chapitre 8: activités

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chapitre 8: activités
Chapitre 8 - Trigonométrie -activités
1- Le cercle trigonométrique et le radian
Enoncé 1 : quelques rappels
On considère (O,I,J) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique.
πœ‹ πœ‹ 3πœ‹
πœ‹
1- Construire C et représenter sur le cercle les points associés aux réels 0 ; ; ; ; 4πœ‹; βˆ’ ; πœ‹; βˆ’πœ‹.
4 2
2
2
2- Déterminer le point auquel on peut associer tout nombre réel s’écrivant – πœ‹ + π‘˜ βˆ— 2πœ‹ avec k entier
πœ‹
positif ou négatif. Reprendre la question avec : tout nombre s’écrivant + π‘˜ βˆ— 2πœ‹ k entier positif ou
2
négatif
Enoncé 2 : le radian
A et B sont deux points du cercle trigonométrique.
οΏ½ est l’angle au centre qui intercepte l’arc 𝐴𝐡 .
L’angle 𝐴𝑂𝐡
On sait que la mesure de l’arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte.
1- Faire une figure.
2- Compléter le tableau suivant :
οΏ½ en °
Mesure de L’angle 𝐴𝑂𝐡
Longueur de l’arc AB pour r=1
360°
180°
45°
πœ‹
πœ‹
πœ‹
7
2
12
3
3- Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la deuxième ligne à la première.
4- L’observation du tableau conduit à définir une nouvelle unité d’angle , le radian, telle que la mesure
d’un angle soit égale à la longueur de l’arc intercepté sur un cercle de rayon 1.
a- Quelle est la mesure en radian d’un angle de 45° ? de 35° ?
πœ‹
5πœ‹
b- Quelle est la mesure en degrés d’un angle de radians ? de ?
3
6
2- Angles orientés et mesure principale :
Enoncé 3 : angles orientés
Une bille se déplace sur une piste circulaire de rayon un mètre dans les deux sens de parcours possibles. Les
points A,B,C,D,E,F, G et H du cercle sont les sommets d’un octogone régulier.
οΏ½ ? de l’angle géométrique 𝐴𝑂𝐻
οΏ½?
1- Quelle est la mesure, en radians , de l’angle géométrique 𝐴𝑂𝐡
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ—, 𝑂𝐡
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ— ) dont une mesure
Pour aller de A à B , la bille parcourt le cercle dans le sens positif. On définit l’angle (𝑂𝐴
πœ‹
est . Donner un réel associé au point B par enroulement.
4
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ—, 𝑂𝐻
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ— ) dont une
Pour aller de A à H , la bille parcourt le cercle dans le sens négatif. On définit l’angle (𝑂𝐴
βˆ’πœ‹
mesure est . Donner un réel associé au point H par enroulement.
4
2- La bille part de A et parcourt le cercle dans le sens positif. Pour chacune des longueurs parcourues
πœ‹
5πœ‹ 25πœ‹
suivantes, indiquer le point d’arrivée : ; πœ‹; ;
2
4
4
3- La bille part de D et parcourt le cercle dans le sens négatif. Pour chacune des longueurs parcourues
πœ‹
5πœ‹ 47πœ‹
suivantes, indiquer le point d’arrivée : ; πœ‹; ;
4
4
4
4- Pour aller de D à A, dans le sens positif, quelle est la longueur du trajet le plus court ? Indiquer la
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ— , 𝑂𝐴
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ—).
mesure correspondante de l’angle (𝑂𝐷
5- Pour aller de H à B, dans le sens positif, quelle est la longueur du trajet le plus court ? Indiquer la
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ— , 𝑂𝐡
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ— ).
