doc
MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 2022 Mallit / Alkuviikko
1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 3 / 2022
Mallit / Alkuviikko
Tehtävä 1 (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun
A =
3 5 −4
−3 −2 4
6 1 −8
ja b =
7
−1
−4
.
Ratkaisu 1: Koetetaan ratkaista yhtälö Gauss-eliminaatiolla.
3 5 −4
−3 −2 4
6 1 −8
7
−1
−4
+R1
−2R1
∼
3 5 −4
0 3 0
0 −9 0
7
6
−18
−
5
3R2
+3R2
∼
3 0 −4
0 3 0
0 0 0
−3
6
0
/3
/3 ∼
1 0 −4/3
0 1 0
0 0 0
−1
2
0
Yhtälöllä on siis äärettömän monta ratkaisua, jotka määräytyvät yhtälöryhmästä
(
x1 − 4/3x3 = −1
x2 = 2.
Kun merkitään x3 = t, saadaan ratkaisuiksi
x =
−1
2
0
+ t
4/3
0
1
, t ∈ R.
Tehtävä 2 (L): Oletetaan, että p on yhtälön Ax = b eräs ratkaisu, eli että Ap = b.
a) Olkoon vh yksi ratkaisu homogeeniselle yhtälölle Ax = 0, ja olkoon w = p + vh. Osoita,
että w on ratkaisu yhtälölle Ax = b.
b) Olkoon w mikä tahansa ratkaisu yhtälölle Ax = b. Määritellään vh := w − p. Osoita, että
vh on ratkaisu yhtälölle Ax = 0.
Nämä kohdat yhdessä osoittavat, että yhtälön Ax = b ratkaisuiden joukko on täsmälleen niiden
vektoreiden joukko, jotka ovat muotoa vh +p, missä vh on homogeenisen yhtälön Ax = 0 yleinen
ratkaisu (tilanteesta riippuen piste, suora, taso, hypertaso, ...) ja p on yhtälön Ax = b eräs (mikä
tahansa!) yksittäinen ratkaisu.
2
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
Ratkaisu 2: Molemmat kohdat voidaan osoittaa suoralla laskulla.
a) Aw = A(p + vh) = Ap + Avh = b
b) Avh = A(w − p) = Aw − Ap = b − b = 0
Tehtävä 3 (P): Kirjoita liittomatriisina
x2 + 2x3 = 3
4x1 + 3x2 + 2x3 = 1
4x1 + 4x2 + 4x3 = 4
.
ja etsi kaikki kompleksiset ratkaisut Gauss-eliminaatiolla
(tai osoita, ettei ratkaisuja ole).
Ratkaisu 3: Merkitään x = (x1, x2, x3)
T
. Tällöin yhtälö voidaa esittää muodossa Ax = b, jossa
A =
0 1 2
4 3 2
4 4 4
ja b =
3
1
4
.
Koetetaan ratkaista yhtälö Gauss-eliminaatiolla:
0 1 2
4 3 2
4 4 4
3
1
4
R1 ←→ R2 ∼
4 3 2
0 1 2
4 4 4
1
3
4
−R1
∼
4 3 2
0 1 2
0 1 2
1
3
3
−R2
∼
4 3 2
0 1 2
0 0 0
1
3
0
−3R2
∼
4 0 −4
0 1 2
0 0 0
−8
3
0
/4
∼
1 0 −1
0 1 2
0 0 0
−2
3
0
Saatiin siis kaksi yhtälöä, jotka ovat yhdessä yhtäpitäviä yhtälön Ax = b kanssa:
(
x1 − x3 = −2
x2 + 2x3 = 3
=⇒
(
x1 = x3 − 2
x2 = −2x3 + 3
Esitään kaikki ratkaisut parametrin z ∈ C avulla, kun x3 = z. Tällöin kaikki ratkaisut ovat muotoa:
x1 = z − 2
x2 = −2z + 3
x3 = z
3
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
Tehtävä 4 (P): Lineaarisesta funktiosta A : R
3 → R
2
tiedetään, että
A(7, 4, 1) = (9, 8), A(5, 3, 1) = (7, 6), A(3, 2, 1) = (5, 4).
Etsi lineaarikuvausta A vastaava matriisi [A]. Onko ratkaisumatriisi yksikäsitteinen? Miksi?
Ratkaisu 4: Minkä tahansa lineaarikuvauksen A : R
3 → R
2 voi esittää muodossa
A(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3)[A]
T
Tässä [A] ∈ R
2x3 on matriisi:
[A] =
A11 A12 A13
A21 A22 A23
⇐⇒ [A]
T =
A11 A21
A12 A22
A13 A23
Saadaan siis kolme yhtälöä: (Huom! Sillä, missä järjestyksessä yhtälöt esittää ei ole minkäänlais ta väliä; Rivijärjestystä voidaan aina Gaussin eliminaatiossa vapaasti permutoida rivioperaatioin.
Tässä ne on nyt valmiiksi valittu järjestykseen jota on mukava eliminoida.)
(7, 4, 1)[A]
T = (9, 8)
(3, 2, 1)[A]
T = (5, 4)
(5, 3, 1)[A]
T = (7, 6)
Tämän yhtälöryhmän voi esittää myös yhtenä matriisiyhtälönä:
7 4 1
3 2 1
5 3 1
[A]
T =
9 8
5 4
7 6
Yritetään ratkaista [A]
T Gauss-eliminaatiolla:
7 4 1
3 2 1
5 3 1
9 8
5 4
7 6
·2 ∼
7 4 1
6 4 2
5 3 1
9 8
10 8
7 6
−R2
∼
1 0 −1
6 4 2
5 3 1
−1 0
10 8
7 6
−6R1
−5R1
∼
1 0 −1
0 4 8
0 3 6
−1 0
16 8
12 6
−R3
−
3
4R2
∼
1 0 −1
0 1 2
0 0 0
−1 0
4 2
0 0
Yksikäsitteistä ratkaisua ei siis ole, koska alimmalle riville tuli vain nollia. Saadaan yhtälöt:
A11 − A13 = −1
A12 + 2A13 = 4
A21 − A23 = 0
A22 + 2A23 = 2
4
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
Parametrisoimalla A13 = t ∈ R ja A23 = u ∈ R, saadaan:
A11 = −1 + t
A12 = 4 − 2t
A13 = t
ja
A21 = u
A22 = 2 − 2u
A23 = u
Siis matriisi [A] on muotoa:
[A] =
−1 + t 4 − 2t t
u 2 − 2u u
Ratkaisun ei-yksikäsitteisyyden voi havaita jo ennen Gauss-eliminaatiota tarkastelemalla annet tujen pisteiden lineaarista riippuvuutta. Esimerkiksi kolmannen pisteen voi muodostaa kahdesta
ensimmäisestä:
2 ∗ A(5, 3, 1) − A(3, 2, 1) = A(7, 4, 1)
⇔ 2 ∗ (7, 6) − (5, 4) = (9, 8).
Muodostuvat yhtälöt ovat siis keskenään lineaarisesti riippuvaisia, eivätkä siten määrittele yksikä sitteistä ratkaisua.
5
