Plenarföreläsning, Hanne Warming

Transcription

Indledning
Indledning
Dettedokument er ikke en egentlig vejledning i brugen af TINspire, men ihøjere grad en
samling af nyttige tips. Samlingen vil blive udbygget itakt med at jeg selv eller andre, der
henvender sig tilmig,finder eksempler, der kan være tilgavn og glæde for en større kreds
af brugere.
Tips og eksempler er ikke systematiseret, men prøv at åbne
(ikon nr.2 i
Dokumentværkstøjslinjen) og se, omder skulle være noget, der matcher det,du søger.
Jeg vil forsøge at holde tips og eksempler nogenlunde samlet iemner, så man ikke skal
lede vilkårligt i hele dokumentet. Eksempelvis er statistik-tips holdt samlet.
Seogså indholdsfortegnelsen.
Egentlige vejledninger og andet materiale kan findes her:
http://education.ti.com/educationportal/sites/DANMARK/homePage/index.html
Sidesorterer
Leif Thy
1.1
Nspire3, Tips og eksempler, LT.tns
1 af: 76
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse
- Generelt
- Beregninger. Grafregner
- Beregninger. Noter
- Ligninger. Anvendelse af solve og grafisk løsning
- To ligninger med to ubekendte
- Differentialligninger
- Regression
- Grafer
- Polynomier og skydeelementer
- Vinkelmål
- Stamfunktioner
- Arealberegninger
- Deskriptiv statistik. Ikke-grupperede observationer
- Deskriptiv statistik. Grupperede observationer
- χ²-test. GOF (Goodness of fit)
- χ²-test. Test for uafhængighed
- Normalfordeling
- Regning med enheder
2.1
2 af: 76
Generelt
Generelt
Indstilling af vinkelmål, antal decimaler mm. foretages ved at vælge
Filer
>
Indstillinger
>
Dokumentindstillinger...
Man skal her især være opmærksom på, at Nspire som standard bruger grader som
vinkelmål i Geometri-applikationen og radianer i Graf-applikationen. På B- og C-niveau
kan man med fordel vælge at bruge grader som standard også i Grafer, mens man må
overveje, om det er hensigtsmæssigt på A-niveau.
Hver side kan opdeles i 1-4 felter indeholdende forskellige
(værksteder).
Klik
og vælg. En oprettet applikation kan slettes igen ved aktivere den, taste
Ctrl k ("flasher") og bruge Del-knappen på tastaturet. En liste over applikationer vises
automatisk, når man opretter en ny opgave. Klik på de enkelte kategorier for at se, hvilke
værktøjer, de indeholder.
Til hver applikation er der knyttet en rækker forskellge værktøjer, som afhænger af den
valgte applikation. En oversigt over værktøjerne kan ses under fanen
som du finder i
(venstre sidepanel). Klik på enkelte kategorier
for at se, hvilke værktøjer de hver især indeholder. Den vigtigste af de andre fire faner her er
hvor du blandt andet finder uundværlige
og
applikationer
Sidelayout,
Dokumentværktøjer,
Dokumentværktøjslinjen
Hjælpeprogrammer,
Matematikskabeloner
Tegn.
Hvert enkelt dokument kan indeholde en lang række opgaver, og hver opgave kan
indeholde flere sider. Klik
og vælg.
Knappen viser i hver enkelt opgave en oversigt over hvilke variable, der er defineret i
opgaven.
Med
tages et snapshot af det aktive vindue. Kan efterfølgende kopieres ind i
et tekstdokument. En A4-side kan indeholde to snapshot. Kan bruges i forbindelse med
udskrift, men pas på! Hvis f.eks. noteværkstedet indeholder mere tekst, end der kan vises i
vinduet, kommer den skjulte del ikke med. Kan løses ved ændre størrelsen af de åbne
værksteder eller oprette en ny side i opgaven og kopiere den skjulte del ind på den nye
side.
Se ovenfor eller vælg Filer > Udskriv... > Print What: > Print All. Herved
udskrives hvert værksted på en side for sig, og alt kommer med.
Det er også i printmenuen, man angiver dokumentinformation, f.eks. opretter
med eget navn, klasse osv.: Sæt flueben i
og klik på knappen
.
Den nok vigtigste tastaturknap er ESC-knappen. Brug den, hvis du vil ud af noget, du ikke
rigtig ved, hvad er.
Indsæt
var
fotoknappen
Udskrift:
sidehoved
Tilføj overskrift
Rediger titel
3.1
3 af: 76
Beregninger. Grafregner
Beregninger. Grafregner
Hvis der skal laves en hurtig række beregninger, der ikke kræver en forbindende tekst,
gøres dette nemmest i værkstedet
Se højre halvdel af vinduet.
Det udtryk, der skal udregnes, indtastes ganske enkelt, evt. ved hjælp af
og afsluttes med
Samtidig reduceres resultatet. Ved at bruge
kommandoen
kan parenteser regnes ud (se f.eks. linje 5,6 til højre).
Når man har tastet Enter, kan man ikke gå tilbage og rette i udtrykket. Hvis f.eks. 7-tallet i
linje 2 skulle have været et 9-tal, piler man op og markerer udtrykket, kopierer og sætter ind
i en ny beregning, retter 7 til 9 og taster Enter. Prøv selv at rette -6 i linje 4 til 6 og se, hvad
der sker.
En forkert beregning slettes igen ved at placere markøren i linjen, højreklikke og vælge
Grafregner.
Matematikskabeloner
Enter.
expand,
Slet.
4.1
4 af: 76
2+3
5
2·x+3+5·x-7
7·x-4
2·x+3+5·x-9
7·x-6
solve 3·x-6=9,x
a +2·b 2 - a +2·b · a -2·b
expand 4· a +2·b ·b
3
x=5
4· a +2·b ·b
4·a ·b +8·b 2
38
2
x +2 d x
3
1
4.1
5 af: 76
Hvis man skal bruge en udregning fra Grafregner i Noter, kan den kopieres fra det ene
værksted til det andet, så man ikke behøver at skrive hele udtrykket én gang til. Nedenfor er
dette gjort med linje 2 fra Grafregner.
2·x+3+5·x-7 ▸ 7.·x-4.
4.1
6 af: 76
Beregninger. Noter
Beregninger. Noter
Beregninger kan også udføres i applikationen
. Dette vil man typisk gøre, hvis det
drejer sig om en afleveringsopgave, hvor udregninger skal knyttes sammen via en
forbindende tekst. Dette kan gøres på to forskellige måder:
1: Åbn en matematikboks ved at taste
. Derefter skrives den udregning, der skal
udføres: −2·a+3+4·b-3·a-5 ▸ −5.·a+4.·b-2. .
Hvis man bruger
, åbnes automatisk en matematikboks.
2: Først skrives det udtryk, der skal udregnes/reduceres: 2x-5-7x+8 . Derefter markeres
udtrykket og man taster igen Ctrl M efterfulgt af
: 2·x-5-7·x+8 ▸ 3.-5.·x
Noter
Ctrl M
Matematikskabeloner
Enter
5.1
7 af: 76
Ligninger
Ligninger
Løsning af ligninger sker ved brug af kommandoen
eller ved grafisk løsning. Først et
par eksempler på løsning af første- og andengradsligninger ved hjælp af
.
