מבוא ללוגיקה מתמטית - Or-Alfa

Comments

Transcription

מבוא ללוגיקה מתמטית - Or-Alfa
‫ּ‬
‫ברכאן‬
‫דר' רפי‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ – 1‬פתרונות נבחרים‬
‫קומבינטוריקה‬
‫פתרונות נבחרים לתרגיל בית מס' ‪12‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫א‪ , 1 Byte = 8bits .‬לכל ‪ 2 bit‬אפשריות )‪ 0‬או ‪ .(1‬עפ"י עקרון המכפלה‪ ,‬מספר ה‪ Bytes -‬השונים הוא‪:‬‬
‫‪. 2 ⋅ 2 ⋅...8times ⋅2 = 2 = 256‬‬
‫‪8‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪. 1XXXX101 → x = 0,1 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = 16‬‬
‫ג‪.‬‬
‫עפ"י עקרון המשלים – סה"כ )מתחילים ב‪ ; 2 :(1 -‬לא רצוי )מתחילים ב‪ 1 -‬ומסתיימים ב‪:(101 -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ; 2‬רצוי‪2 − 2 = 128 − 16 = 112 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬עפ"י עקרון המכפלה‪4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 :‬‬
‫ב‪ .‬עפ"י עקרון המכפלה‪4 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 4 ⋅ 53 :‬‬
‫‪4‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫א‪99999 − 10000 + 1 = 90000 = 9 ⋅104 .‬‬
‫ב‪ .‬מספר המספרים הללו הפותחים בספרה ‪ 3‬הוא‪ . 1 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 9 :‬מספר המספרים הללו שאינם‬
‫‪4‬‬
‫פותחים בספרה ‪ ,3‬אך מכילים את הספרה ‪ 3‬בדיוק פעם אחת‪ ,‬הוא‪. 4 ⋅ ( 8 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ) = 32 ⋅ 9 :‬‬
‫‪3‬‬
‫עפ"י עקרון הסכום‪ ,‬התוצאה המבוקשת היא‪. 9 + 32 ⋅ 9 = 41⋅ 9 :‬‬
‫מספר מתחלק ב‪ 5 -‬אם"ם הוא מסתיים בספרה ‪ 0‬או בספרה ‪ .5‬לכן‪ ,‬מספר המספרים הללו‬
‫‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫הפותחים בספרה ‪ 3‬הוא‪ . 1 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 2 = 2 ⋅ 9 :‬מספר המספרים הללו שאינם פותחים בספרה ‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הוא‪ . 3 ⋅ ( 8 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 2 ) = 48 ⋅ 9 :‬עפ"י עקרון הסכום‪ ,‬התוצאה המבוקשת היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 2⋅9‬‬
‫‪+ 48 ⋅ 92 = 66 ⋅ 92‬‬
‫ד‪ .‬נסמן ב‪ ⎣⎢ x ⎦⎥ -‬את הערך השלם )התחתון של ‪ , x‬לכל ‪ x‬ממשי‪ .‬עפ"י עקרון המשלים – סה"כ‬
‫‪3‬‬
‫⎥ ‪⎢ 9 ⋅105‬‬
‫‪4‬‬
‫)חמש‪ -‬ספרתיים(‪ ; 9 ⋅10 :‬לא רצוי )מתחלקים ב‪ 7 -‬ללא שארית(‪⎥ = 12857 :‬‬
‫⎦ ‪⎣ 7‬‬
‫⎢ ; רצוי‬
‫)אינם מתחלקים ב‪ 7 -‬ללא שארית(‪9 ⋅104 − 12857 = 77143 :‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫א‪ 0 .‬יכול להופיע בכל ספרות המספר‪ ,‬למעט בספרתו הראשונה משמאל‪ ,‬סה"כ‪5 ⋅ 9 :‬‬
‫‪5‬‬
‫מספרים ‪-6‬ספרתיים מקיימים את תנאי השאלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬עפ"י עקרון המשלים – סה"כ )‪-6‬ספרתיים(‪ ; 9 ⋅10 :‬לא רצוי )אינם מכילים ‪ 0‬כלל(‪; 9 :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫רצוי )מכילים ‪ 0‬פעם אחת לפחות(‪9 ⋅105 − 96 :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‪ .‬עפ"י עקרון המשלים – סה"כ )‪-6‬ספרתיים(‪ ; 9 ⋅10 :‬לא רצוי )אינם מכילים ‪ 4‬כלל(‪; 8 ⋅ 9 :‬‬
