docMatematisk problemlösning i årskurs 1-3
download 
Report Transcription
Matematisk problemlösning i årskurs 1-3
Natur, miljö, samhälle Examensarbete i fördjupningsämnet matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå Matematisk problemlösning i årskurs 1-3 -ur ett lärarperspektiv Mathematical problem solving in grade 1-3 - based on a teacher’s perspective Jannie Ekdahl Emma Hallström Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans 1-3, 240 högskolepoäng 2015-03-29 Examinator: Nanny Hartsmar Handledare: Handledare: Adam Droppe Ange handledare Förord Vi vill tacka samtliga respondenter som deltog i vår undersökning. Det var inte bara trevligt att träffa er utan ni gav oss även ett rikt material att arbeta med. Vi vill även tacka varandra för ett gott samarbete när vi gemensamt skrivit hela vårt arbete tillsammans i både med- och motgångar. Till sist ett stort tack till vår handledare Adam Droppe som gett oss en god handledning genom vårt arbete. Malmö mars 2015 Emma & Jannie 2 3 Sammandrag Under drygt fyra år på Malmö högskola har vårt intresse för problemlösning vuxit och synen på undervisning med matematisk problemlösning förändrats. Vi har lärt oss att man kan få ut så mycket mer av en undervisning med problemlösning om man bara gör det på ett bra sätt. Men vad är ett bra sätt och hur fungerar det i grundskolan? Syftet med studien är att undersöka hur matematiklärares uppfattning om problemlösning kan påverka hur de bedriver sin undervisning samt hur undervisningen förhåller sig till aktuell forskning. I arbetet presenterar vi forskning gällande problemlösning samt vår undersökning av hur lärare i årskurs 1-3 uppfattar matematisk problemlösning och hur det kan påverka lärarnas sätt att bedriva undervisningen i problemlösning. Med kvalitativa intervjuer har vi fått en bild av fem lärares perspektiv på sin undervisning. Resultatet visar att lärarnas uppfattning om matematisk problemlösning samspelar med vad forskning och läroplanen säger med avseende på hur problemlösning kan bedrivas för en god kunskapsutveckling bland eleverna. Dock visar även resultatet att lärarnas undervisningspraktik till viss del viker av från vad forskning menar på hur man bör undervisa i matematisk problemlösning för en god kunskapsutveckling. Att ändra sin undervisning kräver inte bara god kunskap utan det påverkas även av yttre faktorer. Nyckelord: Lärares perspektiv, matematik, problem, problemlösning, undervisning 4 Innehållsförteckning Inledning och bakgrund........................................................................................................... 7 Syfte ........................................................................................................................................... 9 Frågeställning .................................................................................................................................... 9 Litteraturgenomgång ............................................................................................................. 10 Vad är problem och problemlösning? ........................................................................................... 10 Metod och strategi......................................................................................................................... 10 Problemtyper ................................................................................................................................. 11 Varför problemlösning i matematikundervisning? ..................................................................... 14 Styrdokument och kursplan .......................................................................................................... 15 Undervisning genom problemlösning ............................................................................................ 16 Lärarens roll .................................................................................................................................. 17 Introduktion av ett problem .......................................................................................................... 18 Strategier för att lösa ett problem .................................................................................................. 19 Arbetsformer ................................................................................................................................. 21 Problematik med problemlösning .................................................................................................. 22 Metod och genomförande ...................................................................................................... 24 Vetenskapsteoretisk utgångspunkt ................................................................................................ 24 Metodval ........................................................................................................................................... 24 Urval och undersökningsgrupp...................................................................................................... 25 Validitet och tillförlitlighet ............................................................................................................. 26 Genomförande av intervju ............................................................................................................. 26 Bearbetning av intervjudata .......................................................................................................... 27 Resultat .................................................................................................................................... 28 Lärarnas uppfattning om problemlösning .................................................................................... 28 Lärare A ........................................................................................................................................ 28 Lärare B ........................................................................................................................................ 29 Lärare C ........................................................................................................................................ 29 Lärare D ........................................................................................................................................ 30 Lärare E ......................................................................................................................................... 30 Introduktion av ett problem ........................................................................................................... 31 Arbetsformer ................................................................................................................................... 32 Olika lösningsstrategier .................................................................................................................. 34 Att hjälpa eleverna vid problemlösning ........................................................................................ 34 Analys och diskussion ............................................................................................................ 36 Slutsats..................................................................................................................................... 39 Undersökningen ............................................................................................................................... 40 Vidare forskning .............................................................................................................................. 40 Referenser ............................................................................................................................... 42 Bilagor ..................................................................................................................................... 44 5 6 Inledning och bakgrund Synen på matematisk problemlösning har förändrats i de senaste läroplanerna. Det har gått från att vara ett ämne att undervisa om till ett ämne att undervisa genom (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz 2000). Ett problem ska innebära att eleverna kan komma fram till olika lösningar utan en given metod och rika problem ska dessutom leda till flera olika svar. Det är lösningsprocessen som ska vara i fokus då det främst är under den delen som elever utvecklar sina matematiska kunskaper. Lösningsprocessen ska leda till att eleverna börjar resonera och reflektera över sina valda strategier. Processen ska även inbjuda till rika diskussioner som gör att eleverna får öva på sin kommunikationsförmåga och på så vis även utveckla sitt matematiska språk. Problemlösning gör att eleverna utvecklar en vidare syn på matematik och forskning visar att elever som arbetar med problemlösning har en ökad motivation och lust att lära för matematik (Hagland, Hedrén & Taflin 2005). Under vår utbildning på Malmö högskola har vi fått en annan uppfattning om vad problemlösning inom matematik är och hur vi som framtida pedagoger kan arbeta med detta i grundskolans tidigare år. Vi ser nu att problemlösning är ett sätt att arbeta genom för att ge eleverna goda matematiska kunskaper med en bred begreppsuppfattning. Vi har blivit medvetna om vikten av att ha ett öppet klassrum med rika diskussioner som utvecklar elevernas kommunikationsförmåga och resonemangsförmåga (Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Kolovou 2011; Säljö 2014; Taflin 2007). För att utveckla en god problemlösningsförmåga bör man kontinuerligt arbeta med problemlösning under hela skolgången och Taflin (2007) anser utifrån sin forskning att arbeta utifrån ett sociokulturellt synsätt ger eleverna en bredare möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga. Utifrån våra erfarenheter på grundskolor har vi upplevt att många lärare arbetar med problemlösning inom matematik som ett komplement till sin ordinarie undervisning. Även Lester & Lambdin (2007) anser att problemlösning många gånger blir en sidoaktivet för eleverna när de arbetat med matematik samt att den ofta saknar ett sammanhang. Vi har uppmärksammat, vilket även styrks av Ahlberg (1992) och Johansson (2006) att matematikundervisningen till mestadels är baserad på läroböcker. Vår uppfattning av problemlösning i matematiska läroböcker är att de uppgifterna inte är tillräckligt utvecklande för eleven. Eleven blir oftast lotsad till rätt lösning genom kapitlets ämne och informationsrutor (Ahlberg 1992) vilket gör att eleverna till stor del inte behöver använda 7 varken logik eller resonemang under tiden som de löser det givna problemet. I kursplanen (Skolverket 2011) för matematik belyses problemlösning både under det centrala innehållet samt som ett kunskapskrav men ändå har problemlösning inte en central roll i dagens undervisning. Undervisningen ska bidra till att eleven utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla (…) samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematiska uttrycksformer. (Skolverket 2011, s.62) Grundskolan och högskolan ska vila på likvärdig forskning, ändå upplever vi en olikhet i hur undervisningen inom matematisk problemlösning ter sig mot vad forskningen säger. Vårt intresse för att undervisa genom matematisk problemlösning har förstärkts från kurser på högskolan men då vi sett en annan typ av undervisning med problemlösning på verksamma skolor ställer vi oss frågan hur det kan vara så olika när forskningen är densamma. Detta väcker en fundering om vilken uppfattning verksamma lärare har angående problemlösning i matematik samt hur eller om det kan påverkar deras matematikundervisning. När begreppet problemlösning benämns i texten nedan menar vi problemlösning inom matematik. 