תת מרחב, בסיס, מימד

‫כל‬
‫פרק ‪5‬‬
‫תת מרחב‪ ,‬בסיס‪ ,‬מימד‬
‫הזכ‬
‫נדמיין לעצמנו נמלה שמתרוצצת במישור מסויים במרחב‪ .‬על מנת לתאר את תנועתה אין צורך בשלוש‬
‫קואורדינטות אלא מספיק לבחור מערכת עם שני צירים שנמצאת במישור הנתון ולתאר את תנועה של‬
‫הנמלה בעזרת קואורדינטות במערכת הזאת‪ .‬תמיד אפשר לבחור מערכת צירים כך שהראשית שלה תהיה‬
‫בנקודה בה נמצאת הנמלה ברגע ההתחלתי ולכן בדיון הנ״ל נדבר רק על המישור שעובר דרך הראשית‪.‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪5.1‬‬
‫תת מרחב‬
‫למישור במרחב שעובר דרך הראשית יש שתי תכונות מכריעות‪ .‬סכום של שני וקטורים ששייכים למישור‬
‫הזה גם שייך למישור הנתון‪ .‬מכפלה של כל וקטורי שנמצא במישור הנתון בכל סקלר גם שייכת למישור‬
‫הנתון‪ .‬אותה תכונה יש לכל ישר במרחב שעובר דרך הראשית‪ .‬ע״י שתי תכונות האלה נגדיר מושג של‬
‫תת מרחב‪.‬‬
‫‪ (1‬לכל זוג ‪ x; y 2 U‬גם ‪.(x + y) 2 U‬‬
‫שמ‬
‫הגדרה ‪ 5.1.1‬קבוצת וקטורים ‪ U‬של מרחב וקטורי‬
‫‪Rn‬‬
‫נקראת תת מרחב אם‬
‫‪ (2‬לכל ‪ x 2 U‬גם ‪ (x) 2 U‬לכל ‪. 2 R‬‬
‫ניתן לנסח את ההגדרה הנ״ל גם כך‪ .‬קבוצת וקטורים ‪ U‬נקראת תת מרחב אם לכל‬
‫ ; מתקיים ‪ .x + y 2 U‬מהגדרה של תת מרחב נובע שבכל תת מרחב יש וקטור אפס כי אם‬
‫‪ U‬תת מרחב ו־ ‪ x 2 U‬אז ‪.0 x = 0 2 U‬‬
‫דוגמה ‪5.1.1‬‬
‫‪#‬‬
‫)‬
‫"‬
‫‪x1‬‬
‫‪2 R2 : x1 + x2 0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪79‬‬
‫=‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫=‪U‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪2R‬‬
‫‪2U‬‬
‫‪ x; y‬ולכל‬
‫פרק ‪ .5‬תת מרחב‪ ,‬בסיס‪ ,‬מימד‬
‫‪ .5.2‬בסיס ומימד‬
‫נבדוק האם הקבוצה ‪ U‬תת מרחב‪ .‬ניקח שני וקטורים ששייכים לקבוצה ‪ U‬ונבדוק האם סכום שלהם גם שייך‬
‫לקבוצה ‪.U‬‬
‫‪" #‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪; y 1 + y2 0‬‬
‫‪y2‬‬
‫=‬
‫‪#‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x1‬‬
‫;‪; x1 + x2 0‬‬
‫‪x2‬‬
‫"‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪#‬‬
‫כל‬
‫‪x1 + y1‬‬
‫‪; (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) 0‬‬
‫‪x2 + y2‬‬
‫"‬
‫= ‪+y‬‬
‫‪x‬‬
‫מתקבלת מסקנה שהסכום כן שייך לקבוצה ‪ .U‬נבדוק האם מכפלה של וקטור ששייך לקבוצה הנתונה בסקלר כלשהו‬
‫גם שייכת לקבוצה הנתונה‪.‬‬
‫‪#‬‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪x1‬‬
‫‪x1‬‬
‫= ‪; x1 + x2 0; x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫"‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫הזכ‬
‫כאשר ‪ x1 + x2 > 0‬ו־ ‪ < 0‬מקבלים ש־ ‪ x1 + x2 = (x1 + x2 ) < 0‬ולכן הווקטור ‪ x‬לא שייך לקבוצה ‪ .U‬מסקנה‬
‫היא שהקבוצה ‪ U‬לא תת מרחב‪.‬‬
‫דוגמה ‪5.1.2‬‬
‫‪U = Span fa1 ; : : : ; ak g‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫נוכיח ש־ ‪ U‬תת מרחב‪ .‬לכל ‪ x; y 2 U‬מתקיים‬
‫‪= x1 a1 + : : : + xk ak ; y = y1 a1 + : : : + yk ak‬‬
