פתרון בעיות קומבינטוריות באמצעות - Or-Alfa

‫דר' רפי ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪2‬‬
‫פתרונות נבחרים לתרגיל בית מס' ‪– 11‬‬
‫פתרון בעיות קומבינטוריות באמצעות‬
‫נוסחאות נסיגה‬
‫‪ .1‬א‪ .‬נסמן את מספר תת‪-‬הקבוצות של קבוצה בת ‪ n‬איברים ב‪ . f n  -‬תהי‬
‫‪ . A  a 1 , a 2 ,..., a n ‬נתבונן בקבוצה ‪ , A \ a n ‬המונה ‪ n  1‬איברים‪ ,‬ולכן‬
‫מספר תת‪-‬הקבוצות שלה הוא‪ . f n  1 :‬נתבונן שוב בתת‪-‬הקבוצות של‬
‫‪ . A \ a n ‬עבור כל תת‪-‬קבוצה כזו ישנן בדיוק ‪ 2‬אפשרויות‪ ,‬ההופכות‬
‫אותה לתת‪-‬קבוצה של ‪ :A‬להכניס לתוכה את ‪ a n‬או לא להכניס לתוכה‬
‫את ‪ . a n‬לכן‪ ,‬עפ"י עקרון הכפל‪. n  N : f n   2f n  1 , f 0  1 :‬‬
‫ב‪ .‬ידוע לנו (מהקורס מתמטיקה בדידה ‪ )1‬כי‪ . n  N  0: f n   2 n :‬בדקו‪,‬‬
‫ע"י פתרון נוסחת הנסיגה שמצאתם בסעיף א' לעיל‪ ,‬שזו אכן התשובה‬
‫המתקבלת‪.‬‬
‫‪ .2‬נפתור את סעיף א'‪ .‬נסמן את מספר המילים המבוקש ב‪ . f n  -‬עבור ‪, n  1‬‬
‫נביט באות האחרונה – שנמצאת במקום ה‪.n -‬‬
‫נבחין בין שני המקרים הבאים‪:‬‬
‫‪ ‬אם זוהי אות סופית‪ ,‬אז במקום ה‪ n-1 -‬בהכרח נמצאת אות קטנה‪ ,‬ואז‬
‫נותרנו עם בעיה של ‪ n-2‬מקומות (אין הגבלה לגבי האות במקום ה‪,n-2 -‬‬
‫מכיוון שהאות במקום ה‪ n-1 -‬היא קטנה)‪.‬‬
‫מספר המילים באורך ‪ n-1‬שמתאימות לנו הוא )‪.f(n-1‬‬
‫עלינו לכפול ב‪ 4 -‬מאחר ויש ‪ 4‬אפשרויות לאות במקום ה‪( n -‬אות סופית)‪,‬‬
‫ושוב לכפול ב‪ ,4 -‬מאחר ויש ‪ 4‬אפשרויות לאות במקום ה‪( n-1 -‬לא‬
‫סופית)‪.‬‬
‫לסיכום‪ :‬ע"פ עקרון הכפל נקבל‪. 4  4 f  n  2  16 f  n  2 :‬‬
‫‪‬‬
‫אם האות במקום ה‪ n -‬אינה אות סופית (ישנן ‪ 4‬אפשרויות לאות כזו)‪,‬‬
‫אז אין הגבלה לגבי האות במקום ה‪ ,n-1 -‬ונותרנו עם בעיה של ‪n-1‬‬
‫מקומות‪ f(n-1) -‬אפשרויות למילה חוקית באורך ‪.n-1‬‬
‫ע"פ עקרון הכפל נקבל‪4  f  n  1 :‬‬
‫ע"פ עקרון הסכום‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪f (0)  1, f 1  8 , n  2 : f  n   4 f  n  1  16 f  n  2 ‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬בבניית המחרוזת משמאל לימין יש בדיוק ‪ 3‬אופציות לבחירת הספרה‬
‫השמאלית ביותר‪ ,‬ולאחר מכן בדיוק ‪ 2‬אופציות לבחירת כל אחת‬
‫מהספרות הבאות‪ ,‬שכן כל ספרה פוסלת מימינה בדיוק ספרה אחת‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬קיימות ‪ 3  2n 1‬מחרוזות כאלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬המחרוזות החוקיות הן מחרוזות בעלות המבנה הבא‪:‬‬