Læg mærke til, at man inde i parentesen først skriver den ligning, der skal løses, derefter et
komma og slutter af med at angive den ubekendte, i dette tilfælde x.
solve
solve
solve 2·x-5=7,x ▸ x=6.
solve 2·x 2 -3·x-5=0,x ▸ x=−1. or x=2.5
Hvis man ikke kan huske, hvilken kommando man skal bruge, kan man klikke på
ovenfor i værktøjslinjen og vælger
>
Prøv selv.
Prøv også nogle af de andre muligheder af, som findes under
6:Beregn..
3:Algebra
1:Løs.
6:Beregn..
6.1
8 af: 76
Grafisk løsning af ligninger.
Først et simpelt eksempel. Vi vil løse ligningen
2 x-3=-x+9
De to sider af ligningen kan opfattes som udtrykkene for hver sin rette linje:
y=2x-3 og y=-x+9
Linjerne indtegnes i et koordinatsystem i grafapplikationen.
I bunden af skærmbilledet åbnes en indtastningslinje, hvor du f.eks. skriver 2x-3 efter
lighedstegnet i f1(x)= efterfulgt af
.
I grafmenulinjen klikkes på
>
(eller klik på >> nederst til
venstre i grafvinduet).
Skriv -x+9 efter f2(x)=.
Nu er begge linjer indtegnet i koordinatsystemet.
Klik på
>
. Markøren bliver til en hånd der peger på en
lodret linjemarkør. Klik til venstre for skæringspunktet, flyt markøren over på den anden side
af skæringspunktet og klik igen.
Nu beregnes skæringspunktets koordinater og vises i koordinatsystemet.
Eksempel 2: I det andet grafvindue er vist, hvordan ligningen
ENTER
2:Vis
6:Analyser graf
6:Vis indtastningslinje
4:Skæringspunkt
½x+1=x 2 -x-2
løses grafisk.
6.2
9 af: 76
To ligninger med to ubekendte
To ligninger med to ubekendte
For at løse et ligningssystem skal man, som i tilfældet med en ligning, bruge kommandoen
.
Eksempel Løs ligningssystemet
2x+3y=5
3x-4y=-18
solve
solve 2·x+3·y=5 and 3·x-4·y=−18, x,y
Læg mærke til, at man først skriver ligningerne med teksten "and" imellem dem. Der skal
også være et mellemrum mellem ligningerne og "and". Derefter skriver man et komma og
de to ubekendte, som indgår i ligningssystemet, i de krøllede parenteser (også kaldet
"tuborg-parenteser").
NB: På den samme måde løser man tre (flere ligninger) med 3 (flere ubekendte):
solve 4·a +2·b +c=1 and 4·a -2·b +c=13 and a+b + c=1, a ,b ,c
7.1
12 af: 76
Differentialligninger
Differentialligninger
Man skal bruge kommandoen
hvis man skal løse en differentialligning. Man kan
selv skrive deSolve eller finde den i værkstøjslinjen
>
>
.
deSolve,
6:Beregn...
4:Calculus
D:Differentialligningsløser
Eksempel: Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen y'=xy
deSolve y'=x·y,x,y
Man skriver differentialligningen først, derefter skriver man et komma, den variabel, som
funktionen i differentialligningen afhænger af, så skriver man et komma igen og slutter af
med at skrive betegnelsen for den funktion, som indgår i ligningen. I det betragtede
eksempel er det vigtigt at skrive gangetegn mellem x og y på højre side af lighedstegnet i
differentialligningen. Ellers forstår programmet xy som en konstant og angiver en forkert
løsning.
c5 i resultatet betegner den konstant, som indgår i den fuldstændige løsning til
differentialligningen.
Man kan også løse en opgave, hvor man skal finde den løsning, hvis graf går gennem et
bestemt punkt.
Eksempel Bestem den løsning til differentialligningen y'=xy, hvis graf går gennem punktet
(1,-e).
deSolve y'=x·y and y 1 =−e,x,y
Denne gang skriver man først differentialligningen sammen med den betingelse, som
løsningen skal opfylde. Der skal stå "and" imellem dem. Desuden skal man huske at lave et
mellemrum mellem differentialligningen og "and" og mellem "and" og betingelsen.
8.1
13 af: 76
Regression
Regression
I naturvidenskabelige fag og samfundsfag kommer man ofte ud for at skulle undersøge om
der er en sammenhæng mellem to størrelser, og i givet fald om denne sammenhæng kan
udtrykkes ved hjælp af en ligning.
Her vil vi se på, om der er en sammenhæng mellem en persons puls og iltoptagelse (målt i
liter O2 pr. minut). Til dette skal vi bruge værktøjerne
samt
.
Sammenhørende værdier af puls og iltoptagelse indtastes i regnearket med pulsen i
kolonne A og iltoptagelse i kolonne B. Dobbeltklikkes til højre for hhv. A og B, kan vi give
kolonnerne/listerne navne.
I Data og Statistik værktøjet vælges puls som variabel på 1.aksen (den vandrette) og
iltoptagelse som variabel på 2.aksen (den lodrette). De tilhørende punkter indtegnes nu i
koordinatsystemet (se figur til højre). Vi ser, at punkterne med en vis tilnærmelse ligger på
en ret linje, og vi vil gerne have programmet til at bestemme ligningen for denne linje. Dette
gøres ved i værktøjslinjen at vælge:
.
Vi ser, at resultatet bliver
y = 0,0305·x-1,57
hvor x står for pulsen og y for iltoptagelsen.
For at finde forklaringsgraden r2 skal vi tilbage til regnearket og vælge:
Lister og Regneark
Data og
Statistik
4:Analyser > 6:Regression > 1:Vis lineær
.
Derved fremkommer en dialogboks, hvor man i X-liste skal vælge puls og i Y-liste skal
vælge iltoptagelse.
I regnearket fremkommer nu en lang række statistiske deskriptorer, hvor man ud over
hældningskoefficient og skæring med 2.aksen kan aflæse forklaringsgraden til 0,98899.
I dialogboksen kan man også angive navnet på den funktion, som resultatet skal gemmes i.
Når man starter en ny opgave er dette navn som udgangspunkt , men man kan vælge
andre navne, f.eks. , man man skal undgå at bruge samme navn som Y-listen. I dette
tilfælde må man altså ikke bruge iltoptagelse som navn til funktionen, selvom det kunne
være oplagt.
Herefter kan man bruge funktionen til videre beregninger:
- Forskrift:
4:Statistik > 1:Stat-beregninger > 3:Lineær regression
f1
ilt
f1
x ▸ 0.0305·x-1.57
- Indsættelse af tal (iltoptagelse ved en puls på 110):
9.1
14 af: 76
- Indsættelse af tal (iltoptagelse ved en puls på 110):
f1
110 ▸ 1.785
- Løse ligning (bestemme puls ved en iltoptagelse på 2 L/min)
solve
f1
x =2,x ▸ x=117.049
9.1
15 af: 76
A puls
B iltoptagelse
C
D
E
F
◆
1
=LinRegMx('puls,'iltoptagelse,1 ): CopyVar Stat.
