FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 4

FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 4
Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 4
Nicolai Kristen Solheim
Obligatorisk oppgave 4
Oppgave 1
a)
akselereres av et elektrisk
Vi har fått oppgitt at en partikkel med ladning og masse
potensial til en relativistisk hastighet. Vi skal så vise at de Broglie bølgelengden for
partikkelen er gitt ved
1
.
For å vise dette må vi ta utgangspunkt i energibevaring for relativistisk hastighet.
, hvor
og
2
2
2
1
1
1
Dette viser at de Broglie bølgelengden for partikkelen er gitt ved b)
Videre skal vi vise at dette gir
, hvor
1
1
Side 1 av 10 .
i den ikke–relativiske grensen. Dette gjør vi på følgende
måte.
1
1
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 4
Nicolai Kristen Solheim
1
For en ikke–relativiske grensen vil
at
slik at
0. Tar vi nå hensyn til dette har vi vist
.
√
√
i den ikke–relativiske grensen.
Vi har nå vist at dette gir
c)
Nå skal vi vise at de Broglie bølgelengden til en en relativistisk partikkel med hvileenergi
er gitt ved
.
hvor
og
·
·
er oppgitt i
Å
. For å vise dette må vi ta samme utgangspunkt som i
oppgave 1a), men vi bruker er at den totale energien
.
·
·
·
Da har vi løst for , og kan å sette inn de verdiene vi kjenner. Fra kompendiet har vi gitt at
skal oppgis i
, altså 10
.
1240 og fra oppgaven ser vi at
Side 2 av 10 FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 4
·
·
·
·
·
.
·
·
Nicolai Kristen Solheim
·
· 10
·
Å
Dette viser at de Broglie bølgelengden til en en relativistisk partikkel med hvileenergi
gitt ved
.
·
·
Å.
Side 3 av 10 er
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 4
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 2
a)
Vi betrakter i denne oppgaven den gaussiske fordelingen
hvor , og er
positive reelle konstanter. Det første vi skal gjøre er bruke ligning (1.16) i Griffiths for å
bestemme . Ligning (1.16) er definert ved
1.
Setter vi inn for
har vi følgene.
1
1
1
Fra Rottman, formel (51), har vi så at
.
1
1
1
1
1
b)
Dette gir at
.
Vi skal så finne
,
For
og
for
.
har vi at
slik at
Formel (52) i Rottman gir
Side 4 av 10 .
.
FYS2140 Kvantefysikk
Tilsvarende gjør vi for
Obligatorisk oppgave 4
Nicolai Kristen Solheim
.
Formel (53) i Rottman gir
For å finne
bruker vi
∆
.
. Dette gir at
.
√
Fra dette har vi funnet at
c)
,
og
.
Vi skal så tegne grafen
. Vi har her valgt å først se hvordan endring i konstantene påvirker
grafen. Til dette har vi brukt MATLAB, og programmet ligger vedlagt. Vi ser hvordan endring
i og påvirker grafen vår.
Side 5 av 10 √
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 4
Figur 1:
med endring i
med konstant
1.0.
Figur 2:
med endring i
med konstant
0.0.
Side 6 av 10 Nicolai Kristen Solheim
FYS2140 Kvantefysikk
Figur 3:
Obligatorisk oppgave 4
generert med
1.0 og
Nicolai Kristen Solheim
0.0.
Vi ser fra figur 3 at dette er en fordelingskurve. Figurene 1 og 2 viser også hvordan og
påvirker grafen. påvirker , som sier noe om høyden og bredden på kurven, mens
definerer det horisontale midtpunktet som kurven har toppunkt over. Det kan også nevnes at
er verdien for toppunktet.