‫‪ . 0i1j2k : i, j, k  N  0‬כל מחרוזת כזו מאופיינת ע"י מספר ה‪0 -‬ים‪ ,‬ה‪-‬‬
‫‪1‬ים וה‪2 -‬ים שבה‪ .‬לכן‪ ,‬מספר המחרוזות החוקיות הנ"ל הוא כמספר‬
‫‪ n  3  1  n  2 ‬‬
‫‪  ‬‬
‫האפשרויות לפיזור ‪ n‬תוים זהים ל‪ 3 -‬ספרות שונות‪ :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ 3 1   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫דר' רפי ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪2‬‬
‫‪ .4‬א‪g 1  2 , n  2 : g  n   2  g  n  1 .‬‬
‫‪ 95 .1‬שניות‬
‫‪ .9‬נסמן את הפתרון‪/‬התשובה המבוקשת עבור סולם בן ‪ n‬שלבים ב‪. f n  -‬‬
‫נוסחת הנסיגה היא‪. f 1  1 , f  2  2 , n  3: f  n  f  n  1  f  n  2 :‬‬
‫(בדקו‪ ).‬פתרו נוסחת נסיגה זו והציבו בפתרון (בנוסחא המפורשת) ‪. n  20‬‬
‫‪ .6‬נסמן את הפתרון‪/‬התשובה המבוקשת ב‪. f n  -‬‬
‫נעזר בפתרון בעיה אחרת‪ ,‬על מנת למצוא נוסחת נסיגה למקרה שלנו‪.‬‬
‫נסמן ב‪ g(n) -‬את מס' הסידורים מחדש של ‪ n‬אנשים בשורה ‪ ,‬כשכל אחד‬
‫יכול לזוז לכל היותר מקום אחד ימינה או שמאלה‪( .‬שימו לב שבמקרה של‬
‫סידור בשורה‪ ,‬האנשים היושבים בקצוות מוגבלים יותר‪ -‬הם יכולים לזוז רק‬
‫לכיוון אחד או להשאר במקומם‪).‬‬
‫נחזור לבעיה שלנו‪ -‬סידור אנשים במעגל‪ .‬נמצא נוסחת נסיגה עבור ‪: f  n ‬‬
‫נתבונן באחד מהאנשים במעגל – קיימות מספר אפשרויות לגביו‪:‬‬
‫א‪ .‬הוא נותר במקומו – יש ליישב מחדש את ‪ n-1‬האחרים‪ ,‬אך כעת אי אפשר‬
‫להתייחס אל ‪ n-1‬האנשים שנותרו כאל מעגל‪ ,‬אלא נשארנו עם שורה‪.‬‬
‫זאת מאחר והאנשים שליד האיש שנשאר במקומו לא יכולים לנוע לכיוונו‪.‬‬
‫(בדומה לאנשים בקצוות שורה‪).‬‬
‫לפיכך נותרנו עם ‪ g  n  1‬אפשרויות סידור‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוא מתחלף עם שכנו מימין ‪ -‬יש ליישב מחדש את ‪ n-2‬האחרים ב‪-‬‬
‫‪ g  n  2 ‬אפשרויות‪( .‬שוב נשארנו עם ‪ n-2‬אנשים בשורה‪).‬‬
‫ג‪ .‬הוא מתחלף עם שכנו משמאל ‪ -‬יש ליישב מחדש את ‪ n-2‬האחרים ב‪-‬‬
‫‪ g  n  2 ‬אפשרויות‪.‬‬
‫ד‪ .‬הוא זז יחד עם כולם מקום אחד עם כוון השעון – אפשרות אחת‪.‬‬
‫ה‪ .‬הוא זז יחד עם כולם מקום אחד נגד כוון השעון – אפשרות אחת‪.‬‬
‫לפיכך‪ ,‬נקבל‪. n  2 : f  n   g  n  1  2 g  n  2  2 :‬‬
‫עלינו למצוא נוסחת נסיגה עבור )‪ g(n‬ולפתור אותה‪.‬‬
‫הראו כי‪:‬‬
‫‪g (0)  1, g (1)  1, n  2 : g  n   g  n  1  g  n  2 ‬‬
‫ופתרו את נוסחת הנסיגה‪.‬‬