70.
0.7
2
80.
0.75
3
100.
1.5
m
0.0305
4
130.
2.27
b
−1.57
5
160.
3.4
r²
0.98899
6
r
0.99448
7
Resid
Titel
Lineær regres…
RegEqn
m*x+b
{0.135,−0.12,0…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
9.1
16 af: 76
6.5
5.5
4.5
e
s
l
e
g
a
t
p
o
t
l
i
3.5
2.5
1.5
0.5
70
80
90
100
110 120
puls
130
140
150
160
9.1
17 af: 76
Grafer
Grafer
Funktioner defineres ved at benytte et tildelingslighedstegn, :=
f
3
2
x :=x -3·x + x-1 ▸ Udført
Grafen tegnes ved at åbne værktøjet
. Her betegnes de forskellige funktioner
med f1, f2 osv.
Som f1(x) vælges f(x) og grafen tegnes automatisk. Koordinatsystemet kan flyttes rundt i
vinduet ved at klikke og trække.
Man kan zoome ved at pege på en akse, klikke og trække. Derved ændres begge akser.
Hvis man kun vil ændre den ene af akserne, skal man holde Shift-tasten nede, mens der
trækkes.
Koordinatsættet til et punkt på grafen kan findes ved at vælge
, klikke på grafen og derefter afsætte et punkt. Husk at taste
for at
forlade denne menu. Punktets koordinater vises.
Nu kan man trække punktet rundt på grafen og f.eks. finde et lokalt maksimum (træk i
punktet indtil maksimum markeres). I eksemplet aflæses maksimumsted til 0,1835 og
maksimumværdi til -0,9113.
Prøv selv på tilsvarende måde at finde minimumsted og minimumværdi.
Grafens skæringspunkt med 1.aksen kan findes ved at vælge
og
med musen markere et område omkring skæringspunktet. Skæringspunktets koordinater
vises.
Tilføj grafer
7:Punkter og linjer >
2:Punkt på...
ESC
6:Analyser graf > 1:Nul
Skæring mellem grafer
Tegn grafen for funktionen x :=x-5 ▸ Udført
og find skæringspunkterne mellem graferne for f(x) og g(x).
g
10.1
18 af: 76
Polynomier og skydeelementer
Polynomier og anvendelse af skydeelementer
Vi vil nøjes med at se på andengradspolynomier og deres grafer.
Grafernes beliggenhed afhænger af værdien af konstanterne a, b og c i forskriften.
f
2
x :=a·x +b ·x+c ▸ Udført
Her er det vigtigt at indtaste gangetegnene mellem a og x 2 samt mellem b og x.
Ellers opfatter Nspire ax som navnet på én variabel og bx som navnet på en anden
variabel.
Opret et grafvindue og vælg i menulinjen følgende:
>
.
Nu indsættes en boks med et skydeelement. Variablen v1 er markeret. Tast a, så det bliver
et skydeelement for konstanten a i forskriften for f. Højreklik på boksen og vælg
. Sæt
og
til -5 og 5 og
til 1. Klik
Gentag ovenstående, så der også indsættes skydeelementer til b og c.
Åbn indtastningslinjen i bunden af grafvinduet og tast f(x) efter f1(x)=.
Nu tegnes grafen for f(x) svarende til værdierne af a, b og c i skydeelementerne.
Tag fat i skyderen i de forskellige skydeelementer, træk og se, hvad der sker med grafen.
OBS!
1:Handlinger
A:Indsæt skydeelement
1:Indstillinger
Minimum
Maksimum
Steplængde
OK.
Animering af grafen
Ved at højreklikke på et skydeelement og vælge
, kan man animere grafen.
PRØV!
Man får nok mest ud af at animere ét skydeelement ad gangen, men alle elementer kan
faktisk animeres samtidig.
Prøv at ændre steplængden for f.eks. a til 0,5 og for b til 0,2.
3:Animer
11.1
20 af: 76
Vinkelmål
Vinkelmål
Hvis man i et dokument arbejder med to forskellige opgaver med forskellige vinkelmål, skal
man deaktivere genberegning af formler i den første opgave, inden man skifter til det andet
vinkelmål i den anden opgave.
Ændring af vinkelmål (og en masse andre indstillinger) sker ved at vælge:
Filer > Indstillinger > Dokumentindstillinger...
og foretage de ønskede ændringer i dialogboksen.
Eksempel:
Opgave 1: Trigonometriopgave. Vinkler i grader. Check, at programmet regner i grader.
solve sin v =0.3,v |0≤v≤180 ▸ v=17.4576 or v=162.542
Opgave 2: Funktionsopgave, hvor vinklerne regnes i radianer.
I denne opgave skal vinkelmålet altså ændres i forhold til opgave 1. Hvis man uden videre
gør det, genberegnes resultatet i opgave 1 og vinklerne angives i radianer. For at undgå
dette skal man deaktivere genberegning i de relevante formler i opgave 1. Det gøres ved at
højreklikke på formlen, vælge 7.Handlinger > 4.Deaktiver. Derved males formlen grå for at
markere, at den er deaktiveret.
12.1
22 af: 76
Stamfunktioner
Stamfunktioner
Givet funktionen x :=x 2 +x-3 ▸ Udført
Vi vil først bestemme samtlige stamfunktioner til f:
Klik på fanen
(nederst til venstre) og vælg
(dobbeltklik på ikonet for ubestemt integral).
f
Hjælpeprogrammer
sf
x :=
sf
x ▸
f
x
3
3
+
Matematikskabeloner
d x +k ▸ Udført
x
x
2
2
-3·x+ k
En anden måde at få konstanten med er ved at bruge kommandoen integral(f(x),x,k) i den
mat-boks, hvor man definerer stamfunktionen.
Vi vil nu bestemme og tegne grafen for den stamfunktion, hvis graf går gennem punktet
(1,3):
solve
sf
1 =3,k ▸ k=5.16667
For at tegne grafen for stamfunktionen skal Nspire kende k. Dette gøres ved at definere k.
Men inden skal vi deaktivere beregning i de to
13.1
23 af: 76
formler ovenfor (højreklik på formlen, vælg 7.Handlinger > 4.Deaktiver).
:=
k
sf
31
6
▸ 5.16667
x ▸ 0.333333·x 3 +0.5·x 2 -3.·x+5.16667
Hvis ikke vi deaktiverer beregning, indsættes værdien for k i de nævnte formler.
13.1
25 af: 76
Arealberegninger
Arealberegninger
Givet funktionen
g
2
x :=− x +6·x-1 ▸ Udført
I første omgang skal vi finde arealet under grafen for g i intervallet [1;4]. Grafen tegnes og
det konstateres, at funktionen er positiv i det relevante interval.
Klik på Hjælpeprogrammer > Matematikskabeloner og find det rigtige integralsymbol:
4
g
x
d x ▸ 21.