8 Syfte Vårt syfte med studien är att undersöka hur matematiklärares uppfattning av problemlösning kan påverka hur de bedriver sin undervisning utifrån lärarens egna perspektiv. Vi vill även undersöka hur lärarnas undervisning med matematisk problemlösning förhåller sig till hur forskare beskriver olika faktorers påverkan av problemlösning i matematikundervisningen. Enligt våra erfarenheter stämmer inte den dagliga verksamheten inom matematisk problemlösning i grundskolan överens med vad vår utbildning menar att den ska göra trots att båda verksamheter grundas på samma forskning. Genom vår undersökning vill vi bidra till forskningsfältet problemlösning i matematik med en ökad förståelse för problemlösning ur ett lärarperspektiv. Frågeställning Våra frågeställningar som vi kommer att besvara är: Vilken uppfattning om problemlösning har matematiklärare i årskurs 1-3, och hur arbetar lärarna med problemlösning i sin undervisning? Hur förhåller sig lärarnas undervisningspraktik till vad forskning visar om olika faktorers påverkan och dess betydelse inom problemlösning i matematikundervisning? De faktorer vi avser att undersöka specifikt är: • Introduktion av ett problem • Undervisningens arbetsformer • Vilka strategier läraren lär ut • Vilken hjälp ger läraren och hur 9 Litteraturgenomgång I följande avsnitt kommer vi att presentera vad forskning tar upp angående problemlösning inom matematik för en god kunskapsutveckling. Med syftet för studien i åtanke kommer fokus i litteraturgenomgången att vara utifrån ett lärarperspektiv med vilket vi menar är aspekter som är av betydelse för lärarens kompetensutveckling. Vad är problem och problemlösning? I det vardagliga livet möts vi av problem som måste lösas. Med olika verktyg reder vi ut problemen och går vidare. All matematik kan relateras till problem och matematikundervisningen bygger på att lösa problem. Ett problem kan se olika ut och behöver inte leda till att vara en problemlösningsuppgift (Möllehed 2001; Ahlberg 1992; Polya 2005). Beroende på nivå och förkunskaper kan ett problem tas emot och uppfattas olika av individen och således även problemlösningsuppgifter (Ahlberg 1992). Nationalencyklopedin definierar problem som en svårighet där det kvävs ansträngning för att komma tillrätta med. Uppgiften kräver tankearbete och en analytisk förmåga. Problem i samband med undervisning i matematik kan alltså vara en rutinuppgift eller en icke rutinuppgift. En problemlösningsuppgift ska kräva logiskt tänkande och där lämpliga metoder för att komma fram till lösningen ej är givna. Från lärarens perspektiv är elevernas väg till svaret det som är det väsentliga. Att kunna följa elevernas tankegång och val av strategier ger läraren en god uppfattning av deras matematiska kunskaper (Ahlberg 1992; Möllehed 2001). Metod och strategi Inom matematisk problemlösning förkommer ofta begreppen metod och strategi. I texten skiljer vi på dessa två begrepp genom att definiera metod som ett tillvägagångssätt för en uträkning, det vill säga vilket eller vilka aritmetiska räknesätt eleverna väljer att använda när de löser en problemlösningsuppgift. En strategi är ett tillvägagångssätt och ett hjälpmedel till eleverna för att nå en lösningsprocess (Bruun 2010). En strategi kan alltså användas för att komma fram till en lämplig metod. Vilka lösningsstrategier som kan användas inom problemlösning kommer vi behandla längre ner i texten. 10 Problemtyper Matematisk problemlösning är en praktisk verksamhet och en resonemangsprocess som kan leda till många kunskaper och färdigheter (Taflin 2007). För att en uppgift ska leda till en problemlösningsprocess får uppgiften inte vara en rutinuppgift, det vill säga att eleven inte ska veta från början vilken metod eleven ska använda för att lösa uppgiften. För att klassas som ett problem bör uppgiften uppfylla tre villkor: 1. En person vill eller behöver lösa. 2. Personen i fråga har inte en given procedur för att lösa. 3. Det krävs en ansträngning av henne eller honom att lösa. (Hagland, Hedrén & Taflin 2005 s.27) Forskare har olika definitioner på vad ett problem är och begreppet kan därför ofta definieras på olika sätt men ändå räknas som ett problem. Definitionerna överlappar varandra och kan skilja sig åt i olika grader. Vi väljer att följa Taflin (2007) som ger en nyanserad och utvecklad beskrivning av begreppet problemlösning. Hennes så kallade rika problem bör förhålla sig till alla sju kriterier för att få klassas som ett rikt problem. De olika kriterierna är att ett problem ska 1) introducera till matematiska idéer och lösningsstrategier. Problemet ska göra att eleverna kommer i kontakt med matematiska begrepp och inspirera dem att hitta olika lösningar. 2) Problemet ska vara lättförståeligt och ge alla en chans att arbeta med det. Alla elever ska känna att de förstår vad problemet går ut på och att de kan klara av att reda ut i alla fall en bit av det. 3) Problemet ska vara en utmaning som kräver en ansträngning som tar tid bland eleverna. Det ska alltså vara en djupare och bredare uppgift än en vanlig rutinuppgift. 4) Problemet ska inte kunna lösas på enbart ett sätt utan eleverna ska kunna använda olika strategier och även olika representationer. Det ska finnas både enklare och mer avancerade lösningar. 5) Problemet ska kunna ge möjlighet till matematiska diskussioner utifrån elevernas skilda lösningar. Därför är det viktigt att det finns olika lösningar och strategier för att få rika diskussioner i klassen. 6) Problemet ska ge möjlighet att koppla ihop olika områden inom matematiken. På detta sätt kan eleverna få hjälp att se sammanhang mellan de olika områdena. 7) Problemet ska leda till att eleverna konstruerar och formulerar nya problem som är intressanta för sammanhanget. Att eleverna skapar nya problem ger läraren en god uppfattning om de har förstått tidigare problemlösningar och även om eleverna har utvecklat nya kunskaper. Vidare skriver Taflin (2007) att det inte är svårt att hitta problem men att det 11 kräver mer av läraren för att hitta eller komma på rika problem. Dock anser hon att man med mindre justeringar ofta kan göra om ett problem till ett rikt problem. Exempel på et rikt problem är: På bondgården finns det många olika djur. Tillsammans har djuren 32 ben. Vilka djur finns på bondgården? Andra forskare (Ahlberg 1992; Möllehed 2001; Polya 2005) visar att problemuppgifter kan delas upp i fyra grupper. De utgår då ifrån vilket innehåll samt vilken eller vilka lösningsprocesser som behövs för att kunna lösa problemet eller problemen. Enkla översättningsproblem som även kan benämnas som enstegsproblem är en problemtyp som är vanligt förekommande i matematikböcker. I dessa uppgifter ska eleverna översätta ord till matematiska uttryck och det finns oftast enbart ett rätt svar, det vill säga ett slutet problem till exempel: Adam har 3 fotbollar och Hannes har 2 tennisbollar. Hur många bollar har de tillsammans? Komplexa översättningsproblem eller flerstegsproblem innebär att eleverna inte enbart ska översätta ord till matematiska uttryck för att finna en lösning utan behöver även lägga till ytterligare en beräkning för att komma fram till rätt svar. Ett exempel på en sådan uppgift är: I affären kostar frukostbullarna 6 kronor styck eller så kan du köpa 4 stycken för 20 kronor. Emma ska köpa 6 bullar. Hur mycket ska hon betala? Processproblem är problem som kräver en djupare tankeverksamhet. För att hitta en lösning behöver man resonera fram, gissa och försöka hitta mönster för att hitta en lösning. Till exempel kan se ut såhär: Daniel ska köpa glass. Han vill ha en strut med två kulor. Det finns fem olika smaker. På hur många sätt kan han välja sin glass? Tillämpningsproblem är en problemtyp där problemet kan relateras till elevernas vardag och är mer realistiska. Dessa problem ger en möjlighet att koppla in fler områden även om matematik är huvudmomentet. Tillämpningsproblem kan även vara ett problem som skapats av eleverna själva. Ett exempel kan vara: a) Hur många köttbullar gör köket på skolan varje år? b) Gör själv ett liknande problem! Riesbeck (2008) skriver i sin avhandling om standard problems och problematic problems. Standard problems kan liknas med enstegsproblem där det enbart finns ett rätt svar och eleverna kan lösa problemet genom en självklar uträkning. Det kan således bli en rutinuppgift för eleverna och det krävs då mindre eller inget matematiskt resonemang. Problematic problems är ett problem som av eleverna kan tolkas vara ett standardproblem men om man lägger till realistiska resonemang som kräver logiskt tänkande blir det istället ett problematic problem. Problemet får då en ny innebörd och leder till att eleverna kan komma fram till flera 12 lösningar och svar. Exempel på ett problematic problem kan konstrueras såhär: Jannie springer 100 meter på 15 sekunder. Hur lång tid tar det för henne att springa 400 meter? 