‫‪ .7‬נפתור הבעיה עבור ‪ n‬ישרים ונסמן את הפתרון‪/‬התשובה המבוקשת ב‪. f n  -‬‬
‫נתייחס ל‪ n -‬הישרים הנתונים בתנאי השאלה כאל ‪ n-1‬ישרים ועוד ישר נוסף‪.‬‬
‫נתעלם בהתחלה מהישר הנוסף‪ .‬עפ"י הסימון לעיל‪ ,‬מספר התחומים‬
‫במישור הנוצרים ע"י ‪ n-1‬ישרים אלו הוא‪ . f  n  1 :‬הישר הנוסף‪ ,‬ה‪n -‬י‪,‬‬
‫מפצל כל תחום בו הוא עובר לשניים‪ .‬ישנם ‪ n‬תחומים כאלה‪ ,‬שכן התחום בו‬
‫עובר ישר זה מתחלף בכל אחת מנקודות החיתוך שלו עם ‪ n-1‬הישרים‬
‫האחרים‪ .‬לאור זאת‪ ,‬נוסחת הנסיגה היא‪:‬‬
‫‪ . f  0  1 , n  : f  n   f  n  1  n‬באמצעות שיטת האיטרציה‪ ,‬ניתן‬
‫‪2‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪2‬‬
‫‪n  n  1‬‬
‫להגיע לנוסחא המפורשת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫וקבלו את התשובה המבוקשת‪.‬‬
‫דר' רפי ברכאן‬
‫‪ 0 : f  n   1 ‬‬
‫‪ . n ‬הציבו ‪n  100‬‬
‫‪ .8‬נפתור הבעיה עבור ‪ n‬מעגלים במישור ונסמן את הפתרון ב‪ . f n  -‬ברור כי‪:‬‬
‫‪ . f 1  2‬כמו כן‪ ,‬אם כבר נתונים במישור ‪ n-1‬מעגלים‪ ,‬הרי שכל מעגל נוסף‬
‫יכול לחתוך כל אחד מהם בלכל היותר ‪ 2‬נקודות‪ ,‬ולכן אותו מעגל ייצור‬
‫תוספת של עוד לכל היותר ‪ 2n  1‬תחומים‪( .‬בדקו‪ ).‬לכן‪:‬‬
‫‪ . f 1  2 , n  2 : f n   f n  1  2n  1‬באמצעות שיטת האיטרציה‪ ,‬ניתן‬
‫להגיע לנוסחא המפורשת‪ . n  : f  n   2  n  n 1 :‬הציבו ‪ n  100‬וקבלו‬
‫את התשובה המבוקשת‪.‬‬
‫‪ .5‬חלוקה של קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ k -‬תת‪-‬קבוצות זרות ולא ריקות דורשת‬
‫גם (כזכור‪ ,‬עפ"י הגדרת המושג‪ :‬חלוקה) כי איחוד תת‪-‬הקבוצות ייתן את‬
‫הקבוצה המקורית‪.‬‬
‫א‪ .‬ניתן לחלק קבוצה בת ‪ n‬איברים לתת‪-‬קבוצה אחת באופן הנ"ל אם"ם‬
‫תת‪-‬הקבוצה היא הקבוצה עצמה‪ .‬מספר האפשרויות לכך‪ , pn,1 ,‬הוא‬
‫‪.1‬‬
‫ב‪ .‬ניתן לחלק קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ n -‬תת‪-‬קבוצות זרות‪ ,‬משלימות ולא‬
‫ריקות אם"ם כל תת‪-‬קבוצה כזו מכילה איבר אחד (שונה) מהקבוצה‬
‫המקורית‪ .‬מספר האפשרויות לכך‪ , pn, n  ,‬הוא ‪.1‬‬
‫ג‪ .‬בהנתן קבוצה בת ‪ n‬איברים‪ ,‬נערוך רשימה של כל תת‪-‬הקבוצות‬
‫שלה‪ .‬ברשימה זו‪ ,‬כידוע‪ ,‬יהיו ‪ 2 n‬תת‪-‬קבוצות‪ .‬עבור כל תת‪-‬קבוצה‬
‫ברשימה נרשום לצידה את תת‪-‬הקבוצה המשלימה אותה לקבוצה‬
‫המקורית (בת ‪ n‬האיברים)‪ .‬ברור כי תת‪-‬קבוצה זו תהיה גם זרה לה‪.‬‬
‫‪2n‬‬
‫באופן זה נקבל‪ 2n 1 :‬‬
‫זוגות שונים של תת‪-‬קבוצות זרות‬
‫‪2‬‬
‫ומשלימות‪ .‬נשמיט מרשימה זו את הזוג המכיל את הקבוצה המקורית‬