1
Anvendelse af grafværkstedet:
Klik: 6:Analyser graf > 7:Integral.
Klik på den relevante graf (hvis der er flere) > tast "(" efterfulgt af x-værdien for nedre
grænse, tast ENTER > flyt markøren til højre for nedre grænse > tast "(" efterfulgt af
x-værdien for øvre grænse, tast ENTER. Arealet bliver så beregnet og skrives under
grafen.
Hvis der skal ændres farve på punktmængden, peges med musen på én af de lodrette
linjer, der markerer grænserne for punktmængden (viser
), højreklik, vælg B:Farve
> 2:Udfyldningsfarve.
integrale
Areal af punktmængde mellem grafen for to funktioner:
Vi tilføjer følgende funktion:
f
2
x :=x -4·x+7 ▸ Udført
Først findes grænserne for integralet ved at løse ligningen f(x)=g(x):
solve
f
x = g x ,x ▸ x=1. or x=4.
Dette kan også gøres i grafværkstedet ved at vælge: 6:Analyser > 4:Skæringspunkt.
Arealet af punktmængden findes nu ved at integrere forskellen mellem de to funktioner:
4
g
x -f x
d x ▸ 9.
1
HUSK: Den største af funktionerne først!
Anvendelse af grafværkstedet:
Integralet af f i det relevante interval bestemmes på samme måde som i første del, og de
to integraler trækkes fra hinanden.
14.1
26 af: 76
Deskriptiv statistik. Ikke-grupperede observationer
Deskriptiv statistik.
Ikke-grupperede observationer.
Karaktersæt i et ikke-angivet fag for en ikke-navngivet klasse:
10,7,7,7,02,10,4,4,4,7,7,02,7,4,7,7,00,7,4,7,7,10,10,12,10,7,4,4,10,7,02
Statistiske deskriptorer:
- observationssæt
- observationssættets størrelse, n: antal observationer i alt.
- typetal: hyppigst forekommende observation.
- hyppighed: hvor mange gange den enkelte observation forekommer (Nspire: frequency)
- frekvens: hyppighed divideret med observationssættets størrelse
- kumuleret frekvens: sum af frekvenser
- middeltal: sum af alle observationer divideret med observationssættets størrelse
- kvartilsæt: nedre kvartil, median, øvre kvartil. Flere forskellig måder at fastlægge dette på
Nspire kan lave alle statistikberegninger på én gang.
Hvis man bruger det oprindelige datasæt vælges:
→
→
.
I boksen, der dukker op vælges
og derefter under
den liste, der
indeholder observationerne. Afslut med
Hvis man bruger observationer med hyppigheder skal man gøre det samme som ovenfor,
men yderligere under
vælge den liste, der indeholder hyppighederne.
4:Statis...
1:Stat-beregning
Statistik med én variabel
Antal lister:1
X1-liste:
OK.
Frekvensliste
Grafisk præsentation af datasæt:
- prikdiagram (pinde- eller stolpediagram) over hyppigheder eller frekvenser
- boksplot
- trappediagram med kumulerede frekvenser
Vælg Indsæt → Ny side og åbn Data og Statistik-applikationen.
Hvis man vil anvende det oprindelige datasæt, vælges dette blot som uafhængig variabel.
15.1
29 af: 76
Hvis man vil anvende det oprindelige datasæt, vælges dette blot som uafhængig variabel.
Der tegnes som standard et prikdiagram. Ved at højreklikke i diagrammet kan andre
præsentationstyper vælges.
Man kan også anvende hyppighederne sammen med de optalte observationer fra det
oprindelige datasæt. Fremgangsmåde:
Vælg
→
og vælg de relevante lister
(X: obs2; Y: hypp i regnearket) i den menu, der dukker op. Hvis en søjle dækker over flere
observationer, skal man justere søjlebredden. Dette gøres ved at højreklikke i diagrammet
→ vælge Søjleindstillinger og ændre relevante indstillinger for søjlestart og søjlebredde. I
det viste eksempel er søjlestart sat til -0,1 og bredde til 0,2.
Prøv også at højreklikke og vælg andre måder at præsentere datasættet på.
2.Plotegenskaber
Tilføje X-variabel med hyppighed
15.1
30 af: 76
A obs1
◆
1
B
C obs2
E frekve…
=frequency(obs1,obs2)
10. Antal:
2
7.
3
7. Mindste
4
7.
5
2. Største
6
D hypp
31.
0.
10.
12.
7
4. Middeltal
8
4.
9
4.
10
7.
11
7.
12
2.
13
7.
14
4.
15
7.
16
7.
17
0.
18
7.
19
4.
20
7.
21
7.
22
10.
_
0.
1.
0.032258
2.
3.
0.096774
4.
7.
0.225806
7.
13.
0.419355
10.
6.
0.193548
12.
1.
0.032258
0.
6.35484
15.2
31 af: 76
23
10.
24
12.
25
10.
26
7.
27
4.
28
4.
29
10.
30
7.
31
2.
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
15.2
32 af: 76
F kum_fr
G
H
I
J
=OneVar('obs1,1): CopyVar Stat., Stat1.
0.032258 Titel
Statistik med é…
0.129032 
6.35484
0.354839 Σx
197.
0.774194 Σx²
1505.
0.967742 sx := s₋₁x
2.90458
1. σx := σx
2.85734
n
31.
MinX
0.
Q₁X
4.
MedianX
7.
Q₃X
7.
MaxX
12.
SSX := Σ(x-)…
253.097
15.2
33 af: 76
15.2
34 af: 76
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
obs1
8
9
10
11
12
13
15.3
35 af: 76
14
12
10
p
p
y
h
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
obs2
7
8
9
10
11
12
15.3
36 af: 76
p
p
y
h
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
obs2
8
9
10
11
12
13
15.3
37 af: 76
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
obs1
8
9
10
11
12
13
15.3
38 af: 76
Deskriptiv statistik. Grupperede observationer
Deskriptiv statistik.
Grupperede observationer
Læsetest: Hvor lang tid (målt i sekunder) tager det at læse en kort tekst. 18 personer.
15,3-17,9-16,2-13,1-14,7-11,2-13,4-12,4-16,5-15,8-11,8-14,6-13,5-11,7-15,7-15,1
-17,5-13,0
Statistiske deskriptorer:
- observationssæt
- observationssættets størrelse, n: antal observationer i alt.
- observationsintervaller
- intervalhyppighed: hvor mange observationer, der er i hvert enkelt interval (Nspire:
frequency)
- intervalfrekvens: intervalhyppighed divideret med observationssættets størrelse
- kumuleret frekvens: sum af intervalfrekvenser
- middeltal: sum af alle observationer divideret med observationssættets størrelse, hvis
man kender alle observationer (hvis observationssættet er navngivet
som i
regnearket, kan man bruge kommandoen
: mean
▸ 14.4111 ). Ellers: summen
af produkterne af intervalmidtpunkt og intervalfrekvens for alle intervaller (her kan mean
også bruges, men syntaksen er en lidt anden: mean
,
▸ 14.3889 . Når de
to beregninger ikke giver helt det samme resultat, skyldes det at det andet resultat er en
tilnærmet beregning, der tager udgangspunkt i, at alle observationer i et interval er placeret i
intervalmidtpunktet. Det vil kun sjældent være tilfældet, men hvis man ikke kender det
oprindelige observationssæt, er det det bedste bud på en middelværdi. I regnearket er
denne beregning illustreret i kolonne I.
