שאלות למבחן מפמ"ר תשע"ב

‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬
‫‪14.5.2012‬‬
‫משרד החינוך‬
‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫מבחן מפמ"ר לכיתות ט' – רמה רגילה‬
‫בהצלחה!‬
‫שם התלמיד‪_____________ :‬‬
‫בי"ס‪_________________ :‬‬
‫יישוב‪________________ :‬‬
‫טור ב'‬
‫המבחן מתוכנן ל‪ 90-‬דקות‪.‬‬
‫השימוש במחשבון מותר‪.‬‬
‫פרק א'‪ :‬אלגברה‪ ,‬אוריינות והסתברות‬
‫‪ 20‬נק' ‪ .1‬בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 4‬נק'‬
‫א‪ .‬איזו מבין הפונקציות הבאות יכולה מתאימה לתאר את הגרף הנתון?‬
‫‪.I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t(x) = 2(x – 3) + 4‬‬
‫‪p(x) = –2(x + 3)2 – 4 .II‬‬
‫‪k(x) = –2(x – 3)2 + 4 .III‬‬
‫‪n(x) = 2(x – 3)2 – 4 .IV‬‬
‫‪ 6‬נק'‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪m(x) = – (x – 3)2 + 4 :‬‬
‫הקיפו בעיגול "נכון ‪ /‬לא נכון" לגבי כל טענה‪:‬‬
‫‪ 6‬נק'‬
‫‪ 4‬נק'‬
‫‪ .I‬לפונקציה ‪ y = 0‬יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה‬
‫נכון ‪ /‬לא נכון‬
‫‪ .II‬לפונקציה ‪ y = 7‬יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה‬
‫נכון ‪ /‬לא נכון‬
‫‪ .III‬לפונקציה הנתונה ולפונקציה ‪ f(x) = – (x – 3)2‬יש אותו ציר סימטריה‬
‫נכון ‪ /‬לא נכון‬
‫‪ .IV‬לישר ‪ x = 3‬יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה‬
‫נכון ‪ /‬לא נכון‬
‫ג‪ .‬באיזה תחום הפונקציה ‪ m(x) = – (x – 3)2 + 4‬חיובית? הציגו דרך פתרון‪.‬‬
‫ד‪ .‬כתבו פונקציה ריבועית שהקדקוד שלה הוא )‪ (3, 4‬ואין לה נקודות חיתוך עם ציר ‪.x‬‬
‫‪1‬‬
‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬
‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬
‫‪14.5.2012‬‬
‫משרד החינוך‬
‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫‪ 8‬נק'‬
‫‪m(x) − (x − 3) 2 + 4‬‬
‫=‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪− (x − 3) 2‬‬
‫בונוס‪ :‬איזה מבין הגרפים שלפניכם מתאים לתאר את גרף הפונקציה‪:‬‬
‫=‪y‬‬
‫נמקו‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬
‫‪.I‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-7‬‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬
‫‪.II‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬‬
‫‪.III‬‬
‫‪ 8‬נק'‬
‫‪-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-7‬‬
‫‪-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬
‫‪.IV‬‬
‫‪-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-7‬‬
‫‪ .2‬לפניכם שני שעוני משחק המחולקים לארבע גזרות שוות ועליהם מחוגים ומספרים‪) :‬ראו איור(‬
‫להלן חוקי המשחק‪:‬‬
‫מסובבים את המחוג של השעון הראשון‪.‬‬
‫אם המחוג של השעון הראשון נעצר על מספר חיובי מסובבים את המחוג של השעון השני‪.‬‬
‫מנצחים במשחק אם המחוג של השעון הראשון וגם המחוג של השעון השני ייעצרו על מספר חיובי‪.‬‬
‫‪ 2‬נק'‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהמחוג ייעצר על מספר חיובי בשעון הראשון?‬
‫‪ 4‬נק'‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לנצח במשחק? הסבירו‪.‬‬
‫‪ 2‬נק'‬
‫ג‪ .‬ידוע כי המחוג של השעון הראשון נעצר על מספר‬
‫שעון שני‬
‫‪5‬‬
‫‪–2‬‬
‫חיובי‪ .‬מהי ההסתברות לנצח במשחק?‬
‫‪–5‬‬
‫‪–4‬‬
‫שעון ראשון‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪–0.5‬‬
‫‪2‬‬
‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬
‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬
‫‪14.5.2012‬‬
‫משרד החינוך‬
‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫‪ 12‬נק'‬
‫‪ .3‬נתונים משולש ‪ EGC‬וריבוע ‪ ABCD‬הצמודים זה לזה לפי השרטוט המצורף‪) :‬השרטוט מוקטן(‬
‫אורך הגובה לצלע ‪ GC‬במשולש ‪ EGC‬מסומן כ‪ .x -‬נתונים נוספים מסומנים על השרטוט‪.‬‬
‫שטח הריבוע ‪ ABCD‬גדול ב‪ 3 -‬סמ"ר משטח המשולש ‪.EGC‬‬
‫‪ 4‬נק'‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬איזו מבין המשוואות הבאות מתאימה לחישוב‬
‫האורך של ‪.x‬‬
‫‪.I‬‬
‫‪ 4‬נק'‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‬
‫‪B‬‬
‫‪9–x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x(15 − x ) + 3 = (9 − x )2‬‬
‫‪.II‬‬
‫) ‪x(15 − x‬‬
‫‪+ 3 = (9 − x ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.III‬‬
‫) ‪x(15 − x‬‬
‫‪= 3 + (9 − x ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.IV‬‬
‫‪x(15 − x ) = 3 + (9 − x )2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬יובל פתר נכון את המשוואה ומצא כי אורך הגובה לצלע ‪ GC‬במשולש הוא ‪ 4‬ס"מ או ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫נעמה אמרה שהפתרון של יובל חלקי ולא יתכן שאורך הגובה לצלע ‪ GC‬במשולש יהיה ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫הסבירו את התשובה של נעמה‪.‬‬
‫‪ 4‬נק'‬
‫ג‪ .‬חשבו את שטח המשולש ‪ .GEC‬הציגו דרך חישוב )אפשר להיעזר בסעיף ב'(‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬
‫משרד החינוך‬
‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫‪ 10‬נק'‬
‫‪ .4‬נתונה המשוואה‬
‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬
‫‪14.5.2012‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5x − 10‬‬
‫‪=2− 2‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪x −4‬‬
‫אפרת פתרה כך )להלן חלק מהפתרון‬
‫אלעד פתר כך‪:‬‬
‫של אפרת(‪ :‬תחום ההצבה‪x ≠ ±2 :‬‬
‫)‪7(x − 2) = 2(x 2 − 4) − (5x − 10‬‬
‫‪2x 2 − 12x + 16 = 0‬‬
‫‪x 2 − 6x + 8 = 0‬‬
‫‪(x − 2)(x − 4) = 0‬‬
‫‪x1 = 2, x 2 = 4‬‬
‫‪7 = 2(x + 2) − 5‬‬
‫)‪12 = 2(x + 2‬‬
‫‪6= x+2‬‬
‫‪x=4‬‬
‫אפרת קבעה‪ :‬פתרון המשוואה הוא ‪x = 4‬‬
‫אלעד קבע‪ :‬הפתרונות של המשוואה הם‬
‫‪ x = 4‬או ‪x = 2‬‬
‫‪ 6‬נק'‬
‫א‪ .‬השלבים הראשונים של הפתרון של אפרת נמחקו‪.‬‬
‫הציגו את השלבים החסרים בפתרון של אפרת‪.‬‬
‫‪ 4‬נק'‬
‫ב‪ .‬מי מהתלמידים‪ ,‬אפרת או אלעד‪ ,‬קבע נכון את הפתרון‪/‬ות של המשוואה? הסבירו‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬
‫משרד החינוך‬
‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫‪ 15‬נק'‬
‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬
‫‪14.5.2012‬‬
‫‪ .5‬נועה התחילה להוריד תוכנה מהאינטרנט שהנפח שלה הוא ‪.350MB‬‬
‫קצב ההורדה של התוכנה היה ‪ 500KB) .500KB/Sec‬בשנייה(‪.‬‬
‫שימו לב!‬
‫‪ 1) 1MB‬מגה בייט( שווה ערך ל‪1,000KB -‬‬
‫לפניכם הגרף המתאים להורדת התוכנה‪.‬‬
‫נפח התוכנה שנותר‬
‫להורדה )ב‪(MB -‬‬
‫‪350‬‬
‫‪300‬‬
‫‪250‬‬
‫‪200‬‬
‫‪150‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫זמן שעבר‬
‫מתחילת ההורדה‬
‫)בדקות(‬
‫‪9 10 11‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3‬נק'‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מה נפח התוכנה שנותר להוריד כעבור ‪ 5‬דקות מתחילת ההורדה? ________________‬
‫‪ 3‬נק'‬
‫ב‪ .‬כעבור כמה דקות נותרו ‪ 50MB‬להורדה על פי הגרף הנתון? _______________‬