‫‪x + y = (x1 + y1 )a1 + : : : + (xk + yk )ak 2 U‬‬
‫אם ] ‪ A = [a1 ; : : : ; ak‬אז לתת מרחב ‪Span fa1 ; : : : ; ak g‬‬
‫ונסמן אותו ב־ ‪.ColA‬‬
‫‪x‬‬
‫נקרא תת מרחב שנפרש ע״י וקטורי עמודות של מטריצה ‪A‬‬
‫שמ‬
‫דוגמה ‪ 5.1.3‬נוכיח שקבוצת פתרונות של מערכת משוואןת הומוגנית היא תת מרחב‪ .‬תהיה ‪ A‬מטריצה ‪.m n‬‬
‫נקרא לקבוצת הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית עם מטריצת מקדמים ‪ A‬בשם ‪.U‬‬
‫‪U = fx 2 Rn : Ax = 0g‬‬
‫ניקח שני וקטורים ‪.x; y 2 U‬‬
‫‪A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0‬‬
‫‪5.2‬‬
‫בסיס ומימד‬
‫מושג שמתאר באופן פורמלי מה זה מערכת צירים הוא מושג של בסיס‪.‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪80‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫לכן ‪ U‬תת מרחב‪ .‬נסמן אותו ב־ ‪.NulA‬‬
‫פרק ‪ .5‬תת מרחב‪ ,‬בסיס‪ ,‬מימד‬
‫‪ .5.2‬בסיס ומימד‬
‫הגדרה ‪ 5.2.1‬קבוצת וקטורים ‪ fa1 ; : : : ; ak g‬נקראת בסיס של תת מרחב ‪ U‬אם כל וקטור ‪ u 2 U‬ניתן לבטא‬
‫באופן יחיד כצירוף לינארי של וקטורי הקבוצה הנתונה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 5.2.1‬הקבוצה ‪ fe1 ; e2 ; : : : ; en g‬כאשר‬
‫‪2 3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫כל‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6.7‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪607‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪617‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪2 3‬‬
‫= ‪= 66 .. 77 ; e2 = 66 .. 77 ; : : : ; en‬‬
‫‪e1‬‬
‫הזכ‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫מהווה בסיס של ‪ Rn‬כי כל וקטור ‪ u = [x1 ; x2 ; : : : ; xn ]T 2 Rn‬ניתן לבטא כ־ ‪ u = x1 e1 + x2 e2 + : : : + xn en‬וביטוי‬
‫הנ״ל יחיד כי אם ‪ u = y1 e1 + y2 e2 + : : : + yn en‬אז ‪ (x1 y1 )e1 + (x2 y2 )e2 + : : : + (xn yn )en = 0‬ולכן‬
‫‪ x1 = y1 ; x2 = y2 ; : : : ; xn = yn‬משום שהקבוצה ‪ fe1 ; e2 ; : : : ; en g‬בלתי תלויה‪.‬‬
‫משפט ‪ 5.2.1‬קבוצת וקטורים ‪= fa1 ; : : : ; ak g‬‬
‫תלויה ו־ ‪.SpanfAg = U‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ A‬של תת מרחב ‪ U‬מהווה בסיס שלו אם ורק אם ‪ A‬בלתי‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪ (1‬אם ‪ A‬בסיס של ‪ U‬אז לפי הגדרה של בסיס כל וקטור של ‪ U‬ובין היתר וקטור אפס ניתן לבטא‬
‫באופן יחיד כצירוף לינארי של וקטורי ‪ .A‬מפה נובע לפי הגדרה של קבוצת וקטורים להיות בלתי תלויה‬
‫שהקבוצה ‪ A‬אכן בלתי תלויה‪.‬‬
‫אז לכל ‪ u 2 U‬מתקיים‬
‫‪ (2‬אם ‪ A‬בלתי תלויה ו־ ‪SpanfAg = U‬‬
‫‪ .u = x1 a1 + : : : + xk ak‬אם יש ביטוי נוסף לווקטור ‪ ,u‬כלומר ‪ u = y1 a1 + : : : + yk ak‬אז מתקיים‬
‫‪ (x1 y1 )a1 + : : : + (xk yk )ak = 0‬ןמפה נובע ש־ ‪ .x1 = y1 ; : : : ; xk = yk‬לפה הגדרה של בסיס‬
‫‬
‫מתקבלת מסקנה שהקבוצה ‪ A‬בסיס של ‪.U‬‬
‫שמ‬