- kvartilsæt: nedre kvartil, median, øvre kvartil. Flere forskellig måder at fastlægge dette på.
Se f.eks. nedenfor under Sumkurve.
obs1
mean
obs1
int_midt int_frekv
Grafisk præsentation af datasæt:
- histogram: rektangler over hvert observationsinterval med et areal svarende til
intervalfrekvensen
- boksplot
- sumkurve: sammenhørende værdier af højre intervalendepunkt og kumuleret frekvens for
hvert interval, forbundet med linjestykker.
16.1
39 af: 76
Frekvens og kumuleret frekvens kan selvfølgelig beregnes på sædvanlig vis, men her er
brugt listeoperationer (klik i formelfelterne for at se syntaksen).
Sumkurven med efterfølgende bestemmelse af kvartilsæt kan laves på flere måder, men det
nemmeste er følgende:
Åbn
, vælg listerne højre (til 1.aksen) og kum_fr (til 2.aksen), højreklik og
vælg
. Derefter vælges
→
(vandrette linjer
gennem 0.25, 0.50 og 0.75) →
→
Se eksempel næste side).
Kvartilsættet aflæses til:
Nedre: 12,7
Median: 14,5
Øvre: 15,9
Data og Statistik
Forbind punkter
Analyser
Analyser
Plot funktion
Grafsporing.
Boksplot:
Herefter indlæses min, maks, kvartilsæt i en liste (her med navnet
Der er dog
den finte, at medianen skal indlæses to gange efter hinanden for at boksplottet tegnes
korrekt. Herefter tegnes boksplottet på samme måde som under
(metode 1).
kvartilsæt).
Ikke-grupperede
observationer
Histogram:
Nspire kan kun lave histogrammer når alle intervaller har samme bredde.
Fremgangsmåden er følgende:
Åbn
→ klik
→ Tilføj
og vælg venstre.
Klik igen
→ Tilføj
og vælg intervalfrekvenserne som
Y-værdier (i det foreliggende tilfælde: int_frekv)....
.... eller lidt hurtigere:
Vælg
på sædvanlig vis ved at klikke i "valgområdet" under aksen. Højreklik
derefter på "valgområdet" til venstre for y-aksen og vælg
og vælg
intervalfrekvenser som Y-værdier.
Når histogrammet er tegnet, højreklikkes og der vælges
. I den
dialogboks der dukker op indtastes den intervalbredde, der bruges, og under
vælges det første venstre intervalendepunkt.
Data og Statistik
2:Plotegenskaber
2:Plotegenskaber
5:X-variabel
9:Y-værdiliste
X-variabel
Y-værdiliste
Søjleindstillinger
Søjlestart
16.1
40 af: 76
Hvis man - som i det foreliggende tilfælde - kender alle oprindelige data, kan man lave
histogrammet på en lidt anden måde. Man vælger blot observationssættet - her obs1 som variabel. Det resulterer i et prikdiagram og ved at højreklikke, kan man lave
prikdiagrammet om til et histogram. I denne situation kan man yderligere vælge, hvilken
enhed man vil have på 2.aksen. Om det skal være antal, (interval)frekvens eller densitet.
Dette er illustreret side 5 i dette afsnit.
16.1
41 af: 76
A obs1
B
C venstre
◆
1
15.3 Antal:
2
17.9
3
16.2 Mindste:
4
13.1
5
14.7 Største:
6
11.2
7
13.4 Middel:
8
12.4
9
16.5
10
15.8
11
11.8
12
14.6
13
13.5
14
11.7
15
15.7
16
15.1
17
17.5
18
13.
D højre
E int_hypp
=frequency(obs1,højre)
18.
11.2
17.9
14.4111
_
10.
11.
0.
11.
12.
3.
12.
13.
2.
13.
14.
3.
14.
15.
2.
15.
16.
4.
16.
17.
2.
17.
18.
2.
0.
19
20
21
22
16.2
42 af: 76
F int_fre…
G kum_f…
H int_m…
I
J
='int_hypp/(sum('int_hypp))
=cumulativesum('int_frekv)
0.
0.
10.5
0.
0.166667
0.166667
11.5
1.91667
0.111111
0.277778
12.5
1.38889
0.166667
0.444444
13.5
2.25
0.111111
0.555556
14.5
1.61111
0.222222
0.777778
15.5
3.44444
0.111111
0.888889
16.5
1.83333
0.111111
1.
17.5
1.94444
0.
1.
18.5 Middel:
14.3889
16.2
43 af: 76
2.4
Sumkurve
Sumkurve
2.0
1.6
v
k
e
r
f
_
1.2
m
u
k
0.8
(15.8888, 0.75)
(15.8888, 0.75)
(14.4944, 0.5)
(14.4944, 0.5)
0.4
(12.7542, 0.25)
(12.7542, 0.25)
0.0
11
12
13
14
højre
15
16
17
18
16.3
44 af: 76
A kvartil…
B
◆
1
11.2
2
12.7
3
14.5
4
14.5
5
15.9
6
17.9
C
D
E
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
16.4
45 af: 76
Boksplot
Boksplot
11
12
13
14
15
kvartilsæt
16
17
18
16.4
46 af: 76
0.20
0.16
v
k
e
r
f
_
t
n
i
0.12
0.08
0.04
0.00
10
11
12
13
14
15
venstre
16
17
18
19
16.4
47 af: 76
0.20
0.16
l
a
e
r
0.12
A
/
d
e
h
t
æ
T
0.08
0.04
0.00
11
12
13
14
15
obs1
16
17
18
19
16.5
48 af: 76
Normalfordeling
Normalfordeling
I regnearket næste side er indtastet et datasæt med brudstyrke i kg for 50 garnprøver (GG,
B2, øvelse 558).
Vi lader Nspire lave statistik på observationssættet (jf. Ikke-grupperede observationer) og
får bl.a.:
Middelværdi:
▸ 2.299
Spredning:
▸ 0.410929
Det fuldstændige resultat af statistikken kan ses i regnearket. Her er observationerne
inddelt i intervaller af længde 0,25. Intervalhyppighed, -frekvens og kumuleret frekvens er
bestemt. Det er helt bevidst, at det sidste interval indeholdende en enkelt observation er
udeladt, idet dette er uden betydning for vurderingen af, hvorvidt observationssættet er
normalfordelt (jf. indtegning på normalfordelingspapir).
Histogram og sumkurve (se side 3) antyder, at observationerne er normalfordelte.
Dette kan vurderes på to forskellige måder, afhængig af selve datasættet:
1. Hvis det oprindelige datasæt (enkeltobservationerne) er kendte, kan man bruge et
normalfordelingsplot.