‫‪ 3‬נק'‬
‫ג‪ .‬מה נפח התוכנה שהורד כעבור ‪ 20‬שניות מתחילת ההורדה?‬
‫סמנו את התשובה הנכונה‪:‬‬
‫‪10KB .I‬‬
‫‪ 6‬נק'‬
‫‪20KB .II‬‬
‫‪10MB .III‬‬
‫‪20MB .IV‬‬
‫ד‪ .‬ידוע שמשך הזמן שיורדת התוכנה כולה הוא ‪ 11‬דקות ו‪ 40-‬שניות‪.‬‬
‫מהו נפח התוכנה שכבר הורד אם נותרו עוד ‪ 7‬דקות ו‪ 30 -‬שניות להורדת התוכנה כולה ?‬
‫כתבו את התשובה ב‪.KB -‬‬
‫‪5‬‬
‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬
‫משרד החינוך‬
‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬
‫‪14.5.2012‬‬
‫פרק ב'‪ :‬גיאומטריה‬
‫‪ 20‬נק'‬
‫‪ .6‬נתון‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ FGKL‬מלבן‬
‫‪ GL‬ו‪ FK -‬אלכסונים הנפגשים בנקודה ‪D‬‬
‫‪ FM || GL‬ו‪ML || FK -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪T‬‬
‫הוכיחו‪:‬‬
‫‪ 10‬נק'‬
‫‪ 10‬נק'‬
‫א‪ .‬המרובע ‪ FDLM‬הוא מעוין‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪KL‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫= ‪TD‬‬
‫‪6‬‬
‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬
‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬
‫‪14.5.2012‬‬
‫משרד החינוך‬
‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫)למורה( יש לבחור שאלה אחת מבין השאלות ‪9 ,8 ,7‬‬
‫‪ 15‬נק'‬
‫‪B‬‬
‫‪ .7‬נתון מעגל שמרכזו הנקודה ‪.D‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא דלתון )‪(AB = BC ,AD = DC‬‬
‫‪∢B = 100°‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫חשבו את גודלה של זווית ‪ .A‬נמקו כל שלב בחישוב‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 15‬נק'‬
‫‪ ABC .8‬משולש שווה שוקיים )‪(AB = AC‬‬
‫‪ ADEF‬מקבילית‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫הנקודות ‪ E ,D ,F‬נמצאות על הצלעות ‪ CB ,AC ,AB‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫הוכיחו‪:‬‬
‫משולש ‪ EDC‬משולש שווה שוקיים‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪7‬‬
‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬
‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬
‫‪14.5.2012‬‬
‫משרד החינוך‬
‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫‪ 15‬נק'‬
‫‪ ABCD .9‬טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ABLK‬ריבוע‪ .‬הנקודה ‪ P‬היא מפגש האלכסונים ‪ AK‬ו‪.BL -‬‬
‫הנקודות ‪ D ,C‬נמצאות על המשכי האלכסונים של הריבוע ‪ AK‬ו‪.BL -‬‬
‫‪ LK‬קטע אמצעים במשולש ‪.PCD‬‬
‫‪P‬‬
‫א‪ .‬בטבלה שלפניכם רשומות ‪ 4‬טענות‪.‬‬
‫‪ 5‬נק'‬
‫סמנו ליד כל טענה האם )על סמך הנתונים(‬
‫‪K‬‬
‫אפשר או אי אפשר להוכיח אותה‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 10‬נק'‬
‫הטענה‬
‫האם אפשר להוכיח‬
‫את הטענה?‬
‫‪AC ⊥ BD‬‬
‫כן ‪ /‬לא‬
‫המרובע ‪ DCKL‬הוא טרפז שווה שוקיים‬
‫כן ‪ /‬לא‬
‫משולש ‪ CPD‬הוא ישר זווית ושווה שוקיים‬
‫כן ‪ /‬לא‬
‫‪DL = AL‬‬
‫כן ‪ /‬לא‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו‪AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫= ‪AP‬‬
‫שאלה חלופית לשאלת ההסתברות – המשך לשאלה ‪ 1‬בנושא פונקציות )לפני הבונוס(‬
‫‪ 8‬נק'‬
‫ה‪ .‬כתבו את משוואת הפונקציה הקווית העוברת דרך הקדקוד של הפונקציה הריבועית‬
‫)‪ y = –2(x – 1)(x + 3‬ודרך קדקוד הפונקציה הריבועית שאת משוואתה רשמתם בסעיף ד'‪.‬‬
‫הציגו דרך פתרון‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