‫נעבור להגדרה של מימד‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2.2‬יהיה ‪ U‬תת מרחב‪ .‬מספר מקסימלי של וקטורי ‪ U‬שמרכיבים קבוצה בלתי תלויה לינארית‬
‫נקרא מימד של ‪ .U‬נסמן אותו ‪.dim U‬‬
‫לפי הגדרה הנ״ל ‪.dim f0g = 0‬‬
‫משפט ‪5.2.2‬‬
‫‪ .1‬אם קיים בסיס של תת מרחב ‪ U‬שמכיל ‪ r‬וקטורים אז‬
‫‪dim U = r‬‬
‫וכל בסיס של ‪ U‬מורכב בדיוק מ־ ‪ r‬וקטורים‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪dim U = r‬‬
‫בסיס של ‪.U‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫במשפט הבא אנחנו נראה קשר בין מושגים של בסיס ומימד‪.‬‬
‫אז קיים בסיס של ‪ U‬שמכיל ‪ r‬וקטורים וכל קבוצה בלתי תלויה שמכילה ‪ r‬וקטורים‬
‫‪81‬‬
‫פרק ‪ .5‬תת מרחב‪ ,‬בסיס‪ ,‬מימד‬
‫‪ .5.2‬בסיס ומימד‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫כל‬
‫‪ (1‬נניח שהקבוצה ‪ A = fa1 ; : : : ; ar g‬בסיס של ‪ .U‬ניקח קבוצה כלשהי בתת מרחב ‪ U‬שמכילה ‪r + 1‬‬
‫וקטורים‪ ,‬נגיד ‪ fu1 ; : : : ; ur+1 g‬ונוכיח שהיא תלויה לינארית‪ .‬כל וקטור של הקבוצה הזאת ניתן לבטא‬
‫כצירוף לינארי של הוקטורים מקבוצה ‪.A‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪= x11 a1 + : : : + xr1 ar‬‬
‫ ‬
‫=‬
‫‪x1;r+1 a1 + : : : + xr;r+1 ar‬‬
‫‬
‫‪ur+1‬‬
‫‪1 u1 + : : : + r+1 ur+1 = 0‬‬
‫‪(x11 1 + : : : + x1;r+1 r+1 )a1 + : : : + (xr1 1 + : : : + xr;r+1 r+1 )ar = 0‬‬
‫הזכ‬
‫הקבוצה ‪ A‬בלתי תלויה לינארית ולכן מתקבלת מערכת משוואות הומוגנית‬
‫‪+ : : : + x1;r+1 r+1 = 0‬‬
‫‪8‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪>x11 1‬‬
‫>‬
‫>‬
‫<‬
‫‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫וקטורים בלתי תלויים‪.‬‬
‫‪ (2‬נניח ש־ ‪= r‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪xr1 1 + : : : + xr;r+1 r+1 = 0‬‬
‫עם ‪ r‬משוואות ו־ ‪ r + 1‬נעלמים ‪ .1 ; : : : ; r+1‬משום שיש לה יותר נעלמים מאשר משוואות יש לה‬
‫אין סוף פתרונות‪ .‬לכן לפחות אחד מהמספרים ‪ 1; : : : ; r+1‬שונה מאפס‪ .‬לכן הקבוצה ‪fu1; : : : ; ur+1g‬‬
‫תלויה לינארית‪ .‬מפה נובע שכל קבוצה ב־ ‪ U‬שמכילה יותר מ־ ‪ r‬וקטורים תלויה לינארית וקיימת קבוצה‬
‫בלתי תלויה שמכילה בדיוק ‪ r‬וקטורים )קבוצה ‪ .(A‬לכן לפי הגדרה ‪ .dim U = r‬אם קיים בסיס אחר‬
‫של ‪ U‬שמכיל ‪ s‬וקטורים אז לפי מה שנעשה ‪ dim U = s‬ולכן ‪ s = r‬כי מימד הוא מספר מקסימלי של‬
‫‪ .dim U‬אז קיימת קבוצה בלתי תלויה לינארית של וקטורים מ־ ‪ ,U‬נגיד ‪.A = fa1 ; : : : ; ar g‬‬
‫לפי הגדרה של מימד הקבוצה ‪ fx; a1 ; : : : ; ar g‬תלויה לינארית לכל‬
‫‪2U‬‬
‫‪.x‬‬
‫לכן קיימים מספרים‬
‫דוגמה ‪5.2.2‬‬
‫כי הווקטורים הנתונים מרכיבים בסיס של ‪.U‬‬
‫דוגמה ‪ 5.2.3‬נתונה מטריצה‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪3‬‬
‫‪82‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪<6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪U = Span‬‬
‫‪1 4 4 77‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪A = 4 2 8 5 87‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 12 6 9‬‬
‫‪82‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪dim U = 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫שמ‬
‫‪ ; 1 ; : : : ; r‬כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס שמקיימים את השוויון ‪= 0‬‬
‫אם ‪ = 0‬אז הקבוצה ‪ A‬תלויה לינארית וזה סותר את הנתון‪ .‬לכן ‪ 6= 0‬ומפה נובע ש־ = ‪x‬‬
‫‬
‫‪ . 1 a1 : : : r ar‬לכן ‪ SpanfAg = U‬ו־‪ A‬בסיס של ‪.U‬‬
‫‪3 2 39‬‬
‫>‬
‫>‬
‫=‪7 6 7‬‬
‫; ‪7;6 7‬‬
‫>‪5 4 5‬‬
‫>‬
‫;‬
‫‪.x + 1 a1 + : : : + r ar‬‬
‫פרק ‪ .5‬תת מרחב‪ ,‬בסיס‪ ,‬מימד‬
‫‪ .5.2‬בסיס ומימד‬
‫כל‬
‫‪ .1‬נמצא ‪ dimColA‬ובסיס של ‪ .ColA‬כל וקטור ששייך לתת מרחב ‪ ColA‬הוא צירוף לינארי של וקטורי עמודות‬
‫של מטריצה ‪ .A‬לכן מספר מקסימלי של וקטורים בלתי תלויים ב־ ‪ ColA‬שווה למספר מקסימלי של וקטורי‬
‫עמודות בלתי תלויים של מטריצה ‪ A‬ומספר הזה שווה לדרגה של מטריצה ‪ .A‬לכן ‪ .dimColA = rankA‬כמו כן‪,‬‬
‫דרגה של מטריצה שווה למספר מקדמים מובילים של מטריצה מדורגת שלה‪ .‬מפה נובע לפי משפט ‪ 5.2.2‬שעל‬
‫מנת למצוא בסיס של ‪ ColA‬יש למצוא מטריצה מדורגת של מטריצה ‪ A‬ולהרכיב בסיס של ‪ ColA‬מעמודות ‪A‬‬
‫שמתאימות במקומן למקום של מקדמים מובילים במטריצה מדורגת של מטריצה ‪ .A‬נעבור לחישובים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪77‬‬
‫‪675‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 4 4 77 6 1 4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 2 8 5 87 ! 6 0 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 12 6 9‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫הזכ‬
‫במטריצה מדורגת יש ‪ 2‬מקדמים מובילים ולכן דרגה שלה שווה ‪2‬‬
‫ו־ ‪ .dimColA = 2‬המקדמים המובילים נמצאים בעמודה ראשונה ושלישית ולכן וקטורי עמודות ראשונה‬
‫ושלישית של מטריצה ‪ A‬מרכיבים בסיס של ‪.ColA‬‬
‫‪ .2‬נמצא בסיס ומימד של ‪ .NulA‬לשם כך נפתור מערכת הומוגנית ‪:Ax = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪07‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪075 ; x = 66‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪07 6 1 4‬‬
‫‪075 ! 64 0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4s + 5t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪t‬‬
‫על מנת למצוא בסיס ומימד של ‪NulA‬‬
‫כאשר ‪.t; s 2 R‬‬
‫בלתי תלויים באופן הבא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 4 4 7‬‬
‫‪2 8 5 8‬‬
‫‪3 12 6 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫נכתוב וקטור ‪ x‬שקיבלנו כצירוף לינארי של וקטורים‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪607‬‬
‫‪617‬‬
‫‪s 7‬‬
‫‪7=s6 7+t6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2t 5‬‬
‫‪4 25‬‬
‫‪405‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫הנ״ל פורשים את ‪ NulA‬ומרכיבים‬