‫רצוי )מכילים ‪ 4‬פעם אחת לפחות(‪9 ⋅105 − 8 ⋅ 95 :‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‪ 4 .‬יכולה להופיע כספרה בכל מקום במספר‪ 4 :‬כספרה ראשונה משמאל ‪ 4 . 9 -‬אפשרויות;‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 4‬כספרה שאינה ראשונה משמאל ‪ 5 ⋅ ( 8 ⋅ 9 ) = 40 ⋅ 9 -‬אפשרויות‪ .‬עפ"י עקרון הסכום‪,‬‬
‫נקבל שסך כל המספרים הללו )המבוקשים בשאלה( הוא‪. 9 + 40 ⋅ 9 = 49 ⋅ 9 :‬‬
‫ה‪ .‬הספרה הימנית ביותר חייבת להיות ‪ ,2‬שכן המספר חייב להיות זוגי‪ .‬לכן‪ ,‬שאר ‪ 5‬הספרות‬
‫‪4‬‬
‫תקבענה את שונות המספר ‪35 -‬‬
‫מספרים כאלה בנמצא‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫ּ‬
‫ברכאן‬
‫דר' רפי‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ – 1‬פתרונות נבחרים‬
‫שאלה ‪:6‬‬
‫נעזר במסקנה ‪ 2‬מעמוד ‪ . A ∪ B = A + B − A ∪ B :78‬נסמן‪ – U :‬קבוצת כל המספרים‪:‬‬
‫‪ – A ,1-100‬קבוצת המספרים‪ 1-100 :‬המתחלקים ב‪ - B ,5 -‬קבוצת המספרים‪ 1-100 :‬המתחלקים‬
‫ב‪ .7 -‬אנו מעוניינים לחשב את‪:‬‬
‫⎞ ⎥ ‪⎛ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100‬‬
‫⎢ ⎜ ‪A ∩ B = A ∪ B = U − A ∪ B = U − ( A + B − A ∩ B ) = 100 −‬‬
‫⎢‪⎥+‬‬
‫⎢‪⎥−‬‬
‫= ⎟⎥‬
‫⎠ ⎦ ‪⎝ ⎣ 5 ⎦ ⎣ 7 ⎦ ⎣ 35‬‬
‫‪= 100 − 20 − 14 + 2 = 68‬‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪( 2 ⋅ 5) ⋅ 7! = ( 2 ⋅ 5) ⋅1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ . 100800 = 20 ⋅ 5040‬לכן‪ ,‬כל מחלק‬
‫טבעי של מספר זה הוא מהצורה‪:‬‬
‫‪⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 , a, b,c,d ∈ ] , 0 ≤ a ≤ 6 , 0 ≤ b ≤ 2 , 0 ≤ c ≤ 2 , 0 ≤ d ≤ 1‬‬
‫עפ"י עקרון המכפלה‪ ,‬מספר המחלקים הללו הוא‪. 7 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 126 :‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.2‬‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫א‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ : m > n (1‬יש ‪ 0‬פונקציות חח"ע כאלה‪ ,‬עפ"י עקרון שובך היונים‪.‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪ : m ≤ n (2‬יש‪:‬‬
‫!) ‪( n − m‬‬
‫= )‪ n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅... ⋅ ( n − m + 1‬פונקציות חח"ע כאלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נבהיר תחילה כי ‪f : {0,1}m → {0,1}n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪) m‬שמספר איבריה‪ ( 2 :‬לקבוצת כל הסדרות הבינאריות באורך ‪) n‬שמספר איבריה‪.( 2 :‬‬
‫‪n‬‬
‫מספר הפונקציות הכלליות הוא מספר איברי הטווח ‪ 2‬בחזקת מספר איברי התחום‬
‫היא פונקציה מקבוצת כל הסדרות הבינאריות באורך‬
‫) (‬
‫) ‪(2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ,‬כלומר ‪-‬‬
‫‪2m‬‬
‫) (‬
‫‪n‬‬
‫‪. 2‬‬
‫‪2‬‬

Similar documents