Side 7 av 10 FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 4
Nicolai Kristen Solheim
Oppgave 3
a)
| |
Vi betrakter nå en bølgefunksjon
,
hvor , og er positive reelle
konstanter. Vi skal først finne normaliseringen til . Denne er definert som
|
1
hvor |
,
,
|
. Altså den komplekskonjugerte.
|
1
| ,
| | |
1
| |
·
1
| |
1
| |
1
| |
Vi må så ta hensyn til absoluttverdien ved å dele opp uttrykket.
1
1
0
1
0
1
1
√
Dette gir at
b)
√ .
Videre skal vi bestemme forventningsverdien til
Vi løser først for
og
.
.
|
,
| | |
| |
·
| |
| |
Løser først for :
, hvor
,
Side 8 av 10 ,
og
FYS2140 Kvantefysikk
Obligatorisk oppgave 4
Nicolai Kristen Solheim
0
Løser deretter for
:
, hvor
,
,
og
0
0
Vi har nå funnet
. Vi velger nå å løse
med formelen
, og kan så finne
! da dette er en symetrisk funksjon. Da denne symetriske funksjonen
er utspent fra ∞ til ∞ vil den korrekte løsningen være 2
2
|
,
|
2
2
2
2!
Side 9 av 10 .
FYS2140 Kvantefysikk
Dette gir oss at
c)
Obligatorisk oppgave 4
0 og
Nicolai Kristen Solheim
.
Vi ønsker så å finne standardavviket til . Vi husker fra 2b) at
som gir
.
∆
0
√
Standardavviket til
er
√
. Deretter ønsker vi å tegne grafen til |
og
sammen med punktene
vedlagt ligger programmet som ble brukt.
Figur 4: |
, | med punktene
,
|
| |
. Her er dette gjort i MATLAB, og
og
markert med vertikale streker.
noe som vil si at cirka 69 % av partiklene ligger
Fra figur 4 ser vi |
, | tegnet med
innenfor . Sannsynligheten for at en partikkel befinner seg utenfor dette intervallet blir
dermed tilnærmet 31 %.
Side 10 av 10 11.02.11 17:35
C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2140\Oblig 04\toc.m
lambda = 1.0;
A = sqrt(lambda/pi);
x = -9:0.1:9;
figure(1)
for a=-5:2:5
p = A*exp(-lambda*((x-a).^2));
plot(x,p, 'k-')
hold('on')
end
title('Endring i a')
hold('off')
a=0; figure(2)
x = -5:0.1:5;
for lambda=0:0.5:10
A = sqrt(lambda/pi);
p = A*exp(-lambda*((x-a).^2));
plot(x,p, 'k-')
hold('on')
end
title('Endring i lambda')
hold('off')
figure(3)
a=0;
x = -4:0.1:4;
lambda = 1.0;
A = sqrt(lambda/pi);
p = A*exp(-lambda*((x-a).^2));
plot(x,p, 'k-')
hold('on')
plot(0,sqrt(lambda/pi),'bx')
plot(0,0,'rx')
legend('p(x) = A*e^{-lambda(x-a)^2}','A = sqrt(lambda/pi)','a = 0')
title('Forklaring')
1 of 1
12.02.11 12:46
C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2140\Oblig 04\trec.m
lambda = 1.0;
A = sqrt(lambda);
x = -5:0.1:5;
p = A^2*exp(-2*lambda*abs(x));
sigma = [-1/(sqrt(2)*lambda), 1/(sqrt(2)*lambda)];
line=0:0.1:lambda;
sigmaa = zeros(length(line))+sigma(1,1);
sigmab = zeros(length(line))+sigma(1,2);
figure(4)
plot(x,p, 'k-')
hold('on')
plot(sigmaa, line, 'b--',sigmab, line, 'b--')
title('v(x) med et standardavvik')
legend('v(x)','- sigma','+ sigma')
1 of 1
Endring i a
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Endring i lambda
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Forklaring
0.7
2
p(x) = A*e-lambda(x-a)
A = sqrt(lambda/pi)
a=0
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
v(x) med et standardavvik
1
v(x)
- sigma
+ sigma
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5