‫‪4s + 5t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪39‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪82‬‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫‪<6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪4‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫ו־ ‪.dimNulA = 2‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫> ‪4 5‬‬
‫>‬
‫>‬
‫=‬
‫>‪1 777 ; 666 0 777‬‬
‫>‪0 75 64 275‬‬
‫>‬
‫>‬
‫>‬
‫‪0‬‬
‫; ‪1‬‬
‫שמ‬
‫קבוצה בלתי תלויה לינארית‪ .‬על מנת‬
‫מה שנעשה מראה ששני וקטורים‬
‫לראות שהם אכן בלתי תלויים יש להשוות צירוף לינארי שלהם שזה למעשה וקטור ‪ x‬לווקטור אפס ולראות‬
‫שווקטור ‪ x‬שווה לווקטור אפס אם ורק אם ‪ .s = 0; t = 0‬מסקנות‪ :‬בסיס של ‪:NulA‬‬
‫‪ .3‬נציין ש־ ‪ dimColA = 2; dimNulA = 2‬ולטריצה ‪ A‬יש ‪ 4‬עמודות‪ .‬ננסח קשר בין המימדים של מרחב העמודות‬
‫ומרחב האפס של מטריצה במשפט הבא‪.‬‬
‫משפט ‪ 5.2.3‬תהיה ‪ A‬מטריצה ‪.dim ColA + dim NulA = n .m n‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪83‬‬
‫‪.5.3‬‬
‫פרק ‪ .5‬תת מרחב‪ ,‬בסיס‪ ,‬מימד‬
‫קואורדינטות של וקטור בבסיס‬
‫‪ .dim ColA‬מימד של מרחב האפס של מטריצה ‪ A‬שווה למספר נעלמים חופשיים‪,‬‬
‫הוכחה‪= rankA .‬‬
‫נגיד ‪ f‬בפתרון כללי של מערכת משוואות הומוגנית‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪ .Ax‬ממשפט על דרגה של מטריצה ומספר‬
‫נעלמים חופשיים שבפרק מערכת משוואות תת פרק דרגה של מטריצה נובע ש־ ‪= n‬‬
‫‪.rankA + f‬‬
‫קואורדינטות של וקטור בבסיס‬
‫כל‬
‫‪5.3‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 5.3.1‬יהיה ‪ A = fa1 ; : : : ; ar g‬בסיס של תת מרחב ‪ U‬ו־ ‪ .x 2 U‬המקדמים ‪ x1 ; : : : ; xr‬בשוויון‬
‫‪x = x1 a 1 + : : : + xr a r‬‬
‫)‪(5.1‬‬
‫נקראים קואורדינטות של וקטור ‪ x‬בבסיס ‪ .A‬נרכיב ממספרים ‪ x1 ; : : : ; xr‬וקטור ונסמן אותו ב־ ‪) [x]A‬וקטור‬
‫הזכ‬
‫קואורדינטות של וקטור ‪ x‬בבסיס ‪.A‬‬
‫מהגדרה של בסיס נובע שלכל וקטור ‪ x‬ניתן למצוא קואורדינטות שלו בבסיס הנתון וקבוצת המספרים‬
‫האלה )קואורדינטות( אחת ויחידה‪ .‬השווייון )‪ (5.1‬ניתן לרשום בצורה תמציתית כך‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪6 7‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪A = [a1 ; : : : ; ar ]; [x]A = 664 ... 775‬‬
‫‪xr‬‬
‫; ‪x = A[x]A‬‬
‫)‪(5.2‬‬
‫דוגמה ‪ 5.3.1‬נתון מישור במרחב ‪ .x y + z = 0‬המישור הזה תת מרחב‪ .‬על מנת למצוא אחד מהבסיסים שלו‬
‫נכתוב כצירוף לינארי פתרון כללי של משוואה הומוגנית‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪39‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪s t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 s 7 = s 617 + t 6 0 7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ x = 4 3 7‬ששייך לתת מרחב הנתון ונמצא קואורדינטות שלו בבסיס ‪.A‬‬