mesure correspondante de l’angle (𝑂𝐻
17πœ‹
οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ—, οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βƒ—
6- Placer le point M tel qu’une mesure de (𝑂𝐴
𝑂𝑀) est
3
Enoncé 4 : mesure principale
Donner la mesure principale d’un angle dont la mesure est :
43πœ‹
a4
b- 425πœ‹
c-
d-
72πœ‹
5
46πœ‹
4
3- Cosinus et Sinus – angles associés
Enoncé 5 : Rappels - Cosinus et sinus des angles remarquables :
compléter le tableau ci-dessous :
𝑹é𝒆𝒍 𝒙
𝝅
πŸ”
𝟎
π‘ͺ𝒐𝒔 𝒙
𝝅/πŸ’
𝝅/πŸ‘
𝝅/𝟐
π‘Ίπ’Šπ’ 𝒙
Enoncé 6 : Utilisation des Angles associés
On considère (O,I,J) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique.
πœ‹
πœ‹ 5πœ‹ 29πœ‹
1- Construire C et placer les points A,B,C et D respectivement associés à βˆ’ ; βˆ’ ;
3
2- En vous aidant du tableau de l’énoncé 5, calculer les valeurs exactes de :
πœ‹
5πœ‹
a- π‘π‘œπ‘ (βˆ’ )
c- π‘π‘œπ‘  οΏ½ οΏ½
3
πœ‹
b- sin (βˆ’ )
d- sin (
6
Enoncé 7 : Utilisation des Angles associés
πœ‹
Soit π‘₯ un réel de l’intervalle [ ; πœ‹]. M est le point du cercle C associé à π‘₯.
2
𝑠𝑖𝑛( + π‘₯)
2
6
4
;
6
)
2
1- Placer M tel que sin(π‘₯ ) =
5
2- Placer les points du cercle associés aux réels :
πœ‹
πœ‹
a+π‘₯
bβˆ’π‘₯
2
2
3- Calculer π‘π‘œπ‘ (π‘₯)
4- Calculer:
πœ‹
πœ‹
a- π‘π‘œπ‘ ( + π‘₯)
b- π‘π‘œπ‘ ( βˆ’ π‘₯)
2
πœ‹
4
29πœ‹
6
2
πœ‹
𝑠𝑖𝑛( βˆ’ π‘₯)
2
πœ‹+π‘₯
d-
πœ‹βˆ’π‘₯
c- π‘π‘œπ‘ ( πœ‹ + π‘₯)
d-
cos (πœ‹ βˆ’ π‘₯)
c-
𝑠𝑖𝑛( πœ‹ + π‘₯)
sin (πœ‹ βˆ’ π‘₯)
4- Formules et résolutions d’équations
Enoncé 8 : utilisation des formules du cours
πœ‹
πœ‹
7πœ‹
1- Calculer + . En déduire la valeur exacte de sin( )
3
4
3πœ‹
3πœ‹
12
2- Déterminer la valeur exacte de π‘π‘œπ‘ ( ) et 𝑠𝑖𝑛( ). Après avoir observé que
3πœ‹
3πœ‹
valeur exacte de π‘π‘œπ‘ ( ) et 𝑠𝑖𝑛( ).
8
8
4
4
πœ‹
πœ‹
3πœ‹
4
= 2βˆ—
3πœ‹
8
, calculer la
3- Montrer que pour tout réel x : π‘π‘œπ‘  οΏ½π‘₯ βˆ’ οΏ½ = 𝑠𝑖𝑛 οΏ½π‘₯ + οΏ½
6
3
Enoncé 9 : Résolution d’équations :
1- Résoudre dans ] βˆ’ πœ‹; πœ‹] l’équation sin(π‘₯ ) = sin (πœ‹6) et représenter ses solutions sur le cercle
2-
trigonométrique.
2πœ‹
Résoudre dans ℝ l’équation cos(π‘₯) = cos οΏ½ οΏ½ .
3
3- Résoudre dans ] βˆ’ πœ‹; πœ‹] l’équation cos(π‘₯ ) = √22 et représenter ses solutions sur le cercle
trigonométrique.