13 Varför problemlösning i matematikundervisning? Det finns många fördelar med att arbeta med problemlösning. Taflin (2007) menar att problemlösning kan vara en hjälp som visar att matematik finns ute i det verkliga livet och att det hjälper elever att kunna lösa vardagliga problem som kan uppstå. Det ger läraren möjlighet att visa tydliga kopplingar till elevernas vardag och det blir ett sätt att förbereda eleverna tills de ska ut i samhället som demokratiska medborgare. Aritmetiska tal kan formuleras tillsammans med text för att skapa exempel vilket oftast är den matematik eleverna möter utanför skolan. Eleverna utvecklar en allmän kompetens i problemlösning genom att arbeta med olika typer av problem i skolan och genom att använda en heuristisk metod inom problemlösning utvecklar eleverna en metakognitiv förmåga vilket i sin tur utvecklar resonemangs- och reflektionsförmågan. Detta instämmer Kolovou (2011) med som anser att genom att eleverna utvecklar dessa förmågor stärks även deras tillit till den egna kunskapen. Kolovou poängterar även vikten av att kontinuerligt arbeta med problemlösning för att det ska ha en god effekt på kunskapsutvecklingen. Att ha problemlösningsprocesser i klassrummet gör att lärare och elever ständigt har en matematisk dialog med varandra. Denna dialog utvecklar det matematiska språket i både tal och skrift vilket även utvecklar elevernas matematikkunskaper. Problemlösning behöver tränas kontinuerligt annars utvecklar inte eleverna sina lösningsstrategier och då försvinner syftet med problemlösning (Lester & Lambdin 2007). Hagland, Hedrén & Taflin (2005) samt Taflin (2007) anser att när en lärare arbetar med ett rikt problem involveras hela klassen. De blir aktiva deltagare då ett rikt problem är konstruerat så att alla ska förstå oberoende av vilken nivå eleverna befinner sig i. Eftersom ett problem är skapat så att det finns olika möjliga lösningar till det ger det läraren en mängd möjligheter att uppmärksamma elevers tankar och idéer. Under tiden som eleverna löser problem kan läraren fånga upp deras resonemang samt reflektioner och lyfta dessa i helklass för att skapa diskussioner om tänkbara strategier till lösningsprocessen. Elever som diskuterar både i helklass, grupp eller par får nya insikter från att lyssna på sina klasskamrater och kan på så vis fördjupa sin kunskap inom matematik. Samarbetet som sker under diskussioner ger även eleverna en möjlighet att utveckla sin formuleringsförmåga och låter dem öva på att argumentera samt förklara sina egna tankar. Problemlösning ska leda till att eleverna skapar egna problem och Hagland, Hedrén & Taflin (2005) vill poängtera vikten av att elevernas egna problem tas upp i klassen och används i undervisningen genom diskussion och som 14 problemuppgifter. På så sätt får eleverna en meningsfullhet i det de gör. Meningsfullheten tillsammans med problemlösning leder till en gemenskap i klassrummet som ökar elevernas motivation till att lära. I enlighet med Taflin (2007) anser även Ahlberg (1992) att problemlösning ger eleverna ett sammanhang mellan matematik och deras vardag. Alla elever är olika och har beroende på egna erfarenheter varierande sätt att möta och redovisa en problemlösningsuppgift. Genom att knyta an till elevernas tidigare erfarenheter ökar deras intresse för matematik. Problemlösning inbjuder till möjligheten att lyfta varje elevs tankar och reflektioner vilket höjer elevens självkänsla och bidrar till att denne även utvecklar sin sociala förmåga. Styrdokument och kursplan Problemlösning har länge varit aktuellt i skolans läroplaner och har beskrivits som en viktig del av matematiken. Men synen på hur eleverna ska arbeta med problem och varför har hela tiden varit under utveckling och begreppet problemlösning förekom först som ett huvudmoment i det centrala innehållet i Lgr80 (Wyndhamn Riesbeck & Schoultz 2000; Hagland; Hedrén & Taflin 2005). Problemlösning var då något som lärarna undervisade om och eleverna fick lära sig en mängd olika strategier där målet var att eleverna skulle tillämpa sig en eller flera lämpliga lösningsstrategier för det valda problemet (Hagland, Hedrén & Taflin 2005). Det var först i Lpo94 (Skolverket 2006) och främst i den nu gällande läroplanen Lgr11 (Skolverket 2011) som problemlösning ses som en förmåga som lärarna ska undervisa genom och där eleverna samtidigt utvecklar andra förmågor samt nya matematiska kunskaper. För årskurserna 1-3 är det först nu i Lgr11 som problemlösning finns med som ett kunskapskrav att arbeta mot samt en förmåga att arbeta med (Skolverket 2006; Skolverket 2011). I Lgr11 kan man läsa att några av målen som skolan ska ha för varje elev är: • Att eleven ska kunna kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet. • Att eleven ska kunna kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt. • Att eleven ska kunna lära, utforska och arbeta både självständigt och tillsammans med andra och känna tillit till sin egen förmåga. 15 Vidare i Lgr11 under avsnittet kursplan och kunskapskrav beskrivs matematiken som en aktivitet som är kreativ, reflekterande och problemlösande. Den beskrivs som en nära koppling till den sociala och samhälleliga utvecklingen vilket ger eleverna rätt förutsättningar till att fatta egna beslut i vardagslivet. Syftet med matematik är således att eleverna ska utveckla kunskap om att använda sig av matematik i olika sammanhang. Kursplanen för matematik betonar att arbetet ska ge förutsättningar att eleverna utvecklar förmåga att formulera och lösa problem, förstå och använda matematiska begrepp, välja lämpliga metoder, föra och följa matematiska resonemang samt kommunicera dem med matematiska uttrycksformer. Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer. (Skolverket 2011, s. 62) Matematikundervisningen ska inte längre vara ett färdighetsämne utan ett mer problematiserande ämne. Fokus ska ligga på att eleverna utvecklar en god förståelse för matematiska uträkningar och ett matematiskt tänkande. Att arbeta med problemlösning inbjuder till detta men undervisningen i problemlösning kan ha många olika karaktärer vilket påverkar undervisningens möjligheter och utvecklingen hos eleverna (Laine, Näveri & Pehkonen 2011). Undervisning genom problemlösning Problemlösning är ofta en sidoaktivitet i den ordinarie matematikundervisningen istället för att vara en integrerad del. Eleverna får arbeta med problemlösning som en extrauppgift när de är klara med huvudmomentet för lektionen (Ahlberg 1992, Taflin 2007). Lärarens förståelse och kunskap inom ämnet kan komma att visa sig i hur man undervisar inom ämnet (Sakshaug & Wohlhuter 2010). Något som även speglar undervisningen är givetvis lärarens lärandeteorier och deras elevsyn och kunskapssyn. En lärare som har ett konstruktivistiskt 16 synsätt kan tycka att eleven inte är mogen för problemlösning innan den behärskar den matematiska färdigheten (Piaget 2013). En lärare som har ett sociokulturellt synsätt och arbetssätt, menar att elever utvecklas och lär sig i samarbete med andra och att man ser problemlösning som en god möjlighet för att utveckla sina matematiska kunskaper och problemlösningsförmåga (Vygotsky 1978). Redan innan skolåldern löser barn problem, men när de kommer till skolan blir problemlösningen formell och det krävs en matematisk uträkning. Detta upplever många lärare att eleverna har svårt med, men forskarna är eniga med att man bör börja undervisa i problemlösning i tidig ålder (Ahlberg 1992). Lärarens roll Lärarens roll är ytterst viktigt i undervisning med problemlösning. Genom en lustfylld undervisning ska de uppmuntra eleverna till att lära sig att arbeta med problemlösning (Lester & Lambdin 2007). Läraren behöver bli en aktiv samtalspartner under undervisningen med problemlösning som dessutom ska ha olika metoder för att hjälpa eleverna genom problemet (Wyndhamn Riesbeck & Schoultz 2000). Att vara väl förberedd inför undervisningen med problemlösning är av stor betydelse för elevers utveckling och läraren bör välja uppgifter utifrån elevernas förförståelse och erfarenheter med lämplig svårighetsgrad som kan passa samtliga elever (Ahlberg 1992; Polya 2005). Polya (2005) och Taflin (2007) lyfter även vikten av att titta på uppgiften ur ett elevperspektiv dels för att se otydligheter med språket men även för att vara förberedd för de olika matematiska idéer och lösningar som kan uppstå hos eleverna. Då blir även läraren förberedd med den hjälp som kan komma att behövas till eleverna. Flera undersökningar inom problemlösning har visat att det är nödvändigt att läraren lär ut problemlösningsprocessen till eleverna för att de ska förstå och kunna utveckla sina egna kunskaper (Bruun 2010; Taflin 2007; Lester & Lambdin 2007). Enligt Polya (2005) finns det fyra olika faser som man behöver gå igenom för att lösa en sådan uppgift. Den första fasen är att förstå problemet. Eleven ska veta vad som krävs. Det är lärarens ansvar att se till att alla eleverna förstår uppgiften. För att eleverna ska vilja lösa problemet behöver de känna att de kommer kunna lösa problemet. Den andra fasen är att göra upp en plan, där eleverna tar reda på vad det är som söks och vad som är givet. Den tredje fasen är att genomföra planen, där eleven väljer lämpliga strategier för att lösa problemet. Fjärde fasen är att se tillbaka på problemet där eleven kan granska och reflektera över sin lösning. Polya (2005) skriver även 17 att den viktigaste rollen som läraren har i arbetet med problemlösning är att hjälpa och stötta eleverna. Att hjälpa eleverna till den grad att man som lärare inte ger dem lösningen kan dock vara svårt och kräver en medvetenhet hos läraren. Därför beskriver han frågor som istället provocerar fram en tankeoperation bland eleverna. Detta är en frågemetod för läraren som ska hjälpa eleven att utveckla förmågan att angripa ett problem utan att man hjälper till för mycket. Även Riesbeck (2008) poängterar att eleven får det lättare att lösa problemlösning om läraren hjälper till med frågor och påståenden. Rollen som läraren har när eleverna arbetar med problemlösning kan upplevas som passiv för eleven. När eleverna arbetar har läraren möjlighet att gå runt bland eleverna och lyssna på deras matematiska tankegångar, vilket ger läraren en referensram till kommande övningar (Ahlberg 1992). En skicklig lärare förväntas kunna organisera klassrummet och undervisningen så att eleverna blir stimulerade till att lösa uppgiften och uttrycka sig på flera olika sätt. Läraren ska uppmuntra eleverna till att kunna lyssna på samtliga i klassen, både läraren och andra elever samt fördela ordet till eleverna så att de aktivt deltar i de diskussioner som uppkommer vid problemlösning (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz 2000). Författarna beskriver även vikten av att sätta det matematiska innehållet i en kontext och att introducera innehållet på ett lustfyllt sätt där läraren kan visa exempel för att ge eleverna ett matematiskt instrument. Ahlberg (1992) skriver att innehållet i matematisk undervisning genom problemlösning ska ge eleverna tillfälle att: • Använda sitt eget språk • Utföra olika handlingar • Variera sitt perspektiv på problemlösningen och det givna problemen Eleverna ska få reda på att det finns olika sätt att lösa uppgifterna, att matematisk problemlösning är något som vi människor möts inför i det dagliga livet, att vårt vardagsspråk kan bli till ett symbolspråk och skolspråk, att olika verktyg behövs för att lösa ett problem samt att det tar tid att lösa problem (Lester & Lambdin 2007). Introduktion av ett problem 18 En introducering av en problemlösningsuppgift kan variera och strukturen och formuleringen på uppgiften kan påverka hur elever löser den. En introduktion av problemet är viktig eftersom att alla eleverna behöver veta vad problemet handlar om och vad det går ut på innan de själva tar sig an problemet (Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Kolovou 2010; Polya 2005). Som tidigare nämnt har läroboken en stor del i matematikundervisningen och således även i undervisningen med problemlösning. Om läroböcker innehåller problemlösningsuppgifter är dessa ofta i senare delen av ett kapitel där problemet är avsett till att fortsätta träna de matematiska kunskaperna inom samma område som tidigare uppgifter i kapitlet (Ahlberg 1992). Beroende på hur lärare arbetar med matematikböcker kan därför presentationen av ett problem från läroboken forma sig olika och i värsta fall utebli. Ahlberg (1992) berättar om hur ett problem kan introduceras genom berättelser som succesivt ökar i svårighet. Ett annat sätt är att läraren skriver problemet på tavlan eller