‫ניקח וקטור ‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫הפתרון שלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫= ‪ .x1 = 3; x2‬לכן‬
‫‪#‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7 6 7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x1 415 + x2 4 0 5 = 4 3 7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫"‬
‫‪3‬‬
‫= ‪.[x]A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪84‬‬
‫לשם כך נפתור מערכת‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪.1‬‬
‫‪2‬‬
‫שמ‬
‫אז בסיס של תת מרחב הנתון‬
‫>‪17 6 17‬‬
‫>‬
‫=‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫>‪15 ; 4 0 5‬‬
‫;‬
‫> ‪0 1‬‬
‫‪82‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪<6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫פרק ‪ .5‬תת מרחב‪ ,‬בסיס‪ ,‬מימד‬
‫‪ .5.4‬סכום וסכום ישר של תת מרחבים‬
‫יודעים"קואורדינטות של וקטור מסויים בבסיס הנתון ואנחנו רוצים למצוא את הווקטור הזה‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח שאנחנו‬
‫‪#‬‬
‫למשל‪ ,‬נתון ש־‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ .[y]A‬אז‪ ,‬לפי הגדרה של קואורדינטות‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫כל‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6 7 6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪y = 2 415 + 2 4 0 5 = 4 27‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫קל לראות שהווקטור הזה שייך למישור הנתון ‪.x y + z = 0‬‬
‫נעבור לשאלה הבאה‪ .‬נתונים שני בסיסים של תת מרחב ‪:U‬‬
‫‪= fa1 ; : : : ; ar g ; B = fb1 ; : : : ; br g‬‬
‫מה קשר בין הווקטורים ‪?[x]A ; [x]B‬‬
‫נרכיב מטריצות ] ‪) A = [a1 : : : ar ]; B = [b1 : : : br‬אנחנו נותנים למטריצות הנ״ל אותם שמות שנתנו‬
‫לבסיסים עצמם(‪ .‬המטריצות ‪ A; B‬הפיכות כי קבוצות וקטורי עמודות שלהן בלתי תלויות לינארית‪.‬‬
‫‪ A‬ונתונים קואורדינטות של וקטור ‪ x‬בבסיסים האלה‪.[x]A ; [x]B :‬‬
‫הזכ‬
‫מנוסחה )‪ (5.2‬נובע ש־‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪= B [x]B‬‬
‫‪[x]A = A 1 B [x]B ; [x]B = B 1 A[x]A‬‬
‫‪5.4‬‬
‫‪x = A[x]A‬‬
‫סכום וסכום ישר של תת מרחבים‬
‫הגדרה ‪ 5.4.1‬יהיו ‪ U; V‬שתי קבוצות של של וקטורים ב־ ‪ .Rn‬סכום שלהם היא קבוצה ‪ W‬שמוגדרת כך‬
‫שמ‬
‫‪u 2 U; v 2 V g‬‬
‫; ‪W = fu + v‬‬
‫סכום של שתי קבוצות ‪ U; V‬נסמן ב־ ‪.U + V‬‬
‫דוגמה ‪5.4.1‬‬
‫‪U = Span fag = a; V‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪= Span fbg = b‬‬
‫‪W = U + V = a + b = Span fa; bg‬‬
‫)‪(5.3‬‬
‫אם ‪ a; b‬שני וקטורים במרחב אז ‪ U‬הוא ישר שעובר דרך הראשית כאשר ‪ a‬וקטור כיוון שלו‪ V .‬הוא ישר שגם עובר‬
‫דרך הראשית ו־ ‪ b‬וקטור כיוון שלו‪ .‬אם ‪ a‬לא מקביל לווקטור ‪ b‬אז ‪ W‬הוא מישור שמכיל את הישרים הנ״ל‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.4.1‬אם ‪ U; V‬שני תת מרחבים של מרחב וקטורי‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪85‬‬