‫והקבוצה הריקה (זרות ומשלימות)‪ ,‬ונקבל את מספר החלוקות של‬
‫קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ 2 -‬תת‪-‬קבוצות זרות ולא ריקות‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪. pn,2  2 n 1  1‬‬
‫ד‪ .‬חלוקה של קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ n-1 -‬תת‪-‬קבוצות זרות ולא ריקות‬
‫דורשת בהכרח שכל תת‪-‬הקבוצות‪ ,‬למעט אחת‪ ,‬תכלנה איבר אחד‬
‫(שונה)‪ .‬בנוסף‪ ,‬תתקבל תת‪-‬קבוצה בודדת שבה שני איברים‪ .‬לכן‪,‬‬
‫מספר החלוקות שקול למספר האפשרויות ליצור תת‪-‬קבוצה בגודל ‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫מתוך קבוצה בת ‪ n‬איברים‪.   :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫דר' רפי ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪2‬‬
‫‪ .11‬נסמן את מס' המחרוזות החוקיות ב‪(. f(n) -‬מחרוזת חוקית הינה מחרוזת שבה‬
‫‪ 9‬מופיע מספר זוגי של פעמים‪).‬‬
‫נביט במחרוזת באורך ‪ . n‬ישנן מספר אפשרויות לאיבר הראשון‪:‬‬
‫מקרה א‪ :‬בו האיבר הראשון הוא אחד מהמספרים ‪.1,2,3,4‬‬
‫על כן‪ ,‬נשארנו עם מחרוזת באורך ‪ , n-1‬שבה ‪ 9‬אמור להופיע מספר זוגי של‬
‫פעמים (שכן הוא לא הופיע באיבר הראשון‪ ,‬וברצוננו ליצור מחרוזת חוקית‬
‫באורך ‪). n‬‬
‫מספר האפשרויות למחרוזת חוקית באורך ‪( n-1‬שבה ‪ 9‬מופיע מספר זוגי של‬
‫פעמים) הוא )‪.f(n-1‬‬
‫בנוסף עלינו לכפול ב‪ ,4 -‬כמספר האפשרויות עבור האות הראשונה‪.‬‬
‫לסיכום‪4  f  n  1 :‬‬
‫מקרה ב‪ :‬בו האיבר הראשון הוא ‪.9‬‬
‫על כן‪ ,‬נשארנו עם מחרוזת באורך ‪ ,n-1‬שבה נרצה ש‪ 9 -‬יופיע מספר אי זוגי‬
‫של פעמים‪( .‬זאת על מנת שתתקבל מחרוזת באורך ‪ ,n‬ובה ‪ 9‬יופיע מספר‬
‫זוגי של פעמים‪).‬‬
‫נחשב את מס' האפשרויות לכך ע"י חישוב המקרה המשלים‪:‬‬
‫מס' המחרוזות באורך ‪ n-1‬המורכבות מהמספרים ‪( 1,2,3,4,9‬ללא הגבלה‬
‫כלשהי) הוא‪5n1 :‬‬
‫מאחר ואנו רוצים מחרוזות שבהן ‪ 9‬יופיע מס' אי זוגי של פעמים‪ ,‬עלינו‬
‫להחסיר את מס' המחרוזות בהן ‪ 9‬מופיע מס' זוגי של פעמים והוא‪.f(n-1) -‬‬
‫(כלומר‪ -‬נחסיר את מספר המחרוזות החוקיות באורך ‪).n-1‬‬
‫לסיכום ‪ ,‬מס' המחרוזות באורך ‪ n-1‬בהן ‪ 9‬מופיע מספר אי זוגי של פעמים‬
‫הוא‪5n1  f (n  1) :‬‬
‫נסכום את שקיבלנו ‪:‬‬
‫)‪f (n)  4 f (n  1)  5n1  f (n  1‬‬
‫ונסחאת הנסיגה שהתקבלה (בצירוף תנאי התחלה)‪:‬‬
‫‪f 1  4 , n  2 : f  n   3 f  n  1  5n1‬‬
‫פיתרו זאת‪ ,‬וקבלו את מס' האפשרויות הרצוי‪.‬‬
‫‪4‬‬