använder sig av tekniska hjälpmedel (Hagland, Hedrén & Taflin 2005). På så vis får eleverna en gemensam genomgång av problemet. Viktig del i detta är att låta eleverna upprepa formuleringen, ta ut problemets viktiga delar samt titta på vad som är givet och vad som inte är givet. För att eleverna ska få ytterligare stöttning vid kommande problemlösningar menar Polya (2005) att meningsfulla frågor kan hjälpa eleverna vid lösningsprocessen. En lärare kan ständigt arbeta och hjälpa eleverna att komma vidare i sin lösningsprocess, men syftet med frågorna är att eleverna själva ska ta till sig dem och lägga in det i sitt arbete med problemlösning. Ett sätt för läraren att visa hur frågorna kan användas som strategi, kan vara vid en introduktion eller genomgång av ett problem. Tar läraren dessutom vara på elevernas intresse och introducerar ett problem med vardagsnära och verkliga händelser för dem, kan det göra att eleverna blir mer involverade och engagerade vilket ökar deras motivation till att lösa problemet (Laine, Näveri & Pehkonen 2013). Eleverna bör vara aktiva under introduktionen men de behöver också få se och höra olika strategier från läraren. Med en genomgång där läraren visar och förklarar strategier leder det till att eleven så småningom lär sig hur man kan ta sig an ett problem (Lester & Lambdin 2007). Strategier för att lösa ett problem Elever behöver träna upp sin förmåga och utveckla strategier för att kunna lösa olika problem och en duktig problemlösare minns strukturer och bakomliggande principer från tidigare lösta 19 problem. Troligtvis kan det räcka med en enda lösning utav ett visst problem för att denna elev ska kunna använda strategin som ett användbart verktyg i kommande problem (Dahl 2012). Det råder delad uppfattning från forskarna om hur olika strategier ska tas i bruk av eleverna. Taflin (2007) menar att det först är elevens roll att söka och prova sig fram till lämpliga strategier. Lärarens roll blir att följa upp elevernas lösningar och strategier i helklass genom att lyfta fram olika aspekter från eleverna och diskutera likheter och olikheter. Läraren ska handleda eleverna till att själva utveckla olika strategier genom att avsluta med helklassdiskussioner där samtliga får reflektera och argumentera. Ahlberg (1992), Bruun (2010) och Polya (2005) menar däremot att det är upp till läraren att lära ut olika strategier till eleverna. De anser att eleverna behöver bli visade de olika strategierna för att kunna ta till sig dem. Vid problemlösning kan ett flödesschema användas. Detta schema kan likna Polyas (2005) fyra olika faser och hjälper en till att nå en slutsats. Läraren ska lära eleverna de olika faserna samt strategier som hjälper dem till att möta matematiska problemlösningar. Bruun (2010) redovisar en lista på olika strategier en lärare bör använda sig av vid problemlösning, vilka är: • Söka mönster • Rita bilder • Dramatisering • Tabeller och diagram • Arbeta baklänges • Gissa och pröva • Lösa ett enklare problem • Laborativt material • Konkretisera • Göra en lista • Ekvationer Enligt Bruun använder lärare sig av en eller flera strategier men få lärare använder samtliga strategierna i sin undervisning med problemlösning. Den vanligast förekommande lösningsstrategin som lärs ut till yngre elever är att rita bilder följt av strategin att ta ut nyckelorden. Den sistnämnda strategin förekom dock inte på Bruuns lista av rekommenderade 20 strategier som lärare bör lära ut. Eleverna bör lära sig att använda flera olika strategier vid problemlösning så att de får en möjlighet att undersöka och själva välja lämpliga metoder. Sakshaug & Wohlhuter (2010) påpekar även att om inte läraren experimenterar fram nya strategier inför eleverna kommer troligtvis inte heller detta uppmärksammas bland eleverna. När eleverna behöver hjälp ska läraren vara förberedd med att ta en ny strategi, för att elever ska kunna gå vidare i problemet. En strategi kan till exempel vara ett hjälpande laborativt material men det kan också vara en fråga som provocerar fram en tankeprogression (Ahlberg 1992; Polya 2005). Enligt Polya kan lärare ha två olika avsikter när de ställer en hjälpande fråga nämligen 1) att hjälpa eleven med att klara problemet. 2) Att hjälpa eleven hur den ska klara denna och nästkommande uppgift. Meningsfulla frågor som stöttar eleven att få en förståelse för att lösa uppgiften kan enligt Polya (2005) till exempel vara: Vad är det som söks? Vad är det som är givet? och Hur lyder villkoren? Om läraren istället ställer en ledande fråga med syftet att hjälpa eleven att klara problemet, ger den ledtrådar samt lotsar eleven till en lösning eller till och med serverar en lösning leder detta till att elevernas egna tankar och idéer går förlorade. Detta är även något som Taflin (2007) instämmer med. Lotsning förekommer även i matematikböcker där det finns kapitel och informationsrutor som leder eleverna till en viss metod för uträkning (Ahlberg 1992; Johansson 2006). Arbetsformer Lärarens organisering av sin undervisning är väldigt olika och valet av arbetsform kan till exempel vara att läraren låter eleverna arbeta enskilt, i par och i grupp eller alla tillsammans. De kan arbeta abstrakt eller konkret med en gemensam uppgift eller olika uppgifter beroende på nivå eller intresse. (Ahlberg 1992; Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Kolovou 2011; Möllehed 2001). Det råder enighet bland forskarna att problemlösningsförmågan utvecklas bäst då det ges tillfälle att samtala kring problemet. Samtidigt visar forskning att problemlösning ofta sker enskilt och utan återkoppling i många klassrum runt om i svenska skolor, framförallt i de klassrum där läroboken styr undervisningen (Johansson 2006). En arbetsform som Taflin (2007) nämner är EPA-metoden. Denna arbetsform leder till att eleven kan få möjlighet att utveckla goda kunskaper inom problemlösning. EPA- metoden står för enskilt, par, alla. Med denna metod arbetar eleverna med samma uppgift. De gör först problemlösningen enskilt, sedan i par där eleverna jämför sina lösningar och diskuterar likheter och skillnader. Till sist görs en återkoppling av problemet där alla i klassen 21 tillsammans med läraren redovisar och jämför sina olika lösningar och strategier som uppkommit. På så vis får eleverna reda på varandras olika strategier och möjligheten att föra goda matematiska diskussioner samt att resonemang får ta plats (Taflin 2007; Riesbeck 2008). Författarna anser även att eleverna är varandras resurser när de får höra, se och diskutera andra metoder än sin egna. Vilket kan hjälpa dem att hitta en enklare och smidigare strategi än sin egna. Det är under lösningsprocessen som eleverna fångar upp nya begrepp och utvecklar ett matematiskt språk. Vardagsspråk kan användas vid enskilt och par, men när alla deltar tillsammans ger det läraren en stor möjlighet att introducera och få eleverna att börja använda det matematiska skolspråket. Något som även visar sig när man arbetar på ett sådant sätt är att eleverna blir medvetna om och märker själva att läraren är intresserad utav elevernas tankegång. Läraren vill primärt höra lösningsprocessen samt vägen till en slutsats medan svaret är det sekundära (Ahlberg 1992; Riesbeck 2008; Sakshaug & Wohlhuter 2010). Forskning visar på att eleverna behöver få tillräckligt med god tid på sig för att lösa en uppgift. Ahlberg (1992) menar att en uppgift per lektion är ett bra mått. Då får läraren god tid till att höra och se eleverna och det finns gott om tid för diskussioner där man kan utveckla elevernas resonemang. Problematik med problemlösning Trots att problemlösning har många fördelar är det ändå ett komplext område som kan vara svårt att undervisa i (Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Sakshaug & Wohlhuter 2010). Till skillnad från undervisning med aritmetisk räkning, kan det bli svårt för en lärare att planera och genomföra problemlösningar då oförutsägbara diskussioner och händelser ofta kan förekomma (Ahlberg 1992). Läraren är den avgörande faktorn för att undervisningen med problemlösning ska fungera och vara utvecklande för samtliga elever. Att hitta en balans och nivå där en och samma uppgift passar alla kan vara svårt och kräver stor kunskap både didaktiskt och i ämnet samt att det kräver mycket förberedelser av läraren (Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Taflin 2007). Har läraren bristande kunskaper, förståelse och intresse för problemlösning visar sig detta i undervisningen vilket påverkar elevernas utveckling av problemlösningsförmågan. Även lärarens förståelse och kunskapssyn påverkar undervisningen och således även problemlösningen (Taflin 2007). Det finns lärare som anser att alla textuppgifter är 22 problemlösningsuppgifter vilket forskning visar att det inte behöver vara (Ahlberg 1992; Taflin 2007) och då får inte eleverna den kunskapsutveckling som de bör få. Bruun (2010) menar på att elever som har en liten framgång i problemlösning kan bero på att de har en lärare som använder sig av en och samma strategi genomgående i deras undervisning och då blir det svårt att utvecklas till gedigna problemlösare. Klyftan mellan barns tidigare kunskaper och den kunskap de ska lära sig i skolan är för stor (Ahlberg 1992). Ahlberg menar att även yngre barn behöver få arbeta med verkliga händelser och arbeta konkret. Blir arbetet med problemlösningen tidigt formellt och abstrakt tappar eleverna motivation samt minskar sin utveckling för matematisk förståelse. Problematik med problemlösning som inte enbart påverkas av lärarens kunskap inom området och ens synsätt är praktiska problem som kan uppstå under eller inför en undervisning. Det är viktigt att ha ett tryggt klassrumsklimat och att det finns en kamratlig anda bland eleverna för att få diskussioner där alla elever känner sig delaktiga och framförallt vågar vara delaktiga. Elever ska kunna våga framföra sin reflektion eller synpunkt utan att riskera att pekas ut bland övriga elever. En bristande planering kan även göra att allt inte hinns med under en lektion och ofta är det då den avslutande diskussionen, som är en viktig del, som blir lidande (Hagland, Hedrén & Taflin 2005). Taflin (2007) poängterar även vikten av att ha en god planering inför en lektion och ett klart syfte för att få ut det mesta från problemlösning vilket många lärare anser kräver för mycket tid, som inte finns. 