‫‪Rn‬‬
‫אז הקבוצה ‪ U + V‬תת מרחב‪.‬‬
‫פרק ‪ .5‬תת מרחב‪ ,‬בסיס‪ ,‬מימד‬
‫‪ .5.4‬סכום וסכום ישר של תת מרחבים‬
‫‪2W‬‬
‫‪2W‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ‪= U + V‬‬
‫שני וקטורים ‪ u1 ; v1‬כך ש־ ‪ x = u1 + v1‬כאשר ‪ .u1 2 U; v1 2 V‬משום ש־ ‪ y 2 W‬קיימים שני וקטוירם‬
‫‪ u2 ; v2‬כך ש־ ‪ y = u2 + v2‬כאשר ‪ .u2 2 U; v2 2 V‬לכן‬
‫‪ .W‬ניקח‬
‫‪ x; y‬ונוכיח שגם‬
‫‪ .x + y‬משום ש־‬
‫‪2W‬‬
‫‪ x‬קיימים‬
‫) ‪x + y = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) = (u1 + u2 ) + (v1 + v2‬‬
‫כל‬
‫הווקטור ‪ u1 + u2‬שייך לקבוצה ‪ U‬כי היא תת מרחב והווקטור ‪ v1 + v2‬שייך לקבוצה ‪ V‬כי היא‬
‫‬
‫תת מרחב‪ .‬לכן לפי הגדרה של סכום הווקטור ‪ x + y‬שייך לקבוצה ‪.W‬‬
‫הגדרה ‪ 5.4.2‬סכום של שני תת מרחבים ‪ U; V‬של‬
‫אפס‪ .‬נסמן סכום ישר של ‪ U; V‬בסימון ‪.U V‬‬
‫‪39‬‬
‫>‬
‫>‬
‫=‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫>‪5‬‬
‫>‬
‫;‬
‫הזכ‬
‫דוגמה ‪5.4.2‬‬
‫‪82‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪<6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫הסכום של‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ U; V‬הוא סכום ישר כי ‪.U \ V = f0g‬‬
‫‪= Span‬‬
‫‪Rn‬‬
‫נקרא סכום ישר אם חיתוך שלהם מכיל רק וקטור‬
‫‪3 2 39‬‬
‫>‬
‫>‬
‫=‪7 6 7‬‬
‫‪7;6 7 ;V‬‬
‫>‪5 4 5‬‬
‫>‬
‫;‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪82‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪<6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫‪U = Span‬‬
‫)הקורא מוזמן לבדוק את זה(‪.‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫במשפט הבא נראה קשר יפה בין מימדים של שני תת מרחבים ומימדים של סכום וחיתוך שלהם‪.‬‬
‫משפט ‪ 5.4.1‬יהיו ‪ U; V‬שני תת מרחבים של מרחב וקטורי ‪.Rn‬‬
‫‪dim(U + V ) + dim(U \ V ) = dim U + dim V‬‬
‫והקבוצה ‪ fu1 ; : : : ; ur g‬בסיס של‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־ ‪dim U = r‬‬
‫בסיס של ‪ .V‬תת מרחב ‪ U \ V‬ניתן לאפיין ע״י שוויון‬
‫‪ dim V = s ,U‬והקבוצה ‪fv ; : : : ; vsg‬‬
‫‪1‬‬
‫שמ‬
‫‪x1 u1 + : : : + xr ur = y1 v1 + : : : + ys vs‬‬
‫כאשר ‪ x1 ; : : : ; xr ; y1 : : : ; ys‬נעלמים‪ .‬נכתוב את השווייון הנ״ל כך‬
‫‪x1 u1 + : : : + xr ur + z1 v1 + : : : + zs vs = 0; z1 = y1 ; : : : ; zs = ys‬‬
‫היא מטריצת מקדמים שלה‪.‬‬
‫) ‪.dim(U \ V‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫השוויון הזה הוא מערכת משוואות הומוגנית עם ‪ r+s‬נעלמים כאשר המטריצה ] ‪A = [u1 ; : : : ; ur ; v1 ; : : : ; vs‬‬
‫מספר פתרונות בלתי תלוים שלה )מספר נעלמים חופשיים( שווה ל־‬
‫כמו כן‪ .rankA = dim(U + V ) ,‬לכן ‪.dim(U + V ) + dim(U \ V ) = r + s‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪86‬‬
‫‬