff(f(x),x);
(4.1.10)
oder unter Anwendung des sog. Differentialoperators D:
> D(f)(z);
(4.1.11)
> plot(diff(f(x),x),x=-1..2,discont=true,thickness=3);
> f:='f':g:='g':
Ein weiteres Beispiel:
> diff(abs(x),x);
(4.1.12)
> plot(abs(1,x),x=-1..1,discont=true,thickness=3);
DENKANSTOSS: Was haben die obigen Beispiele mit Rechts- bzw.
Linksdifferenzierbarkeit zu tun?
Beispiel:
> diff((sin(1/x))*x,x);
(4.1.13)
(4.1.13)
> plot({(sin(1/x))*x},x=-0.1..0.1,thickness=1,numpoints=200);
ÜBUNG [01]:
Untersuche mit Hilfe eines gläubigen Vertrauens auf den l i m i t-Befehl (nicht
aber auf den d i f f-Befehl) von MAPLE:
1) Welche der Funktionen
sind in
stetig ergänzbar,
?
2) Welche dieser Funktionen sind differenzierbar in
?
3) Plotte die Funktionen und erkläre, wie man die Ergebnisse aus 1) und 2) in
den Plots wiederfindet.
Vgl. auch Aufgabe 1 in Abschnitt "Grenzwerte und Stetigkeit".
Ableitungsregeln
M A T H und MAPLE: Ähnlich wie für Grenzwerte gibt es für Ableitungen Regeln,
die MAPLE bekannt sind:
Summenregel:
> diff(f(x)+g(x),x);
(4.2.1)
Für die Ableitung gilt die Produktregel.
> diff(f(x)*g(x),x);
(4.2.2)
Daraus folgt die Quotientenregel .
> simplify(diff(f(x)/g(x),x));
(4.2.3)
Einfacher Beweis des Quotientenregel: Es gilt für eine differenzierbare Funktion
:
Wenn man nach
umstellt, gilt:
.
Weiter:
.
Weiterhin gilt auch hier die Kettenregel:
> diff(f(g(x)),x);
(4.2.4)
M A T H: Die Produktregel ist fundamental.
DENKANSTOSS: Man mache sich die Produktregel plausibel an dem
Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen
und
. Wie
interpretiert man die beiden Terme seiner Änderung, wenn x variiert?
Differentiation von Polynomen
MATH: Wir hatten bereits die formale Differentiation von Polynomen in einer
Variablen behandelt. Wir wollen jetzt Polynomfunktionen im oben definierten
Sinne differenzieren:
ÜBUNG [02]:
Zeige: Die Funktion
Ableitung ist
Hinweis: Binomischer Lehrsatz.
ist in jedem
differenzierbar und ihre
.
Mit der Summenregel folgt, dass Polynomfunktionen differenzierbar sind und
ihre Ableitung der formalen Ableitung der ihnen zugrundeliegenden Polynome
entspricht.
Ableitungen von Umkehrfunktionen
M A T H: Große Klassen von Funktionen sind differenzierbar (=differenzierbar im
Innern ihres Definitionsbereiches), z. B. Polynomfunktionen oder Funktionen,
die durch eine konvergente Potenzreihe dargestellt sind. Weiter sind aufgrund
der Kettenregel auch Umkehrfunktionen von streng monotonen
differenzierbaren Funktionen differenzierbar:
> exp(log(x));
x
(4.4.1)
> diff(exp(log(x)),x);
1
(4.4.2)
ex
(4.4.3)
Also wegen
> diff(exp(x),x);
folgt nach der Kettenregel
> diff(log(x),x);
und somit:
(4.4.4)
1
(4.4.4)
DENKANSTOSS: Diskutiere die Definitionsbereiche.
ÜBUNG [03]:
1) Leite die Umkehrfunktion des Tangens, also arctan, mit Hilfe der Kettenregel
nach dem obigen Vorgehen ab.
Hinweis:
. Du brauchst die Definitionsbereiche nicht detailiert
diskutieren.
2) Leite mit obiger Idee eine Formel her, welche die Ableitung der
Umkehrfunktion ausrechnet. Welche Voraussetzungen sind notwendig?
Der folgende Denkanstoß, dessen Verifikation mit den derzeitigen Hilfsmitteln
noch nicht durchführbar ist, soll helfen, Fehlvorstellungen abzubauen:
DENKANSTOSS: Die folgende Funktion ist überall stetig und nirgends
differenzierbar:
> plot(add(1/n^2*sin(n^3*x),n=1..100),x=-1..1);