23 Metod och genomförande I denna del av arbetet beskriver vi hur vi har gått till väga i vår forskningsprocess. Vi kommer att redogöra och motivera vår undersökningsmetod samt redovisa hur insamling av data har behandlats och bearbetats. Vetenskapsteoretisk utgångspunkt Det finns två relativt lika vetenskapsteorier där huvudmetoder är tolkning av andra individers tänkande. Men det som skiljer dem åt är deras förhållningssätt till verkligheten. Den fenomenografiska, grundar sig i fenomenologin, som studerar hur olika personer tolkar ett visst fenomen ur ett objektivt anspråk. Hermeneutiken, är en vetenskapsteori där en subjektiv tolkning av text är det analytiska redskapet. Man utvecklar en förståelse av sin förförståelse och sina erfarenheter det vill säga att tolkningen av texten påverkas av det man redan kan och vet samt ger en ny kunskap. Hermeneutiken förstår mänskliga fenomen och det är med hjälp av vår förförståelse och teorier som vi tolkar verkligheten och får en ny utvecklad förståelse (Bryman 2011). De olika huvudmetoderna är tolkningar och kan inte ge generella slutsatser av det som studerats (Backman 2008; Bryman 2011; Möllehed 2001). Både fenomenografi och hermeneutik har varit aktuella forskningsansatser under vår arbetsgång. Men då vår studie syftar till att få en djupare förståelse för lärares handlingar kommer vi att tolka den med våra egna erfarenheter och förförståelse, därför väljer vi att utgå från hermeneutiken. Metodval Hermeneutiken är en kvalitativ metod. Vår studie är en tvärsnittsstudie med kvalitativa intervjuer som är gjorda under en begränsad period. Syftet med undersökningen är att undersöka lärares förståelse för problemlösning och hur de undervisar inom detta. Anledningen till att vi gjort en kvalitativ undersökning är för att vi söker en djupare förståelse istället för att undersöka frekvenser som en kvantitativ undersökning skulle visat (Bryman 2011). Det empiriska materialet samlades in genom semistrukturerade intervjuer där 24 intervjufrågorna är korta, öppna och förbestämda. Här får respondenterna möjlighet att ge en nyanserad bild av sina tolkningar och vi får där igenom ett rikt material att studera (Bryman 2011). Urval och undersökningsgrupp I vår studie har vi gjort ett målstyrt urval vilket även kännetecknar en kvalitativ undersökning (Bryman, 2011). Utefter vårt syfte med studien har vi därför medvetet valt ut deltagare som är verksamma lärare och som undervisar i matematik i årskurs 1-3. Vi ville även ha lärare som är i olika skeden av deras karriär och som arbetar på olika skolor. Enligt Bryman (2011) görs ofta ett bekvämlighetsurval i en kvalitativ undersökning eftersom studiens mål är att få en djupare analys och för att säkerhetsställa att man får svar på de frågor man söker. Med detta i åtanke har vi valt ut skolor som vi känner till sedan tidigare samt lärare som vi är bekanta med. Vi kontaktade skolorna och lärarna via mail och fick ihop fem kvinnliga lärare som ville ställa upp på att intervjuas. Lärarna arbetar på skolor i tre olika städer. Fyra lärare arbetar på kommunala skolor och en lärare arbetar på en privat skola. Från början var tanken att intervjua tio lärare men då vi insåg att vi var ute efter en mer djupgående intervju smalnade vi ner det till fem lärare. Ett bekvämlighetsurval gör att vi undviker bortfall och vi kan istället se till att få en bred variation och täckning inom dess population. Vi måste dock ha i åtanke att vid ett så här pass litet urval kan vi inte dra några generella slutsatser i vårt resultat. Samtidigt måste vi vara medvetna om att de olika upptagningsområdena kan ha betydelse för hur lärarna förhåller sig till undervisningen med problemlösning. Etiska överväganden När man gör en vetenskaplig undersökning är det viktigt att ta hänsyn till olika etiska frågor. Inför vår undersökning där vi intervjuar lärare var vi noga med att läsa på om detta område innan vi tog kontakt med de olika skolorna och lärarna. Vi började med att informera samtliga rektorer om att få tillstånd att genomföra studien. Vi har tagit hänsyn till fyra grundläggande etiska faktorer när vi utformat vår studie som är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet u.å.; Bryman 2011). Vi har tagit 25 kontakt med skolor via mail. Först kontaktade vi skolans rektor (se bilaga 1) för att få ett godkännande. När vi sedan skickade ut mail till respektive lärare och frågade om de var intresserade av att delta i vår studie bifogade vi ett brev (se bilaga 2) där vi tydligt informerar om syftet med undersökningen. Vi belyser även att det är ett helt frivilligt deltagande och att personerna när som helst kan avbryta det. Vi skriver även att vi kommer att spela in intervjun, detta informerar vi även om för att förbereda deltagaren då det ibland kan kännas skrämmande att bli inspelad om man inte är medveten om det sedan tidigare (Bryman 2011). Inspelningen sker för att kunna transkribera materialet och efter bearbetning kommer allt material kasseras. Avslutningsvis informerar vi även om att intervjun är helt konfidentiell och varken skolan eller läraren kommer att kunna pekas ut i den färdiga studien. Validitet och tillförlitlighet Validitet syftar till att man genom sin studie undersöker det som man avser att undersöka och att man gör det utifrån sin frågeställning. Validiteten och reliabiliteten av ett empiriskt material är ofta ifrågasatt, då forskarens tolkning av materialet kan vara missuppfattat (Bryman 2011; Ahlberg 1992). Därför är en intern reliabilitet mellan kollegierna viktig för att stärka undersökningens trovärdighet. Det är även viktigt att tydligt redogöra alla faser i forskningsprocessen samt hur man bearbetar det empiriska materialet. Genom att göra kvalitativa intervjuer med lärare kan vi få en djupare förståelse och insyn för lärarens resonemang utifrån hennes svar. Samtidigt kan vi inte säkerställa hennes svar då vi inte kan fastställa att det hon säger stämmer överens med verkligheten. I så fall skulle även en längre klassrumsobservation vara nödvändig. Men då möjligheten till detta inte var genomförbart på grund av tid fick detta väljas bort. Genom att ha inspelning från intervjuerna och ställa samma intervjufrågor till samtliga lärare kan vi ändå stärka trovärdigheten i vårt resultat. Med en liten respondentgrupp kan vi således inte dra några generella slutsatser. Vilket ändå inte är vårt syfte med studien. Däremot kan man säga att det vi fått fram i resultaten är något relevant vilket ger vår studie en hög validitet. Genomförande av intervju 26 Vi har gjort enskilda semistrukturerade intervjuer med fem lärare och vi valde att ha max en intervju per dag. Inför intervjuerna har vi förhållit oss till Brymans (2011) intervjuguide. Vi såg till att vara väl pålästa för att få en djupare förståelse inom området och på så sätt kunde vi konstruera relevanta intervjufrågor samt få en god bild på hur respondenterna kan komma att besvara frågorna (Backman 2008; Bryman 2011). Vi gjorde medvetet enkla formuleringar för att skapa en mer informell känsla under intervjuerna (se bilaga 3). Våra formuleringar var inte specifika eller ledande utan mer öppna för att undersöka hur lärarna själva uppfattar sin verklighet utan att påverkas av våra frågor. Detta ökade även möjligheten till att ställa följdfrågor. Becker (2008) ger ett förslag att använda sig av uttrycket Hur kommer det sig...? istället för Varför…? i en följdfråga. Detta visar på mer intresse för respondenten och kan leda till att de berättar mer utförligt och ärligare. Vår första intervju var tänkt som en testintervju men respondenten gav oss så pass utförlig information och vi ansåg att våra frågor var bra som de var vilket gjorde att vi valde att ha med även denna intervju i vårt resultat. Samtliga intervjuer spelades in med hjälp av våra mobiltelefoner och tog cirka 45- 60 minuter. Som avslut på våra intervjuer informerade vi våra deltagare om att de gärna fick återkomma till oss efteråt om de kom på något att tillägga och så även vi. Bearbetning av intervjudata Det empiriska materialet har vi transkriberat och på så sätt har vi kunnat följa upp vad respondenterna har sagt. Utifrån transkriberingen har vi lyft ut relevant information från respondenternas utsagor genom att tematisera och markera det innehåll utifrån vårt syfte och frågeställning. Vi har sammanställt de olika lärarnas svar för att sedan kunna jämföra och analysera likheter och olikheter i deras utsagor. På detta sätt får vi en vidare syn av lärarnas uppfattning (Backman 2008). Genom att vi såg till att ha en väl förbered intervju fick vi ett rikt material att arbeta med där vi fick svar på vår frågeställning. 27 Resultat Nedan kommer vi att presentera en sammanställning av vårt intervjumaterial från de fem olika lärarna. Vi redovisar vårt resultat utifrån lärarsvaren som speglar vår frågeformulering och sammanställningen är utarbetad efter vår tolkning av vad lärarna sagt. De olika respondenterna har arbetat som grundskolelärare mellan 1-20 år och vi benämner dem i texten som lärare A, B, C, D och E. Lärarnas uppfattning om problemlösning Lärare A Lärare A anser att problemlösning är väldigt brett men lägger vikten vid själva lösningsprocessen och att eleverna behöver olika strategier för att komma fram till en slutsats. Hon anser att det är viktigt att tidigt börja arbeta med problemlösning för att eleverna ska vänja sig vid det. Hon drar likheten att precis som med begrepp och termer, om eleverna hör och ser olika lösningsprocesser kontinuerligt så befästs kunskapen tillslut. Eftersom man kan använda olika räknesätt inom samma problemlösningsuppgift lär sig eleverna varför de ska kunna olika räknesätt och hur de ska använda dessa. Lärare A beskriver problemlösning som språkutvecklande eftersom eleverna diskuterar och får förklara mycket för varandra vilket även leder till en bättre samarbetsförmåga. Ett arbete med problemlösning ger eleverna ett vidare synsätt och lär dem tänka på olika sätt. Hon anser inte att hennes syn på problemlösning har ändrats under hennes tid som lärare och anser att hon fick en god utbildning inom området. Hur man arbetar eller inte arbetar både med problemlösning och överlag tror lärare A beror på hur man är som person. Lärare A vill inte ändra på sitt sätt att arbeta med problemlösning men hade önskat att de kunde vara fler pedagoger närvarande under lektioner för att få ett mer utvecklande kollegialt lärande vilket hon påpekar är viktigt för att utveckla sin problemlösningsundervisning. 