doc
MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / 2022 Mallit / Loppuviikko
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 2 / 2022
Mallit / Loppuviikko
Tehtävä 5 (L): Ratkaise yhtälöryhmä
x2 +x3 = 0
x1 +x2 = 0
x1 +x2 +x3 = 1
käyttämällä Gaussin eliminaatiota tarpeellisin rivinvaihdoin. Mitä saamasi ratkaisu kertoo näistä
kolmesta avaruuden tasosta?
Ratkaisu:
Yhtälöryhmä voidaan esittää muodossa
0 1 1
1 1 0
1 1 1
x1
x2
x3
=
0
0
1
⇔
0 1 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Eliminoidaan:
0 1 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
(1)
V aihdetaan rivit 1. ja 3.
−−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 1 1
1 1 0 0
0 1 1 0
(2)
Rivi1−Rivi3 −−−−−−−→
1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
(3)
R2−R1 −−−−→
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 1 1 0
(4)
R3−R2 −−−−→
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 1
(5)
Viimeisestä muodosta huomataan, että tasot leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä (x1, x2, x3) =
(1, −1, 1).
1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
Tehtävä 6 (L): Määritä sellaiset kertoimet a, b, c, d ∈ R, että
a(x
3 − x
2 + x − 1) + b(x
3 + x
2 + 3x − 2) + c(x
2 + 3x + 1) + d(x
3 + 2x
2 − 2) + 7 = 0
kaikilla x ∈ R. Käytä Gaussin eliminaatiota.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa polynomin kertoimet erottuvat:
a(x
3 − x
2 + x − 1) + b(x
3 + x
2 + 3x − 2) + c(x
2 + 3x + 1) + d(x
3 + 2x
2 − 2) + 7 = 0
⇔
x
3
(a + b + d) + x
2
(−a + b + c + 2d) + x(a + 3b + 3c) − a − 2b + c − 2d + 7 = 0
Polynomi saa arvon 0 kaikilla x ∈ R, jos ja vain jos sen kaikki kertoimet ovat 0.
Tarkastellaan summaa termeittän:
x
3
: a +b +d = 0
x
2
: −a +b +c +2d = 0
x : a +3b +3c = 0
vakiot: −a −2b +c −2d +7 = 0
Kirjoittamalla viimeinen termi muodossa −a − 2b + c − 2d = −7, voidaan yhtälö kirjoittaa mat riisimuodossa:
1 1 0 1
−1 1 1 2
1 3 3 0
−1 −2 1 −2
a
b
c
d
=
0
0
0
−7
⇔
1 1 0 1 0
−1 1 1 2 0
1 3 3 0 0
−1 −2 1 −2 −7
Eliminoidaan:
1 1 0 1 0
−1 1 1 2 0
1 3 3 0 0
−1 −2 1 −2 −7
R2+R1, R3−R1, R4+R1 −−−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 0 1 0
0 2 1 3 0
0 2 3 −1 0
0 −1 1 −1 −7
R3−R2, R4+ 1
2 R2
−−−−−−−−−−−→
1 1 0 1 0
0 2 1 3 0
0 0 2 −4 0
0 0 3
2
1
2 −7
2
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
R4− 3
4 R3
−−−−−→
1 1 0 1 0
0 2 1 3 0
0 0 2 −4 0
0 0 0 7
2 −7
R2·
1
2
, R3·
1
2
, R4·
2
7 −−−−−−−−−−−−−→
1 1 0 1 0
0 1 1
2
3
2
0
0 0 1 −2 0
0 0 0 1 −2
Takaisinsijoituksilla:
R1−R4, R2− 3
2 R4, R3+2R4
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 0 0 2
0 1 1
2
0 3
0 0 1 0 −4
0 0 0 1 −2
R2− 1
2 R3
−−−−−−−→
1 1 0 0 2
0 1 0 0 5
0 0 1 0 −4
0 0 0 1 −2
R1−R2 −−−−−−→
1 0 0 0 −3
0 1 0 0 5
0 0 1 0 −4
0 0 0 1 −2
Josta voidaan lukea: a = −3, b = 5, c = −4, d = −2.
Tehtävä 7 (P): Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista lämpötilaruudukkoa, jossa kukin lämpöti loista T1, T2, T3, T4 on keskiarvo viereisten ruutujen lämpötiloista. Kirjoita yhtälöryhmä lämpöti loille Tk ja ratkaise se käyttämällä Gaussin eliminointimenetelmää.
T3
T1
T4
T2
20◦ 45◦
10◦ 20◦
10◦
5
◦
50◦
30◦
Huom: Vierekkäisillä ruuduilla on yhteinen sivu. Ensimmäinen yhtälö on muotoa
T1 = (10 + T3 + T2 + 5)/4 eli 4T1 − T2 − T3 = 15.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan kunkin ruudun lämpötilat yhtälöryhmäksi:
3
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
T1 =
10+5+T3+T2
4
T2 =
20+30+T1+T4
4
T3 =
10+20+T1+T4
4
T4 =
50+45+T2+T3
4
⇔
4T1 − T2 − T3 = 15
−T1 + 4T2 − T4 = 50
−T1 + 4T3 − T4 = 30
−T2 − T3 + 4T4 = 95
Matriisimuodossa:
4 −1 −1 0 15
−1 4 0 −1 50
−1 0 4 −1 30
0 −1 −1 4 95
Järjestetään rivit uudelleen. Järjestys valittu siten, että laskeminen on jotenkin helpompaa.