2. Hvis datasættet allerede er grupperet anvendes højre intervalendepunkter sammen med
kumulerede frekvenser.
stat1.
stat1.sx
Først lidt teori:
Hvis en stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi µ og spredning σ (skrives
kort som: X er normalfordelt N(µ,σ)), så vil en stokastisk variabel Y defineret ved: Y=
X-µ
σ
være normalfordelt N(0,1). Normalfordelingen for denne stokastiske variable kaldes
standardnormalfordelingen, og alle spørgsmål vedrørende beregninger af sandsynligheder
for X kan omformuleres til beregninger vedrørende Y (jf. f.eks. Hans Sloth:
Højniveaumatematik 2, TRIP 1999, side 250-252).
Åbn
på en ny side (se side 4) og vælg
(x-værdierne for den
stokastiske variable X) på 1.aksen, højreklik i diagrammet og vælg
.
ad.1)
Data og Statistik
obs
3:Normalfordlingsplot
Nu indtegnes en linje med ligningen y= x-µ hvor vi kan aflæse middelværdien og
σ
spredningen (i dette tilfælde µ=2,299 og σ=0,410929 i overensstemmelse med resultaterne
øverst på denne side). Datapunkter for den observerede stokastiske variable X indtegnes
også, og jo tættere på linjen punkterne ligger, jo bedre er observationssættet normalfordelt
17.1
49 af: 76
(hvordan 2.koordinaten til datapunkterne er fastlagt er i skrivende stund uklart for mig, så
hvis andre kan finde en forklaring, vil jeg meget gerne se den).
I dette tilfælde regner vi først baglæns fra de kumulerede frekvenser til
standardnormalfordelingen. Dette gøres med listefunktionen
som til de
kumulerede frekvenser beregner de tilhørende y-værdier for den standardnormalfordelte
stokastiske variable Y. Dette gøres i kolonne I i regnearket (listen er navngivet
i
regnearket).
Der laves nu lineær regression på listerne
og
i den nævnte rækkefølge,
altså med
som X-variabel og
som Y-variabel, idet en omskrivning af
ad.2)
InvNorm,
standard
standard
standard
y=
x-µ
σ
højre
højre
giver x=σ·y+µ . Endelig åbnes Data og Statistik på en ny side og der indtegnes
sammenhørende værdier af (standard,højre) sammen med regressionsligningen (som her
kaldes
):
forventet
forventet
x
I regressionsresultatet aflæses forklaringsgraden til r²=0,9938 og sammen med punkternes
beliggenhed i forhold til normalfordelingsmodellen kan vi konkludere, at det oprindelige
datasæt med rigtig god tilnærmelse er normalfordelt med middelværdien µ=2,31 og
spredningen σ=0,42.
En anden og måske mere forståelig metode er at eksperimentere sig frem til middelværdi
og spredning. Ud fra sumkurven gættes på en tilnærmet værdi for middelværdi og
spredning (husk, at for en normalfordeling er middelværdien lig med medianen). Derefter
indsættes to skydeelementer med middelværdi og spredning som parametre. Herefter
plottes fordelingsfunktionen for den første tilnærmede normalfordeling. Denne har
syntaksen: normcdf(-∞,x,µ,σ) (brug m og s som betegnelser for middelværdi og
spredning). Herefter bruges skydeelementerne til først at variere middelværdien og til sidst
spredningen, indtil der er bedst mulig overensstemmelse mellem sumkurven og grafen for
fordelingsfunktionen. Det kan undervejs blive nødvendigt at ændre indstillinger i
skydeelementerne for at opnå den størst mulige præcision. Endelig aflæses middelværdi og
spredning som de aktuelle værdier i skydeelementerne. Fremgangsmåden er illustreret side
3 i dette afsnit.
Kilder:
Hans Sloth: Højniveaumatematik 2, TRIP 1999
Knud Nissen: TI-84 familien. Introduktion og eksempler, Texas Instruments 2004
Flemming Clausen m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Arbejdsbog B2.
17.1
50 af: 76
A obs
◆
1
B
C
D venstre
E højre
=OneVar('obs,1): CopyVar Stat., Stat1.
1.4 Titel
Statistik med é…
1.25
1.5
2
1.52 
2.299
1.5
1.75
3
1.63 Σx
114.95
1.75
2.
4
1.69 Σx²
272.544
2.
2.25
5
1.73 sx := s₋₁x
0.410929
2.25
2.5
6
1.73 σx := σx
0.406798
2.5
2.75
7
1.78 n
50.
2.75
3.
8
1.89 MinX
1.4
3.
3.25
9
1.92 Q₁X
2.02
10
1.95 MedianX
11
1.98 Q₃X
2.6
12
1.99 MaxX
3.3
13
2.02 SSX := Σ(x-)…
14
2.03
15
2.07
16
2.12
17
2.12
18
2.13
19
2.15
20
2.16
21
2.2
22
2.23
_
2.315
8.27425
17.2
51 af: 76
23
2.26
24
2.3
25
2.31
26
2.32
27
2.35
28
2.36
29
2.37
30
2.39
31
2.4
32
2.4
33
2.44
34
2.47
35
2.5
36
2.52
37
2.55
38
2.6
39
2.63
40
2.64
41
2.65
42
2.71
43
2.74
44
2.77
45
2.79
46
2.86
17.2
52 af: 76
47
2.92
48
2.94
49
3.02
50
3.3
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
17.2
53 af: 76
F int_hypp
G int_fre…
H kum_f…
I standa…
=frequency(obs,højre)
J
=invnorm(kum_frekv)
1.
0.02
0.02
−2.05375 Titel
5.
0.1
0.12
−1.17499 RegEqn
6.
0.12
0.24
−0.706303 m
10.
0.2
0.44
−0.150969 b
13.
0.26
0.7
0.524401 r²
8.
0.16
0.86
1.08032 r
5.
0.1
0.96
1.75069 Resid
1.
0.02
0.98
2.05375
1.
17.2
54 af: 76
17.2
55 af: 76
17.2
56 af: 76
K
L
M
N
O
=LinRegMx('standard,'højre,1 ): CopyVar Stat.RegEqn,'forventet: CopyVar Stat., Stat2.
Lineær regres…
m*x+b
0.422326
2.30515
0.993795
0.996893
{0.062201575…
17.2
57 af: 76
17.2
58 af: 76
17.2
59 af: 76
Histogram
Histogram
14
12
10
p
p
y
h
_
t
n
i
8
6
4
2
0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4 2.6
venstre
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
17.3
60 af: 76
Sumkurve
Sumkurve
1.0
m
= 2.3
2.
0.8
s
2.4
= .43
0.
1.
0.6
v
k
e
r
f
_
m
u
k
0.4
brudstyrke
brudstyrke
0.2
0.0
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
højre
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
17.3
61 af: 76
Normalfordelingsplot
Normalfordelingsplot
8
6
4
z
t
e
t
n
e
v
r
o
F
2
0
-2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
obs
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
17.4
62 af: 76
5.5
4.5
e
r
j
ø
h
3.5
2.5
1.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
standard
1.0
1.5
2.0
17.5
63 af: 76
Chi2-test. GOF
χ²-test. "Goodness of fit" eller GOF.