28 Lärare B Lärare B beskriver problemlösning som en händelse. Händelsen, det vill säga innehållet i problemuppgiften kan vara av vardaglig karaktär eller av mer fantasi. En problemlösningsuppgift är inget givet utan arbetas fram under lösningsprocessen. Hon anser att problemlösning ofta kan kompletteras med bilder och att detta hjälper till att öka förståelsen för matematik. Hon menar att problemlösning finns i hela ens omgivning och hon använder sig ofta av elevernas när, hem, skol- samt lekmiljö när hon konstruerar vardagsproblem. Hon utgår från elevernas gemensamma erfarenheter och skapar på så sätt ett sammanhang för dem vilket är viktigt för att få en god kunskapsutveckling. Problemlösning blir därför optimal om den grundas på händelser som eleverna haft tillsammans men även variationen inom problemlösning är viktig för att nå ut till alla elever. Lärare B poängterar även att utifrån detta är det fullt möjligt att börja arbeta med problemlösning redan i tidig ålder men då med enkel problemlösning. Man kan komma bort från skrivandet samt läsandet och istället diskutera om det man upplevt och på så vis komma fram till lösningar. Fördelen med problemlösning är att man som lärare kan nivåanpassa problemlösning utefter elevernas ålder och förkunskaper, vissa vill ha större utmaningar medan man får förenkla för andra. Lärare B förklarar att hennes syn på problemlösning har förändrats under sin tid som lärare och säger att hon tycker att färdighetsträning är viktigt men att man framförallt behöver ha förståelsen för det man gör och att det är genom problemlösning som man till stor del kan få det, i och med att språket kommer in. Hon anser även att problemlösning kan stärka svaga elever om det utförs i grupp men att det blir för svårt för en svag elev att arbeta enskilt med det. Lärare C Lärare C uttrycker spontant att hon upplever att problemlösning är väldigt svårt för eleverna eftersom det ofta innefattar flera olika steg för att nå en lösning. Eleverna har svårt för att skriva matematik och vill hellre enbart skriva ett svar. Därför är det viktigt att arbeta med problemlösning gemensamt i skolan så eleverna får den hjälp de behöver jämfört med färdighetsträning som eleverna kan arbeta med enskilt. Även om hon anser att eleverna tycker det är svårt har hon märkt att när eleverna väl kommit igång med lösningsprocesser tycker de att arbetet är roligt och de elever som förstår problemlösning är långt fram i deras kunskapsutveckling. Hon beskriver att problemlösning innebär att ett problem kan lösas på 29 olika sätt och att det ofta är kopplat till vardagsproblem. Lärare C försöker alltid göra problemlösningsuppgifterna verklighetsbaserade och tar ofta eleverna och deras samvaro som exempel när hon hittar på olika uppgifter eftersom hon märkt att detta ökar elevernas motivation. Lärare D Lärare D vill förklara problemlösning som en icke rutinuppgift och som en uppgift man ska låta ta tid. Eleverna ska lära sig att prova olika strategier och våga misslyckas och kan på så sätt utveckla sin kunskap. Lösningsprocessen gör att eleverna börjar reflektera och det är viktigt att ge utrymme för detta. Eleverna får även träna uthållighet och tålamod när de provar sig fram. Det fria arbetssättet gör att eleverna blir mer kreativa och använder sig av sina kunskaper för att utveckla nya. Något som lärare D uppmärksammat är att svaga elever inom matematik oftast uppskattat denna typ av arbete. Hon anser att man kan arbeta med problemlösning redan från förskolan men att det då stannar vid att undersöka och reflektera. När eleverna sedan börjar skolan blir problemlösningen mer formell och de utvecklar sin kunskap inom matematik genom att skriva på mattespråk samt använda korrekta begrepp. Lärare D anser att problemlösning är ett sätt för henne att nå alla sina elever men vill även poängtera att det är viktigt att variera nivån på problemlösningsuppgifterna eftersom ett problem för dig kanske inte är ett problem för någon annan. Det är även viktigt att man som lärare planerar och är förberedd inför sina lektioner med problemlösning. Att man sätter sig in hur det kan gå och vad som kan behövas för att inte stöta på några hinder. Lärare E Lärare E beskriver problemlösning som öppna uppgifter där det finns mer än ett rätt svar. Problemlösning kan även vara integrerat i en saga eller en berättelse där eleverna får plocka ut det matematiska. Det kan även vara svårt för eleverna eftersom de gärna vill ha rena aritmetiktal men hon anser att problemlösning är en av de viktigaste faktorerna inom matematik och jämför det med läsförståelsen. Alla kan lära sig att avkoda, både bokstäver inom läsning och siffror för uträkning, men att skapa en förståelse är mycket svårare. Därför ska problemlösningsuppgifter göra så att eleverna börjar fundera så att det i sin tur utvecklar tankeförmågan och ger eleverna en förståelse. Under problemlösningsprocessen börjar 30 eleverna att tänka logiskt och får ett kreativt tänkande men det får inte bli för svårt för då ger eleverna upp. Lärare E anser att man som lärare ska handleda eleverna och lotsa eleverna framåt för att de ska kunna tänka vidare. Hon lägger stor vikt på att man som lärare måste tänka igenom sina lektioner med problemlösning på ett strategiskt sätt. Att ha ett tydligt mål om vad man vill att eleverna ska lära sig samt hur och hitta lämpliga problem då alla elevgrupper är olika och alla behöver utmanas på olika sätt. Man måste ha en plan a, b, plan c, plan d och ibland ännu fler. Det handlar om att se vilken nivå eleverna befinner sig på och var och hur man ska fånga upp dem. Med problemlösning kan man utgå från det man arbetar med i klassen just då vilket ger ett sammanhang för eleverna. Lärare E poängterar att all matematik kan göras till problemlösning och att man kan arbeta med en uppgift en hel dag. Resultatet från den empiriska undersökningen visar att lärare tycker att det är roligt att undervisa i problemlösning och samtliga lärares uppfattning är att eleverna tycker att det blir ännu roligare om man har verklighetsbaserade problem med vardagsnära uppgifter. Problemlösning kan tolkas brett och man kan därigenom få många möjligheter till att ta vara på elevernas intresse och erfarenheter. På detta vis kan man även nivåanpassa sin undervisning så att varje elev tillgodoses. Dock upplever lärarna att många elever har svårt att arbeta med hela problemlösningsprocessen då många elever vill räkna rena aritmetikuppgifter för att snabbt kunna ge ett rätt svar. Samtliga lärare arbetar med en matematikbok där det finns problemlösningsuppgifter men de anser ändå att det behövs kompletteras med annat material för att kunna utveckla elevernas kunskaper och förmågor inom problemlösning. Introduktion av ett problem Lärare A beskriver att en introduktion av ett problem kan vara olika från gång till gång men oftast presenterar hon ett problem genom att ha gemensamma diskussioner. Eleverna får rita och hon skriver ner uttryck och ser till att de både pratar, jobbar med händerna och skriver kring problemet. Hon anser att det är bra att ta exempel om något som eleverna känner igen, men hon gör det inte alltid. Ibland när hon introducerar märker hon att hon inte får med alla eleverna och får då ändra i efterhand. Läraren tror att det kan bero på att hon ibland har för höga ambitioner. Lärare B introducerar problem olika beroende på om de arbetar inne i klassrummet eller om de är utomhus. När de är utomhus hittar hon ofta spontana problem som hon presenterar muntligt. Är de i klassrummet anser hon att det är bäst att samla eleverna i en ring på golvet 31 som de är vana vid. Hon har då skrivit problemet på ett stort papper och läser det sen flera gånger för eleverna. De kan då gå igenom vad texten handlar om och gemensamt plocka ut viktigt innehåll som behövs för att kunna lösa problemet. Lärare C brukar skriva upp ett problem på tavlan som hon läser tillsammans med eleverna. De tar sedan ut de viktiga delarna och räknar ut det tillsammans. Ofta är problemet någon som de kan relatera till och sedan får de ett liknande problem att arbeta själv med. Lärare D introducerar oftast ett problem med en genomgång men även genom lekar och liknande. Vid en genomgång leder hon undervisningen och styr den så att hon får med det hon vill att de ska lära sig. Hon ser till att fördela ordet jämnt mellan alla elever och även henne själv så att diskussion får fokus på det som hon vill ska vara centralt. De löser problemet tillsammans genom att läsa det och skriva upp det på mattespråk. Hon visar och kontrollerar olika strategier under lösningsprocessen och hon ser till att det alltid blir en diskussion och lyfter elevernas resonemang. Lärare D lägger vikt på en god planering inför en introduktion, tillexempel om hon ska använda bilder eller riktiga kläder. Detta är beroende på i vilken ålder hon undervisar i, en bild kan kanske stimulera till mer än vad hon vill göra och för att inte tappa fokus planerar hon då om. Lärare E börjar oftast med att ge eleverna ett problem som de löser tillsammans på tavlan. Hon visar då hur man ska göra vilket hon anser att man måste göra med elever i de yngre åldrarna och man måste göra det kontinuerligt för att de ska förstå deras uppgift. Läraren ser sig som en igångsättare och en ledare under lösningsprocessen. Arbetsformer Lärare As elever arbetar oftast två och två med en gemensam uppgift. Under tiden de arbetar försöker hon gå runt och prata med eleverna och de får då ett tillfälle att förklara deras olika lösningar. De har gemensamma diskussioner i helklass för att hon ska höra hur de tänkt och om de har förstått uppgiften rätt. Paren delar här med sig av sina lösningar och läraren lyfter olikheter i de olika lösningsprocesserna. Hennes lektioner med problemlösning är varierade så eleverna ska orka hålla fokus på uppgiften. En halv lektion anser hon är lagom att arbeta med ett problem. Hon berättar om när de arbetade med en bok där en saga bjöd in till problemlösning, detta gjorde de alla tillsammans och muntligt. Ju äldre eleverna är desto mer självständiga blir paren när de arbetar med problemlösning. Då kan de både läsa och skriva uppgiften själva. 32 Lärare B tycker om att bedriva matematik utomhus. Hon anser att det finns mycket problemlösning där och då blir problemen mer spontana och lösningarna sker muntligt i par eller enskilt. Hon ger exempel på ett problem som hon kom på när de var ute och gick i deras närmiljö. De gick förbi en blomsterhandel där hon gav eleverna detta problem: Det finns fem blommor i varje bukett. Vi ska köpa fyra buketter. Hur många blommor köper vi totalt. Ibland tar hon med sig händelsen eller problemet in till klassrummet och arbetar med det där. När eleverna går i ettan brukar uppgifterna alltid vara muntliga och lösningen sker oftast enskilt. När eleverna blir äldre och är i klassrummet arbetar eleverna mycket i par men även enskilt. De brukar läsa uppgiften för varandra så de lättare ska förstå problemet och sedan får eleverna enskilt rita och lösa problemet. Hon har ett öppet kamratklimat i klassrummet och eleverna tar ofta hjälp av varandra. Som avslut på problemlösningen låter hon paren redovisa och jämföra sina lösningar för varandra. Hon låter eleverna arbeta cirka tio minuter med ett problem för att hålla motivationen uppe, arbetar de längre tröttnar de oftast. Lärare C gör problemuppgifter som är inom det område de arbetar med i matematiken just då. Läraren gör en uppgift tillsammans med eleverna på tavlan och låter de sedan räkna en liknande uppgift enskilt. Eleverna brukar lösa ett problem på cirka fem minuter innan läraren bryter för en gemensam återkoppling i helklass med olika svar och lösningar. De arbetar med olika problemlösningar hela lektionen antingen enskilt eller i par. Arbetar de i par sätter hon ihop dessa och oftast ser hon till att en starkare elev får arbeta tillsammans med en lite svagare. Lärare D arbetar bland annat med EPA metoden när hon undervisar i problemlösning. Hon har först alltid en genomgång av problemet för samtliga elever för att ingen elev sedan ska sitta enskilt och inte förstå uppgiften. Hon låter hela lektionstimmen gå åt arbetet med problemlösningen och lägger mycket tid på att eleverna ska presentera sitt arbete och resonera kring de olika lösningarna som framkommer. Hon nämner även att någon få gång väljer hon ut några elever som får arbeta i mindre grupper en längre tid tillsammans med läraren. Då får de