−1 4 0 −1 50
0 −1 −1 4 95
−1 0 4 −1 30
4 −1 −1 0 15
Eliminoimalla:
R3−R1,R4+4R1 −−−−−−−−−→
−1 4 0 −1 50
0 −1 −1 4 95
0 −4 4 0 −20
0 15 −1 −4 215
R3−4R2,R4+15R2 −−−−−−−−−−→
−1 4 0 −1 50
0 −1 −1 4 95
0 0 8 −16 −400
0 0 −16 56 1640
R4+2R3 −−−−→
−1 4 0 −1 50
0 −1 −1 4 95
0 0 8 −16 −400
0 0 0 24 840
R1∗−1,R2∗−1,R3∗1/8,R4∗1/24
−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −4 0 1 −50
0 1 1 −4 −95
0 0 1 −2 −50
0 0 0 1 35
Takaisinsijoituksilla saadaan:
1 0 0 0 15
0 1 0 0 25
0 0 1 0 20
0 0 0 1 35
,
4
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
jolloin tuloksiksi saadaan: T1 = 15, T2 = 25, T3 = 20, T4 = 35.
Tehtävä 8 (P): Etsi Gaussin eliminaatiomenetelmän avulla virrat I1, . . . , I5, kun vastukset ovat
suuruudeltaan Rk = 2k Ω, kun k = 1, . . . , 5 ja E = 5V . Tarvittavat yhtälöt saat Kirchhoffin virta ja jännitelakien avulla.
✧✦
+
★✥
−
E
R1
I1
✲
R2
❄I2
R3
I3
✲
❄I4
I5
✲
R4 R5
Ratkaisu:
Kirchhoffin lait:
• K1: Virtapiirin risteykseen tulevien ja siitä lähtevien virtojen summa on nolla.
• K2: Potentiaalin muutos virtapiirin suljetun kierroksen yli on nolla.
Kuva 1: Kuvaan on merkitty käytettyjen yhtälöiden vaatimat risteykset ja kierrokset
Virtapiirissä on 5 tuntematonta, joten tarvitaan 5 yhtälöä.
I1 − I2 − I3 = 0
I3 − I4 − I5 = 0
E − I1R1 − I2R2 = 0
E − I1R1 − I3R3 − I4R4 = 0
E − I1R1 − I3R3 − I5R5 = 0
Missä Ii ∀i ovat tuntemattomia, E = 5V ja Rk = 2kΩ ∀k. Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisi muodossa:
1 −1 −1 0 0
0 0 1 −1 −1
2 4 0 0 0
2 0 6 8 0
2 0 6 0 10
I1
I2
I3
I4
I5
=
0
0
5
5
5
⇔
1 −1 −1 0 0 0
0 0 1 −1 −1 0
2 4 0 0 0 5
2 0 6 8 0 5
2 0 6 0 10 5
.
5
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
Jaetaan rivit 3, 4 ja 5 kahdella ja vaihdetaan rivien 2 ja 3 paikkoja:
1 −1 −1 0 0 0
1 2 0 0 0 5/2
0 0 1 −1 −1 0
1 0 3 4 0 5/2
1 0 3 0 5 5/2
,
jolloin eliminoimalla:
R2−R1, R4−R1, R5−R1 −−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1 −1 0 0 0
0 3 1 0 0 5/2
0 0 1 −1 −1 0
0 1 4 4 0 5/2
0 1 4 0 5 5/2
R4− 1
3 R2, R5− 1
3 R2
−−−−−−−−−−−−→
1 −1 −1 0 0 0
0 3 1 0 0 5/2
0 0 1 −1 −1 0
0 0 11
3
4 0 5/3
0 0 11
3
0 5 5/3
R4− 11
3 R3, R5− 11
3 R3
−−−−−−−−−−−−−→
1 −1 −1 0 0 0
0 3 1 0 0 5/2
0 0 1 −1 −1 0
0 0 0 23
3
11
3
5/3
0 0 0 11
3
26
3
5/3
R5− 11
23 R4
−−−−−→
1 −1 −1 0 0 0
0 3 1 0 0 5/2
0 0 1 −1 −1 0
0 0 0 23
3
11
3
5/3
0 0 0 0 159
23 20/23
R2·
1
3
, R4·
3
23 , R5·
23
159 −−−−−−−−−−−−−−→
1 −1 −1 0 0 0
0 1 1
3
0 0 5/6
0 0 1 −1 −1 0
0 0 0 1 11
23 5/23
0 0 0 0 1 20/159
, (6)
josta takaisinsijoituksilla saadaan:
1 0 0 0 0 325/318
0 1 0 0 0 235/318
0 0 1 0 0 45/159
0 0 0 1 0 25/159
0 0 0 0 1 20/159
,
6
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
eli ratkaisu on: I1 =
325
318 , I2 =
235
318 , I3 =
45
159 , I4 =
25
159 , I5 =
20
159 , eli
I =
1
318
(325, 235, 90, 50, 40).
7