Omtales også som statistisk test for fordeling af en stikprøve.
GOF drejer sig om sammenligning af data med en på forhånd kendt fordeling.
Her vil metoden blive beskrevet med udgangspunkt i
Danmarks Statistiks opgørelse af indkomstfordelingen år 2007 for danskere over 15 år,
som viser følgende billede:
Indkomst i 1000 kr 0;50 50;100 100;150 150;200 200;300 300;400 400;500 500;∞
% af befolkning
6.4
9.3
17.8
12.3
24.3
18.0
6.6
5.3
Indkomstfordelingen er indtastet i regnearket næste side.
A-kolonnen viser indkomstkategorierne (skal indtastes med anførselstegn for at opfattes
som tekststrenge og ikke formler).
B-kolonnen viser de forventede hyppigheder i en stikprøve på 1000 personer som de vil se
ud på baggrund af opgørelsen fra Danmarks statistik.
C-kolonnen viser resultatet af en stikprøve på 1000 personer, hvor man i forbindelse med
en undersøgelse af kendskab til et dyrt fladskærmsprodukt også har spurgt om
indkomstforholdene for deltagerne i stikprøven.
Hypotesen, vi vil teste, er følgende:
H₀: Indkomstfordelingen er den samme i stikprøven som indkomstfordelingen i
populationen.
Først skal vi beregne χ²-teststørrelsen (som ofte betegnes med q):
q =Σ
observeret antal - forventet antal 2
forventet antal
Dette gøres på følgende måde, idet vi benytter listebetegnelserne i regnearket:
q =sum
obs_hypp
-forv_hypp 2
▸ q =33.8848
forv_hypp
Dernæst skal vi vælge, hvilket signifikansniveau vi vil teste på. Her vælges 1%,
Der er to måder, hvorpå man kan komme frem til en konklusion:
1) Bestemmelse af den kritiske q-værdi, qk, svarende til signifikansniveauet og
efterfølgende sammenligning af stikprøvens q-værdi med den kritiske værdi. Den kritiske
værdi er fastlagt ud fra et krav om, at der skal være 1%'s sandsynlighed
(signifikansniveauet) for at finde en teststørrelse i intervallet [qk;∞[. Det betyder samtidig, at
arealet under grafen for χ²-fordelingen i intervallet [qk;∞[ er lig med 0,01 (se graf side 3 i
18.1
64 af: 76
dette afsnit; markeret med gult).
Hvis stikprøvens q-værdi er større end den kritiske værdi, forkastes nulhypotesen.
2) Bestemmelse af teststørrelsen for stikprøven og den tilhørende p-værdi. Hvis p-værdien
er mindre end signifikansniveauet, forkastes nulhypotesen.
Den kritiske q-værdi svarende til signifikansniveauet beregnes ved hjælp af den
omvendte χ²-fordeling med 7 frihedsgrader.
Grunden til at vi skal anvende den χ²-fordeling, der har 7 frihedsgrader, er, at der er 8
indkomstkategorier, og i en GOF-test er antallet af frihedsgrader altid lig med dette antal
minus 1.
qk=invχ² 0.99,7 ▸ 18.4753
ad.1)
Grunden til at der skal stå 0,99 i kommandoen ovenfor er, at den anvendte kommando
"regner baglæns" fra arealet (markeret med blåt, side 3) under grafen i intervallet [0;qk] til q
k.
p-værdien for teststørrelsen beregnes:
p =χ²Cdf 33.88,∞,7 ▸ p =0.000018 =0,0018%
Dvs. sandsynligheden for at få en stikprøve-teststørrelse på 33,88 eller derover er
0,0018% og dermed langt under det valgte signifikansniveau. Vi vælger derfor at forkaste
nulhypotesen. I beregningen ovenfor står χ²Cdf(0,33.88,7) for den kumulerede
sandsynlighed for q-værdien 33,88 ved en frihedsgrad på 7.
ad.2)
Den hurtigste måde at bestemme teststørrelse og p-værdi på, er at benytte den
indbyggede funktion χ²GOF:
χ²GOF obs_hypp,forv_hypp,7 ▸ Udført
" Titel "
" χ² "
stat.results ▸
" PVal "
" df "
" CompList "
" χ² GOF "
33.8848
0.000018
7.
" {...} "
Endelig kan spørgsmålet om, hvorvidt nulhypotesen skal forkastes eller ej, løses ved en
simulering af nulhypotesen. Fremgangsmåden i denne metode er lidt for omfattende til
nærværende dokument, og der henvises til dokumentet GOF-simulering, som kan findes
på lectio: Dokumenter > Egne grupper > Alle > Vejledninger > Nspire.
18.1
65 af: 76
A kat_indkomst
B forv_hypp
C obs_hypp
D
◆
1 0;50
64.
98.
2 50;100
93.
88.
3 100;150
178.
199.
4 150;200
123.
136.
5 200;300
243.
210.
6 300;400
180.
179.
7 400;500
66.
52.
8 500;inf
53.
38.
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
18.2
66 af: 76
Chi2-test. Test for uafhængighed
χ²-test. Test for uafhængighed
Omtales også som statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterer.
Her gennemgås, hvordan eksemplet i Bjørn Grøns kursusmateriale kan behandles i Nspire.
Eksemplet drejer sig om kvinders og mænds tøjforbrug:
køn\forbrug < 1500 kr/måned ≥1500 kr/måned I alt
kvinder
98
102
200
mænd
60
100
160
I alt
158
202
360
.
Skemaet ovenfor indtastes i Lister og Regneark, idet der dog byttes om på rækker og søjler,
og forbrug, kvinder og mænd gives liste/variabelnavne (for bekvemmelighedens skyld
kaldes forbrugskategorierne for hhv. lavt og højt. Se næste side).
I to Data og Statistik applikationer tegnes derefter cirkeldiagrammer for hhv. kvinders og
mænds forbrug.
Anvend
som uafhængig variabel, højreklik og vælg
Højreklik
derefter på 2.aksen, vælg
og vælg hhv. kvinder og mænd i de to
vinduer.
Nu vises forbruget for kvinder og mænd relativt og vi ser, at flere mænd end kvinder har et
højt forbrug.
Grafisk illustration
kat_forbrug
Cirkeldiagram.
Tilføj Y-værdiliste
:
Test for uafhængighed
Vi opstiller nulhypotesen
H₀: Der er uafhængighed mellem forbrug og køn.
Skemaet ovenfor indtastes i et nyt regneark (OBSERVERET, side 3). Skemaet kopieres to
gange. I skema nr.2 beregnes de forventede værdier (se "Kursusmateriale", side6) og i
skema nr.3 beregnes de enkelte kategoriers bidrag til teststørrelsen q ("Kursusmaterielet",
s.8. I "Kursusmateriale" betegnes teststørrelsen q blot med χ²).