chansen att diskutera och visa varandra när de löser problemet. Oftast går dock inte detta rent praktiskt med en klass på över 20 elever. Det är mycket som kan störa i undervisningen och hon vill alltid hinna med en summering och slutdiskussion tillsammans med eleverna. Vissa gånger blir summeringen något kortare och då brukar hon välja ut vilka elevlösningar som ska presenteras. Lärare E organiserar klassrummet så att samtliga elever arbetar mycket tillsammans. De brukar först lösa ett problem gemensamt på tavlan genom att läsa uppgiften tillsammans och reder då ut oklarheter som kan uppstå. Efter att de löst uppgiften får eleverna arbeta med ett 33 liknande problem i par eller i grupp. Läraren bestämmer vem eleverna ska arbeta med och belyser vikten av en genomtänkt sammansättning av paren. Hon anser att en svag elev kan få stöd av en starkare elev men att glappet mellan dem inte får vara för stort. Paren får sedan tilldelat olika problemlösningsuppgifter som de får arbeta med följt av en redovisning och jämförelse med de andra paren. De arbetar med en uppgift så länge det behövs, men oftast under en lektion. Olika lösningsstrategier Samtliga lärare lär ut samma eller liknande strategier till sina elever för deras väg mot att bli kreativa problemlösare och vi har därför valt att sammanställa dessa strategier genom en figur. I figuren nedan har vi rangordnat utifrån den mest förekommande strategin vilket är att ta ut matematiken som nämns av samtliga lärare. De tre nedersta strategierna att göra tabeller, göra ett liknande problem samt mattesaga är de som förkommer minst och varje strategi nämns enbart en gång av olika lärare. Ta ut matematiken Rita Skriva Laborativt material Titta efter nyckelord Frågor Tabell Gör liknande problem Mattesaga Att hjälpa eleverna vid problemlösning Lärare A ser sin hjälp till eleverna som en typ av coachning. När eleverna ställer frågor och behöver hjälp ställer hon frågor tillbaka som ska hjälpa dem att se på problemet från ett annat håll. Hon kan även föreslå att eleven ska använda något laborativt material för att få igång 34 eller driva på sin tankegång. Anser hon att det är en vanligt förekommande eller en relevant svårighet lyfter hon denna i helklass för att skapa en diskussion. Lärare B hjälper de yngre eleverna med att skriva svaret på mattespråket men vill att de själva ska kunna förklara muntligt. Hon brukar säga till eleverna som inte kan förstå eller förklara skriftligt att de istället ska rita uppgiften. Lärare B arbetar mot att få eleverna att hjälpa varandra så mycket som möjligt genom att till exempel hänvisa dem till att läsa för varandra. Hon skriver ofta upp hjälpande frågor på tavlan som eleverna kan ha i åtanke när de fastnar i en lösningsprocess. Frågorna ska då göra att eleverna breddar sitt tänk och kan arbeta vidare. Har eleven svårt att förstå begreppen i uppgiften brukar hon förklara dem tydligt och på olika sätt men ibland även ändra till enklare begrepp som de redan behärskar. Hon påpekar att det ofta är den språkliga förståelsen eleverna behöver hjälp med och att hon ser sig själv som en igångsättare för eleverna inför deras uppgifter. Lärare C beskriver sin hjälp till eleverna som stöttning. Ofta hjälper hon eleverna med att strukturera upp uppgiften för att få en så god utgångspunkt som möjligt inför lösningsprocessen. När de strukturerar upp uppgiften tar de oftast ut det matematiska i texten som eleverna anser behöva för att kunna lösa problemet. Lärare D hänvisar elever som behöver hjälp att prova något laborativ material tillsammans med läraren. Hon anser att elever som inte förstår uppgiften behöver arbeta med det konkret. Om eleverna behöver hjälp med läsförståelsen finns hon till hjälp med att förklara begreppen med hon har även lärt eleverna att i första hand ta hjälp av varandra. Lärare E går ofta runt bland eleverna och lyssnar när de arbetar med problemlösning dock utan att störa dem. Då finns hon nära tillhands och kan läsa av om någon elev behöver hjälp eller stöttning för att komma vidare. Hjälpen hon ger är olika beroende på eleven. Ibland behöver hon lotsa eleverna vidare i lösningsprocessen och ibland handleder hon eleverna för att de ska förstå just det hindret där de har stannat. Hon hjälper eleverna med strukturen och att koda av matematiken i texten. Hon anser att eleverna har ett stort behov av att få hjälp med det språkliga i texten men hon har vant eleverna vid att ta först ta hjälp av varandra så mycket som möjligt. Hon hjälper eleverna även med att ställa motfrågor för att få ut den väsentliga informationen i uppgiften. Eleverna har alltid tillgång till laborativt material vilket de själva är vana vid att gå och hämta vid behov. 35 Analys och diskussion Bruun (2010) visar vikten av en stor variation av lösningsstrategier för att alla eleverna ska kunna tillgodoses med rik kunskap inom problemlösning. Hon menar alltså om elever behärskar olika strategier blir de mer självgående i deras lösningsprocesser genom att själva hitta lämpliga strategier för att lösa ett problem. Vi ser att lärare A och C har en bristande undervisning av att lära ut olika lösningsstrategier. Enligt Bruun (2010) är det inte ovanligt att en lärare lär ut samma enstaka strategier år efter år. Lärare A och Cs elever lär sig enbart enstaka strategier som att rita eller ta ut matematiken och eleverna går därmed miste om att utveckla sitt logiska tänkande när de arbetar med ett problem. Samtliga lärare lär ut strategier i enlighet med Ahlberg (1992), Brunn (2010) och Polya (2005) med syftet att eleverna behöver se strategin och hur man använder den innan de själva kan praktisera den. Utöver detta är Lärarna D och E är medvetna om Taflins (2007) metod gällande strategier. Dock används det som ett komplement och inte genomgående. Deras arbetssätt visar på att elever möter problem där eleverna enbart får använda sig av deras redan befintliga matematiska kunskaper. Lester & Lambdin (2007) menar på att man inte behöver ha grunderna i matematik för att arbeta med problemlösning. De menar istället att eleverna ska lära sig nya matematikkunskaper genom problemlösning vilket vi upplever att lärarna inte möjliggör för eleverna. Kan eleverna dessutom inte tillräckligt många olika strategier kan det leda till att det blir svårt för dem att prova sig fram och skapa en egen metod för att lösa ett problem (Bruun 2010; Sakshaug & Wohlhuter 2010). Det typiska problem som lärare B beskriver passar in på Ahlbergs (1992) beskrivning av ett enstegsproblem. Samtliga av våra respondenter anser att det är denna typ av problem man arbetar med för elever de första skolåren. Ingen av lärarna arbetar således med flerstegsproblem (Ahlberg 1992) i de tidiga åldrarna då de anser att eleverna ännu inte är tillräcklig mogna för mer komplexa problem. Med enstegsproblem får eleverna en god insikt till problemlösning men för att nå den bredd på elevernas kunskapsutveckling som problemlösning ska ge bör man som lärare även i tidig ålder introducera det som Ahlberg (1992) benämner som flerstegsproblem och Taflin (2007) benämner som rika problem. Enstegsproblem kan vara en bra start i problemlösning men läraren måste se till att inte fastna i att enbart undervisa i denna typ av problem. Vi kan se att lärarna hittar och konstruerar egna problem som de kan individanpassa genom att förenkla eller försvåra men problemen når ändå inte alla de sju kriterier som Taflin (2007) förespråkar för att ett problem ska bli ett rikt 36 problem. Lärarna är bra på att förbereda eleverna inför ett problem genom att låta eleverna se och förstå lösningsprocessen utifrån Polyas (2005) fyra faser. Det som lärarna missar utifrån Taflins (2007) sju kriterierna är att problemet ska kunna lösas på flera olika sätt med både enklare och mer avancerade lösningar. Samtliga lärare upplever att elever lär sig av att se och höra varandra men Lärare B och C låter dock eleverna oftast lösa problemen enskilt. Samtliga lärare ser diskussioner som en viktig del i lösningsprocessen med möjlighet att återkoppla och reflekterar över sina skilda lösningar och därmed ge möjlighet till rika matematiska diskussioner. I enlighet med Ahlberg (1992) och Hagland, Hedrén & Taflin (2005) anser Lärare D att det är viktigt att avsätta gott om tid för diskussioner då dessa anses vara en ytterst viktig del av problemlösningsprocessen. Skillnaden på lärare D och de andra lärarnas sätt att undervisa är att Lärare D följer EPA- metoden. Denna metod är ett bra sätt att arbeta efter om man som lärare anser att man lär sig i en social samverkan där kommunikation och interaktion ligger som grund. Av de lärare som alltid låter eleverna lösa problem i par är det enbart lärare E som nämner att hon tar hänsyn till den proximala utvecklingszonen (Möllehed 2001; Säljö 2014; Vygotsky 1978). “De som är svaga ska inte arbeta med den som är bäst i klassen. Då blir det ingen utmaning för någon av dem eftersom de är för långt ifrån varandra. Den som är svagast ska arbeta med den som är medelmåttig. Det ska vara en lagom nivåskillnad mellan dem för att de ska kunna hjälpa varandra.” (Lärare E) Polyas (2005) beskrivning av att ställa meningsfulla frågor om problemet, framförallt vid en introduktion, är en metod som leder till att eleverna så småningom använder sig självmant av frågorna som en effektiv lösningsstrategi till kommande problem. Lärare A och C använder sig inte av Polyas (2005) frågemetod i sin undervisning vilket gör att deras elever går miste om denna strategi. Lärare B använder sig av Polyas frågemetod under en introduktion av ett problem och ser även till att ha frågorna synliga för eleverna under arbetets gång. Lärare D och E använder meningsfulla frågor först när eleverna behöver hjälp. Vår undersökning är viktig som ett bidrag till forskningsfältet problemlösning inom matematikundervisning. Vad vi kan se utifrån vårt resultat och analys är att lärarna har en relativt gemensam bild av vad problemlösning är. De ser problemlösning som en viktig del av matematiken och är väl medvetna om att arbete med problemlösning leder till en god 37 kunskapsutveckling bland eleverna. Lärarna ska ge eleverna möjlighet att lära sig att formulera och lösa problem samt även värdera de metoder och strategier de väljer (Skolverket 2011). Trots att lärarna är insatta i vad både forskning och läroplanen belyser inom problemlösning kan vi se att de går miste om en del viktiga aspekter i deras praktiska undervisning. Det är således deras uppfattning om hur de arbetar som skiljer dem åt. 38 Slutsats Även om grundskolan och högskolan ska vila på likvärdig forskning upplever vi en skillnad i de olika verksamheterna. Vi märker att lärarna har ett synsätt för problemlösning som passar in i läroplanens föreställningar med problemlösning. Samtidigt ser vi dock att deras undervisning inte samspelar med vad den aktuella forskningen säger. Respondenterna menar på att den undervisningen, som lärs ut på högskolan, inte går att bedriva i verkligheten då det händer så mycket oförutsägbara händelser i skolan och hos eleverna. Även om de anser att problemlösning är viktigt prioriterar lärarna andra aktiviteter i sin undervisning. Syftet med studien har varit att ta reda på hur lärares uppfattning om problemlösning kan påverka deras undervisning. Att bristen på en bred kunskap inom problemlösning påverkar undervisningen kan vi förstå men genom vår undersökning tyder det snarare på de kulturer och traditioner som finns på skolorna och framförallt blir det en resursfråga. Detta påpekar lärare D när hon beskriver en arbetssituation: För en gångs skull fick jag lyxen att jobba med problemlösning med bara fyra barn. Vi tyckte det var jätteroligt och lärorikt eftersom jag fick chansen att gå in på djupet med uppgiften. Det är det man ibland saknar att kunna göra eftersom man oftast har 20-25 elever i en klass och även i halv klass är man ändå rätt så många. Att arbeta med stora klasser och dess påverkan var något som framkom i samtliga intervjuer. Att implementera en ny typ av undervissningsstil kan ta lång tid på en skola då den ska accepteras utav många och det kräver det både mod och en trygghet från en lärare att ta steget till att utveckla sin undervisning inom problemlösning. I undersökningen visade det sig även att de lärare som är nyutexaminerade insocialiseras i att undervisa efter skolans traditioner, det sitter i väggarna och är svåra att undgå. Vi märkte att de lärare som ändrat sin syn på problemlösning har ändrat sin undervisning men att det tar lång tid och vi ser en skillnad på hur erfarna lärare som arbetar med kollegialt lärande utvecklar en bättre problemlösningsundervisning med en djupare utveckling för elevers problemlösningsförmåga. Med vår nya förståelse för problemlösning upplever vi att det är fullt möjligt att bedriva en god undervisning genom problemlösning i tidig ålder precis som högskolan menar. Även om resursfrågan påverkar ligger en stor vikt i lärarens inställning till problemlösning och i vilken 39 mån läraren vågar utmana både sig själv och sina elever. Utifrån vår tolkning är det främst att man som lärare kontinuerligt arbetar med problemlösning och om man introducerar tidigt blir eleverna vana vid arbetssättet och fokus kan läggas på att utveckla elevernas förmågor istället för att skapa dem. Undersökningen För att ytterligare stärka vår undersökning hade en önskan vara att utöver intervjuerna även göra klassrumsobservationer men på grund av tiden blev detta inte genomförbart. Eftersom vi genomförde intervjuer är medvetna om att respondenterna till viss del ger exempel utifrån deras bästa undervisning med problemlösning. Genom klassrumsobservationer hade vi själva kunnat se hur lärarna verkligen arbetar med problemlösning och därigenom kunnat skapa oss en egen uppfattning av hur lärarna bedriver sin verksamhet och inte enbart behövt förlita oss på utifrån vad lärarna sagt. Våra frågeställningar syftar dock till att ta reda på lärarnas perspektiv på deras uppfattning om problemlösning och hur denna kan visa sig i deras undervisning. Med enbart observationer hade vi kunnat se hur lärarnas undervisning ser ut men vi hade ändå stått med en fråga om deras handlingar bottnar sig i olika förhållningssätt. Därför valde vi att prioritera intervjuer före observationer för att få en hög validitet i vår undersökning. Vidare forskning Utifrån vår undersökning framgick det att lärares undervisning inte fullt ut speglar den undervisning som högskolan menar ska bedrivas. En vidare forskning kan vara att göra en komparativ studie genom klassrumsobservationer. Forskaren får följa två klasser under tre år där det i ena klassen praktiseras problemlösning där samtliga förutsättningar ges för att kunna undervisa utifrån aktuell forskning. I den andra klassen görs inga förändringar av undervisningen och den fortlöper som tidigare. Vårt syfte med forskningen blir att undersöka betydelsen för elevernas utveckling beroende på vilken undervisningen de ges. Klassrumsobservationen kan komma att visa vad som krävs eller inte krävs och vilka konsekvenser problemlösning ger. Den vidare forskningen ska således undersöka betydelsen av problemlösning så att verksamma lärare kan ges rätt förutsättningar för att själva kunna 40 bedriva samma undervisning. Målet ska vara att undervisa matematik genom problemlösning för att utveckla goda matematiska kunskaper. 41 Referenser Ahlberg, Ann (1992). Att möta matematiska problem- En belysning av barns lärande. Göteborg: Göteborgs universitet. Backman, Jan (2008). Rapporter och uppsatser Lund: Studentlitteratur. Becker, Howard S. (2008). Tricks of the trade: Yrkesknep för samhällsvetare. Malmö: Liber. Bruun, Faye (2013). Elementary teachers’ perspectives of mathematics problem solving strategies. I The mathematics educator, Vol. 23, No. 1, pp. 45-59. Georgia: University of Georgia. Bryman, Alan (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber. Dahl, Tomas (2012). Problemlösning kan avslöja matematiska förmågor: Att upptäcka matematiska förmågor i en matematisk aktivitet. Kalmar, Växjö: Linneuniversitetet. Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf & Taflin, Eva (2005). Rika matematiska problem- inspiration till variation. Liber: Stockholm. Johansson, Madeleine (2006). Teaching mathematics with textbooks – A classroom and curricular perspective. Luleå: Luleå universitet. Kolovou, Angeliki (2011). Mathematical problem solving in primary school. Utrecht: Utrecht University. Laine, Anu, Näveri, Liisa & Pehkonen, Erkki (2013). On Teaching problem solving in school mathematics. I CEPS Journal. Vol. 3, No. 4 pp. 9-23. Slovenia: University of Ljubljana. Lester, Frank K, & Lambdin, Diana V. (2007). Undervisa genom problemlösning. I Jesper, Boesen, Göran, Emanuelsson, Anders, Wallby & Karin, Wallby (red). Lära och undervisa matematik- internationella perspektiv. NCM, Göteborgs universitet. Möllehed, Ebbe (2001). Problemlösning i matematik: En studie av påverkansfaktorer i årskurserna 4-9. Malmö: Malmö högskola. Piaget Jean (2013). Barnets själsliga utveckling. Lund: Studentlitteratur. Polya, George (2005). Problemlösning: En handbok i rationellt tänkande av G. Polya. Stockholm: Prisma. Problem (2015). Nationalencyklopedin. http://www.ne.se/uppslagsverk/ordbok/svensk/problem. (Hämtad 2015-02-14). 42 Riesbeck, Eva (2008). På tal om Matematik: Matematiken, vardagen och den matematiskdidaktiska diskursen. Linköping: Linköpings universitet. Sakshaug, Lynae E. & Wohlhuter, Kay A. (2010). Journey toward teaching mathematics through problem solving. I School science and mathematics, Vol. 110, No. 8, pp. 397-409. Malden: Blackwell publishing inc. Skolverket (2006). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet: Lpo 94. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket. Säljö, Roger. (2014). Lärande i praktiken: Ett sociokulturellt perspektiv. Lund: Studentlitteratur. Taflin, Eva (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande. Umeå: Umeå universitet. Vetenskapsrådet (u.å.). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Vygotsky, Lev S. (1978). Mind in society: The development of higher psychological processes. United stated of America: Harvard university press. Wyndhamn, Jan, Riesbeck, Eva & Schoultz, Jan (2000). Problemlösning som metafor och praktik: studier av styrdokument och klassrumsverksamhet i matematik- och teknikundervisningen. Linköping: Linköpings universitet. 43 Bilagor Bilaga 1 Till rektorn på xxxxxxskolan i xxxxxxx. Vi är två lärarstudenter på Malmö högskola. I juni tar vi vår grundlärarexamen med inriktning F-3 och matematik som fördjupningsämne. Nu under vårterminen 2015 skriver vi vårt examensarbete. Syftet med undersökningen är att få en inblick i hur verksamma lärare i årskurserna 1-3 bedriver sin matematikundervisning med ett fokus på problemlösning. Vår studie innefattar semistrukturerade intervjuer med lärare från ett flertal skolor och skulle vara mycket tacksam om några lärare från er skola kan delta i vår undersökning. Intervjun kommer att vara helt konfidentiell och skolan eller läraren kommer inte att kunna pekas ut. Vi uppskattar om ni hör av er inom kort med kontaktinformation till de aktuella lärarna. Med Vänlig Hälsning Jannie Ekdahl Grundlärarstudent Emma Hallström Grundlärarstudent [email protected] [email protected] Adam Droppe Handledare [email protected] 44 Bilaga 2 Information till dig som ska delta i intervjun. Vi är två lärarstudenter på Malmö högskola. I juni tar vi vår grundlärarexamen med inriktning F-3 och matematik som fördjupningsämne. Nu under vårterminen 2015 skriver vi vårt examensarbete. Studiens syfte är att reda ut begreppet problemlösning inom matematik och även undersöka hur problemlösning bedrivs av dig som är en verksam lärare i årskurserna 1-3. Studien innefattar en intervju där vi är intresserade utav dina svar och erfarenheter gällande problemlösning inom matematik. Intervjun är frivillig och du kan avbryta när du vill. Men ditt deltagande är viktigt för oss och vi skulle därför vara mycket tacksamma om du vill sätta av tid för detta som vi beräknar att ta cirka en timme. Intervjun kommer att spelas in för att sedan transkriberas och efter bearbetning kommer materialet att kasseras. Den är helt konfidentiell och skolan eller du som lärare kommer inte kunna pekas ut i den färdiga studien. Återkom gärna med datum och tider som passar dig. Med vänlig hälsning Jannie Ekdahl Grundlärarstudent Emma Hallström Grundlärarstudent [email protected] [email protected] Adam Droppe Handledare [email protected] 45 Bilaga 3 Intervjufrågor 1. Hur länge har du jobbat som lärare? 2. Vad har du för grundutbildning? 3. Vad är det första du tänker på om jag säger matematisk problemlösning? 4. Hur vill du förklara begreppet problemlösning inom matematik? 5. När börjar du arbeta med problemlösning, har du någon strategi för det? (årskurs, behärskar något visst talområde, läsa?) a. Hur kommer det sig? 6. Hur låter du eleverna arbeta med problemlösning och hur kommer det sig att du väljer de sätten? a. Hur introducerar du problemlösning för eleverna? b. Hur väljer du vilka uppgifter ni ska arbeta med? c. Hur länge arbetar ni med problemlösning per gång? 7. Vilken är din roll som lärare när eleverna arbetar med problemlösningsuppgifter? a. Vilken typ av hjälp brukar dina elever behöva när de arbetar med en problemlösningsuppgift? b. Hur hjälper du dem då? c. Hur låter du eleverna synliggöra sin problemlösning för din bedömning? 8. Arbetar dina elever med en matematikbok? Finns där problemlösningsuppgifter och hur värderar du dem? b. Du nämnde att ni arbetar med matematikbok, vilken bok är det? Hur värderar du bokens problemlösningsuppgifter? 9. Om du tänker på en lektion där ni har arbetat med problemlösning. Hur såg planeringen ut inför den lektionen? 10. Har din syn på matematisk problemlösning förändrats under din tid som lärare och i så fall på vilket sätt? a. Vad är det som har påverkat detta? 11. Vad tycker du att problemlösning gör för eleverna? (Intresse, kunskap, motivation, språk.) 12. Hur utvärderar du ditt arbete inom problemlösning? a. Skulle du vilja arbeta på ett annat sätt med problemlösning? 13. Har du något material som ni arbetat med som vi kan få titta på? 46