FORVENTEDE: I celle B9 indtastes følgende formel: =
B$5
$ D$5
·$ D3 . Denne formel kopieres
til resten af cellerne i den indre del af skemaet ved at trække til højre og derefter ned. Så er
de forventede værdier beregnet. Dollartegnene sikrer, at de relevante rækker, kolonner og
celler er låste ved kopieringen af formlen.
B3-B9
2
19.1
68 af: 76
TESTSTØRRELSE: I celle B15 indtastes følgende formel:
B3-B9 2
B3
. En tilsvarende
formel indtastes i C15. Begge formler trækkes ned. Til sidst summeres søjler og rækker (I
alt:). I nederste højre hjørne (det gule felt) finder vi nu teststørrelsen q=4,77.
Der er to måder at teste H₀ på (ligesom ved χ²-test, GOF. Se forrige afsnit):
Enten:
1) bestemmer vi den kritiske teststørrelse qk ud fra det valgte signifikansniveau (SN=1%
eller SN=5%) og forkaster hypotesen, hvis q > qk
eller:
2) bestemmer vi p-værdien for datamaterialet ud fra teststørrelsen og forkaster hypotesen,
hvis p < SN.
Rent teknisk er det helt samme metode som i GOF, blot med den lille ændring at vi skal
bruge χ²-fordelingen med 1 frihedsgrad.
I den teoretiske statistik kan man vise, at der generelt gælder, at når man laver χ²-test på
krydstabeller, så er antallet af frihedsgrader lig med (antal rækker - 1)·(antal kolonner - 1).
:
SN=1%: qk=invχ² 0.99,1 ▸ 6.6349
ad.1)
SN=5%: qk=invχ² 0.95,1
▸ 3.84146
Heraf ser vi, at hypotesen må forkastes på 5% signifikansniveau, idet qk>3,84 men ikke på
1% signifikansniveau, idet qk<6,63.
ad.2)
:
=2,9%.
Igen ser vi, at hypotesen må forkastes på 5% signifikansniveau, idet p<0,05 men ikke på
1% signifikansniveau, idet p>0,01.
p =χ²Cdf 4.77,∞,1 ▸ p =0.02896
Ligesom ved GOF kan vi tegne grafen for χ²-fordelingen, her med 1 frihedsgrad, og
vurdere teststørelsens beliggenhed i forhold til den kritiske værdi (se side 4).
Testmetoden er her beskrevet med udgangspunkt i en 2×2 krydstabel, dvs. med 2 rækker
og 2 kolonner i tabellen. Metoden kan selvfølgelig udvides til krydstabeller med flere rækker
og kolonner. Blot skal man huske at anvende den rigtige χ²-fordeling med det rigtige antal
frihedsgrader (se ovenfor).
19.1
69 af: 76
.
Metoden illustreres med det ovenfor anvendte eksempel, dvs. en 2×2 krydstabel, men
gælder også med et andet antal rækker og kolonner i tabellen.
Nspire har en indbygget funktion til beregning af såvel teststørrelse og p-værdi som
forventede værdier og de enkelte bidrag til teststørrelsen.
Vi skal blot definere den observerede 2×2 krydstabel som en 2×2 matrix, som kan findes
under matematikskabelonerne:
n×m krydstabeller. Den nemme metode
obs
:= 98 102 ▸ 98. 102.
60 100
60. 100.
χ²2way obs ▸ Udført
" Titel "
" χ² "
" PVal "
stat.results ▸
" df "
" ExpMatrix "
" CompMatrix "
" χ² 2-vejstest "
4.77353
0.028901
1.
" [...] "
" [...] "
Her får vi direkte teststørrelsen 4,77 og p-værdien 0,029.
Vi kan også bede om at se de forventede værdier og bidragene til teststørrelsen:
stat.ExpMatrix
▸ 87.7778 112.222
70.2222 89.7778
stat.CompMatrix
▸ 1.19044 0.931133
1.48805 1.16392
19.1
70 af: 76
A kat_fo…
B kvinder
C mænd
D
◆
1 lavt
98.
60.
2 højt
102.
100.
E
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
19.2
71 af: 76
højt
r
e
d
n
i
v
k
lavt
kat_forbrug
19.2
72 af: 76
højt
d
n
æ
m
lavt
kat_forbrug
19.2
73 af: 76
A
B
C
D
lavt
højt
I alt:
◆
1 OBSERVERET
2 køn\forbrug
3 kvinder
98.
102.
200.
4 mænd
60.
100.
160.
158.
202.
360.
5 I alt:
6
7 FORVENTET
8 køn\forbrug
lavt
højt
I alt:
9 kvinder
87.7778
112.222
200.
10 mænd
70.2222
89.7778
160.
158.
202.
360.
11 I alt:
12
13 TESTSTØRRELSE
14 køn\forbrug
lavt
højt
I alt:
15 kvinder
1.19044
0.931133
2.12157
16 mænd
1.48805
1.16392
2.65196
17 I alt:
2.67848
2.09505
4.77353
18
19
20
21
22
19.3
74 af: 76
Regning med enheder
Regning med enheder
I alle naturvidenskabelige fag har man brug for at regne med enheder. Dette klarer Nspire
også.
Alle enheder startes ved at taste _ (underscore). Hvis der er tale om en sammensat enhed
skal hver enkelt enhed indledes med _. Man behøver ikke taste gangetegnet (se eksemplet
nedenfor). Det sætter Nspire selv.
I hjælpeprogrammet Enhedsomregner findes en oversigt over hvilke fysiske/kemiske
konstanter og enheder, som Nspire kender.
Eksempel 1: Tilført energi ved opvarmning af vand
850 gram vand opvarmes 35°. Den tilførte energi beregnes.
m
:=0.85·_kg ▸ 0.85·_kg
:=35·_°C ▸ 35.·_°C
δt
:=
c
4180·_J
_kg·_°C
▸ 4180.·
_m 2
_s 2 ·_°C
:=m·c·δt ▸ 124355.·_J
e
I dette resultat kan man måske ikke umiddelbart genkende en energienhed. I næste
udregning er vist, hvordan man får omskrevet til Joule.
▶_J ▸ 124355.·_J (sort højre-pegende trekant hentes i hjælpeprogrammet Tegn)
e
Eksempel 2. Omskrivning mellem enheder
Hvis man f.eks har et tryk opgivet i Pa og ønsker det omskrevet til atm., foregår det på
samme måde som i slutningen af forrige eksempel.
p
:=3000000·_Pa ▸ 3.6·_Pa
p
▶_atm ▸ 29.6077·_atm
20.1
76 af: 76

Plenarföreläsning, Hanne Warming

Transcription

Similar documents

fermacell Varmvægsplade

TNS Gallup undersøgelse 2015 "Børn i naturen"

Ansøgning om dokument PD U1 / Attest E 301 fra et andet EØS-land

Thomas tryller med differentialregning

Eksamen fysik A

2010-05-26 STX MA A besv.pdf

BrugerhåndBogen - Velkommen til TNS Gallups TV

StayActive - Træningsanalyse

Fastelæsning